ПРОГРЕССИЯ | Энциклопедия Кругосвет
Содержание статьи- Формулы.
- Другие прогрессии.
ПРОГРЕССИЯ, последовательность чисел, получаемых по некоторому правилу. Термин ныне во многом устарел и встречается только в сочетаниях «арифметическая прогрессия» и «геометрическая прогрессия». Арифметическая прогрессия – это последовательность чисел, в которой каждый член получается из предыдущего путем прибавления к нему одного и того же числа, называемого разностью этой арифметической прогрессии, например 1, 2, 3, 4, ј или 2, 5, 8, 11, 14, ј (многоточие означает «и т.д.»).
Разность между последовательными членами необязательно должна быть положительной, например, для прогрессии 3, 1, -1, -3, -5, ј она равна -2. Геометрическая прогрессия – это последовательность чисел, каждое из которых равно предыдущему, умноженному на некоторое постоянное для данной прогрессии число, называемое знаменателем прогрессии, например 5, 10, 20, 40, 80, ј или 5, -10, 20, -40, 80, ј (в первом случае знаменатель равен 2, во втором равен –2).
Формулы.
Рассмотрим n членов арифметической прогрессии. Пусть a – первый член, l – последний член и d – разность между последовательными членами. Тогда
l = a +(n – 1) d.
Сумма первых n членов прогрессии вычисляется следующим образом:
Эту формулу легко запомнить, суть ее в том, что сумма n членов равна числу членов, умноженному на полусумму первого и последнего членов. Например, сумма последовательных целых чисел от 1 до 50 равна (1/2) Ч 50 Ч 51 = 1275.
Рассмотрим теперь n членов геометрической прогрессии; пусть a – первый член, l – последний член, S – сумма первых n членов прогрессии. Вместо разности d мы теперь должны использовать знаменатель прогрессии r, равный отношению любого последующего члена к предыдущему. Тогда
и
Например, если бы за первый день месяца вам заплатили 1 цент, а за каждый последующий день вы получали бы вдвое больше, чем за предыдущий, то за первые 10 дней вы заработали бы всего 10,23 долл.
Если знаменатель прогрессии r заключен между -1 и +1, то величина r n при больших n очень мала, и при n ® Ґ сумма стремится к пределу a/(1 – r), называемому суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии (см. также РЯДЫ).
Если a и b – два заданных числа, то числа a, (a + b)/2 и b являются тремя последовательными членами арифметической прогрессии, а числа a, и b (a > 0, b > 0) – тремя последовательными членами геометрической прогрессии. Средние члены (a + b)/2 и называются соответственно средним арифметическим и средним геометрическим чисел a и b.
(Арифметическое среднее совпадает с обычным средним.)
Другие прогрессии.
Множество чисел иногда называется гармонической прогрессией, если величины, обратные этим числам, являются членами арифметической прогрессии. Например, числа 1, 1/2, 1/3, 1/4, ј образуют гармоническую прогрессию. Числа a, 2ab/(a + b) и b являются тремя последовательными членами гармонической прогрессии, а средний член называется гармоническим средним чисел a и b. Для суммы первых n членов гармонической прогрессии простой формулы не существует, но разность между суммой первых n членов и натуральным логарифмом числа n
при n ® Ґ стремится к некоторому пределу; этот предел называется постоянной Эйлера; ее приближенное значение равно 0,5772.
В арифметической прогрессии разности между последовательными членами постоянны. Если разности не постоянны, а постоянны разности разностей, то прогрессия называется арифметической прогрессией второго порядка.
Аналогичным образом определяются арифметические прогрессии более высоких порядков. Например, 2, 6, 12, 20, 30, ј – арифметическая прогрессия второго порядка, так как разности 4, 6, 8, 10, ј образуют арифметическую прогрессию с d = 2.
Проверь себя!
Ответь на вопросы викторины «Математика»
Как звали математика, который в 19 лет решил задачу, не поддававшуюся усилиям лучших геометров со времен Евклида?
Пройти тест
геометрическая и арифметическая прогрессии. Предмет исследования
Объектом исследования: геометрическая и арифметическая прогрессии. Предмет исследования
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5 ©emirsaba.org 2022 | Басты бет Lessons Curriculum vitae Documents |
…..3
Сумма бесконечного арифметического геометрического ряда
Арифметическая и геометрическая прогрессия или AGP — это тип прогрессии, в котором каждый член представляет собой произведение членов. Следовательно, обе эти последовательности суммируются вместе, чтобы сформировать AGP. Проще говоря, арифметические и геометрические ряды строятся путем умножения соответствующих членов геометрической и арифметической прогрессий. Например, вы можете сказать 13 + 26 + 39 + 412 …… и так далее. Здесь числитель представляет собой арифметическую прогрессию, а знаменатель — геометрическую прогрессию.
Общий член AGP
Мы можем получить n-й член, перемножая все соответствующие члены арифметической и геометрической прогрессии.
В общем виде можно представить как:
a, (a+d)r, (a+2d)r²,………., [a+(n−1)d]rn-1
- Здесь a — начальное значение, d — общая разность, r — отношение членов.
- Где (n)-й член представляет AP. (N)-й член может быть представлен буквой T.
Тогда формула AGP будет Tn = [a+(n−1)d]rn-1
Что такое Сумма терминов AGP?
Сумма слагаемых начальных слагаемых n в AGP равна
Sn = k=1n[a+(k−1)d]rk-1
Из чего можно получить
Sn = a-[ a+(n-1)d]rn1-r + dr( 1 – rn-1 )(1-r)2
Сумма бесконечности может быть представлена в AGP так, как если бы |r| < 1
В формуле сумма бесконечности может быть записана как:
S = a1- r + dr(1 – r)2
Арифметические и геометрические прогрессии обычно используются в математике, потому что их сумму легко вычислить. применять. Этот метод можно использовать для задач на соревнования.
Например: Если сумма бесконечного ряда 1+4x+7x² +10x³+⋯ равно 3516.
Найдите значение x.
Решение –
Пусть S = 1+4x+7x² +10x³ + … ……. 1
Теперь умножьте x на уравнение 1,
Тогда x S= x+4x² +7x² +… …….. 2
Вычитание 2 из 1; получаем
S – x S = {1+4x+7x² +10x³ + … } – {x+4x² +7x² +… }
(1 – x) S = 1+3x+3x²+3x³ + …
Этот ряд представляет собой геометрический ряд с первым членом a=3x и знаменателем r=x. Итак,
(1 – x) S = 1 + 1 + 2x(1 – x)
⇒ 3516(1−x) – 1 = 1 + 2x(1 – x)
⇒ 35 (1-x)2= 16 (1+2x)
После решения этого уравнения получим x = 15
Вычисление суммы AGP
Если вы хотите вычислить сумму всех слагаемых в AGP, то вы также можете сделать это вручную. Однако на это уйдут часы утомительной работы и сложных вычислений. Иногда ваши решения были бы огромными, чтобы их можно было даже суммировать, или они могли бы быть даже меньше.
Таким образом, вы можете легко найти его, используя этот общий подход. Давайте разберемся с этим на простом примере.
Вопрос: 1⋅2+2⋅2² +3⋅2³+ …… + 100⋅2¹⁰⁰. Найдите сумму этих рядов.
Решение: Если мы посмотрим на данное уравнение, мы увидим, что оно слишком велико для расчета вручную. Поэтому мы используем общий термин.
Предположим, что сумма ряда равна S – тогда
S=1⋅2+2⋅2² +3⋅2³+ ……… +100⋅2¹⁰⁰
Теперь умножьте 2 на S, чтобы получить
2S=1⋅2² +2⋅2³+…… + 99⋅2¹⁰⁰ +100⋅2¹⁰¹
Вычтем из S 2s, получим –
S = 1,2 + 2,2² +3,2³ + …. + 100,2¹⁰⁰ – 2S = 0+ 1,2² + 2,2³ +……. + 99,2¹⁰⁰ + 100,2¹⁰¹
После вычитания получаем
S(1-2) = 1,2 +1,2² +1,2³+….+1,2¹⁰⁰ – 100,2¹⁰⁰
(2⁰⁰ — 1) — 100,2⁰⁰ (поскольку в GP первых 100 терминов)
S = 100,2⁰⁰ — 2,2⁰⁰ +2
S = 200,2⁰⁰ — 2,2⁰⁰ +2
S = 198,2⁰⁰ +2
Из приведенной выше проблемы мы можем сказать, что важным шагом было умножение обыкновенного отношения и вычитание последовательностей для дальнейшего уменьшения GP.
Геометрические прогрессии
Геометрическая прогрессия также известна как геометрическая прогрессия.
Это ряд уравнений, отличающихся обыкновенным отношением. Например, мы можем сказать 3,6, 12, 24 ….. в этом случае обыкновенное отношение можно принять за 3. Таким образом, вы можете найти обыкновенное отношение в данном ряду, определив отношение между любыми двумя соседними отношениями.
Например: 10, 30, 90, 270 … в этой прогрессии начальный член равен 10, а знаменатель равен 3.
Как описать геометрическую прогрессию?
Начальный член: Геометрическая прогрессия начинается с начального члена, в приведенном выше примере член равен 10.
Общее отношение: Следующим важным термином является обычное отношение. В этой последовательности мы можем найти общее отношение, как указано в приведенной выше последовательности, равное 3.
Рекурсивная формула: Геометрический образец определяется рекурсивной формулой. Это означает, что каждый термин связан друг с другом или с предыдущим термином. Следующий член уравнения является побочным продуктом предыдущего члена вместе с обычным отношением.
Термин = предыдущий член x обыкновенное отношение
Точнее, r¹ у нас есть
an = an−1× r
Явная формула: Рекурсивная формула помогает вам определить отношения между последовательностью, используя обыкновенное отношение. Но также полезно, если мы определим явную формулу членов последовательности. Эта формула поможет вам найти любой член геометрической прогрессии.
Термины связаны друг с другом соотношением. Мы можем найти отношение путем умножения.
Срок = начальный срок и обыкновенное отношение х …… обыкновенное отношение (это количество шагов от начального значения).
Итак, мы можем записать это как –
an = a1 x rn-1
Сумма геометрической прогрессии
Иногда нам нужно найти сумму членов геометрической прогрессии. Когда у нас есть большое количество терминов, которые нужно добавить, может быть сложно сделать это по одному за раз. Следующая задача демонстрирует метод, который можно расширить до общей техники:
Пример.
Определите сумму первых десяти членов данной геометрической прогрессии.
3, 15, 75, 375, 1875, …..
Решение:
A = сумма первых десяти членов данного ряда
A = 3+3⋅5+3⋅5²+ …… +3 ⋅5⁹ (1)
Далее умножаем A на 5, получаем
5A = 3⋅5+3⋅5² +3⋅5³+……+ 3⋅5¹⁰ (2)
Принимая (1) – ( 2)
А – 5А = (3+3⋅5+3⋅5²+ …… +3⋅5⁹) – (3⋅5+3⋅5² +3⋅5³+……+ 3⋅5¹⁰)
We получить,
А (1-5) = 3+0+ 0+……..+ 0 -3,5¹⁰
-4A = 3 – 3,5¹⁰
Следовательно, A = 3,5¹⁰-34
первый и последний члены сокращаются. Теперь мы можем использовать тот же метод для определения общей формулы суммы.
Теорема: Для нахождения геометрической прогрессии с начальным значением a, знаменателем r и суммой первых n членов
Sn= a .rn-1r-1 для r ≠1
Sn=a.n для r=1
Сумма бесконечной геометрической прогрессии
Теорема. Здесь начальные члены a со знаменателем r должны удовлетворять |r| < 1, то сумма бесконечной прогрессии равна
S = a1-r
Давайте перейдем к нахождению суммы бесконечного числа членов геометрической прогрессии теперь, когда мы знаем, как вычислить сумму конечного числа членов.
Начнем с примера.
Пример: Найдите геометрическую прогрессию в заданном уравнении.
5 + 53 + 59 + 527
Решение: Пусть сумма будет S,
S = 5 + 53 + 59 + 527 ….. (1)
Затем умножьте данное уравнение S на 13, мы получим
13S = 53 + 59 + 527 + 581 ….. (2)
Вычитание уравнения 1 из 2 дает ……
S – 13S = {5 + 53 + 59 + 527} – {53 + 59 + 527 + 581 }
Выдает результаты
S ( 1 – 13 ) = 5+0+0+0+0
S.23 = 5
S = 152
Заключение
Существует бесконечное число терминов. бесконечный ряд. Частичная сумма Sn представляет собой сумму первых n членов. Сумма ряда до бесконечности достигается, когда Sn приближается к пределу, когда n приближается к бесконечности. Бесконечный арифметический ряд имеет сумму либо +∞, либо –∞. В этой статье мы узнали о различных способах суммирования AGP и геометрической прогрессии. Надеюсь, вам понравилась эта статья.
Арифметические и геометрические прогрессии, понятия, формулы
Все понятия, относящиеся к арифметическим, геометрическим и гармоническим прогрессиям, перечислены и объяснены ниже.
Что такое прогрессия в арифметической и геометрической прогрессиях?
Последовательность, содержащая термины, которые следуют определенному шаблону, называется прогрессией.
Введение в арифметические, геометрические и гармонические прогрессии
Прогрессии также известны как последовательности и ряды. В прогрессиях образуются ряды чисел со связующим звеном между ними. поэтому, предсказывая их порядок, мы можем найти следующее число в ряду или пропущенное число, сумму ряда и т. д. Это арифметическая прогрессия, геометрическая прогрессия и гармоническая прогрессия. Давайте посмотрим на них подробно.
Что такое арифметическая прогрессия?
Арифметическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой следующий член может быть получен путем прибавления или вычитания фиксированного числа с предыдущим членом. Он представлен АП.
Общая форма арифметической прогрессии: a, a+d, a+2d, a+3d…………….so on
Здесь
‘d’ — это фиксированное число, которое получается разностью любых двух последовательные члены арифметической прогрессии.
«а» — первый член арифметической прогрессии.
Если количество терминов в AP равно «n», то его можно представить как a, a+d, a+2d, ……..a+(n-1)d.
Последний термин в серии приведен как
A N = A 1 +(n-1). последовательность
a 1 — первый член
d — разница последовательных членов в последовательности AP.
Последний термин также обозначается буквой «l».
L = A N = A 1 +(N-1) D
Пример:
326
TH . Пример:
3326
Решение:
Первый член в последовательности AP равен a=3
Разница между любыми двумя последовательными членами равна d= 7-3 = 11-7 =15-11 = 4
i, e d =4
Термин, который нужно найти в последовательности, равен n = 7
У нас есть a n = a 1 +(n-1)d
подставив значения
а 7 =3+(7-1)×4
⇒ 3+6 × 4
⇒ 902+34 а =27
Следовательно, 7 -й -й член данной AP-последовательности равен 27.
Сумма арифметической прогрессии
Для арифметической прогрессии, состоящей из ‘n’ членов, первый член равен ‘a’, а общая разница между членами равна ‘ d’, тогда сумма всех слагаемых в AP равна S.
Формула суммы арифметической прогрессии
\begin{align*}
\begin{aligned}S=\dfrac {n}{2}\left[ 2a+\left( n-1\right) d\right] \\ Также \ пишется \ как \\
S=\dfrac {n}{2}\left[ a+a+\left( n-1\right) d\right] \\ S=\dfrac {n}{2}\left[ a+a_{n }\right] \end{aligned}
\end{align*}
Пример суммы чисел в арифметической прогрессии
Найдите сумму 10 членов последовательности AP 5,4,3……
Решение:
Первый член в последовательности AP равен a=5
Разница между любыми двумя последовательными элементами равна d= 4-5= -1.
Количество терминов n=10
У нас есть
\begin{align*} \begin{aligned}S=\dfrac {n}{2}\left[ 2a+\left( n-1\right) d\right] \\
=\dfrac {10}{2}\left[ a\times 5+\left( 10-1\right) \left(-1\right) \right] \\
=5\left[ 10- 9\right] \\ =5 \\
Следовательно \ сумма \ of \ first \ 10 \ terms \ of \ AP \ is \ 5.
\end{aligned}
\end{align*}
ПРИМЕЧАНИЕ:
n -й -й член АП также представляется как разность суммы n членов и суммы первых (n-1) его членов.
\begin{align*}
a_{n}=S_{n}-S_{n-1}
\end{align*}
Среднее арифметическое
Что такое среднее арифметическое?
Среднее арифметическое — это сумма всех заданных чисел в ряду, деленная на общее количество терминов в AP.
Пример:
Пусть 2, 3 4 находятся в AP.
Среднее арифметическое =(2+3+4) ⁄ 3
=9 ⁄ 3
=3
Здесь среднее арифметическое равно 3. Это среднее 2 и 4.
Следовательно, если a, b, c — три члена в AP, то средний член (b) является его средним арифметическим.
\begin{align*}
b=\dfrac {a+c}{2}
\end{align*}
Что такое геометрическая прогрессия?
Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой следующий член может быть получен путем умножения фиксированного числа на предыдущее число.
Это фиксированное число называется обыкновенным отношением и обозначается буквой «r».
Получается путем деления любых двух последовательных слагаемых.
Общая форма геометрической прогрессии а, ар, ар 2 , ar 3 …………..ar n-1
У нас есть конечное GP и бесконечное GP.
- Если количество членов в серии GP конечно, то это конечная GP.
а, ар, ар 2 , ар3 …………..ар 2
а, ар, ар 2 , ар 3 …………..
Пример геометрической прогрессии
Рассмотрим ряд чисел, которые находятся в GP 2, 4, 8, 16, 32, 64
Здесь
Первый член равен a=2
Отношение последовательных членов равно r= 4 ⁄ 2= 8 ⁄ 4 =16 ⁄ 2 =2
i,e r=2
Общий термин геометрической прогрессии.
Пусть «r» — это отношение любых двух последовательных членов ряда GP.
Пусть «m» — член этого ряда, его можно представить как 9{n-1}
\end{align*}
Пример:
Найти 10 -й термин в GP 2, 4, 8, 16, 32, 64
Здесь
r = 2, 4, 8, 16, 32, 64 = 2, n = 10
∴ r 10 = 2 × 2 10-1 = 2 × 2 9
R 10 = 1024
TH Термин DADE GP AR 1024.
TH .Сумма геометрической прогрессии
Для геометрической прогрессии, состоящей из «n» членов с первым членом «a» и кратным отношением последовательных членов в последовательности «r», тогда сумма геометрической прогрессии определяется как S. 9{n}\right) }{1-r } \ \ if \ r <1\end{cases}
\end{aligned}
\end{align*}
Для бесконечной геометрической прогрессии сумма членов равна
\begin{align*}
S=\dfrac {a}{1-r} \ \ \ \ \ Here \ r <1
\end{align*}
Пример:
Найдите сумму n th член геометрической прогрессии 1, 1 ⁄ 4, 1 ⁄ 16 ……….
{n}\right)} {1- г}\\г<1\\9{n-1}}\end{aligned}
\end{align*}
Среднее геометрическое (GM)
Среднее геометрическое — это корень, полученный после умножения членов в геометрической прогрессии. Корень зависит от количества терминов в последовательности.
Пример:
Рассмотрим геометрическую прогрессию 1, 2, 4. укоренение 1 и 4.
i, e √1×4 =2
Пусть a, b, c принадлежат GP, тогда среднее геометрическое (b)=√ac
До сих пор мы ясно обсудили арифметические и геометрические прогрессии с определениями и их значениями. Теперь давайте узнаем о гармонической прогрессии.
Гармоническая прогрессия
Гармоническая прогрессия — это последовательность чисел, обратная форма которых представляет собой последовательность терминов, находящихся в АР.
т. е. если a 1 , a 2 , a 3 , ……выражены в HP, то их обратные величины 1 ⁄ a 1 , 1 ⁄ a 2 , 9 1 ⁄ 2 3 3 …… находятся в АП.