Синус альфа минус 90: Sin (альфа-90градусов) — ответ на Uchi.ru

Является ли тождеством равенство : 1)sin(90°+a)=-cosa 2)sin(180°+a)=-s…

Лучший ответ по мнению автора

18. 02.20 Лучший ответ по мнению автора

Александр Читать ответы

Елена Васильевна Читать ответы

Серж Читать ответы

Посмотреть всех экспертов из раздела Учеба и наука

Похожие вопросы

Найдите площадь круга и длину ограничивающей его окружности, если сторона правильного треугольника, вписанного в него, равна 5√3 см. Напишите решение плиииз

В треугольнике ABC угол A равен 45 градусов, угол B равен 60 градусов, BC= 6√6. Найдите AC.

Решено

Если два художника могут разрисовать 2 комнаты, за 2 часа.. Сколько художников надо, чтобы разрисовать 18 комнат за 6 часов.. И подробно обьснить решение

Решено

Радиус вписанной в квадрат окружности равен 4√2 найти радиус окружности описанной около этого квадрата

Решено

Найдите сумму тридцати первых членов арифметической прогрессии, заданной формулой an = 3n + 2.

Пользуйтесь нашим приложением

Как найти угол альфа формула

Содержание

• Синус, косинус, тангенс и котангенс. Определения
• Угол поворота
• Числа
• Тригонометрические функции углового и числового аргумента
• Связь определений sin, cos, tg и ctg из геометрии и тригонометрии

Тригонометрия — раздел математической науки, в котором изучаются тригонометрические функции и их использование в геометрии. Развитие тригонометрии началось еще во времена античной Греции. Во времена средневековья важный вклад в развитие этой науки внесли ученые Ближнего Востока и Индии.

Данная статья посвящена базовым понятиям и дефинициям тригонометрии. В ней рассмотрены определения основных тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Разъяснен и проиллюстрирован их смысл в контексте геометрии.

Синус, косинус, тангенс и котангенс. Определения

Изначально определения тригонометрических функций, аргументом которых является угол, выражались через соотношения сторон прямоугольного треугольника.

Определения тригонометрических функций

Синус угла ( sin α ) — отношение противолежащего этому углу катета к гипотенузе.

Косинус угла ( cos α ) — отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенс угла ( t g α ) — отношение противолежащего катета к прилежащему.

Котангенс угла ( c t g α ) — отношение прилежащего катета к противолежащему.

Данные определения даны для острого угла прямоугольного треугольника!

В треугольнике ABC с прямым углом С синус угла А равен отношению катета BC к гипотенузе AB.

Определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса позволяют вычислять значения этих функций по известным длинам сторон треугольника.

Область значений синуса и косинуса: от -1 до 1. Иными словами синус и косинус принимают значения от -1 до 1. Область значений тангенса и котангенса — вся числовая прямая, то есть эти функции могут принимать любые значения.

Угол поворота

Определения, данные выше, относятся к острым углам. В тригонометрии вводится понятие угла поворота, величина которого, в отличие от острого угла, не ограничена рамками от 0 до 90 градусов.Угол поворота в градусах или радианах выражается любым действительным числом от — ∞ до + ∞ .

В данном контексте можно дать определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла произвольной величины. Представим единичную окружность с центром в начале декартовой системы координат.

Начальная точка A с координатами ( 1 , 0 ) поворачивается вокруг центра единичной окружности на некоторый угол α и переходит в точку A 1 .

Определение дается через координаты точки A 1 ( x , y ).

Синус (sin) угла поворота

Синус угла поворота α — это ордината точки A 1 ( x , y ). sin α = y

Косинус угла поворота α — это абсцисса точки A 1 ( x , y ). cos α = х

Тангенс угла поворота α — это отношение ординаты точки A 1 ( x , y ) к ее абсциссе. t g α = y x

Котангенс угла поворота α — это отношение абсциссы точки A 1 ( x , y ) к ее ординате. c t g α = x y

Синус и косинус определены для любого угла поворота. Это логично, ведь абсциссу и ординату точки после поворота можно определить при любом угле. Иначе обстоит дело с тангенсом и котангенсом. Тангенс не определен, когда точка после поворота переходит в точку с нулевой абсциссой ( 0 , 1 ) и ( 0 , — 1 ). В таких случаях выражение для тангенса t g α = y x просто не имеет смысла, так как в нем присутствует деление на ноль. Аналогично ситуация с котангенсом. Отличием состоит в том, что котангенс не определен в тех случаях, когда в ноль обращается ордината точки.

Синус и косинус определены для любых углов α .

Тангенс определен для всех углов, кроме α = 90 ° + 180 ° · k , k ∈ Z ( α = π 2 + π · k , k ∈ Z )

Котангенс определен для всех углов, кроме α = 180 ° · k , k ∈ Z ( α = π · k , k ∈ Z )

При решении практических примеров не говорят «синус угла поворота α «. Слова «угол поворота» просто опускают, подразумевая, что из контекста и так понятно, о чем идет речь.

Числа

Как быть с определением синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа, а не угла поворота?

Синус, косинус, тангенс, котангенс числа

Синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом числа t называется число, которое соответственно равно синусу, косинусу, тангенсу и котангенсу в

t радиан.

Например, синус числа 10 π равен синусу угла поворота величиной 10 π рад.

Существует и другой подход к определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа. Рассмотрим его подробнее.

Любому действительному числу t ставится в соответствие точка на единичной окружности с центром в начале прямоугольной декартовой системы координат. Синус, косинус, тангенс и котангенс определяются через координаты этой точки.

Начальная точка на окружности — точка A c координатами ( 1 , 0 ).

Положительному числу t соответствует точка, в которую перейдет начальная точка, если будет двигаться по окружности против часовой стрелки и пройдет путь t .

Отрицательному числу t соответствует точка, в которую перейдет начальная точка, если будет двигаться по окружности против часовой стрелки и пройдет путь t .

Теперь, когда связь числа и точки на окружности установлена, переходим к определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Синус (sin) числа t

Синус числа t — ордината точки единичной окружности, соответствующей числу t. sin t = y

Косинус числа t — абсцисса точки единичной окружности, соответствующей числу t. cos t = x

Тангенс числа t — отношение ординаты к абсциссе точки единичной окружности, соответствующей числу t. t g t = y x = sin t cos t

Последние определения находятся в соответствии и не противоречат определению, данному в начале это пункта. Точка на окружности, соответствующая числу t, совпадает с точкой, в которую переходит начальная точка после поворота на угол t радиан.

Тригонометрические функции углового и числового аргумента

Каждому значению угла α соответствует определенное значение синуса и косинуса этого угла. Также, как всем углам α , отличным от α = 90 ° + 180 ° · k , k ∈ Z ( α = π 2 + π · k , k ∈ Z ) соответствует определенное значение тангенса. Котангенс, как сказано выше, определен для всех α , кроме α = 180 ° · k , k ∈ Z ( α = π · k , k ∈ Z ).

Можно сказать, что sin α , cos α , t g α , c t g α — это функции угла альфа, или функции углового аргумента.

Аналогично можно говорить о синусе, косинусе, тангенсе и котангенсе, как о функциях числового аргумента. Каждому действительному числу t соответствует определенное значение синуса или косинуса числа t. Всем числам, отличным от π 2 + π · k , k ∈ Z соответствует значение тангенса. Котангенс, аналогично, определен для всех чисел, кроме π · k , k ∈ Z.

Основные функции тригонометрии

Синус, косинус, тангенс и котангенс — основные тригонометрические функции.

Из контекста обычно понятно, с каким аргументом тригонометрической функции (угловой аргумент или числовой аргумент) мы имеем дело.

Связь определений sin, cos, tg и ctg из геометрии и тригонометрии

Вернемся к данным в самом начале определениям и углу альфа, лежащему в пределах от 0 до 90 градусов. Тригонометрические определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса полностью согласуются с геометрическими определениями, данными с помощью соотношений сторон прямоугольного треугольника. Покажем это.

Возьмем единичную окружность с центром в прямоугольной декартовой системе координат. Повернем начальную точку A ( 1 , 0 ) на угол величиной до 90 градусов и проведем из полученной точки A 1 ( x , y ) перпендикуляр к оси абсцисс. В полученном прямоугольном треугольнике угол A 1 O H равен углу поворота α , длина катета O H равна абсциссе точки A 1 ( x , y ) . Длина катета, противолежащего углу, равна ординате точки A 1 ( x , y ) , а длина гипотенузы равна единице, так как она является радиусом единичной окружности.

В соответствии с определением из геометрии, синус угла α равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.

sin α = A 1 H O A 1 = y 1 = y

Значит, определение синуса острого угла в прямоугольном треугольнике через соотношение сторон эквивалентно определению синуса угла поворота α , при альфа лежащем в пределах от 0 до 90 градусов.

Аналогично соответствие определений можно показать для косинуса, тангенса и котангенса.

Мысленно поместим результирующий вектор возбуждения желудочков внутрь треугольника Эйнтховена. Угол, образованный направлением результирующего вектора и осью I стандартного отведения, и есть искомый угол альфа.

Величину угла альфа находят по специальным таблицам или схемам, предварительно определив на электрокардиограмме алгебраическую сумму зубцов желудочкового комплекса (Q + R + S) в I и III стандартных отведениях. Найти алгебраическую сумму зубцов желудочкового комплекса достаточно просто: измеряют в миллиметрах величину каждого зубца одного желудочкового комплекса QRS, учитывая при этом, что зубцы Q и S имеют знак минус (—), поскольку находятся ниже изоэлектрической линии, а зубец К — знак плюс (+). Если какой-либо зубец на электрокардиограмме отсутствует, то его значение приравнивается к нулю (0).

Далее, сопоставляя найденную алгебраическую сумму зубцов для I и III стандартных отведений, по таблице определяют значение угла альфа. В нашем случае он равен минус 70°. Таблица определения положения электрической оси сердца (по Дьеду)

Таблица определения угла альфа

Если угол альфа находится в пределах 50—70°, говорят о нормальном положении электрической оси сердца (электрическая ось сердца не отклонена), или нормограмме. При отклонении электрической оси сердца вправо угол альфа будет определяться в пределах 70—90°. В обиходе такое положение электрической оси сердца называют правограммой.

Если угол альфа будет больше 90° (например, 97°), считают, что на данной ЭКГ имеет место блокада задней ветви левой ножки пучка Гиса. Определяя угол альфа в пределах 50—0° говорят об отклонении электрической оси сердца влево, или о левограмме. Изменение угла альфа в пределах 0 — минус 30° свидетельствует о резком отклонении электрической оси сердца влево или, иными словами, о резкой левограмме. И наконец, если значение у г л а альфа будет меньше минус 30° (например, минус 45°) — говорят о блокаде передней ветви левой ножки пучка Гиса.

Пределы отклонения электрической оси сердца

Определение отклонения электрической оси сердца по углу альфа с использованием таблиц и схем производят в основном врачи кабинетов функциональной диагностики, где соответствующие таблицы и схемы всегда под рукой. Однако определить отклонение электрической оси сердца можно и без необходимых таблиц. В этом случае отклонение электрической оси находят по анализу зубцов R и S в I и III стандартных отведениях. При этом понятие алгебраической суммы зубцов желудочкового комплекса комплекса QRS, заменяют визуально понятием «определяющий зубец» сопоставляя по абсолютной величине зубцы R и S . Говорят о «желудочковом комплексе R-типа», подразумевая, что в данном желудочковом комплексе более высоким является зубец К. Напротив, в «желудочковом комплексе S-типа» определяющим зубцом комплекса QRS является зубец S.

Сопоставление зубцов К и 3 комплекса QRS

Если на электрокардиограмме в I стандартном отведении желудочковый комплекс представлен R-типом, а комплекс QRS в III стандартном отведении имеет форму S-типа, то в данном случае электрическая ось сердца отклонена влево (левограмма).

Схематично это условие записывается как RI-SIII.

Визуальное определение электрической оси сердца

. Левограмма Напротив, если в I стандартном отведении мы имеем S-тип желудочкового комплекса, а в III отведении R-тип комплекса QRS, то электрическая ось сердца отклонена вправо (правограмма). 2, alpha>\&\ cosalpha
e 0 & sinalpha
e 0\ hline end]

(lacktriangleright) Формула вспомогательного аргумента: [egin <|c|>hline ext<Частный случай>\ hline \ sinalphapm cosalpha=sqrt2cdot sin<left(alphapm dfrac<pi>4
ight)>\\ sqrt3sinalphapm cosalpha=2sin<left(alphapm dfrac<pi>6
ight)>\\ sinalphapm sqrt3cosalpha=2sin<left(xpm dfrac<pi>3
ight)>\\ hline ext<Общий случай>\ hline\ asinalphapm bcosalpha=sqrtcdot sin<(alphapm phi)>, cosphi=dfrac a<sqrt>, sinphi=dfrac b<sqrt>\\ hline end]

Зная идею вывода формул, вы можете запомнить лишь несколько из них. Тогда остальные формулы вы всегда сможете быстро вывести.

Вывод всех основных тождеств был рассказан в предыдущем разделе “Введение в тригонометрию”.

(lacktriangleright) Вывод формулы косинуса разности углов (cos<(alpha -eta)>=cosalphacoseta+sinalphasineta)

Рассмотрим тригонометрическую окружность и на ней углы (alpha) и (eta) . 2alpha=dfrac<1-cos2alpha>2)

Заметим, что в данных формулах степень синуса/косинуса равна (2) в левой части, а в правой части степень косинуса равна (1) .

(lacktriangleright) Вывод формул произведения функций:

1) Сложим формулы косинуса суммы и косинуса разности двух углов:

Получим: (cos(alpha+eta)+cos(alpha-eta)=2cosalphacoseta Rightarrow cosalphacoseta=dfrac12Big(cos(alpha-eta)+cos(alpha+eta)Big))

2) Если вычесть из формулы косинуса суммы косинус разности, то получим:

3) Сложим формулы синуса суммы и синуса разности двух углов:

(lacktriangleright) Вывод формул суммы/разности функций:

Обозначим (alpha+eta=x, alpha-eta=y) . Тогда: (alpha=dfrac2, eta=dfrac2) . Подставим эти значения в предыдущие три формулы:

Получили формулу суммы косинусов.

Получили формулу разности косинусов.

Получили формулу суммы синусов.

4) Формулу разности синусов можно вывести из формулы суммы синусов:

Аналогично выводится формула суммы котангенсов. 2=dfrac=1)

Таким образом, можно утверждать, что существует такой угол (phi) , для которого, например, (cos phi=a_1, sin phi=b_1) . Тогда наше выражение примет вид:

(sqrt,ig(cos phi sin x+sin phicos xig)=sqrt,sin (x+phi)) (по формуле синуса суммы двух углов)

Значит, формула выглядит следующим образом: [<large,sin (x+phi),>> quad ext <где >cos phi=dfrac a<sqrt>] Заметим, что мы могли бы, например, принять за (cos phi=b_1, sin phi=a_1) и тогда формула выглядела бы как [asin x+bcos x=sqrt,cos (x-phi)]

(lacktriangleright) Рассмотрим некоторые частные случаи формул вспомогательного угла:

(a) sin xpmcos x=sqrt2,left(dfrac1<sqrt2>sin xpmdfrac1<sqrt2>cos x
ight)=sqrt2, sin left(xpmdfrac<pi>4
ight))

(b) sqrt3sin xpmcos x=2left(dfrac<sqrt3>2sin xpm dfrac12cos x
ight)=2, sin left(xpmdfrac<pi>6
ight))

(c) sin xpmsqrt3cos x=2left(dfrac12sin xpmdfrac<sqrt3>2cos x
ight)=2,sinleft(xpmdfrac<pi>3
ight))

Тождества суммы и разности с первого взгляда

Во-первых, позвольте нам представить вам тождество суммы синусов и разностей .

sin(α + β) = sin(α)cos(β) + cos(α)sin(β)

и

sin(α – β) = sin(α)cos(β) – cos(α )sin(β)

Довольно дико, правда? Докажем, что они действительно работают.

Посмотрите на рисунок ниже, на котором показаны два угла α и β.

Представьте, что линия OB качается вокруг O и заметает угол α, а затем заметает угол β. (Вещи определенно движутся здесь в тригонометрической стране.)

Посмотрите внимательно, и вы увидите, что перпендикулярные линии были добавлены, чтобы сформировать несколько прямоугольных треугольников.

Во-первых, обратите внимание, что ∠ BOE = α + β.

Это означает, что sin(∠ BOE ) = sin(α + β).

Теперь посмотрите на Δ OAE и выделите коэффициент запуска для синуса.

С БД = AC , мы можем переписать это как .

Оставайтесь с нами сейчас… пришло время сделать некоторые изменения.

Перетасуем знаменатели. (Покер, кто-нибудь?)

Задержитесь на этом уравнении на секунду, пока мы совершим небольшое путешествие. Нам нужно показать, что ∠ CED совпадает с углом α, чтобы остальная часть доказательства работала.

Хорошо, посмотрите, как линия OD пересекает обе параллельные линии CD и ОБ ? Это означает, что ∠ ODC имеет ту же меру, что и угол α, из-за теоремы об альтернативных внутренних углах из геометрии. Из рисунка также видно, что ∠ ODC и ∠ CDE образуют прямой угол, поэтому m∠ CDE = 90° – m∠ ODC . А поскольку ∠ ODC = α, мы можем переписать это как m∠ CDE = 90° – α. Верно? Верно.

Поскольку три угла в треугольнике CDE составляют в сумме 180° (как и в любом треугольнике), это означает:

м∠ DCE + м∠ CDE + м∠ CED = 180°

90° + (90° – α) + м∠ CED – α 80 м 80 6 80 900 ∠ CED = 180°

-α + m∠ CED = 0

m∠ CED = α

Вот. Хорошая сделка; этот угол в верхней части рисунка имеет ту же меру, что и угол α. Поверьте нам, это важно.

Теперь вернемся к диаграмме в последний раз и запишем ряд триггерных соотношений для углов α и β.

 

(Это работает, потому что мы только что проделали всю работу, чтобы показать, что m∠ CED = α.)

 

Как эти ребята нам помогают? Ура, теперь мы можем подставить все те корявые отношения, которые мы придумали ранее:

sin(α + β) = sin(α)cos(β) + cos(α)sin(β)

Победа! Это наша сумма синусов , равная .

Теперь мы можем найти идентичность разности, подставив -β вместо β следующим образом:

sin(α – β) = sin[α + (-β)] = sin(α)cos(-β) + cos(α)sin(-β)

Из наших тождеств с отрицательным углом мы знаем, что:

cos(-β) = cos(β)

и

sin(-β) = -sin(β)

Это означает, что мы имеем нашу идентичность разности синусов :

sin(α – β) = sin(α)cos(β) – cos(α)sin(β)

Косинус получает поворот

Теперь перейдем к тождеству суммы косинусов .

cos(α + β) = cos(α)cos(β) – sin(α)sin(β)

Мы можем доказать тождество суммы косинусов, применяя тождество кофункции:

cos(α + β) = sin[90° – (α + β)]

Удалите эти надоедливые скобки:

cos(α + β) = sin(90° – α – β) = sin[(90° – α) – β]

Затем подставьте это в наше тождество разности синусов:

cos(α + β) = sin[(90 ° – α) – β] = sin(90° – α)cos(β) – cos(90° – α)sin(β)

Снова используя тождества кофункций, мы можем поменять местами sin(90° – α ) для cos(α) и поменять местами cos(90° – α) для завершения sin(α).

cos(α + β) = cos(α)cos(β) – sin(α)sin(β)

Бам. Успешно справился.

Чтобы найти идентичность разности косинусов, подставьте -β вместо β, точно так же, как вы делали это для идентичности разности синусоид.

cos(α – β) = cos[α + (-β)] = cos(α)cos(-β) – sin(α)sin(-β)

Подставьте эти отрицательные угловые тождества, чтобы получить разность косинусов тождество :

cos(α – β) = cos(α)cos(β) + sin(α)sin(β)

Теперь давайте возьмем наши с трудом заработанные тождества суммы и разности и воспользуемся ими решить проблемы.

Пример задачи

Используйте тождество суммы или разности, чтобы найти точное значение cos(75°) без калькулятора.

Для этого мы смотрим на угол 75°, чтобы увидеть, является ли он суммой или разностью каких-либо углов из наших эталонных треугольников.

Мы видим, что 75° = 30° + 45°.

Итак:

cos(75°) = cos(30° + 45°)

Мы можем использовать тождество суммы косинусов.

cos(α + β) = cos(α)cos(β) – sin(α)sin(β)

cos(30° + 45°) = cos(30°)cos(45°) – sin( 30°)sin(45°)

Теперь подставьте значения из ваших эталонных треугольников. (О, это снова они.)

И ответ:

Пример задачи

Используйте тождество суммы или разности, чтобы найти точное значение sin(165°).

В каком квадранте находится 165°?

Он больше 90°, но меньше 180°, поэтому находится в квадранте II.

Для этого мы смотрим на 165°, чтобы увидеть, является ли это суммой или разностью наших углов от наших эталонных треугольников.

165° = 120° + 45°

Итак:

Пример задачи

Используйте тождество суммы или разности, чтобы найти точное значение cos(255°).

В каком квадранте находится 255°?

Да, это в квадранте III. Давайте посмотрим на 255°, чтобы увидеть, является ли это суммой или разностью каких-либо особых углов.

255° = 300° – 45°

Итак:

Переход по быстрой касательной

Тождества суммы и разности тангенсов можно найти из тождеств суммы и разности синусов и косинусов. К счастью для нас, тангенс угла — это то же самое, что синус над косинусом.

Подставьте суммы тождеств для синуса и косинуса.

Далее небольшое деление поможет нам в пути (дроби никогда не помешают).

Разделить числитель и знаменатель на cos(α)cos(β).

Теперь разделите термины.

Замените каждый термин на «1» или «загар», где это уместно. Помните, что тангенс больше синуса, чем косинуса.

Теперь, еще немного упростив, мы получим тождество суммы тангенсов :

Затем таким же образом можно найти тангенс (α – β).

Еще раз, с небольшой помощью нашего знакомого деления, разделите числитель и знаменатель на cos(α)cos(β).

Теперь разделите термины и замените каждый термин на «1» или «тан», где это уместно.

Мы почти у цели — там есть а там, мы обещаем. Если немного упростить, то получится. Вот наше тождество разности тангенсов :

Пример задачи

Используйте тождество суммы или разности, чтобы найти tan(255°).

Сначала перепишите 255° как сумму или разность.

255° = 300° – 45°

Что означает

Нам нужно очистить наш знаменатель (пока что он выглядит как у-у-у-уродливое ).

Итак, умножьте на сопряженное над сопряженным:

И наш ответ:

Мы составили его из триговой земли — живой (или едва живой). Видишь ли, мир углов, триангуляции и всего остального не так уж и плох.

геометрия — Угол $\alpha$ больше $90$ и меньше $360$ и $\cos(\alpha)=\frac23$. Найдите точное значение $\tan(\alpha)$.

спросил 4 года 9 месяцев назад

Изменено 4 года, 9 месяцев назад

Просмотрено 277 раз

$\begingroup$

Этот вопрос взят из статьи OCR Additional Mathematics за 2009 год. Ответ: $-\frac{\sqrt{5}}{2}$.

Я знаю, как решить эту проблему с помощью графиков, но я не понимаю, как найти ТОЧНОЕ значение, содержащее сурды.

Я знаю, что $\cos(\alpha)= \frac{adjacent}{гипотенуза}$, поэтому если прилежащая сторона равна $2$ единицам, а гипотенуза равна $3$ единицам, то противоположная сторона должна иметь длину $ \sqrt5$. И поэтому я подумал, что ответ будет $\frac{\sqrt5}{2}$. Но в ответе четко сказано, что это так, но отрицательно. 92 x = \frac{5}{9}$, поэтому $\sin x = \pm \frac{\sqrt5}{3}$.

Данный диапазон углов говорит вам, что вам нужен отрицательный угол, потому что первый квадрант исключается данным диапазоном, а единственный другой квадрант с положительным косинусом — это четвертый квадрант, который имеет отрицательный синус.

Тогда $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = -\frac{\sqrt5}{2}$

$\endgroup$

$\begingroup$

Точка на единичной окружности под этим углом равна $(\frac 23, -\frac {\sqrt 5}3)$. Значение $x$ должно быть положительным, чтобы косинус был положительным, и нам дано, что угол больше $9.2} = -\frac{\sqrt{5}}{3}$$

$\endgroup$

$\begingroup$

Из $cos(x)= 2/3$ получаем отношение смежных по гипотенузе 2/3.