Обратные тригонометрические функции
Число w называется арккосинусом числа z, если z = cos w. Обозначение: w = Arccos z. По формуле Эйлера
.
Решая квадратное уравнение относительно ei w, находим
Выбор знака в последних формулах определится следующим соображением: если в формулу подставить z = cos w, то выражения должны обратиться в тождества. После подстановки в первое из них имеем:. Для согласованности с формулой Эйлера выбираем знак « + ». Отсюда
.
Изменение знака перед корнем равносильно изменению знака перед логарифмом, поскольку.
Аналогичные формулы можно дать для других функций:
,
,.
Важно отметить, что все эти функции, как и функция Ln
Понятие предела, непрерывности те же, что для функции двух переменных. Однако понятие дифференцируемости функций комплексного переменного имеет существенные особенности.
Определение 4.4. Пусть точка z0 является точкой сгущения (предельной точкой) области определения Ω функции f(z). Число A называется пределом функции f(z) при z z0, если для любого числа > 0 существует число > 0, что неравенство |f(z) – A| < выполняется для всех z z0, z Ω, |z – z0| < .
Существуют, как известно, и другие определения предела. Очень полезным является определение предела на языке последовательностей:
. Определение 4.
5. Пусть z0 принадлежит области
определения Ω функции f(z). Функция f(z) называется непрерывной в
этой точке, если.
Определение 4.6. Производной функции f(z) в точке z называется предел отношения приращения функции Δf = f(z + Δz) – f(z) к приращению аргумента Δz, когда последнее стремится к нулю:
.
Теорема 4.3. Пусть функция f(z) = u(x,y) + i v(x,y) определена в некоторой окрестности точки z и в этой точке дифференцируемы функции u(x,
(4.
1)
называемые условиями Коши – Римана.
Ограничимся доказательством необходимости этих условий. Пусть существует. Вычислим этот предел, подходя к точке z разными путями: по оси Ox (то есть полагая Δz = Δx) и по оси Oy (то есть полагая Δz = i Δy ). Имеем соответственно два равенства
,.
Из равенства действительных и мнимых частей равных комплексных чисел следуют условия Коши – Римана (4.1).
Теорема 4.1 показывает, что понятие дифференцируемой функции комплексного переменного введенное по полной аналогии с соответствующим понятием для функций действительной переменной, привело к существенным различиям. Поясним это на примере. Рассмотрим функцию f(z) = z Im z = yx + i y2. Частные производные от действительной u = yx и мнимой v = y2 частей
,
являются непрерывными функциями.
Для
функции действительного переменного
этого достаточно, чтобы считать ее
дифференцируемой ([2], стр. 347, теорема
3). Однако в данном случае мы видим
выполнение условий Коши – Римана
только в точке z = 0 и, следовательно,
эта функция не дифференцируема ни в
какой другой точке, хотя u(x,y), v(x,y) — функции дифференцируемые
на всей плоскости.
Соотношения Коши – Римана позволяют получить различные выражения для нахождения производных от функций комплексной переменной:
(4.2)
Формулы (4.2) позволяют достаточно просто получить таблицу производных от элементарных функций комплексного переменного. Несмотря на существенные различия в определении этих функций, эта таблица формально совпадает с таблицей производных от соответствующих функций действительного переменного. Например, исходя из первой формулы в наборе (4.2), получим
,
.
и т.д.
В некоторых случаях для проверки дифференцируемости функции удобнее пользоваться условиями Коши – Римана, выраженными через полярные координаты x = cos , y = sin .
, (4.3)
при этом производная в полярных координатах находится по формуле
. (4.4)
Для доказательства (4.3), воспользовавшись правилом дифференцирования сложной функции, имеем
.
Применив условия Коши – Римана, получим
. (4.5)
Аналогично находим
. (4.6)
Сравнивая равенства (4.5) и (4.6) получим первое из условий (4.3). Точно также устанавливается второе из этих равенств.
Пример 4.1. Доказать равенство (Ln z)’ = 1/z.
Решение. Ln z = ln |z| + i (arg z + 2k)
, k = 0, 1, 2, …
Пусть x = cos , y =
sin .
Тогда |z| =
и arg z = .
Условия (4.3) легко проверяются:.
По формуле (4.4), получаем
Можно сказать, пользуясь терминологией функций действительной переменной, что Ln z является первообразной к 1/z.
Логарифмическая и обратные тригонометрические функции комплексного переменного
Похожие презентации:
Функции комплексного переменного. Предел и непрерывность
Элементы теории функций комплексного переменного
Показательная и тригонометрические функции комплексного переменного
Функции комплексного переменного, понятие предела функции, непрерывность. Лекция 32
Дробно-линейная функция
Лекции по теории функции комплексной переменной
Лекции по теории функции комплексной переменной
Обратные тригонометрические функции
Функции комплексного переменного
Понятие обратной функции. Определение обратных тригонометрических функций
Если
e z
где
z 0
то число w называется логарифмом
числа z и обозначается
Lnz
Поскольку
u i v
e e (cos y i sin y)
z
e e
x
Arge v
В рассматриваемом случае
e z
e z
u
u ln z
v Argz
Lnz ln z i Argz ln z i arg z 2k i
Где z -число
действительное
положительное.
ln z
и
-известный из курса математики
логарифм действительной величины.
Ввиду многозначности аргумента логарифм
является
многозначной
функцией,
действительная часть которого
ln z
определяется однозначно, а мнимая содержит
неопределенное слагаемой, кратное 2П.
Главным значением логарифма
называется то значение, которое
соответствует главному значению
аргумента числа z.
В полученной формуле главное значение
логарифма будет при к=0.
Если z=x – действительное число, то
z x,
arg z 0
Поэтому
главное
значение
логарифма
действительного
положительного
числа
является числом действительным и совпадает
ln x
которое приводится в таблице логарифмов.
Будем обозначать
ln z ln z i arg z
Вычислить
1
2
3
4
ln( 1)
Ln( 1)
ln i
Lni
5
ln( 3 4 i )
6
Ln(3 4 i )
1
2
3
ln( 1) ln 1 i arg( 1) ln 1 i i
0
Ln( 1) ln 1 i arg( 1) 2k i
ln 1 i 2k i i (1 2k )
0
ln( i ) ln i i arg( i ) ln 1 i i
2
2
0
4
Ln(i ) ln i i arg( i ) 2k i
1
ln 1 i 2k i i 2k
2
2
5
ln( 3 4 i ) ln 3 4 i i arg( 3 4 i )
4
4
ln 3 4 i arctg ln 5 i arctg
3
3
2
2
6
Ln(3 4 i ) ln 3 4 i i arg( 3 4 i )
2k i
4
ln 3 4 i arctg 2k i
3
4
ln 5 i arctg 2k i
3
2
2
Обобщим свойства логарифма
комплексного аргумента:
на
1
Argz Argz1 Argz2
Ln( z1 z2 ) Lnz1 Lnz2
случай
2
z1
Arg Argz1 Argz2
z2
z1
Ln
z2
Lnz1 Lnz 2
3
Arg ( z ) n Argz
n
Ln( z ) n Lnz
n
4
1
Arg z Argz
n
n
1
Ln z Lnz
n
n
По определению логарифмической функции
e
Ln
для любого комплексного числа
Тогда
e
z
Поскольку
логарифм
функция, то функция
z Ln
–
z
тоже будет многозначной.
многозначная
Вычислить
1
2
i
i
1 i
2
1
i e
i
i Lni
e
i i 2 k i
2
e
2 k
2
k 0, 1, 2…
Главное значение
2
1 i
2 e
(1 i ) Ln 2
e
e
ln 2 2 k
i e
i
2
(1 i ) ln 2 2 k i
e
(ln 2 2 k ) i (ln 2 2 k )
(cos(ln 2) i sin(ln 2))
Определим
функции.
обратные
тригонометрические
Если sin z
то число w называется арксинусом
числа z и обозначается
ω Arcsin z
Аналогично:
Если cos z
то число w называется арккосинусом
числа z и обозначается
Если tg z
то число w называется арктангенсом
числа z и обозначается
ω Arctg z
Если ctg z
то число w называется арккотангенсом
числа z и обозначается
ω Arcctg z
Если
z sin
то
i
e e
z
2 i
i
i
e 2i z e
e
2 i
i
0
i
2i z e 1 0
Обозначим
i
e f
f 2i z f 1 0
2
Решаем это квадратное уравнение:
D 4 z 4 4 (1 z )
2
2
2i z 2 1 z
2
i
f
i z 1 z e
2
2
i Ln i z 1 z
2
Arcsin z i Ln i z 1 z
2
Т.
к. логарифм многозначен, а корень –двухзначен,
то
арксинус
тоже
будет
многозначной функцией.
Если z – действительное число,
z 1
то
1 z
2
-тоже действительная величина и
i z 1 z 1
2
Но поскольку
Lnz ln z i Argz
то все значения логарифма числа, модуль
которого равен 1, являются чисто мнимыми, а
так как в выражении для арксинуса в правой
части стоит –i, то в этом случае арксинус будет
действительной величиной.
В остальных случаях он будет мнимым.
Аналогично можно получить:
Arc cos z i Ln z 1 z
2
Если
z tg
то
i
i
e e
z
i
i
i (e e )
i
z i e i z e
i
i
e (1 i z ) e
i
e e
i
i
(1 i z )
e
2 i
1 i z
1 i z
1 i z
2i Ln
1 i z
i
1 i z
Arctgz Ln
2 1 i z
Если z – действительное число, то числа
1 i z и 1 i z
будут
сопряженными
модулями.
с
одинаковыми
Тогда все значения логарифма будут чисто
i
мнимыми.
Поскольку стоит множитель2
То
значения
арктангенса
будут
действительными. В остальных случаях они
будут мнимыми.
Аналогично можно получить:
i
z i
Arcctgz Ln
2
z i
Вычислить
1
2
Arcsin 2
Arctg( 2i )
1
Arcsin 2 i Ln(i 2 1 2 2 ) i Ln(2 i 3 )
i Ln(2 i i 3 ) i Ln (2 3 ) i
i ln( 2 3 ) i 2k i
2
2
i ln( 2 3 ) 2k
2
i
1 2 i2
Arctg( 2i ) Ln
2
2
1 2 i
i
i 1
1
Ln ln i 2k i
2
2 3
3
i 1
ln 2k
2 3 2
English Русский Правила
Комплексные числа — дивергентная математика
Думая о комплексных числах, большинство людей думают о сложных решениях квадратных уравнений. Однако в сложном мире есть нечто большее. В квадрате мы получаем комплексное решение, когда внутри квадратного корня есть отрицательное число. Но что еще могут дать нам мнимые числа. Другими словами, чего еще не существует. Ну, вы не можете возвести число в любую степень и получить отрицательное число.
Но что, если вы хотите решить показательное уравнение, где это было так. Тождество Эйлера — самый известный пример этого. Мы знаем, что если мы возведем e в степень pi*i, мы получим -1. Следовательно, если мы возьмем натуральный логарифм (ln) обеих сторон, мы получим pi*i = ln(-1). Это новый тип комплексных чисел: журнал отрицательных чисел. Журнал -1 был легким. Мы просто манипулировали формулой Эйлера, чтобы получить ответ pi*i. Но как насчет журнала i? Ну, манипулируя формулой Эйлера более умно, мы также получаем find ln(i). Вот как это делается:
или, мы могли бы сделать это:
Прежде всего, чтобы найти arcsin(i) и arccos(i), нужно найти общую формулу для функций arcsin и arcos, включающую комплексные числа. Для начала неплохо было бы найти общую формулу для функций синуса и косинуса, включающую мнимые числа. Используя тождество Эйлера, это можно сделать так:
92, домен состоит из всех действительных чисел.
Теперь, когда у нас есть формула для arcsinx, мы можем использовать тождество arcsinx+arccosx=pi/2, чтобы найти формулу для arccosx, не занимаясь математикой.
Теперь, используя эти две формулы, мы можем вычислить arcsin(i) и arccos(i).
Вот список формул, выведенных на этой странице:
Примечание: (Я изменил формулу arcsinx так, чтобы перед i не было отрицательного значения, как я сделал для arcsin(i).)
Эта задача очень проста. Используя приведенные выше формулы sin(x) и cos(x), мы можем легко найти sin(i) и cos(i): Очень круто, да. Косинус мнимого числа — действительное число! Доказательство того, что arcsin(x)+arccos(x)=pi/2 Что такое ln(0)? Доказательство того, что (i+x)/(i-x)=(xi-1)/(xi+1) | |
Даже Wolfram Alpha определяет ln(0) как бесконечность. Однако, используя функцию арктангенса, мы можем найти лучший ответ. Первое, что нам нужно сделать, это использовать формулы для sin(x) и cos(x), чтобы получить формулу для tan(x). Далее мы воспользуемся формулой tan(x), чтобы найти формулу для arctan(x).
Следовательно: 92iarctanx = (i-x)/(i+x), и интеграция становится намного проще.
Теперь мы подставим пределы интегрирования, чтобы получить:
Сигма-функция
Если вы не знакомы с ней, сигма-функция — это функция, которую я придумал недавно (в июне 2018 г.
). Это расширение того, что мы делали ранее на этой странице, и его можно записать в нескольких формах. Кроме того, функция имеет много интересных свойств. Вот два интегральных определения:
Теперь мы оценим приведенные выше интегралы и проделаем немного алгебры, чтобы получить сигма-функцию в виде логарифма:
Четвертая и последняя форма сигма-функции — самая крутая. Чтобы упростить логарифмическое выражение до окончательного вида, мы установим выражения внутри двух интегралов равными друг другу и проделаем немного алгебры:
Это очень здорово: вы можете написать эту функцию как 4arctan(n). Теперь, когда мы нашли число пи ранее путем интегрирования функции, мы могли бы просто подставить 1 к 4arctan(n), чтобы получить 4arctan(1), равное числу пи. Следовательно:
Что такое арктан(1)+арктан(2)+арктан(3)?
Мы знаем, что arctan(1) равно pi/4, но как насчет части arctan2+arctan3? Как мы это оцениваем? Алгебраически нам придется использовать комплексное определение arctanx, приведенное выше. Однако, прежде чем подставлять какие-либо числа, мы должны немного изменить выражение, чтобы упростить алгебру.
Теперь пришло время подставить числа и заняться алгеброй.
Насколько это круто? arctan1+arctan2+arctan3 = пи !!!
ACOS
ACOSФункция ACOS возвращает угол, выраженный в радианах, косинус которого равен X (т. е. арккосинус). Для реального ввода диапазон ACOS находится между 0 и π.
Для ввода комплексного числа Z = X + iY комплексный арккосинус определяется как ) если Y >= 0
acos(Z) = acos(B) + i alog(A + sqrt(A 2 — 1)) если Y < 0
где
A = 0,5 sqrt((X + 1) 2 + Y 2 ) + 0,5 кв. м ((X — 1) 2 + Y 2 )
B = 0,5 кв. X — 1) 2 + Y 2 )
Разделение двух формул при Y = 0 учитывает разрыв ветвления вдоль вещественной оси от -∞ до -1 и от +1 до +∞, и гарантирует, что cos(acos(Z)) равен Z.
Для справки см. формулы 4.4.37-39в Abramowitz, M. и Stegun, IA, 1964: Справочник по математическим функциям (Вашингтон: Национальное бюро стандартов).
Examples
Find the angle whose cosine is 0.707 and print the result in degrees by entering:
PRINT, 180/!PI*ACOS(0.707)
IDL prints:
45.0086
Find the complex арккосинус 2 + i и распечатайте результат, введя:
PRINT, ACOS(COMPLEX(2,1))
IDL prints:
( 0,507356, -1,46935)
См. функцию ATAN для примера визуализации комплексного арккосинуса.
Синтаксис
Результат = ACOS( X )
Возвращаемое значение
Возвращает угол, выраженный в радианах, косинус которого равен
X .9018.8.Аргументы
X
Косинус требуемого угла. Для реального ввода X должен находиться в диапазоне от -1 до +1. Если X является числом с плавающей запятой двойной точности или комплексным, результат будет того же типа.