Треугольник Паскаля — изучите и поймите его онлайн
Треугольник Паскаля имеет так много странных характеристик… Например, он связан с другими областями математики, такими как последовательность Фибоначчи, и используется в теории музыки для вычисления числа способы упорядочить набор заметок!
Давайте посмотрим на треугольник Паскаля, как его построить и его значение в биномиальных разложениях.
Что такое треугольник Паскаля?
Треугольник Паскаля равен треугольный массив чисел , названный в честь французского математика Блеза Паскаля , где каждое число представляет собой сумму двух чисел над ним. В первой строке треугольника всегда стоит единица, а во второй строке две единицы. Чтобы сформировать следующую строку, каждая соседняя пара чисел из строки выше складывается вместе , при этом 1 ставится в начале и в конце строки. Этот процесс повторяется, чтобы сформировать столько рядов, сколько необходимо.
Иллюстрация треугольника Паскаля
На приведенной выше диаграмме показаны только первые 8 рядов треугольника Паскаля, но так можно продолжать до бесконечности. Каждая строка соответствует числу n, а первая строка соответствует n = 0.
Треугольник Паскаля с соответствующими значениями n
Одним из наиболее известных применений треугольника Паскаля является решение биномиальных коэффициентов.
Треугольник Паскаля и биномиальные разложения
Биномиальные коэффициенты важны в контексте биномиальных разложений. 9n\), где x и y — константы, а n — натуральное число. Расширение приводит к полиномиальному выражению с членами \(n+1\). Члены разложения могут быть рассчитаны с использованием формулы биномиального коэффициента , которая включает в себя комбинации степеней x и y .
Биномиальный коэффициент , \(\binom{n}{k}\), это количество способов выбрать k объектов из набора n 9{n-k}\]
Биномиальные коэффициенты биномиальных разложений можно найти по следующей формуле:
\[\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\]
Однако треугольник Паскаля представляет собой массив биномиальных коэффициентов, начиная с \(n = 0\) в самом верху, поэтому Треугольник Паскаля можно использовать для нахождения биномиальных коэффициентов.
Выполнение биномиального разложения с помощью треугольника Паскаля
Как упоминалось ранее, треугольник Паскаля является полезным способом определения биномиальных коэффициентов в биномиальном разложении. 92+15x+1\)
Образцы треугольников Паскаля
Треугольник Паскаля имеет особый узор, который облегчает его построение, а не запоминание наизусть.
Как вы могли заметить на диаграмме выше, каждая строка начинается и заканчивается 1, а количество элементов в каждой строке каждый раз увеличивается на 1. Количество элементов (m) в каждой строке определяется выражением \(m = n + 1\). Итак, 7 -я -я строка (n = 6) содержит 7 элементов (1, 6, 15, 20, 15, 6, 1). Элемент можно найти, сложив вместе два элемента над ним.
Например, для третьей строки (n = 2) 2 получается прибавлением 1 + 1 из строки выше:
Этапы построения треугольника Паскаля
Для четвертой строки (n = 3) две тройки получаются от прибавления 1 + 2 сверху:
В четвертой строке (n = 3) мы добавляем 1 + 3, чтобы получить 4, 3 + 3, чтобы получить 6 и 3 + 1, чтобы получить 4:
Этот процесс можно повторять столько раз, сколько необходимо, пока не будет достигнута нужная нам строка.
Сумма строк в треугольнике Паскаля
В каждой строке число, полученное суммированием всех элементов строки, равно . Например, для строки 3 (n = 2) сумма элементов равна 1 + 2 + 1 = 4 или = 4. Это полезно, чтобы помочь нам вычислить сумму элементов для очень больших строк без необходимости построения Паскаля. треугольник Например, мы знаем, что для 20-й строки (n = 19) сумма будет равна
Последовательность Фибоначчи в треугольнике Паскаля
Последовательность Фибоначчи можно найти в треугольнике Паскаля, складывая числа по диагонали.
Иллюстрация последовательности Фибоначчи
Треугольник Паскаля – ключевые выводы
Треугольник Паскаля может быть построен, чтобы помочь нам найти биномиальные коэффициенты.
Он начинается в строке 1, с n = 0 и единственным элементом, 1.
В каждой строке количество элементов увеличивается на 1 и определяется выражением \(m = n + 1\), где m — количество элементов.
Каждая строка имеет 1 на обоих крайних значениях, а средние значения находятся путем сложения приведенных выше чисел. 9н\).
страница не найдена — Колледж Уильямс
| ’62 Центр театра и танца, ’62 Центр | ||
| Касса | 597-2425 | |
| Магазин костюмов | 597-3373 | |
| Менеджер мероприятий/помощник менеджера | 597-4808 | 597-4815 факс |
| Производство | 597-4474 факс | |
| Магазин сцен | 597-2439 | |
| ’68 Центр изучения карьеры, Мирс | 597-2311 | 597-4078 факс |
| Академические ресурсы, Парески | 597-4672 | 597-4959 факс |
| Служба поддержки инвалидов, Парески | 597-4672 | |
| Приемная, Уэстон Холл | 597-2211 | 597-4052 факс |
| Позитивные действия, Хопкинс Холл | 597-4376 | |
| Африканские исследования, Голландия | 597-2242 | 597-4222 факс |
| Американские исследования, Шапиро | 597-2074 | 597-4620 факс |
| Антропология и социология, Холландер | 597-2076 | 597-4305 факс |
| Архивы и специальные коллекции, Sawyer | 597-4200 | 597-2929 факс |
| Читальный зал | 597-4200 | |
| Искусство (История, Студия), Spencer Studio Art/Lawrence | 597-3578 | 597-3693 факс |
| Архитектурная студия, Spencer Studio Art | 597-3134 | |
| Студия фотографии, Spencer Studio Art | 597-2030 | |
| Студия печати, Spencer Studio Art | 597-2496 | |
| Скульптурная студия, Spencer Studio Art | 597-3101 | |
| Senior Studio, Spencer Studio Art | 597-3224 | |
| Видео/фотостудия, Spencer Studio Art | 597-3193 | |
| Азиатские исследования, Голландия | 597-2391 | 597-3028 факс |
| Астрономия/астрофизика, Физика Томпсона | 597-2482 | 597-3200 факс |
| Отделение легкой атлетики, физического воспитания, отдыха, Ласелл | 597-2366 | 597-4272 факс |
| Спортивный директор | 597-3511 | |
| Лодочная пристань, озеро Онота | 443-9851 | |
| Вагоны | 597-2366 | |
| Фитнес-центр | 597-3182 | |
| Хоккейная площадка Ice Line, Lansing Chapman | 597-2433 | |
| Очные занятия, Спортивный центр Чендлера | 597-3321 | |
| Физкультура | 597-2141 | |
| Мокрая линия бассейна, Спортивный центр Чендлера | 597-2419 | |
| Информация о спорте, Хопкинс-холл | 597-4982 | 597-4158 факс |
| Спортивная медицина | 597-2493 | 597-3052 факс |
| Корты для сквоша | 597-2485 | |
| Поле для гольфа Taconic | 458-3997 | |
| Биохимия и молекулярная биология, Биология Томпсона | 597-2126 | |
| Биоинформатика, геномика и протеомика, Бронфман | 597-2124 | |
| Биология, Биология Томпсона | 597-2126 | 597-3495 факс |
| Безопасность и безопасность кампуса, Хопкинс-холл | 597-4444 | 597-3512 факс |
| Карты доступа/Системы сигнализации | 597-4970/4033 | |
| Служба сопровождения, Хопкинс-холл | 597-4400 | |
| Офицеры и диспетчеры | 597-4444 | |
| Секретарь, удостоверения личности | 597-4343 | |
| Распределительный щит | 597-3131 | |
| Центр развития творческого сообщества, 66 Stetson Court | 884-0093 | |
| Центр экономики развития, 1065 Main St | 597-2148 | 597-4076 факс |
| Компьютерный зал | 597-2522 | |
| Вестибюль | 597-4383 | |
Центр экологических исследований, выпуск 1966 г. |