Арктангенс 4 3: Чему равен arctg 3 25 в градусах. Арксинус, арккосинус

Если |а|≤ 1, то уравнение sin(x)= a имеет решение: x= arcsin(a) + 2πk и
x= π — arcsin(a) + 2πk

Перепишем:

x= π — arcsin(a) + 2πk = -arcsin(a) + π(1 + 2k).

Ребята, посмотрите внимательно на два наших решения. Как думаете: можно ли их записать общей формулой? Заметим, что если перед арксинусом стоит знак «плюс», то π умножается на четное число 2πk, а если знак «минус», то множитель — нечетный 2k+1.
С учётом этого, запишем общую формула решения для уравнения sin(x)=a:

Есть три случая, в которых предпочитают записывать решения более простым способом:

sin(x)=0, то x= πk,

sin(x)=1, то x= π/2 + 2πk,

sin(x)=-1, то x= -π/2 + 2πk.

Для любого -1 ≤ а ≤ 1 выполняется равенство: arcsin(-a)=-arcsin(a).

Напишем таблицу значений косинуса наоборот и получим таблицу для арксинуса.

Примеры

1. Вычислить: arcsin(√3/2).
Решение: Пусть arcsin(√3/2)= x, тогда sin(x)= √3/2. По определению: — π/2 ≤x≤ π/2. Посмотрим значения синуса в таблице: x= π/3, т.к. sin(π/3)= √3/2 и –π/2 ≤ π/3 ≤ π/2.
Ответ: arcsin(√3/2)= π/3.

2. Вычислить: arcsin(-1/2).
Решение: Пусть arcsin(-1/2)= x, тогда sin(x)= -1/2. По определению: — π/2 ≤x≤ π/2. Посмотрим значения синуса в таблице: x= -π/6, т.к. sin(-π/6)= -1/2 и -π/2 ≤-π/6≤ π/2.
Ответ: arcsin(-1/2)=-π/6.

3. Вычислить: arcsin(0).
Решение: Пусть arcsin(0)= x, тогда sin(x)= 0. По определению: — π/2 ≤x≤ π/2. Посмотрим значения синуса в таблице: значит x= 0, т.к. sin(0)= 0 и — π/2 ≤ 0 ≤ π/2. Ответ: arcsin(0)=0.

4. Решить уравнение: sin(x) = -√2/2.
x= arcsin(-√2/2) + 2πk и x= π — arcsin(-√2/2) + 2πk.
Посмотрим в таблице значение: arcsin (-√2/2)= -π/4.
Ответ: x= -π/4 + 2πk и x= 5π/4 + 2πk.

5. Решить уравнение: sin(x) = 0.
Решение: Воспользуемся определением, тогда решение запишется в виде:
x= arcsin(0) + 2πk и x= π — arcsin(0) + 2πk. Посмотрим в таблице значение: arcsin(0)= 0.
Ответ: x= 2πk и x= π + 2πk

6. Решить уравнение: sin(x) = 3/5.
Решение: Воспользуемся определением, тогда решение запишется в виде:
x= arcsin(3/5) + 2πk и x= π — arcsin(3/5) + 2πk.
Ответ: x= (-1) n — arcsin(3/5) + πk.

7. Решить неравенство sin(x) Решение: Синус — это ордината точки числовой окружности. Значит: нам надо найти такие точки, ордината которых меньше 0.7. Нарисуем прямую y=0.7. Она пересекает числовую окружность в двух точках. Неравенству y Тогда решением неравенства будет: -π – arcsin(0.7) + 2πk

Задачи на арксинус для самостоятельного решения

Арктангенс (y = arctg x ) — это функция, обратная к тангенсу (x = tg y
tg(arctg x) = x
arctg(tg x) = x

Арктангенс обозначается так:
.

График функции арктангенс

График функции y = arctg x

График арктангенса получается из графика тангенса, если поменять местами оси абсцисс и ординат. Чтобы устранить многозначность, множество значений ограничивают интервалом , на котором функция монотонна. Такое определение называют главным значением арктангенса.

Арккотангенс, arcctg

Арккотангенс (y = arcctg x ) — это функция, обратная к котангенсу (x = ctg y ). Он имеет область определения и множество значений .
ctg(arcctg x) = x
arcctg(ctg x) = x

Арккотангенс обозначается так:
.

График функции арккотангенс

График функции y = arcctg x

График арккотангенса получается из графика котангенса, если поменять местами оси абсцисс и ординат. Чтобы устранить многозначность, область значений ограничивают интервалом , на котором функция монотонна. Такое определение называют главным значением арккотангенса.

Четность

Функция арктангенс является нечетной:
arctg(- x) = arctg(-tg arctg x) = arctg(tg(-arctg x)) = — arctg x

Функция арккотангенс не является четной или нечетной:
arcctg(- x) = arcctg(-ctg arcctg x) = arcctg(ctg(π-arcctg x)) = π — arcctg x ≠ ± arcctg x .

Свойства — экстремумы, возрастание, убывание

Функции арктангенс и арккотангенс непрерывны на своей области определения, то есть для всех x . (см. доказательство непрерывности). Основные свойства арктангенса и арккотангенса представлены в таблице.

Таблица арктангенсов и арккотангенсов

В данной таблице представлены значения арктангенсов и арккотангенсов, в градусах и радианах, при некоторых значениях аргумента.

≈ 0,5773502691896258
≈ 1,7320508075688772

Формулы

Формулы суммы и разности

при

при

при

при

при

при

Выражения через логарифм, комплексные числа

,
.

Выражения через гиперболические функции

Производные

См. Вывод производных арктангенса и арккотангенса > > >

Производные высших порядков :
Пусть . Тогда производную n-го порядка арктангенса можно представить одним из следующих способов:
;
.
Символ означает мнимую часть стоящего следом выражения.

См. Вывод производных высших порядков арктангенса и арккотангенса > > >
Там же даны формулы производных первых пяти порядков.

Аналогично для арккотангенса. Пусть . Тогда
;
.

Интегралы

Делаем подстановку x = tg t и интегрируем по частям:
;
;
;

Выразим арккотангенс через арктангенс:
.

Разложение в степенной ряд

При |x| ≤ 1 имеет место следующее разложение:
;
.

Обратные функции

Обратными к арктангенсу и арккотангенсу являются тангенс и котангенс , соответственно.

Следующие формулы справедливы на всей области определения:
tg(arctg x) = x
ctg(arcctg x) = x .

Следующие формулы справедливы только на множестве значений арктангенса и арккотангенса:
arctg(tg x) = x при
arcctg(ctg x) = x при .

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.

Ранее по программе учащиеся получили представление о решении тригонометрических уравнений, ознакомились с понятиями арккосинуса и арксинуса, примерами решений уравнений cos t = a и sin t = a. В этом видеоуроке рассмотрим решение уравнений tg x = a и ctg x = a.

В начале изучения данной темы рассмотрим уравнения tg x = 3 и tg x = — 3. Если уравнение tg x = 3 будем решать с помощью графика, то увидим, что пересечение графиков функций y = tg x и y = 3 имеет бесконечное множество решений, где x = x 1 + πk. Значение x 1 — это координата x точки пересечения графиков функций y = tg x и y = 3. Автор вводит понятие арктангенса: arctg 3 это число, tg которого равен 3, и это число принадлежит интервалу от -π/2 до π/2. Используя понятие арктангенса, решение уравнения tg x = 3 можно записать в виде x = arctg 3 + πk.

По аналогии решается уравнение tg x = — 3. По построенным графикам функций y = tg x и y = — 3 видно, что точки пересечения графиков, а следовательно, и решениями уравнений, будет x = x 2 + πk. С помощью арктангенса решение можно записать как x = arctg (- 3) + πk. На следующем рисунке увидим, что arctg (- 3) = — arctg 3.

Общее определение арктангенса выглядит следующим образом: арктангенсом а называется такое число из промежутка от -π/2 до π/2, тангенс которого равен а. Тогда решением уравнения tg x = a является x = arctg a + πk.

Автор приводит пример 1. Найти решение выражения arctg.Введем обозначения: арктангенс числа равен x, тогда tg x будет равен данному числу, где x принадлежит отрезку от -π/2 до π/2. Как в примерах в предыдущих темах, воспользуемся таблицей значений. По этой таблице тангенсу данного числа соответствует значение x = π/3. Запишем решение уравнения арктангенс заданного числа равен π/3, π/3 принадлежит и интервалу от -π/2 до π/2.

Пример 2 — вычислить арктангенс отрицательного числа. Используя равенство arctg (- a) = — arctg a, введем значение x. Аналогично примеру 2 запишем значение x, которое принадлежит отрезку от -π/2 до π/2. По таблице значений найдем, что x = π/3, следовательно, — tg x = — π/3. Ответом уравнения будет — π/3.

Рассмотрим пример 3. Решим уравнение tg x = 1. Запишем, что x = arctg 1 + πk. В таблице значению tg 1 соответствует значение x = π/4, следовательно, arctg 1 = π/4. Подставим это значение в исходную формулу x и запишем ответ x = π/4 + πk.

Пример 4: вычислить tg x = — 4,1. В данном случае x = arctg (- 4,1) + πk. Т.к. найти значение arctg в данном случае нет возможности, ответ будет выглядеть как x = arctg (- 4,1) + πk.

В примере 5 рассматривается решение неравенства tg x > 1. Для решения построим графики функций y = tg x и y = 1. Как видно на рисунке, эти графики пересекаются в точках x = π/4 + πk. Т.к. в данном случае tg x > 1, на графике выделим область тангенсоиды, которая находится выше графика y = 1, где x принадлежит интервалу от π/4 до π/2. Ответ запишем как π/4 + πk

Далее рассмотрим уравнение ctg x = a. На рисунке изображены графики функций у = ctg x, y = a, y = — a, которые имеют множество точек пересечения. Решения можно записать как x = x 1 + πk, где x 1 = arcctg a и x = x 2 + πk, где x 2 = arcctg (- a). Отмечено, что x 2 = π — x 1 . Из этого следует равенство arcctg (- a) = π — arcctg a. Далее дается определение арккотангенса: арккотангенсом а называется такое число из промежутка от 0 до π, котангенс которого равен а. Решение уравнения сtg x = a записывается в виде: x = arcctg a + πk.

В конце видеоурока делается еще один важный вывод — выражение ctg x = a можно записать в виде tg x = 1/a, при условии, что a не равно нулю.

ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА:

Рассмотрим решение уравнений tg х = 3 и tg х= — 3. Решая первое уравнение графически, мы видим, что графики функций у = tg х и у = 3 имеют бесконечно много точек пересечения, абсциссы которых запишем в виде

х = х 1 + πk, где х 1 — это абсцисса точки пересечения прямой у = 3 с главной ветвью тангенсоиды (рис.1), для которой было придумано обозначение

arctg 3 (арктангенс трех).

Как же понимать arctg 3?

Это число, тангенс которого равен 3 и это число принадлежит интервалу (- ;). Тогда все корни уравнения tg х = 3 можно записать формулой х = arctg 3+πk.

Аналогично решение уравнения tg х = — 3 можно записать в виде х = х 2 + πk, где х 2 — это абсцисса точки пересечения прямой у = — 3 с главной ветвью тангенсоиды (рис.1), для которой было придумано обозначение arctg(-3) (арктангенс минус трех). Тогда все корни уравнения можно записать формулой: х = arctg(-3)+ πk. По рисунку видно, что arctg(- 3)= — arctg 3.

Сформулируем определение арктангенса. Арктангенсом а называется такое число из промежутка (-;), тангенс которого равен а.

Часто используют равенство: arctg(-а) = -arctg а, которое справедливо для любого а.

Зная определение арктангенса, сделаем общий вывод о решении уравнения

tg х= a: уравнение tg х = a имеет решение х = arctg а + πk.

Рассмотрим примеры.

ПРИМЕР 1.Вычислить arctg.

Решение. Пусть arctg = х, тогда tgх = и хϵ (- ;). Показать таблицу значений Следовательно, х =, так как tg = и ϵ (- ;).

Итак, arctg =.

ПРИМЕР 2. Вычислить arctg (-).

Решение. Используя равенство arctg(- а) = — arctg а, запишем:

arctg(-) = — arctg . Пусть — arctg = х, тогда — tgх = и хϵ (- ;). Следовательно, х =, так как tg = и ϵ (- ;). Показать таблицу значений

Значит — arctg=- tgх= — .

ПРИМЕР 3. Решить уравнение tgх = 1.

1. Запишем формулу решений: х = arctg 1 + πk.

2. Найдем значение арктангенса

так как tg = . Показать таблицу значений

Значит arctg1= .

3. Поставим найденное значение в формулу решений:

ПРИМЕР 4. Решить уравнение tgх = — 4,1(тангенс икс равно минус четыре целые одна десятая).

Решение. Запишем формулу решений: х = arctg (- 4,1) + πk.

Вычислить значение арктангенса мы не можем, поэтому решение уравнения оставим в полученном виде.

ПРИМЕР 5. Решить неравенство tgх 1.

Решение. Будем решать графически.

1. Построим тангенсоиду

у= tgх и прямую у = 1(рис.2). Они пересекаются в точках вида х = + πk.

2. Выделим промежуток оси икс, на котором главная ветвь тангенсоиды расположена выше прямой у = 1, так как по условию tgх 1. Это интервал (;).

3. Используем периодичность функции.

Своийство 2. у=tg х — периодическая функция с основным периодом π.

Учитывая периодичность функции у= tgх, запишем ответ:

(;). Ответ можно записать в виде двойного неравенства:

Перейдем к уравнению ctg х = a. Представим графическую иллюстрацию решения уравнения для положительного и отрицательного а (рис.3).

Графики функций у= ctg х и у =а а также

у= ctg х и у=-а

имеют бесконечно много общих точек, абсциссы которых имеют вид:

х = х 1 + , где х 1 — это абсцисса точки пересечения прямой у =а с главной ветвью тангенсоиды и

х 1 = arcсtg а;

х = х 2 + , где х 2 — это абсцисса точки пересечения прямой

у = — а с главной ветвью тангенсоиды и х 2 = arcсtg (- а).

Заметим, что х 2 = π — х 1 . Значит, запишем важное равенство:

arcсtg (-а) = π — arcсtg а.

Сформулируем определение: арккотангенсом а называется такое число из интервала (0;π), котангенс которого равен а.

Решение уравнения ctg х = a записываются в виде: х = arcсtg а + .

Обратим внимание, что уравнение ctg х = a можно преобразовать к виду

tg х = , за исключение, когда а = 0.

Арксинус (y = arcsin x ) — это функция, обратная к синусу (x = sin y -1 ≤ x ≤ 1 и множество значений -π/2 ≤ y ≤ π/2 .
sin(arcsin x) = x
arcsin(sin x) = x

Арксинус иногда обозначают так:
.

График функции арксинус

График функции y = arcsin x

График арксинуса получается из графика синуса, если поменять местами оси абсцисс и ординат. Чтобы устранить многозначность, область значений ограничивают интервалом , на котором функция монотонна. Такое определение называют главным значением арксинуса.

Арккосинус, arccos

Арккосинус (y = arccos x ) — это функция, обратная к косинусу (x = cos y ). Он имеет область определения -1 ≤ x ≤ 1 и множество значений 0 ≤ y ≤ π .
cos(arccos x) = x
arccos(cos x) = x

Арккосинус иногда обозначают так:
.

График функции арккосинус

График функции y = arccos x

График арккосинуса получается из графика косинуса, если поменять местами оси абсцисс и ординат. Чтобы устранить многозначность, область значений ограничивают интервалом , на котором функция монотонна. Такое определение называют главным значением арккосинуса.

Четность

Функция арксинус является нечетной:
arcsin(- x) = arcsin(-sin arcsin x) = arcsin(sin(-arcsin x)) = — arcsin x

Функция арккосинус не является четной или нечетной:
arccos(- x) = arccos(-cos arccos x) = arccos(cos(π-arccos x)) = π — arccos x ≠ ± arccos x

Свойства — экстремумы, возрастание, убывание

Функции арксинус и арккосинус непрерывны на своей области определения (см. доказательство непрерывности). Основные свойства арксинуса и арккосинуса представлены в таблице.

Таблица арксинусов и арккосинусов

В данной таблице представлены значения арксинусов и арккосинусов, в градусах и радианах, при некоторых значениях аргумента.

≈ 0,7071067811865476
≈ 0,8660254037844386

Формулы

Формулы суммы и разности

при или

при и

при и

при или

при и

при и

при

при

при

при

Выражения через логарифм, комплексные числа

Выражения через гиперболические функции

Производные

;
.
См. Вывод производных арксинуса и арккосинуса > > >

Производные высших порядков :
,
где — многочлен степени . Он определяется по формулам:
;
;
.

См. Вывод производных высших порядков арксинуса и арккосинуса > > >

Интегралы

Делаем подстановку x = sin t . Интегрируем по частям, учитывая что -π/2 ≤ t ≤ π/2 , cos t ≥ 0 :
.

Выразим арккосинус через арксинус:
.

Разложение в ряд

При |x| 1 имеет место следующее разложение:
;
.

Обратные функции

Обратными к арксинусу и арккосинусу являются синус и косинус , соответственно.

Следующие формулы справедливы на всей области определения:
sin(arcsin x) = x
cos(arccos x) = x .

Следующие формулы справедливы только на множестве значений арксинуса и арккосинуса:
arcsin(sin x) = x при
arccos(cos x) = x при .

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.

Опорная таблица по алгебре и началам математического анализа по теме» Арксинус ,арккосинус,арктангенс, арккотангенс «

Арксинусом числа а называется такое число из отрезка sin которого[-; ] равен а.

агсsin а = α ,если sin α = а и α ϵ [-; ]; а ϵ [ -1;1].

II. 1) у= агсsin х функция

обратная функции у=sin х, в

интервале [-; ]

2)D (arcsin)= [ -1;1].

3) Е (arcsin)= [-; ]

4) Функция возрастает на D(y)

5) Функция нечетная

arcsin(-a)= — arcsin a

III. Примеры: arcsin √2/2 = π/4, т. к.

П/4 ϵ [-; ] и sin π /4=√2/2

arcsin ( — )=- arcsin ( )=- π/6

у=arcsin а – нечетная функция.

I. у=cos х убывает на отрезке от [0;π] и принимает значение [-1;1]

Аркскосинусом числа а называется такое число из отрезка [0;π] cos которого равен а.

arccos a = α , если cos α = a и α ϵ [0;π] ;׀ ‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌׀ а ≤ 1

II. . 1) у= arсcos х функция

обратная функции у= cos х, в

интервале [0;π]

2)D (arccos)= [ -1;1].

3) Е (arccos)= [0;π]

4) Функция убывает на D(y)

5) Функция ни нечетная и ни четная

arccos(-a)=π- arccos a

III. Примеры: arccos√3/2 = π/6, т.к.

cos π/6=√3/2 и π/6 ϵ [0;π]

аrсcos (-√2/2) = π- аrсcos (√2/2)=

= π- π/4 = 3/4 π

I. у=tg х на интервале (-; )

возрастает и принимает значение из R.

Арктангенсом числа а называется такое число из интервала (-; )

которого равен а.

arctg a = α, если tg α= а, где

— π /2< α< π /2

II. 1) у= агсtg х функция

обратная функции у= tg х, в

интервале (-; )

2)D(агсtg)= R.

3) Е(агсtg )= (-; )

4) Функция возрастает на D(y)

5) Функция нечетная

arctg (-a)= — arctg a

III. Примеры: arctg 1 = π/4, т.к.

tg π/4 = 1; π/4 ϵ (-;)

аrctg(-√3) = — π/3, т.к.

tg (- π/3) = -√3; — π/3 ϵ (-;)

I. у= сtg х на интервале (0;π) убывает и принимает значение из R.

Арккотангенсом числа а называется такое число из отрезка (0;π) ctg которого равен а.

arсctg a = α, если ctg α= а, где α ϵ

(0;π)

II. 1) у = агссtg х функция

обратная функции у= сtg х, в

интервале (0;π)

2)D(агссtg)= R.

3) Е(агссtg )= (0;π)

4) Функция убывает на D(y)

5) Функция ни нечетная и ни четная

arcсtg (-a)= π- arcсtg a

III. Примеры: arcсtg 1/√3 = π/3, т.к.

сtg π/3 = 1/√3; π/3 ϵ (0;π)

аrcсtg (-√3) = 5 π/6, т.к.

сtg (5 π/6) = -√3; 5 π/6 ϵ (0;π)

Информио

Неверный логин или пароль

Все поля являются обязательными для заполнения

Сервис «Комментарии» — это возможность для всех наших читателей дополнить опубликованный на сайте материал фактами или выразить свое мнение по затрагиваемой материалом теме.

Редакция Информио.ру оставляет за собой право удалить комментарий пользователя без предупреждения и объяснения причин. Однако этого, скорее всего, не произойдет, если Вы будете придерживаться следующих правил:

1. Не стоит размещать бессодержательные сообщения, не несущие смысловой нагрузки.
2. Не разрешается публикация комментариев, написанных полностью или частично в режиме Caps Lock (Заглавными буквами). Запрещается использование нецензурных выражений и ругательств, способных оскорбить честь и достоинство, а также национальные и религиозные чувства людей (на любом языке, в любой кодировке, в любой части сообщения — заголовке, тексте, подписи и пр.)
3. Запрещается пропаганда употребления наркотиков и спиртных напитков. Например, обсуждать преимущества употребления того или иного вида наркотиков; утверждать, что они якобы безвредны для здоровья.
4. Запрещается обсуждать способы изготовления, а также места и способы распространения наркотиков, оружия и взрывчатых веществ.
5. Запрещается размещение сообщений, направленных на разжигание социальной, национальной, половой и религиозной ненависти и нетерпимости в любых формах.
6. Запрещается размещение сообщений, прямо либо косвенно призывающих к нарушению законодательства РФ. Например: не платить налоги, не служить в армии, саботировать работу городских служб и т.д.
7. Запрещается использование в качестве аватара фотографии эротического характера, изображения с зарегистрированным товарным знаком и фотоснимки с узнаваемым изображением известных людей. Редакция оставляет за собой право удалять аватары без предупреждения и объяснения причин.
8. Запрещается публикация комментариев, содержащих личные оскорбления собеседника по форуму, комментатора, чье мнение приводится в статье, а также журналиста.

Претензии к качеству материалов, заголовкам, работе журналистов и СМИ в целом присылайте на адрес

Информация доступна только для зарегистрированных пользователей.

Уважаемые коллеги. Убедительная просьба быть внимательнее при оформлении заявки. На основании заполненной формы оформляется электронное свидетельство. В случае неверно указанных данных организация ответственности не несёт.

Инженерный калькулятор. Профессиональный онлайн-калькулятор по расчету тригонометрических функций.

Уравнение tgx = a — презентация онлайн

2. Арктангенс.

3. АРКТАНГЕНС ЧИСЛА

4. АРКТАНГЕНС ЧИСЛА Основные формулы

10. Тренируемся решать:

11. Тренируемся решать:

12. Уравнение tgx=a

15. Уравнение tgx=a

— arctan (4/3) — Solumaths

Описание:

Функция arctan позволяет вычислять арктангенс числа. Функция арктангенса — это функция, обратная функции касательной.

Описание:

arctan функция является обратной функцией касательная функция, Он вычисляет арктангенс числа онлайн .

1. Расчет арктангенса

Чтобы вычислить арктангенс числа, просто введите число и примените arctan функция.

Например, чтобы вычислить арктангенс следующего числа 10, введите arctan (`10`), или прямо 10, если Кнопка arctan уже появляется, возвращается результат 1.4711276743.2) `.

2. Пределы арктангенса
Пределы арктангенса существуют в `-oo` (минус бесконечность) и` + oo` (плюс бесконечность):

• Функция арктангенса имеет ограничение в `-oo`, которое равно` pi / 2`. 2)`

  ---

  Первоначальный арктангенс:

  Калькулятор первообразной функции арктангенса позволяет вычислить первообразную.2) `

  ---

  Предельный арктангенс:

  Калькулятор пределов позволяет вычислять пределы функции арктангенса.

  Предел для arctan (x) равен limit_calculator (`» arctan (x) `)

  ---

  Арктангенс обратной функции:

  Функция, обратная арктангенсу , — это тангенциальная функция, отмеченная как tan.

  ---

  ---

  Графический арктангенс:

  Графический калькулятор может строить функцию арктангенса в интервале ее определения.

  ---

  ---

  Свойство арктангенса функции:

  Функция арктангенса — это нечетная функция. 2 +3} \ right) \ right) $ — Обмен стеками по математике

  Сеть обмена стеков

  Сеть Stack Exchange состоит из 178 сообществ вопросов и ответов, включая Stack Overflow, крупнейшее и пользующееся наибольшим доверием онлайн-сообщество, где разработчики могут учиться, делиться своими знаниями и строить свою карьеру.

  Посетить Stack Exchange
  2. 0
  3. +0
  6. Авторизоваться Зарегистрироваться

  Mathematics Stack Exchange — это сайт вопросов и ответов для людей, изучающих математику на любом уровне, и профессионалов в смежных областях.Регистрация займет всего минуту.

  Зарегистрируйтесь, чтобы присоединиться к этому сообществу

  Кто угодно может задать вопрос

  Кто угодно может ответить

  Лучшие ответы голосуются и поднимаются наверх

  Спросил 3 года, 2 месяца назад

  Просмотрено 144 раза

  $ \ begingroup $

  На этот вопрос уже есть ответы здесь :

  Закрыт 3 года назад.2} {3} +1} \ right) \ right) $$ и пробовал использовать: $$ \ arctan x- \ arctan y = \ arctan \ left (\ dfrac {x-y} {1 + xy} \ right) $$, но этот трюк здесь не помогает. Как же тогда решить эту проблему?

  Синий

  11.9k1111 золотых знаков9898 серебряных знаков204204 бронзовых знака

  задан 21 мая ’18 в 10: 492018-05-21 10:49

  Лучник

  5,67033 золотых знака2727 серебряных знаков6767 бронзовых знаков

  $ \ endgroup $ 0 $ \ begingroup $

  Вы на правильном пути.2 + 3} \ right) = \ arctan \ left (r + \ frac {1} {2} \ right) — \ arctan \ left (r- \ frac {1} {2} \ right) \\ = \ arctan \ left ((r + 1) — \ frac {1} {2} \ right) — \ arctan \ left (r- \ frac {1} {2} \ right). $$ Вы можете взять это отсюда?

  Создан 21 мая 2018, в 11: 142018-05-21 11:14

  Роберт З. Роберт З

  13k1212 золотых знаков9090 серебряных знаков171171 бронзовый знак

  $ \ endgroup $ 2 Mathematics Stack Exchange лучше всего работает с включенным JavaScript

  Ваша конфиденциальность

  Нажимая «Принять все файлы cookie», вы соглашаетесь с тем, что Stack Exchange может хранить файлы cookie на вашем устройстве и раскрывать информацию в соответствии с нашей Политикой в ​​отношении файлов cookie.

  Принимать все файлы cookie Настроить параметры

  numpy.arctan — NumPy v1.21 Manual

  Тригонометрический арктангенс, поэлементно.

  Обратное значение tan, так что если y = tan (x) , то x = arctan (y) .

  Параметры

  x array_like

  из ndarray, None или кортеж из ndarray и None, необязательно

  Местоположение, в котором сохраняется результат. Если предусмотрено, оно должно иметь форма, которой транслируются входы. Если не указано или Нет, возвращается только что выделенный массив. Кортеж (возможно только как аргумент ключевого слова) должен иметь длину, равную количеству выходов.

  , где array_like, необязательно

  Это условие транслируется по входу. В местах, где Условие равно True, массив out будет установлен на результат ufunc. В другом месте массив из сохранит свое исходное значение. Обратите внимание, что если неинициализированный массив из создается по умолчанию out = None , местоположения в нем, где условие False будет оставаться неинициализированным.

  ** kwargs

  Для других аргументов, содержащих только ключевые слова, см. ufunc docs.

  Возвращает

  out ndarray или скаляр

  Out имеет ту же форму, что и x . Его настоящая часть находится в [-pi / 2, pi / 2] ( arctan (+/- inf) возвращает +/- pi / 2 ). Это скаляр, если x — скаляр.

  См. Также

  arctan2

  «четырехквадрантный» арктанган угла, образованный ( x , y ) и положительной осью x .

  угол

  Аргумент комплексных значений.

  Банкноты

  arctan — многозначная функция: для каждых x существует бесконечно много чисел z таких, что tan ( z ) = x . Соглашение состоит в том, чтобы вернуться угол z , действительная часть которого лежит в [-pi / 2, pi / 2].

  Для типов входных данных с действительным знаком arctan всегда возвращает действительный вывод.{-1}.

  Список литературы

  Абрамовиц М., Стегун И. А., Справочник по математическим функциям , 10-е издание, Нью-Йорк: Довер, 1964, стр. 79. http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/

  Примеры

  Мы ожидаем, что арктанган 0 будет 0, а 1 — пи / 4:

   >>> np.arctan ([0, 1])
  массив ([0., 0.78539816])
   

   >>> np.pi / 4
  0,78539816339744828
   

  Площадь участка:

   >>> import matplotlib.pyplot как plt
  >>> x = np.linspace (-10, 10)
  >>> plt.plot (x, np.arctan (x))
  >>> plt.axis ('плотно')
  >>> plt.show ()
   

  прямоугольных треугольников

  прямоугольных треугольников

  Давайте снова согласимся со стандартным соглашением для обозначения частей прямоугольного треугольника. Обозначим прямой угол C , а гипотенузу c. Пусть A и B обозначают два других угла, а a и b стороны, противоположные им, соответственно.

  Решение прямоугольных треугольников

  Мы можем использовать теорему Пифагора и свойства синусов, косинусов и касательных, чтобы решить треугольник, то есть найти неизвестные части в терминах известных частей.
  • Теорема Пифагора: a ² + b ² = c ² .
  • Синусы: sin A = a / c, sin B = b / c.
  • Косинусы: cos A = b / c, cos B = a / c.
  • Касательные: tan A = a / b, tan B = b / a.
  Давайте сначала рассмотрим некоторые случаи, когда мы не знаем всех сторон. Предположим, мы не знаем гипотенузу, но знаем две другие стороны. Теорема Пифагора даст нам гипотенузу. Например, если a = 10 и b = 24, то c ² = a ² + b ² = 10 ² + 24 ² = 100 + 576 = 676.Квадратный корень из 676 равен 26, поэтому c = 26 (неплохо привести примеры, когда квадратные корни получаются из целых чисел; в жизни обычно этого не происходит).

  Теперь предположим, что мы знаем гипотенузу и одну сторону, но должны найти другую. Например, если b = 119 и c = 169, то a ² = c ² — b ² = 169 ² — 119 ² = 28561 — 14161 = 14400, а квадратный корень из 14400 составляет 120, поэтому a = 120.

  Мы можем знать только одну сторону, но мы также знаем угол. Например, если сторона a = 15 и угол A = 41 °, мы можем использовать синус и касательную, чтобы найти гипотенузу и другую сторону. Поскольку sin A = a / c, мы знаем, что c = a / sin A = 15 / sin 41. Используя калькулятор, это 15 / 0,6561 = 22,864. Кроме того, tan A = a / b, , поэтому b = a / tan A = 15 / tan 41 = 15/0.8693 = 17,256. Используете ли вы синус, косинус или тангенс, зависит от того, какую сторону и угол вы знаете.

  Обратные триггерные функции: арксинус, арккосинус и арктангенс

  Теперь давайте посмотрим на проблему определения углов, если вы знаете стороны. Опять же, вы используете триггерные функции, но в обратном порядке. Вот пример. Предположим, a = 12,3 и b = 50,1. Тогда tan A = a / b = 12,3 / 50,1 = 0,2455. Раньше, когда люди использовали таблицы тригонометрических функций, они просто смотрели в таблицу касательных, чтобы увидеть, какой угол имеет тангенс 0.2455. На калькуляторе мы используем обратные триггерные функции, называемые арктангенсом, арксинусом и арккосинусом. Обычно на калькуляторе есть кнопка с надписью inv или arc, которую вы нажимаете перед нажатием соответствующей триггерной кнопки. Арктангенс 0,2455 равен 13,79, поэтому угол A равен 13,79 °. (Если хотите, можете преобразовать 0,79 градуса в минуты и секунды.)

  Вот и все.

  Остальные три тригонометрические функции: котангенс, секанс и косеканс

  Для большинства целей достаточно трех триггерных функций: синуса, косинуса и тангенса.Однако бывают случаи, когда нужны другие. В исчислении часто используется секанс. Вы можете спросить: «Почему шесть триггерных функций?» Это своего рода симметрия. Есть шесть способов сделать отношения двух сторон прямоугольного треугольника, и это дает шесть функций:
  1. sin A = кондиционер (opp / hyp)
  2. cos A = b / c (прил / гип)
  3. желто-коричневый A = a / b (opp / adj)
  4. детская кроватка A = b / a (adj / opp)
  5. сек A = c / b (hyp / adj)
  6. csc A = c / a (hyp / opp)
  Из списка видно, что котангенс (сокращенно cot или иногда ctn) является обратной величиной тангенса, секанс (сокращенно sec) является обратной величиной косинуса, а косеканс (сокращенно csc или иногда cosec) является обратной величиной синуса.Они в значительной степени избыточны, но стоит знать, что они из себя представляют, на случай, если вы с ними столкнетесь. Обратите внимание, что котангенсы — это касательные к дополнительным углам, что означает, что кроватка A = tan B, и косеканс являются секущими дополнительных углов, и это означает, что csc A = sec B.

  Эти три другие функции также можно интерпретировать с помощью круговой диаграммы.

  Мы рассматриваем угол AOB. Напомним, что его касательной является прямая AC. По симметрии тангенс угла FOB является линией FG, , но FOB является дополнительным углом AOB, , следовательно, котангенс AOB равен FG.

  Затем, чтобы интерпретировать секущие геометрически. Угол AOB появляется в треугольнике COA как угол AOC, , поэтому sec AOB = sec AOC = hyp / adj = OC / OA = OC. Вот и все — секущая — это линия от центра окружности до касательной AC. Причина, по которой он называется секущей, заключается в том, что она разрезает круг, а слово «секанс» происходит от латинского слова, означающего «разрезание».

  Аналогично, косеканс угла AOB — это линия OG от центра окружности до линии котангенса FG.

  Упражнения

  Примечание: как обычно, во всех упражнениях на прямоугольные треугольники c обозначает гипотенузу, a и b для перпендикулярных сторон и A и B для углов, противоположных a и b соответственно.

  26. В каждом из следующих прямоугольных треугольников, у которых даны две стороны, вычислите sin, cos и tan углов A, и B. Выразите результаты в виде общих дробей.
  (i). c = 41, a = 9.
  (ii). c = 37, a = 35.
  (iii). a = 24, b = 7.

  31. В прямоугольном треугольнике c = 6 футов 3 дюйма и загар B = 1.2. Найдите a, и b.

  34. a = 1,2, b = 2,3. Найдите A, и c.

  42. a = 10,11, b = 5,14. Найдите B, и c.

  В следующих нескольких задачах треугольники не являются прямоугольными, но вы можете решить их, используя то, что вы знаете о прямоугольных треугольниках.

  61. В наклонном треугольнике ABC, A = 30 °, B = 45 °, а длина перпендикуляра от C до AB составляет 12 дюймов. Найдите длину AB.

  67. Если сторона равностороннего треугольника равна a, найдите высоту и радиусы описанных и вписанных окружностей.

  202. От вершины здания высотой 50 футов углы возвышения и понижения верха и низа другого здания составляют 19 ° 41 ‘и 26 ° 34’ соответственно.Какая высота и расстояние до второго дома.

  207. От вершины маяка высотой 175 футов углы падения верха и низа флагштока составляют 23 ° 17 ‘и 42 ° 38’ соответственно. Какой высоты у шеста?

  214. В двух точках на расстоянии 65 футов на одной стороне дерева и на одной линии с ним углы подъема вершины дерева составляют 21 ° 19 ‘и 16 ° 20’. Найдите высоту дерева.

  215. Когда воздушный шар проходит между двумя точками A, и B, расположенными на расстоянии 2 миль друг от друга, углы подъема воздушного шара в этих точках составляют 27 ° 19 ‘и 41 ° 45’ соответственно. Найдите высоту воздушного шара. Возьмем A и B на одном уровне.

  233. Вершина маяка находится на высоте 230 футов над уровнем моря. Как далеко находится объект, который находится только «на горизонте»? [Предположим, что Земля — ​​это сфера радиусом 3956 миль.]

  234. Какая должна быть высота наблюдателя, чтобы он мог видеть объект на Земле в тридцати милях от него? Предположим, что Земля представляет собой гладкую сферу.

  На каждой из фигур, упомянутых в следующих нескольких задачах, объект должен выразить свою площадь (i) через радиус R, то есть радиус описанной окружности, (ii) через apothem r, , то есть радиус вписанной окружности, и (iii) относительно стороны a.

  251. Равносторонний треугольник. [См. Проблему 67 выше.]
  252. пл.
  253. Правильный пятиугольник.
  254. Правильный шестигранник.
  255. Правильный восьмиугольник.

  Подсказки

  26. Вам нужны только sin, cos и tan углов A и B ; сами углы не нужны.Итак, вам нужна только третья сторона, которую вы можете вычислить с помощью теоремы Пифагора, а затем вычислить отношения двух сторон.

  31. Вы знаете c и tan B. К сожалению, tan B — это соотношение двух сторон, которых вы не знаете, а именно b / a. Эту проблему можно решить несколькими способами. Вот два.

  Метод 1. Возьмите уравнение 1.2 = tan B = b / a, , чтобы получить связь между a и b, а именно b = 1.2 а. Теорема Пифагора тогда дает 6,25 ² = a ² + 1,44 a ² , из которых вы можете определить a, , а затем найти b.

  Метод 2. Из tan B, вы можете определить угол B (используйте arctan). Отсюда вы можете найти cos B, , а затем a, , и вы можете найти sin B, , а затем b.

  34. Поскольку у вас есть a и b, вы можете использовать касательные, чтобы найти A , и теорему Пифагора, чтобы найти c.

  42. Найдите B по касательным и c по теореме Пифагора.

  61. Начните с рисования рисунка. Хотя треугольник ABC не является прямоугольным, он разбивается на два прямоугольных треугольника. Вы можете использовать касательные, чтобы найти две части стороны AB и сложить их.

  67. Равносторонний треугольник ABC имеет три угла при вершине 60 °. Отбросьте перпендикуляр из одной вершины, скажем, вершины C, , и вы получите два конгруэнтных прямоугольных треугольника ACF и BCF, , и вы можете найти длину этого перпендикуляра, то есть высоту равностороннего треугольника. Описанный круг — это круг, проходящий через три вершины, а вписанный круг — это круг, касающийся всех трех сторон.Отбрасывая перпендикуляры из другой вершины равностороннего треугольника и используя триггер на полученных маленьких треугольниках, вы можете найти радиусы этих двух окружностей.

  202. Поскольку вы знаете высоту своего здания и угол наклона основания другого здания, вы можете определить, как далеко оно находится. Тогда угол подъема к вершине другого здания покажет вам, насколько оно выше вашего.

  207. Подсказка похожа на 202. Видите ли, триггер может быть полезен, если вы одинокий смотритель маяка и не знаете, что делать!

  214. Это полезная задача. Вы можете использовать его, чтобы найти высоты недоступных вещей. Нарисуйте фигуру. Есть два неизвестных: высота дерева x и расстояние x ближайшей точки к дереву. Дальнейшая точка будет тогда x + 65 футов от дерева. Используя тангенсы известных углов, вы можете составить два уравнения, которые можно решить, чтобы определить y, и x.

  215. Это похоже на 214, но в этой задаче баллон находится между двумя точками. Нарисуйте фигуру. Определитесь с вашими переменными. Составьте уравнения и решите их.

  233. Очень интересная задача. На протяжении веков для вычисления радиуса Земли использовались различные обратные величины. В этой задаче мы предполагаем, что знаем о Земле. Все, что вам здесь нужно, это теорема Пифагора. Одна сторона прямоугольного треугольника равна r, — радиус Земли, а гипотенуза — r + h , где h — высота маяка.Теорема Пифагора о третьей стороне треугольника.

  234. Задайте эту задачу аналогично 233, но известны разные переменные.

  251–255. Вы можете сделать все это сразу, оставив вычисления напоследок. Пусть n — количество сторон правильного многоугольника. Проведите линии от центра фигуры к вершинам и серединам сторон. У вас получится 2 n маленьких треугольников. Каждый из них представляет собой прямоугольный треугольник с гипотенузой R, с одним катетом r, и другим катетом a /2.Угол в центре составляет 360 ° / (2 n ) = 180 ° / n. Используя тригонометрию, вы можете легко написать уравнения, относящиеся к площади правильного многоугольника, как требуется.

  Ответы

  26. (i). b = 40. Итак sin A = cos B = 9/41, cos A = sin B = 40/41, tan A = 9/40, tan B = 40 / 9.
  (ii). b = 12. Итак sin A = cos B = 35/37, cos A = sin B = 12/37, tan A = 35/12, tan B = 12 / 37.
  (iii). c = 25. Итак sin A = cos B = 24/25, cos A = sin B = 7/25, tan A = 24/7, tan B = 7 / 24.

  31. a = 4 фута, b = 4,8 фута, около 4 футов 10 дюймов.

  34. A = 27,55 °, около 28 °. с = 2,6.

  42. B = 26,95 ° или 26 ° 57 ‘. с = 11.3.

  61. AB = 12 / tan A + 12 / tan B = 12 (√3 + 1) дюймов, около 33 дюймов.

  67. ( a √3) / 2, ( a √3) / 3 и ( a √3) / 6 соответственно.

  202. Расстояние = 50 / тангаж 26 ° 34 ‘= 100 футов. Высота = 50 + 100 см. 19 ° 41 ‘= 85,8’ = 85’9 дюймов.

  207. Расстояние = 175 / тангаж 42 ° 38 ‘= 190 футов. Рост = 175 — 190 см. 23 ° 17 ‘= 93.23 ‘= 9’3 «.

  214. Два уравнения:

  0,293052 = загар 16 ° 20 ‘= ч / (65 + x ), и
  0,3

  = загар 21 ° 19 ‘= h / x .

  где x — расстояние от ближайшей точки до основания дерева. Вы можете решить их одновременно для x и h.
  Расстояние x = 196 футов. Высота х = 76,5 футов.

  215. Если h — высота воздушного шара, а x — расстояние по земле от A до точки непосредственно под воздушным шаром, то два уравнения равны

  tan 27 ° 19 ‘= h / x , и
  tan 41 ° 45 ‘= h / (2- x )
  Вы можете решить эту пару уравнений для x и h.
  Высота = 0,654 мили = 3455 футов.

  233. Мелочь больше 18.5 миль.

  234. 600 футов.

  251–255. Площадь обычного n -угольника равна A = nra /2. Чтобы найти A в терминах R, r, или a, используйте отношения

  cos 180 & deg / n = r / R, и
  tan 180 & deg / n = a / (2 r ).
  Затем
  (i) в терминах R, площадь A = nR ² cos 180 ° / n sin 180 ° / n ,
  (ii) в терминах r, площадь A = nr ² tan 180 & deg / n , и
  (iii) в терминах a, площадь A = na ² / (4tan 180 & deg / n ).

  Проблема	форма	(i) R	(ii) r	(iii) a
  251	треугольник	(3 R 2 √3) / 4	3 r 2 √3	( a 2 √3) / 4
  252	квадрат	2 R 2	4 r 2	a 2
  253	пятиугольник	(5 R 2 sin 108 °) / 2	5 r 2 желто-коричневый 36 °	(5 a 2 загар 54 °) / 4
  254	шестигранник	(3 R 2 √3) / 2	2 r 2 √3	(3 a 2 √3) / 2
  255	восьмиугольник	2 R 2 √2	8 r 2 загар 22 ° 30 ‘	2 a 2 tan 67 ° 30 ‘

  Отступление от пифагоровых троек

  Это не имеет отношения к тригонометрии, но интересно.Вы, наверное, заметили, как Кроули часто выбирал две стороны прямоугольного треугольника как целые числа, а третья также оказывается целым числом. Как и в задаче 26, где у всех трех прямоугольных треугольников стороны имеют целые числа, а именно 9:40:41, 12:35:37 и 7:24:25. Кроме того, в начале этой страницы был треугольник 5:12:13 (на самом деле 10:24:26, но он похож на треугольник 5:12:13). И, без сомнения, вы уже знаете о прямоугольном треугольнике 3: 4: 5.

  Итак, существуют ли другие специальные прямоугольные треугольники, все стороны которых представляют собой целые числа? Да, и они давно изучаются.Три числа a, b, и c такие, что a ² + b ² = c ² , как говорят, образуют тройку Пифагора , в честь Пифагора. Он жил около 550 г. до н. Э. и, наверное, знаю немало из них. Но древние вавилоняне примерно 1800 г. до н. Э. знал их всех, и многие из них были известны в других древних цивилизациях, таких как Китай и Индия.

  Прежде чем читать абзац, посмотрите, сможете ли вы найти еще несколько троек Пифагора.Не считайте те, у которых есть общий множитель, как новые, например 6: 8: 10, поскольку они будут похожи на меньшие.

  В книге Евклида « Элементы » есть описание всех возможных пифагоровых троек. Вот современный пересказ Евклида. Возьмем любые два нечетных числа m, и n, с m, n и взаимно простые числа (то есть без общих множителей). Пусть a = mn, let b = ( n ² — m ² ) / 2, и пусть c = ( n ² + m 903 2 ) / 2.Тогда a : b : c — тройка Пифагора. Например, если взять m = 1 и n = 3, то получится наименьшая тройка Пифагора 3: 4: 5.

  Тест на определение шести тригонометрических функций

  Начните изучение «Оценка шести тригонометрических функций». Изучите словарный запас, термины и многое другое с помощью карточек, игр и других учебных инструментов. Ограничения и производные тригонометрических функций. Производная от = для любой (отличной от нуля) функции f: ′ = — ′ (()) везде, где f не — нуль.В обозначениях Лейбница это записывается (/) = −. Взаимное правило может быть получено либо из правила частного, либо из комбинации правила силы и правила цепи.

  Упростите любые алгебраические выражения — на основе WebMath. Если вам нужно упростить какое-то сложное алгебраическое выражение, на этой странице будет перепробовано все, что знает этот веб-сайт, чтобы упростить его. Онлайн-калькулятор позволяет развернуть и свернуть алгебраическое выражение. Калькулятор факторинга: factoring_calculator. Калькулятор факторизации позволяет разложить алгебраическое выражение на множители онлайн с шагом.Тригонометрическая линеаризация: linearization_trigo. Калькулятор, позволяющий линеаризовать тригонометрическое выражение. Упростить калькулятор …

  Свойства пределов рациональной функции Иррациональные функции Тригонометрические функции Правило Л’Оспиталя. Интегралы. Упражнения по формулам интеграции. Интегральные техники. Назначьте указанные опорные углы в функции f (x) и оцените функции, представленные в этих PDF-файлах рабочих таблиц тригонометрических функций. Оценка кусочных функций Кусочные функции работают по-разному в зависимости от входных значений и строятся из частей разных функций на разных интервалах.

  Родительские графики тангенса и котангенса сопоставимы, потому что они оба имеют асимптоты и пересечения по оси x. Единственные различия, которые вы можете увидеть, — это значения тета, где встречаются асимптоты и пересечения по оси x. Вы можете найти родительский график функции котангенса f (x) = cot x, используя те же методы, которые вы используете для […] РЕШЕНИЕ: Если (4, -3) является точкой на конечной стороне угла тета в стандартное положение, оцените все шесть тригонометрических функций теты в простейшей радикальной форме.Алгебра -> Основы тригонометрии -> РЕШЕНИЕ: Если (4, -3) является точкой на конечной стороне угла тета в стандартном положении, оцените все шесть тригонометрических функций тета в …

  Программы LearnZillion заработали впечатляюще «полностью зеленые» рейтинги EdReports, означающие, что их соответствие стандартам и удобство использования соответствуют ожиданиям для нескольких шлюзов. LearnZillion Иллюстративная математика для 6–8 и Алгебра 1, Геометрия и Алгебра 2 даже получили полные баллы. Обзор LearnZillion Science будет опубликован в 2021 году.18. Используйте тригонометрическую замену x = 9sec () θ, чтобы записать выражение x2 −81 как тригонометрическую функцию от θ, где 0. 2 π << θ A) 9tan () θ B) 81tan () θ C) 81sec ( ) θ D) 9sec () θ E) 9sec 1 () θ - Ответ: Цель обучения: написать алгебраическое выражение в виде тригонометрической функции Раздел: 5.1

  Корпоративная информация | Интернет-реклама DAC

  Совет директоров	＜Директора＞ Президент и генеральный директор Масая ШИМАДА Исполнительный вице-президент и главный операционный директор Хаято СОЗАКА Старший управляющий директор, директор по маркетингу Акихико ТОКУХИСА Старший управляющий директор, финансовый директор Тацуя ДАЙТО Управляющий директор, исполнительный директор Юзо ТАНАКА Директор, исполнительный директор Наото УЭХАРА Директор, исполнительный директор Keiichi TEZUKA Директор, исполнительный директор Мотохиро ANDO Директор (по совместительству) Сатору ЯМАДА Директор (по совместительству) Ёдзи СУГАЙ Директор (по совместительству) Акихико Эбана «Аудиторы» Аудитор Хисахару ТЕРАИ Аудитор Масаки Миками	Офисы	[Офис в Кансай] （ карта ） ФЕСТИВАЛЬНАЯ БАШНЯ Наканосима, 20F, 2-3-18 Наканосима, Кита-ку, Осака, ЯПОНИЯ ТЕЛ ： + 81-6-6220-1031 [Офис Чубу] ( карта ) Kyoei Building, 4F, 3-4-15 Sakae, Naka-ku, Nagoya-shi, Aichi 460-0008, JAPAN ТЕЛ ： + 81-6-6220-1031 [Офис Кюсю] ( карта ) Fukuoka Tenjin Fukoku Seimei Building, 10F, 1-9-17 Tenjin, Chuo-ku, Fukuoka-shi, Fukuoka 810-0001, JAPAN ТЕЛ ： + 81-92-406-3351 [офис в Кочи] ( карта ) Obiyamachi CENTRO 3F, 2-2-9 Obiyamachi, Kochi-shi, Кочи 780-0841, ЯПОНИЯ [Офис в Ниигате] （ карта ） Daido Seimei Niigata Building, 7F, 6-1214-2 Kamiokawamaedori, Chuo-ku, Niigata 951-8068, JAPAN [Офис в Нью-Йорке] С / О ARCtangent, Inc.55 Broad Street 18th Floor New York, NY 10004-2501 США

  Умножение и деление дробей | Финансовый учет — ACNT 1303

  Цели обучения

  • Используйте умножение и деление при вычислении выражений с дробями

  Умножение на дроби

  Модель может помочь вам понять умножение дробей. Мы будем использовать дробные плитки для моделирования [латекса] \ frac {1} {2} \ cdot \ frac {3} {4} [/ latex].

  Чтобы умножить [латекс] \ frac {1} {2} [/ latex] и [latex] \ frac {3} {4} [/ latex], подумайте: «Мне нужно найти [latex] \ frac {1} { 2} [/ latex] из [латекса] \ frac {3} {4} [/ latex] ».

  Начните с дробных плиток на три четверти. Чтобы найти половину из трех четвертей, нам нужно разделить их на две равные группы. Поскольку мы не можем разделить три плитки [латекс] \ frac {1} {4} [/ latex] равномерно на две части, мы меняем их на плитки меньшего размера.

  
  Мы видим, что [latex] \ frac {6} {8} [/ latex] эквивалентно [latex] \ frac {3} {4} [/ latex].Взяв половину из шести плиток [latex] \ frac {1} {8} [/ latex], мы получим три плитки [latex] \ frac {1} {8} [/ latex], то есть [latex] \ frac {3 } {8} [/ латекс].

  Следовательно, [латекс] \ frac {1} {2} \ cdot \ frac {3} {4} = \ frac {3} {8} [/ latex]

  Пример

  Используйте диаграмму для моделирования [латекса] \ frac {1} {3} \ cdot \ frac {2} {5} [/ latex]

  Решение:

  Вы хотите найти одну треть от двух пятых.

  Первый оттенок [latex] \ frac {2} {5} [/ latex] прямоугольника.

  
  Мы возьмем [латекс] \ frac {1} {3} [/ latex] из этого [latex] \ frac {2} {5} [/ latex], поэтому мы сильно затеним [латекс] \ frac {1} {3} [/ latex] заштрихованной области.

  
  Обратите внимание, что [латекс] 2 [/ латекс] из [латексных] 15 [/ латексных] кусков сильно затемнены. Это означает, что [latex] \ frac {2} {15} [/ latex] прямоугольника сильно закрашен.
  Следовательно, [latex] \ frac {1} {3} [/ latex] из [latex] \ frac {2} {15} [/ latex] — это [latex] \ frac {2} {15} [/ latex] Или [latex] \ frac {1} {3} \ cdot \ frac {2} {5} = \ frac {2} {15} [/ latex]

  Посмотрите на результат, который мы получили из приведенных выше примеров. Мы обнаружили, что [латекс] \ frac {1} {2} \ cdot \ frac {3} {4} = \ frac {3} {8} [/ latex] и [латекс] \ frac {1} {3} \ cdot \ frac {2} {5} = \ frac {2} {15} [/ latex].Вы заметили, что мы могли бы получить те же ответы, умножая числители и знаменатели?

  	[латекс] \ frac {1} {2} \ cdot \ frac {3} {4} [/ латекс]	[латекс] \ frac {1} {3} \ cdot \ frac {2} {5} [/ латекс]
  Умножьте числители и знаменатели.	[латекс] \ frac {1} {2} \ cdot \ frac {3} {4} = \ frac {1 \ cdot 3} {2 \ cdot 4} [/ latex]	[латекс] \ frac {1} {3} \ cdot \ frac {2} {5} = \ frac {1 \ cdot 2} {3 \ cdot 5} [/ latex]
  Упростить.	[латекс] \ frac {3} {8} [/ латекс]	[латекс] \ frac {2} {15} [/ латекс]

  Это приводит к определению умножения дроби. Для умножения дробей умножаем числители и умножаем знаменатели. Затем запишем дробь в упрощенном виде.

  Умножение на дроби

  Если [латекс] a, b, c, \ text {и} d [/ latex] — числа, где [latex] b \ ne 0 \ text {и} d \ ne 0 [/ latex], то [latex] \ Большой \ frac {a} {b} \ cdot \ Large \ frac {c} {d} = \ Large \ frac {ac} {bd} [/ latex]

  Пример

  Умножьте и запишите ответ в упрощенном виде: [latex] \ frac {3} {4} \ cdot \ frac {1} {5} [/ latex]

  Покажи ответ

  Решение:

  [латекс] \ frac {3} {4} \ cdot \ frac {1} {5} [/ латекс]
  Умножьте числители; умножьте знаменатели.	[латекс] \ frac {3 \ cdot 1} {4 \ cdot 5} [/ латекс]
  Упростить.	[латекс] \ frac {3} {20} [/ латекс]

  Общих множителей нет, поэтому дробь упрощена.

  Обратите внимание, что при умножении дробей по-прежнему применяются свойства положительных и отрицательных чисел. В качестве первого шага рекомендуется определить знак продукта.

  В следующем видео представлены дополнительные примеры умножения дробей и упрощения результата.

  При умножении дроби на целое число может оказаться полезным записать целое число в виде дроби. Любое целое число [latex] a [/ latex] можно записать как [latex] \ large \ frac {a} {1} [/ latex]. Так, например, [латекс] 3 = \ frac {3} {1} [/ latex].

  пример

  Умножьте и запишите ответ в упрощенном виде:

  1. [латекс] \ frac {1} {7} \ cdot 56 [/ латекс]
  2. [латекс] (- 20) (\ large \ frac {12} {5}) [/ латекс]
  Показать ответ

  Решение:

  1.
  	[латекс] \ frac {1} {7} \ cdot 56 [/ латекс]
  Запишите [латекс] 56 [/ латекс] дробью.	[латекс] \ frac {1} {7} \ cdot \ frac {56} {1} [/ латекс]
  Определить знак товара; умножить.	[латекс] \ frac {56} {7} [/ латекс]
  Упростить.	[латекс] 8 [/ латекс]

  2.
  	[латекс] (- 20) (\ frac {12} {5}) [/ латекс]
  Запишите [латекс] −20 [/ латекс] как дробь.	[латекс] \ frac {-20} {1} (\ frac {12} {5}) [/ латекс]
  Определить знак товара; умножить.	[латекс] — \ frac {20 \ cdot 12 \ cdot} {1 \ cdot 5} [/ латекс]
  Умножайте и упрощайте.	[латекс] — \ frac {240} {5} = — \ frac {2 \ cdot \ color {red} {5} \ cdot24} {\ color {red} {5}} [/ latex]
  	[латекс] -48 [/ латекс]

  Посмотрите следующее видео, чтобы увидеть больше примеров умножения дроби и целого числа,

  Взаимные

  Фракции [latex] \ frac {2} {3} [/ latex] и [latex] \ frac {3} {2} [/ latex] связаны друг с другом особым образом.Как и [латекс] — \ frac {10} {7} [/ latex] и [латекс] — \ frac {7} {10} [/ latex]. Вы видите как? Помимо того, что они выглядят как перевернутые версии друг друга, если бы мы умножили эти пары дробей, получилось бы [латекс] 1 [/ латекс].

  [латекс] \ frac {2} {3} \ cdot \ frac {3} {2} = 1 \ text {и} — \ frac {10} {7} \ left (- \ frac {7} {10} \ right) = 1 [/ латекс]

  Такие пары чисел называются обратными.

  Взаимный

  Доля [латекс] \ frac {a} {b} [/ latex], обратно пропорциональная [latex] \ frac {b} {a} [/ latex], где [latex] a \ ne 0 [/ latex] и [латекс] б \ нэ 0 [/ латекс].Число и его аналог имеют продукт [латекс] 1 [/ латекс].

  [латекс] \ frac {a} {b} \ cdot \ frac {b} {a} = 1 [/ латекс]

  Чтобы найти величину, обратную дроби, мы инвертируем дробь. Это означает, что мы помещаем числитель в знаменатель, а знаменатель в числитель. Чтобы получить положительный результат при умножении двух чисел, числа должны иметь одинаковый знак. Значит, у взаимных знаков должен быть один и тот же знак.

  
  Чтобы найти обратную, сохраните тот же знак и инвертируйте дробь.Число ноль не имеет обратного значения. Почему? Число и его обратная величина умножаются на [латекс] 1 [/ латекс]. Существует ли такое число [latex] r [/ latex], что [latex] 0 \ cdot r = 1? [/ Latex] Нет. Итак, число [latex] 0 [/ latex] не имеет обратной величины.

  Пример

  Найдите значение, обратное каждому числу. Затем убедитесь, что произведение каждого числа и его обратной величины равно [латекс] 1 [/ латекс].

  1. [латекс] \ frac {4} {9} [/ латекс]
  2. [латекс] — \ frac {1} {6} [/ латекс]
  3. [латекс] — \ frac {14} {5} [/ латекс]
  4. [латекс] 7 [/ латекс]

  Решение:
  Чтобы найти обратные, сохраняем знак и инвертируем дроби.

  1.
  Найдите аналог [latex] \ frac {4} {9} [/ latex].	Аналог [latex] \ frac {4} {9} [/ latex] — [latex] \ frac {9} {4} [/ latex].
  Чек:
  Умножьте число на обратную величину.	[латекс] \ frac {4} {9} \ cdot \ frac {9} {4} [/ латекс]
  Умножьте числители и знаменатели.	[латекс] \ frac {36} {36} [/ латекс]
  Упростить.	[латекс] 1 \ квадратик \ галочка [/ латекс]

  2.
  Найдите аналог [latex] — \ frac {1} {6} [/ latex].	[латекс] — \ frac {6} {1} [/ латекс]
  Упростить.	[латекс] -6 [/ латекс]
  Чек:	[латекс] — \ frac {1} {6} \ cdot \ left (-6 \ right) [/ latex]
  	[латекс] 1 \ квадратик \ галочка [/ латекс]

  3.
  Найдите аналог [latex] — \ frac {14} {5} [/ latex].	[латекс] — \ frac {5} {14} [/ латекс]
  Чек:	[латекс] — \ frac {14} {5} \ cdot \ left (- \ frac {5} {14} \ right) [/ latex]
  	[латекс] \ frac {70} {70} [/ латекс]
  	[латекс] 1 \ квадратик \ галочка [/ латекс]

  4.
  Найдите аналог [latex] 7 [/ latex].
  Запишите [латекс] 7 [/ латекс] дробью.	[латекс] \ frac {7} {1} [/ латекс]
  Напишите аналог [latex] \ frac {7} {1} [/ latex].	[латекс] \ frac {1} {7} [/ латекс]
  Чек:	[латекс] 7 \ cdot \ left (\ frac {1} {7} \ right) [/ latex]
  	[латекс] 1 \ квадратик \ галочка [/ латекс]

  В следующем видео мы покажем больше примеров того, как найти обратную величину для целых чисел, дробей и смешанных чисел.

  Разделение на дроби

  Почему [latex] 12 \ div 3 = 4? [/ Latex] Мы ранее смоделировали это с помощью счетчиков. Сколько групп счетчиков [latex] 3 [/ latex] можно сделать из группы счетчиков [latex] 12 [/ latex]?

  
  Есть [латекс] 4 [/ латекс] группы счетчиков [латекс] 3 [/ латекс]. Другими словами, в [латексе] 12 [/ latex] четыре [латекса] 3 \ text {s} [/ latex]. Итак, [латекс] 12 \ div 3 = 4 [/ латекс].

  А как насчет деления на дроби? Предположим, мы хотим найти частное: [latex] \ frac {1} {2} \ div \ frac {1} {6} [/ latex].Нам нужно выяснить, сколько [latex] \ frac {1} {6} \ text {s} [/ latex] содержится в [latex] \ frac {1} {2} [/ latex]. Мы можем использовать дробные плитки для моделирования этого деления. Начнем с того, что выстроим плитки половинной и шестой фракций, как показано ниже. Обратите внимание, что в [latex] \ frac {1} {2} [/ latex] есть три плитки [latex] \ frac {1} {6} [/ latex], поэтому [latex] \ frac {1} {2} \ div \ frac {1} {6} = 3 [/ латекс].

  Пример

  Модель: [латекс] \ frac {1} {4} \ div \ frac {1} {8} [/ latex]

  Решение:
  Мы хотим определить, сколько [latex] \ frac {1} {8} \ text {s} [/ latex] содержится в [latex] \ frac {1} {4} [/ latex].Начните с одной плитки [latex] \ frac {1} {4} [/ latex]. Выровняйте плитки [latex] \ frac {1} {8} [/ latex] под плиткой [latex] \ frac {1} {4} [/ latex].

  
  В [латексе] \ frac {1} {4} [/ latex] есть два [latex] \ frac {1} {8} \ text {s} [/ latex].
  Итак, [латекс] \ frac {1} {4} \ div \ frac {1} {8} = 2 [/ latex].

  В следующем видео показано разделение целого числа на дробь с использованием немного другого метода.

  Пример

  Модель: [латекс] 2 \ div \ frac {1} {4} [/ латекс]

  Покажи ответ

  Решение:
  Мы пытаемся определить, сколько [latex] \ frac {1} {4} \ text {s} [/ latex] содержится в [latex] 2 [/ latex].Мы можем смоделировать это, как показано.

  
  Потому что есть восемь [latex] \ frac {1} {4} \ text {s} [/ latex] в [latex] 2,2 \ div \ frac {1} {4} = 8 [/ latex].

  Попробуй

  Модель: [латекс] 2 \ div \ frac {1} {3} [/ латекс]

  Покажи ответ

  Модель: [латекс] 3 \ div \ frac {1} {2} [/ латекс]

  Покажи ответ

  Давайте на деньги смоделируем [латекс] 2 \ div \ frac {1} {4} [/ latex] по-другому. Мы часто читаем [latex] \ frac {1} {4} [/ latex] как «четверть», и мы знаем, что четверть составляет четверть доллара, как показано на изображении ниже.Итак, мы можем думать о [латексе] 2 \ div \ frac {1} {4} [/ latex] как о «Сколько четвертаков в двух долларах?» Один доллар составляет [латекс] 4 [/ латекс] четверти, поэтому [латекс] 2 [/ латекс] доллара будет равняться [латексу] 8 [/ латексу] четвертям. Итак, снова [латекс] 2 \ div \ frac {1} {4} = 8 [/ latex].

  Используя дробные плитки, мы показали, что [latex] \ frac {1} {2} \ div \ frac {1} {6} = 3 [/ latex]. Обратите внимание, что также [latex] \ frac {1} {2} \ cdot \ frac {6} {1} = 3 [/ latex]. Как [латекс] \ frac {1} {6} [/ latex] и [латекс] \ frac {6} {1} [/ latex] связаны? Они взаимны.Это подводит нас к процедуре дробного деления.

  Фракционный дивизион

  Если [латекс] a, b, c, \ text {и} d [/ latex] — числа, где [latex] b \ ne 0, c \ ne 0, \ text {и} d \ ne 0 [/ latex] , затем [латекс] \ frac {a} {b} \ div \ frac {c} {d} = \ frac {a} {b} \ cdot \ frac {d} {c} [/ latex]

  Чтобы разделить дроби, умножьте первую дробь на обратную величину второй.

  Нам нужно сказать [latex] b \ ne 0, c \ ne 0 \ text {и} d \ ne 0 [/ latex], чтобы убедиться, что мы не делим на ноль.

  Пример

  Разделите и запишите ответ в упрощенном виде: [латекс] \ frac {2} {5} \ div \ left (- \ frac {3} {7} \ right) [/ latex]

  Покажи ответ

  Решение:

  [латекс] \ frac {2} {5} \ div \ left (- \ frac {3} {7} \ right) [/ latex]
  Умножьте первую дробь на обратную величину второй.	[латекс] \ frac {2} {5} \ left (- \ frac {7} {3} \ right) [/ latex]
  Умножить. Товар отрицательный.	[латекс] — \ frac {14} {15} [/ латекс]

  Посмотрите это видео, чтобы увидеть больше примеров деления дробей с помощью обратного числа.

  Пример

  Разделите и запишите ответ в упрощенном виде: [latex] \ frac {7} {18} \ div \ frac {14} {27} [/ latex]

  Покажи ответ

  Решение:

  	[латекс] \ frac {7} {18} \ div \ frac {14} {27} [/ латекс]
  Умножьте первую дробь на обратную величину второй.	[латекс] \ frac {7} {18} \ cdot \ frac {27} {14} [/ латекс]
  Умножить. No related posts. Добавить комментарий Отменить ответ Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены * Комментарий * Имя * Email * Сайт