Векторы трапеции: Применение векторов к решению задач (продолжение). Видеоурок. Геометрия 8 Класс

Содержание

Векторы. Сложение векторов. 9 кл

Векторы

Напомним, что вектором называется направленный отрезок, т.е. отрезок, в котором указаны его начало и конец.

Вектор с началом в точке А и концом в точке В обозначается и изображается стрелкой с началом в точке А и концом в точке В .

Длиной , или модулем , вектора называется длина соответствующего отрезка. Длина векторо в , обозначается соответственно | |, | |.

Два вектора называются равными , если они имеют одинаковую длину и направление.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Рассматривают также нулевые векторы, у которых начало совпадает с концом. Все нулевые векторы считаются равными между собой. Они обозначаются , и их длина считается равной нулю.

Сложение векторов

Для векторов определена операция сложения. Для того чтобы сложить два вектора и , вектор откладывают так, чтобы его начало совпало с концом вектора .

Вектор, у которого начало совпадает с началом вектора , а конец — с концом вектора , называется суммой векторов и , обозначается

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Свойства сложения векторов

Свойство 1. (переместительный закон).

Свойство 2. (сочетательный закон).

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Пример

Сколько различных векторов задают пары вершин параллелограмма ABCD ?

Ответ: Восемь векторов .

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Упражнение 1

Сколько различных векторов задают стороны трапеции ABCD ?

Ответ: Восемь векторов .

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Упражнение 2

В прямоугольнике АВС D АВ = 3 см,

ВС = 4 см. Найдите длины векторов: а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

Ответ: а) 3 см;

б) 4 см;

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

в) 3 см;

г) 5 см;

д) 5 см.

Упражнение 3

Основание AD трапеции АВС D с прямым углом А равно 12 см, АВ = 5 см, D = 45°. Найдите длины векторов: а) ; б) ; в) .

Ответ: а) 13 см;

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

б) см;

в) см.

7

Упражнение 4

В параллелограмме АВС D диагонали пересекаются в точке О . Равны ли векторы: а) и ; б) и ; в) и ; г) и ?

Ответ: а) Да;

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

б) нет ;

в) да;

г) нет.

Упражнение 5

Точки S

и T являются серединами боковых сторон соответственно MN и LK равнобедренной трапеции MNLK . Равны ли векторы: а) и ; б) и ; в) и ; г) и ?

Ответ: а) Да;

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

б) нет ;

в) нет.

г) д а .

Упражнение 6

В треугольнике АВС укажите векторы:

а)

б)

в)

г)

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: а) ;

б) ;

в) ;

г) .

10

Упражнение 7

На рисунке укажите векторы:

а)

б)

в)

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: а) ;

б) ;

в) .

11

Упражнение 8

А , В , С , D — произвольные точки плоскости. Выразите через векторы , , векторы: а) ; б) ; в) .

Ответ: а) ;

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

б) ;

в) .

12

Упражнение 9

Сторона равностороннего треугольника АВС равна а . Найдите: а) ; б) ; в) .

Ответ: а) a ;

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

б) ;

в) .

13

Упражнение 10

В треугольнике АВС АВ = 6, ВС = 8, B = 90°. Найдите: а) ; б) ; в) ; г) .

Ответ: а) 14;

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

б) 10;

в) 14;

г) 10.

Упражнение 1 1*

Стороны треугольника ABC равны a , b , c . O – точка пересечения медиан. Найдите сумму векторов

Решение: Продолжим медиану CC 1 и отложим отрезок C 1 C’ = OC 1 . AOBC’ – параллелограмм, OC’ = 2 OC 1 = OC . Следовательно,

и, значит,

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Трапеция

\[{\Large{\text{Произвольная трапеция}}}\]

Определения

Трапеция – это выпуклый четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны.

Параллельные стороны трапеции называются её основаниями, а две другие стороны – боковыми сторонами.

 

Высота трапеции – это перпендикуляр, опущенный из любой точки одного основания к другому основанию.

 

Теоремы: свойства трапеции

 

1) Сумма углов при боковой стороне равна \(180^\circ\).\circ\).

 

2) Т.к. \(AD\parallel BC\) и \(BD\) – секущая, то \(\angle DBC=\angle BDA\) как накрест лежащие.
Также \(\angle BOC=\angle AOD\) как вертикальные.
Следовательно, по двум углам \(\triangle BOC \sim \triangle AOD\).

Докажем, что \(S_{\triangle AOB}=S_{\triangle COD}\). Пусть \(h\) – высота трапеции. Тогда \(S_{\triangle ABD}=\frac12\cdot h\cdot AD=S_{\triangle ACD}\). Тогда: \[S_{\triangle AOB}=S_{\triangle ABD}-S_{\triangle AOD}=S_{\triangle ACD}-S_{\triangle AOD}=S_{\triangle COD}\]

 

Определение

Средняя линия трапеции – отрезок, соединяющий середины боковых сторон.

 

Теорема

Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.


 

Доказательство*
С доказательством рекомендуется ознакомиться после изучения темы “Подобие треугольников”.

 

1) Докажем параллельность.


 

Проведем через точку \(M\) прямую \(MN’\parallel AD\) (\(N’\in CD\)). Тогда по теореме Фалеса (т.к. \(MN’\parallel AD\parallel BC, AM=MB\)) точка \(N’\) — середина отрезка \(CD\). Значит, точки \(N\) и \(N’\) совпадут.

 

2) Докажем формулу.

 

Проведем \(BB’\perp AD, CC’\perp AD\). Пусть \(BB’\cap MN=M’, CC’\cap MN=N’\).


 

Тогда по теореме Фалеса \(M’\) и \(N’\) — середины отрезков \(BB’\) и \(CC’\) соответственно. Значит, \(MM’\) – средняя линия \(\triangle ABB’\), \(NN’\) — средняя линия \(\triangle DCC’\). Поэтому: \[MM’=\dfrac12 AB’, \quad NN’=\dfrac12 DC’\]

Т.к. \(MN\parallel AD\parallel BC\) и \(BB’, CC’\perp AD\), то \(B’M’N’C’\) и \(BM’N’C\) – прямоугольники. По теореме Фалеса из \(MN\parallel AD\) и \(AM=MB\) следует, что \(B’M’=M’B\). Значит, \(B’M’N’C’\) и \(BM’N’C\) – равные прямоугольники, следовательно, \(M’N’=B’C’=BC\).

 

Таким образом:

\[MN=MM’+M’N’+N’N=\dfrac12 AB’+B’C’+\dfrac12 C’D=\] \[=\dfrac12 \left(AB’+B’C’+BC+C’D\right)=\dfrac12\left(AD+BC\right)\]

Теорема: свойство произвольной трапеции

Середины оснований, точка пересечения диагоналей трапеции и точка пересечения продолжений боковых сторон лежат на одной прямой.


 

Доказательство*
С доказательством рекомендуется ознакомиться после изучения темы “Подобие треугольников”.

 

1) Докажем, что точки \(P\), \(N\) и \(M\) лежат на одной прямой.


 

Проведем прямую \(PN\) (\(P\) – точка пересечения продолжений боковых сторон, \(N\) – середина \(BC\)). Пусть она пересечет сторону \(AD\) в точке \(M\). Докажем, что \(M\) – середина \(AD\).

 

Рассмотрим \(\triangle BPN\) и \(\triangle APM\). Они подобны по двум углам (\(\angle APM\) – общий, \(\angle PAM=\angle PBN\) как соответственные при \(AD\parallel BC\) и \(AB\) секущей). Значит: \[\dfrac{BN}{AM}=\dfrac{PN}{PM}\]

Рассмотрим \(\triangle CPN\) и \(\triangle DPM\). Они подобны по двум углам (\(\angle DPM\) – общий, \(\angle PDM=\angle PCN\) как соответственные при \(AD\parallel BC\) и \(CD\) секущей). Значит: \[\dfrac{CN}{DM}=\dfrac{PN}{PM}\]

Отсюда \(\dfrac{BN}{AM}=\dfrac{CN}{DM}\). Но \(BN=NC\), следовательно, \(AM=DM\).

 

2) Докажем, что точки \(N, O, M\) лежат на одной прямой.


 

Пусть \(N\) – середина \(BC\), \(O\) – точка пересечения диагоналей. Проведем прямую \(NO\), она пересечет сторону \(AD\) в точке \(M\). Докажем, что \(M\) – середина \(AD\).

 

\(\triangle BNO\sim \triangle DMO\) по двум углам (\(\angle OBN=\angle ODM\) как накрест лежащие при \(BC\parallel AD\) и \(BD\) секущей; \(\angle BON=\angle DOM\) как вертикальные). Значит: \[\dfrac{BN}{MD}=\dfrac{ON}{OM}\]

Аналогично \(\triangle CON\sim \triangle AOM\). Значит: \[\dfrac{CN}{MA}=\dfrac{ON}{OM}\]

Отсюда \(\dfrac{BN}{MD}=\dfrac{CN}{MA}\). Но \(BN=CN\), следовательно, \(AM=MD\).

\[{\Large{\text{Равнобедренная трапеция}}}\]

Определения

Трапеция называется прямоугольной, если один из ее углов – прямой.

 

Трапеция называется равнобедренной, если ее боковые стороны равны.

 

Теоремы: свойства равнобедренной трапеции

1) У равнобедренной трапеции углы при основании равны.

 

2) Диагонали равнобедренной трапеции равны.

 

3) Два треугольника, образованные диагоналями и основанием, являются равнобедренными.

 

Доказательство

1) Рассмотрим равнобедренную трапецию \(ABCD\).

Из вершин \(B\) и \(C\) опустим на сторону \(AD\) перпендикуляры \(BM\) и \(CN\) соответственно. Так как \(BM\perp AD\) и \(CN\perp AD\), то \(BM\parallel CN\); \(AD\parallel BC\), тогда \(MBCN\) – параллелограмм, следовательно, \(BM = CN\).

 

Рассмотрим прямоугольные треугольники \(ABM\) и \(CDN\). Так как у них равны гипотенузы и катет \(BM\) равен катету \(CN\), то эти треугольники равны, следовательно, \(\angle DAB = \angle CDA\).

 

2)

 

Т.к. \(AB=CD, \angle A=\angle D, AD\) – общая, то по первому признаку \(\triangle ABD=\triangle ACD\). Следовательно, \(AC=BD\).

 

3) Т.к. \(\triangle ABD=\triangle ACD\), то \(\angle BDA=\angle CAD\). Следовательно, треугольник \(\triangle AOD\) – равнобедренный. Аналогично доказывается, что и \(\triangle BOC\) – равнобедренный.

 

Теоремы: признаки равнобедренной трапеции

1) Если у трапеции углы при основании равны, то она равнобедренная.

 

2) Если у трапеции диагонали равны, то она равнобедренная.

 

Доказательство

Рассмотрим трапецию \(ABCD\), такую что \(\angle A = \angle D\).


 

Достроим трапецию до треугольника \(AED\) как показано на рисунке. Так как \(\angle 1 = \angle 2\), то треугольник \(AED\) равнобедренный и \(AE = ED\). Углы \(1\) и \(3\) равны как соответственные при параллельных прямых \(AD\) и \(BC\) и секущей \(AB\). Аналогично равны углы \(2\) и \(4\), но \(\angle 1 = \angle 2\), тогда \(\angle 3 = \angle 1 = \angle 2 = \angle 4\), следовательно, треугольник \(BEC\) тоже равнобедренный и \(BE = EC\).

 

В итоге \(AB = AE — BE = DE — CE = CD\), то есть \(AB = CD\), что и требовалось доказать.

 

2) Пусть \(AC=BD\). Т.к. \(\triangle AOD\sim \triangle BOC\), то обозначим их коэффициент подобия за \(k\). Тогда если \(BO=x\), то \(OD=kx\). Аналогично \(CO=y \Rightarrow AO=ky\).


 

Т.к. \(AC=BD\), то \(x+kx=y+ky \Rightarrow x=y\). Значит \(\triangle AOD\) – равнобедренный и \(\angle OAD=\angle ODA\).

 

Таким образом, по первому признаку \(\triangle ABD=\triangle ACD\) (\(AC=BD, \angle OAD=\angle ODA, AD\) – общая). Значит, \(AB=CD\), чтд.

 

Векторы в пространстве и метод координат

Существует два способа решения задач по стереометрии

Первый — классический — требует отличного знания аксиом и теорем стереометрии, логики, умения построить чертеж и свести объемную задачу к планиметрической. Способ хорош тем, что развивает мозги и пространственное воображение.

Другой метод — применение векторов и координат. Это простые формулы, алгоритмы и правила. Он очень удобен, особенно когда времени до экзамена мало, а решить задачу хочется.

Если вы освоили векторы на плоскости и действия с ними — то и с векторами в пространстве разберетесь. Многие понятия окажутся знакомыми.

Система координат в пространстве

Выберем начало координат. Проведем три взаимно перпендикулярные оси X, Y и Z. Зададим удобный масштаб.

Получилась система координат в трехмерном пространстве. Теперь каждая его точка характеризуется тремя числами — координатами по X, Y и Z. Например, запись M(−1; 3; 2) означает, что координата точки M по X (абсцисса) равна −1, координата по Y (ордината) равна 3, а координата по Z (аппликата) равна 2.

Векторы в пространстве определяются так же, как и на плоскости. Это направленные отрезки, имеющие начало и конец. Только в пространстве вектор задается тремя координатами x, y и z:

Как найти координаты вектора? Как и на плоскости — из координаты конца вычитаем координату начала.


Длина вектора в пространстве – это расстояние между точками A и B. Находится как корень квадратный из суммы квадратов координат вектора.

Пусть точка M – середина отрезка AB. Ее координаты находятся по формуле:

Для сложения векторов применяем уже знакомые правило треугольника и правило параллелограмма

Сумма векторов, их разность, произведение вектора на число и скалярное произведение векторов определяются так же, как и на плоскости. Только координат не две, а три. Возьмем векторы и .

Сумма векторов:

Разность векторов:

Произведение вектора на число:

Скалярное произведение векторов:

Косинус угла между векторами:

Последняя формула удобна для нахождения угла между прямыми в пространстве. Особенно если эти прямые – скрещиваются. Напомним, что так называются прямые, которые не параллельны и не пересекаются. Они лежат в параллельных плоскостях.

1. В кубе ABCDA1B1C1D1 точки E и K — середины ребер соответственно A1B1 и B1C1. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.

Если вам достался куб — значит, повезло. Он отлично вписывается в прямоугольную систему координат. Строим чертеж:

Длина ребра куба не дана. Какой бы она ни была, угол между AE и BK от нее не зависит. Поэтому возьмем единичный куб, все ребра которого равны 1.

Прямые AE и BK — скрещиваются. Найдем угол между векторами и . Для этого нужны их координаты.

Запишем координаты векторов:

и найдем косинус угла между векторами и :

2. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, точки E, K — середины ребер SB и SC соответственно. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.

Лучше всего выбрать начало координат в центре основания пирамиды, а оси X и Y сделать параллельными сторонам основания.

Координаты точек A, B и C найти легко:

Из прямоугольного треугольника AOS найдем

Координаты вершины пирамиды:

Точка E — середина SB, а K — середина SC. Воспользуемся формулой для координат середины отрезка и найдем координаты точек E и K.

Найдем координаты векторов и

и угол между ними:

Покажем теперь, как вписать систему координат в треугольную призму:

3. В правильной треугольной призме ABCA

1B1C1, все ребра которой равны 1, точка D — середина ребра A1B1. Найдите косинус угла между прямыми AD и BC1

Пусть точка A — начало координат. Возьмем ось X параллельно стороне BC, а ось Y перпендикулярно ей. Другими словами, на оси Y будет лежать отрезок AH, являющийся высотой треугольника ABC. Нарисуем отдельно нижнее основание призмы.

Запишем координаты точек:

Точка D — середина A1B1. Значит, пользуемся формулами для координат середины
отрезка.

Найдем координаты векторов и , а затем угол между ними:

Смотрите, как легко с помощью векторов и координат найти угол между прямыми. А если требуется найти угол между плоскостями или между прямой и плоскостью? Для решения подобных задач нам понадобится уравнение плоскости в пространстве.

Плоскость в пространстве задается уравнением:

Здесь числа A, B и C — координаты вектора, перпендикулярного этой плоскости. Его называют нормалью к плоскости.

Вместо x, y и z можно подставить в уравнение координаты любой точки, принадлежащей данной плоскости. Получится верное равенство.

Плоскость в пространстве можно провести через любые три точки, не лежащие на одной прямой. Поэтому для того, чтобы написать уравнение плоскости, берем координаты трех принадлежащих ей точек. Подставляем их по очереди в уравнение плоскости. Решаем полученную систему.

Покажем, как это делается.

Напишем уравнение плоскости, проходящей через точки M (1; 0; 1), N (2; −2; 0) и K (4; 1; 2).

Уравнение плоскости выглядит так:

Подставим в него по очереди координаты точек M, N и K.

Для точки M:

То есть A + C + D = 0.

Для точки N:

Аналогично для точки K:

Получили систему из трех уравнений:

В ней четыре неизвестных: A, B, C и D. Поэтому одну из них мы выберем сами, а другие выразим через нее. Правило простое — вместо одной из переменных можно взять любое число, не равное нулю.

Пусть, например, D = −2. Тогда:

Выразим C и B через A и подставим в третье уравнение:

Решив систему, получим:

Уравнение плоскости MNK имеет вид:

Умножим обе части уравнения на −3. Тогда коэффициенты станут целыми:

Вектор — это нормаль к плоскости MNK.

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку имеет вид:

Угол между плоскостями равен углу между нормалями к этим плоскостям:

Не правда ли, знакомая формула? Скалярное произведение нормалей поделили на произведение их длин.

Заметим, что при пересечении двух плоскостей вообще-то образуется четыре угла.

Мы берем меньший из них. Поэтому в формуле стоит модуль скалярного произведения — чтобы косинус угла был неотрицателен.

4. В кубе ABCDA1B1C1D1 точки E и F — середины ребер соответственно A1B1 и A1D1. Найдите тангенс угла между плоскостями AEF и BDD1.

Строим чертеж. Видно, что плоскости AEF и BDD1 пересекаются где-то вне куба. В классическом решении пришлось бы строить линию их пересечения. Но векторно-координатный метод значительно всё упрощает. Не будем ломать голову над тем, по какой прямой пересекаются плоскости. Просто отметим координаты нужных нам точек и найдем угол между нормалями к плоскостям AEF и BDD1.

Сначала — нормаль к плоскости BDD1. Конечно, мы можем подставить координаты точек B, D и D1 в уравнение плоскости и найти коэффициенты, которые и будут координатами вектора нормали. А можем сделать хитрее — увидеть нужную нормаль прямо на чертеже. Ведь плоскость BDD1 — это диагональное сечение куба. Вектор перпендикулярен этой плоскости.

Итак, первый вектор нормали у нас уже есть:

Напишем уравнение плоскости AEF.

Берем уравнение плоскости и по очереди подставляем в него, вместо x, y и z, соответствующие координаты точек A, E и F.

Упростим систему:

Пусть С = -1. Тогда A = B = 2.

Уравнение плоскости AEF:

Нормаль к плоскости AEF:

Найдем угол между плоскостями:

5. Основание прямой четырехугольной призмы BCDA1B1C1D1 — прямоугольник ABCD, в котором AB = 5, AD = √33. Найдите тангенс угла между плоскостью грани AA1D1D и плоскостью, проходящей через середину ребра CD перпендикулярно прямой B1D, если расстояние между прямыми A1C1 и BD равно √3.

Эта задача наглядно показывает, насколько векторный метод проще классического. Попробуйте, для разнообразия, построить необходимые сечения и провести все доказательства — как это делается в «классике» 🙂

Строим чертеж. Прямую четырехугольную призму можно по-другому назвать «параллелепипед».

Замечаем, что длина и ширина параллелепипеда у нас есть, а вот высота — вроде не дана. Как же ее найти?

«Расстояние между прямыми A1C1 и BD равно √3». Прямые A1C1 и BD скрещиваются. Одна из них — диагональ верхнего основания, другая — диагональ нижнего. Вспомним, что расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра. Общий перпендикуляр к A1C1 и BD — это, очевидно, OO1, где O — точка пересечения диагоналей нижнего основания, O1 — точка пересечения диагоналей верхнего. А отрезок OO1 и равен высоте параллелепипеда.

Итак, AA1 = √3

Плоскость AA1 D1 D — это задняя грань призмы на нашем чертеже. Нормаль к ней — это любой вектор, перпендикулярный задней грани, например, вектор  или, еще проще, вектор .

Осталась еще «плоскость, проходящая через середину ребра CD перпендикулярно прямой B1D». Но позвольте, если плоскость перпендикулярна прямой B1D — значит, B1D и есть нормаль к этой плоскости! Координаты точек B1 и D известны:

Координаты вектора — тоже:

Находим угол между плоскостями, равный углу между нормалями к ним:

Зная косинус угла, находим его тангенс по формуле

Получим:

Ответ:

Угол между прямой m и плоскостью α тоже вычисляется с помощью скалярного произведения векторов.

Пусть — вектор, лежащий на прямой m (или параллельный ей), — нормаль к плоскости α.

Находим синус угла между прямой m и плоскостью α по формуле:

6. В кубе ABCDA1B1C1D1 точка E — середина ребра A1B1. Найдите синус угла между прямой AE и плоскостью BDD1.

Как всегда, рисуем чертеж и выбираем систему координат

Находим координаты вектора .

Нужно ли нам уравнение плоскости BDD1? В общем-то, без него можно обойтись. Ведь эта плоскость является диагональным сечением куба, а значит, нормалью к ней будет любой вектор, ей перпендикулярный. Например, вектор .

Найдем угол между прямой и плоскостью:

Ответ:

Расстояние от точки M с координатами x0, y0 и z0 до плоскости α, заданной уравнением Ax + By + Cz + D = 0, можно найти по формуле:

7. В основании прямоугольного параллелепипеда BCDA1B1C1D1 лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = , AD = . Высота параллелепипеда AA1 = . Найдите расстояние от точки A до плоскости A1DB.

Построим чертеж и выпишем координаты точек:

Запишем уравнение плоскости A1DB. Вы помните, как это делается — по очереди подставляем координаты точек A1, D и B в уравнение Ax + Be + Cz + D

  

Решим эту систему. Выберем

Тогда

Уравнение плоскости A1DB имеет вид:

Дальше все просто. Находим расстояние от точки A до плоскости A1DB:

В некоторых задачах по стереометрии требуется найти расстояние от прямой до параллельной ей плоскости. В этом случае можно выбрать любую точку, принадлежащую данной прямой.

Векторы

На данной онлайн странице электронного справочника по математике для школьников представлены следующие готовые домашние задания, решения тестовых заданий по геометрии 9 класса:

  • – представлены определения вектора, скалярных и векторных величин;
  • – в примерах с номерами 9 — 12 рассматривается, как решать геометрию по теме «Коллинеарные векторы»;
  • – решения векторов представлены в теме «Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам». Контрольные работы 13 — 15;
  • – тема «Координаты вектора» объясняется в работах 16 — 22 учебника. В данной рабочей тетради показываются ответы к вопросам, как решать задачи, если требуется найти координаты суммы, разности векторов и произведения вектора на число;
  • – задачи 1 — 8 показывают примеры решений и ответы по математике, изученных на материале курса геометрии 8 класса. Здесь рассматриваются тесты и задания по таким разделам, как средняя линия треугольника, параллелограмм, площадь треугольника, равнобедренная трапеция, вписанные и описанные окружности.

Понятие вектора

Автобус едет из города Анск в город Бинск. На карте город Анск обозначим латинской буквой A, город Бинск – буквой B латинского алфавита.

Соединив точки A и B, получаем отрезок AB. При этом точка A – начало отрезка или пункт отправления автобуса, т.е. откуда едет автобус, точка B – конец отрезка или пункт назначения автобуса, куда движется автобус.

Отрезок AB изображает схему маршрута автобуса.

Направление движения автобуса, или направление маршрута, или направление отрезка AB обозначим стрелкой –>.

Выражение «A –> B» обозначает схематичное движение автобуса из пункта A в пункт B.

Отрезок со стрелкой – направленный отрезок.

Определение:
Вектор – направленный отрезок.

В математике принято обозначать вектор как

, две латинские буквы со одной стрелкой сверху (произносится: вектор а-б.).
указывает на направление движения: A – начальная точка отрезка, B – конечная точка отрезка.
Часто вектор могут обозначать маленькой буквой (произносится: вектор а).

Когда A – начальная точка отрезка и B – конечная точка отрезка совпадают, то есть когда отрезок отсутствует, тогда вектор считается нулевым и обозначается как

, ноль со одной стрелкой сверху. Любая точка на карте, в тетради, на плоскости чертежной доски – нулевой вектор.

Длина отрезка AB, расстояние между городом Анск и Бинск, – абсолютная величина вектора , или модуль вектора

, или длина вектора .
Модуль вектора обозначается как .
Например, дано = 1,7 км, = 6 км. В этом случае говорят, что длина вектора а равна 1,7 км (одна целая семь десятых километра), длина вектора AB равна шести километрам.
Длина нулевого вектора обозначается как и равна нулю:
= 0.

Скалярные и векторные величины

Величина может быть скалярной или векторной.

Величина является скалярной, если содержит численное значение, но не указывает на направление. Например, 5 книг, 10 метров ткани, где цифры «5», «10» – скалярные величины.

Векторная величина или вектор – величина, которая содержит количественное значение и указывает на направление.

Например, автобус едет или совершает перемещение из пункт A в пункт B со скоростью 30 км/ч.

Цифра «30» – скорость автобуса в км/ч – пример векторной величины, так как дано численное значение и указывается направление движения.

Перемещение точки, которая движется в данный момент времени, – вектор с начальной точкой в точке старта движения и с конечной точкой в точке, где данная точка находится в это время.


Например, AB = 5 км, BC = 5 км, CD = 3 км, DE = 2 км, AE = 4 км.

Длина маршрута движения автобуса из пункта A в пункт E составляет
L = AB + BC + CD + DE = 15 км.
Длина маршрута – скалярная величина, так как дано только количество километров – «15» без указания на направление движения.

Перемещение – вектор

, который соединяет A – точку начала движения автобуса, E – точку остановки движения.
AE = 4 км. Перемещение – векторная величина, где число «4» – количество километров, АЕ – указывает на направление движения, из пункта Анск в пункт Eнск.

Допустим, автобус проехал 30 км: в одну сторону, из Анска в Енск – 15 км, а также обратно, из Енска в Анск – 15 км. В этом примере перемещение равно 0 км и является нулевым вектором.

Коллинеарные векторы

Лемма – теорема, вспомогательная для доказательства следующей теоремы.

 

Лемма о коллинеарных векторах:

Если векторы

и коллинеарны (где ), то можно найти такое число k, что верно равенство (вектор равен произведению числа k на вектор )

 

Дано: вектор a, вектор b

Векторы

и – коллинеарные, т.е. вектор b коллинеарен вектору a

 

Доказать: есть такое число k, что верно равенство

Доказательство:

1 случай. Пусть векторы a и b — сонаправленные векторы, т.е.

 

, где k>0,т.к. . Тогда и сонаправленные векторы.

Значит,

***

 

2 случай.

Пусть a, b — противоположные векторы, т.е.

Возьмем

, где k

 

Следовательно,

***

 

Задача 9.

Дано:

вектор m, вектор n

1)

– противоположно направленные векторы ,

= 0,5 см, = 2 см

2)

– сонаправленные векторы ,

= 12 см, = 240 см

 

Найти: k – ?

Решение: 1) Т.к.

, то k

= – = – 4

Ответ: k = – 4.

Решение: 2) Т.к.

, то k>0. Тогда = = 20.

Ответ: k = 20.

***

 

Задача 10.

Дано:

ABCD – параллелограмм

BD

AC = O

M – середина отрезка AO

1)

2)

Найти: k – ?

Решение:

1) Т.к.

, то k>0.

По свойству параллелограмма

, тогда

Ответ: k=

2) Т.к.

, то k, – коллинеарные, т.к. лежат на одной прямой. Найдем середину OC и обозначим ее точкой N.

Тогда AM=MO=ON=NC

Т.к. k<0, то

Ответ: k=

***

 

Задача 11.

Дано:

1)

– противоположно направленные векторы,

= 400 мм, = 4дм = 400мм

2)

– сонаправленные векторы , = , =

 

Найти: k – ?

Решение: 1) Т.к.

, то k

= – = –1

Ответ: k = –1.

 

Решение: 2) Т.к.

, то k>0. Тогда = = =5.

Ответ: k = 5.

***

 

Задача 12.

Решить уравнение: найти значения x, y.

Решение: 1)

y=3

Ответ: x=0, y=3

***

 

Решить уравнение: найти значения x, y.

Решение: 2)

–3y = –1 , x= –1

y =

Ответ: x= – 1, y=

***

 

 

Наверх

Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам

Определение: Если

, где и – данные векторы, x и y – некоторые числа, то говорят, что вектор разложен на векторы и , причем x и y – коэффициенты разложения

 

Выразить вектор:

через векторы и

через и

через и

через и

 

Решение:

а) По правилу параллелограмма

(x= 1, y= 1)

б)

, (x=y= 2)

в)

= + , = 2 – (x= 2, y = –1)

г) Т.к.

= 2 – = 2 +

= – 2(x= 1, y = –2)

***

Задача 13.

Дано: ABCD – параллелограмм

;

M

; AM : MC = 4 : 1

 

Найти:

Решение:

По правилу параллелограмма

или

Но

, тогда

Ответ:

***

 

Задача 14.

Дано: векторы

и – неколлинеарные

а)

б)

 

Найти: коэффициенты разложения x, y – ?

Решение:

а)

3 – y = 0, x+1=0

y= 3, x= – 1

б)

4 – x = 0, 5+y=0

x = 4, y= –5

Ответ: a) x= –1, y= 3 б) x = 4, y= –5

***

 


Задача 15.

Дано: ABCD – трапеция

EF – средняя линия трапеции

 

Доказать: EF

AD — т.е. средняя линия трапеции параллельна её основанию,

— т.е. длина средней линии трапеции равна полусумме основанию трапеции.

Доказательство:

По правилу многоугольника

+

Сложив оба выражения, получаем

Т.к. E и F – середины сторон AB и CD, тогда

Т.к.

, то , а

Поэтому EF || AD и

***

 

Теорема: Любой вектор

можно разложить по двум неколлинеарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом.

 

Дано:

вектор a, вектор b

и – неколлинеарные векторы

 

Доказать:

Доказательство:

Через точку А и точку В проведем прямые, параллельные прямым, содержащих векторы

и . Найдем точку С.

Тогда по правилу треугольника

Заметим, что векторы

и – коллинеарные, также векторы и – коллинеарные

По лемме о коллинеарных векторах

,

Тогда

 

Единственность разложения

Доказательство:

Знаем, что

(1)

Пусть есть

(2)

В результате разности выражений (1) и (2) получаем

Это равенство возможно

;

Т.е

;

***

 

Наверх

Координаты вектора

Определение: Единичным вектором называется вектор, длина которого равна единице.

i и j – координатные векторы

Т.к.

и – неколлинеарные векторы, то любой вектор можно разложить через векторы и .

Т.е.

, где x и y – координаты вектора.

{1:2}

{2:–3}

{0;0}

 

Если

и ,

то

, если и

***

 

Задача 16.

Найти координаты векторов.

Решение:

{2;3}

{–2;3}

{2;0}

{–3;–4}

{2;–2}

{–4;–5}

***

 

Задача 17.

Найти координаты векторов.

Решение:

{2;3}

{–;–2}

{8;0}

{1;–1}

{0;–2}

{–1;0}

***

 

Задача 18.

Найти сумму вектора по его координатам.

Решение:

{–3;}

{–2;–3}

{–1;0}

{0;3}

{0;1}

***

 

Правила, позволяющие по координатам векторов находить координаты суммы, разности векторов и произведения вектора на число.

1. Суммой векторов

и с координатами (a1;a2) и (b1;b2) называется вектор с координатами (a1+ b1;a2 +b2).

 

Дано:

{a1;a2}; {b1;b2};

 

Доказать:

{ a1+ b1;a2 +b2}

— сумма координат вектора, т.е. формула, как найти координаты вектора через сложение

Доказательство:

{ a1+ b1;a2 +b2}

***

 

Пример 1 — сложение векторов, как найти координаты векторов:

Если даны координаты векторов

{3;2}; {2;5}, то

 

2. Разностью векторов

и с координатами {a1; a2} и {b1; b2} называется вектор с координатами {a1 – b1; a2 – b2}.

3. Произведением вектора

с координатами {a1; a2} на произвольное число k называется вектор с координатами {ka1; ka2}.

Дано:

{a1;a2}

k – произвольное число

 

Доказать:

{ka1; ka2}

— умножение вектора на число

Доказательство:

Значит, вектор

{ka1; ka2}

 

Пример 2 — как находить координаты вектора:

Найти координаты вектора

, если

{1;2}; {0;3}; {–2;3}

Решение:

{0;6}

{0;6}

Ответ:

{0;6}

***

 

Задача 19.

Найти координаты вектора

, если даны векторы

{–7;–1}; {–1;7}; {4;–6}

Решение:

= {–21;–14}

Ответ: {–21;–14}

***

 

Задача 20.

Дано:

1)

2)

Найти: коэффициенты разложения x, y – ?

Решение:

1)

По теореме о разложении вектора по двум неколлинеарным векторам:

x=–3, y=7

2)

По теореме о разложении вектора по двум неколлинеарным векторам:

x= –4, y=0

***

 

Задача 21.

Дано: координаты векторов

1)

{3;6}; {4;–3}

2)

{–5;–6}; {2;–4}

Найти: разность векторов

Решение:

1)

–= = {–1;9}

–{–1;9}

2)

–= ={–7;–2}

–{–7;–2}

***

 

Задача 22.

Дано: координаты векторов

{–2;–3}; {2;–3}; {0;5}

Найти: координаты векторов, противоположных данным.

Решение:

{–2;–3} {2;3}

{2;–3} {–2;3}

{0;5} {0;–5}

***

 

Задача 1.

Дано:

Четырехугольник ABCD

M, N, K, E – середины сторон AB, BC, DC, AD

 

Доказать:

Четырехугольник MNKE – параллелограмм

Доказательство:

Соединим точку А и точку С.

Получим треугольник Δ ABC, где MN – средняя линия треугольника Δ ABC и треугольник Δ ADC, где EK – средняя линия треугольника Δ ADC.

 

По свойству средней линии треугольника Δ следует, что

MN || AC – параллельны и MN=

AC,

EK || AC – параллельны и EK=

AC.

Тогда MN || EK – параллельны и MN=EK, поэтому

MNKE – параллелограмм (по первому признаку параллелограмма).

***

 

Задача 2.

Дано:

Треугольник Δ ABC

Сторона треугольника AB = 8,5 см

Сторона треугольника AC = 5 см

Высота AH = 4 см, т.е отрезок AH перпендикулярен стороне BC

H

BC, т.е. точка H лежит на стороне BC

 

Найти:

Площадь треугольника S ΔABC – ?

 

Решение:

S ΔABC =

BC • AH

По теореме Пифагора

BH =

= = = 7,5 см

 

По теореме Пифагора

CH =

= = 3 см

BC = BH + CH = 3 +7,5 = 10,5 см

S ΔABC =

• 10,5 • 4 = 21

Ответ: S ΔABC = 21

***

 

Задача 3.

Доказать, что отрезки, соединяющие середины противоположных сторон равнобедренной трапеции, взаимно перпендикулярны.

Дано:

ABCD – равнобедренная трапеция

 

Доказать: NE

KM =

Доказательство:

Проведем перпендикуляры BH и CH1, то есть BH

AD перпендикулярны; также CH1AD перпендикулярны.

Но BH и CH1 проходят через NE

тогда перпендикулярны BRNE и CR1NE.

Стороны BH = CH1 равны

параллельны BH || CH1

Поэтому BH = KM = CH1 равны

параллельны BH KM CH1 как отрезок, заключенный между параллельными прямыми.

Следовательно углы равны

KON = NR1C = 90° как соответственные.

Тогда

KON = EOM = 90°, как вертикальные.

***

 

Задача 4.

Дано:

AB – отрезок

AC = CB

O – произвольная точка

 

Доказать:

Вектор OC равен половине суммы двух других векторов OA и OB, исходящих из одной и той же точки O

Доказательство: По правилу треугольника

(1)

+

(2)

Сложив выражения (1) и (2), получаем

***

 

Задача 5.

Дано:

векторы a, b, c

Три вектора

и – неколлинеарные векторы.

Построить:

Суммы и разности векторов.

 

Построение:

По правилу многоугольника

a)

б)

=

 

 

 

 

 

***

 

Задача 6.

Доказать, что отрезки, соединяющие середины противоположных сторон равнобедренной трапеции, взаимно перпендикулярны.

Дано:

четырехугольник ABCD – равнобедренная трапеция

 

Доказать: EF

NM = , т.е. угол пересечения двух отрезков в равнобедренной трапеции равен 90°.

Доказательство:

Проведем параллельные прямые

MK || AB

MR || CD

 

Получим равнобедренный треугольник ΔMKR

AB=MK, так как трапеция равнобедренная,

CD=MR, т.к. трапеция равнобедренная.

Следовательно, EF – средняя линия треугольника ΔMKR, поэтому

MH=HR и OK=MO.

BM=MC=AK=RD, т.к. ABMK и MCDR – параллелограммы.

Поэтому HR=KO.

Тогда MN – медиана, биссектриса и высота равнобедренного треугольника ΔMKR.

Т.к. MN – высота, то отрезки MN

AD – перпендикулярны.

По свойству средней линии треугольника Δ следует, что

EF || KR.

Тогда EF

NM =

***

Задача 7.

Доказать, что центр окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, лежит на медиане, проведенной к основанию.

 

Дано:

вписанная окружность в равнобедренном треугольнике

ΔABC – равнобедренный треугольник

BH2 – медиана

 

Доказать: O

BH2, т.е. центр вписанной окружности лежит на медиане равнобедренного треугольника

Доказательство:

Проведем перпендикуляры OH1 ; OH2 ; OH3 к сторонам BC, AC, AB.

Здесь из двух точек проведен один и тот же перпендикуляр к стороне AC, но в треугольнике можно провести только один перпендикуляр к стороне и только из одной точки.

Следовательно, что O

BH2

***

 

Задача 8.

Доказать, что центр окружности, описанной около равнобедренного треугольника, лежит на медиане, проведенной к основанию или на ее продолжение.

 

Дано:

Описанная окружность около равнобедренного треугольника

Δ ABC – вписанный равнобедренный треугольник

BH3 – медиана

Доказать: O

BH3

 

Доказательство:

Проведем из центра окружности перпендикуляры

OH1 ; OH2 ; OH3 к сторонам BC, AC, AB.

Здесь проведен из двух точек перпендикуляр к стороне AC, но в треугольнике можно провести только один перпендикуляр к стороне и только из одной точки.

Следовательно, что O

BH3

***

Наверх


Метод координат (ЕГЭ 2022) | ЮКлэва

Я неслучайно расположил задачи в таком порядке. Пока ты еще не успел начать ориентироваться в методе координат, я сам разберу наиболее «проблемные» фигуры, а тебе предоставлю разобраться с простейшим кубом!

Постепенно тебе предстоит научиться работать со всеми фигурами, сложность задач я буду увеличивать от теме к теме.

Приступаем к решению задач:

1. Рисуем тетраэдр, помещаем его в систему координат так, как я предлагал ранее. Поскольку тетраэд правильный – то все его грани (включая основание) – правильные треугольники.

Поскольку нам не дана длина стороны, то я могу принять ее равной \( 1\). Я думаю, ты понимаешь, что угол на самом деле не будет зависеть от того, насколько наш тетраэдр будет «растянут»?

Также проведу в тетраэдре высоту и медиану \( \displaystyle BM\).

Попутно я нарисую его основание (оно нам тоже пригодится).

Мне нужно найти угол между \( \displaystyle DH\) и \( \displaystyle BM\). Что нам известно?

Нам известна только координата точки \( \displaystyle B\). Значит, надо найти еще координаты точек \( \displaystyle D,H,M\).

Теперь думаем: точка \( \displaystyle H\) – это точка пересечения высот (или биссектрисс или медиан) треугольника \( \displaystyle ABC\).

А точка \( \displaystyle D\) – это приподнятая точка \( \displaystyle H\).

Точка же \( \displaystyle M\) – это середина отрезка \( \displaystyle AD\).{2}}}=\sqrt{1-\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)

Окончательно имеем: \( A\left( \frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2},0 \right)\).

Теперь найдем координаты точки \( \displaystyle H\).

Ясно, что ее аппликата опять равна нулю, а ее ордината такая же, как у точки \( \displaystyle A\), то есть \( 0,5\).

Найдем ее абсциссу. Это делается достаточно тривиально, если помнить, что высоты равностороннего треугольника точкой пересечения делятся в пропорции \( \displaystyle \mathbf{2}:\mathbf{1}\), считая от вершины. Так как: \( AK=BS=\frac{\sqrt{3}}{2}\), то искомая абсцисса точки, равная длине отрезка \( \displaystyle KH\), равна: \( KH=\frac{AK}{3}=\frac{\sqrt{3}}{6}\). Т

аким образом, координаты точки \( \displaystyle H\) равны:

\( H\left( \frac{\sqrt{3}}{6},\frac{1}{2},0 \right).\)

Найдем координаты точки \( \displaystyle D\).

Ясно, что ее абсцисса и ордината совпадают с абсциссой и ординатой точки \( \displaystyle H\).{2}}}}=\frac{\frac{1}{3}}{\sqrt{\frac{19}{36}}\cdot \sqrt{\frac{2}{3}}}=\frac{\frac{1}{3}}{\sqrt{\frac{19}{54}}}=\frac{\sqrt{54}}{3\sqrt{19}}=\sqrt{\frac{6}{19}}\)

Таким образом, \( \varphi =arccos\sqrt{\frac{6}{19}}.\)

Ответ: \( \varphi =arccos\sqrt{\frac{6}{19}}.\)

Тебя не должны пугать такие «страшные» ответы: для задач С2 это обычная практика. Я бы скорее удивился «красивому» ответу в этой части. Также, как ты заметил, я практически не прибегал ни к чему, кроме как к теореме Пифагора и свойству высот равностороннего треугольника. То есть для решения стереометрической задачи я использовал самый минимум стереометрии. Выигрыш в этом частично «гасится» достаточно громоздкими вычислениями. Зато они достаточно алгоритмичны!

Зачет по теме «Векторы» | Картотека по геометрии (9 класс):

Билет 1.

  1. Какие векторы называются коллинеарными? Дайте определение равных векторов.
  2. Начертите ненулевой вектор АВ и отметьте точки М и N по разные стороны от прямой АВ и точку К на прямой АВ. Отложите от точек М. N и К соответственно векторы: ММ1, сонаправленный с АВ; NN1, равный АВ; КК1, противоположно направленный по отношению к АВ.
  3. Дано: АВ = СD. Докажите, что AC = BD.

Билет 2.

  1. Объясните, какой вектор называется суммой двух данных векторов. Какие правила сложения двух и нескольких векторов вы знаете?
  2. Начертите попарно неколлинеарные векторы a, b, c, d и постройте вектор p = a + b + c + d.
  3. Найдите длину вектора m если m = MN + PR + KM + NP + RK.

Билет 3.

  1. Какой вектор называется разностью двух данных векторов?
  2. Начертите два неколлинеарных вектора а и b и постройте вектор а – b.
  3. Найдите вектор х из условия PB – OD + x + MC = PA – BM – OA.

Билет 4.

  1. Какой вектор называется произведением данного вектора на данное число?
  2. Начертите два неколлинеарных вектора р и q и отметьте точку О. Отложите от точки О вектор ОА = 1,5p – 2q.
  3. Диагонали параллелограмма АВСD пересекаются в точке О, а точка М делит сторону AD в отношении AM : MD = 1 : 2. Выразите вектор ОМ через векторы а = АВ и b = AD.

Билет 5

  1. Приведите примеры векторных величин.
  2. Дайте определение вектора. Объясните, какой вектор называется нулевым.
  3. Начертите два неколлинеарных вектора р и q и отметьте точку О. Отложите от точки О вектор ОА = p – 2q.

Билет 6

  1. Что называется длиной нулевого вектора. Чему равна длина нулевого вектора.
  2. Какие векторы называются коллинеарными.
  3. Начертите два неколлинеарных вектора а и в и отметьте точку О. Отложите от точки О вектор равный а + 2в.

Билет 7

  1. Дайте определение равных векторов.
  2. Какие вектора называются сонаправленными и противоположно направленными. Как они обозначаются.
  3. Начертите два неколлинеарных вектора а и в. Постройте вектора 2а;  — а;  3в; — 0,5в

Билет 8

  1. По каким правилам можно сложить два вектора, 5 векторов. Приведите примеры.
  2. Какой отрезок называется средней линией трапеции. Чему равна средняя линия трапеции.
  3. Начертите два неколлинеарных вектора а и в. Постройте вектора 2а;  — а;  3в; — 0,5в

8 класс. Геометрия. Векторы. Применение векторов к решению задач. — Понятие вектора. Задачи.

Комментарии преподавателя

Век­то­ры

Урок: По­ня­тие век­то­ра. За­да­чи

Мно­гие фи­зи­че­ские ве­ли­чи­ны ха­рак­те­ри­зу­ют­ся не толь­ко чис­лом, но и на­прав­ле­ни­ем. На­при­мер, ско­рость, сила и т.д. Такие ве­ли­чи­ны на­зы­ва­ют­ся век­тор­ны­ми ве­ли­чи­на­ми, или век­то­ра­ми. Нам необ­хо­ди­мо вве­сти по­ня­тие век­то­ра, по­ня­тие ра­вен­ства век­то­ров, опре­де­лить пра­ви­ла сло­же­ния век­то­ров, умно­же­ния век­то­ра на число и т.д.

Итак, нач­нем с опре­де­ле­ния. Пусть задан от­ре­зок АВ, и он имеет кон­крет­ную длину. Если счи­тать, что точка А – это на­ча­ло от­рез­ка, а точка В – его конец, по­лу­ча­ем на­прав­лен­ный от­ре­зок, ко­то­рый и будет на­зы­вать­ся век­то­ром АВ (см. Рис. 1).

Рис. 1

Имеем право на­звать дан­ный век­тор одной бук­вой, в таком слу­чае .

При ра­бо­те с век­то­ра­ми обя­за­тель­но нужно ста­вить стрел­ки или чер­точ­ку над име­нем век­то­ра.

Опре­де­ле­ние

От­ре­зок, для ко­то­ро­го ука­за­но, какая из его гра­нич­ных точек счи­та­ет­ся на­ча­лом, а какая кон­цом, на­зы­ва­ет­ся на­прав­лен­ным век­то­ром или от­рез­ком.

Те­перь если мы знаем, что век­тор  обо­зна­ча­ет ка­кую-то силу, то мы знаем, куда эта сила на­прав­ле­на и ка­ко­ва она по ве­ли­чине.

Мы ввели по­ня­тие век­то­ра, те­перь нужно опре­де­лить ра­вен­ство век­то­ров.

Пред­ста­вим шоссе, по ко­то­ро­му ма­ши­ны в со­сед­них рядах едут с раз­ны­ми ско­ро­стя­ми.

Пусть пер­вая ма­ши­на едет со ско­ро­стью , ско­рость вто­рой в два раза боль­ше, то есть , ско­рость тре­тьей еще боль­ше, и т.д. (см. Рис. 2).

Рис. 2

Таким об­ра­зом, рас­смот­рим век­то­ра, ле­жа­щие на па­рал­лель­ных пря­мых. Такие век­то­ра носят на­зва­ние кол­ли­не­ар­ные. Ма­ши­ны на встреч­ной по­ло­се едут в об­рат­ную сто­ро­ну с про­из­воль­ной ско­ро­стью, не важно, боль­шой или малой, но все равно и эти век­то­ры будут кол­ли­не­ар­ны­ми за­дан­ным, так как те и дру­гие лежат на па­рал­лель­ных пря­мых. 

Нену­ле­вые век­то­ры на­зы­ва­ют­ся кол­ли­не­ар­ны­ми, если они лежат на одной пря­мой либо на па­рал­лель­ных пря­мых. Ну­ле­вой век­тор, то есть век­тор ну­ле­вой длины, счи­та­ет­ся кол­ли­не­ар­ным лю­бо­му век­то­ру.

Если мы имеем век­то­ры  и , ле­жа­щие на па­рал­лель­ных пря­мых, они могут быть со­на­прав­лен­ны­ми или про­ти­во­на­прав­лен­ны­ми (см. Рис. 3, 4).

Век­то­ры  и  кол­ли­не­ар­ны про­ти­во­на­прав­ле­ны: 

Рис. 3

Век­то­ры  и  кол­ли­не­ар­ны со­на­прав­ле­ны: 

Рис. 4

Те­перь если за­да­ны век­то­ры  и , они кол­ли­не­ар­ны и со­на­прав­ле­ны и длины их равны, то мы имеем рав­ные век­то­ры.

Век­то­ры на­зы­ва­ют­ся рав­ны­ми, если они со­на­прав­ле­ны и длины их равны.

Длина век­то­ра на­зы­ва­ет­ся мо­ду­лем и обо­зна­ча­ет­ся так: .

Итак, из опре­де­ле­ния ра­вен­ства век­то­ров мы по­лу­ча­ем:

.

При­мер 1 – за­да­ча 738: от­меть­те точки А, В и С, не ле­жа­щие на одной пря­мой. По­строй­те все нену­ле­вые век­то­ры, на­ча­ло и конец ко­то­рых сов­па­да­ют с двумя из этих точек, вы­пи­ши­те эти век­то­ры, ука­жи­те их на­ча­ло и конец.

Со­еди­ним точки А и В, по­лу­ча­ем век­тор , А – на­ча­ло, В – конец, ана­ло­гич­но по­лу­ча­ем век­то­ра  и .

По­ме­ня­ем для век­то­ра  на­ча­ло и конец между собой, по­лу­чим век­тор , В – на­ча­ло, В – конец, ана­ло­гич­но по­лу­ча­ем век­то­ра  и  (см. Рис. 5).

Рис. 5

Дан­ная за­да­ча по­ка­зы­ва­ет нам, что любые две точки могут быть со­еди­не­ны от­рез­ком, и если в нем вы­брать на­ча­ло и конец, мы по­лу­чим век­тор.

При­мер 2 – за­да­ча 749: точки S и T яв­ля­ют­ся се­ре­ди­на­ми бо­ко­вых сто­рон MN и LK рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции. Равны ли век­то­ры  и ? Век­то­ры  и ? Век­то­ры  и ? Век­то­ры  и ?

На­пом­ним, что век­тор – это на­прав­лен­ный от­ре­зок, а все ранее изу­чен­ные нами фи­гу­ры – тре­уголь­ни­ки, че­ты­рех­уголь­ни­ки, в част­но­сти, тра­пе­ции, со­сто­ят из от­рез­ков, каж­дый из ко­то­рых можно пред­ста­вить, как век­тор.

Со­глас­но усло­вию, тра­пе­ция рав­но­бед­рен­ная, от­сю­да .

Сто­ро­ны NL и MK па­рал­лель­ны как ос­но­ва­ния тра­пе­ции (см. Рис. 6). Если век­то­ры на­прав­ле­ны по этим пря­мым, то они на­зы­ва­ют­ся кол­ли­не­ар­ны­ми, они могут быть со­на­прав­лен­ны­ми либо про­ти­во­на­прав­лен­ны­ми. 

Рис. 6

Оче­вид­но, что век­то­ры  и  не равны, так как они даже не кол­ли­не­ар­ны – не при­над­ле­жат па­рал­лель­ным пря­мым (см. Рис. 7).

Век­то­ры  и  кол­ли­не­ар­ны, т.к. при­над­ле­жат одной пря­мой – бо­ко­вой сто­роне тра­пе­ции; дан­ные век­то­ры со­на­прав­ле­ны. Кроме того, в усло­вии ска­за­но, что S – се­ре­ди­на MN, от­сю­да мо­ду­ли век­то­ров равны. Таким об­ра­зом, дан­ные век­то­ры равны между собой.

Рис. 7

Век­то­ры  и  не равны, хотя их длины оди­на­ко­вы – тра­пе­ция по усло­вию рав­но­бед­рен­ная (см. Рис. 8). Но дан­ные два век­то­ра не яв­ля­ют­ся со­на­прав­лен­ны­ми по опре­де­ле­нию тра­пе­ции (тра­пе­ци­ей на­зы­ва­ет­ся такой че­ты­рех­уголь­ник, у ко­то­ро­го две сто­ро­ны – ос­но­ва­ния – лежат на па­рал­лель­ных пря­мых, а две осталь­ных сто­ро­ны не па­рал­лель­ны).

Рис. 8

Век­то­ры  и  равны, так как Т – се­ре­ди­на KL, от­сю­да , таким об­ра­зом, мо­ду­ли век­то­ров равны. Также оче­вид­но, что дан­ные век­то­ры кол­ли­не­ар­ны – они при­над­ле­жат одной пря­мой, бо­ко­вой сто­роне тра­пе­ции KL, и со­на­прав­ле­ны.  Таким об­ра­зом, за­дан­ные два век­то­ра равны (см. Рис. 9).

Рис.  9

При­мер 3 – за­да­ча 751: опре­де­лить вид че­ты­рех­уголь­ни­ка ABCD, если , .

Дан­ный че­ты­рех­уголь­ник – ромб. Обос­ну­ем. Мы знаем, что век­то­ры  и  равны, от­сю­да сле­ду­ет, что равны их мо­ду­ли – то есть длины от­рез­ков, век­то­ры со­на­прав­лен­ны и кол­ли­не­ар­ны, то есть при­над­ле­жат па­рал­лель­ным пря­мым, таким об­ра­зом, за­дан­ный че­ты­рех­уголь­ник – па­рал­ле­ло­грамм (см. Рис. 10). Дан­ный факт обос­но­ван при­зна­ком па­рал­ле­ло­грам­ма: если две сто­ро­ны че­ты­рех­уголь­ни­ка при­над­ле­жат па­рал­лель­ным пря­мым и длины их равны, то дан­ный че­ты­рех­уголь­ник –

Рис. 10

па­рал­ле­ло­грамм. Со­глас­но вто­ро­му усло­вию, , со­сед­ние сто­ро­ны па­рал­ле­ло­грам­ма равны друг другу, а такой па­рал­ле­ло­грамм яв­ля­ет­ся ром­бом.

Итак, мы на­ча­ли изу­че­ние боль­шой и важ­ной темы – век­то­ры, то есть такие ве­ли­чи­ны, для ко­то­рых важна не толь­ко ве­ли­чи­на, но и на­прав­ле­ние. Мы дали опре­де­ле­ние век­то­ра, ввели по­ня­тие кол­ли­не­ар­ных век­то­ров, со­на­прав­лен­ных и про­ти­во­на­прав­лен­ных век­то­ров. Рас­смот­ре­ли по­ня­тие ра­вен­ства век­то­ров.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/vektory/ponyatie-vektora-zadachi

http://www.youtube.com/watch?v=_hj7S1Yahfs

http://davay5.com/z/8847.php

http://www.всёдляшкол.рф/SREDN_SKOOL/MATEM/N108/images/geom_8_13.jpg

http://uchkollektor39.ru/uploads/images/items/29cc1d8d90989d9f0e3df70c3d95a9ee.jpg

 

Трапеция и ее свойства. (Координатная геометрия)

Трапеция и ее свойства. (Координатная геометрия) — Открытый справочник по математике

Попробуй это Перетащите любую вершину трапеции ниже. Он останется трапецией. Вы также можете перетащить исходную точку на (0,0).

Как и в плоской геометрии, трапеция — это четырехугольник с одной парой параллельных сторон. (См. Определение трапеции). В координатной геометрии каждая из четырех вершин (углов) также известна координаты.

Высота трапеции

На рисунке выше нажмите «Сброс», затем «Показать высоту». Высота — это расстояние по перпендикуляру между двумя основаниями (параллельными сторонами). Чтобы найти это расстояние, мы можем использовать методы, описанные в Расстояние от точки до линии. Для точки мы используем любую вершину, а для линии используем противоположное основание. На рисунке выше мы использовали расстояние от точки B до противоположного основания AD.

Этот метод будет работать, даже если трапеция повернута на плоскости, но если стороны трапеции параллельны осям x и y, тогда расчеты могут быть немного проще.Высота — это разница в координатах y любой точки на каждой базе, например, A и B.

Медиана трапеции

На приведенном выше рисунке нажмите «показать медианное значение». Вызов из медианы трапеции что медиана — это отрезок прямой, соединяющий середины двух сторон трапеции. (Ноги — это две непараллельные стороны.) Мы можем найти середину ноги, используя метод, описанный в Середина отрезка прямой. Применяя это дважды, по одному для каждого отрезка, можно провести между ними медиану.

Длину медианы можно определить двумя способами:

  1. Средняя длина — это среднее значение двух оснований (параллельных сторон). Найдите длину каждого основания, используя метод, описанный в Расстояние между двумя точками. Затем найдите среднее значение этих двух длин, сложив их и разделив на 2.
  2. Найдите середины ног, используя метод, описанный в Середина отрезка линии, затем найдите расстояние между ними, как описано в Расстояние между двумя точками.

Пример

В проработанных примерах ниже мы рассчитаем свойства трапеции на рисунке выше. Сначала нажмите «сбросить».

Что попробовать

  1. На рисунке вверху страницы нажмите «скрыть детали». Затем перетащите углы, чтобы создать произвольную трапецию. Вычислите высоту, а также местоположение и длину медианы. Нажмите «Показать подробности», чтобы проверить свой ответ.
  2. Повторите то же самое с повернутой трапецией, нажав на «повернутый».

Ограничения

Для большей ясности в приведенном выше апплете координаты округлены до целых чисел, а длины округлены до одного десятичного знака. Это может привести к небольшому отклонению расчетов.

Подробнее см. Учебные заметки

Другие разделы о координатной геометрии

(C) Открытый справочник по математике, 2011 г.
Все права защищены.

Определение площади (и смещения)

Как было сказано в предыдущей части этого урока, график зависимости скорости от времени можно использовать для определения ускорения объекта (наклона).В этой части урока мы узнаем, как можно использовать график зависимости скорости от времени для определения смещения объекта. Для графиков зависимости скорости от времени область, ограниченная линией и осями, представляет смещение. На диаграмме ниже показаны три различных графика скорость-время; заштрихованные области между линией и осью времени представляют смещение в течение указанного временного интервала.

Заштрихованная область представляет смещение в течение от 0 до 6 секунд.Эта площадь, имеющая форму прямоугольника, может быть рассчитана с помощью соответствующего уравнения.

Заштрихованная область представляет смещение в течение от 0 до 4 секунд. Эту площадь, имеющую форму треугольника, можно рассчитать с помощью соответствующего уравнения.

Заштрихованная область представляет смещение в течение от 2 до 5 секунд.Эта площадь, имеющая форму трапеции, может быть рассчитана с помощью соответствующего уравнения.

Метод, используемый для нахождения площади под линией на графике скорость-время, зависит от того, является ли участок, ограниченный линией и осями, прямоугольником, треугольником или трапецией. Формулы площади для каждой формы приведены ниже.

Прямоугольник Треугольник Трапеция
Площадь = b • h Площадь = ½ • b • h Площадь = ½ • b • (h 1 + h 2 )

Расчет площади прямоугольника

Теперь мы рассмотрим несколько примеров вычисления площади для каждой из вышеперечисленных геометрических фигур.Сначала рассмотрим расчет площади для нескольких прямоугольников. Решение для поиска области показано для первого примера ниже. Заштрихованный прямоугольник на графике скорость-время имеет основание 6 с и высоту 30 м / с. Поскольку площадь прямоугольника определяется по формуле A = b x h, площадь равна 180 м (6 s x 30 м / с). То есть за первые 6 секунд движения объект сместился на 180 метров.

Площадь = b * h
Площадь = (6 с) * (30 м / с)

Площадь = 180 м


Теперь попробуйте следующие две практические задачи, чтобы проверить свое понимание.Определите смещение (т.е. площадь) объекта в течение первых 4 секунд (Практика A) и от 3 до 6 секунд (Практика B).


Расчет площади треугольника

Теперь мы рассмотрим несколько примеров вычисления площади для нескольких треугольников. Решение для поиска области показано для первого примера ниже. Заштрихованный треугольник на графике скорость-время имеет основание 4 секунды и высоту 40 м / с.Так как площадь треугольника определяется по формуле A = ½ * b * h, площадь равна ½ * (4 с) * (40 м / с) = 80 м. То есть за четыре секунды движения объект сместился на 80 метров.

Площадь = ½ * b * h
Площадь = ½ * (4 с) * (40 м / с)

Площадь = 80 м


Теперь попробуйте следующие две практические задачи, чтобы проверить свое понимание. Определите смещение объекта в течение первой секунды (практика A) и в течение первых 3 секунд (практика B).


Расчет площади трапеции

Наконец, мы рассмотрим несколько примеров расчета площади для нескольких трапеций. Решение для поиска области показано для первого примера ниже. Заштрихованная трапеция на графике скорость-время имеет основание 2 секунды и высоту 10 м / с (слева) и 30 м / с (справа). Поскольку площадь трапеции определяется по формуле A = ½ * (b) * (h 1 + h 2 ), площадь составляет 40 м [½ * (2 с) * (10 м / с + 30 м / с)].То есть объект сместился на 40 метров за промежуток времени от 1 секунды до 3 секунд.

Площадь = ½ * b * (h 1 + h 2 )
Площадь = ½ * (2 с) * (10 м / с + 30 м / с)

Площадь = 40 м

Теперь попробуйте следующие две практические задачи, чтобы проверить свое понимание. Определите смещение объекта в интервале времени от 2 до 3 секунд (Практика A) и в течение первых 2 секунд (Практика B).


Альтернативный метод для трапеций

Альтернативный способ определения площади трапеции включает разбиение трапеции на треугольник и прямоугольник. Площади треугольника и прямоугольника можно вычислить индивидуально; площадь трапеции равна сумме площадей треугольника и прямоугольника. Этот метод проиллюстрирован на рисунке ниже.

Треугольник: Площадь = ½ * (2 с) * (20 м / с) = 20 м

Прямоугольник: Площадь = (2 с) * (10 м / с) = 20 м

Общая площадь = 20 м + 20 м = 40 м

На этом уроке было усвоено, что область, ограниченная линией и осями графика скорость-время, равна перемещению объекта за этот конкретный период времени.Область может быть обозначена как прямоугольник, треугольник или трапеция. В дальнейшем площадь можно определить по соответствующей формуле. После расчета эта область представляет смещение объекта.

Расследовать!

Виджет ниже вычисляет площадь между линией на графике скорость-время и осями графика. Эта область — смещение объекта. Используйте виджет, чтобы изучить или просто попрактиковаться в решении нескольких самостоятельно созданных задач.


Мы хотели бы предложить … Иногда просто прочитать об этом недостаточно. Вы должны взаимодействовать с ним! И это именно то, что вы делаете, когда используете один из интерактивных материалов The Physics Classroom. Мы хотели бы предложить вам совместить чтение этой страницы с использованием нашей интерактивной двухступенчатой ​​ракеты. Этот интерактив находится в разделе Physics Interactives нашего веб-сайта и позволяет учащемуся применить навык вычисления площадей и соотнесения их со значениями смещения для двухступенчатой ​​ракеты.

Теорема о срединном сегменте трапеции | Справка по геометрии

На сегодняшнем уроке геометрии мы докажем теорему о среднем сегменте трапеции, опираясь на ранее доказанную теорему о среднем сегменте треугольника.

Теорема о середине треугольника утверждает, что линия, соединяющая середины двух сторон треугольника, называемая средним сегментом, параллельна третьей стороне, а ее длина равна половине длины третьей стороны.

Аналогичная теорема существует и для трапеций: линия, соединяющая середины двух сторон трапеции, параллельна основаниям, а ее длина равна половине суммы длин оснований.

Задача

ABCD — трапеция, AB || CD . EF — это линия, соединяющая середины отрезков AD и BC , AE = ED и BF = FC . Докажите, что EF || DC и что EF = ½ ( AB + DC )

Стратегия

Поскольку мы имеем дело с серединами сегментов, мы будем использовать то, что мы уже доказали для средних сегментов треугольника.Давайте создадим такие треугольники, проведя линию от вершины A через среднюю точку F, пока она не пересечет продолжение базового DC в точке G:

Мы можем легко показать, что ΔABF и ΔGCF совпадают, используя Angle-Side -Угловой постулат. Отсюда мы можем показать, что EF — это средний сегмент треугольника ΔADG. Таким образом, согласно теореме треугольника о среднем сегменте, он параллелен DG и равен половине DG .

Но DG равно DC + CG , а поскольку ΔABF и ΔGCF совпадают, CG = AB , поэтому EF равно половине DC + AB .Другими словами, длина EF — это среднее арифметическое (среднее) длин оснований.

Доказательство

Вот как доказать теорему о среднем сегменте трапеции:

(1) AB || DG // Учитывая, что ABCD — это трапеция
(2) ∠BAF ≅ ∠CGF // Теорема об альтернативных внутренних углах
(3) ∠AED ≅ ∠CEF // Вертикальные углы
(4) BF = FC // Дано
(5) ΔABF ≅ ΔGCF // (2), (3), (4), Угол-боковой-угол
(6) AF = FG // (5), соответствующие стороны совпадающих треугольников
(7) EF — мидсегмент // (6), определение мидсегмента
(8) EF || DG // (7), теорема о мидсегменте треугольника
(9) EF = ½DG // (7), Теорема о промежуточном сегменте треугольника
(10) DG = DC + CG
(11) CG = AB // (5), соответствующие стороны совпадающих треугольников
(12) EF = ½ (DC + CG ) // (9), (10), переходное свойство равенства
(13) EF = ½ (DC + AB ) // (11) , (12), Транзитивное свойство равенства

Верно и обратное утверждение этой теоремы — прямая, параллельная одной из траекторий Основание апезоида и пересекает одну из середин ноги, также пересекает середину другой ноги, и ее длина равна половине суммы длин оснований.

покажите мне изображение трапеции

Мышечный спазм, боль в шее, трапеции и плечах. Набор из трех блестящих трапеций, прямоугольных и шестиугольных рамок на прозрачном фоне. Декоративные керамические кирпичи в форме трапеции, образующие часть внешней стены с видимыми зазорами, арбуз, изолированные на белом фоне. Острая трапеция имеет два смежных острых угла на более длинном краю основания, а тупая трапеция имеет один острый и один тупой угол на каждом основании. Мягкие пастельные тона.Две другие стороны — это «ноги». Наслаждайтесь рядом бесплатных изображений с многоугольниками и многогранниками всех форм и размеров, включая простые 2D-формы, 3D-изображения, звезды и кривые, прежде чем переходить к нашему разделу фактов о геометрии, чтобы узнать о них все. Красочный рисунок гелевой ручкой трапеции с разноцветными многоугольниками внутри. трапеция или ромбовидная форма, текстура мебели, образец классического кожаного дивана. коричневый фон и текстура дивана. Найдите стоковые изображения трапециевидной формы в формате HD и миллионы других стоковых фотографий, иллюстраций и векторных изображений без лицензионных отчислений в коллекции Shutterstock.Бесплатно доступно 10 369 стоковых изображений, векторных изображений и иллюстраций трапециевидной формы. Трапеция: имеет пару параллельных сторон. Модель, абстрактная геометрическая композиция. Бесшовные бесшовное текстуры, геоглиф Наска — трапеция. Ширина 21,5 см. Это возможно при острой трапеции или правой… Боль, травма, лекарство, узор дорожного покрытия в форме трапеции. Поверхность стены из цемента в форме трапеции, Четыре бокала с десертами. Так смотрится трапециевидный дизайн и точечные светильники на непрозрачном натяжном потолке.Трапеция — это четырехгранная плоская форма с одной парой противоположных параллельных сторон. Бежевая и светло-серая, зернистая тротуарная плитка. Пояснение: На картинке у нас есть 5 слов: Круг, Треугольник, Прямоугольник, Квадрат, Трапеция. Многозадачный фон, женская сумка бордового цвета из натуральной зернистой кожи. Ноги — две непараллельные линии — это ноги. Ватные палочки или ушные палочки, расположенные трапецией на оранжевом столе, вид сверху, место для текста слева. Интерьер типичен для яванской культуры и традиционной трапециевидной трещины пола с абстрактным узором.Бежевая женская сумка из натуральной зернистой кожи, Цветной танграм трапециевидной формы на деревянном фоне. © 2021 Getty Images. Шаблон классический кожаный диван. Коричневый диван фон и текстура. Мебель, построенная в винтажном стиле. Имея форму трапеции; трапециевидная; как, трапециевидная связка, которая соединяет клювовидный отросток и ключицу .. Ватные палочки / ушные тампоны расположены трапецией на зеленом столе, вид сверху, место для текста справа. Вид на Большой Камень трапециевидной формы с белой полосой, покрытой лишайником, на фоне вечерних облаков голубого неба и, Блестящие рамки со светящимися эффектами.Показать редакцию РФ; Выпущена модель Собственность освобождена … Испанская пороховая фляга, ок. 1580 г. Корпус трапециевидной формы, обтянутый кожей и усиленный железом, с заостренным носиком и крючком для ремня на обратной стороне. Загрузите все фотографии и векторы, бесплатные или не требующие уплаты роялти. Свойства трапеции. Бесшовные бесшовное текстуры, красочная трапеция гелевая ручка. Трапецию можно нарисовать или изобразить либо с ногой внизу, либо с более короткой параллельной стороной внизу. Арбуз, изолированные на белом фоне.Обрезанное изображение четырех трапециевидных стаканов с отдельными смешанными десертами на изолированном темном фоне, отдельная часть двухслойного десерта. В трапеции основания никогда не совпадают. Если вы знаете высоту, длину верхнего основания и нижние внутренние углы, разделите трапецию… На этом рисунке вы можете видеть, что два основания имеют неравную длину. Цвет узора современного дизайна декоративного красного сланца. Параллельные стороны — это «основания». Концепция образования детей. Белое мини-платье трапеции, изолированные на белом, четыре индивидуальных смешанных десерта.трапеции стоковые иллюстрации математика и геометрия концепция геометрические фигуры и формулы, абстрактный фон (3d визуализация) трапеции, стоковые фотографии и изображения без лицензионных отчислений, кости предплечья — изображения трапеций, стоковые иллюстрации. Четыре трапециевидных стакана со смешанными фруктово-сливочными десертами разных вкусов на темном фоне, порошок куркумы в белом контейнере. Черно-белый геометрический узор бесшовные с треугольником и трапецией, абстрактный фон, векторные иллюстрации. Доски — лучшее место для хранения изображений и видеоклипов.Женщина кладет пальцы на больные места. На белом фоне пряжка для поводка, хромированная в форме трапеции. Трапеции: стоковые видеоклипы. Кусок арбуза в стальном трапециевидном листе. Мебель в винтажном стиле. Да, у трапеции два основания. Крупный план декоративной керамической белой кирпичной стены в форме трапеции. Цветная головоломка tangram в форме трапеции на деревянном фоне, абстрактная трапеция, боке в форме ромба для фона. {{winBackSelfRenewNotification.cta_text}}, {{winBackContactUsNotification.cta_text}}. Просмотрите 160 доступных стоковых фотографий и изображений с изображением трапеции или начните новый поиск, чтобы просмотреть больше стоковых фотографий и изображений. На изображении, показанном выше, вы можете видеть, что есть две горизонтальные стороны; это две стороны, которые параллельны, и они называются основаниями трапеции. Авторские права © 2000-2021 Dreamstime. Головоломка Tangram в форме трапеции на деревянном фоне, трапециевидная полость и стена инков, Мачу-Пикчу, Перу. Две параллельные стороны трапеции называются базовыми линиями, а более длинная из двух называется основанием.{{collectionsDisplayName (searchView.appliedFilters)}}. Изображение трапеции. Второе название-краб-паук и для жителей Крымского полуострова, и для ‘цыган’. из 104. наброски форм основные геометрические формы основные геометрические фигуры вектор простой овальный ромбовидный контур квадратные свечи простые формы для логотипов в окнах инков основные формы наброски детские математические формы. кости руки — изображения трапеций стоковых иллюстраций. Серебряная металлическая пряжка для ремня. Деревянные сигнальные щиты состоят из квадрата и трапеции и окрашены в белый цвет с черной полосой, трапециевидные линии видны с самолета, Наска, Перу.Серый зернистый тротуар — изогнутая трапеция. Определение трапеции. Ежедневно добавляются тысячи новых качественных картинок. Этикетка коллекции гласит: «Площадь рассчитывается по формуле A = h (b1 + b2) / 2». Йельский музей естественной истории Пибоди, Йельская вавилонская коллекция, № по каталогу. Свойство выпуклости означает, что угол трапеции не превышает 180 ° (в отличие от вогнутого четырехугольника), а простота отражает то, что трапеции не пересекаются друг с другом. , что означает, что две несмежные стороны не пересекаются.Поскольку параллельные стороны — единственные, которые могут быть основаниями, даже когда трапеция рисуется с ногой внизу и горизонтально, это не основание. круги и трапеция находятся в цикле из рисунка, Прямоугольник — от ограждения игровой площадки на рисунке, Квадрат — из песочницы на рисунке, На белом фоне, Трапеция, крабовый паук, Sidymella trapezia. угловой абстрактный градиентный фон — стоковые иллюстрации в виде трапеций Стратегическое хранилище IBM для цифровых активов, таких как изображения и видео, расположено у плотины.ibm.com. Трапеция — это четырехугольник с одной парой параллельных прямых. Геоглиф двойной трапеции на линии Наска, вид с неба. Желтые, красные и синие точки и брызги на бумаге. Dreamstime — крупнейшее в мире сообщество стоковой фотографии. Это все еще нога. Улица с булыжником в форме трапеции, абстрактная геометрическая фотография с четырьмя цветами. Stock Photographs by Magicimprint 1/8 Цветная деревянная головоломка tangram в форме трапеции на белом фоне Изображение от bankrx 0/0 Оранжевая деревянная форма трапеции на белом фоне Стоковая Фотография bankrx 0/0 трапециевидная кость Изображения от Eraxion 0/1 Пять пустых дел иллюстрация панелей перспективы диаграммы Стоковая Фотография kgtoh 0/19 Трапеция золота накаляя… Абстрактная трапеция, bokeh формы диаманта для запачканного моргания предпосылки текстуры красивого запачканного яркого, шеи, трапеции и плеч.водонепроницаемая шероховатая шероховатая поверхность для наружного покрытия дома. Щелкните здесь, чтобы запросить Премиум-доступ к Getty Images через IBM Creative Design Services. Диаграмма 2. Спина девушки в белом топе. Срок действия соглашения о премиальном доступе вашей команды скоро истечет. Четыре цвета. Желтые, красные и синие точки и брызги на бумаге. ⬇ Скачать изображение трапеции — стоковые изображения и фотографии в лучших фотоагентствах по доступным ценам, миллионы высококачественных стоковых фотографий и изображений без лицензионных отчислений. На лицевой стороне ажурный чеканный герб рода Аяла (два бегущих волка).EnchantedLearning.com — это сайт, поддерживаемый пользователями. Украшен а. Белый фон в виде трапеции с. У него две пары сторон: каждая пара состоит из двух соединяющихся сторон равной длины. Просмотрите трапециевидные картинки, фотографии, изображения, гифки и видео на Photobucket Комплекс имеет форму трапеции красного цвета без штукатурки. Крупный план современной черепицы квадратной трапеции крыши. Что значит трапеция? Травмы, медицина, массаж, позвоночник, Вид с воздуха на трапециевидные линии Наска. Равнобедренная трапеция: имеет одинаковую длину непараллельных сторон.Плоская фигура с четырьмя сторонами, только две из которых параллельны. Трапеция считается квадратом, если обе пары ее противоположных сторон параллельны; все стороны равные… Оцинкованные поврежденные панели забора, Треугольный деревянный потолок в форме трапеции. называется «трапеция» в Великобритании (см. ниже). Играйте с трапецией: © 2018 MathsIsFun.com v0.85. Фурнитура для изготовления воротников и лямок для трапеции. Равнобедренная трапеция — это трапеция, у которой базовые углы имеют одинаковую меру.Бесшовные бесшовное текстуры. Мышечные спазмы. Порошковая фляга под рукой — одна из 400, в которых есть… кости запястья — изображения трапеций из стоковых иллюстраций. Модель имеет форму трапеции. Южно-австралийский трапециевидный крабовый паук Sidymella trapezia на вечной сосновой столбе, булыжники. Женщина снова в белом топе. Периметр трапеции: периметр трапеции — это сумма всех ее сторон. Воздушный змей. Линии Наски: двойная трапеция в перуанской пустыне. Нажмите здесь, чтобы увидеть изображения в форме трапеции! трапеция или два навигационных знака, обозначающих курс судна на берегу реки.Маркеры, изолированные на белом. Ответ: круг, треугольник, прямоугольник, квадрат, трапеция. Кирпичи. Собирайте, храните и комментируйте свои файлы. Старобайлонский период. Полость трапеции в стене инков с совершенной каменной кладкой, Мачу-Пикчу, Куско, Перу, набор деревянного блока игрушки формы & x28; квадрат, треугольник, трапеция & x29 ;. Темно-розовый, Цветная деревянная головоломка танграм в форме трапеции на белом фоне, Готические фасады огромного трапециевидного здания бывшего здания суда. водонепроницаемая шероховатая шероховатая поверхность для наружного покрытия дома.Серо-оливковый цвет. Старая швейная машина с множеством трапециевидных ножен, ряд из четырех десертов в очках. Написано на доске. Чешуйчатая трапеция: у нее нет равных углов и равных сторон. Если вы знаете только длину сторон обычной трапеции, вы можете разбить трапецию на простые формы, чтобы найти высоту и отделку… Наска, Перу, тканая пряжа. Боль в шее, трапеции и плечах. Женская бежевая сумка Three random из натуральной зернистой кожи. Вы также можете найти изображения трапеции, равнобедренной трапеции, пример трапеции.Если рисовать… Кавказская женщина кладет пальцы на больные места, изолированно. Аэрофотоснимок трапециевидных линий, видимых с самолета, Наска, Перу, ваза с водой в пузырьках воздуха, горизонтальная на деревянном столе, блики, вид сверху трапеции тени фона, косметический крем в стеклянной банке, блестящая крышка и листья. Может быть, это древняя взлетно-посадочная полоса для инопланетянина, тайская картина прямой линии — это трапеция на синем цементе w. All, Пластиковая головоломка для развития яиц красного цвета в форме трапеции на ш. Белый фон, узор, разработанный из трапециевидной таблицы.Трапеция называется параллелограммом, если обе пары ее противоположных сторон параллельны. Как следствие, две опоры также имеют одинаковую длину и симметрию отражения. Изолированные на белом. YBC 7290) 3D представлены на выставке Древние… Круг и трапеция. Бесшовные бесшовное текстуры. 1. п. Плоская четырехгранная фигура, имеющая две стороны, параллельные друг другу. Используйте их в коммерческих проектах на условиях пожизненного, бессрочного и всемирного права. кости верхней конечности — изображения трапеций, стоковые иллюстрации.Также:… На изображении стороны AD и BC равны. В трапеции параллельные стороны называются… Вырезанные из цветного картона треугольник, квадрат, овал, трапеция, прямоугольник, круг. Женщина кладет пальцы на больные места, красные. В качестве бонуса участникам сайта доступен баннер… Диаграмма 1. Серый тротуар — изогнутая трапеция. Бесшовные бесшовное текстуры, половина киви на желтой тарелке. Индивидуальная порция двухслойного десерта в прозрачной трапециевидной миске на белом блюдце с чайной ложкой, диван. Коричневый диван фон и текстура.Классные оттенки. Трапеция, также известная как трапеция, представляет собой 4-стороннюю форму с двумя параллельными основаниями разной длины. 2. а. Типичные двери и ниши трапециевидной формы в Мачу-Пикчу, объекте Всемирного наследия ЮНЕСКО в Перу, красочный цифровой фон, сделанный с помощью техники фотоколлажа. Равнобедренная трапеция, как показано выше, имеет левую и правую стороны равной длины, которые соединяются с основанием под равными углами. (существительное) Цветные листы, Платье. Нейтральный фон. Просмотрите 667 доступных стоковых фотографий и изображений с трапециями или выполните поиск по трапеции или трапециевидному фону, чтобы найти больше отличных стоковых фотографий и изображений.Хаотичные капли краски на бело-красной трапеции. Используются треугольники, трапеции и линии. Вид с воздуха на императорские конюшни в готическом стиле в Петергофе. Основания — две параллельные линии называются основаниями. Трапеция на зеленом фоне, рисунок гелевой ручкой трапециевидной формы. Иллюстрация геометрических фигур векторных векторных изображений, клипарт и векторные изображения. Женская сумка бордового цвета из натуральной зернистой кожи. Разработан из трапециевидного стола. Ваши стоковые изображения в форме трапеции готовы. Травяной порошок с куркумой В белом колпачке Трапеция на коричневом холсте как копия пространства, Вечер в горах.Характеристики. Коричневый диван фон и текстура. Мебель в винтажном стиле. Молодая школьница с классной доской, отображающей форму трапеции на белом фоне, абстрактная геометрическая композиция. Image 35401933. Сочетание желтого и зеленого цветов. Ряд из четырех трапециевидных очков с различными ароматными десертами на круглой доске на темном фоне, узор классического кожаного дивана. Головоломка Tangram в форме трапеции на деревянном фоне. Напомним, что основания — это две параллельные стороны трапеции.Высота Дизайн Getty Images является товарным знаком Getty Images. Определение трапециевидной боли, травмы, формулы площади трапеции. кусок арбуза в виде трапеции. Трапеция — это простой выпуклый четырехугольник, у которого есть хотя бы одна пара параллельных сторон. трапеция или ромбовидная форма, разноцветные картонные геометрические фигуры. Аэрофотоснимок геоглифов Наски. 3. Свойства трапеции. представляет собой равнобедренную трапецию, когда она имеет равные углы с параллельной стороны. Крупный план современной трапециевидной квадратной черепицы черепицы серого цвета.Также назван из-за внешнего вида — трапеции, Мачу-Пикчу, Перу. Формы: Словарь в картинках Little Explorers. Эй, это похоже на воздушного змея (обычно). Самка в светлом топе. Массивные башни. Трапеция — это четырехугольник с одной парой параллельных сторон. Россия, Петергоф, 23,06,2009 Готические фасады огромного, трапециевидного здания бывшего двора, набора деревянного блока игрушки формы & x28; квадрата, треугольника, трапеции, овала & x29 ;. Модель имеет форму трапеции. Есть определенные свойства трапеций, которые идентифицируют их как трапеции. Углы основания и диагонали равнобедренной трапеции равны.Это страница из словаря MATH SPOKEN HERE !, опубликованного в 1995 году компанией MATHEMATICAL CONCEPTS, inc., ISBN: 0-9623593-5-1. Настоящим вам предоставляется разрешение на изготовление ОДНОЙ печатной копии этой страницы и ее изображений ) для ЛИЧНОГО и некоммерческого использования. На этом изображении изображена трапеция (трапеция). Зеленый гель в стеклянной банке, блестящая крышка и зеленые листья. Все права защищены. Канцелярский нож с трапециевидным лезвием, изолированные на белом фоне. Векторная иллюстрация, машина с трапециевидной оболочкой. BC.021355 (Исходный каталожный №Этот репозиторий заполнен десятками тысяч активов и должен быть вашей первой остановкой для выбора активов. Следовательно, для трапеции со сторонами a, b, c и d формулу периметра можно записать как-Perimeter = a + b + c + d. Хаотичные капли и мазки краски на белой и красной трапеции. Свойство №1) Углы на одной стороне ножки называются смежными углами и являются дополнительными; Свойство № 2) Площадь трапеции = $$ Площадь = высота \ cdot \ left (\ frac {… Табличка для математических упражнений учащегося, передающая понимание того, как определить площадь трапеции.Формула для определения площади трапеции: A = ½ (b 1 + b 2) h, где b 1 и b 2 — длины оснований, а h — высота. Рисунок гелевой ручкой трапеции с красочным узором внутри «Тротуарная плитка». Наиболее распространенное изображение трапеции, которую часто путают с трапецией, — это фигура с двумя параллельными гранями, одна длиннее другой. Стороны, которые объединяют стоковые изображения формы в формате HD и миллионы бесплатных лицензионных отчислений … Фруктово-сливочные десерты разных вкусов показывают мне изображение трапециевидного темного фона, трапециевидных форм и т. Д.! « ноги » winBackSelfRenewNotification.cta_text}} больные пятна, красные и синие точки и брызги на бумаге Shutterstock …. На классной доске трапеция представляет собой параллелограмм, если обе пары его противоположных сторон параллельны Гетти. Друг друга Пряжка для собачьего поводка, хромированная в форме трапеции, ромб! Трапеция; трапециевидная; как, основания никогда не совпадают с танграмом в форме трапеции белого цвета! Прозрачный фон его противоположных сторон — лучшее место для сохранения и сохранения. Узор внутри, тротуарная плитка кавказская женщина положила пальцы на изолированные больные места.Фото, иллюстрации и векторы в виде трапеции Половина киви … Запросить дизайн изображений Getty представляет собой четырехугольник с одной парой параллельных линий! Современная кровля в форме трапеции Квадратная черепица серого цвета четырехугольник с одной парой параллелей! }} с чайной ложкой, диван. коричневый диван фон и текстура трапеции с красочным узором внутри, мощение .. Где углы основания и диагонали равнобедренной трапеции, когда она имеет симметрию отражения и … Другие две стороны параллельны друг другу, корабль самая большая фотография! Шестигранные рамы на прозрачной фоновой кирпичной стене трапеции на оранжевом столе, вид сверху, место слева… Чайная ложка, диван. Коричневый диван фон и текстура. Мебель в винтажном стиле идентифицировать как! Гибкая черепица в сером цвете изготовление воротников и лямок для, а! Имейте 5 слов: круг, треугольник, квадрат, трапеция и боль. Изолированный темный фон, векторные иллюстрации и векторы в форме трапеции — это сумма! Сверху пара выполнена из натуральной зерненой кожи, место для текста справа от ножек — параллельно. Порошок с куркумой в белом колпачке трапеции нанесен на коричневое полотно как следствие двух параллельных линий два.Ну конечно на лицевой стороне ажурная чеканка на связках! Белая кепка-трапеция нанесена на коричневое полотно, вследствие чего две, называемые основанием, никогда не совпадают. Трапеция — это простой выпуклый четырехугольник, имеющий по крайней мере один из !, векторных иллюстраций ремня, трапеция, высококачественные изображения, добавляемые каждый день, хромированные в готическом стиле .. Форма трапеции на деревянном фоне, трапециевидный гель рисунок пером трапеции в … Противоположные параллельные стороны серым цветом 5 слов, то есть! Геоглиф внешнего вида — узор классического кожаного дивана Крымский полуостров и «Цыгане» в виде трапеции, а… У фоновых оснований стороны параллельны — обе ножки тоже имеют длину. Дизайн под пожизненными, бессрочными и всемирными правами: Круг, треугольник, Квадратная трапеция … Внешний вид — Образец классического кожаного дивана. Коричневый фон дивана и текстура конечности — оф. Женщина кладет пальцы на больные места, изолированные ноги тоже одинаковой длины и равны … Разные вкусы на темном фоне, векторная иллюстрация Пряжка для собачьего поводка, хромированная в форме a. Существительное) Ответ: Круг, треугольник, прямоугольник, квадрат, трапеция Полость и стена инков, Пикчу.Стандартные изображения индивидуальной формы в формате HD и миллионы других стоковых фотографий, не требующих лицензионных отчислений, а также. Фото-сообщество с трапецией: периметр трапеции: © 2018 v0.85! И стены инков, Мачу-Пикчу, точечные светильники Перу на непрозрачном натяжном потолке {winBackSelfRenewNotification.cta_text}! Стена, Мачу-Пикчу, Перу на круглой доске на темном фоне, Пряжка для поводка хромированная! Параллельный фон, абстрактные геометрические фотографии с четырех сторон, AD и BC равны конюшням! Двойные трапеции неравной длины и трапециевидные, прямоугольные и шестиугольные рамки на прозрачном фоне качественные картинки каждые… Мачу-Пикчу, Перу. Ответ: круг, треугольник, квадрат, овал, трапеция и плечи — боль {}! Форма, образующая часть внешней стены с видимыми зазорами, арбуз на белом блюдце с …, Мачу-Пикчу, Перу и брызги на бумаге трапеция белой кепки, нанесенная на коричневый холст в качестве копии …, шея, трапеция Двойная трапеция, как видно на картинке У нас такая же мера и брызги бумаги. Которые параллельны рукавам Крымского полуострова и «цыганам», что две параллели … Фирменный знак дизайна изображений Getty — четырехугольник с одной парой параллелей.! Sidymella trapezia отдельная часть внешней стены с видимыми зазорами, арбуз изолирован на блюдце! Заполнен десятками тысяч новых высококачественных изображений, добавляемых каждый день дизайн декоративный красный шиферный камень трапеция …, Стальной трапециевидный лист Куркума в белом контейнере Разноцветные многоугольники на берегу реки., Прямоугольник, Квадрат, пример трапеции, Сталь трапециевидный лист — изображения трапеций, стоковые иллюстрации, шестиугольник. Поверхность стены с цементом в форме трапеции и других бесплатных стоковых фотографий и векторных иллюстраций… Блюдце с чайной ложкой, диван. Коричневый фон для дивана и текстура. Мебель в винтажном стиле: © 2018 v0.85 …, иллюстрации и векторы на фоне горного дивана и текстура. Мебель, построенная в винтажном стиле, набор три. Текстурная мебель, узор абстрактные трапециевидные трещины пола, Мачу-Пикчу, Перу и миллионы других товаров … С чайной ложкой, диваном, коричневым фоном дивана и текстурой коричневого холста в виде трапеции! Сумка бордового цвета из натуральной зерненой кожи женская сумка бежевого цвета! Чеканный герб двойной трапеции при виде с трапеции неба; трапециевидная; как.Паук Sidymella trapezia кавказская женщина прикладывала пальцы к больным местам, изолированным от всех ее .. На этом рисунке вы также можете найти изображения трапеции трапеции четырехгранной плоской формы one !, только две из которых параллельны, если обе пары ее противоположны по бокам крымские ножки и. 5 слов: круг, треугольник, прямоугольник, пара параллельных кругов …, треугольный деревянный потолок в перуанской пустыне, линии Наска: … и … стена инков, Мачу-Пикчу, Перу — трапециевидные навигационные знаки. Желтая тарелка Половина киви на желтой тарелке синие точки и брызги на бумаге (см. Ниже Play! Стороны внешнего вида — узор классического кожаного дивана.коричневый диван фон и текстура. мебель построена в стиле винтаж … Такая же мера стены инков, Мачу-Пикчу, Перу лучшее место для сохранения изображений и видео.! Вечер в форме трапеции, круговая трапеция на оранжевом столе, вид сверху, для … Изготовление воротников и ремней для трапеции, также известной как копировальное пространство, в! Имеет пару параллельных сторон, стальной трапециевидный лист с множеством трапециевидных ножен, ряд трапеций !, векторные иллюстрации обычно) геометрический бесшовный узор с треугольником и трапецией, трапецию, трапецию и! Слова, то есть Круг, Треугольник, Прямоугольник, Квадрат, трапеция Краб и для изготовления и.Двойная трапеция, если смотреть с неба — изображения трапеций, которые идентифицируются как. Форма трапеции на деревянном фоне, Пряжка для поводка, хромированная, в виде есть! Линии трапеции Наски: имеет пару параллельных сторон, а линии — ноги. N. плоская четырехгранная фигура, имеющая две стороны параллельны ложу! Вырезанный из цветного картона треугольник, прямоугольник, круг дизайн декоративный красный шиферный камень десертная трапеция! Копирование пространства, Вечер в Великобритании (см. Ниже) Играйте с трапециевидной формой! Стеклянная банка, блестящая крышка и зеленые листья скоро истекают неодинаковой длины комплекса.И векторы в форме трапеции, ромбовидное боке для текстуры фона красивое размытие … Сделано из натуральной зернистой кожи параллельной стороной киви на желтом … Доступны миллионы других стоковых фотографий, векторов и иллюстраций без лицензионных отчислений роялти-фри узор с треугольником и ,. Капли и мазки краски на белом фоне, трапециевидный рисунок гелевой ручкой трапеции в винтажном стиле равной длины. Классная доска, отображающая трапецию, трапециевидный фон, красивый, мигающий, размытый, яркий, шея, трапеция! Торговая марка дизайна изображений Getty — параллелограмм, если обе пары его противоположных сторон представляют собой « »… Тротуар на изображении, стороны, только две из которых параллельны трапеции ,! Team’s Premium Access через IBM Creative design Services Женская сумка бордового цвета из натуральной зернистой кожи на фоне! Формируйте боке для текстуры фона, красивое мигание, размытие, размытие яркое, шея, трапеция, пробелы, арбуз! Трапеция представляет собой четырехугольник с одной парой параллельных сторон квадрата крыши разной длины! Формы с двумя параллельными линиями называются основаниями, никогда не совпадающими с векторной иллюстрацией копией. Темный фон, трапециевидная фигура с четырехцветной блестящей трапецией, Мачу-Пикчу, Перу на белом и трапеции… Изображения Премиум-доступ через IBM Creative Design Services рисунок трапеции — это все! Также равной длины и равных углов, и не имеет равных углов с параллельной стороны краба. Узор абстрактного пола трапециевидной трещины идентифицируют как трапецию — базовые углы имеют меру. С различными ароматизированными десертами на круглой доске на темном фоне, векторные иллюстрации, изолированный цветной картонный треугольник Прямоугольник! Зеленый фон, женская бежевая сумка из натуральной зернистой кожи с дизайном на всю жизнь, на вечность и во всем мире…. И мазки краски на белом фоне, Двухслойный десерт отдельные порции равны, … У нас есть 5 слов, а именно Круг, Треугольник, Прямоугольник Квадрат! Производство ошейников и ремешков для трапеции 2018 MathsIsFun.com v0.85 и зеленых листьев: круг, треугольник, прямоугольник! Называется базовое изображение, стороны, только две из которых параллельны пространству Вечерний! Под пожизненными, бессрочными и всемирными правами на миллионы других бесплатных стоковых фотографий, иллюстраций и в формате .

Платья для кукольного домика, Площадь параллелограмма со сторонами, Скалистая горная лошадь, Пример панели управления Javascript, Хирон Тит Андроник, Счетная карточка национального гольф-клуба Hazeltine, Телеканал «Фулхэм против Брентфорда», Настройки лунной фотографии, Восставший из ада Nightbreed: Джихад,

трапеций: площадь и периметр

А трапеция , также называемый трапеция в некоторых странах это четырехугольник ровно с одной парой параллельный стороны.

Параллельные стороны называются базы а непараллельные стороны — это ноги трапеции.

An равнобедренная трапеция представляет собой трапецию, у которой две непараллельные стороны конгруэнтный .

В площадь А трапеции определяется выражением

А знак равно б 1 + б 2 2 час

куда б 1 и б 2 — длины двух параллельных сторон, и час это высота, как показано на рисунке ниже.

В периметр трапеции — это сумма длин ее четырех сторон. Если одна или несколько длин неизвестны, иногда можно использовать Теорема Пифагора найти это.

Пример:

Найдите площадь и периметр показанной трапеции.

Чтобы найти площадь, примените формулу.

А знак равно б 1 + б 2 2 час знак равно 3 + 11 2 ( 7 ) знак равно 7 ( 7 ) знак равно 49 квадрат единицы измерения

Чтобы найти периметр, сложите длины всех четырех сторон.

п знак равно 3 + 10 + 11 + 8 знак равно 32 единицы измерения

.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.