Биномиальное распределение примеры | matematicus.ru
Skip to content
Artman Теория вероятностей
Биномиальный закон распределения случайной величины определяется при помощи формулы Бернулли:
Рассмотрим примеры применения формулы Бернулли для построения биномиальных законов распределения дискретной случайной величины X.
Пример 1
Написать биномиальный закон распределения дискретной случайной величины X –числа появлений «герба» при двух бросаниях монеты.
Решение
При бросании монеты вероятность выпадения «герба» равна 0.5, а «решки» q=1–p=1-0.5=0.5
Также случайная величина X — числа появлении «герба» принимает значения: 0, 1, 2
Найдём значения случайной величины X:
и в виде таблицы составим биномиальный закон распределения СВ X:
| X | 0 | 2 | |
| P | 0. 25 | 0.5 | 0.25 |
Пример 2
Две игральные кости одновременно бросают два раза. Написать биномиальный закон распределения дискретной случайной величины X — числа выпадений четного числа очков на двух игральных костях.
Решение
По условию задачи, кость бросается два раза — составим в виде таблицы всевозможные комбинации выпадения четного и нечетного числа очков
| Первая кость | Вторая кость |
| Четное число очков | Четное число очков |
| Четное число очков | Нечетное число очков |
| Нечетное число очков | Четное число очков |
| Нечетное число очков | Нечетное число очков |
В соответствии с таблицей, из четырёх комбинаций числа выпадений четного числа равна единице, следовательно, р=1/4=0.
25, а не выпадения — q=1–p=1-0.25=0.75
Дискретная случайная величина X принимает следующие значения: 0, 1, 2
По формуле Бернулли составим биномиальный закон распределения СВ X:
Сведём данные биномиального закона распределения X в таблицу:
| X | 0 | 1 | 2 |
| P | 0.5625 | 0.375 | 0.0625 |
Пример 3
В партии 10% нестандартных деталей. Наудачу отобраны четыре детали. Написать биномиальный закон распределения дискретной случайной величины X — числа нестандартных деталей среди четырех отобранных.
Из условия задачи p = 0.1, q=1–р=0.9
Возможные варианты значений СВ X: 0, 1, 2, 3, 4
По формуле Бернулли имеем:
Ряд распределения по биномиальному закону распределения случайной величины X имеет вид:
| X | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | ||||
| P | 0. {-5}$14769 Биномиальное распределение случайной величины — statanaliz.infoНе все явления измеряются в количественной шкале типа 1, 2, 3 … 100500 … Не всегда явление может принимать бесконечное или большое количество различных состояний. Например, пол у человека может быть либо М, либо Ж. Стрелок либо попадает в цель, либо не попадает. Голосовать можно либо «За», либо «Против» и т.д. и т.п. Другими словами, такие данные отражают состояние альтернативного признака – либо «да» (событие наступило), либо «нет» (событие не наступило). Наступившее событие (положительный исход) еще называют «успехом». Эксперименты с такими данными называются схемой Бернулли, в честь известного швейцарского математика, который установил, что при большом количестве испытаний соотношение положительных исходов и общего количества испытаний стремится к вероятности наступления этого события. Переменная альтернативного признакаДля того, чтобы в анализе задействовать математический аппарат, результаты подобных наблюдений следует записать в числовом виде. Какую пользу отсюда можно извлечь? Вообще-то не меньшую, чем от обычных данных. Так, легко подсчитать количество положительных исходов – достаточно просуммировать все значения, т.е. все 1 (успехи). Можно пойти далее, но для этого потребуется ввести парочку обозначений. Первым делом нужно отметить, что положительные исходы (которые равны 1) имеют некоторую вероятность появления. Например, выпадение орла при подбрасывании монеты равно ½ или 0,5. Такая вероятность традиционно обозначается латинской буквой p. Следовательно, вероятность наступления альтернативного события равна 1 — p, которую еще обозначают через q, то есть q = 1 – p. Указанные обозначения можно наглядно систематизировать в виде таблички распределения переменной X. Мы получили перечень возможных значений и их вероятности. Вычислим матожидание, используя обозначения в таблицы выше. Получается, что математическое ожидание альтернативного признака равно вероятности этого события – p. Теперь определим, что такое дисперсия альтернативного признака. Дисперсия – есть средний квадрат отклонений от математического ожидания. Общая формула (для дискретных данных) имеет вид: Отсюда дисперсия альтернативного признака: Нетрудно заметить, что эта дисперсия имеет максимум 0,25 (при p=0,5). Стандартное отклонение – корень из дисперсии: Максимальное значение не превышает 0,5. Как видно, и математическое ожидание, и дисперсия альтернативного признака имеют очень компактный вид. Биномиальное распределение случайной величиныРассмотрим ситуацию под другим углом. Другими словами, исследователя часто интересует вероятность наступления некоторого числа успешных событий. Это может быть количество бракованных изделий в проверяемой партии (1- бракованная, 0 — годная) или количество выздоровлений (1 – здоров, 0 – больной) и т.д. Количество таких «успехов» будет равно сумме всех значений переменной X, т.е. количеству единичных исходов. Случайная величина B называется биномиальной и принимает значения от 0 до n (при B = 0 – все детали годные, при B = n – все детали бракованные). Предполагается, что все значения x независимы между собой. Рассмотрим основные характеристики биномиальной переменной, то есть установим ее математическое ожидание, дисперсию и распределение. Матожидание биномиальной переменной получить очень легко. Например, математическое ожидание количества выпавших орлов при 100 подбрасываниях равно 100 × 0,5 = 50. Теперь выведем формулу дисперсии биномиальной переменной. Дисперсия суммы независимых случайных величин есть сумма дисперсий. Отсюда Стандартное отклонение, соответственно Для 100 подбрасываний монеты стандартное отклонение количества орлов равно И, наконец, рассмотрим распределение биномиальной величины, т.е. вероятности того, что случайная величина B будет принимать различные значения k, где 0≤ k ≤n. Для монеты эта задача может звучать так: какова вероятность выпадения 40 орлов при 100 бросках? Чтобы понять метод расчета, представим, что монета подбрасывается всего 4 раза. Каждый раз может выпасть любая из сторон. Мы задаемся вопросом: какова вероятность выпадения 2 орлов из 4 бросков. Вероятность такой комбинации равняется произведению двух вероятностей выпадения орла и еще двух вероятностей не выпадения орла (обратное событие, рассчитываемое как 1 — p), т.е. 0,5×0,5×(1-0,5)×(1-0,5)=0,0625. Такова вероятность одной из устраивающих нас комбинации. Но вопрос ведь стоял об общем количестве орлов, а не о каком-то определенном порядке. Тогда нужно сложить вероятности всех комбинаций, в которых присутствует ровно 2 орла. Ясно, все они одинаковы (от перемены мест множителей произведение не меняется). Поэтому нужно вычислить их количество, а затем умножить на вероятность любой такой комбинации. Подсчитаем все варианты сочетаний из 4 бросков по 2 орла: РРОО, РОРО, РООР, ОРРО, ОРОР, ООРР. Следовательно, искомая вероятность выпадения 2 орлов после 4 бросков равна 6×0,0625=0,375. Однако подсчет подобным образом утомителен. Уже для 10 монет методом перебора получить общее количество вариантов будет очень трудно. Поэтому умные люди давно изобрели формулу, с помощью которой рассчитывают количество различных сочетаний из n элементов по k, где n – общее количество элементов, k – количество элементов, варианты расположения которых и подсчитываются. Формула сочетания из n элементов по k такова: Подобные вещи проходят в разделе комбинаторики. Всех желающих подтянуть знания отправляю туда. Отсюда, кстати, и название биномиального распределения (формула выше является коэффициентом в разложении бинома Ньютона). Формулу для определения вероятности легко обобщить на любое количество n и k. В итоге формула биномиального распределения имеет следующий вид. Количество подходящих под условие комбинаций умножить на вероятность одной из них. Для практического использования достаточно просто знать формулу биномиального распределения. А можно даже и не знать – ниже показано, как определить вероятность с помощью Excel. Но лучше все-таки знать. Рассчитаем по этой формуле вероятность выпадения 40 орлов при 100 бросках: Или всего 1,08%. Для сравнения вероятность наступления математического ожидания этого эксперимента, то есть 50 орлов, равна 7,96%. Максимальная вероятность биномиальной величины принадлежит значению, соответствующему математическому ожиданию. Расчет вероятностей биномиального распределения в ExcelЕсли использовать только бумагу и калькулятор, то расчеты по формуле биномиального распределения, несмотря на отсутствие интегралов, даются довольно тяжело. К примеру значение 100! – имеет более 150 знаков. Раньше, да и сейчас тоже, для вычисления подобных величин использовали приближенные формулы. В настоящий момент целесообразно использовать специальное ПО, типа MS Excel. Таким образом, любой пользователь (даже гуманитарий по образованию) вполне может вычислить вероятность значения биномиально распределенной случайной величины. Для закрепления материала задействуем Excel пока в качестве обычного калькулятора, т.е. произведем поэтапное вычисление по формуле биномиального распределения. Рассчитаем, например, вероятность выпадения 50 орлов. Ниже приведена картинка с этапами вычислений и конечным результатом. Как видно, промежуточные результаты имеют такой масштаб, что не помещаются в ячейку, хотя везде и используются простые функции типа: ФАКТР (вычисление факториала), СТЕПЕНЬ (возведение числа в степень), а также операторы умножения и деления. Более того, этот расчет довольно громоздок, во всяком случаен не является компактным, т.к. задействовано много ячеек. Да и разобраться с ходу трудновато. В общем в Excel предусмотрена готовая функция для вычисления вероятностей биномиального распределения. Функция называется БИНОМ.РАСП. Синтаксис функции состоит из 4 аргументов: Поля имеют следующие назначения: Число успехов – количество успешных испытаний. Число испытаний – количество бросков: 100 раз. Вероятность успеха – вероятность выпадения орла при одном подбрасывании 0,5. Интегральная – указывается либо 1, либо 0. Если 0, то рассчитается вероятность P(B=k); если 1, то рассчитается функция биномиального распределения, т.е. сумма всех вероятностей от B=0 до B=k включительно. Нажимаем ОК и получаем тот же результат, что и выше, только все рассчиталось одной функцией. Очень удобно. Эксперимента ради вместо последнего параметра 0 поставим 1. Получим 0,5398. Это значит, что при 100 подкидываниях монеты вероятность выпадения орлов в количестве от 0 до 50 равна почти 54%. А поначалу то казалось, что должно быть 50%. В общем, расчеты производятся легко и быстро. Настоящий аналитик должен понимать, как ведет себя функция (каково ее распределение), поэтому произведем расчет вероятностей для всех значений от 0 до 100. Кто-то может спросить, а не похоже ли биномиальное распределение на… Да, очень похоже. Еще Муавр (в 1733 г.) говорил, что биномиальное распределение при больших выборках приближается к нормальному закону (не знаю, как это тогда называлось), но его никто не слушал. Только Гаусс, а затем и Лаплас через 60-70 лет вновь открыли и тщательно изучили нормальной закон распределения. На графике выше отлично видно, что максимальная вероятность приходится на математическое ожидание, а по мере отклонения от него, резко снижается. Также, как и у нормального закона. Биномиальное распределение имеет большое практическое значение, встречается довольно часто. С помощью Excel расчеты проводятся легко и быстро. Поделиться в социальных сетях: 3. 3 — Биномиальная случайная величинаЭто особый тип дискретной случайной величины. Биномиальная случайная величина подсчитывает, как часто конкретное событие происходит в фиксированном количестве попыток или испытаний. Чтобы переменная была биномиальной случайной величиной, должны быть выполнены ВСЕ из следующих условий:
Примеры биномиальных случайных величин:
Обозначение
Пример : Для приведенного выше примера с угадыванием истинных вопросов n = 30 и p = 0,5 (вероятность ответа на любой вопрос). Вероятности для биномиальных случайных величин Условия для того, чтобы быть биномиальной переменной, приводят к несколько сложной формуле для нахождения вероятности появления любого конкретного значения (например, вероятность того, что вы получите 20 правильных ответов, если угадаете как 20 вопросов «Верно-неверно»). .) 9{n-x}\) Оценка биномиального распределенияМожно использовать формулу, чтобы найти вероятность, или, альтернативно, использовать Minitab или SPSS, чтобы найти вероятность. В домашнем задании вы можете использовать метод, который вам удобнее, если не указано иное. Найдите P ( x ) для n = 20, x = 3 и π = 0,4.
Для расчета вероятностей биномиальных случайных величин в Minitab:
Minitab Выход: Функция плотности вероятности Биномиальный с N = 20 и P = 0,4
Для расчета вероятностей биномиальных случайных величин в SPSS:
В следующем примере показано, как использовать формулу для вычисления биномиальных вероятностей. Если вам не нравится использовать формулу, вы также можете просто использовать Minitab, чтобы найти вероятности. Пример вручную: Перекрестное опыление красного и белого цветов дает красные цветы в 25% случаев. В предыдущем примере частью a было нахождение P(X = x), а частью b было нахождение P(X ≤ x). Это последнее выражение называется поиском кумулятивной вероятности , потому что вы находите вероятность, которая накопилась от минимума до некоторой точки, то есть от 0 до 1 в этом примере вернитесь к Calc > Распределения вероятностей > Биномиальное, как показано выше. Однако теперь выберите переключатель «Суммарная вероятность», затем введите соответствующее количество испытаний (например, 5), вероятность события (например, 0,25), щелкните переключатель «Вводная константа» и введите значение x (например, 1). Ожидаемое значение и стандартное отклонение для биномиальной случайной величины Можно использовать формулу, приведенную ранее для дискретных случайных величин, но хорошая новость заключается в том, что для биномиальных случайных величин можно использовать сокращенную формулу для ожидаемого значения (среднего) и стандартного отклонения составляют: \(Ожидаемое\ Значение=np\) \(Стандартное\Отклонение=\sqrt {np(1-p)}\) Например, «ожидаемое» количество правильных (случайных) ответов на 30 вопросов «Верно-неверно» равно 9.0034 np = (30)(.5) = 15 (половина вопросов). Для правильного шестигранного игрального кубика, подброшенного 60 раз, ожидаемое значение количества выпадений «1» равно np = (60)(1/6) = 10. Стандартное отклонение для обоих этих значений будет равно , для теста True-False\(\sqrt{30 \times 0,5 \times (1-0,5)}=\sqrt{7,5}=2,74\) и для матрицы \(\sqrt{60 \times \frac{1}{6}\times (1-\frac {1}{6})}=\sqrt{ \frac{50}{6}}=2,89\) Биномиальное распределение с примерами Биномиальное распределение — это распределение вероятностей, применимое к биномиальным экспериментам. Это количество успешных попыток за определенное количество попыток. Биномиальное распределение можно представить как распределение вероятностей количества выпавших орлов при подбрасывании монеты в конкретном эксперименте, состоящем из фиксированного количества подбрасываний монеты. Содержание Что такое биномиальное распределение?Биномиальное распределение — это дискретное распределение вероятностей, которое представляет вероятности биномиальных случайных величин в биномиальном эксперименте. Биномиальное распределение определяется как распределение вероятностей, связанное с биномиальным экспериментом, где биномиальная случайная величина указывает, сколько успехов или неудач произошло в этом пространстве выборки. Специалистам по данным и специалистам в других областях важно понимать эту концепцию, поскольку биномы часто используются в бизнес-приложениях. Что такое случайная величина? Случайная величина представляет собой переменную, которая может принимать случайные значения в эксперименте.
В приведенном выше эксперименте количество дефектных элементов можно назвать СЛУЧАЙНОЙ переменной. Случайная величина также представлена буквой X. X принимает значения 5 и 9 в вышеупомянутых экспериментах. Когда значение случайной величины может принимать только конечные значения, случайную величину также можно назвать случайной дискретной величиной. Когда значение случайной величины может принимать бесконечные значения, случайную величину также можно назвать случайная непрерывная переменная . Все возможные значения (или результаты), которые может принимать случайная величина, также называются выборочным пространством . Что такое биномиальная случайная величина?В биномиальном эксперименте результат каждого испытания в эксперименте может принимать одно из двух значений: успех или неудача. Каждое испытание в биномиальном эксперименте также можно назвать испытанием Бернулли . Для одного испытания биномиальное распределение можно также назвать Распределение Бернулли. Вы можете проверить мой пост о распределении Бернулли, объясненном на примерах Python. Другими словами, результат каждого испытания классифицируется в соответствии с двумя уровнями категориальной переменной. Вот несколько примеров испытаний Бернулли:
Результат интереса к испытанию эксперимента часто называют успехом . Биномиальная случайная величина может быть числом успехов в эксперименте, состоящем из N испытаний . Таким образом, ниже приведены некоторые примеры биномиальной случайной величины:
Что такое биномиальный эксперимент? Биномиальный эксперимент представляет собой биномиальную случайную величину X, которая подсчитывает количество «n» успехов в N испытаниях, когда каждое испытание имеет только два результата: успех и неудачу. Требования для случайного эксперимента , чтобы быть биномиальным экспериментом , следующие:
Что такое биномиальное распределение? Биномиальное распределение — это тип дискретного распределения вероятностей, представляющий вероятности различных значений биномиальной случайной величины (X) в повторных независимых N испытаниях в эксперименте. Среднее значение и дисперсия биномиального распределения эксперимента с n числом испытаний и вероятностью успеха в каждом испытании p следует: 1-р) В биномиальном опыте, состоящем из N испытаний, все испытания независимы и выборка берется с заменой. Если выборка взята без замены, это называется гипергеометрическим распределением . Пример биномиального распределения PythonВот код Python для биномиального распределения. Обратите внимание на некоторые из следующих моментов:
из scipy.stats импортировать бином
импортировать matplotlib.pyplot как plt
импортировать numpy как np
#
# X = дискретная случайная величина, представляющая количество успехов
# p = Вероятность успеха
#
X = np.arange (0,21)
р = 0,6
п = 20
#
# Рассчитать биномиальное распределение вероятностей
#
binom_pd = binom.pmf(X, n, p)
#
# Построить распределение вероятностей
#
рис, топор = plt.subplots(1, 1, figsize=(8, 6))
ax.plot(X, binom_pd, 'bo', ms=8, label='geom pmf')
plt.ylabel("Вероятность", fontsize="18")
plt.xlabel("X - количество успехов", fontsize="18")
plt.title("Биномиальное распределение — количество успехов по сравнению с вероятностью", fontsize="18")
ax.vlines(X, 0, binom_pd, colors='b', lw=5, alpha=0.5)
Вот как будет выглядеть график биномиального распределения. Примеры биномиального распределения из реальной жизниВот несколько реальных примеров биномиального распределения:
Ссылки
ВыводыВот краткое изложение того, что вы узнали в этом посте в отношении Биномиальное распределение : Биномиальное распределение дискретное распределение вероятностей, представляющее вероятности биномиальной случайной величины
Аджитеш Кумар Недавно я работал в области анализа данных, включая науку о данных и машинное обучение / глубокое обучение. Я также увлекаюсь различными технологиями, включая языки программирования, такие как Java/JEE, Javascript, Python, R, Julia и т. д., а также такие технологии, как блокчейн, мобильные вычисления, облачные технологии, безопасность приложений, платформы облачных вычислений, большие данные, и т. д. Чтобы быть в курсе последних обновлений и блогов, следите за нами в Twitter. |
Для этого положительному исходу присваивают число 1, отрицательному – 0. Другими словами, мы имеем дело с переменной, которая может принимать только два значения: 0 или 1.
Можно рассчитать математическое ожидание и дисперсию. Матожидание – это сумма произведений всех возможных значений на соответствующие им вероятности:
Действительно, кому интересно, что среднее выпадение орлов при одном бросании равно 0,5? Это даже невозможно представить. Интересней поставить вопрос о числе выпадения орлов при заданном количестве бросков.
Математическое ожидание суммы величин есть сумма математических ожиданий каждой складываемой величины, а оно у всех одинаковое, поэтому:
Каждый бросок независим друг от друга. Значит, вероятность выпадения какой-либо комбинации будет равна произведению вероятностей заданного исхода для каждого отдельного броска. Пусть О – это орел, Р – решка. Тогда, к примеру, одна из устраивающих нас комбинаций может выглядеть как ООРР, то есть:
Всего 6 вариантов.
У нас их 50.
То есть зададимся вопросом: какова вероятность, что не выпадет ни одного орла, что выпадет 1 орел, 2, 3, 50, 90 или 100. Расчет приведен в следующей картинке. Синяя линия – само биномиальное распределение, красная точка – вероятность для конкретного числа успехов k.