Биноминальный ряд: Биномиальный ряд | это… Что такое Биномиальный ряд?

Формула и ряд Тейлора. Биноминальный ряд — Мегаобучалка

Рассмотрим многочлен -й степени

Его можно представить в виде суммы степеней , взятых с некоторыми коэффициентами. Продифференцируем его раз по переменной , а затем найдем значения многочлена и его производных в точке :

Таким образом, получаем, что

Полученное выражение называется формулой Маклорена для многочлена степени .

Рассуждая аналогично, можно разложить многочлен по степеням разности , где — любое число. В этом случае будем иметь:

Это выражение называется формулой Тейлора для многочлена в окрестности точки .

Пример

Задание. Разложить в ряд Тейлора функцию в точке .

Решение. Найдем производные:

Итак, , , . Значение функции в точке

Таким образом,

Ответ.

БИНОМИАЛЬНЫЙ РЯД — степенной ряд вида

где n — целое, а α — произвольное фиксированное число (вообще говоря, комплексное), z = x + iy — комплексное переменное, (^α_n) — биномиальные коэффициенты. Для целых α = m ≥ 0 Б. р. сводится к конечной сумме m + 1 слагаемых

называемой Ньютона биномом. Для остальных значений α Б. р. абсолютно сходится при |z| < 1 и расходится при |z| > 1. В граничных точках единичной окружности |z| = 1 Б. р. ведет себя следующим образом: 1) если Re α > 0, то он абсолютно сходится во всех точках окружности |z| = 1; 2) если Re α ≤ — 1, то он расходится во всех точках окружности |z| = 1; 3) если — 1 < Rе α ≤ 0, то Б. р. расходится в точке z = — 1 и условно сходится во всех остальных точках окружности |z| = 1. Во всех точках, в к-рых Б. р. сходится, он представляет главное значение функции (1 + z)^α, равное 1 при z = 0. Б. р. является частным случаем гипергеометрического ряда.

Если z = x и α — действительные числа, причем α не есть целое неотрицательное число, то Б. р. ведет себя следующим образом: 1) если α > 0, то он абсолютно сходится при — 1 ≤ x ≤ 1 2) если α ≤ — 1, то Б. р. абсолютно сходится при — 1 < x < 1 и расходится при всех иных значениях х; 3) если — 1 < α ≤ 0, то Б. р. абсолютно сходится при — 1 < x < 1, условно сходится при х = 1 и расходится при х = — 1; при |х| > 1 Б. р. всегда расходится.

Теорема Эйлера. Правильные многогранники.

Выпуклый многогранник называется правильным, если его гранями являются равные правильные многоугольники, и в каждой вершине сходится одинаковое число граней.

Пусть дан топологически правильный многогранник, гранями которого являются n — угольники, и в каждой вершине сходится m ребер. Ясно, что n и m больше или равны трем. Обозначим, как и раньше, В — число вершин, Р — число ребер и Г — число граней этого многогранника. Тогда

nГ = 2P; Г = ; mB = 2P; В = .

По теореме Эйлера, В — Р + Г = 2 и, следовательно,

Откуда Р = .
Из полученного равенства, в частности, следует, что должно выполняться неравенство 2n + 2m – nm > 0, которое эквивалентно неравенству (n – 2)(m – 2) < 4.

Теорема Эйлера

Для любого выпуклого многогранника справедливо соотношение Г+В-Р=2, где Г – число граней, В – число вершин и Р – число ребер данного многогранника.

 

Доказательство теоремы, связанное с нахождением суммы плоских углов выпуклого многогранника:

Обозначим эту сумму, как . Напомним, что плоскими углами многогранника являются внутренние плоские углы его граней.

Например, найдем для таких многогранников:

а) тетраэдр имеет 4 грани – все треугольники. Таким образом, ;

б) куб имеет 6 граней – все квадраты. Таким образом, ;

в) возьмем теперь произвольную пятиугольную призму. У нее две грани – пятиугольники и пять граней – параллелограммы. Сумма углов выпуклого пятиугольника равна . Сумма углов параллелограмма равна . Таким образом, .

Итак, для нахождения мы вычисляли сначала сумму углов, принадлежащих каждой грани. Воспользуемся этим приемом и в общем случае.

Введем следующие обозначения: , , …, — число сторон в 1, 2, 3-й и т.д. последней грани многогранника.

Тогда

Далее найдем общее число сторон всех граней многогранника. Оно равно . Так как каждое ребро многогранника принадлежит двум граням, имеем: .

Таким образом, получаем:

(1)

Сосчитаем теперь другим способом. Для этого будем менять форму многогранника таким образом, что бы у него не менялось число Г, В и Р. При этом может измениться каждый плоский угол в отдельности, но число останется прежним. Выберем такое преобразование многогранника: примем одну из его граней за основание, расположим его горизонтально и «растянем» для того, чтобы на него можно было спроектировать другие грани многогранника. Например, на рисунке 1а показано, к чему мы придем, в случае тетраэдра, а на рисунке 1б – в случае куба

Заметим, что спроектированный многогранник представляет слившиеся две наложенные друг на друга пластины с общим контуром, из которых верхняя разбита на (Г-1) многоугольник, а нижняя на грани не делится. Обозначим число сторон внешнего окаймляющего многоугольника через r. Теперь найдем спроектированного многоугольника. состоит из следующих трех сумм:

1) Сумма углов нижней грани, у которой r сторон, равна .

2) Сумма углов верхней пластины, вершинами которых являются вершины нижней грани, тоже равна .

3) Сумма «внутренних» углов верхней пластины равна , так как верхняя пластина имеет внутренних вершин и все углы группируются около них.

Итак, (2)

Таким образом, сравнивая выражения (1) и (2), получаем: Г+В-Р=2, что и требовалось доказать.

Большой энциклопедический словарь — значение слова Биномиальный Ряд

бесконечный степенной ряд, являющийся обобщениемформулы Ньютона бинома на случай дробных и отрицательных показателей.

Смотреть значение

Биномиальный Ряд в других словарях

Ряд — линия
шеренга
Словарь синонимов

Ряд — м. вереница, строй, предметы по одной черте, по порядку, чередом. дерев. Улица в два ряда домов. ы на покосе, полосы в размах косы, валы. | Воен. каждый человек в шеренге, со……..
Толковый словарь Даля

В Ряд Нареч. — 1. Один около другого, в одну линию. 2. Наравне, рядом с кем-л., чем-л.
Толковый словарь Ефремовой

Динамический Ряд — Временная последовательность ретроспективных значений переменной объекта прогнозирования.
Политический словарь

Временной Ряд Продаж — Массив данных, содержащий информацию об объемах продаж в натуральных или денежных показателях за равные последовательные промежутки времени. Используется для анализа……..
Экономический словарь

Ряд — ряда (с числит. Два, три, четыре: ряда), в ряде и в ряду, мн. ряды, м. 1. (в ряду). Совокупность однородных предметов, расположенных в одну линию. Верхний ряд зубов. Стулья в……..
Толковый словарь Ушакова

Ряд — -а (с числительными: два, три, четыре ряда́), предл. в ря́де и в ряду́; мн. ряды́; м.
1. предл.: в ряду́. Совокупность однородных предметов, расположенных друг за другом, в……..
Толковый словарь Кузнецова

Ряд Временной — совокупность наблюдений, выполненных в хронологическом порядке и, как правило, через равные промежутки времени.

Экономический словарь

Ряд Динамики — хронологический ряд, ряд последовательно расположенных в хронологическом порядке значений показателя, который в своих изменениях отражает ход развития изучаемого явления во времени.
Экономический словарь

Адаптивный Ряд — совокупность последовательных стадий адаптации биологического вида к изменению какого-либо фактора окружающей среды.
Большой медицинский словарь

Ряд — — договор, соглашение в Древней Руси.
Юридический словарь

Ряд (др.рус.) — — договор, соглашение.
Юридический словарь

Боуэновский Ряд Реакций

— , объяснение порядка кристаллизации минералов в остывающей магме, полученное на основании лабораторных экспериментов с расплавом пород, проведенных Норманом БОУЭНОМ………
Научно-технический энциклопедический словарь

Зубной Ряд — , тип, число и расположение ЗУБОВ (см. ЗУБНАЯ ФОРМУЛА). У взрослого человека зубной ряд состоит из 32 зубов. Резцы служат для разрезания пищи, клыки — для захвата и разрывания,……..
Научно-технический энциклопедический словарь

Динамический Ряд — ряд последовательных значений какого-либо статистического показателя, меняющихся во времени; широко используется при обработке материалов медико-биологических исследований.
Большой медицинский словарь

Радиоактивный Ряд

— , последовательность изотопов, каждый из которых является продуктом РАДИОАКТИВНОГО РАСПАДА предыдущего, начиная с РАДИОИЗОТОПА и заканчивая одним из стабильных изотопов……..
Научно-технический энциклопедический словарь

Зубной Ряд — совокупность зубов, расположенных на одной челюсти, состоящая из 10 молочных или 14-16 постоянных зубов.
Большой медицинский словарь

Ряд — , математическое выражение (сумма), получаемое путем сложения чисел ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ. Таким образом, ряд 1+4+9+16+… образуется из последовательности 1, 4, 9, 16,…. Также как……..
Научно-технический энциклопедический словарь

Ряд Напряжений — (электрохимический ряд), перечень, в который включены металлы и один газ — водород, указывающий на относительную способность этих веществ к окислению (т.

е. к потере электронов……..
Научно-технический энциклопедический словарь

Ряд Фурье — , ряд синусоидальных и косинусоидальных функций, посредством которого можно представить все ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ. Периодические функции, как правило, ограничены……..
Научно-технический энциклопедический словарь

Пестрый Ряд — см. Гисса среды.
Большой медицинский словарь

Цветной Ряд — см. Гисса среды.
Большой медицинский словарь

Ряд — серия (series), таксономич. категория в ботанич. номенклатуре, занимающая промежуточное положение между секцией (подсекцией) и видом. Р.— первый надвидовой ранг. Он объединяет……..
Биологический энциклопедический словарь

Ряд (др.рус.)

— — договор, соглашение.
Исторический словарь

Абсолютно Сходящийся Ряд — — ряд с (вообще говоря) комплексными членами, для к-рого сходится ряд Для абсолютной сходимости ряда (1) необходимо и достаточно (критерий Коши абсолютной сходимости. …….
Математическая энциклопедия

Арифметический Ряд — порядка т- последовательность значений многочлена степени т: принимаемых им при последовательных целых, неотрицательных значениях переменной Если получается……..
Математическая энциклопедия

Асимптотический Ряд — см. Асимптотическое разложение функции.
Математическая энциклопедия

Асимптотический Степенной Ряд — асимптотический ряд по последовательности или по последовательности (см. Асимптотическое разложение функции). А. с. р. можно складывать, перемножать, делить и интегрировать……..

Математическая энциклопедия

Биномиальный Ряд — степенной ряд вида где — целое, а — произвольное фиксированное число (вообще говоря, комплексное), -. комплексное переменное, — биномиальные коэффициенты. Для……..
Математическая энциклопедия

Бюрмана — Лагранжа Ряд — ряд Лагранжа, — степенной ряд, полностью решающий задачу локального обращения голоморфных функций. Именно, пусть функция комплексного переменного z регулярна в окрестности……..
Математическая энциклопедия

Посмотреть еще слова :

Бараташвили Батон-руж Болонка Болотникова Восстание 1606-07 Бухтарма Бон Бем Беринга Остров Бургомистр Боткин Биметалл Богородск Богаевский Биозона Бумазея Баширов Браунит Бешкент Броненосцы Буск

Посмотреть в Wikipedia статью для

Биномиальный Ряд

Перевести

Биномиальный Ряд на язык :

• Английский
• Испанский
• Итальянский
• Немецкий
• Французский
• Португальский
• Китайский

Исчисление II — Биномиальный ряд

Показать мобильное уведомление Показать все примечания Скрыть все примечания

Мобильное уведомление

Похоже, вы находитесь на устройстве с «узкой» шириной экрана ( т. е. вы, вероятно, на мобильном телефоне). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку вашего устройства (должна быть возможность прокрутки, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 10.18: Биномиальный ряд

В этом заключительном разделе этой главы мы собираемся рассмотреть другое представление ряда для функции. Прежде чем мы это сделаем, давайте сначала напомним следующую теорему. 93} + \cdots \end{выравнивание*}\]

где,

\[\begin{align*}{k \choose n} & = \frac{{k\left( {k — 1} \right)\left( {k — 2} \right) \cdots \left( {k — n + 1} \right)}}{{n!}}\hspace{0.25in}n = 1,2,3, \ldots \\ {k \choose 0} & = 1\end{align*}\ ]

Итак, похоже на биномиальную теорему, за исключением того, что это бесконечный ряд, и мы должны иметь \(\left| x \right| < 1\), чтобы получить сходимость.

Давайте посмотрим на пример. 93}}}{{3888}} — \cdots \end{align*}\]

Биномиальный ряд – выпуск по математике для уровня A

В этом разделе рассматриваются биномиальная теорема и треугольник Паскаля.

Треугольник Паскаля

Вы должны знать, что (a + b)² = a² + 2ab + b², и вы должны уметь вычислить, что (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3b²a + b³ .
Вам также должно быть очевидно, что (a + b)¹ = a + b .

поэтому (a + b)¹  =        a + b
(a + b)² =       a² + 2ab + b²
(a + b)³ =  a³ + 3a²b + 3b²a + b³

Обратите внимание, что коэффициенты (числа перед) a и b равны: Продолжение расширения кронштейнов для более высоких полномочий, вы обнаружите, что последовательность продолжается:

1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
и т. Д.

Эта последовательность известна как Паскал. . Каждое из чисел находится путем сложения двух чисел непосредственно над ним.

Таким образом, число 20 в последней строке получается путем сложения 10 и 10. Каждая из 10 в строке выше получается путем сложения 6 и 4.

Таким образом, можно разложить (a + b) в любую степень целых чисел, зная треугольник Паскаля. линия треугольника Паскаля, равная 1 3 3 1.

Таким образом, ответ: 3 ³ + 3 × (3 ² × x) + 3 × (x ² × 3) + x ³ (мы заменяем a на 3 и b на x в разложении (a + b) ³ выше)

Вообще

Конечно, часто нецелесообразно каждый раз выписывать треугольник Паскаля, когда все, что нам нужно знать, это записи на n-й строке. Ясно, что первое число в n-й строке 1. Второе число n. Третье число:
n(n — 1)   .
 1 × 2

Вообще, r-е число в n-й строке:
    n!    (что на вашем калькуляторе ^н C _р )
р! (н-р)!

где н! означает «n факториал» и равен n × (n-1) × … × 2 × 1

ⁿ C _r также часто записывается и произносится как «n Choose r».

Биномиальная теорема

Биномиальная теорема утверждает, что, где n — натуральное число:

Пример

Расширить (4 + 2x) ⁶ по возрастанию степеней x до члена в x ³

Это означает использовать биномиальную теорему для расширения членов в скобках, но только подняться до x ³ .

Итак, чтобы найти ответ, подставим 4 вместо a в биномиальной теореме и 2x вместо b: С ₂ )(4 ⁴ )(2x) ² + ( ⁶ C ₃ )(4 ³ )(2x) ³ + …
= 4096 + (6x1024x2)5 + (6x1024x2)5 × 4x ² ) + (20 × 64 × 8x ³ ) +…
= 4096 + 12288x + 15360x ² + 10240x ³ +…

. n

Предыдущая версия биномиальной теоремы работает только тогда, когда n — положительное целое число. Если n — любая дробь, биномиальная теорема принимает вид:

(1 + х) нет	=	1	+	нх	+	n(n — 1)x 2	+	n(n — 1)(n — 2)x 3	+	…
				1! 902:30		2!		3!

ПРЕДОСТАВЛЕНИЕ |x| < 1

Обратите внимание, что хотя предыдущая серия останавливается, эта продолжается вечно.

Пример

Найдите разложение (5x + 2) ^1/2

коэффициент 2:

(5x + 2) ^1/2 = (2[5x/2 + 1]) ^1/2

Теперь, когда в приведенной выше формуле есть ‘x’, нам нужно 5x/2 и где у нас есть n, нам нужно ½ .

= Ö2(1 + 5x/2) ^1/2
= Ö2[ 1 + ½ (5x/2) + ½ × ½ (- ½ )(25x ² /4) + … ]

Помните, это справедливо только в том случае, если -1 < 5x/2 < 1, другими словами, -2/5 < x < 2/5

Использование частичных дробей

Теперь мы можем расширить более сложные выражения , используя метод неполных дробей, где это уместно.

Пример

Развернуть	(6x + 3)
	(1 + х)(5х + 2)

Мы можем разделить это, используя неполные дроби, на:

  1      +     1            .