Число е | Материалы для подготовки к ЕГЭ по математике ЕГЭ-Студия
С замечательным числом e мы впервые встречаемся, начиная изучать показательную функцию, логарифмы и производные. Поэтому для лучшего понимания мы рекомендуем вам прочитать наши статьи «Показательная функция» и «Геометрический смысл производной».
В статье «Показательная функция» мы говорили о важнейшем свойстве функции — при эта функция очень быстро растет. И не просто «быстро растет» — чем больше x, тем больше скорость ее роста, тем круче идет график. Можно сказать, что с увеличением x растут и значения показательной функции, и ее производная. А если аргументом показательной функции является время, то при такая функция является математическим выражением стремительно развивающегося процесса.
Среди показательных функций есть особенная. Называется она экспонента, ее формула . Особенность ее в том, что в каждой точке скорость роста этой функции равна значению самой функции в этой точке.
Другими словами, , то есть производная функции равна ей самой.
Нарисуем несколько графиков функции при , а также при . Среди этих графиков есть такой, что касательная к нему, проведенная в точке , идет ровно под углом к положительному направлению оси OX.
Это и есть график функции . Само число e — иррациональное, то есть выражается бесконечной непериодической десятичной дробью. Приблизительно оно равно 2,718.
Логарифм по основанию e называется натуральным и обозначается . Если в уравнении или неравенстве вам встретились такие логарифмы, вы работаете с ними так же, как и с любыми другими, у которых основание больше 1.
Функция также обладает интересным свойством:
Это значит, что с ростом x график логарифмической функции идет более и более полого, скорость роста его уменьшается, что мы и видим.
Формулы для производных функций и содержат в себе выражение :
Число e, как и число , является одной из мировых констант.
Так называют числа, которые можно встретить в математических формулах, выражающих фундаментальные законы природы, — в физике, статистике, биологии или экономике.
Число известно людям с глубокой древности. Оно равно отношению длины окружности к ее диаметру. А вот с числом e (названным так в честь великого математика Леонарда Эйлера) человечество познакомилось намного позже. Впервые его вычислил математик Якоб Бернулли в начале XVIII века, причем сделал это, решая чисто практическую задачу о начислении процентов на банковский вклад.
В заданиях вариантов ЕГЭ вам встречались задачи, где вклад величиной x помещен в банк под p % годовых. Найти нужно было, например, каким станет вклад через два года. Рассказывая о решении таких задач, мы вывели удобные формулы:
если величину x увеличить на p процентов, получится
если величину x дважды увеличить на p процентов, получим Именно таким станет вклад через два года;
если вклад пролежит в банке n лет, его величина станет равной
Итак, если вклад поместить банк под 10% годовых, он вырастет за год в 1,1 раз, за два года — в 1,21 раза, за десять — примерно в 2,6 раза.
Значит, рост вклада зависит от того, сколько он пролежит в банке, то есть сколько раз начисляются проценты. А что будет через сто лет? А если найти такой банк, где процент начисляется не раз в год, а раз в день? И пусть даже каждый день начисляется совсем небольшой процент, но ведь дней-то много! Верно ли, что можно положить в такой банк один доллар под одну сотую процента в день, а через пару десятков лет забрать из банка миллион?
Давайте так и сформулируем задачу. Пусть банк начисляет каждый день по одной сотой процента. Во сколько раз вырастет вклад через 10000 дней (это двадцать семь с лишним лет)? Иными словами, чему приближенно равна величина ? И к чему будет стремиться величина , если n стремится к бесконечности?
Вот такую задачу и решал Бернулли. Если n будет очень большим, или, как говорят математики, бесконечно большим, будет стремиться к бесконечности (то есть больше миллиона, больше миллиарда, больше двух миллиардов. . . ) — то величина будет, наоборот, очень малой.
Можно сказать, что будет стремиться к нулю.
Оказывается, что в этом случае величина будет стремиться к числу e. Если банк каждый год начисляет по 1%, через 100 лет вклад увеличится примерно в e раз (напомним, что e ≈ 2,718). Еще большая точность будет достигнута, если каждый день банк начисляет по 0,01 процента. Через 10000 дней вклад увеличится примерно в e раз. Итак, если n стремится к бесконечности, то величина стремится к числу e.
Этот неожиданный факт называется вторым замечательным пределом. Вы встретитесь с ним в курсе математического анализа.
что означает, формула, чему равно, производные
Sign in
Password recovery
Восстановите свой пароль
Ваш адрес электронной почты
Число e (или, как его еще называют, число Эйлера) – это основание натурального логарифма; математическая константа, являющаяся иррациональным числом.
e = 2.718281828459…
- Способы определения числа e (формула):
- Свойства числа e
- Логарифмы с основанием e
- Экспоненциальная функция
- Формула Эйлера
Способы определения числа
e (формула):1.
Через предел:
Второй замечательный предел:
Альтернативный вариант (следует из формулы Муавра – Стирлинга):
2. Как сумма ряда:
Свойства числа
e1. Предел обратного числа e
2. Производные
Производной экспоненциальной функции является экспоненциальная функция:
(e x)′ = ex
Производной натуральной логарифмической функции является обратная функция:
(loge x)′ = (ln x)′ = 1/x
3. Интегралы
Неопределенным интегралом экспоненциальной функции e x является экспоненциальная функция e x.
∫ ex dx = ex+c
Неопределенный интеграл натуральной логарифмической функции loge x:
∫ loge x dx = ∫ lnx dx = x ln x – x + c
Определенный интеграл от 1 до e обратной функции 1/x равен 1:
Логарифмы с основанием
eНатуральный логарифм числа x определяется как базовый логарифм x с основанием e:
ln x = loge x
Экспоненциальная функция
Это показательная функция, которая определяется следующим образом:
f (x) = exp(x) = ex
Формула Эйлера
Комплексное число e iθ равняется:
eiθ = cos(θ) + i sin(θ)
где i – мнимая единица (квадратный корень из -1), а θ – любое действительное число.
ЧАЩЕ ВСЕГО ЗАПРАШИВАЮТ
Таблица знаков зодиака
Нахождение площади трапеции: формула и примеры
Нахождение длины окружности: формула и задачи
Римские цифры: таблицы
Таблица синусов
Тригонометрическая функция: Тангенс угла (tg)
Нахождение площади ромба: формула и примеры
Нахождение объема цилиндра: формула и задачи
Тригонометрическая функция: Синус угла (sin)
Геометрическая фигура: треугольник
Нахождение объема шара: формула и задачи
Тригонометрическая функция: Косинус угла (cos)
Нахождение объема конуса: формула и задачи
Таблица сложения чисел
Нахождение площади квадрата: формула и примеры
Что такое тетраэдр: определение, виды, формулы площади и объема
Нахождение объема пирамиды: формула и задачи
Признаки подобия треугольников
Нахождение периметра прямоугольника: формула и задачи
Формула Герона для треугольника
Что такое средняя линия треугольника
Нахождение площади треугольника: формула и примеры
Нахождение площади поверхности конуса: формула и задачи
Что такое прямоугольник: определение, свойства, признаки, формулы
Разность кубов: формула и примеры
Степени натуральных чисел
Нахождение площади правильного шестиугольника: формула и примеры
Тригонометрические значения углов: sin, cos, tg, ctg
Нахождение периметра квадрата: формула и задачи
Теорема Фалеса: формулировка и пример решения задачи
Сумма кубов: формула и примеры
Нахождение объема куба: формула и задачи
Куб разности: формула и примеры
Нахождение площади шарового сегмента
Что такое окружность: определение, свойства, формулы
4.
7 — Введение в экспоненциальную запись — Изучение C++Alex
Прежде чем мы поговорим о нашей следующей теме, мы перейдем к теме научных обозначений.
Научное обозначение является удобным сокращением для краткой записи длинных чисел. И хотя поначалу научная запись может показаться чуждой, понимание научной записи поможет вам понять, как работают числа с плавающей запятой, и, что более важно, каковы их ограничения.
Числа в экспоненциальном представлении имеют следующую форму: значащая x 10 показатель степени . Например, в экспоненциальном представлении 1,2 x 10⁴ 1,2 является значащей величиной, а 4 — показателем степени.
По соглашению числа в экспоненциальном представлении записываются с одной цифрой до десятичной точки, а остальные цифры после.
Рассмотрим массу Земли. В десятичном представлении мы запишем это как 5973600000000000000000000 кг . Это действительно большое число (слишком большое, чтобы поместиться даже в 8-байтовое целое число). Также трудно читать (это 19 или 20 нулей?). Даже с разделителями (5 973 600 000 000 000 000 000 000) число по-прежнему трудно прочитать.
В экспоненциальной записи это будет записано как 5,9736 x 10²⁴ кг , что намного легче читать. Научная нотация имеет дополнительное преимущество, поскольку упрощает сравнение величины двух очень больших или очень малых чисел, просто сравнивая показатель степени.
Поскольку вводить или отображать экспоненты в C++ может быть сложно, мы используем букву «e» (или иногда «E») для представления части уравнения, умноженной на 10 в степени.
1,2 x 10⁴ будет записано как 1,2e4 , а 5,9736 x 10²⁴ будет записано как 5,9736e24 . Для чисел меньше 1 показатель степени может быть отрицательным. Число 5e-2 эквивалентно 5 * 10⁻² , что равно 5/10² 9.0026 или 0,05 . Масса электрона 9,1093822e-31 кг .
Как преобразовать числа в экспоненциальное представление
Используйте следующую процедуру:
- Показатель степени начинается с нуля.
- Сдвиньте десятичную дробь так, чтобы слева от десятичной дроби была только одна ненулевая цифра.
- Каждое место, на которое вы перемещаете десятичную дробь влево, увеличивает показатель степени на 1.
- Каждое место, которое вы перемещаете десятичной дробью вправо, уменьшает показатель степени на 1.
- Обрезать все начальные нули (слева от мантиссы)
- Обрезать все замыкающие нули (с правого конца мантиссы), только если в исходном числе не было десятичной точки.
Мы предполагаем, что они несущественны, если не указано иное.
Мы предполагаем, что они несущественны, если не указано иное.Вот несколько примеров:
Начните с: 42030 Сдвиньте десятичную дробь влево на 4 пробела: 4.2030e4 Нет начальных нулей для обрезки: 4.2030e4 Обрезать конечные нули: 4.203e4 (4 значащие цифры)
Начать с: 0,0078900 Сдвиньте десятичную запятую вправо на 3 пробела: 0007.8900e-3 Обрезать ведущие нули: 7.8900e-3 Не обрезать конечные нули: 7.8900e-3 (5 значащих цифр)
Начать с: 600.410 Сдвиньте десятичную дробь влево на 2 пробела: 6.00410e2 Нет начальных нулей для обрезки: 6.00410e2 Не обрезать конечные нули: 6.00410e2 (6 значащих цифр)
Вот самое важное, что нужно понять: цифры в мантиссе (часть перед буквой «е») называются значащими цифрами . Количество значащих цифр определяет число точность . Чем больше цифр в мантиссе, тем точнее число.
Точность и нули после запятой
Рассмотрим случай, когда мы просим двух лаборантов взвесить одно и то же яблоко.
Один возвращается и говорит, что яблоко весит 87 граммов. Другой возвращается и говорит, что яблоко весит 87,00 грамм. Допустим, взвешивание правильное. В первом случае фактический вес яблока может составлять от 86,50 до 87,49 грамма. Может быть, весы были точны только до ближайшего грамма. Или, может быть, наш помощник немного округлил. В последнем случае мы уверены в реальном весе яблока в гораздо большей степени (оно весит от 86,9950 и 87,0049 грамм, что имеет гораздо меньшую изменчивость).
Итак, в стандартной научной нотации мы предпочитаем оставлять нули после запятой, потому что эти цифры дают полезную информацию о точности числа.
Однако в C++ числа 87 и 87.000 обрабатываются одинаково, и компилятор сохраняет для каждого из них одно и то же значение. Нет никаких технических причин, по которым мы должны предпочесть одно другому (хотя могут быть и научные причины, если вы используете исходный код в качестве документации).
Теперь, когда мы рассмотрели экспоненциальную запись, мы готовы рассмотреть числа с плавающей запятой.
Время викторины
Преобразуйте следующие числа в экспоненциальное представление (используя букву e для представления степени) и определите, сколько значащих цифр каждое имеет (оставив нули после запятой):
a) 34,50Показать решение
b) 0,004000
Показать решение
c) 123,005
Показать решение
d) 146000
Show Solution
E) 146000.001
Show Solution
F) 0,0000000008
SHOW Раствор
G) 34500,0
Показать решение
Классификация экспорта. Министерству торговли необходимо выяснить, имеет ли предмет, который вы собираетесь экспортировать, определенный номер классификации экспортного контроля (ECCN). ECCN — это пятизначные буквенно-цифровые обозначения, используемые в Контрольном списке торговли (CCL) для идентификации товаров двойного назначения в целях экспортного контроля. ECCN классифицирует товары на основе характера продукта, то есть типа товара, программного обеспечения или технологии и соответствующих технических параметров.
Номер ECCN отличается от номера списка B, который используется Бюро переписи населения для сбора торговой статистики. Она также отличается от Номенклатуры Гармонизированной системы тарифов, которая используется для определения импортных пошлин.
Все ECCN перечислены в Контрольном списке торговли (CCL) (Дополнение № 1 к части 774 EAR), который разделен на десять широких категорий, и каждая категория далее подразделяется на пять групп продуктов. Первый символ ECCN определяет более широкую категорию, к которой он принадлежит, а второй символ определяет группу продуктов (см. пример и поля ниже).
Категории контрольного списка торговли 0 = Ядерные материалы, установки и оборудование (и прочие предметы) |
Пять групп продуктов A. |
