Как найти сумму и разность матриц: правило, свойства, примеры
Sign in
Password recovery
Восстановите свой пароль
Ваш адрес электронной почты
MicroExcel.ru Математика Алгебра Сложение и вычитание матриц
В данной публикации мы рассмотрим, как можно сложить две матрицы или вычесть одну из другой. Также приведем примеры для лучшего понимания изложенного материала.
- Сумма матриц
- Свойства сложения матриц
- Разность матриц
- Примеры задач
Сумма матриц
Если сложить матрицы A и B одинакового размера, то получится матрица C того же размера, элементы которой равны сумме соответствующих элементов исходных матриц.
Am x n + Bm x n = Cm x n
Примечание: найти можно только сумму матриц одинакового размера.
Свойства сложения матриц
1. Переместительный закон
A + B = B + A
2.
Асоциативный закон
(A + B) + C = A + (B + C)
3. Если к матрице прибавить нулевую матрицу, она не изменится.
A + Θ = A, где Θ – нулевая матрица.
4. Если из матрицы вычесть ее же, получится нулевая матрица.
A – A = Θ
Разность матриц
Разность матриц можно представить в виде сложения или умножения матрицы на число.
С = A – B = A + (-B) = A + (-1) ⋅ B
На деле это означает, что мы просто находим разность соответствующих элементов матриц.
Примечание: вычитать также, как и складывать, можно только матрицы одинакового размера.
Примеры задач
Задание 1
Найдем сумму матриц A и B, представленных ниже.
Решение:
Задание 2
Вычислим разность матриц A и B.
Решение:
ЧАЩЕ ВСЕГО ЗАПРАШИВАЮТ
Таблица знаков зодиака
Нахождение площади трапеции: формула и примеры
Нахождение длины окружности: формула и задачи
Римские цифры: таблицы
Таблица синусов
Тригонометрическая функция: Тангенс угла (tg)
Нахождение площади ромба: формула и примеры
Нахождение объема цилиндра: формула и задачи
Тригонометрическая функция: Синус угла (sin)
Геометрическая фигура: треугольник
Нахождение объема шара: формула и задачи
Тригонометрическая функция: Косинус угла (cos)
Нахождение объема конуса: формула и задачи
Таблица сложения чисел
Нахождение площади квадрата: формула и примеры
Что такое тетраэдр: определение, виды, формулы площади и объема
Нахождение объема пирамиды: формула и задачи
Признаки подобия треугольников
Нахождение периметра прямоугольника: формула и задачи
Формула Герона для треугольника
Что такое средняя линия треугольника
Нахождение площади треугольника: формула и примеры
Нахождение площади поверхности конуса: формула и задачи
Что такое прямоугольник: определение, свойства, признаки, формулы
Разность кубов: формула и примеры
Степени натуральных чисел
Нахождение площади правильного шестиугольника: формула и примеры
Тригонометрические значения углов: sin, cos, tg, ctg
Нахождение периметра квадрата: формула и задачи
Теорема Фалеса: формулировка и пример решения задачи
Сумма кубов: формула и примеры
Нахождение объема куба: формула и задачи
Куб разности: формула и примеры
Нахождение площади шарового сегмента
Что такое окружность: определение, свойства, формулы
Сложение матриц — с примером решения
Содержание:
- Пример:
- Сложение матриц
Суммой матриц , имеющих строк и столбцов, называется матрица элементы которой равны сумме соответствующих элементов этих матриц, причём .
| Складывать и вычитать можно матрицы одного размера в результате получается матрица того же размера. |
Аналогично
Отметим, что сложение, матриц определено только тогда, когда матрица имеет одинаковое число строк и столбцов с матрицей .
Пусть даны две квадратные матрицы:
Произведением двух матриц называется третья матрица
элементы которой определяются следующим образом:
т. е. элемент матрицы есть сумма произведений элементов -й строки матрицы на элементы -гo столбца матрицы .
По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:
| Высшая математика: лекции, формулы, теоремы, примеры задач с решением |
Аналогично определяется произведение неквадратных матриц, причём допускает умножение на матрицу и дает произведение в том и только том случае, когда число столбцов матрицы совпадает с числом строк матрицы к при этом несущественно, сколько строк имеет матрица и сколько столбцов имеет матрица .
Произведение имеет одинаковое число строк с матрицей и одинаковое число столбцов с матрицей ,
Добавление матриц A и B является арифметической операцией, поэтому нам нужно получить матрицу C, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов добавленной матрицы.
Пример:
Таким образом, в общем случае . Отметим, что
т.е. определитель произведения двух квадратных матриц -го порядка равен произведению определителей перемножаемых матриц- и
В этом случае произведение не определено, поскольку число столбцов в матрице не равно числу строк в матрице .
Возможно вам будут полезны данные страницы:
Действия над матрицами |
Вычислить определитель матрицы |
Вычитание матриц: примеры решения |
Матрица математика: примеры решения |
Отметим» что если существуют лве матрицы и , для которых .
то они квадратные.
г) Показать, что
Сложение матриц
Пусть А и В — матрицы одинаковых размеров (т. е. состоящие из одинакового числа строк и одинакового числа столбцов),
Матрица
называется суммой матриц А и В, если ее элементы вычисляются по правилу
Иными словами, складываются элементы матриц А и В, стоящие в одинаковых позициях (в -й строке и в -м столбце), и полученная сумма записывается в новой матрице С в ту же позицию (г, к). Это можно записать и так:
Обозначение: А + В.
Вычитание матриц определяется аналогично.
Замечание. Операция сложения определена лишь для матриц, имеющих одинаковые размеры. Если матрицы имеют разное число строк или разное число столбцов, то складывать их нельзя.
Сложение матриц
Как и в обычной алгебре, в матричной алгебре есть такие операции, как сложение и вычитание.
Как складывать и вычитать матрицы
Две матрицы можно складывать или вычитать, только если они имеют одинаковые
измерение;
то есть они должны иметь одинаковое количество строк и столбцов.
Сложение или вычитание осуществляется путем сложения или вычитания соответствующие элементы. Например, рассмотрим матрицу A и матрица Б .
| А = |
| Б = |
|
Обе матрицы имеют одинаковое количество строк и столбцов (2 строки и 3 столбца),
чтобы их можно было складывать и вычитать.
Таким образом,
| А + В = |
|
| А + В = |
|
А,
| А — В = |
|
| А — Б = |
|
И, наконец, обратите внимание, что порядок добавления матриц не
важный; таким образом, А + В = Б + А .
Реклама
Проверьте свое понимание
Задача 1
Рассмотрим приведенные ниже матрицы — A , B , C и D
|
|
|
Какие из следующих утверждений верны?
I.
А + В = С
II. Б +
III. Б — С = Д
(А) только я
(В) только II
(С) только III
(Д) I и II
(Э) I и III
Решение
Правильный ответ (С), как показано ниже.
|
|
Обратите внимание, что матрицы A и B нельзя добавить,
потому что B имеет больше столбцов, чем A .
Матрицы можно складывать и вычитать, только если они имеют одинаковые
количество строк и такое же количество столбцов.
Последний урок Следующий урок
Объяснение вычитания матриц (с примерами Python)
В этой статье мы обсудим шаги и интуицию для сложения матриц с примерами и выполним вычитание матриц в Python.
Инверсия матрицы 3 на 3 с помощью Ga…
Пожалуйста, включите JavaScript0513
Введение
В этой статье мы объясняем интуицию и этапы вычитания матриц.
Используемые примеры довольно просты и не требуют даже калькулятора. Логика очень похожа на процесс сложения матриц. Однако подходы, изученные в этой статье, могут быть применены к более сложным матричным вычитаниям.
Мы также изучили, как быстро и легко выполнять сложение матриц с помощью Python.
Чтобы продолжить следовать этому руководству, нам понадобится следующая библиотека Python: numpy .
Если они у вас не установлены, откройте «Командную строку» (в Windows) и установите их, используя следующий код:
пип установить numpy
Книги, которые я рекомендую:
- Ускоренный курс Python
- Автоматизируйте скучные вещи с помощью Python
- Помимо базовых вещей с помощью Python
- Серьезный Python
Объяснение вычитания матриц
Матрица может быть вычтена из другой матрицы тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую размерность (обе 2×2, 3×3 и т. д.).
В качестве наглядного примера давайте рассмотрим 2 фермеров, у которых есть несколько яблок и немного винограда на складе. Мы можем представить это в виде таблицы:
| Склад | Фермер 1 | Фермер 2 |
| Яблоки | 7 2 09012 23 | 0033 |
| Виноград | 7 | 5 |
который также можно просто представить в виде матрицы:
$$A = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 7 & 5 $end{bma 7 & 5} $
Затем эти два фермера пошли на рынок и продали немного фруктов.
Количество проданных ими фруктов также можно представить в виде таблицы:
| Продано | Фермер 1 | Фермер 2 |
| Яблоки | 21 | |
| Виноград | 1 | 3 |
которые также можно просто показать в матрице: 90trix end \b1 \ma
{$B = \begin {bmatrix}$$
Когда рынок закрывается, они подсчитывают новое общее количество фруктов на складе после того, как они продали часть из них. И они делают это, просто вычитая количество проданных фруктов, чтобы получить:
| Итого | Farmer 1 | Farmer 2 |
| Яблоки | 1 | 1 |
| С вина | 6 | 2 |
Теперь давайте проделаем то же самое в матричной форме:
$$C = A – B = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 7 & 5 \end{bmatrix} – \begin{bmatrix} 2 & 1 \ \ 1 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3-2 & 2-1 \\ 7-1 & 5-3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 6 & 2 \end{bmatrix}$$
И мы видим, что матрица \(C\) имеет те же значения, что и таблица с суммами над ней.
Мы можем дополнительно обобщить этот подход для матрицы размера \(m \times n\):
$$A – B = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{ 1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_ {mn} \end{bmatrix} – \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} & \dots & b_{1n} \\ b_{21} & b_{22} & \dots & b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{m1} & b_{m2} & \dots & b_{mn} \end{bmatrix} = \\[50pt] = \begin{bmatrix} a_ {11}-b_{11} & a_{12}-b_{12} & \dots & a_{1n}-b_{1n} \\ a_{21}-b_{21} & a_{22}-b_{ 22} & \dots & a_{2n}-b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1}-b_{m1} & a_{m2}-b_{m2} & \dots & a_{mn}-b_{mn} \end{bmatrix}$$
Вычитание матриц в Python
Чтобы выполнить умножение векторов матриц в Python, мы будем использовать библиотеку numpy . И первым шагом будет его импорт:
импортировать numpy как np
Numpy имеет множество полезных функций, и для этой операции мы будем использовать функцию subtract(), которая вычитает массивы поэлементно.