Связь косинуса и тангенса формула: Формулы связи тригонометрических функций. Примеры из ЕГЭ

Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника 8 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей |

Повторение основных понятий, связанных с прямоугольным треугольником

 

На этом уроке мы познакомимся с синусом, косинусом и тангенсом – тригонометрическими функциями, связывающими острый угол прямоугольного треугольника с катетами и гипотенузой этого треугольника. Это очень важные понятия, которые будут встречаться не только в геометрии, но и в алгебре, физике и во многих других науках.

 

Напомним основные сведения о прямоугольном треугольнике (см. Рис. 1).

Рис. 1

;

 – катеты; AB=c – гипотенуза.

Также в прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна : .

Для прямоугольного треугольника также верна теорема Пифагора: .

Введём теперь понятие синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника.

 

Определение синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника

 

 

Определение

 

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего этому углу катета к гипотенузе.

, .

Определение

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего к этому углу катета к гипотенузе.

, .

Определение

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего этому углу катета к прилежащему катету.

, .

 

Связь катетов и гипотенузы, двух катетов через тригонометрические функции угла

 

 

С помощью введённых понятий можно находить катеты или гипотенузу.

 

Например, из формулы: . Аналогично: .

Также можно получить формулу для связи длин двух катетов: .

 

Связь синуса и косинуса двух острых углов прямоугольного треугольника

 

 

При решении задач очень важно знать соотношения между синусом, косинусом и тангенсом острого угла прямоугольного треугольника.

 

Рассмотрим следующие две формулы: . Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна , то формула приобретает следующий вид:

Аналогично получаем: . Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна , то формула приобретает следующий вид:

 

Формула, связывающая тангенс с синусом и косинусом

 

 

Докажем теперь важную формулу, связывающую тангенс с синусом и косинусом:

 

 

Доказательство независимости значения тригонометрических функций от размеров треугольника

 

 

Доказательство

 

Запишем определение синуса и косинуса острого угла прямоугольного треугольника: , . Тогда: . Доказано.

Аналогично: .

Рассмотрим следующую важную задачу.

Задача

Даны прямоугольные треугольники . Кроме того, .

Доказать:.

Доказательство

 (так как оба треугольника прямоугольные с равными острыми углами). Значит, выполняется следующее соотношение: .

Отсюда получаем: .

.

.

Доказано.

Вывод: синус, косинус и тангенс не зависят от треугольника, а зависят только от угла.

 

Основное тригонометрическое тождество

 

 

Сформулируем и докажем одну из важнейших теорем, связывающих синус и косинус острого угла прямоугольного треугольника, – основное тригонометрическое тождество.

 

Основное тригонометрическое тождество: .

Примечание:

Доказательство

, тогда:  (при доказательстве мы пользовались теоремой Пифагора: ).

Доказано.

Рассмотрим пример, иллюстрирующий связь тригонометрических функций.

 

Решение примера

 

 

Дано:  – прямоугольный (), .

 

Найти:

Решение

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: . Подставим в него известное нам значение синуса: . Отсюда: . Так как косинус, по определению, – это отношение катета к гипотенузе, то он может быть только положительным, поэтому: .

Найдём теперь тангенс угла, пользуясь формулой: .

Ответ: .

На этом уроке мы рассмотрели понятия синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника, вывели некоторые их свойства и формулы связи между этими величинами. На следующем уроке мы познакомимся со значениями синуса, косинуса и тангенса для некоторых конкретных значений углов.

 

Список литературы

1. Александров А.Д. и др. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2006.
2. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.
3. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометрия, 8 класс. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Фестиваль педагогических идей «Открытый урок» (Источник).
2. Xvatit.com (Источник).
3. Egesdam.ru (Источник).

 

Домашнее задание

1. № 133(а-г), 134(а-г), Бутузов В.Ф., Кадомцев С. Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.
2. Найдите синус, косинус и тангенс наименьшего угла египетского треугольника.
3. Найдите косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника, синус которого равен .

 

Синус, косинус и тангенс угла. Основное тригонометрическое тождество. Формулы приведения»

ГЕОМЕТРИЯ.

УРОК: «Контрольная работа № 1«Метод координат». Синус, косинус и тангенс угла. Основное тригонометрическое тождество. Формулы приведения»

Учитель: Васильева О.В.

Класс: 9

Цель урока:

— образовательная: ввести понятия синуса, косинуса и тангенса угла, актуализировать знания о синусе, косинусе и тангенсе угла в прямоугольном треугольнике, ознакомить с основным тригонометрическим тождеством, формулами приведения и формулой для нахождения координат точки, научить применять их при решении задач;

— развивающая: развитие внимания, памяти, речи, логического мышления, самостоятельности;

— воспитательная: воспитание дисциплины, наблюдательности, аккуратности, чувства ответственности.

Ход урока:

1. Организационный момент.

2. Актуализация знаний. Контрольная работа № 1«Метод координат».

3. Изучение нового материала

Учитель: сегодня мы приступаем к изучению новой главы «Соотношение между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов» и первой темой в данной главе будет «Синус, косинус и тангенс угла». Запишите в тетрадях число и тему урока

Запись в тетрадях:

Число. Тема урока: Синус, косинус и тангенс угла.

Учитель: но прежде, чем перейти к изучению этой темы, выведем с вами определения

синус острого угла α прямоугольного треугольника – это отношение противолежащего катета к гипотенузе. 

Косинус острого угла α прямоугольного треугольника – это отношение прилежащего катета к гипотенузе.  

Тангенс острого угла α – это отношение противолежащего катета к прилежащему катету.

Учитель: теперь решите следующий пример

1. Пусть в прямоугольном треугольнике АВС
АВ = 6,
ВС = 3,
угол А = 30º.

Выясним синус угла А и косинус угла В.

Решение

1) Сначала находим величину угла В. Тут все просто: так как в прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90º, то угол В = 60º:

В = 90º – 30º = 60º.

2) Вычислим sin A. Мы знаем, что синус равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. Для угла А противолежащим катетом является сторона ВС. Итак:

      sin A = = = .

3) Теперь вычислим cos B. Мы знаем, что косинус равен отношению прилежащего катета к гипотенузе. Для угла В прилежащим катетом является все та же сторона ВС. Это значит, что нам снова надо разделить ВС на АВ – то есть совершить те же действия, что и при вычислении синуса угла А:

      cos B = = = .

В итоге получается:

sin A = cos B = .

Или:

sin 30º = cos 60º = .

Теперь мы познакомимся с этими понятиями в независимости от фигуры, в которой они находятся. (презентация)

Введем прямоугольную систему координат Оху и построим полуокружность радиуса 1 с центром в начале координат, расположенную в первом и втором квадрантах. Данная полуокружность называется единичной (см. рис. 290 в учебнике). Запишите определение с экрана и сделайте рисунок. (слайд 3)

Запись в тетрадях:

Полуокружность называется единичной, если ее центр находится в начале координат, а радиус равен 1.

Учитель: из точки О проведем луч h , пересекающий единичную полуокружность в точке М (х;у). обозначит буквой  угол между лучом h и положительной полуосью абсцисс. Если луч h совпадает с положительной полуосью абсцисс, то будем считать, что  = 0 .

Если угол  острый, то из прямоугольного треугольника DOM имеем, sin  = , a cos  = .

Но OM = 1, MD это ордината, OD — абсцисса, поэтому sin  ордината у точки М, cos  это абсцисса х точки М.

Запись на доске и в тетрадях:

Если угол  острый, то из прямоугольного треугольника DOM имеем,

sin  = , a cos  = .

Но OM = 1, MD = y, OD = x,

поэтому sin  = y, cos  = x. (1)

Учитель: Так как из прямоугольного треугольника DOM тангенс — это отношение противолежащего катета к прилежащему tg = , то тангенс будет равен отношению синуса угла  к косинусу угла  tg = . Существует еще функция, обратная тангенсу — катангенс, и он равен отношению косинуса угла  к синусу ctg = .

Итак, синус острого угла  равен ординате у точки М, а косинус угла  — абсциссе х точки М. Запишите со слайда информацию в тетради (слайд 4).

Запись на доске и в тетрадях:

Т.к. tg = , то tg = , ctg = .

Учитель: если угол  прямой, тупой или развернутый, это углы AOC, AON и AOB или  = 0 , то синус и косинус угла  также определим по формулам (1).

Таким образом, для любого угла  из промежутка 0 ≤  ≤ 180 синусом угла  называется ордината у точки М, косинусом угла  — абсцисса х точки М.

Так как координаты (х; у) точек единичной полуокружности заключены в промежутках 0 ≤ у ≤ 1, — 1 ≤ х ≤ 1, то для любого  из промежутка 0 ≤  ≤ 180 справедливы неравенства:

0 ≤ sin  ≤ 1, — 1≤ cos  ≤ 1 (слайд 5). Запишите это в тетради.

Запись в тетрадях:

Т.к. 0 ≤ у ≤ 1, — 1 ≤ х ≤ 1, то для любого  из промежутка 0 ≤  ≤ 180

0 ≤ sin  ≤ 1, — 1≤ cos  ≤ 1.

Учитель: а теперь найдем значения синуса и косинуса для углов 0, 90 и 180. Для этого рассмотрим лучи OA, OC и OB, соответствующие этим углам (см.рис.290). Так как точки А, С и B имеют координаты А (1; 0), С (0; 1), В (-1; 0), то

Sin 0 = 0, sin 90 = 1, sin 180 = 0, cos 0 = 1, cos 90 = 0, cos 180 = — 1. (2) (слайд 6) Запишите в тетради.

Запись в тетрадях:

Sin 0 = 0, sin 90 = 1, sin 180 = 0, cos 0 = 1, cos 90 = 0, cos 180 = — 1

Учитель: кроме этих значений при решении задач вам понадобятся и другие значения синуса, косинуса, тангенса и катангенса при различных угла . Сделайте себе в тетради небольшую тригонометрическую таблицу значений синуса, косинуса, тангенса и катангенса

Запись в тетрадях:

Учитель: теперь мы познакомимся с вами с основным тригонометрическим тождеством. Запишите заголовок в тетради.

Запись в тетрадях:

Основное тригонометрическое тождество.

sin²  + cos²  = 1, (4)

Которое выполняется для любого угла  из промежутка 0 ≤  ≤ 180. Равенство (4) называется основным тригонометрическим тождеством. В VIII классе оно было доказано для острых углов. Запишите в тетради информацию со слайда.

Запись в тетрадях:

Для любого угла  из промежутка 0 ≤  ≤ 180 верно

sin²  + cos²  = 1 — основное тригонометрическое тождество.

Учитель: теперь определим знаки синуса, косинуса и тангенса в разных четвертях.

Знаки синуса.

Так как sin  = , то знак синуса зависит от знака у. В первой и второй четвертях у 0, в третьей и четвертой у 0. Значит синус больше нуля, если угол  находится в первой ил второй четверти, и синус меньше нуля, если угол  находится в третьей ил четвертой четверти. Запишите эту информацию в тетради со слайда (слайд 10)

Запись в тетрадях:

т.к. sin  = ,

I , II ч — sin  0, III, IV ч — sin 

Учитель: знаки косинуса. Так как cos  = , то знак косинуса зависит то знака х. тогда в первой и четвертой четвертях х 0, а во второй и третьей четвертях x  находится в первой или четвертой четверти, и косинус является меньше нуля, если угол  находится во второй или третьей четверти. Запишите это в тетради со слайда.

Запись в тетрадях:

Так как cos  =

I , IV ч — cos a 0, II, III ч — cos a

Учитель: знаки тангенса и катангенса.

Так как tg  = , а ctg  = , то знаки tg  и ctg  зависят от знаков x и y. В 1 и 3 четвертях x и y имеют одинаковые знаки, а во 2 и 4 разные. Значит: tg  0 и ctg  0, если угол  является углом 1 или 3 четверти; tg    является углом 2 или 4 четверти. Запишите в тетради, и перенесите в таблицу.

Запись в тетрадях:

tg a =

I , III ч — tg a 0, II, IV ч — tg a

ctg  =

I , III ч — ctg a 0, II, IV ч — ctg a

Учитель: кроме основное тригонометрического тождества справедливы также следующие тождества, которые являются формулами приведения. Запишите их в тетради.

sin (90 — ) = cos 

cos (90 — ) = sin  (5) при 0 ≤  ≤ 90,

sin (180 — )= sin 

cos (180 — ) = — cos  (6) при 0 ≤  ≤ 180 .

Запись в тетрадях:

Формулы приведения.

sin (90 — ) = cos 

cos (90 — ) = sin  (5) при 0 ≤  ≤ 90 ,

sin (180 — )= sin 

cos (180 — ) = — cos  (6) при 0 ≤  ≤ 180 .

Учитель: и последнее, что мы сегодня с вами рассмотрим, это формулы для вычисления координат точки, сделайте в тетрадях следующий заголовок: формулы для вычисления координат точки. (слайд 12)

Запись в тетрадях:

Формулы для вычисления координат точки.

Учитель: итак, пусть задана система координат Оху и дана произвольная точка А(х;у) с неотрицательной ординатой у (см.рис. 291 учебника).

Выразим координаты точки А через длину отрезка ОА и угол  между лучом ОА и положительной полуосью Ох. Для этого обозначим буквой М точку пересечения луча ОА с единичной полуокружностью. По формулам sin  = y, cos  = x координаты точки М соответственно равны cos  и sin . Вектор имеет те же координаты, что и точка М, т.е. (cos ; sin ). Вектор имеет те же координаты, что и точка А, т.е. (х; у). По лемме о коллинеарных векторах = ОА ∙ , поэтому

x = ОА ∙ cos ,

y = OA ∙ sin . (7)

Запишите все в тетрадь со слайда.

Запись в тетрадях:

sin  = y, cos  = x

М(cos ; sin ), (cos ; sin ), (х; у).

По лемме о коллинеарных векторах = ОА ∙ , поэтому

x = ОА ∙ cos ,

y = OA ∙ sin . (7)

4. Закрепление изученного материала

Учитель: а теперь закрепим изученный материал при решении следующих задачах:

К доске вызываются ученики.

Запись на доске и в тетрадях:

№ 1013 (а, б)

Дано: а) cos  = . б) cos  = . Найти: sin 

Ученик: так как угол  находится во 2 ч., то sin  0

Запись на доске и в тетрадях:

Так как  находится во 2 ч., то sin  0, sin  = .

Дано: а) cos  = 1; в) sin  = и 0  .

5. Подведение итогов урока и домашнее задание

Учитель: итак, сегодня на уроке мы изучили синус, косинус и тангенс угла. Теперь ответьте на следующие вопросы:

Что называется синусом угла? косинусом угла?

что такое тангенс угла? катангенс угла?

какое основное тригонометрическое тождество вы знаете?

какие есть формулы для вычисления координат точки?

Ученик: x = ОА ∙ cos , y = OA ∙ sin .

как определить знаки синуса или косинуса?

Ученик: нужно определить, в какой четверти лежит точка с заданными координатами, или данный угол .

Запись на доске и в тетрадях:

Д/з: §1, пп. 93 — 95, №№ 1014, 1015 (б, г)

Учитель: урок окончен. До свидания.

Синусоидальная функция — Графическое упражнение

Синусоидальная функция — Графическое упражнение

Показать рекламу

Скрыть рекламу
О рекламе

Синусоидальная функция дает очень красивую кривую,
но не верьте нам на слово, сделайте свою!

Синусоидальная функция

Сначала прочтите страницу о синусе, косинусе и тангенсе.

Теперь вы знаете, что синус любого угла равен длине дальней стороны треугольника («противоположная») разделить на длинную сторону («гипотенуза»):

Синус θ = Противоположный / Гипотенуза

Нарисовать треугольники

Чтобы построить график, нам нужно вычислить синус для разных углов, затем нанести эти точки на график и затем «соединить точки».

Шаг 1. Начертите линии под углом

Поставьте отметку в центре листа бумаги, затем с помощью транспортира отметьте каждые 15 градусов от 0° на 180° по полукругу. Затем поверните транспортир и снова отметьте от 180° до начала. затем нарисуйте линии, расходящиеся от центра к каждой из ваших меток, чтобы в итоге у вас получилась такая иллюстрация:

Линии под углом 15° (щелкните, чтобы увеличить)

Или вы можете щелкнуть на изображении выше, а затем распечатать результат.

Шаг 2: Нарисуйте и измерьте треугольники

Теперь мы можем превратить каждую из этих линий в треугольник, например:

Измерение треугольников

Когда вы закончите каждый треугольник, останется просто измерить линии. . Помните, что синус длина прямой, противоположной углу разделить на гипотенузу (что должно все быть одинаковой длины, если хорошо нарисовали)

Запишите все свои мерки в таблицу. Вот что у меня получилось, но ваши размеры могут отличаться:

Уголок	Напротив	Гипотенуза	Противоположный / гипотенуза
0°	0 мм	86 мм	0,00
15°	22 мм	86 мм	0,26
30°	43 мм	86 мм	0,50
и т. д. …

Здесь можно распечатать готовую для заполнения таблицу.

Важно: когда «противоположная» линия идет вниз, она отрицательна.

Совет: если вы хорошо нарисовали, вы можете воспользоваться симметрией 0-90, 90-180, 180-270 и 270-360.

График результатов

Возьмите миллиметровку и подготовьте ее, уменьшив масштаб от 0 до 360 с шагом 15 по оси x и масштабируя от -1 до +1 по оси Y. Вы можете использовать свою миллиметровую бумагу или распечатать этот график. paper

Теперь нанесите каждую точку из таблицы на график.

Затем соедините точки как можно аккуратнее.

Результат

Результат должен выглядеть примерно так, как показано на графике вверху.

Но вы сделали гораздо больше, чем просто нарисовали красивую кривую. Вы:

• узнали об одной из самых важных функций в математике
• узнал, что вам не обязательно верить тому, что говорят люди — вы можете попробовать это сами.
• имел опыт построения графиков
• узнал, как симметрия может сэкономить усилия

Надеюсь, вам понравилось!

Copyright © 2017 MathsIsFun.com

2. Синус, косинус, тангенс и обратные отношения

М. Борна

смежная гипотенуза противоположная θОткрыть изображение на новой странице

Треугольник, показывающий смежную, гипотенузную и противоположную стороны относительно θ.

Для угла θ в прямоугольном треугольнике, как показано, мы назовем стороны как:

• гипотенуза (сторона, противоположная прямому углу)
• смежный (сторона «рядом с» θ )
• напротив (сторона, наиболее удаленная от угла
  θ )

Мы Определим Три тригонометрических соотношения SINE θ , косинус θ , и Tangence θ и Tangent θ и Tangent θ stefts ats ats ats ats ats ats ats cos θ и тангенс θ ):

`sin theta=текст(противоположный)/текст(гипотенуза)` `cos \ theta=текст(смежный)/текст(гипотенуза)` `tan theta=текст(противоположный)/текст(смежный)`

Чтобы запомнить это, многие люди используют SOH CAH TOA, то есть:

S в θ = O точка/ H ипотенуза,

C os θ = A djacent/ H ypotenuse и

T и θ = O pposite/ A djacent

Обратные тригонометрические соотношения

Часто полезно использовать обратные соотношения, в зависимости от задачи. (Проще говоря, обратную дробь можно найти, перевернув дробь вверх ногами.)

`»косеканс»\ θ` является обратной величиной `»синуса»\ θ`,

`»секанс»\ θ` является обратной величиной `»косинуса»\ θ`, а

`»котангенс»\ θ` является обратной величиной `»тангенса»\ θ`

Обычно мы записываем их в краткой форме как `csc\ θ`, `sec\ θ` и `cot\ θ` . (В некоторых учебниках « csc » записывается как « cosec «. Это одно и то же.)

`csc \ theta =текст(гипотенуза)/текст(противоположный)` `sec\ theta=текст(гипотенуза)/текст(смежный)` `cot \ theta=текст(смежный)/текст(противоположный)`

Важное примечание: Существует большая разница между csc

θ и sin ^-1 θ .

• Первый является обратным: `csc\ theta=1/(sin\ theta)`.
• Второй включает в себя нахождение угла , синус которого равен θ .

Итак, на вашем калькуляторе не используйте кнопку sin ^-1 , чтобы найти csc θ .

Мы встретимся с идеей греха ^-1 θ в следующем разделе «Значения тригонометрических функций».

θrxy(x, y)(0, 0)

x- ось

у- ось

Угол в стандартном положении .

Для угла в стандартном положении мы определяем тригонометрические отношения через x , y и r :

`sin theta =y/r` `cos theta =x/r` `tan theta =y/x`

Обратите внимание, что мы все еще определяем

.

грех θ как `»opp»/»hyp»`;

cos θ как `»adj»/»hyp»` и

tan θ as `»opp»/»adj»,

, но мы используем конкретные значения x -, y — и r , определяемые точкой ( x , y ), через которую проходит крайняя сторона. Конечно, мы можем выбрать любую точку на этой линии, чтобы определить наши соотношения.