Найти частные производные | Онлайн калькулятор
Данный онлайн калькулятор предназначен для решения частных производных первого и второго порядков.
Частная производная – это производная функции одной переменной, когда значение другой переменной фиксировано. Следовательно, частные производные находятся так же, как и производные функций одной переменной. Частная производная это обобщенное понятие производной, когда в функции содержится несколько переменных.
Калькулятор поможет найти частные производные функции онлайн.
Для получения полного хода решения нажимаем в ответе Step-by-step.
Основные функции
модуль x: abs(x)
|
4), {x,6}.×
Для установки калькулятора на iPhone — просто добавьте страницу
«На главный экран»
Для установки калькулятора на Android — просто добавьте страницу
«На главный экран»
Скачать калькулятор
Select rating12345
Рейтинг: 3.2 (Голосов 52)
Сообщить об ошибке
Смотрите также
|
Навигация: Главная Случайная страница Обратная связь ТОП Интересно знать Избранные Топ: История развития методов оптимизации: теорема Куна-Таккера, метод Лагранжа, роль выпуклости в оптимизации… Основы обеспечения единства измерений: Обеспечение единства измерений — деятельность метрологических служб, направленная на достижение… Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов… Интересное: Финансовый рынок и его значение в управлении денежными потоками на современном этапе: любому предприятию для расширения производства и увеличения прибыли нужны… Берегоукрепление оползневых склонов: На прибрежных склонах основной причиной развития оползневых процессов является подмыв водами рек естественных склонов… Как мы говорим и как мы слушаем: общение можно сравнить с огромным зонтиком, под которым скрыто все… Дисциплины: Автоматизация Антропология Археология Архитектура Аудит Биология Бухгалтерия Военная наука Генетика География Геология Демография Журналистика Зоология Иностранные языки Информатика Искусство История Кинематография Компьютеризация Кораблестроение Кулинария Культура Лексикология Лингвистика Литература Логика Маркетинг Математика Машиностроение Медицина Менеджмент Металлургия Метрология Механика Музыкология Науковедение Образование Охрана Труда Педагогика Политология Правоотношение Предпринимательство Приборостроение Программирование Производство Промышленность Психология Радиосвязь Религия Риторика Социология Спорт Стандартизация Статистика Строительство Теология Технологии Торговля Транспорт Фармакология Физика Физиология Философия Финансы Химия Хозяйство Черчение Экология Экономика Электроника Энергетика Юриспруденция |
⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 11Следующая ⇒ Полный дифференциал. Определение 6. Частной производной попеременной «х» от функции называется предел отношения частного приращения к приращению при стремлении последнего к нулю. Частная производная по х обозначается одним из символов , , . Согласно определению . (6) Определение.7. Частной производной по у от функции называется предел отношения частного приращения к приращению при стремлении последнего к нулю. Частная производная по у обозначается символами , , , . Согласно определению . (7) Из этих определений следует правило, по которому следует вычислять частную производную. Частная производная вычисляется от функции по переменной х при постоянной у. Частная производная вычисляется по переменной у при постоянной х. При вычислении частных производных применяют все приемы вычислений производных сложных функций. Пример 4. Решение. – здесь играет роль постоянного множителя, – в данном случае числовой множитель, а производную от вычисляем «по цепочке». Пример 5. Вычислить частные производные функции . Решение. , вновь переменная «у» равна постоянной, и мы использовали формулу производной степенной функции . , потому что , и мы используем формулу производной показательной функции . Пример 6. Вычислить частные производные функции трех переменных . Решение. , , . Физический смысл частных производных остается прежним: они характеризуют скорость изменения функции по переменным «х» и «у» отдельно. С геометрической точки зрения производная функции одной переменной численно равна тангенсу угла наклона касательной к положительному направлению оси OХ. Для функции двух переменных касательная «переходит» в касательную плоскость к поверхности, определяемой уравнением . Для функций, содержащих большее число переменных, геометрическую интерпретацию частных производных дать нельзя. ПДифференциал Возникает вопрос, а не существует ли одной, общей производной для функции двух или больше аргументов? Нет, не существует. Но общее изменение функции можно охарактеризовать с помощью полного дифференциала , как главной части приращения функции. Для функции одной переменной дифференциал равен . Для функции двух переменных логично ожидать сумму «частных дифференциалов» по обеим переменным. Строгое доказательство этого утверждения можно найти в рекомендуемой литературе. Мы ограничимся определением и покажем его применение для решения задач. Определение 8 . Пусть функция непрерывна вместе со своими частными производными по х и у. Полным дифференциалом называется сумма произведений частных производных на дифференциалы соответствующих независимых переменных, т.е. . (.8) Это выражение является аналогом формулы для дифференциала функции одной переменной. , (.9) где dx и dy – приращения аргументов «х» и «у» соответственно. Пример 7. Найти полный дифференциал «dz» и полное приращение « » для функции , если координаты начальной и конечной точек М0( , ,) и М1( , Решение. Найдем значения функции в заданных точках: и . по таблице логарифмов или при помощи калькуляторов. Определим приращение функции: . Найдем дифференциалы аргументов, как их приращения: , . Тогда , и, окончательно, получаем . Сравним приращение и дифференциал по их разности: , т.е. они мало отличаются друг от друга. Поэтому в вычислениях можно использовать формулу 9: . Найдем относительную погрешность вычислений: , что говорит о достаточной степени точности проведенных вычислений. В разных точках функция имеет различные значения частных производных, поэтому дифференциалы будут разными. По ним можно судить о степени возрастания и убывания функции. ⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒ Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства… Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции… Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого… Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)… |
Вычислить частные производные функции
Правила исчисления — многомерные
Правила исчисления — многомерныеДобавлены переменные, те же методы
В реальном мире очень сложно объяснить поведение как функцию
только одной переменной, и экономика ничем не отличается. Более конкретные экономические
интерпретации будут обсуждаться в следующем разделе, а пока
просто сконцентрируйтесь на разработке методов, которые мы будем использовать.
Во-первых, определить сами функции. Мы хотим описать поведение где переменная зависит от двух или более переменных. Каждое правило и обозначения, описываемые с этого момента, одинаковы для двух переменных, трех переменных, четыре переменные и так далее, поэтому мы будем использовать самый простой случай; функция двух независимые переменные. Обычно z является зависимой переменной (например, y в одномерных функциях), а x и y — независимые переменные (например, х в одномерных функциях):
Например, предположим, что следующая функция описывает некоторое поведение:
Дифференциация этой функции по-прежнему означает то же самое — мы все еще ищем для функций, которые дают нам наклон, но теперь у нас есть более одной переменной, и более одного склона.
Визуализируйте это, вспомнив из графика, что
функция с двумя независимыми переменными выглядит так. В то время как 2-мерный
изображение может представлять одномерную функцию, наша функция z выше может быть представлена
в виде трехмерной формы.
Думайте о переменных x и y как об измеряемых
по сторонам шахматной доски. Тогда каждая комбинация x и y будет
карту на квадрат где-нибудь на шахматной доске. Например, предположим, что х=1
и у=1. Начните с одного из углов шахматной доски. Затем переместите
одна клетка на стороне x для x = 1 и одна клетка вверху доски для представления
у=1. Теперь вычислите значение z.
Функция z принимает значение 4, которое мы изображаем как высоту 4 над квадрат, представляющий x=1 и y=1. Наметьте всю функцию таким образом, и результатом будет форма, обычно похожая на гору пик в типичных задачах экономического анализа.
Теперь вернемся к склону. Представьте, что вы стоите на фигуре горы лицом параллельно
к x стороне шахматной доски. Если позволить x увеличиваться, удерживая
y постоянной, то вы будете двигаться вперед по прямой вдоль горы
форма. Определим наклон в этом направлении как изменение z
переменная или изменение высоты формы в ответ на движение
вдоль шахматной доски в одном направлении, или изменением переменной x, удерживая
у постоянная.
Формально определение таково: частная производная от z относительно to x — это изменение z при заданном изменении x при неизменном y. Обозначения, как и прежде, могут варьироваться. Вот некоторые распространенные варианты:
Теперь вернитесь к фигуре горы, повернитесь на 90 градусов и проделайте тот же эксперимент. Теперь мы определяем второй наклон как изменение высоты функции z в ответ на движение вперед на шахматной доске (перпендикулярно движение, измеренное при первом расчете уклона), или изменение переменной y, удерживая переменную x постоянной. Типичная запись для этой операции будет
Таким образом, исчисление функций многих переменных начинается с взятия частных производных,
другими словами, найти отдельную формулу для каждого из связанных наклонов
при изменении одной из независимых переменных по одному. Перед
мы обсуждаем экономические приложения, давайте рассмотрим правила частичного дифференцирования.
Основные правила частичного дифференцирования
Правила частичного дифференцирования следуют той же логике, что и одномерные дифференциация. Единственная разница в том, что мы должны решить, как обрабатывать другую переменную. Напомним, что в предыдущем разделе наклон был определяется как изменение z для заданного изменения x или y, удерживая другую переменную постоянный. Вот наш ключ к тому, как обращаться с другой переменной. Если мы будем считать его постоянным, это означает, что независимо от того, как мы его назовем или какую переменную имя, которое оно имеет, мы рассматриваем его как константу. Предположим, например, что у нас есть следующее уравнение:
Если мы берем частную производную от z по x, то y равно трактуется как константа. Поскольку оно умножается на 2 и x и является постоянным, он также определяется как коэффициент x. Следовательно,
Следовательно, если все остальные переменные остаются постоянными, то частная производная
правила работы с коэффициентами, простыми степенями переменных, константами,
и суммы/разности функций остаются прежними и используются для определения
функция наклона для каждой независимой переменной.
Давайте использовать
функцию из предыдущего раздела для иллюстрации.
Сначала продифференцируем по x, удерживая y постоянным:
Обратите внимание, что в первом члене не было переменных y, поэтому дифференцирование было точно так же, как одномерный процесс; в последнем члене не было переменных x, поэтому производная равна нулю в соответствии с правилом констант, поскольку y равно трактуется как константа.
Теперь возьмем частную производную по y, удерживая x постоянным:
Опять же, обратите внимание, что в первом члене не было «переменных», поскольку x рассматривается как константа, поэтому производная этого члена равна 0.
Чтобы убедиться, что у вас есть четкое представление о более чем одном наклоне функции, давайте вычислим две частные производные в точке функции, где х = 1 и у = 2:
Как мы интерпретируем эту информацию? Во-первых, обратите внимание, что когда x = 1 и
y = 2, то функция z принимает значение 3.
В этот момент на нашем
«гора» или трехмерная форма, мы можем оценить изменение
функцию z в двух разных направлениях. Во-первых, изменение z относительно
до x равно 10. Другими словами, наклон в направлении, параллельном
ось X равна 10. Теперь поверните на 9.0 градусов. Наклон в направлении, перпендикулярном
к нашему предыдущему склону равен 6, поэтому не такой крутой. Кроме того, обратите внимание
что, хотя каждый наклон зависит от изменения только одной переменной, положение
или фиксированное значение другой переменной имеет значение; так как вам нужны и x и
y для фактического вычисления числовых значений наклона. Добро пожаловать назад
к этому в следующем разделе, и посмотрите на экономический смысл этого
родство. Но сначала вернемся к правилам.
Правила произведения и частного функций следуют точно такой же логике:
держать все переменные постоянными, кроме той, которая изменяется, чтобы
определить наклон функции по отношению к этой переменной.
К
проиллюстрировать правило продукта, сначала давайте переопределим правило, используя частичный
обозначение дифференцирования:
Теперь используйте правило произведения, чтобы определить частные производные следующих функция:
Чтобы проиллюстрировать правило отношения, сначала переопределите правило, используя частичное дифференцирование обозначение:
Используйте новое правило частных, чтобы найти частные производные следующих функция:
Неосновные правила частичного дифференцирования
Как и в предыдущем одномерном разделе, у нас есть два специализированных правила. которые мы теперь можем применить к нашему многомерному случаю.
Во-первых, общая мощность правило функции. Опять же, нам нужно скорректировать обозначения, а затем правило можно применять точно так же, как и раньше.
Когда многомерная функция принимает следующую форму:
Тогда правило взятия производной:
Используйте степенное правило для следующей функции, чтобы найти две частные производные:
Составное правило цепочки функций нотация также может быть скорректирована для многомерного случая:
Тогда частные производные z по двум независимым переменным определяются как:
Давайте сделаем тот же пример, что и выше, на этот раз используя составную функцию
обозначение, в котором функции внутри функции z переименовываются.
Обратите внимание, что
любое правило может быть использовано для этой проблемы, поэтому, когда необходимо перейти
утруждать себя представлением более формальной записи составной функции?
По мере усложнения задач переименование частей составной функции
это лучший способ отслеживать все части проблемы. это немного
занимает больше времени, но ошибки внутри задачи менее вероятны.
Последний шаг такой же, замените u на функцию g:
Особые случаи в многомерных функциях
Последние два особых случая многомерного дифференцирования также следуют той же логики, что и их одномерные аналоги.
Правило дифференцирования многомерных натуральных логарифмических функций, с соответствующими изменениями обозначений выглядит следующим образом:
Тогда частные производные z по независимым переменным определяются как:
Давайте сделаем пример. Найдите частные производные следующих функция:
Правило взятия части экспоненциальной функции можно записать так:
Тогда частные производные z по независимым переменным определяются как:
В последний раз мы ищем частные производные следующей функции используя экспоненциальное правило:
Частные производные высшего порядка и перекрестные частные производные
История усложняется, когда мы берем производные более высокого порядка.
многомерных функций. Интерпретация первой производной
остается прежним, но теперь необходимо рассмотреть две производные второго порядка.
Во-первых, есть прямая производная второго порядка. В этом случае многомерная функция дифференцируется один раз по независимой переменной, сохраняя все остальные переменные постоянными. Затем результат дифференцируется второй раз, опять по той же независимой переменной. В такой функции, как следующая:
Имеются 2 прямые частные производные второго порядка, на что указывает следующие примеры обозначений:
Эти вторые производные можно интерпретировать как скорость изменения два наклона функции z.
Теперь история становится немного сложнее. Крестовины, f xy и f yx определяются следующим образом. Во-первых, возьмите
частная производная от z по x. Затем возьмем производную
снова, но на этот раз, возьмите его относительно y и оставьте x постоянным.
Пространственно, подумайте о парциальном перекрестии как о мере того, как наклон (изменение
в z по отношению к x) изменяется при изменении переменной y. Последующий
примеры обозначений для перекрестных частей:
Мы обсудим экономический смысл в следующем разделе, а пока мы просто покажем пример и заметим, что в функции, где перекрестные парциалы непрерывны, они будут одинаковыми. Для следующей функции:
Возьмем первую и вторую частные производные.
Теперь, начиная с первых частных производных, найдите взаимные частные производные:
Обратите внимание, что частичные кресты действительно идентичны, факт, который будет очень важен. пригодится нам в будущих разделах оптимизации.
[Индекс]
Вычисление частных производных модели
В этом сообщении блога рассматривается, как можно вычислить частные производные модели путем экспорта модели в виде FMU, затем импорта FMU в Dymola и использования функции fmiGetDirectionalDerivative() .
Как рассчитать частные производные?
Modelica не предлагает простого способа вычисления частных производных модели или системы. Существуют способы вычисления частных производных функций, описанные в разделе Использование автоматического дифференцирования частных производных функций в Modelica, и библиотека PDE, которая вычисляет частные производные для использования при создании моделей, использующих частные производные.
К счастью, стандарт FMI определяет fmi2GetDirectionalDerivative () функция для расчета частных производных (см. стр. 26 Спецификации FMI). Таким образом, один из способов получить частную производную модели — создать FMU модели, а затем импортировать FMU в Dymola и использовать эту функцию частной производной.
Вычисление частных производных с использованием FMU
Создание и импорт FMU
Например, возьмем простую модель маятника, рис. 1, и экспортируем ее.
Рис. 1. Простая модель маятника с приводом
Модель управляемого маятника можно экспортировать как FMU, нажав Ctrl+F9; см.
этот пост в блоге для получения более подробной информации. Его можно импортировать, выбрав «Файл»> «Открыть»> «Импорт FMU», либо как «Обмен моделями», либо «Совместное моделирование», поскольку оба поддерживают расчет частных производных.
Модификация FMU, чтобы можно было использовать функции интерфейса
Когда Dymola импортирует FMU, она создает все функции для взаимодействия с dll FMU в коде FMU в Dymola. Эти функции FMU включают в себя fmiGetDirectionalDerivative () функция для вычисления частных производных. Однако эти функции хранятся в защищенном разделе. Модель FMU должна быть изменена, чтобы иметь возможность использовать эти функции, как показано на рисунке 2.
Рисунок 2. Закомментировать protected, чтобы можно было использовать интерфейсные функции FMU (как на рис. 2), которая находится над следующей строкой:
константа Integer fmi_NumberOfEventIndicators = 0;
Это позволит использовать интерфейсные функции FMU.
Функция
fmiGetDirectionalDerivative () Функция fmiGetDirectionalDerivative () в Dymola FMU используется так же, как функция fmi2GetDirectionalDerivative (), описанная на странице 26 FMI-Specification.
За исключением того, что входы nUnknown и nKnown отсутствуют в функции Dymola fmiGetDirectionalDerivative (), как показано на рисунке 3.9.0006
Рисунок 3. Входные и выходные данные функции fmiGetDirectionalDerivative()
Входные данные fmi — это индекс внешнего объекта fmi (см. блог внешних объектов). Входы z_refs и v_refs на рисунке 3 являются значениями сигналов valueReference. Значение valueReference для rev.w получено из файла modelDescription.xml ниже:
значениеReference="33554433" description="Первая производная угла фи (относительная угловая скорость)" начальный = "точный"> <Настоящий объявленный тип = "Modelica.Units.SI.AngularVelocity" старт = "0" производная = "356"/>
Значения valueReference являются индексами сигналов в FMU.
Сигнал z_ref — это выходной или производный сигнал, для которого должна быть рассчитана частная производная относительно сигнала v_ref , который является входным сигналом или сигналом состояния. dv — коэффициент усиления, применяемый к частной производной. Полное описание см. на стр. 26 спецификации FMI.
Использование
fmiGetDirectionalDerivative () functionРекомендую создать отдельную модель, разместить модифицированный FMU (см. рис. 2) и добавить в эту модель блок Modelica.Blocks.Source.RealExpression, как показано на рис. 4.
Рис. 4. Блок FMU с частные производные, используемые для вычисления матриц A и B
Затем установите компонент вещественного выражения как:
<имя компонента fmu>.fmi_Functions.fmiGetDirectionalDerivative(<имя компонента fmu>.fmi, z_ref, v_ref, {1})) Где z_ref и v_ref являются векторами сигнала valueReference, как описано в разделе «Функция fmiGetDirectionalDerivative ()» выше.
На рис. 4 компоненты Real expressions являются матрицами, и функция fmiGetDirectionalDerivative () вызывается несколько раз для заполнения этих матриц.
Как можно использовать частные производные?
Частные производные моделей могут иметь множество применений, в двух случаях они используются для расчета наблюдателей состояния, таких как расширенный фильтр Калмана, и для целей управления, таких как LQR.
Пример нелинейного контроллера LQR
Контроллер LQR предназначен для использования с линейными системами. В этом примере рассматривается способ использования контроллеров LQR с нелинейными моделями путем вычисления матриц A и B в каждом экземпляре с использованием fmiGetDirectionalDerivative () и последующего обновления контроллера LQR соответствующим образом. Этот пример предназначен исключительно для демонстрационных целей.
FMU плюс модель частных производных
Модель ведомого маятника на рис. 1 была экспортирована как FMU и импортирована в Dymola.
Этот FMU был изменен, как показано на рисунке 2, чтобы обеспечить доступ к fmiGetDirectionalDerivative (). Модель с частными производными была создана, как показано на рисунке 4.
Расчет значения LQR K
Метод непрерывного времени LQR с бесконечным горизонтом был реализован, как описано в статье в Википедии. Это потребовало решения P в уравнении Риккати:
Рис. 5. Уравнение Рикатти. В этом примере N был установлен равным нулю. Рисунок: википедия.
Решение приведенного выше уравнения привело к четырем нелинейным уравнениям для этого примера. В некоторых случаях лучшие результаты были получены при задании начального приближенного значения для P.
Моделирование ведомого маятника
Модель полностью управляемого ведомого маятника была создана, как показано на рисунке 6.
Рисунок 6. Модель полностью управляемого маятника с обновленным контроллером lqr передается разработчику LQR, который определяет значение K.