ormalsize> = — largefrac<1><<sin x>>
ormalsize + ln left| < an left( <largefrac<2>
ormalsize + largefrac<pi ><4>>
ormalsize
ight)>
ight| + C)
Это пример для самостоятельного решения. В образце решения дважды последовательно использована вышеупомянутая формула.
Если под степенью находится неразложимый на множители квадратный трехчлен, то решение сводится к двучлену путем выделения полного квадрата, например:
.
Далее следует «безболезненная» линейная замена
и получается знакомый интеграл
.
Что делать, если дополнительно в числителе есть многочлен? В этом случае используется метод неопределенных коэффициентов, и подынтегральная функция раскладывается в сумму дробей. Если такой интеграл встретится, смотрите учебник – там всё просто.
Интегрирование сложных тригонометрических функций
На уроке Интегралы от тригонометрических функций мы разобрали интеграл от тангенса в квадрате.
В том примере для нахождения интеграла мы применяли тригонометрическую формулу
.
Интеграл от тангенса в четвертой, пятой степени (редко в более высоких степенях) решается с помощью этой же формулы!
Пример 15 Найти неопределенный интеграл
.
Идея решения подобных интегралов состоит в том, чтобы с помощью формулы
«развалить» исходный интеграл на несколько более простых интегралов:
(1) Готовим подынтегральную функцию к применению формулы.
(2) Для одного из множителей используем формулу
(3) Раскрываем скобки и сразу же используем свойство линейности неопределенного интеграла.
(4) В первом интеграле используем метод подведения функции под знак дифференциала , во втором интеграле еще раз используем формулу
, в данном случае .
(5) Берём все три интеграла и получаем ответ.
Найти неопределенный интеграл
Это пример для самостоятельного решения.
Для котангенса существует аналогичная формула:
. Полное решение и ответ в конце урока.
Если возникли затруднения или недопонимание, следует вернуться к уроку Интегралы от тригонометрических функций . На вышеупомянутом уроке мы рассматривали универсальную тригонометрическую подстановку для решения определенного вида интегралов от тригонометрических функций. Недостаток универсальной тригонометрической подстановки заключается в том, что при её применении часто возникают громоздкие интегралы с трудными вычислениями. И в ряде случаев универсальной тригонометрической подстановки можно избежать! Рассмотрим еще один канонический пример — интеграл от единицы, деленной на синус:
Пример 17 Найти неопределенный интеграл
.
Здесь можно использовать универсальную тригонометрическую подстановку и получить ответ, но существует более рациональный путь. Приведём это решение с комментариями к каждому шагу:
(1) Используем тригонометрическую формулу синуса двойного угла
.
(2) Проводим искусственное преобразование: В знаменателе делим и умножаем на
.
(3) По известной формуле в знаменателе превращаем дробь в тангенс.
(4) Подводим функцию под знак дифференциала.
(5) Берём интеграл.
Пример 18 Найти неопределенный интеграл
.Указание: Самым первым действием следует использовать формулу прив е дения
и аккуратно провести аналогичные предыдущему примеру действия.
Пример 19 Найти неопределенный интеграл
.
Ну, это совсем простой пример. Полные решения и ответы в конце урока.
Думаем, теперь ни у кого не возникнет проблем с интегралами:
и т.п.
В чём состоит идея метода? Идея состоит в том, чтобы с помощью тождественных преобразований и тригонометрических формул организовать в подынтегральной функции только тангенсы и производную тангенса
.
То есть, речь идет о замене:
.
В Примерах 17-19 мы фактически и применяли данную замену, но интегралы были настолько просты, что дело обошлось эквивалентным действием – подведением функции под знак дифференциала.
Примечание: аналогичные рассуждения можно провести и для котангенса.
Существует и формальное правило для применения вышеуказанной замены:
Если сумма степеней косинуса и синуса – целое отрицательное число, то интеграл можно свести к тангенсам и его производной .
Для интеграла
– целое отрицательное число.
Для интеграла
– целое отрицательное число.
Для интеграла
– целое отрицательное число. Рассмотрим пару более содержательных примеров на это правило:
Пример 20 Найти неопределенный интеграл
.
Сумма степеней синуса и косинуса
: 2 – 6 = –4 – целое отрицательное число, значит, интеграл можно свести к тангенсам и его производной:
(1) Преобразуем знаменатель.
(2) По известной формуле получаем
.
(3) Преобразуем знаменатель.
(4) Используем формулу
(5) Подводим функцию под знак дифференциала.
(6) Проводим замену
. Более опытные студенты замену могут и не проводить, но всетаки лучше заменить тангенс одной буквой – меньше риск запутаться.
Далее берётся простой интеграл и проводится обратная замена.
Пример 21 Найти неопределенный интеграл
.
Это пример для самостоятельного решения.
Пример 22 Найти неопределенный интеграл
.
В этом интеграле изначально присутствует тангенс, что сразу наталкивает на уже знакомую мысль:
Пара творческих примеров для самостоятельного решения:
Пример 23 Найти неопределенный интеграл
Пример 24 Найти неопределенный интеграл
.
Да, в них, конечно, можно понизить степени синуса, косинуса, использовать универсальную тригонометрическую подстановку, но решение будет гораздо эффективнее и короче, если его провести через тангенсы. Полное решение и ответы в конце урока.
Переходим к заключительному пункту путешествия в мир сложных интегралов:
Интеграл от корня из дроби
Интеграл, который мы рассмотрим, встречается достаточно редко, но я буду очень рад, если единственный пример данного параграфа вам поможет.
Корнями всё начиналось, корнями и закончится. Рассмотрим неопределенный интеграл:
, где a , b , c , d – числа. Считаем, что все эти числа и коэффициенты не равны нулю.
В подынтегральной функции у нас находится корень, а под корнем – дробь, в числителе и знаменателе которой располагаются линейные функции.
Метод стар – необходимо избавиться от корня. Стар и уныл, но сейчас станет веселее, поскольку придется проводить непростую замену.
Замена, с помощью которой мы гарантированно избавимся от корня, такова:
.
Теперь нужно выразить «икс» и найти, чему равен дифференциал dx . Выражаем «икс»:
Теперь найдем дифференциал:
Зачем были эти нелепые скучные телодвижения?
Мы вывели готовые формулы, которыми можно пользовать при решении интеграла вида
!
Формулы замены таковы:
.
Пример 25 Найти неопределенный интеграл
.
.
В данном примере: a =-1, b = 2, c = 3, d = 1. Тогда для dx имеем:
.
.
Такой интеграл, кстати, уже фигурировал в Примере 13. Интегрируем по частям:
Проведем обратную замену. Если изначально
,
.
Некоторым страшно, а я это продифференцировал, ответ верный! Иногда встречаются интегралы вида
, ,
но это нужно быть либо слишком умным, либо попасть под раздачу.
Идея та же – избавиться от корня, причем во втором случае, как все догадались, следует проводить подстановку
.
и самостоятельно выводить, чему будет равняться дифференциал dx . Теперь вам практически любой интеграл по силам, успехов!
Решения и ответы:
Пример 2: Решение:
.
Интегрируем по частям:
.
.
Пример 6: Решение:
.
Интегрируем по частям:
Пример 8: Решение:
Дважды интегрируем по частям и сводим интеграл к самому себе:
Пример 10: Решение:
.
Пример 11: Решение:
Пример 12: Решение:
.
Пример 14: Решение:
Дважды используем рекуррентную формулу
Пример 16: Решение:
Пример 18: Решение:
.
2}\\]?Ответить
Проверено
211,8 тыс.+ просмотров
Подсказка: Здесь нам нужно найти производную от заданной функции. Продифференцируем заданную функцию по цепному правилу и по формуле производной. Дифференцирование — это метод нахождения производной функции и нахождения скорости изменения функции по одной переменной.
Используемая формула:
Мы будем использовать следующие формулы: 92}} \right)\]
Мы знаем, что если функция имеет две функции, то обе функции нужно дифференцировать по отдельности.
Нам дана тригонометрическая функция синуса алгебраической функции, возведенная в степень 2.
2}} \right)\] 92}\].
Примечание: Мы использовали цепное правило, чтобы найти производную составных функций. Цепное правило гласит, что если составная функция \[f\left[ {g\left( x \right)} \right]\], где \[f\left( x \right)\] и \[g\left( x \right)\] — две функции, то производная составной функции равна \[f’\left[ {g\left( x \right)} \right] \cdot g’\left( x \right)\] . Если есть арифметическая операция сложения и вычитания, то она оказывается одинаковой, но если такой арифметической операции не существует, то все эти функции должны быть произведением всех функций.
Недавно обновленные страницы
Если ab и c единичные векторы, то left ab2 right+bc2+ca2 математика класса 12 JEE_Main
Стержень AB длиной 4 единицы перемещается горизонтально, когда математика класса 11 JEE_Main
Вычислить значение intlimits0 cos 3xdx A 0 B 1 class 12 maths JEE_Main
Что из следующего верно0002 KCN легко реагирует с образованием цианида с A Этиловый спирт класс 12 химический состав JEE_Main
Если ab и c единичные векторы, то левый ab2 правый+bc2+ca2 класс 12 математический JEE_Main
Стержень AB длиной 4 единицы движется горизонтально при выполнении класса 11 maths JEE_Main
Оценить значение intlimits0pi cos 3xdx A 0 B 1 class 12 maths JEE_Main
Что из следующего верно 1 nleft S cup T right class 10 maths JEE_Main
Какова площадь треугольника с вершинами Aleft 11 класс математика JEE_Main
KCN легко реагирует на то, чтобы дать цианид с химией класса этилового спирта 12 Chemistry Jee_Main
Трендовые сомнения
Студенты также читают
Правило цепи
Десятичное разделение
Как делали растения.