Чему равен модуль комплексного числа: «Чему равен модуль комплексного числа?» — Яндекс Кью

2

Модуль комплексного числа с примерами решения

Содержание:

 

1. Аргумент комплексного числа

Определение: Модулем комплексного числа называется число , то есть .  

Свойство 1. Если , где , то . Доказательство этого свойства очевидным образом получается из определения модуля комплексного числа. Таким образом, понятие модуля комплексного числа является развитием и обобщением понятия модуля действительного числа.

Свойство 2. Модуль комплексного числа равен модулям противоположного и сопряженного этому числу чисел. Доказательство. Рассмотрим комплексное число , а также противоположное и сопряженное ему числа. Найдем их модули:

Свойство доказано.

Замечание. Число равно модулю (длине) вектора , то есть .

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Высшая математика: лекции, формулы, теоремы, примеры задач с решением

Пример 1.

Найдите . Решение:

Так как 5 — действительное число, то по свойству 1 получаем: . Ответ: 5.

Пример 2.

Найдите . Решение:

Запишем число в алгебраической форме: . Тогда, по определению модуля комплексного числа, получим: . Ответ: 1.

Пример 3.

Найдите . Решение:

Число представлено в алгебраической форме. По определению модуля комплексного числа получим: . Ответ: .

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Признаки равенства треугольников

Свойства прямоугольного треугольника

Решение дробных неравенств

Логарифмические неравенства

Пример 4.

Изобразите на комплексной плоскости все комплексные числа с модулем, равным . Решение:

Все комплексные числа с модулем изображаются точками комплексной плоскости, которые являются концами радиус-векторов длины . Множество таких точек есть окружность с центром в начале координат и радиусом .

Не нарушая общности рассуждений, можно сделать следующий вывод. Свойство 3. Изображением множества комплексных чисел с модулем на комплексной плоскости является окружность с центром в начале координат и радиусом . Доказательство этого утверждения состоит в последовательном применении определения модуля комплексного числа и определения окружности с центром в начале координат и радиусом .

Пример 5.

Изобразите на комплексной плоскости все комплексные числа с модулем, меньшим или равным 2. Решение:

Все комплексные числа с модулем, меньшим или равным 2, изображаются точками комплексной плоскости, которые являются концами радиус-векторов длины, меньшей или равной 2. Множество таких точек есть круг с центром в начале координат и радиусом 2.

Пример 6.

Изобразите на комплексной плоскости все такие комплексные числа, что . Решение:

Все комплексные числа с модулем, меньшим 4, изображаются точками комплексной плоскости, которые являются концами радиус-векторов длины, меньшей 4. Множество таких точек есть внутренняя часть круга с центром в начале координат и радиусом 4.

Пример 7.

Изобразите на комплексной плоскости все комплексные числа с модулем, большим или равным 3. Решение:

В данной задаче рассматриваются все точки плоскости, кроме внутренних точек круга с центром в начале координат и радиусом 3.

Пример 8.

Изобразите на комплексной плоскости все комплексные числа , удовлетворяющие условию . Решение:

В данной задаче рассматриваются точки комплексной плоскости, которые являются концами радиус-векторов длины, большей или равной 2 и меньшей 4. Множество таких точек есть внутренняя часть круга с центром в начале координат и радиусом 4 без внутренней части круга с тем же центром и радиусом 2. Это кольцо, ограниченное двумя концентрическими окружностями с центром в начале координат и радиусами 2 и 4 (при этом внутренняя окружность включена в множество, а внешняя — не включена).

Пример 9.

Изобразите на комплексной плоскости все комплексные числа, удовлетворяющие условию

. Решение:

В данной задаче рассматриваются все точки плоскости, кроме точек, расположенных между концентрическими окружностями и на меньшей окружности. Центры окружностей — начало координат, радиусы равны 2 и 4.

Пример 10.

Изобразите на комплексной плоскости множество чисел таких, что . Решение:

Напомним, что геометрической интерпретацией модуля разности двух чисел, в том числе и комплексных, является расстояние между соответствующими точками. В данном случае речь идет о расстоянии от некоторой точки г комплексной плоскости до точки . Таким образом, получаем круг радиуса 4 с центром в точке .

Пример 11.

Изобразите на комплексной плоскости множество чисел г таких, что . Решение:

В данной задаче нужно изобразить множество точек комплексной плоскости, расстояние от каждой из которых до точки (5; 0) меньше или равно расстоянию до точки (-7; 0). Это прямая и правая полуплоскость, ограниченная этой прямой.

Аргумент комплексного числа

Радиус-вектор точки комплексной плоскости задается двумя числами: — длиной (модулем) вектора, — углом между вектором и положительным направлением оси .

Замечание 5. Если — аргумент комплексного числа , то любое число вида , где , также является аргументом данного числа . Верно и обратное утверждение: если число является аргументом данного комплексного числа , то оно представимо в виде , где — некоторое целое число. Оба утверждения очевидным образом следуют из свойства периодичности тригонометрических функций.

Свойство 4. Два ненулевых комплексных числа равны тогда и только тогда, когда их модули равны, а аргументы отличаются на , где . Предлагаем читателю доказать этот факт самостоятельно.

Пример 12.

Изобразите на комплексной плоскости л все комплексные числа с аргументом .

Решение:

Все комплексные числа с аргументом изображаются точками комплексной плоскости, которые являются концами ненулевых радиус-векторов, образующих с положительным направлением оси абсцисс угол . Множество таких точек есть луч , который образует с положительным направлением оси абсцисс угол . Заметим, что при этом имеется в виду луч без начальной точки.

Пример 13.

Изобразите на комплексной плоскости все комплексные числа с аргументом . Решение:

Все комплексные числа с аргументом изображаются точками комплексной плоскости, которые являются концами ненулевых радиус-векторов, образующих с положительным направлением оси абсцисс угол . Множество таких точек есть луч , который образует с положительным направлением оси абсцисс угол . Напомним, что при этом имеется в виду луч без начальной точки.

Пример 14.

Изобразите на комплексной плоскости все комплексные числа с аргументами . Решение:

Все комплексные числа с аргументами изображаются точками комплексной плоскости, которые являются концами ненулевых радиус-векторов, образующих с положительным направлением оси абсцисс углы или . Множество таких точек есть прямая с выколотой точкой (0; 0).

Пример 15.

Изобразите на комплексной плоскости все комплексные числа с аргументами такими, что . Решение:

Все комплексные числа с указанными аргументами изображаются точками комплексной плоскости, расположенными ниже лучей . Это угол без одной из сторон и вершины (см. рис.).

Пример 16.

Изобразите на комплексной плоскости все комплексные числа с аргументами такими, что . Решение:

Все комплексные числа с указанными аргументами изображаются точками комплексной плоскости, расположенными между лучами и . Это угол без одной из сторон и вершины (см. рис.).

Модуль комплексных чисел, свойства с решенным примером

0

Сохранить

Скачать публикацию в формате PDF

Модуль комплексного числа — это квадратный корень из суммы квадратов действительной и мнимой частей комплексного числа. Модуль комплексных чисел используется для нахождения неотрицательного значения любого числа или переменной. В этой статье мы узнаем о модуле комплексных чисел, определении, свойствах и решенных примерах, о том, как найти модуль комплексного числа, об использовании модуля комплексного числа. 92}\)

, где a = Re(z), b = Im(z)

Ознакомьтесь с этой статьей о пределах и непрерывности.

Как найти модуль комплексного числа.

Используйте следующие шаги, чтобы узнать модуль комплексного числа.

1. Найдите действительную часть.
2. Найти мнимую часть.
3. Найдите квадрат действительной части.
4. Найдите квадрат Мнимой части.
5. Сложить квадраты действительной и мнимой части.
6. Извлеките квадратный корень из добавленных квадратов.

Свойства модуля комплексного числа

Вот некоторые свойства комплексных чисел

• Модуль комплексного числа всегда больше нуля. |z|>0
• Если модуль комплексного числа z равен нулю, z = 0 + 0i. Другими словами, |z|= 0, тогда z = 0, т. n\) 92)\) где a,b \(\epsilon\) R
• z является унимодулем, если |z|=1

Кроме того, узнайте о векторной алгебре здесь.

Использование модуля комплексного числа.

Использование модуля комплекса в следующем:

1. Оператор модуля возвращает остаток от деления одного комплексного числа на другое.
2. Чтобы найти неотрицательное значение любого числа или переменной
3. Модуль комплексного числа дает модуль или абсолютное значение комплексного числа. 92]} = \sqrt{5}\)

   | г | = | 3 | = 3

   Поскольку 1 < \(\sqrt{5}\) < 3 , самая дальняя точка от начала координат равна 3.

   вы также можете прочитать о матрицах здесь
   Надеюсь, что эта статья о модуле комплексного числа была познавательный. Попрактикуйтесь в том же в нашем бесплатном приложении Testbook. Скачать сейчас!

   Модуль комплексного числа Часто задаваемые вопросы

   В.1 Что такое комплексный модуль?

   Ответ 1 В математике комплексное число — это элемент системы счисления, который содержит действительные числа и определенный элемент, обозначаемый i, называемый мнимой единицей, и удовлетворяющий уравнению i^2=−1 .

   Более того, каждое комплексное число можно представить в виде a + bi, где a и b — действительные числа. 92}\),

   В.5 Как вы выполняете сложение комплексных чисел?

   Ответ 5 Чтобы сложить два комплексных числа, мы просто складываем соответствующие действительные и мнимые части. Для сложения трех или более комплексных чисел мы следуем тому же процессу сложения соответствующих действительных и мнимых частей.

   Скачать публикацию в формате PDF

   Модуль и сопряжение комплексного числа. Определение

   В математике комплексным числом называется число, которое может быть выражено в форме a + bi, где a и b — действительные числа, а i — мнимая единица.

   Здесь a обозначает действительную часть числа, а b обозначает мнимую часть числа.

   В следующей таблице представлены комплексные числа.

   Representation of the Complex Numbers

   Complex Number	Standard Form  (a + bi)	Explanation
   5i + 7	7 + 5i	Реальная часть составляет 7, а воображаемая часть — 5
   2i	0 + 2i 77776767676767676767676767676767676767. 2
   -3 – 5i	-3 + (-5)i	Here the real part is -3 and the imaginary part is -5

   Modulus and conjugate комплексного числа подробно обсуждаются в главе 5 учебника по математике NCERT для 11 класса. Это очень сложная концепция, и поэтому студенты, которые хотят заложить прочную основу концепции модуля и сопряжения комплексных чисел, должны просмотреть примечания, предоставленные Vedantu. продолжает вносить незначительные изменения в программу каждый год. Учащиеся, которые готовятся к экзаменам IIT, JEE и хотят получить представление об основных понятиях, которые обсуждались в 11 и 12 классах по математике и естественным наукам, также могут обратиться к этим примечаниям, предоставленным Vedantu. Эти примечания дадут вам всестороннее представление о комплексных числах. и они служат справочным пособием для студентов, готовящихся во время экзаменационного периода.

   Ранее мы узнали, что квадрат действительного числа не является отрицательным, эта глава в основном посвящена нахождению квадратного корня из отрицательных чисел, поскольку квадратные числа не могут иметь действительный квадратный корень. Йота или i для положительного квадратного корня — это понятие, введенное Эйлером. В главе, посвященной комплексным числам и квадратным уравнениям, в основном речь идет о йоте или i.

   Модуль комплексного числа помогает вычислить расстояние комплексного числа от начала координат в аргановой плоскости, в то время как комплексно-сопряженное число помогает найти корни многочлена, а сопряжение комплексного числа дает отклонение действительной оси в аргановой плоскости.

   Key Concepts studied in Relation to Modulus and Conjugate of a Complex Number-

   • Imaginary numbers

   • Integral powers of i

   • Complex numbers

   • Algebra of complex numbers

   • Addition of комплексные числа

   • Умножение комплексных чисел

   • Сопряжение комплексного числа

   • Модуль комплексного числа

   • Свойства модуля комплексного числа

   • Плана Арганд

   • Полярная форма комплексного числа

   • раствора для квадратичного уравнения

4. .

   Модуль комплексного числа определяется как | г | где если z = a + bi — комплексное число. Модуль комплексного числа будет определяться следующим образом:                

   \[ | г | =а + би | г | =0 \], то это указывает a=b=0 

   \[ | -z | = | г | \]

   Представьте, что \[z_{1}~и~z_{2}\] — два комплексных числа, тогда 

   \[| z_{1}.z _{2} | = | z_{1} | | z _{2} |\]

   \[| z_{1} + z _{2} | \leq  | z_{1} | + | z _{2} |\]

   \[\left | \frac{z_{1}}{z _{2}} \right | знак равно \ гидроразрыва {\ влево | z _{1} \право |}{\лево | z _{2} \right |}\]

   Модуль комплексного числа

   Кажется, существует способ понять, насколько велики эти числа. Рассмотрим сопряженный комплекс и умножим его на комплексное число, указанное в (1). Поэтому мы описываем произведение \[\overline{zz}\] как квадрат абсолютного значения или модуля комплексного числа. Итак, давайте напишем \[\overline{zz}\] =  \[\left | z \справа |^{2}\]. 9{2}} …(2)\]

   Приведенное выше уравнение представляет собой модуль или абсолютное значение комплексного числа z.

   Сопряженное комплексное число

   Комплексно сопряженное комплексное число — это число, имеющее одинаковые действительные и мнимые части, равные по величине, но противоположные по знаку.

   Комплексно-сопряженные числа отвечают за нахождение корней многочленов. Согласно теореме о комплексно-сопряженном корне, если комплексное число от одной переменной с действительными коэффициентами является корнем многочлена, то оно является и его сопряженным.

   Как найти сопряжение комплексного числа

   Если вам интересно, как найти сопряжение комплексного числа, прочитайте это. Каждое комплексное число связано с другим комплексным числом, известным как его комплексно-сопряженное число. Вы можете найти сопряженный комплекс, просто изменив символ мнимой части комплексных чисел.

   Например,

   Мы меняем знак мнимой части, чтобы найти комплексно-сопряженное число 4 + 7i. Таким образом, комплексно-сопряженное число равно 4 − 7i.

   Пример: 

   Мы меняем знак мнимой части, чтобы найти комплексно-сопряженное число 1−3i. Таким образом, комплексно-сопряженное число равно 1 + 3i.

   Пример:

   Мы меняем знак мнимой составляющей, чтобы найти комплексно-сопряженное число −4 − 3i. Таким образом, комплексно-сопряженное число равно −4 + ​​3i.

   Следует отметить, что сопряженный комплекс обладает очень своеобразным свойством.

   Если мы умножим комплексное число на его комплексно-сопряженное, подумайте, что произойдет.

   9{2} = 65\]

   Мы находим, что ответ на этот вопрос — строго вещественное число; мнимой части нет. Часто бывает, что при умножении комплексного числа на сопряженное получается действительное число.

   Модуль суммы двух комплексных чисел

   Чтобы сложить два комплексных числа в форме x плюс iy, мы должны сложить по отдельности действительные и мнимые части. {\ гидроразрыва {1} {2}} \] 9\frac{1}{2} = 5\]

   Пусть z = a + ib отражает комплексное число. Z-сопряженным является комплексное число

   а — ib, т. е. = a — ib.

   Z * = Z

   Или Z–1 = / Z (Полезно для нахождения комплексного числа в обратном порядке)

   Свойства комплексных чисел

   Свойства комплексных чисел указаны ниже:

   1. В случае a и b — действительные числа и a + ib = 0, тогда a = 0, b = 0

   Доказательство:

   Согласно свойству 

   a + ib = 0 = 0 + i ∙ 0,

   Отсюда заключаем, что x = 0 и y = 0.

   2. Для любых трех множество комплексных чисел z1, z2 и z3 удовлетворяет коммутативному, ассоциативному и дистрибутивному законам.

   1. \[z_{1} + z_{2} = z_{2} + z_{1}\] (переместительный закон сложения)

   2. \[z_{1} . z_{2} = z_{2} . z_{1}\] (Коммутативный закон умножения)

   3. \[(z_{1} + z_{2}) + z_{3} = z_{1} (z_{2} + z_{3}) \] (Ассоциативный закон сложения)

   4. \[(z_{1}z_{2}) + z_{3} = z_{1} (z_{2}z_{3})\] (Ассоциативный закон умножения)

   5. \[ ( z_ {1}(z_{1} + z_{3}) = z_{1}z_{2} + z_{1}z_{3}\] (распределительный закон)

   3. Сумма двух комплексно-сопряженных

   Доказательство:

   Пусть z = a + ib (a, b — вещественные числа) — комплексное число. Тогда сопряженное число z равно \[\overline{z}\] = a — ib

   Теперь z + \[\overline{z}\]  = a + ib + a — ib = 2a, что действительно.{2} = -1)\], что действительно.

   Таким образом, модуль любого комплексного числа равен положительному квадратному корню из произведения комплексного числа и сопряженного с ним комплексного числа.

   No related posts.