Если $y=F(x)$ – это первообразная для функции $y=f(x)$ на промежутке $Х$, то $у$ $у=f(x)$ бесконечно много первообразных и все они имеют вид $y=F(x)+C$
Правила вычисления первообразных:
- Первообразная суммы равна сумме первообразных. Если $F(x)$ — первообразная для $f(x)$, а $G(x)$ – первообразная для $g(x)$, то $F(x)+G(x)$ — первообразная для $f(x)+g(x)$.
- Постоянный множитель выносится за знак первообразной. Если $F(x)$ — первообразная для $f(x)$, а $k$ – постоянная величина, то $k$ $F(x)$ — первообразная для $k$ $f(x)$.
- Если $F(x)$ — первообразная для $f(x)$, $а, k, b$ — постоянные величины, причем $k≠0$, то ${1}/{k}$ $F(kx+b)$ — это первообразная для $f(kx+b)$.
Пример:
Найти первообразную для функции $f(x)=2sinx+{4}/{x}-{cosx}/{3}$.
Решение:
Чтобы было проще найти первообразную от функции, выделим коэффициенты каждого слагаемого
$f(x)=2sinx+{4}/{x}-{cosx}/{3}=2∙sinx+4∙{1}/{x}-{1/3}∙cosx$
Далее, воспользовавшись таблицей первообразных, найдем первообразную для каждой функции, входящих в состав $f(x)$
$f_1=sinx$
$f_2={1}/{x}$
$f_3=cosx$
Для $f_1=sinx$ первообразная равна $F_1=-cosx$
Для $f_2={1}/{x}$ первообразная равна $F_2=ln|x|$
Для $f_2=cosx$ первообразная равна $F_3=sinx$
По первому правилу вычисления первообразных получаем:
$F(x)=2F_1+4F_2-{1}/{3}F_3=2∙(-cosx)+4∙ln|x|-{1}/{3}∙sinx$
Итак, общий вид первообразной для заданной функции
$F(x)=-2cosx+4ln|x|-{sin x}/{3}+C$
Связь между графиками функции и ее первообразной:
- Если график функции $f (x) > 0$ на промежутке, то график ее первообразной $F(x)$ возрастает на этом промежутке.
- Если график функции $f (x) < 0$ на промежутке, то график ее первообразной $F(x)$ убывает на этом промежутке.
- Если $f(x)=0$, то график ее первообразной $F(x)$ в этой точке меняется с возрастающего на убывающий (или наоборот).
Пример:
На рисунке изображен график функции $y=F(x)$ – одной из первообразных некоторой функции $f(x)$, определенной на интервале $(-3;5)$. Пользуясь рисунком, определите количество решений $f(x)=0$ на отрезке $(-2;2]$
Если $f(x)=0$, то график ее первообразной $F(x)$ в этой точке меняется с возрастающего на убывающий(или наоборот).
Выделим отрезок $(-2;2]$ и отметим на нем экстремумы.
У нас получилось $6$ таких точек.
Ответ: $6$
Неопределенный интеграл
Если функция $у=f(x)$ имеет на промежутке $Х$ первообразную $у=F(x)$, то множество всех первообразных $у=F(x)+С$, называют неопределенным интегралом функции $у=f(x)$ и записывают:
$∫f(x)dx$
Определенный интеграл – это интеграл с пределами интегрирования (на отрезке)
$∫_a^bf(x)dx$, где $a,b$ — пределы интегрирования
Площадь криволинейной трапеции или геометрический смысл первообразной
Площадь $S$ фигуры, ограниченной осью $Oх$, прямыми $х=а$ и $х=b$ и графиком неотрицательной функции $у=f(x)$ на отрезке $[a;b]$, находится по формуле
$S=∫_a^bf(x)dx$
Формула Ньютона — Лейбница
Если функция $у=f(x)$ непрерывна на отрезке $[a;b]$, то справедливо равенство
$∫_a^bf(x)dx=F(x)|_a^b=F(b)-F(a)$, где $F(x)$ — первообразная для $f(x)$
Пример:
На рисунке изображен график некоторой функции $у=f(x)$.
2-1={2∙(-8)}/{3}-8-1=-{16}/{3}-9$
$S={2}/{3}-3-(-{16}/{3}-9)={2}/{3}-3+{16}/{3}+9={18}/{3}+6=6+6=12$
Ответ: $12$
Практика: решай 7 задание и тренировочные варианты ЕГЭ по математике (профильной)
Интеграл от 0 — Формула, вывод
Интеграл от 0 равен произвольной константе, так как производная постоянной функции всегда равна нулю. Прежде чем перейти к вычислению интеграла от нуля, вспомним об интегрировании. Поскольку интегрирование является обратным процессом дифференцирования, мы можем использовать само дифференцирование для выполнения интегрирования, если функция, которую нам нужно интегрировать, очень проста, например 1, 0, x и т. д., т. е. для того, чтобы узнать, что является результатом интегрирования 0, мы должны думать, дифференцируя, какая функция даст 0,
Давайте узнаем больше о нахождении интеграла от 0 различными способами вместе с несколькими примерами для лучшего понимания концепции.
1. | Что такое интеграл от 0? |
| 2. | Интеграл от 0 с использованием дифференцирования |
| 3. | Интеграл от 0 с использованием степенного правила интегрирования |
| 4. | Определенная интеграция 0 |
| 5. | Часто задаваемые вопросы по интегралу от 0 |
Чему равен интеграл от 0?
Интеграл от 0 равен C, где C — константа. Математически это записывается как ∫ 0 dx = C. Здесь
- Подынтегральная функция равна 0, .
- dx позволяет нам узнать, что интегрирование нуля производится по x.
- C – постоянная интегрирования.
Давайте посмотрим, как получить интегрирование 0 двумя способами:
- с помощью дифференцирования
- с использованием мощного правила интегрирования
Интеграл нуля с использованием дифференцирования
Для нахождения интеграла от 0 с помощью процесса дифференцирования подумайте, какое выражение при дифференцировании даст 0.
То есть подумайте, как заполнить вопросительный знак в следующем уравнении:
d/dx ( ? ) = 0
Мы знаем что производная любой константы равна 0. Итак, мы имеем d/dx (C) = 0, где C — константа. Взяв интеграл с обеих сторон, мы имеем
∫ d/dx (C) dx = ∫ 0 dx
По основной теореме исчисления интеграл (вместе с dx) и производная сокращаются. Получаем
C = ∫ 0 dx
Отсюда мы вывели формулу интегрирования нуля.
Проверка интеграла от 0
Чтобы проверить интеграл от 0, мы просто дифференцируем результат и смотрим, получим ли мы 0 обратно. Поскольку ∫ 0 dx = C, найдем производную от C. Тогда d/dx (C) = 0 (по производным правилам). Следовательно, интеграл от 0 равен C и проверен.
Интеграл от 0 с использованием степенного правила интегрирования
Рассмотрим интеграл ∫ 0 dx. Этот интеграл можно записать в виде 0 ∫1 dx. Мы знаем, что интеграл от 1 равен x + C, используя степенное правило интегрирования. Итак,
∫ 0 DX = 0 ∫ 1 DX
= 0 (x + C)
= 0
(или)
∫ 0 DX = 0 ∫1DX
= 0 x 0 DX
= 0 [х 0+1 /(0+1)] + С
= 0 + С
= С
Поскольку к каждому неопределенному значению интеграла добавляется постоянная интегрирования,
∫ 0 dx = 0 + C = C.
Таким образом, формула интеграла 0 доказана.
Определенная интеграция нуля
Определенный интеграл от 0 — это интеграл с двумя (нижним и верхним) пределами. Рассмотрим определенный интеграл с нижним пределом a и верхним пределом b. т. е. ∫ₐ b 0 dx. Поскольку ∫ 0 dx = C, значение определенного интеграла получается путем подстановки верхнего и нижнего пределов в результат (C) и вычитания результатов. Затем
∫ₐ b 0 dx = [C]ₐ b = C — C = 0
Таким образом, определенный интеграл от 0 всегда равен 0 независимо от пределов.
Важные замечания относительно интеграла от 0:
- Интеграл от 0 равен C, т. е. ∫ 0 dx = C.
- Определенное интегрирование 0 от a до b дает 0, т. е. ∫ₐ b 0 dx = 0,
Связанные темы:
- Производные формулы
- Калькулятор производных
- Дифференциация тригонометрических функций
- Производные обратного триггера
Часто задаваемые вопросы по интегралу от 0
Каково значение интегрирования 0?
Интеграл от 0 равен C.
Он записывается как ∫ 0 dx = C, где C — постоянная интегрирования.
Как сделать интеграцию нуля?
Чтобы найти интеграл от 0, просто посмотрите формулы производных и посмотрите, дифференцируя, какой член даст 0. У нас есть d/dx (C) = 0, где C — константа. Следовательно, ∫ 0 dx = C.
Является ли первообразная 0 равной самому 0?
Нет, первообразная 0 равна C. Мы знаем, что первообразная также известна как интеграл, и, следовательно, интеграл от 0 равен C, который записывается как ∫ 0 dx = C. Итак, первообразная 0 не равна до 0.
Каково значение интеграла от 0 с границами?
Мы знаем, что ∫ 0 dx = C. Если мы возьмем «a» за нижнюю границу, а «b» за верхнюю границу, то ∫ₐ b 0 dx = C — C = 0. Таким образом, значение интеграла от нуля с любыми границами равен 0,
Как найти определенный интеграл от 0?
Имеем ∫ 0 dx = C. Теперь рассмотрим определенный интеграл ∫ₐ b 0 dx и для его вычисления подставим x = b, а затем x = a в результат (C) и найдем разницу .
Тогда ∫ₐ b 0 dx = (C) — (C) = 0.
исчисление — Чему равен интеграл от 0?
спросил
Изменено 3 месяца назад
Просмотрено 251 тысяч раз
$\begingroup$
Я пытаюсь убедить друга, что интеграл от $0$ равен $C$, где $C$ — произвольная константа. Кажется, он не может понять эту концепцию. Можете ли вы, ребята, помочь мне здесь? Он продолжает говорить, что это $ 0 $.
- вычисления
- интеграция
- корректура
$\endgroup$
7
$\begingroup$
Если производная любой постоянной функции равна 0, то есть $\frac {d}{dx} c = 0$ Таким образом, неопределенный интеграл $\int0 \,dx$ дает класс постоянных функций, то есть $f(x ) = c$ для некоторого $c$.
Однако есть кое-что, на что вы должны обратить внимание, а именно: «А как насчет того факта, что $\alpha \int f dx = \int \alpha f dx $?» Разве вы не можете сказать:
$$\int 0\,dx = \int 0 \cdot 1 \,dx = 0 \int 1 \,dx = 0x = 0$$
Это дает два противоречивых ответа. Вопрос гораздо сложнее, чем вы могли подумать на первый взгляд. Но когда вы говорите $\int f dx$, а интервал, по которому вы интегрируете, не является очевидным или определенным, вы на самом деле имеете в виду «класс функций, которые при выводе относительно $x$ производят $f$» . Указанное правило применимо только для определенных интегралов. То есть: 9bf \,dx$$
А если вы посмотрите учебники по реальному анализу (я только что посмотрел у Рудина), то в таком виде вы найдете теорему.
Следует также отметить, что определенный интеграл от $0$ по любому интервалу равен $0$, так как $\int 0 \,dx = c — c = 0. $
$\endgroup$
4
$\begingroup$
Вы правы, $\int 0 dx = 0 + C = C$
Ваш друг не совсем неправ, потому что $C$ может равняться $0$.
т.е. если
$f(x) = 0$ — одна первообразная. Но вообще мы не знаем $C$, если нам не задано какое-то начальное условие.
$\endgroup$
2
$\begingroup$
http://mathforum.org/library/drmath/view/65593.html
Здесь задействованы два типа интегралов. Определенные интегралы те, которые описывают фактическую площадь под кривой. Бессрочный интегралы — это те, которые описывают антипроизводную. 9b0\,\mathrm{d}t=0 $$
Один из способов проверить, что $C$ является антипроизводной $0$, это просто $$ \ гидроразрыва {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t} C = 0 $$
$\endgroup$
$\begingroup$
Как насчет того, чтобы нарисовать верхнюю и нижнюю суммы! Вы не уйдете далеко, потому что вы будете женаты на горизонтальной оси, и тогда, конечно, все суммы равны нулю, и поскольку между любой верхней и любой нижней суммой всегда зажат определенный интеграл.
Значение захватывается 0. I.E. 0 <= интеграл <= 0. Это, конечно, работает только для определенного интеграла.
Если вы ищете антипроизводную, вам не составит труда убедить вашего приятеля, что только постоянные функции f(x) = C имеют нулевой наклон.
$\endgroup$
$\begingroup$
Интеграл от 0 равен C, потому что производная от C равна нулю. Кроме того, это имеет логический смысл, если вы помните тот факт, что производная функции — это наклон функции, потому что любая функция f(x)=C будет иметь нулевой наклон в точке функции. Поэтому ∫0 dx = C. (вы можете сказать C+C, что по-прежнему будет просто C). 9zf(x)dx$$ называется неопределенным интегралом от f с основанием a.
Это означает, что независимый интеграл является постоянной функцией, которая может быть равна нулю.
$\endgroup$
$\begingroup$
Посмотрите на эту функцию: F(x)=0.