Уравнение cosx=a
Итак, уравнение, которое содержит переменную под знаком тригонометрических функций, называется тригонометрическим уравнением. Уравнения вида , , и , где – переменная, а число , называются простейшими тригонометрическими уравнениями. На этом уроке мы с вами подробно рассмотрим решение уравнений вида .
Напомним, что косинусом угла называется абсцисса точки , полученной поворотом точки вокруг начала координат на угол . При этом не забудем отметить, что так как координаты и точек единичной окружности удовлетворяют неравенствам и , то для справедливо неравенство . Из этого следует, что уравнение имеет корни только при .
Так
как же решают такие уравнения? Давайте рассмотрим два уравнения: и . Чтобы найти х
в первом уравнении, нам нужно ответить на вопрос, чему равен косинус точки . Для этого нам
достаточно вспомнить таблицу значений косинуса.
Тогда . Давайте покажем это на единичной окружности. Отметим точку . У этой точки, как и у любой другой, есть свои координаты. Если мы опустим перпендикуляр из точки на ось абсцисс, то попадём в .
А теперь вернёмся ко второму уравнению – . Чтобы здесь найти х, нам нужно ответить на вопрос, косинус каких точек равен .
Давайте ненадолго отвлечёмся от тригонометрии. Начертим координатную плоскость. А теперь найдём все те точки, у которых абсцисса равна . Несложно догадаться, что таких точек будет бесконечное множество и все они будут лежать на вертикальной прямой, проходящей через точки с абсциссой, равной .
А
теперь вернёмся к тригонометрии. Нас будут интересовать все точки, которые
лежат на единичной окружности и пересекаются вертикальной прямой, проходящей
через точки, имеющие абсциссу, равную . Заметим, что
наша прямая пересекает единичную окружность в двух точках – и .
.
Как правило, эти серии решений совмещают и записывают как .
Вообще при решении уравнений вида возможны четыре случая.
Первый
случай: . Раскрывая
модуль, имеем . В этом случае на
единичной окружности будут располагаться две точки – и , абсциссы которых
равны а. Эти точки получаются путём поворота начальной точки на угол и
соответственно. Тогда
решения уравнения можно записать в
виде: , и . Заметим, что эти
точки симметричны относительно оси абсцисс.
Например, решим следующие уравнения и . Абсциссу, равную , имеют две точки единичной окружности. Так как , то угол , а потому угол . Следовательно, все корни уравнения можно найти по формуле .
Перейдём к уравнению . Абсциссу, равную , имеют две точки единичной окружности. Так как , то угол , а потому угол . Следовательно, все корни уравнения можно найти по формуле .
Заметим, что каждое из уравнений и к имеет бесконечное множество корней. Однако на отрезке каждое из этих уравнений имеет только один корень. Так, , – это корень уравнения , а , – это корень уравнения . Число называют арккосинусом числа . Записывают так: . Число называют арккосинусом числа . Записывают так: .
Кстати,
«арккосинус» в переводе с латинского означает «дуга» и «косинус». Это обратная
функция.
Вообще уравнение , где , на отрезке имеет только один корень. Если , то этот корень заключён в промежутке ;
если же , то корень располагается в промежутке .
Этот корень называют арккосинусом числа а и обозначают так .
Запомните! Арккосинусом числа а, , называется такое число , косинус которого равен а.
, если и
Например, , так как , . , так как , .
Возвращаясь к нашему уравнению , где , можно утверждать, что все корни уравнения можно найти по формуле: .
Запомните! Для любого справедлива формула . Эта формула позволяет находить значения арккосинусов отрицательных чисел через значения арккосинусов положительных чисел.
Например, .
Второй
случай: . Раскрывая модуль,
имеем и . Поскольку для справедливо
неравенство , то понятно, что
в этом случае уравнение не будет иметь
корней.
Например, уравнения и не имеют корней.
Третий случай (частный): . В этом случае есть две точки тригонометрической окружности, которые имеют абсциссу, равную 0. Точка получается из начальной точки поворотом на угол , а точка – поворотом на угол . Тогда уравнение имеет две серии решений:
Однако эти две серии решений можно выразить одной формулой: . Полученная формула задаёт множество корней уравнения .
И последний, четвёртый случай (тоже частный): . Раскрывая модуль, имеем , и . В этом случае вертикальные прямые, проходящие через точки, имеющие абсциссы, равные –1 и 1, будут касаться единичной окружности в точках с координатами (–1;0) и (1;0). Эти точки получаются путём поворота начальной точки на угол , и . Тогда решением уравнения будет , а решением уравнения будет .
А
теперь давайте приступим к практической части нашего урока.
Задание первое. Решите уравнение .
Решение. По формуле нахождения корней уравнения , имеем: . Значение вычислим с помощью калькулятора. .
Задание второе. Решите уравнение .
Решение. По формуле нахождения корней уравнения , имеем: . . Перенесём в правую часть равенства. Затем разделим обе части равенства на 2: . Отсюда .
Как упростить cosx/sinx?
Тригонометрия
Наука
- Анатомия и физиология
- астрономия
- Астрофизика
- Биология
- Химия
- наука о планете Земля
- Наука об окружающей среде
- Органическая химия
- Физика
Математика
- Алгебра
- Исчисление
- Геометрия
- Преалгебра
- Предварительный расчет
- Статистика
- Тригонометрия
Гуманитарные науки
- Английская грамматика
- История США
- Всемирная история
- Сократическая мета
- Избранные ответы
.
.. и не толькоТемы
Влияние этого вопроса
29930 просмотров по всему миру
Вы можете повторно использовать этот ответ
Лицензия Creative Commons
| 1 | Найти точное значение | грех(30) | |
| 2 | Найти точное значение | грех(45) | |
| 3 | Найти точное значение | грех(30 градусов) | |
| 4 | Найти точное значение | грех(60 градусов) | |
| 5 | Найти точное значение | загар (30 градусов) | |
| 6 | Найти точное значение | угловой синус(-1) | |
| 7 | Найти точное значение | грех(пи/6) | |
| 8 | Найти точное значение | cos(pi/4) | |
| 9 | Найти точное значение | грех(45 градусов) | |
| 10 | Найти точное значение | грех(пи/3) | |
| 11 | Найти точное значение | арктан(-1) | |
| 12 | Найти точное значение | cos(45 градусов) | |
| 13 | Найти точное значение | cos(30 градусов) | |
| 14 | Найти точное значение | желтовато-коричневый(60) | |
| 15 | Найти точное значение | csc (45 градусов) | |
| 16 | Найти точное значение | загар (60 градусов) | |
| 17 | Найти точное значение | сек(30 градусов) | |
| 18 | Найти точное значение | cos(60 градусов) | |
| 19 | Найти точное значение | соз(150) | |
| 20 | Найти точное значение | грех(60) | |
| 21 | Найти точное значение | cos(pi/2) | |
| 22 | Найти точное значение | загар (45 градусов) | |
| 23 | Найти точное значение | arctan(- квадратный корень из 3) | |
| 24 | Найти точное значение | csc(60 градусов) | |
| 25 | Найти точное значение | сек (45 градусов) | |
| 26 | Найти точное значение | csc(30 градусов) | |
| 27 | Найти точное значение | грех(0) | |
| 28 | Найти точное значение | грех(120) | |
| 29 | Найти точное значение | соз(90) | |
| 30 | Преобразовать из радианов в градусы | пи/3 | |
| 31 | Найти точное значение | желтовато-коричневый(30) | |
| 32 | Преобразование градусов в радианы | 45 | |
| 33 | Найти точное значение | соз(45) | |
| 34 | Упростить | sin(тета)^2+cos(тета)^2 | |
| 35 | Преобразовать из радианов в градусы | пи/6 | |
| 36 | Найти точное значение | детская кроватка(30 градусов) | |
| 37 | Найти точное значение | арккос(-1) | |
| 38 | Найти точное значение | арктический(0) | |
| 39 | Найти точное значение | детская кроватка(60 градусов) | |
| 40 | Преобразование градусов в радианы | 30 | |
| 41 | Преобразовать из радианов в градусы | (2 шт. |