Чему равно любое число в 0 степени: Степень с показателем 0 — урок. Алгебра, 7 класс.

Содержание

Определен ли 0 в степени 0? – Обзоры Вики

Ноль в степени нуля, обозначается 00, Является математическое выражение без согласованного значения. Наиболее распространенные варианты: 1 или оставление выражения неопределенным с обоснованием для каждого, в зависимости от контекста.

Точно так же каков ответ 0 Power 0? Ни одно значение не может быть присвоено 0 степени 0 без противоречий. Таким образом, 0 в степени 0 не определено!

Почему 0-я степень равна 1? Короче говоря, 0 — это единственное число, такое что для любого числа х х + 0 = х. … Итак, причина того, что любое число в нулевой степени равно единице, заключается в том, что любое число в нулевой степени — это просто продукт отсутствия чисел вообще, которое является мультипликативным тождеством, 1.

Каково значение 0 на 0? Отвечать: 0 разделить на 0 не определено.

Мы знаем два факта о нуле: любая дробь с нулем в числителе дает только нулевое десятичное значение. Любая дробь с нулем в знаменателе будет иметь бесконечное значение своей десятичной формы.

Во-вторых, что такое правило нулевой мощности? Правило нулевого показателя: a0 = 1, не равно 0. Выражение 00 является неопределенным или неопределенным. В следующем примере, когда мы применяем правило произведения для показателей степени, мы получаем показатель степени, равный нулю.

Каков ответ 1 на ноль?

01 не определено. Почему некоторые говорят, что это правда: деление на 0 запрещено.

тогда почему 0 в степени 0 равен 1? Короче говоря, 0 — это единственное число, такое что для любого числа х х + 0 = х. … Итак, причина того, что любое число в нулевой степени равно единице, заключается в том, что любое число в нулевой степени — это просто продукт отсутствия чисел вообще, которое является мультипликативным тождеством, 1.

Существует ли 0 0 в пределах? При простом вычислении уравнения 0/0 не определено. Однако, принимая предел, если мы получаем 0/0, мы можем получить множество ответов, и единственный способ узнать, какой из них правильный, — это фактически вычислить предел. … Однако еще раз обратите внимание, что мы получаем неопределенную форму 0/0, если мы пытаемся просто оценить предел.

Что такое 1 в степени 2?

Ответ: 1 в степени 2 можно выразить как 12 = 1 × 1 = 1. Давайте продолжим шаг за шагом, чтобы найти 12. Объяснение: есть два важных термина, которые часто используются в экспонентах: основание и степень.

Как записать 2 в степени 2? Два во второй степени равно 4. Запишем два во второй степени следующим образом: 22.

Является ли квадрат нуля неопределенным?

Любое число, умноженное на ноль, дает ноль, оно никогда не может равняться 2. Поэтому мы говорим деление на ноль не определено. Возможного решения нет.

Что произойдет, если вы спросите Siri 0 разделить на 0? «Сколько ноль разделить на ноль?» Если вы зададите Siri этот вопрос в операционной системе iOS 8, виртуальный помощник iPhone умно скажет вам, что вы не имеете смысла. «Представьте, что у вас нет файлов cookie, — начинает ответ Сири, — и вы поровну делите их между нолью друзей.

Определена ли бесконечность бесконечность?

На это нет ответа. С, бесконечность на самом деле не число, мы не можем обращаться с ним так же, как мы обращаемся с «числами», то есть мы не можем выполнять математические вычисления с Бесконечностью. Из-за вышеизложенного неясно, что именно означает «минус» для бесконечности.

Что такое 10 в степени O?

Ответ: 10 в 0 степени 100 = 1.

Найдем значение числа 10, возведенного в степень 0. Объяснение: Показатель степени числа показывает, сколько раз число умножается само на себя.

Что такое 4 в степени О? Ответ: 4 в степени 0 равно 1.

Согласно нулевому свойству показателей любое число (кроме 0), возведенное в степень нуля, всегда равно 1. Таким образом, 4 в степени 0 может быть записано как 40 что равно 1.

Каково значение 2 на 0? Ответ: 2 в степени 0 можно представить как 20 = 1.

На что 0 делится ничего?

Ноль делится на любое число всегда 0. 0/1 = 0, тогда как 1/0 не определено. Например, если ноль нужно разделить на любое число, это означает, что 0 элементов должны быть разделены или распределены между заданным числом людей.

Бесконечность — это число? Бесконечность — это не число. Вместо этого это своего рода число. Вам нужны бесконечные числа, чтобы говорить о бесконечных количествах и сравнивать их, но некоторые бесконечные числа — некоторые бесконечности — буквально больше других. … Когда число относится к количеству вещей, оно называется «кардинальным числом».

Можете ли вы иметь 0 в качестве предела?

Да, предел функции может быть равен 0. Однако, если вы имеете дело с рациональной функцией, убедитесь, что знаменатель не равен 0.

Есть ли отрицательная бесконечность?

Нет такого понятия, как отрицательная бесконечность. Бесконечность может быть связана со всем, что имеет постоянное повторение, будь то положительное или отрицательное. Например. Возьмите числовую линию.

Что такое 2-я сила? 1. вторая сила – произведение двух равных членов; «девять — вторая степень числа три»; «гравитация обратно пропорциональна квадрату расстояния»

Что такое 3-я во 2-й степени?

Пояснение: 3 во второй степени можно записать как 32 = 3 × 3, так как 3 умножается на себя в 2 раза. Здесь 3 называется «основанием», а 2 — «показателем» или «степенью». В общем, xn означает, что x умножается на себя n раз. 3 × 3 = 32 = 9.

Является ли 0 целым числом? Целые числа — это числа 0, 1, 2, 3, 4 и т. д. (натуральные числа и нуль). Отрицательные числа не считаются «целыми числами». Все натуральные числа являются целыми числами, но не все целые числа являются натуральными числами, так как ноль — это целое число но не натуральное число.

Действия с нулём.

Правило умножения любого числа на ноль Любое число умноженное на 0 равняется

Ещё в школе учителя нам всем старались вбить в голову простейшее правило: «Любое число, умноженное на ноль, равняется нулю!» , — но всё равно вокруг него постоянно возникает куча споров. Кто-то просто запомнил правило и не забивает себе голову вопросом «почему?». «Нельзя и всё тут, потому что в школе так сказали, правило есть правило!» Кто-то может исписать полтетради формулами, доказывая это правило или, наоборот, его нелогичность.

Вконтакте

Кто в итоге прав

Во время этих споров оба человека, имеющие противоположные точки зрения, смотрят друг на друга, как на барана, и доказывают всеми силами свою правоту. Хотя, если посмотреть на них со стороны, то можно увидеть не одного, а двух баранов, упирающихся друг в друга рогами. Различие между ними лишь в том, что один чуть менее образован, чем второй.

Чаще всего, те, кто считают это правило неверным, стараются призвать к логике вот таким способом:

У меня на столе лежит два яблока, если я положу к ним ноль яблок, то есть не положу ни одного, то от этого мои два яблока не исчезнут! Правило нелогично!

Действительно, яблоки никуда не исчезнут, но не из-за того, что правило нелогично, а потому что здесь использовано немного другое уравнение: 2+0 = 2. Так что такое умозаключение отбросим сразу — оно нелогично, хоть и имеет обратную цель — призвать к логике.

Что такое умножение

Изначально правило умножения было определено только для натуральных чисел: умножение — это число, прибавленное к самому себе определённое количество раз, что подразумевает натуральность числа. Таким образом, любое число с умножением можно свести вот к такому уравнению:

  1. 25×3 = 75
  2. 25 + 25 + 25 = 75
  3. 25×3 = 25 + 25 + 25

Из этого уравнения следует вывод, что умножение — это упрощённое сложение .

Что такое ноль

Любой человек с самого детства знает: ноль — это пустота, Несмотря на то, что эта пустота имеет обозначение, она не несёт за собой вообще ничего. Древние восточные учёные считали иначе — они подходили к вопросу философски и проводили некие параллели между пустотой и бесконечностью и видели глубокий смысл в этом числе. Ведь ноль, имеющий значение пустоты, встав рядом с любым натуральным числом, умножает его в десять раз. Отсюда и все споры по поводу умножения — это число несёт в себе столько противоречивости, что становится сложно не запутаться. Кроме того, ноль постоянно используется для определения пустых разрядов в десятичных дробях, это делается и до, и после запятой.

Можно ли умножать на пустоту

Умножать на ноль можно, но бесполезно, потому что, как ни крути, но даже при умножении отрицательных чисел всё равно будет получаться ноль. Достаточно просто запомнить это простейшее правило и никогда больше не задаваться этим вопросом. На самом деле всё проще, чем кажется на первый взгляд. Нет никаких скрытых смыслов и тайн, как считали древние учёные. Ниже будет приведено самое логичное объяснение, что это умножение бесполезно, ведь при умножении числа на него всё равно будет получаться одно и то же — ноль.

Возвращаясь в самое начало, к доводу по поводу двух яблок, 2 умножить на 0 выглядит вот так:

  • Если съесть по два яблока пять раз, то съедено 2×5 = 2+2+2+2+2 = 10 яблок
  • Если их съесть по два трижды, то съедено 2×3 = 2+2+2 = 6 яблок
  • Если съесть по два яблока ноль раз, то не будет съедено ничего — 2×0 = 0×2 = 0+0 = 0

Ведь съесть яблоко 0 раз — это означает не съесть ни одного.

Это будет понятно даже самому маленькому ребёнку. Как ни крути — выйдет 0, двойку или тройку можно заменить абсолютно любым числом и выйдет абсолютно то же самое. А если проще говоря, то ноль — это ничего , а когда у вас ничего нет , то сколько ни умножай — всё равно будет ноль . Волшебства не бывает, и из ничего не получится яблоко, даже при умножении 0 на миллион. Это самое простое, понятное и логичное объяснение правила умножения на ноль. Человеку, далёкому от всех формул и математики будет достаточно такого объяснения, для того чтобы диссонанс в голове рассосался, и всё встало на свои места.

Деление

Из всего вышеперечисленного вытекает и другое важное правило:

На ноль делить нельзя!

Это правило нам тоже с самого детства упорно вбивают в голову. Мы просто знаем, что нельзя и всё, не забивая себе голову лишней информацией. Если вам неожиданно зададут вопрос, по какой причине запрещено делить на ноль, то большинство растеряется и не сможет внятно ответить на простейший вопрос из школьной программы, потому что вокруг этого правила не ходит столько споров и противоречий.

Все просто зазубрили правило и не делят на ноль, не подозревая, что ответ кроется на поверхности. Сложение, умножение, деление и вычитание — неравноправны, полноценны из перечисленного только умножение и сложение, а все остальные манипуляции с числами строятся из них. То есть запись 10: 2 является сокращением уравнения 2 * х = 10. Значит, запись 10: 0 такое же сокращение от 0 * х = 10. Получается, что деление на ноль — это задание найти число, умножая которое на 0, получится 10. А мы уже разобрались, что такого числа не существует, значит, у этого уравнения нет решения, и оно будет априори неверным.

Расскажу тебе позволь,

Чтобы не делил на 0!

Режь 1 как хочешь, вдоль,

Только не дели на 0!

Евгений Ширяев, преподаватель и руководитель Лаборатории математики Политехнического музея , рассказал АиФ.ru о делении на ноль:

1. Юрисдикция вопроса

Согласитесь, особенную провокационность правилу придает запрет. Как это нельзя? Кто запретил? А как же наши гражданские права?

Ни конституция РФ, ни Уголовный кодекс, ни даже устав вашей школы не возражают против интересующего нас интеллектуального действия. А значит, запрет не имеет юридической силы, и ничто не мешает прямо тут, на страницах АиФ.ru, попробовать что-нибудь разделить на ноль. Например, тысячу.

2. Разделим, как учили

Вспомните, когда вы только узнали, как делить, первые примеры решали спроверкой умножением: результат, умноженный на делитель должен был совпасть сделимым. Не совпал — не решили.

Пример 1. 1000: 0 =…

Забудем на минуту про запретное правило и сделаем несколько попыток угадать ответ.

Неправильные отсечёт проверка. Перебирайте варианты: 100, 1, −23, 17, 0, 10 000. Для каждого из них проверка даст один и тот же результат:

100 · 0 = 1 · 0 = − 23 · 0 = 17 · 0 = 0 · 0 = 10 000 · 0 = 0

Ноль умножением все превращает в себя и никогда в тысячу. Вывод сформулировать несложно: никакое число не пройдет проверку. Т. е. ни одно число не может быть результатом деления ненулевого числа на ноль. Такое деление не запрещено, а просто не имеет результата.

3. Нюанс

Чуть не упустили одну возможность опровергнуть запрет. Да, мы признаем, что ненулевое число не разделится на 0. Но может быть, сам 0 сможет?

Пример 2. 0: 0 = …

Ваши предложения для частного? 100? Пожалуйста: частное 100, умноженное на делитель 0, равно делимому 0.

Еще варианты! 1? Тоже подходит. И −23, и 17, и все-все-все. В этом примере проверка на результат будет положительной для любого числа. И по-честному, решением в этом примере надо называть не число, а множество чисел. Всех. А так недолго договориться и до того, что Алиса это не Алиса, а Мэри-Энн, а обе они — сон кролика.

4. Что там про высшую математику?

Проблема разрешена, нюансы учтены, точки расставлены, все прояснилось — ответом для примера с делением на ноль не может быть ни одно число. Такие задачки решать — дело безнадежное и невозможное.

А значит… интересное! Дубль два.

Пример 3. Придумать, как разделить 1000 на 0.

А никак. Зато 1000 можно без трудностей делить на другие числа. Ну, давайте хотя бы делать, что получается, пусть даже изменив поставленную задачу. А там, глядишь, увлечемся, и ответ сам собой объявится. Забываем на минуту про ноль и делим на сто:

Сотня далека от нуля. Сделаем шаг к нему, уменьшив делитель:

1000: 25 = 40,
1000: 20 = 50,
1000: 10 = 100,
1000: 8 = 125,
1000: 5 = 200,
1000: 4 = 250,
1000: 2 = 500,
1000: 1 = 1000.

Очевидная динамика: чем ближе делитель к нулю, тем больше частное. Тенденцию можно наблюдать и дальше, переходя к дробям и продолжая уменьшать числитель:

Осталось заметить, что к нулю мы можем подойти как угодно близко, делая частное сколь угодно большим.

В этом процессе нет нуля и нет последнего частного. Мы обозначили движение к ним, заменив число на последовательность, сходящуюся к интересующему нас числу:

При этом подразумевается аналогичная замена и для делимого:

1000 ↔ { 1000, 1000, 1000,. .. }

Стрелки не зря поставлены двусторонними: некоторые последовательности могут сходиться к числам. Тогда мы можем поставить в соответствие последовательности ее числовой предел.

Посмотрим на последовательность частных:

Она растет неограниченно, не стремясь ни к какому числу и превосходя любое. Математики добавляют к числам символ ∞, чтобы иметь возможность рядом с такой последовательностью поставить двустороннюю стрелку:

Сопоставление числам последовательностей, имеющих предел, позволяет предложить решение к третьему примеру:

При поэлементном делении последовательности, сходящейся к 1000, на последовательность из положительных чисел, сходящуюся к 0, получим последовательность, сходящуюся к ∞.

5. И здесь нюанс с двумя нулями

Что будет результатом деления двух последовательностей положительных чисел, сходящихся к нулю? Если они одинаковые, то тождественная единица. Если к нулю быстрее сходится последовательность-делимое, то в частном последовательность снулевым пределом. А когда элементы делителя убывают гораздо быстрее, чем у делимого, последовательность частного будет сильно расти:

Неопределенная ситуация. И так и называется: неопределенность вида 0/0 . Когда математики видят последовательности, подходящие под такую неопределенность, они не бросаются делить два одинаковых числа друг на друга, а разбираются, какая из последовательностей быстрее бежит к нулю и как именно. И в каждом примере будет свой конкретный ответ!

6. В жизни

Закон Ома связывает силу тока, напряжение и сопротивление в цепи. Часто его записывают в такой форме:

Позволим себе пренебречь аккуратным физическим пониманием и формально посмотрим на правую часть как на частное двух чисел. Вообразим, что решаем школьную задачу по электричеству. В условии дано напряжение в вольтах и сопротивление в омах. Вопрос очевиден, решение в одно действие.

А теперь заглянем в определение сверхпроводимости: это свойство некоторых металлов обладать нулевым электрическим сопротивлением.

Ну что, решим задачку для сверхпроводящей цепи? Просто так подставить R = 0 не выйдет, физика подкидывает интересную задачу, за которой, очевидно, стоит научное открытие. И люди, сумевшие поделить на ноль в этой ситуации, получили Нобелевскую премию. Любые запреты полезно уметь обходить!

Ноль сам по себе цифра очень интересная. Сам по себе означает пустоту, отсутствие значения, а рядом с другой цифрой увеличивает ее значимость в 10 раз. Любые числа в нулевой степени всегда дают 1. Этот знак использовали еще в цивилизации майя, причем он у них еще обозначал понятие «начало, причина». Даже календарь у начинался с нулевого дня. А еще эта цифра связана со строгим запретом.

Еще с начальных школьных лет все мы четко усвоили правило «на ноль делить нельзя». Но если в детстве многое воспринимаешь на веру и слова взрослого редко вызывают сомнения, то со временем иногда хочется все-таки разобраться в причинах, понять, почему были установлены те или иные правила.

Почему нельзя делить на ноль? На этот вопрос хочется получить понятное логическое объяснение. В первом классе учителя это сделать не могли, потому как в математике правила объясняются с помощью уравнений, а в том возрасте мы и представления не имели о том, что это такое. А теперь пришла пора разобраться и получить понятное логическое объяснение того, почему нельзя делить на ноль.

Дело в том, что в математике лишь две из четырех основных операций (+, — , х, /) с числами признаются независимыми: умножение и сложение. Остальные же операции принято считать производными. Рассмотрим простенький пример.

Вот скажите, сколько получится, если от 20 отнять 18? Естественно, в нашей голове моментально возникает ответ: это будет 2. А как мы пришли к такому результату? Кому-то этот вопрос покажется странным — ведь и так все ясно, что получится 2, кто-то пояснит, что от 20 копеек отнял 18 и у него получилось две копейки. Логически все эти ответы не вызывают сомнений, однако с точки зрения математики решать эту задачу следует по-другому. Еще раз напомним, что главными операциями в математике являются умножение и сложение и поэтому в нашем случае ответ кроется в решении следующего уравнения: х + 18 = 20. Из которого и вытекает, что х = 20 — 18, х =2. Казалось бы, зачем так подробно все расписывать? Ведь и так все элементарно просто. Однако без этого тяжело объяснить почему нельзя делить на ноль.

А теперь посмотрим что получится если мы пожелаем 18 разделить на ноль. Снова составим уравнение: 18: 0 = х. Поскольку операция деления является производной от процедуры умножения, то преобразовав наше уравнение получим х * 0 = 18. Вот здесь как раз и начинается тупик. Любое число на месте икса при умножении на ноль даст 0 и получить 18 нам никак не удастся. Теперь становится предельно ясно почему нельзя делить на ноль. Сам ноль можно делить на какое-угодно число, а вот наоборот — увы, никак нельзя.

А что получится, если ноль разделить на самого себя? Это можно записать в таком виде: 0: 0 = х, или х * 0 = 0. Это уравнение имеет бесчисленное число решений. Поэтому в итоге получается бесконечность. Поэтому операция и в этом случае тоже не имеет смысла.

Деление на 0 лежит в корне многих мнимых математических шуток, которыми при желании можно озадачить любого несведущего человека. К примеру, рассмотрим уравнение: 4*х — 20 = 7*х — 35. Вынесем за скобки в левой части 4, а в правой 7. Получим: 4*(х — 5) = 7*(х — 5). Теперь умножим левую и правую часть уравнения на дробь 1 / (х — 5). Уравнение примет такой вид: 4*(х — 5)/(х — 5) = 7*(х — 5)/ (х — 5). Сократим дроби на (х — 5) и у нас выйдет, что 4 = 7. Из этого можно сделать вывод, что 2*2 = 7! Конечно, подвох здесь в том, что равен 5 и сокращать дроби было нельзя, поскольку это приводило к делению на ноль. Поэтому при сокращении дробей нужно всегда проверять чтобы ноль случайно не оказался в знаменателе, иначе результат получится совсем непредсказуемым.

Число 0 можно представить, как некую границу, отделяющую мир реальных чисел от мнимых или отрицательных. Благодаря двусмысленному положению, многие операции с этой числовой величиной не подчиняются математической логике. Невозможность деления на нуль — яркий тому пример. А разрешенные арифметические действия с нулем могут быть выполнены с помощью общепринятых определений.

История нуля

Ноль является точкой отсчета во всех стандартных системах исчисления. Европейцы стали использовать это число сравнительно недавно, но мудрецы Древней Индии пользовались нулем за тысячу лет до того, как пустое число стало регулярно использоваться европейскими математиками. Ещё раньше индийцев ноль являлся обязательной величиной в числовой системе майя. Этот американский народ использовал двенадцатеричную систему исчисления, а нулем у них начинался первый день каждого месяца. Интересно, что у майя знак, обозначающий «ноль», полностью совпадал со знаком, определяющим «бесконечность». Таким образом, древние майя делали вывод о тождественности и непознаваемости этих величин.

Математические действия с нулем

Стандартные математические операции с нулем можно свести к нескольким правилам.

Сложение: если к произвольному числу добавить ноль, то оно не изменит своего значения (0+x=x).

Вычитание: при вычитании нуля из любого числа значение вычитаемого остается неизменным (x-0=x).

Умножение: любое число, умноженное на 0, дает в произведении 0 (a*0=0).

Деление: ноль можно разделить на любое число, не равное нулю. При этом значение такой дроби будет 0. А деление на ноль запрещено.

Возведение в степень. Это действие можно выполнить с любым числом. Произвольное число, возведенное в нулевую степень, даст 1 (x 0 =1).

Ноль в любой степени равен 0 (0 а =0).

При этом сразу возникает противоречие: выражение 0 0 не имеет смысла.

Парадоксы математики

О том, что деление на ноль невозможно, многие знают со школьной скамьи. Но объяснить причину такого запрета почему-то не получается. В самом деле, почему формула деления на ноль не существует, а вот другие действия с этим числом вполне разумны и возможны? Ответ на этот вопрос дают математики.

Все дело в том, что привычные арифметические действия, которые школьники изучают в начальных классах, на самом деле далеко не так равноправны, как нам кажется. Все простые операции с числами могут быть сведены к двум: сложению и умножению. Эти действия составляют суть самого понятия числа, а остальные операции строятся на использовании этих двух.

Сложение и умножение

Возьмем стандартный пример на вычитание: 10-2=8. В школе его рассматривают просто: если от десяти предметов отнять два, останется восемь. Но математики смотрят на эту операцию совсем по-другому. Ведь такой операции, как вычитание, для них не существует. Данный пример можно записать и другим способом: х+2=10. Для математиков неизвестная разность — это просто число, которое нужно добавить к двум, чтобы получилось восемь. И никакого вычитания здесь не требуется, нужно просто найти подходящее числовое значение.

Умножение и деление рассматриваются так же. В примере 12:4=3 можно понять, что речь идет о разделении восьми предметов на две равные кучки. Но в действительности это просто перевернутая формула записи 3х4=12.Такие примеры на деление можно приводить бесконечно.

Примеры на деление на 0

Вот тут и становится понемногу понятным, почему нельзя делить на ноль. Умножение и деление на ноль подчиняется своим правилам. Все примеры на деление этой величины можно сформулировать в виде 6:0=х. Но это же перевернутая запись выражения 6 * х=0. Но, как известно, любое число, умноженное на 0, дает в произведении только 0. Это свойство заложено в самом понятии нулевой величины.

Выходит, что такого числа, которое при умножении на 0 дает какую-либо осязаемую величину, не существует, то есть данная задача не имеет решения. Такого ответа бояться не следует, это естественный ответ для задач такого типа. Просто запись 6:0 не имеет никакого смысла, и она ничего не может объяснить. Кратко говоря, это выражение можно объяснить тем самым бессмертным «деление на ноль невозможно».

Существует ли операция 0:0? Действительно, если операция умножения на 0 законна, можно ли ноль разделить на ноль? Ведь уравнение вида 0х 5=0 вполне легально. Вместо числа 5 можно поставить 0, произведение от этого не поменяется.

Действительно, 0х0=0. Но поделить на 0 по-прежнему нельзя. Как было сказано, деление — это просто обратная операция умножения. Таким образом, если в примере 0х5=0, нужно определить второй множитель, получаем 0х0=5. Или 10. Или бесконечность. Деление бесконечности на ноль — как вам это понравится?

Но если в выражение подходит любое число, то оно не имеет смысла, мы не можем из бесконечного множества чисел выбрать какое-то одно. А раз так, это значит и выражение 0:0 не имеет смысла. Получается, что на ноль нельзя делить даже сам ноль.

Высшая математика

Деление на ноль — это головная боль для школьной математики. Изучаемый в технических вузах математический анализ немного расширяет понятие задач, которые не имеют решения. Например, к уже известному выражению 0:0 добавляются новые, которые не имеют решения в школьных курсах математики:

  • бесконечность, разделенная на бесконечность: ∞:∞;
  • бесконечность минус бесконечность: ∞−∞;
  • единица, возведенная в бесконечную степень: 1 ∞ ;
  • бесконечность, умноженная на 0: ∞*0;
  • некоторые другие.

Элементарными методами решить такие выражения невозможно. Но высшая математика благодаря дополнительным возможностям для ряда подобных примеров дает конечные решения. Особенно это видно в рассмотрении задач из теории пределов.

Раскрытие неопределенности

В теории пределов значение 0 заменяется условной бесконечно малой переменной величиной. А выражения, в которых при подставлении нужного значения получается деление на ноль, преобразовываются. Ниже представлен стандартный пример раскрытия предела при помощи обычных алгебраических преобразований:

Как видно в примере, простое сокращение дроби приводит ее значение к вполне рациональному ответу.

При рассмотрении пределов тригонометрических функций их выражения стремятся свести к первому замечательному пределу. При рассмотрении пределов, в которых знаменатель обращается в 0 при подставлении предела, используют второй замечательный предел.

Метод Лопиталя

В некоторых случаях пределы выражений можно заменить пределом их производных. Гийом Лопиталь — французский математик, основоположник французской школы математического анализа. Он доказал, что пределы выражений равны пределам производных этих выражений. В математической записи его правило выглядит следующим образом.

На данном уроке будет рассмотрено, как выполнять умножение и деление на числа вида 10, 100, 0,1, 0,001. Также будут решены различные примеры на данную тему.

Упражнение. Как умножить число 25,78 на 10?

Десятичная запись данного числа — это сокращенная запись суммы. Необходимо расписать ее более подробно:

Таким образом, нужно умножить сумму. Для этого можно просто умножить каждое слагаемое:

Выходит, что.

Можно сделать вывод, что умножить десятичную дробь на 10 очень просто: нужно запятую сдвинуть вправо на одну позицию.

Упражнение. Умножить 25,486 на 100.

Умножить на 100 — это то же самое, что и умножить два раза на 10. Иными словами, необходимо сдвинуть запятую вправо два раза:

Упражнение. Разделить 25,78 на 10.

Как и в предыдущем случае, необходимо представить число 25,78 в виде суммы:

Так как нужно поделить сумму, то это эквивалентно делению каждого слагаемого:

Выходит, чтобы разделить на 10, нужно запятую сдвинуть влево на одну позицию. Например:

Упражнение. Разделить 124,478 на 100.

Разделить на 100 — это то же самое, что два раза разделить на 10, поэтому запятая сдвигается влево на 2 позиции:

Если десятичную дробь нужно умножить на 10, 100, 1000 и так далее, нужно запятую сдвинуть вправо на столько позиций, сколько нулей у множителя.

И наоборот, если десятичную дробь нужно поделить на 10, 100, 1000 и так далее, нужно запятую сдвинуть влево на столько позиций, сколько нулей у множителя.

Пример 1

Умножить на 100 значит сдвинуть запятую вправо на две позиции.

После сдвига можно обнаружить, что после запятой уже нет цифр, а это значит, что дробная часть отсутствует. Тогда и запятая не нужна, число получилось целое.

Пример 2

Сдвигать нужно на 4 позиции вправо. Но цифр после запятой всего две. Стоит вспомнить, что для дроби 56,14 есть эквивалентная запись.

Теперь умножить на 10 000 не составляет труда:

Если не очень понятно, почему можно дописать два нуля к дроби в предыдущем примере, то дополнительное видео по ссылке сможет помочь в этом.

Эквивалентные десятичные записи

Запись 52 означает следующее:

Если впереди поставить 0, получим запись 052. Эти записи эквивалентны.

Можно ли поставить два нуля впереди? Да, эти записи эквивалентны.

Теперь посмотрим на десятичную дробь:

Если приписать ноль, то получается:

Эти записи эквивалентны. Аналогично можно приписать несколько нулей.

Таким образом, к любому числу можно приписать несколько нулей после дробной части и несколько нулей перед целой частью. Это будут эквивалентные записи одного и того же числа.

Пример 3

Так как происходит деление на 100, то необходимо сдвинуть запятую на 2 позиции влево. Слева от запятой не осталось цифр. Целая часть отсутствует. Такую запись часто используют программисты. В математике же, если целой части нет, то ставят ноль вместо нее.

Пример 4

Сдвигать нужно влево на три позиции, но позиций всего две. Если перед числом написать несколько нулей, то это будет эквивалентная запись.

То есть при сдвиге влево, если цифры кончились, необходимо восполнить их нулями.

Пример 5

В данном случае стоит помнить, что запятая всегда стоит после целой части. Тогда:

Умножение и деление на числа 10, 100, 1000 — очень простая процедура. Точно так же дело обстоит и с числами 0,1, 0,01, 0,001.

Пример . Умножить 25,34 на 0,1.

Выполним запись десятичной дроби 0,1 в виде обыкновенной. Но умножить на — то же самое, что разделить на 10. Поэтому необходимо сдвинуть запятую на 1 позицию влево:

Аналогично умножить на 0,01 — это разделить на 100:

Пример. 5,235 разделить на 0,1.

Решение данного примера строится аналогичным образом: 0,1 выражается в виде обыкновенной дроби, а делить на — это все равно, что умножить на 10:

То есть чтобы поделить на 0,1, нужно запятую сдвинуть вправо на одну позицию, что равносильно умножению на 10.

Умножить на 10 и разделить на 0,1 — это одно и то же. Запятую нужно сдвинуть вправо на 1 позицию.

Разделить на 10 и умножить на 0,1 — это одно и то же. Запятую нужно сдвинуть вправо на 1 позицию:

Как возвести число к степени в Excel с помощью формулы и оператора

Часто пользователям необходимо возвести число в степень. Как правильно сделать это с помощью «Экселя»?

В этой статье мы попробуем разобраться с популярными вопросами пользователей и дать инструкцию по правильному использованию системы. MS Office Excel позволяет выполнять ряд математических функций: от самых простых до сложнейших. Это универсальное программное обеспечение рассчитано на все случаи жизни.

Как возвести в степень в Excel?

Перед поиском необходимой функции обратите внимание на математические законы:

  1. Число «1» в любой степени будет оставаться «1».
  2. Число «0» в любой степени будет оставаться «0».
  3. Любое число, возведенное в нулевую степень, равняется единице. ».

Мы возвели 8 в «квадрат» (т.е. ко второй степени) и получили в ячейке «А2» результат вычисления.



Вариант №2. С использованием функции

В Microsoft Office Excel есть удобная функция «СТЕПЕНЬ», которую вы можете активизировать для осуществления простых и сложных математических расчетов.

Функция выглядит следующим образом:

=СТЕПЕНЬ(число;степень)

ВНИМАНИЕ!

  1. Цифры для этой формулы указываются без пробелов и других знаков.
  2. Первая цифра – значение «число». Это основание (т.е. цифра, которую мы возводим). Microsoft Office Excel допускает введение любого вещественного числа.
  3. Вторая цифра – значение «степень». Это показатель, в который мы возводим первую цифру.
  4. Значения обоих параметров могут быть меньше нуля (т.е. со знаком «-»).

Формула возведения в степень в Excel

Примеры использования функции СТЕПЕНЬ().

С использованием мастера функций:

  1. Запускаем мастера функций с помощью комбинации горячих клавиш SHIFT+F3 или жмем на кнопку в начале строки формул «fx» (вставить функцию). Из выпадающего списка «Категория» выбираем «Математические», а в нижнем поле указываем на нужную нам функцию и жмем ОК.
  2. В появившимся диалоговом окне заполняем поля аргументами. К примеру, нам нужно возвести число «2» в степень «3». Тогда в первое поле вводим «2», а во второе — «3».
  3. Нажимаем кнопку «ОК» и получаем в ячейке, в которую вводили формулу, необходимое нам значение. Для данной ситуации это «2» в «кубе», т.е. 2*2*2 = 8. Программа подсчитала все верно и выдала вам результат.

Если лишние клики вы считаете сомнительным удовольствием, предлагаем еще один простой вариант.

Ввод функции вручную:

  1. В строке формул ставим знак «=» и начинаем вводить название функции. Обычно достаточно написать «сте» — и система сама догадается предложить вам полезную опцию.
  2. Как только увидели такую подсказку, сразу жмите на клавишу «Tab». Или можете продолжить писать, вручную вводить каждую букву. Потом в скобках укажите необходимые параметры: два числа через точку с запятой.
  3. После этого нажимаете на «Enter» — и в ячейке появляется высчитанное значение 8.

Последовательность действий проста, а результат пользователь получает достаточно быстро. В аргументах вместо чисел могут быть указаны ссылки на ячейки.

Корень в степени в Excel

Чтобы извлечь корень с помощью формул Microsoft Excel, воспользуемся несколько иным, но весьма удобным способом вызова функций:

  1. Перейдите по закладке «Формулы». В разделе инструментов «Библиотека функций» щелкаем по инструменту «Математические». А из выпадающего списка указываем на опцию «КОРЕНЬ».
  2. Введите аргумент функции по запросу системы. В нашем случае необходимо было найти корень из цифры «25», поэтому вводим его в строку. После введения числа просто нажимаем на кнопку «ОК». В ячейке будет отражена цифра, полученная в результате математического вычисления корня.

ВНИМАНИЕ! Если нам нужно узнать корень в степени в Excel то мы не используем функцию =КОРЕНЬ(). Вспомним теорию из математики:

«Корнем n-ой степени от числа а называется число b, n-ая степень которого равна а», то есть:
n√a = b; bn = a. (1/n)- где a-число; n-степень:

Или через такую функцию: =СТЕПЕНЬ(32;1/5)

В аргументах формулы и функции можно указывать ссылки на ячейки вместо числа.

Как в Excel написать число в степени?

Часто вам важно, чтобы число в степени корректно отображалось при распечатывании и красиво выглядело в таблице. Как в Excel написать число в степени? Здесь необходимо использовать вкладку «Формат ячеек». В нашем примере мы записали цифру «3» в ячейку «А1», которую нужно представить в -2 степени.

Последовательность действий следующая:

  1. Правой кнопкой мыши щелкаем по ячейке с числом и выбираем из выскакивающего меню вкладку «Формат ячеек». Если не получилось – находим вкладку «Формат ячеек» в верхней панели или жмем комбинацию клавиш CTRL+1.
  2. В появившемся меню выбираем вкладку «Число» и задаем формат для ячейки «Текстовый». Жмем ОК.
  3. В ячейке A1 вводим рядом с числом «3» число «-2» и выделяем его.
  4. Снова вызываем формат ячеек (например, комбинацией горячих клавиш CTRL+1) и теперь для нас только доступна вкладка «Шрифт», в которой отмечаем галочкой опцию «надстрочный». И жмем ОК.
  5. В результате должно отображаться следующее значение:

Пользоваться возможностями Excel просто и удобно. С ними вы экономите время на осуществлении математических подсчетов и поисках необходимых формул.

Урок 29. умножение на 1. умножение на 0 — Математика — 3 класс — РОСТОВСКИЙ ЦЕНТР ПОМОЩИ ДЕТЯМ № 7

Содержание

Урок 29. умножение на 1. умножение на 0 — Математика — 3 класс

Математика, 3 класс

Урок №29. Умножение на 1. Умножение на 0

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

— как умножать на 1 и 0?

— какие правила используются в случаях умножения на 1 и 0?

Глоссарий по теме:

Умноже́ние – это одно из четырёх основных арифметических действий.

Правило – закономерность, устойчивая систематическая взаимосвязь между явлениями, а также высказывание, описывающее эту закономерность.

Основная и дополнительная литература по теме урока:

1. Моро М. И., Бантова М. А. и др. Математика 3 класс. Учебник для общеобразовательных организаций М.; Просвещение, 2017. – с. 82-83.

2. Самсонова Л. Ю. Самостоятельные работы по математике 3 классс. М.: Издательство «Экзамен», 2015 с.51-52.

3. Рудницкая В. Н. КИМ. ВПР. Математика 3 класс.

М.: Издательство «Экзамен», 2018.- с.-36.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

1 (один, единица) – наименьшее натуральное число. Цифра 1 обозначает один из нескольких, один из множества. Цифру 1 придумали арабы. Число 1 обозначает начало, что-то единственное, очень малое, но существенное.

— Единица является атомным номером водорода;

— Меркурий – первая к Солнцу планета Солнечной системы;

— Из одной клетки состоят простейшие микроорганизмы, например, амёбы;

— В спорте число 1 – это символ победы, лидерства, единства.

В математике существуют определенные правила умножения с 1 и 0.

Пользуясь переместительным свойством умножения, составим выражения и заменим умножение суммой одинаковых слагаемых.

4 ∙ 0; 8 ∙ 0; 4 ∙ 1; 8 ∙ 1.

Получились следующие выражения:

4 ∙ 0 = 0 ∙ 4 = 0 + 0 + 0 + 0 = 0

8 ∙ 0 = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0

4 ∙ 1 = 1 ∙ 4 = 1 + 1 + 1 + 1 = 4

8 ∙ 1 = 1 ∙ 8 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 8

Заменим аналогичные выражения с буквами и сделаем вывод,

1) Если единицу умножить на число, то получится то же самое число.

2) При умножении нуля на любое число, получается ноль.

а ∙ 0 = 0 ∙ а = 0 + 0 + 0 + 0 …. = 0

а ∙ 1 = 1 ∙ а = 1 + 1 + 1 + 1 … = а

Из этого следуют правила умножения на 1 и 0:

— При умножении любого числа на 1 получается то число, которое умножали.

— При умножении любого числа на ноль получается ноль.

Задания тренировочного модуля:

Вставьте пропущенные слова

При умножении любого числа на 1 получается то число, которое___________

При умножении любого числа на 0 получается______________

Ноль

Умножали

Единица

Правильный ответ:

При умножении любого числа на 1 получается то число, которое умножали.

При умножении любого числа на 0 получается ноль.

2. Выделите цветом неверные выражения

Правильный ответ:

Приёмы умножения единицы и нуля

МБОУ Пригорская СШ

Смоленский район

Смоленская область

Тема урока:

«Приёмы умножения единицы и нуля. »

2 класс

Подготовила и провела:

учитель высшей категории

Чуркина Светлана Петровна

2017

Цели урока:

познакомить с приёмами умножения на нуль и единицу; развивать внимание, логическое мышление; воспитывать чувства товарищества и взаимопомощи.

Планируемые результаты:

  • Личностные: принимают и осваивают социальную роль обучающегося; стремятся развивать мотивы учебной деятельности, навыки сотрудничества со сверстниками, умение доказывать свою точку зрения, внимание, память, логическое мышление; проявляют самостоятельность, личную ответственность.

  • Предметные: формировать умения самостоятельно строить и применять новые знания; развивать умение анализировать, обобщать; развивать внимание, логическое мышление, память, воображение;

  • метапредметные: формировать универсальные учебные действия:

  • регулятивные – понимать, принимать и сохранять учебную задачу; осуществлять самоконтроль и самооценку;

  • познавательные – ориентироваться в материале учебника и находить по заданию учителя нужную информацию, формировать умение выделять основу для сравнения, проводить сравнение, выстраивать цепочку логических рассуждений при решении задач логического содержания; самостоятельно формулировать познавательные цели;

Тип урока: открытия новых знаний

Оборудование: ноутбук, проектор, экран, карточки для коллективной работы, карточки для самостоятельной работы, карточки для Справочника по математике, записи на маркерной доске, карточки для рефлексии, опорная таблица, картинка к задаче, презентация, диск- приложение Математика, учебник математики Школы России, М. И. Моро 2кл (2 ч),

Ход урока.

1. Психологический настрой.

— Сегодня ребята, у нас необычный урок математики, к нам пришли гости. Давайте поздороваемся.

Сегодня математика у нас.

Должны мы хорошенько поработать,

Чтоб гости, посмотрев на нас,

Все удивились: «Что за класс!»

— Пожелайте друг другу успеха и покажите, что одноклассники всегда могут рассчитывать на вашу помощь – пожмите друг другу руки и скажите: «Сам смогу и тебе помогу!»

2. Орг. момент.

— Присаживайтесь на свои места. Проверьте готовность ваших рабочих мест для урока математики.

— Приготовьтесь к письму: поправьте стулья, сядьте ровно. Откройте тетради. Запишите число, название работы:

17 марта.

Классная работа.

3. Определение тему и цели урока. (Работа по индивидуальным карточкам).

У вас на столе лежат карточки под №1.

1 вариант.

Запишите свою фамилию и имя. Выполните данное задание.

__________________________________________________________________

Найдите значение выражений. Занесите результаты в таблицу и отгадайте слово.

20 + 30 = ___Н 7 + 7 = ___И 100 – 6 = ____И 15 + 15 =___Д

40 – 5 = ____Ц 12 – 2 = ___ А 34 + 6 ____ Е

2 вариант.

Запишите свою фамилию и имя. Выполните данное задание.

__________________________________________________________________

Найдите значение выражений. Занесите результаты в таблицу и отгадайте слово.

2 вариант.

Запишите свою фамилию и имя. Выполните данное задание.

__________________________________________________________________

Найдите значение выражений. Занесите результаты в таблицу и отгадайте слово.

45 + 16 = ___Ь 70 – 35 = ____у 43 – 7 = ____Л 37 + 13 = ___Н

3 вариант.

Запишите свою фамилию и имя. Выполните данное задание.

__________________________________________________________________

Найдите значение выражений. Занесите результаты в таблицу и отгадайте слово.

74

50

14

99

40

12

20

44

8

2 + 10 = ___ Е 3 + 5 = ___ Е 90 – 40 = ___М

100 – 1 = ___ О 70 + 4 = ___У 28 – 8 = _____Н

20 + 20 = ___ Ж 20 – 6 = ___Н 40 + 4 = ____И

Во время решения, учитель спрашивает – Нужна ли кому-нибудь помощь? Успешно справившиеся ребята, могут оказать помощь другим.

Несколько работ берутся на проверку.

— Какие слова у вас получились: «Единица», «Нуль», «Умножение».

— Попробуйте определить тему урока — «Приёмы умножения единицы и нуля на число». Давайте проверим, правильно ли вы определи ли тему (Презентация. Слайд 1).

— Как вы думаете, чему мы будем учиться на уроке? Давайте проверим, правильно ли вы определи ли цель урока. (Презентация. Слайд 2)

4. Освоение нового материала.

а) Постановка проблемной ситуации.

— Вспомним, что такое умножение? (Сложение одинаковых слагаемых)

— Давайте заменим умножение сложением. (Презентация. Слайд 3). Дети работают, комментируют по очереди.).

3+3+3+3 52

9+9+9 13

93

2+2+2+2+2 34

04

5+5 25

— Какие выражения не имеют пары по сложению. Почему нет пары для выражения 2 5, 9 3? Какие выражения ещё не заменили сложением? Встречались ли мы раньше с такими выражениями?

б) Коллективная работа.

— Распределитесь на группы. Рассмотрите выражения на карточках, замените сложением умножением и сделайте вывод о правилах умножения на 1 и 0.

1 4 = 1+1+1+1= 4 0 4 = 0+0+0+0=0

1 8 = 1+1+1+1+1+1+1+1=8 0 8 = 0 +0+0+0+0+0+0+0=0

1 7 = 1+1+1+1+1+1+1=7 0 7 = 0+0+0+0+0+0+0=0

1 3 = 1+1+1=3 0 3 = 0 +0+0=0

1 6 = 1+1+1+1+1+1=6 0 6 = 0+0+0+0+0+0=0

!!!! Включить презентация, выключить звук.

— Вывод: при умножении 1 на любое число, получится тоже самое число.

— При умножении 0 на любое число, получится нуль.

в) – Давайте посмотрим видеоролик и посмотрим, правильный ли вывод вы сделали.(Презентация из Приложения).

г) Работа по учебнику.

– Прочитайте задание в учебнике №2 на с. 53 учебника (устно).

— При умножении 1 на любое число получается тоже самое число.

— При умножении 0 на любое число получается 0.

д) – Возьмите на столе карточку под №2. Прочитайте правило. Для чего она вам нужна?

— Вклеить в справочник по математике.

е) – Рассмотрите опорные таблицы. Как их можно прочитать, объяснить?

1 а = а 0 а = 0

Закрепление и отработка нового материала.

а) с. 53 № 1 (работа с комментированием по одному, дети пишут в тетрадях пишут в тетрадях).

1 3 = 1 + 1 + 1 = 3 1 4 = 1 + 1 +1 + 1 = 4

0 5 = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 =0 0 6 = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0

Физкультминутка.

— Давайте отдохнём.

б) С.р. (Запись на маркерной доске)

— Выполните вычисления. Кому нужна помощь?

1 5 = 5 0 2 = 0

1 8 = 8 0 4 =0

1 10 = 10 0 7 = 0

1 6 = 6 0 10 =0

— Коллективная проверка.

— Индивидуальное задание для быстро справившихся ребят (запись на маркерной доске).

— Кто попробует решить следующие выражения

1 40 = 40 0 65 =0

0 78 = 0 1 34 = 34

1 200 =200 0 78 = 0

0 560 =0 1 1000 =1000

— А кто может придумать свой пример по новой теме?

д) подведение итога изучения нового материала:

— Что же мы узнали об умножении единицы и нуля ? Есть ли в учебнике на с. 53 правило? Где мы можем его повторить, выучить дома?

— В своём справочнике.

в) Закрепление по учебнику с.53 №4. Коллективно.

— Давайте рассмотрим в каких же случаях ещё нам может понадобиться приём умножения единицы и нуля.

1 38 1 + 38 7 4 7 + 7 + 7

0 41 0 + 41 6 3 6 + 6 + 6

г) Работа по учебнику. С. 53 № 3

— Как вы думаете, как выполнить данные вычисления?

0 15 = 0

— Какое действие будем выполнять первым?

1 (30 – 23) = 7

С.р. С. 53 Внизу страницы. Кому нужна помощь?

1 26 = 26 0 (21 – 8) = 0

— Кто может сам придумать выражения на новую тему?

Самостоятельная работа в тетради.

— У вас в конвертиках лежат два листка под № 3. Те, кто считает, что хорошо усвоил данный прием вычисления, возьмет задание на жёлтом листе, а те, кто не очень уверен в своих силах, возьмет задание на голубом листе.

0 х (45-5)

1х (30-23)

(78-70) х 1

(45-8) х 0

1 х 20

32 х 1

0 х 6

98 х 0

— Теперь наши новые знания применим в других заданиях.

Прочитайте задачу:

Оля купила 3 ластика, по 1 рублю каждая. Сколько стоит эта покупка?

— О чём говорится в задаче?

2. Сколько ластиков купила Оля?

3. Что значит по 1 рублю каждая?

4. Что надо найти в задаче?

5. Выполним краткую запись на доске и в тетради

6. Как записать решение?? р.

7. Как умножить один на число?

8. Какой ответ запишем?

Домашнее задание.

— У вас в конвертиках остался листик под №4. В нём записаны задания в двух вариантах. Выберите вариант, который вы сможете легко выполнить и решите его дома. От домашнего задания освобождаются ребята, которые всю неделю выполняли домашнее задание на «отлично». Откройте дневники и запишите задание – карточка. Определим, кто же освобождается от домашнего задания.

Рефлексия.

Рефлексия – осознание учеником и воспроизведение в речи того, чему научился и каким способом действовал.

— Ребята, у вас на партах лежат  рожицы человечков. Если урок вам понравился, нарисуйте на них улыбку, дуга вверх. Если вы остались равнодушны к уроку и он вам не принес никаких знаний, то просто черточку. Ну, а если вам урок совсем не понравился, рисуем печальное выражение лица – дуга вниз.

— Поднимите свои листочки и покажите их своим одноклассникам и гостям.

Давайте посмотрим, а какое впечатление от урока, от вас останется у наших гостей? (Гости тоже рисуют улыбки на своих смайликах)

Приложение.

Замените умножение сложением. Сформулируйте правило умножения единицы на число.

1 4 = ____________________________= ______

1 8 = _____________________________=_______

1 7 = ____________________________=_______

1 3 = __________________________=________

1 6 = _______________________________=____

Замените умножение сложением. Сформулируйте правило умножения нуля на число.

0 4 = ___________________________=________

0 8 = ____________________________= _______

0 7 = ___________________________=_______

0 3 = ______________________=______

0 6 = ___________________________=_______

1 вариант.

Запишите свою фамилию и имя. Выполните данное задание.

__________________________________________________________________

Найдите значение выражений. Занесите результаты в таблицу и отгадайте слово.

20 + 30 = ___Н 7 + 7 = ___И 100 – 6 = ____И 15 + 15 =___Д

40 – 5 = ____Ц 12 – 2 = ___ А 34 + 6 ____ Е

2 вариант.

Запишите свою фамилию и имя. Выполните данное задание.

__________________________________________________________________

Найдите значение выражений. Занесите результаты в таблицу и отгадайте слово.

45 + 16 = ___Ь 70 – 35 = ____у 43 – 7 = ____Л 37 + 13 = ___Н

3 вариант.

Запишите свою фамилию и имя. Выполните данное задание.

__________________________________________________________________

Найдите значение выражений. Занесите результаты в таблицу и отгадайте слово.

74

50

14

99

40

12

20

44

8

2 + 10 = ___ Е 3 + 5 = ___ Е 90 – 40 = ___М

100 – 1 = ___ О 70 + 4 = ___У 28 – 8 = _____Н

20 + 20 = ___ Ж 20 – 6 = ___Н 40 + 4 = ____И

0 х (45-5)= (78-70) х 1 =

1х (30-23)= (45-8) х 0 =

0 х (45-5)= (78-70) х 1 =

1х (30-23)= (45-8) х 0 =

0 х (45-5)= (78-70) х 1 =

1х (30-23)= (45-8) х 0 =

0 х (45-5)= (78-70) х 1 =

1х (30-23)= (45-8) х 0 =

0 х (45-5)= (78-70) х 1 =

1х (30-23)= (45-8) х 0 =

0 х (45-5)= (78-70) х 1 =

1х (30-23)= (45-8) х 0 =

0 х (45-5)= (78-70) х 1 =

1х (30-23)= (45-8) х 0 =

0 х (45-5)= (78-70) х 1 =

1х (30-23)= (45-8) х 0 =

1 х 20 = 0 х 6 =

98 х 0 = 32 х 1 =

1 х 20 = 0 х 6 =

98 х 0 = 32 х 1 =

1 х 20 = 0 х 6 =

98 х 0 = 32 х 1 =

1 х 20 = 0 х 6 =

98 х 0 = 32 х 1 =

1 х 20 = 0 х 6 =

98 х 0 = 32 х 1 =

1 х 20 = 0 х 6 =

98 х 0 = 32 х 1 =

1 х 20 = 0 х 6 =

98 х 0 = 32 х 1 =

1 х 20 = 0 х 6 =

98 х 0 = 32 х 1 =

Домашнее задание.

1 вариант.

Найди значение выражений.

1 6 = 1 10 = 1 20 = 1 35 =

0 6 = 0 10 = 0 20 = 0 35=

2 вариант.

Найди значение выражений. Подчеркни выражения, значение которых можно найти не выполняя вычислений.

0 (36 – 18) = 1 ( 24 + 4) =0 (7 +93) =

0 (67 + 30) = 1 (80 – 75) = 1 ( 100 – 50) =

Домашнее задание.

1 вариант.

Найди значение выражений.

1 6 = 1 10 = 1 20 = 1 35 =

0 6 = 0 10 = 0 20 = 0 35=

2 вариант.

Найди значение выражений. Подчеркни выражения, значение которых можно найти не выполняя вычислений.

0 (36 – 18) = 1 ( 24 + 4) =0 (7 +93) =

0 (67 + 30) = 1 (80 – 75) = 1 ( 100 – 50) =

Домашнее задание.

1 вариант.

Найди значение выражений.

1 6 = 1 10 = 1 20 = 1 35 =

0 6 = 0 10 = 0 20 = 0 35=

2 вариант.

Найди значение выражений. Подчеркни выражения, значение которых можно найти не выполняя вычислений.

0 (36 – 18) = 1 ( 24 + 4) =0 (7 +93) =

0 (67 + 30) = 1 (80 – 75) = 1 ( 100 – 50) =

Домашнее задание.

1 вариант.

Найди значение выражений.

1 6 = 1 10 = 1 20 = 1 35 =

0 6 = 0 10 = 0 20 = 0 35=

2 вариант.

Найди значение выражений. Подчеркни выражения, значение которых можно найти не выполняя вычислений.

0 (36 – 18) = 1 ( 24 + 4) =0 (7 +93) =

0 (67 + 30) = 1 (80 – 75) = 1 ( 100 – 50) =

При умножении 1 на любое число получается тоже самое число: 1 а =а

При умножении 0 на любое число получается 0: 0 а = 0

При умножении 1 на любое число получается тоже самое число: 1 а =а

При умножении 0 на любое число получается 0: 0 а = 0

При умножении 1 на любое число получается тоже самое число: 1 а =а

При умножении 0 на любое число получается 0: 0 а = 0

При умножении 1 на любое число получается тоже самое число: 1 а =а

При умножении 0 на любое число получается 0: 0 а = 0

При умножении 1 на любое число получается тоже самое число: 1 а =а

При умножении 0 на любое число получается 0: 0 а = 0

При умножении 1 на любое число получается тоже самое число: 1 а =а

При умножении 0 на любое число получается 0: 0 а = 0

При умножении 1 на любое число получается тоже самое число: 1 а =а

При умножении 0 на любое число получается 0: 0 а = 0

При умножении 1 на любое число получается тоже самое число: 1 а =а

При умножении 0 на любое число получается 0: 0 а = 0

При умножении 1 на любое число получается тоже самое число: 1 а =а

При умножении 0 на любое число получается 0: 0 а = 0

При умножении 1 на любое число получается тоже самое число: 1 а =а

При умножении 0 на любое число получается 0: 0 а = 0

1 а = а

0 а = 0

правила, примеры, решения, 1 умножить на 10

Имея общее представление об умножении натуральных чисел и их свойств, легче понять принцип выполнений действий над ними. Мы разберем правила, по которым производится умножение натуральных чисел. Весь материал имеет конкретные примеры и подробные объяснения. Совершим проверки результатов для того, чтобы сверить полученные на выходе числа.

Таблица умножения

Умножая два натуральных числа, получаем результат, который производится при умножении однозначных натуральных чисел. Произведение чисел 6 и 3 приравнивается к сумме, состоящей из трех слагаемых, равных числу 6. Иначе это запишем: 6·3=6+6+6=18. Таким же образом получены все результаты умноженных однозначных натуральных чисел. Все занесены в таблицу, приведенную ниже.

1·1=12·1=23·1=3
1·2=22·2=43·2=6
1·3=32·3=63·3=9
1·4=42·4=83·4=12
1·5=52·5=103·5=15
1·6=62·6=123·6=18
1·7=72·7=143·7=21
1·8=82·8=163·8=24
1·9=92·9=183·9=27

 

4·1=45·1=56·1=6
4·2=85·2=106·2=12
4·3=125·3=156·3=18
4·4=165·4=206·4=24
4·5=205·5=256·5=30
4·6=245·6=306·6=36
4·7=285·7=356·7=42
4·8=325·8=406·8=48
4·9=365·9=456·9=54

 

7·1=78·1=89·1=9
7·2=148·2=169·2=18
7·3=218·3=249·3=27
7·4=288·4=329·4=36
7·5=358·5=409·5=45
7·6=428·6=489·6=54
7·7=498·7=569·7=63
7·8=568·8=649·8=72
7·9=638·9=729·9=81

Это и есть таблица умножения. Все результаты сгруппированы для удобного дальнейшего применения. Таблица сложения натуральных чисел выглядит подобным образом. Она предоставлена ниже.

Чтобы выяснить, как пользоваться таблицей, приведем пример. Если необходимо найти произведение 6 и 8, необходимо отметить столбец верхней ячейки, где имеем 6 (8), и строку левой ячейки, где число 8 (6). Чтобы найти результат, следует найти их общую ячейку, то есть пересечение столбца и строки. На рисунке ниже изображен пример нахождения искомого умножения 6 и 8.

Умножение трех и более количества чисел

Мы дали определение понятию умножения двух чисел. Теперь поговорим об умножении трех и более имеющихся чисел. Таким образом, в такой ситуации применимо сочетательное свойство умножения натуральных чисел.

Сочетательное свойство умножения показывает равнозначность двух произведений a·(b·c) и (a·b)·c, где a, b и c могут быть любыми числами. Результат умножения данных чисел не будет зависеть от местоположения скобок. Поэтому чаще всего при произведении скобки отсутствуют, а запись имеет вид a·b·c. Данное выражение называют произведением трех чисел, причем все входящие в него числа – множители.

Сочетательное свойство умножения необходимо для того, чтобы легче было выявлять равные произведения. Это значит, что из приведенных (a·b)·(c·d), (a·(b·c))·d, ((a·b)·c)·d, a·(b·(c·d)) и a·((b·c)·d) можно сделать вывод, что они все равные. Положение скобок при умножении не играет роли. Это произведение может быть записано в виде a·b·c·d.

Обычно скобки опускаются при умножении. Произведение нескольких трех и более чисел без скобок приводит к последовательной замене двух соседних множителей до получения необходимого результата. Скобки могут быть расставлены произвольно, так как итог произведения не изменится.

Если взять пять натуральных чисел и записать их в виде произведения, то получим 2·1·3·1·8. Имеется два основных способы решения.

Первый способ заключается в том, что два множителя слева будут последовательно заменяться произведением. Тогда получим, что 2·1·3·1·8=2·3·1·8. Так как 2·3=6, то 2·3·1·8=6·1·8. Далее имеем, что 6·1=6, тогда в итоге получим результат 6·8=48. Умножение пяти заданных чисел будет равняться 48. Этот способ записывается, как (((2·1)·3)·1)·8.

Второй способ заключается в том, что скобки располагаются таким образом ((2·1)·3)·(1·8). Имеем, что 2·1=2 и 1·8=8, то ((2·1)·3)·(1·8)=(2·3)·8. При 2·3 равном 6 получим, что (2·3)·8=6·8. В итоге получим, что 6·8=48. Отсюда следует, что 2·1·3·1·8=48.

Порядок следования множителей не влияет на результат. Множители могут быть записаны в любом порядке. Это следует из свойств умножения натуральных чисел.

Пример 1

Даны четыре числа для умножения: 3, 9, 2, 1. Их произведение записывается в виде 3·9·2·1.

При замене произведения множителей 3 и 9 или 9 и 2 получим, что следующий этап необходимо будет произвести умножение двузначных чисел 27 и 18.

Чтобы избежать это, необходимо поменять слагаемые местами, иначе расставить скобки.

Тогда получим: 3·9·2·1=3·2·9·1=(3·2)·(9·1)=6·9=54.

При перемене мест множителей можно производить наиболее удобные комбинирования для вычисления. Рассмотрим задание, где решение приводит к умножению нескольких чисел.

Пример 2

Каждая коробка имеет по 3 предмета. В ящики положили 2 коробки. Какое количество предметов будет в 4 ящиках?

Решение

Нам дано, что в одном ящике 2 коробки, а в них соответственно по 3 предмета.

Тогда в одном ящике 3·2=6 предметов. Отсюда получим, что в 4 ящиках 6·4=24 предмета. Можно рассуждать иным образом. Один ящик вмещает в себя 2 коробки, отсюда в 4 ящиках 2·4=8 коробок. Каждая из коробок имеет 3 предмета, тогда имеем, что 8 коробок содержат 3·8=24 предмета.

Эти решения можно записать таким образом (3·2)·4=6·4=24 или 3·(2·4)=3·8=24.

Делаем вывод, что искомое количество предметов – это произведение 3,2,4, а значит, что 3·2·4=24.

Ответ: 24.

Подведем итоги.

При умножении трех и более чисел действия производятся последовательно. Используя переместительное и сочетательное свойства умножения, разрешается менять местами множителями и заменять их двумя другими умножаемыми числами.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Умножение суммы на натуральное число и наоборот

Благодаря распределительному свойству умножения сложение и умножение связаны. Это помогает в изучении сложения и умножения. Свойство способствует углубиться в изучение всех действий.

Если рассматривать распределительное свойство умножения относительно сложения, то получим такой вид записи с двумя слагаемыми: (a+b)·c=a·c+b·c, где a, b, c являются произвольными натуральными числами. Исходя из данного равенства при помощи метода математической индукции докажем справедливость предложенного (a+b+c)·d=a·d+b·d+c·d, (a+b+c+d)·h=a·h+b·h+c·h+d·h и т.д., где a, b, c, d, h являются натуральными числами.

Отсюда следует, что произведение суммы нескольких чисел и данного числа равна сумме произведений каждого из слагаемых с данным числом. Это правило применимо при умножении на заданное число.

Если взять сумму из пяти чисел 7, 2, 3, 8, 8 на 3, получим, что (7+2+3+8+8)·3=7·3+2·3+3·3+8·3+8·3. Отсюда имеем, что 7·3=21, 2·3=6, 3·3=9, 8·3=24, то 7·3+2·3+3·3+8·3+8·3=21+6+9+24+24, после чего находим сумму чисел 21+6+9+24+24=84.

Можно было сделать вычисления иначе, тогда следовало посчитать сумму, после чего умножение. Этот случай менее удобен, так как умножение двухзначного числа 7+2+3+8+8=28 на 3 мы пока не выполняли. Умножение двухзначных чисел – это тема, показанная в разделе умножения многозначного и однозначного натуральных чисел.

Используя переместительное свойство, мы можем переформулировать правило умножения суммы чисел на заданное число таким образом: произведение данного числа и суммы нескольких чисел равняется сумме произведений данного числа и каждого из слагаемых. Это правило умножения данного числа на заданную сумму.

Например, 2·(6+1+3)=2·6+2·1+2·3=12+2+6=20. Здесь применяем правила умножения числа на сумму.

Рассмотрим конкретный пример, где умножение решение сводится к умножению суммы чисел на данное число.

Пример 3

В коробке находятся по 3 красных, 7 зеленых и 2 синих предмета. Какой количество предметов имеется во всех четырех коробках?

Решение

Для определения количества предметов в одной коробке, вычислим 3+7+2. Отсюда следует, что четыре коробки содержат в 4 раза больше, значит, (3+7+2)·4 предметов.

Находим произведение суммы на число, применив полученное правило, тогда (3+7+2)·4=3·4+7·4+2·4=12+28+8=48.

Ответ: 48 предметов.

Умножение натурального числа на 10, 100, 1000 и так далее

Чтобы получить правило произвольного умножения натурального числа на 10, рассмотрим подробно.

Натуральные числа вида 20, 30, 40, …, 90 соответствуют 2, 3, 4, …, 9 десяткам. Это значит, что 20=10+10, 30=10+10+10, … отсюда следует, что умножением двух натуральных чисел их смысл суммы должен быть идентичным, тогда получим 2·10=20, 3·10=30, . .., 9·10=90.

Таким же образом можно прийти к следующим неравенствам:

2·100=200, 3·100=300, …, 9·100=900; 2·1 000=2 000, 3·1 000=3 000, …, 9·1 000=9 000; 2·10 000=20 000, 3·10 000=30 000, …, 9·10 000=90 000; …

Выходит, что десяток десятков – это сотня, то 10·10=100;

что десяток сотен – это тысяча, тогда 100·10=1 000;
что десяток тысяч – это десять тысяч, то 1 000·10=10 000.
Исходя из рассуждений, получим 10 000·10=100 000, 100 000·10=1 000 000, …

рассмотрим пример для формулировки правила умножения произвольного натурального числа на 10.

Пример 4

Необходимо произвести умножение натурального числа 7032 на 10.

Решение

Чтобы быстрее подсчитать, необходимо представить число 7032 в виде суммы разрядных слагаемых.

Применим правило умножения суммы на число из предыдущего пункта, тогда получим 7 032·10=(7 000+30+2)·10=7 000·10+30·10+2·10. Число 7000 можно представить в виде произведения 7·1 000, число 30 произведением 3·10.

Отсюда получим, что сумма 7 000·10+30·10+2·10 будет равна сумме (7·1 000)·10+(3·10)·10+2·10. Тогда сочетательное свойство умножения можно зафиксировать, как (7·1 000)·10+(3·10)·10+2·10=7·(1 000·10)+3·(10·10)+2·10.

Отсюда получим, что 7·(1 000·10)+3·(10·10)+2·10=7·10 000+3·100+2·10=70 000+300+20. Сумма, полученная в результате, представляет собой разложение по рядам числа 70320: 70 000+300+20.

Ответ: 7 032·10=70 320.

Аналогичным способом мы можем умножить любое натуральное число на 10. В таких случаях запись всегда будет оканчиваться на 0.

Приведенные примеры и рассуждения дают возможность перейти к правилу умножения произвольного натурального число на 10. Если в конце записи дописать цифру 0, тогда заданное число будет служить результатом умножения на 10. Когда в записи натурального числа дописывают 0, то полученное число применяется как результат умножения на 10.

Приведем примеры: 4·10=40, 43·10=430, 501·10=5 010, 79 020·10=790 200 и так далее.

Основываясь на правиле умножения натурального числа на 10, можно получить умножение произвольного числа на 100, 1000 и выше.

Если 100=10·10,тогда умножение натурального числа на 100 приводит к умножению числа на 10 и еще одному умножению на 10.

Тогда получим:

17·100=17·10·10=170·10=1 700; 504·100=504·10·10=5 040·10=50 400; 100 497·100=100 497·10·10=1 004 970·10=10 049 700.

Если полученная запись имеет на 2 цифры 0 больше, тогда считается, что это результат умножения всего числа на 100. Это и называется правилом умножения числа на 100.

Произведение 1 000=100·10, тогда умножение любого натурального числа на 1000 приводит к умножению заданного числа на 100 и еще одному умножению на 10. Отсюда следует, что это правило умножения произвольного натурального числа на 1000. Когда в записи имеется 3 цифры 0, тогда считают, что это результат умножения числа на 1000.

Таким же образом производится умножение на 10000, 100000 и так далее. Идет дописывание нулей в конце числа.

В качестве примера запишем:

58·1 000=58 000; 6 032·1 000 000=6 032 000 000; 777·10 000=7 770 000.

Умножение многозначного и однозначного натуральных чисел

Имея навыки для выполнения умножения, разберем все правила на примере.

Пример 5

Найти произведение трехзначного числа 763 на 5.

Решение

Для начала представляем число в виде суммы разрядных слагаемых. Здесь получим, что 763=700+60+3. Отсюда получим, что 763·5=(700+60+3)·5.

Используя правило умножения суммы на число, получим, что:

(700+60+3)·5=700·5+60·5+3·5.

Произведения 700=7·100 и  60=6·10 и сумма 700·5+60·5+3·5 записывается, как (7·100)·5+(6·10)·5+3·5.

Применив переместительное и сочетательное свойство, получим (7·100)·5+(6·10)·5+3·5=(5·7)·100+(5·6)·10+3·5.

Так как 5·7=35, 5·6=30 и 3·5=15, то (5·7)·100+(5·6)·10+3·5=35·100+30·10+15.

Выполняем умножение на 100, на 10. После этого выполняем сложение 35·100+30·10+15=3 500+300+15=3 815

Ответ: произведение 763 и 5= 3815.

Чтобы закрепить материал, необходимо рассмотреть пример умножения.

Пример 6

Найти произведение 3 и 104558.

Решение

3·104 558=3·(100 000+4 000+500+50+8)==3·100 000+3·4 000+3·500+3·50+3·8==3·100 000+3·(4·1 000)+3·(5·100)+3·(5·10)+3·8==3·100 000+(3·4)·1 000+(3·5)·100+(3·5)·10+3·8==3·100 000+12·1 000+15·100+15·10+3·8==300 000+12 000+1 500+150+24=313 674.

Ответ: результат умножения 3 и 104558 = 313674.

Умножение двух многозначных натуральных чисел

Умножение двух многозначных натуральных чисел производится таким образом, что один из множителей раскладывается по разрядам, после этого применяют правило умножения на сумму. Изучение предыдущих статей позволит быстрее разобраться с имеющимся разделом.

Пример 7

Вычислить произведение 41 и 3806.

Решение

Необходимо произвести разложение числа 3806 по разрядам 3000+800+6, тогда 41·3 806=41·(3 000+800+6).

Правило умножения применимо для 41·(3 000+800+6)=41·3 000+41·800+41·6.

Так как 3 000=3·1 000 и 800=8·100, тогда справедливо равенство 41·3 000+41·800+41·6=41·(3·1 000)+41·(8·100)+41·6.

Сочетательное свойство способствует записи последней суммы (41·3)·1 000+(41·8)·100+41·6.

Вычисляя произведения 41·3, 41·8 и 41·6, представляем его в виде суммы

41·3=(40+1)·3=40·3+1·3=(4·10)·3+1·3=(3·4)·10+1·3=12·10+3=120+3=123; 41·8=(40+1)·8=40·8+1·8=(4·10)·8+1·8=(8·4)·10+1·8=32·10+8=320+8=328; 41·6=(40+1)·6=40·6+1·6=(4·10)·6+1·6=(6·4)·10+1·6=24·10+6=240+6=246

Получим, что

(41·3)·1 000+(41·8)·100+41·6=123·1 000+328·100+246=123 000+32 800+246

Вычислим сумму натуральных чисел:

123 000+32 800+246=156 046

Ответ: Произведение 41 и 3806 = 156046.

Теперь умеем умножать два любых натуральных числа.

Проверка результата умножения натуральных чисел

Умножение всегда требует проверки. Она производится при помощи деления по правилу: полученное произведение делят на один из множителей. Если полученное число равно одному из множителей, тогда вычисление произведено правильно. Если нет, то допущена ошибка.

Пример 8

Произвести умножение 11 на 13, равное 143. Необходимо выполнить проверку.

Решение

Проверка производится посредством деления 143 на 11. Тогда получим, что 143:11=(110+33):11=110:11+33:11=10+3=13.

Если получим число, равное одному из множителей, тогда задание решено верно.

Пример 9

Произведено умножение 37 на 14. Результат равен 528. Выполнить проверку.

Решение

Для выполнения проверки необходимо разделить 528 на 37. Должны получить число 14. Производится делением столбиком:

При делении мы выявили, что 528 делится на 37, но с остатком. Отсюда следует, что умножение 37 на 14 было выполнено неверно.

Ответ: проверка показала, что умножение было выполнено неверно.

Пример 10

Вычислить произведение чисел 53 и 7, после чего выполнить проверку.

Решение

Представляем число в виде суммы 50+3. Применим свойство умножения суммы двух чисел на натуральное число. Получим, что 53·7=(50+3)·7=50·7+3·7=350+21=371.

Для выполнения проверки, разделим 371 на 7: 371:7=(350+21):7=350:7+21:7=50+3=53. Значит, умножение произведено верно.

Ответ: 53·7=371.

Умножение и деление с числами 1,0. Деление нуля на число

Технологическая карта урока

Предмет: математика

Дата проведения: 20.12.19

Тема урока: «Умножение и деление с числами 1,0. Деление нуля на число»

Тип урока: урок «открытия» нового знания

Цель: познакомить с приёмом деления нуля на число; обобщить и закрепить знания таблицы умножения

Планируемые результаты:

Личностные результаты: умение анализировать результаты учебной деятельности, объяснять причины успеха или неуспеха в своей учёбе.

Метапредметные результаты:

Регулятивные:

— умение выполнять задания по образцу;

— помнить и удерживать в памяти правило умножения (деления) нуля на число;

Познавательные:

— находить закономерности, способы решения задачи;

— определять основную и второстепенную информацию.

Коммуникативные:

— умение работать в группах, парах, участвовать в диалоге;

— задавать вопросы в ходе поиска информации

Предметные результаты:

— выполнять деление нуля на число;

— выполнять деление и умножение чисел на 1 и 0;

— решать задачи на нахождение частного.

Методы: словесный, наглядный, практический.

Формы: индивидуальная, парная, групповая, фронтальная.

Оборудование: учебник «Математика 3 класс», тетради, таблички с формулами, карточки с заданиями, снежинки с заданиями и для рефлексии, новогодняя елка, компьютер и проектор, презентация.

Ход урока:

Этапы урока

Деятельность учителя

Деятельность ученика

Организационный этап

Здравствуйте, ребята. Проверьте свою готовность к уроку, сядьте прямо.

Приветствуют учителя.

Мотивация

— Какой сейчас месяц? (декабрь) А что можно сказать о 31 декабря? (В ночь с 31 декабря на 1 января наступает Новый год!)

— Кто самый желанный гость на новогоднем празднике? Конечно, Дедушка Мороз.

— Ребята, посмотрите какую елочку нам принес Дедушка Мороз. Но чего-то не хватает. Даже не знаю чего. Как вы думаете? Конечно же, нам надо ее украсить.

— Поможем дедушке морозу ее украсить? Для этого нам нужно выполнять разные задания на снежинках. Вы готовы отправиться в сказочную страну Деда Мороза? Для этого нам надо стать помощниками Деда Мороза. У вас на столах лежат шапочки помощников, давайте их оденем и отправимся в путешествие.

— Ваша работа на уроке должна быть обязательно оценена. Поэтому для каждого из вас есть лист помощника Деда Мороза. В течении всего урока вы будете выполнять задания и оценивать себя (подписать фамилию и имя).

Отвечают на вопрос.

3. Актуализация знаний

— Снимает снежинку под номером 1.

— Ребята, вы любите фокусы?

— Показать вам фокус?

Содержание фокуса. Попросить учеников задумать число (однозначное). Потом это число ученик должен умножить на 2, прибавить к результату 8, разделить результат на 2 и отнять задуманное число. В результате получается число 4.

— Сейчас запишите число в черновиках и покажите партнеру по плечу.

— Хотите услышать ответ? Ответ будет 4.

— У вас получилось? Молодцы!

— Оцените себя. Нарисуйте зеленый кружок в листе помощников Деда Мороза, если ошибки не было, если было — красный.

Давайте вспомним, какие правила умножения на 1 и 0 мы уже изучили.

( Формулы-подсказки я повешу на доске. а ∙ 1 = а ,а ∙ 0 = 0)

— Откройте свои тетради, запишите сегодняшнее число и классная работа.

Снежинка № 2 Работа в группах. Расставьте примеры в 2 группы:

— Почему так распределили? . Что вы заметили? Есть ли здесь лишний пример? Все ли примеры вы смогли решить? У кого возникли затруднения? Чем этот пример отличается от остальных? Если кто-то решил, то молодец. (Проверка и отметка в Листе Помощников Деда Мороза)

Отвечают дети (При умножении любого числа на 1 получается тоже самое число. При умножении любого числа на нуль получается нуль.)

— С ответом 4 и 5

4. Постановка цели и задач урока.  

Но почему не все смогли справиться с этим примером?

— Здесь есть пример с 0. А от 0 можно ожидать разные фокусы. Это необычное число. Вспомните, что вы знаете про 0? 

— Посмотрите, какой он коварный: когда его прибавляют, он не изменяет число, а когда умножают, превращают его в 0.

— Подходят ли эти правила к нашему примеру?
Как же он поведёт себя при делении?

— Итак, какова наша цель на этом уроке?

Цель: _________________

Что для этого надо?

Задача: __________

Следовательно Тема урока:_____________

-а·0=0, 0·а=0, 0+а=а

-Нет

— Цель урока: «Научиться решать такие примеры».

— Задача « Узнать правило деления 0 на число»

— Тема урока: «Умножение и деление с числами 1,0. Деление нуля на число».

5. Первичное усвоение новых знаний.

— Сколько получится в последнем примере? Как узнали?

(Если дети ответили, то объясняют как решили.  Если не ответили, то я объясняю)

— Деление связано с умножением. На какое число надо умножить 9, чтобы получить 0?

Вывод: При делении нуля на любое другое число, получается нуль.

Сравните свой вывод с тем, который есть в учебнике на стр. 85 (прочитайте и расскажите друг другу)

— Итак, продолжаем выполнение заданий на снежинках.

Снежинка № 3 Работа со словарем (в группе).

Ребята, а вы знаете, что означает слово «Ноль»? Где мы можем узнать о значении этого слова?

— Значит, какой вывод мы можем сделать?

— Можно ли поделить ничего на ноль?

— Какой вывод можно сделать?

ПОМНИ, делить на нуль нельзя! Почему? Да потому, что какое бы число вы не умножали на 0, в ответе всегда будет 0

Физкультминутка «Снеговик»

Немножко отдохнули. Продолжаем помогать Дедушке Морозу.

— На 0

(Представители групп зачитывают толкование слова ноль)

— Ноль – ничего.

— Нет

— Ноль на число делить нельзя.

6. Первичная проверка понимания

Снежинка № 4 Работа в парах.

— Кто уже чувствует в себе силу самостоятельно применить новые знания и получить звание «умников» и «умниц»? Кому нужна помощь? (Как правило, никому)

— Сейчас снежинка предлагает поработать в парах.

— Что нужно сделать в следующем задании? Подобрать знаки *, :, +, -.

1 вариант:

0 : 16=         

16 * 0=      

2 вариант

16 * 1=                   

16 * 0=

Одна пара у доски.

Проверяем по доске (взаимопроверка), оцениваем в листах Помощников Деда Мороза. (без ошибок – зеленый, 1 ошибка – желтый, 2 ошибки – красный. )

— Посмотрите, сколько у меня карандашей. Хотите узнать сколько? Давайте сосчитаем(48).

Снежинка №5 Решение задачи. Ни один урок математики не обходится без решения задач.

— Значит наша задача о чем?

Решение задачи по карточкам

У Маши есть 48 карандашей в коробках, 6 в каждом. Сколько у нее коробок с карандашами?

А) Составление таблицы.

— О чем идет речь? Какой вопрос задачи?

— Прочитайте условие задачи и подумайте, как удобнее выполнить краткую запись.

— Что такое 48?

— 6?

— Какая ещё графа должна быть в таблице?

— Мы можем ответить на вопрос задачи?

— Почему?

— Как мы можем найти количество коробок?

— Заполните таблицу, решите задачу и запишите ответ в группе.

Кол-во карандашей в 1 коробке

Количество коробок

Кол-во карандашей во всех коробках

6

? 1) (:)

48

Б) Проверка решения.

1) 48:6 = 8(кор.)

Ответ: у Маши есть 8 коробок с карандашами.

— Группы меняются местами и проверяют решение (по экрану).

(Оценивание в листке Помощников Деда Мороза: задача решена – зеленый кружок, не решена – красный)

1 вариант:

0:16= 0       

16 *0= 0        

2 вариант

16*1= 16                  

16*0= 0

— О карандашах

— В таблице

— Кол-во всех карандашей

— Количество карандашей в 1 коробке

— Количество коробок

— Нет

— Нужно найти.

— Делением

7. Первичное закрепление.

Снежинка №6 Разноуровневые задания (самостоятельная работа по карточкам разного цвета)

Найди ошибки, исправь и запиши правильно в свою тетрадь.

Уровень А(на 3)

(красный)

1·15=1

83·0=83

(100-100)·0=100

6·(15-14)=6

Уровень В (на 4)

(желтый)

52·(48-47)=52

(60-60):(28+22)=50

(62+24)·1=1

(25-5)·(5-5)=5

Уровень С(на 5)

(зеленый)

(30- 3·10):5=5

32+0·57=32

87:(85+2) ·1=2

(82 — 82):3=3

Самооценивание по образцу на экране.

Доп.задача: («Проверь себя» (учебник, с. 84, 85). Проверка.

Ответы записываю на доске: с. 84 — 1, 8, 12; с. 85 — 0, 0, 0.)

Уровень А(на 3)

1·15=15

83·0=0

(100-100)·0=0

Уровень В (на 4)

(60-60):(28+22)= 0

(62+24)·1=86

(25-5)·(5-5)=0

Уровень С(на 5)

(30- 3·10):5=0

87:(85+2) ·1=1

(82 — 82):3=0

8. Информация о домашнем задании, инструктаж по его выполнению

1в. Стр.85 № 6 1), № 8 (1,2 уравнения)

2в.Стр.85 № 6 2), № 8 (3,4 уравнения)

Записывают домашнее задание

9. Рефлексия (подведение итогов занятия)

— Какую цель мы сегодня поставили?

— Достигли мы эту цель?

-Какие правила вы узнали сегодня на уроке?

-Какие правила повторили?

-Какие задания ещё вызывают у вас затруднения?

-За что вы можете себя похвалить?

Оцените свою работу на уроке в листе Помощников Деда Мороза.

Давайте нашу елочку украсим новыми снежинками.

*Доволен своей работой на уроке.

*Были отдельные моменты, когда я испытывал трудности.

*Не доволен, много не сумел сделать.

Ребята, мне очень понравилось с вами работать. Вы большие молодцы. Я вам желаю успехов. Спасибо за урок

Отвечают на вопросы

— 5-6 зеленые кружочки

-3-4 зеленые кружочки

— 0-2 зеленые кружочки

Урок 5. Опорное число при умножении чисел до 100

Наиболее популярной методикой умножения больших чисел в уме является прием использования, так называемого, опорного числа. В прошлом уроке, когда показывался способ умножения чисел до 20, по сути мы использовали опорное число 10.

Также стоит отметить, что подробнее вы можете ознакомиться с методикой использования опорного числа в книге «Считайте в уме как компьютер» Билла Хэндли.

Общие правила использования опорного числа

Опорное число полезно при перемножении чисел, находящихся близко и при возведении в квадрат. Как можно использовать метод опорного числа вы уже поняли из прошлого урока, теперь давайте обобщим все сказанное.

Опорное число при умножении – это число, к которому близко находятся оба множителя и на которое удобно умножать. При умножении чисел до 100 опорными числами удобно использовать все числа кратные 10, а особенно 10, 20, 50 и 100.

Методика использования опорного числа зависит от того, являются ли множители больше или меньше опорного числа. Тут возможны три случая. Покажем, все 3 методики на примерах.

Оба числа меньше опорного (под опорным)

Допустим, мы хотим умножить 48 на 47. Эти числа находятся достаточно близко к числу 50, а следовательно удобно использовать 50 в качестве опорного числа.

Чтобы умножить 48 на 47, используя опорное число 50, нужно:

47*48
  1. Из 47 вычесть столько, сколько не хватает 48 до 50, то есть 2. Получается 45 (или из 48 вычесть 3 – это всегда одно и то же)
  2. Дальше 45 умножаем на 50 = 2250
  3. Затем прибавляем 2*3 к этому результату и вуа ля – 2 256!

Схематично в уме удобно представлять приведенную ниже табличку.

50

(опорное число)

48

*

47

(48-3)*50 = 45*50 = 2 250

(или (47-2)*50  = 45*50 вспомните, что умножение на 5 – это тоже самое что деление на 2)

 

2

*

3

+6

Ответ:

 

 

 

2 250 + 6 = 2 256

Опорное число пишем слева от произведения. Если числа меньше опорного, то разница между ними и опорным пишется ниже этих чисел. Справа от 48*47 пишем расчет с опорным числом, справа от остатков 2 и 3 пишем их произведение.

Если использовать упрощенную схему, то решение выглядит так: 47*48=45*50 + 6= 2 256

Посмотрим другие примеры:

Умножить 18*19

20

(опорное число)

18

*

19

(18-1)*20 = 340

 

 

2

*

1

+2

Ответ:

 

 

 

342

Короткая запись: 18*19 = 20*17+2 = 342

Умножить 8*7

10

(опорное число)

8

*

7

(8-3)*10 = 50

 

 

2

*

3

+6

Ответ:

 

 

 

56

Короткая запись: 8*7 = 10*5+6 = 56

Умножить 98*95

100

(опорное число)

98

*

95

(95-2)*100 = 9300

 

 

2

*

5

+10

Ответ:

 

 

 

9310

Короткая запись: 98*95 = 100*93 + 10 = 9 310

Умножить 98*71

100

(опорное число)

98

*

71

(71-2)*100 = 6900

 

 

2

*

29

+58

Ответ:

 

 

 

6958

Короткая запись: 98*71 = 100*69 + 58 = 6 958

Оба числа больше опорного (над опорным)

Допустим, мы хотим умножить 54 на 53. Эти числа находятся достаточно близко к числу 50, а следовательно удобно использовать 50 в качестве опорного числа. Но в отличие от предыдущих примеров, эти числа больше опорного. По сути, модель их умножения не меняется, но теперь нужно не вычитать остатки, а прибавлять.

  1. К 54 прибавить столько, на сколько 53 превышает 50, то есть 3. Получается 57 (или к 53 прибавить 4 – это всегда одно и то же)
  2. Дальше 57 умножаем на 50 = 2 850 (умножение на 50 – схоже с делением на 2)
  3. Затем прибавляем 4*3 к этому результату. Ответ: 2862

 

4

*

3

+12

50

(опорное число)

54

*

53

(54+3)*50 = 2 850

или (53+4)*50  = 57*50 (вспомните, что умножение на 5 – это тоже самое что деление на 2)

Ответ:

 

 

 

2 862

Короткое решение выглядит так: 50*57+12 = 2 862

Для наглядности еще ниже приведены примеры:

Умножить 23*27

 

3

*

7

+21

20

(опорное число)

23

*

27

(23+7)*20 = 600

 

Ответ:

 

 

 

621

Короткая запись: Короткая запись: 23*27 = 20*30 + 21 = 621

Умножить 51*63

 

1

*

13

+13

50

(опорное число)

51

*

63

(63+1)*50 = 3 200

 

Ответ:

 

 

 

3 213

Короткая запись: Короткая запись: 51*63 = 64*50 + 13 = 3 213

Одно число под опорным, а другое над

Третий случай использования опорного числа – когда одно число больше опорного, а другое меньше. Такие примеры решаются не сложнее, чем предыдущие.

Умножить 45*52

Произведение 45*52 считается так:

  1. Из 52 вычитаем 5 или к 45 прибавляем 2. В любом обоих случая получается: 47
  2. Дальше 47 умножаем на 50 = 2 350 (умножение на 50 – схоже с делением на 2)
  3. Затем вычитаем (а не прибавляем, как раньше!) 2*5. Ответ: 2 340

 

 

 

2

 

50

(опорное число)

45

*

52

(45+2)*50 = 2 350

 

 

5

 

 

-10

Ответ:

 

 

 

2 340

Короткая запись: 45*52 = 47*50-10 = 2 340

Также поступаем с подобными примерами:

Умножить 91*103

 

 

 

3

 

100

(опорное число)

91

*

103

(91+3)*100 = 9400

 

 

9

 

 

-27

Ответ:

 

 

 

9 373

Только одно число близко к опорному, а другое нет

Как вы уже видели из примеров, опорным числом удобно пользоваться, если даже только одно число близко к опорному. Желательно, чтобы разница этого числа с опорным составляла не более 2-x или 3-х или была равна числу, на которое удобно умножать (например, 5, 10, 25 – см. второй урок)

Умножить 48*73

 

 

 

23

 

50

(опорное число)

48

*

73

(73-2)*50 = 3 550

 

 

2

 

 

-46

Ответ:

 

 

 

3 504

Короткое решение: 48*73 = 71*50 – 23*2 = 3 504

Умножить 23*69

 

3

 

49

147

20

(опорное число)

23

*

69

(3+69)*20 = 1440

 

Ответ:

 

 

 

1 587

Короткая запись: Короткое решение: 23*69 = 72*20 + 147 = 1 587 — чуть сложнее

Умножить 98*41

100

(опорное число)

98

*

41

(41-2)*100 = 3900

 

 

2

*

59

+118

Ответ:

 

 

 

4018

Короткая запись: Короткая запись: 98*41 = 100*39 + 118 = 4 018

Таким образом, с помощью использования одного опорного числа можно умножать большую комбинацию двузначных чисел. Если у вас получается хорошо умножать на 30, 40, 60, 70 или 80 – тогда, вы сможете с помощью этой методики умножать любые числа (до 100 и даже больше).

Использование нескольких опорных чисел

Методика умножения с использованием опорных чисел позволяет использовать и 2 опорных числа. Это удобно, когда опорное число одного множителя можно выразить через опорное число другого. Например, в произведении «23 * 88» удобно использовать опорное число 20 для 23 и 80 для 88. Умножение этих чисел с помощью двух опорных удобно, потому что 20=80:4.

Методика 2-х опорных чисел заключается в том, что мы сначала делим 88 на 4 и получаем 22, производим умножение 23 на 22 и произведение умножаем снова 4. То есть, мы сначала делим произведение на 4, а потом умножаем на 4. Получается: 23*22 = 250*2+6= 506, а 506*4 = 2024 – это и есть ответ!

Для визуализации можно использовать уже привычную схему. Произведение23*88 считается так:

  1. Записываем удобное опорное число «20» и рядом приписываем множитель 4, с помощью которого можно выразить 80 через 20.
  2. Дальше делаем, как и раньше, пишем, на сколько 23 превышает 20 (3), а 88 превышает 80 (8).
  3. Выше тройки пишем произведение 3 на 4 (то есть 3 на множитель опорного).
  4. К 88 прибавляем произведение 3 на 4 и умножаем на опорное (20), получается 100*20 = 2000
  5. Прибавляем к 2000 произведением 3-х и 8-и. Результат: 2024

 

3*4=12

 

 

 

 

3

*

8

+24

20*4

(опорное число)

23

*

88

(88+12)*20 = 2 000

 

Ответ:

 

 

 

2 024

Короткая запись: 23*88 = (88+3*4)*20 + 24 = 2024

Теперь давайте попробуем умножить 23*88, используя опорное число 100 для 88 и 25 для 23. В этом случае главным опорным числом является 100. А 25 можно записать, как 100:4=25

100:4

(опорное число)

23

*

88

(23-3)*100 = 2 000

 

 

2

 

12

+24

 

 

 

12:4=3

 

Ответ:

 

 

 

2 024

Короткая запись: 23*88 = (23-12:4)*100 + 24 = 2024

Как видим, ответ получается один и тот же.

Способ с использованием двух опорных чисел несколько сложнее, и требует дополнительных действий. Во-первых, вы должны понять, какие 2 опорных числа вам удобно использовать. Во-вторых, нужно совершить дополнительное действие, для поиска числа, которое нужно умножать на опорное.

Эту методику применяйте лучше тогда, когда вы уже достаточно хорошо усвоили умножение с одним опорным числом.

Тренировка

Если вы хотите прокачать свои умения по теме данного урока, можете использовать следующую игру. На получаемые вами баллы влияет правильность ваших ответов и затраченное на прохождение время. Обратите внимание, что числа каждый раз разные.

Перед тем как начать игру, рекомендуем зарегистрироваться, чтобы результат был сохранен в вашей истории, и вы смогли бы видеть собственный прогресс.

Евгений Буянов

Конспект урока по математике » Приемы умножение 1 и 0″ | План-конспект урока по математике (2 класс):

Муниципальное общеобразовательное бюджетное учреждение

средняя общеобразовательная школа д. Максимовка

муниципального района  Стерлитамакский район

Конспект урока  по математике

во 2 классе

«Приемы умножение единицы и нуля»

                                                Подготовила:

                                                                       Носова Лилия Венеровна

                                                                               учитель начальных классов

2019

Тема урока: Приемы умножение единицы и нуля

Тип урока: Открытие нового знания.

 

Цель: Познакомить учащихся со случаями умножения 0 и 1  

 Задачи:

 -формировать умения самостоятельно строить и применять новые знания,  

 

-развивать умение анализировать, обобщать; развивать внимание, логическое и

критическое мышление, память, воображение;

 

-воспитывать интерес к математике, коммуникативные навыки общения для возможности

раскрытия потенциала каждого ребёнка

 

УУД, формируемые на уроке:

 

— личностные:  

 

развитие способности адекватно оценивать себя и свои достижения установление

учащимися связи между целью учебной деятельности и её мотивом  

 

— коммуникативные:

 

умение полно и точно выражать свои мысли в соответствии с задачами и условиями

коммуникации  

 

— познавательные:  

 

умение ставить и формулировать проблему, создавать алгоритм деятельности при

решении проблем поискового характера

 

выбор наиболее эффективных способов решения задач в зависимости от конкретных

условий,  

 

умение использовать знаково-символические средства для создания моделей решения

учебно – познавательных задач, устанавливать причинно-следственные связи;

 

— регулятивные:  

обучение планированию, прогнозированию, контролю, коррекции и оценке своих

действий учащимися.

 

    Оборудование: Учебник «Школа России» Математика, презентация,ЭОР к уроку, раздаточные карточки для индивидуальной работы и работы в парах.                                   

Ход урока:

I. Организационный момент.

Доброе утро, ребята! 

Встало солнышко давно,

Заглянуло к нам в окно.

Нас оно торопит в класс

Математика у нас!

 II. Актуализация знаний и формулирование проблемы урока

1. Устный счет

1) Математическая разминка.

— В комнате четыре угла. В каждом углу сидит кошка. Напротив каждой кошки по три кошки. Сколько же кошек в комнате? (4)

— Объясните, докажите свой ответ?

— Как записать число 10 четырьмя различными цифрами, соединив их знаками действия? (1+2+3+4)

— Как число 10 можно записать пятью одинаковыми цифрами, соединив их знаками действия? (2+2+2+2+2)

2 Самоопределение к деятельности. Создание проблемной ситуации. Постановка учебной задачи.

Игра «Найди ответ».

Решите примеры, заменяя умножение действием сложением, и соедините их стрелочкой с ответом.

6 х 4

5 х 2

4 х 3

9 х 2

3 х 3

7 х 4

0 х 4

5 х 1

18

9

10

28

24

12

Что обозначает первое число в примере? (слагаемое)

-Что обозначает второе число? (это число показывает количество слагаемых)

(учащиеся соединяют стрелочкой пример с ответом)

— Какие примеры мы не решили? (0 х 4 и 5 х)

— А у вас возникло затруднение?

-Почему? (Затруднение возникло, потому что не умеем умножать 0 и на число 1).

— Какая учебная задача стоит перед нами?

III. Открытие «нового способа действия».

  1. Построение проекта выхода из затруднения

— Сформулируйте тему урока.

  (Умножение 0 и числа 1)

 – Какую цель ставим? (Научиться умножать 0 и число1)

-Что для этого нужно сделать? ( Составить план действий)

Ученики составляют и проговаривают план  действий с помощью учителя.


1) Сами попробуем найти способы умножения.
2) Сопоставим свои предположения с учебником.
3) Устраним затруднение.
4) Применим новое знание.

– Что нам поможет? (свой опыт, учебник страница 53, учитель)

  1. Реализация построенного проекта. Работа в группах.

– Сейчас мы будем работать по группам. Ученики делятся на группы, получают карточки:


Ученики действуют по плану: пробуют найти способы умножения 1 и 0 на число.

Проверка:

— Какой результат у вас получился при умножении 1 на число? (получилось тоже самое число)

— Какой вывод можно сделать? Чему равно произведение числа 1 на любое число ?

— Какой результат у вас получился при умножении 0 на число ? (0)

— Какой вывод можно сделать? Чему равно произведение нуля на любое число? (0)

Сделайте вывод, закончите предложения:

При умножении 1 на любое число получается ….

При умножении 0 на любое число получается ….

— Составьте буквенную модель решения примеров умножения 0 и числа 1, повторите вывод? (ответы учащихся)

На доске прикрепляются карточки: 1 x а = а 0 x а = 0

IV.  Включение нового знания в систему знаний. Первичное закрепление с комментированием

Фронтальная форма работы.

  1. Пользуясь буквенными равенствами на доске: 1 x а = а 0 x а = 0 ,

выполним № 3 на странице 53 учебника (учащиеся решают у доски с комментированием)

Примеры: 0 х 15 1 х 67 1 х (33 – 30) 40 — 39 + 18 27 х 0

(рассуждения учащихся по решению каждого примера; повторение правил умножения числа 1 и 0 на любое число)

— Какие знания вам пригодились для решения примеров? (При умножении 1 на любое число получается то же число. При умножении 0 на любое число получается 0 )

Физкультурная минутка 

  1. Поработали, ребятки!

А теперь – все на зарядку!

Влево, вправо повернитесь,

Наклонитесь, поднимитесь.

Руки вверх и руки вбок,

И на месте прыг да скок!

А теперь бежим вприпрыжку,

Молодцы вы, ребятишки!

Замедляем, дети, шаг

И на месте стой! Вот так!

А теперь мы сядем дружно,

Нам ещё работать нужно!

V. Контроль. Применение «нового знания».

1) Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону.

№ 4 на странице 53 учебника

Задание: поставьте знак > ,

1 х 38 * 1 +38 7 х 4 * 7+7+7

0 х41 *1+ 41 6 х 3 * 6+6+6

0 x 5 * 0 x 10 1 x 8 * 1 x 12

  1. Проверка по образцу.

— У кого всё правильно? Докажите почему надо поставить этот знак?

Исправление допущенных ошибок (у кого есть).

— Что помогло вам справиться с заданием? (применение знаний: при умножении 1 на любое число получается то же число. При умножении 0 на любое число получается 0)

VI. Рефлексия деятельности.

Чего мы не знали? (Не знали способа умножения числа 1 и 0)

— Какую учебную задачу перед собой ставили? (узнать какие числа получаются при умножении числа 1 и 0 )

Закончите предложения:

-Теперь мы знаем, при умножении 1 на любое число получается …… ( то же число). При умножении 0 на любое число получается ……( 0) .

— Где вам пригодятся эти знания? (при решении примеров, уравнений и задач)

— Сможете самостоятельно дома применить новое правило?

— Оцените свою работу на уроке по «Лестнице успеха»

Ученик помещает человечка (себя) на соответствующую ступеньку:

  1. уверен в своих знаниях по теме
  2. в основном уверен
  3. нужно ещё повторить
  4. нуждаюсь в помощи

VII. Домашнее задание.

— Для тех, кто допустил ошибки в выполнении самостоятельной работы, предлагаю сделать ПАМЯТКИ — умножение числа 1 и 0;

— по выбору № 5 или № 6

Умножение натуральных чисел / Натуральные числа и действия над ними / Справочник по математике 5-9 класс

  1. Главная
  2. Справочники
  3. Справочник по математике 5-9 класс
  4. Натуральные числа и действия над ними
  5. Умножение натуральных чисел

Определение

Умножение — одна из операций математики, предназначена для упрощения сложения одинаковых чисел.

Например: 4 + 4 + 4 = 4 · 3 = 12.

Умножение обозначают точкой «·» или крестиком «х».

Числа, которые умножаются, называют «множителями», результат умножения, называют «произведением»

Пример:   

Алгоритм умножения чисел

Разберем порядок умножения чисел на примере. Умножим число 25 на 16

1. Сначала записываем множители в столбик. 

Второй множитель записывается под первым множителем так, что разряды второго множителя находились под соответствующими разрядами первого множителя, т.е.  единицы второго множителя записываются под единицами первого, десятки под десятками и т.д. Снизу под записанными множителями проводится горизонтальная линия, а слева ставится знак умножения. 

2. Производим последовательное умножение.

Сначала число, обозначающее разряд единиц класса единиц второго множителя последовательно умножаем на все разряды первого множителя.

Умножим цифру 6 на 5, получаем 30 — 3 десятка 0 единиц. 0 запишем под единицами, 3 «запомним». После этого 6 умножаем на цифру десятков первого множителя на 2, получаем 12. Прибавим к 12 получившиеся в предыдущем действии десятки, т.е. 3, в результате получаем 15. Поскольку разрядов в первом множителе больше нет., запишем число 15 под десятками. Первое неполное произведение 150.

3. Найдем второе неполное произведение. Последовательно умножим десятки второго множителя — 1 на все разряды первого слагаемого. Сначала 1 умножим на 5, получаем 5, запишем полученное произведение под десятками. После этого 1 умножаем на 2, получим 2, записываем 2 впереди 5. Второе неполное произведение 25. Поскольку мы умножали десяток второго слагаемого на первое слагаемое, запись второго неполного произведения 25 будет находиться под разрядом десятков. Получается «смещение» числа влево. 

4. Последовательно сложим цифры полученных неполных произведений по правилам сложения.

Свойства умножения натуральных чисел.

1. Переместительное свойство умножения.

a · b = b · a 

От перемены мест множителей произведение не изменится.

12 · 4 = 4 · 12

12 · 4 = 48

4 · 12 = 48

2. Сочетательное свойство умножения.

a · (b · c) = (a · b) · c

Произведение не зависит от группировки сомножителей.

2 · (3 · 6) = (2 · 3) · 6

2 · (3 · 6) = 36

1) 3 · 6 = 18; 2) 18 · 2 = 36

(2 · 3) · 6 = 36

1) 2 · 3 = 6; 2) 6 · 6 = 36

3. Распределительное свойство умножения относительно сложения.

a · (b + c) = ab + ac

При умножении числа на сумму двух других чисел, можно данное число умножить на каждое из слагаемых, а полученные результаты сложить.

3 · (5 + 4) = 3 · 5 + 3 · 4

3 · (5 + 4) = 27

1) 5 + 4 = 9; 2) 9 · 3 = 27

3 · 5 + 3 · 4 = 27

1) 3 · 5 = 15; 2) 3 · 4 = 12; 3) 12 + 15 = 27

4. Распределительное свойство умножения относительно вычитания

a · (b — c) = ab — ac

При умножении числа на разность двух других чисел, можно данное число умножить на уменьшаемое и на вычитаемое, а полученные результаты вычесть.

6 · (7 — 5) = 6 · 7 — 6 · 5

6 · (7 — 5) = 12

1) 7 — 5 = 2; 2) 2 · 6 = 12

6 · 7 — 6 · 5 = 12

1) 6 · 7 = 42; 2) 6 · 5 = 30; 3) 42 — 30 = 12

5. Свойство умножения единицы на натуральное число

a · 1 = a

При умножении единицы на любое число, получим равное ему число.

1 · 76 = 76

6. Свойство умножения нуля на натуральное число

0 · a = 0

При умножении 0 на любое число, получим 0

0 · 123 = 0


Произведение всех натуральных чисел от 1 до называют факториал, записывают: , читают: «эн факториал». Следовательно, справедливо равенство:

= 123…

Пример:

3! = 123 = 6;

5! = 12345 =120.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Советуем посмотреть:

Понятие о натуральном числе

Сложение натуральных чисел

Вычитание натуральных чисел

Деление натуральных чисел

Порядок выполнения действий

Степень числа. Квадрат и куб числа

Меньше или больше

Меньше или больше на сколько? во сколько раз?

Формулы

Уравнения

Натуральные числа и действия над ними

Правило встречается в следующих упражнениях:

5 класс

Задание 566, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 603, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 628, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 818, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 837, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1162, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1515, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Номер 421, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 422, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 3, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

6 класс

Номер 111, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 112, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 165, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 175, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 177, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 191, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 203, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Задание 252, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 779, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 797, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник


© budu5. com, 2021

Пользовательское соглашение

Copyright

Использование свойств умножения и деления нуля

Результаты обучения
  • Определение свойств умножения и деления нуля

Используйте свойства нуля

Мы уже узнали, что ноль является аддитивным идентификатором, поскольку его можно добавить к любому числу, не меняя идентичности числа. Но у нуля также есть некоторые особые свойства, когда дело доходит до умножения и деления.

Умножение на ноль

Что происходит, когда вы умножаете число на [latex] 0? [/ Latex] Умножение на [latex] 0 [/ latex] делает произведение равным нулю.Произведение любого действительного числа и [латекс] 0 [/ латекс] равно [латекс] 0 [/ латекс].

Умножение на ноль

Для любого действительного числа [латекс] а [/ латекс],

[латекс] a \ cdot 0 = 0 [/ латекс]

Упражнения

Упростить:
1. [латекс] -8 \ cdot 0 [/ latex]
2. [латекс] \ frac {5} {12} \ cdot 0 [/ latex]
3. [латекс] 0 \ left (2.94 \ справа) [/ латекс]

Решение:

1.
[латекс] -8 \ cdot 0 [/ латекс]
Произведение любого действительного числа на 0 равно 0. [латекс] 0 [/ латекс]
2.
[латекс] \ frac {5} {12} \ cdot 0 [/ латекс]
Произведение любого действительного числа на 0 равно 0. [латекс] 0 [/ латекс]
3.
[латекс] 0 \ влево (2,94 \ вправо) [/ латекс]
Произведение любого действительного числа и 0 равно 0. [латекс] 0 [/ латекс]

Деление на ноль

Как насчет разделения с помощью [latex] 0? [/ Latex] Подумайте о реальном примере: если в банке для файлов cookie нет файлов cookie и три человека хотят ими поделиться, сколько файлов cookie получит каждый человек? Есть файлы cookie [latex] 0 [/ latex], поэтому каждый человек получает файлы cookie [latex] 0 [/ latex].

[latex] 0 \ div 3 = 0 [/ latex]
Помните, что мы всегда можем проверить деление с помощью соответствующего факта умножения. Итак, мы знаем, что

[латекс] 0 \ div 3 = 0 \ text {потому что} 0 \ cdot 3 = 0 [/ latex].

Дивизия Зеро

Для любого действительного числа [latex] a [/ latex], кроме [latex] 0, \ frac {0} {a} = 0 [/ latex] и [latex] 0 \ div a = 0 [/ latex].

Ноль, деленный на любое действительное число, кроме нуля, равно нулю.

Упражнения

Упростить:
1. [латекс] 0 \ div 5 [/ латекс]
2.[латекс] \ frac {0} {- 2} [/ latex]
3. [латекс] 0 \ div \ frac {7} {8} [/ latex]

Показать решение

Решение:

1.
[латекс] 0 \ div 5 [/ латекс]
Ноль, деленный на любое действительное число, кроме 0, равен нулю. [латекс] 0 [/ латекс]
2.
[латекс] \ frac {0} {- 2} [/ латекс]
Ноль, деленный на любое действительное число, кроме 0, равен нулю. [латекс] 0 [/ латекс]
3.
[латекс] 0 \ div \ frac {7} {8} [/ латекс]
Ноль, деленный на любое действительное число, кроме 0, равен нулю. [латекс] 0 [/ латекс]

Теперь давайте подумаем о делении числа на ноль. Каков результат деления [латекс] 4 [/ латекс] на [латекс] 0? [/ Латекс] Подумайте о соответствующем факте умножения. Есть ли число, умноженное на [latex] 0 [/ latex], дает [latex] 4? [/ Latex]

[latex] 4 \ div 0 = [/ latex] означает [latex] \ cdot 0 = 4 [/ latex]
Поскольку любое действительное число, умноженное на [latex] 0 [/ latex], равняется [latex] 0 [/ latex] , не существует действительного числа, которое можно умножить на [латекс] 0 [/ латекс], чтобы получить [латекс] 4 [/ латекс]. Мы можем сделать вывод, что ответа на [latex] 4 \ div 0 [/ latex] нет, и поэтому мы говорим, что деление на ноль не определено.

Дивизион по нулю

Для любого действительного числа [latex] a, \ frac {a} {0} [/ latex] и [latex] a \ div 0 [/ latex] не определены.

Деление на ноль не определено.

Упражнения

Упростить:
1. [латекс] 7,5 \ div 0 [/ latex]
2. [латекс] \ frac {-32} {0} [/ latex]
3. [латекс] \ frac {4} {9} \ div 0 [/ латекс]

Показать решение

Решение:

1.
[латекс] 7,5 \ div 0 [/ латекс]
Деление на ноль не определено. undefined
2.
[латекс] \ frac {-32} {0} [/ латекс]
Деление на ноль не определено. undefined

Что это такое и как его использовать

Число 0 давно ставит в тупик людей, изучающих математические понятия. Ноль — это число? Как мы его используем? Хотя все мы на каком-то уровне знаем, что ноль не означает ничего или ничего, это не всегда помогает нам использовать его в математических задачах. Ниже мы рассмотрим несколько основных функций нуля и способы решения уравнений, содержащих ноль, с использованием этих функций.

Что такое число 0?

Ноль — это число? Ноль или 0 — это число , а числовая цифра, используемая для представления числа 0 , широко используется в математике и может использоваться как отдельное число или как заполнитель в уравнениях.

История

Число 0 использовалось для обозначения идеи «ничто» со времен древнего шумерского общества, которое использовало его для обозначения отсутствия числа при написании чисел и уравнений.

Овальная форма , известная нам сегодня как 0, появилась в арабском языке в конце 700-х годов . Зеро не появлялся в европейском обществе до конца 12 века.

Современное использование

Ноль обычно используется в языке, чтобы выразить концепцию отсутствия нуля, и используется в математике как целое число. Число 0 в сегодняшней математике может быть непростым; зачем что-то рассчитывать, когда на самом деле ничего нет? Но ноль можно использовать в различных математических задачах, и важно знать, что делать с нулем, когда вы его видите.

Операции с 0

Хотя этот список функций, использующих ноль , не охватывает все функции математики , эти базовые арифметические инструкции с использованием нуля помогут вам решать задачи на тестах и, возможно, даже в реальном мире.

Дополнение

Закон сложения идентичности гласит, что любое число, добавленное к 0, равно самому себе .

Следовательно, вы можете сложить любое число и получить ту же сумму. Таким образом, вы можете добавить 0 к 1, 107 и 1 000 000 и все равно получить то же число, с которого вы начали.

Вычитание

Как и при сложении, если вы вычтете 0 из любого числа, вы получите ту же сумму. Например, 12-0 = 12.

.

Если вы вычитаете, вам может потребоваться заимствование для решения проблемы. Заимствование — это метод, используемый для вычитания чисел с более чем одной цифрой.

Вот пример заимствования (разберемся как форматировать):

1572-125 = х

В этой задаче вы не можете вычесть 5 из 2. Итак, вам нужно взять взаймы из 7.

70 — это 7 десятков. Итак, вы можете убрать десятку, и 7 превратится в 2; тогда 2 становится 12. Теперь вы должны вычесть 5 из 12.

12-5 это 7.

6-2 это 4.

5-1 равно 4.

1-0 (пустое место) — 1.

Следовательно, ответ 1447.

Итак, если 0 — это ничто, как мы можем заимствовать из него в задаче на вычитание? Ключ в том, чтобы заимствовать следующую цифру слева. Вы можете пойти как можно дальше влево.

Итак, если бы вы сделали 306-98, вы бы сначала одолжили из 3, чтобы сделать 0 равным 10. Затем вы можете заимствовать из 10, чтобы получить 6 из 16. Итак, ваша задача будет выглядеть так: 16-8 = 8.

9-9 = 0.

2-0 = 2.

Итак, ваш ответ — 208.

Не стесняйтесь заниматься математикой: добавит в вашу жизнь котят

Умножение

Умножение на 0 на самом деле является одной из самых простых функций 0. Когда вы умножаете на 0, ответ всегда будет 0.

12 × 0 = 0

255 × 0 = 0

1679 × 0 = 0

И знаете что? 123596395539 х 0 = 0

Дивизия

Число 0, разделенное на любое число, равно нулю. Подумайте об этом так: деление — это деление или деление вещей поровну, верно, ? Если у вас есть коробка с 8 кексами и 4 человека за вашим столом, вы разделите 8 на 4 и обнаружите, что каждый получает по два кекса. Но если у вас за столом 4 человека и коробка с 0 кексами, вам фактически нечего делить. Каждый получает 0 кексов.

К сожалению, деление числа на ноль не так очевидно логично. Любое число, деленное на ноль, считается неопределенным; если вы поместите его в калькулятор прямо сейчас, вы, вероятно, получите сообщение об ошибке.

При делении вы всегда можете дважды проверить свой ответ, умножив частное (ответ на задачу деления) на делимое . В нашей задаче о кексах это 2 x 4. Число должно быть равно нашему исходному делителю, 8.

Однако это помогает нам понять, почему мы не можем разделить число на 0. Поскольку мы знаем из наших правил умножения, что все, что умножается на 0, равно 0, изложенная выше концепция не работает, если 0 является дивиденд, потому что ответ всегда будет 0, даже если это не исходный делитель.

Если по какой-то причине вы столкнулись с 0 в качестве делимого в задаче, вы можете выразить его как 1, даже если технически ответ не определен .

Возведение в степень

Как и при делении, 0 в экспоненте считается неопределенным. Однако, решая проблемы, и вы сталкиваетесь с чем-то, что равно 0 в степени другого числа или числу в степени 0, помните правило степени 0

.

Правило 0-экспоненты гласит, что любое основание с нулевым или нулевым основанием равно 1.Итак, x¹ = 1.

Между тем, 0 в любой степени равняется 0. Таким образом, 0² = 0.

Нулевой факторный

Факториал — это математическое выражение, выражаемое с помощью! что равно числу, которое получается путем умножения всех чисел от 1 до заданного целого числа.

Итак, 2! означает, что мы умножаем все числа от 1 до 2. Это означает, что 2! = 2 × 1 = 2 и, следовательно, 2! = 24

6! означает, что мы умножаем все числа от 1 до 6. Итак, 6! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 = 720 и, следовательно, 6! = 720

Нулевой факториал, часто записывается как 0! Определяется как равный 1. В основном, поскольку факториал является выражением произведения всех целых чисел между заданными числами и 1, это единственный технически правильный ответ для 0! потому что единственное число от 0 до 1 — 1.

Использование числа ноль может быть непростым делом, но есть несколько правил, которые помогут вам правильно выполнять вычисления, когда используется ноль.Обязательно соблюдайте эти правила и помните, что ноль — не ваш враг. Если вы знаете, как работать с числом ноль, использовать его будет проще простого.

Что дальше?

Очарованы числом ноль? Узнайте, сколько нулей в миллиард и сколько нулей в гуголе и гуголплексе.

Нужна дополнительная помощь по математике? Узнайте, как преобразовывать десятичные дроби в дроби, складывать и вычитать дроби, а также о составных и рациональных числах. И не забудьте нашу удобную таблицу умножения.

Умножение и деление отрицательных чисел

Purplemath

Переходя от сложения и вычитания, как вы производите умножение и деление с отрицательными числами? Собственно, сложную часть мы уже рассмотрели: вы уже знаете правила «знака»:

плюс раз плюс плюс
(добавление большого количества горячих кубиков повышает температуру)

минус раз плюс минус
(удаление большого количества горячих кубиков снижает температуру)

плюс умножить на минус — минус
(добавление большого количества холодных кубиков снижает температуру)

минус умножить на минус равно плюс
(удаление большого количества холодных кубиков повышает температуру)

MathHelp.

com

Правила знаков действуют аналогично для деления; просто замените «раз» на «деленное на». Вот пример правил в разделе:

(Помните, что дроби — это просто еще одна форма деления! «Дроби — это деление»!)


Некоторым людям нравится думать об отрицательных числах в терминах долгов. Так, например, если вы должны 10 долларов шести людям, ваш общий долг составит 6 × 10 долларов = 60 долларов. В этом контексте имеет смысл получить отрицательный ответ. Но в каком контексте может иметь смысл деление отрицательного на отрицательное (и получение положительного)?

Подумайте о том, чтобы перекусить в кафе. Когда вы идете платить, у ребенка возникают проблемы с использованием вашей дебетовой карты. Он проводит по ней шесть раз, прежде чем, наконец, вернуть карту вам. Вернувшись домой, вы проверяете свой банковский счет в Интернете. По сумме можно сказать, что да, он действительно взимал с вас или более одного раза.Некоторая часть этого общего дебета (отрицательная на вашем счете) неверна.

Вы хотите подтвердить количество чрезмерных комиссий, прежде чем звонить в банк для исправления ситуации. Как в этом разобраться? Вы можете разделить всю сумму (скажем, 76,02 доллара США) на сумму, указанную в квитанции (скажем, 12,67 доллара США), которая является суммой одного платежа. Каждое списание является минусом на вашем счету, поэтому математика составляет:

.

(- 76,02 $) ÷ (- 12 $.67) = 6

Итак, всего действительно было шесть зарядов. Количество зарядов, 6, при подсчете количества событий, должно быть положительным. В этом реальном контексте деление минуса на минус и получение плюса имеет смысл. И теперь вы знаете, что нужно указать службе поддержки клиентов отменить ровно пять начислений.


Вы можете заметить, что люди отменяют знаки минуса.Они пользуются тем, что «минус, умноженный на минус, есть плюс». Например, предположим, что у вас есть (–2) (- 3) (- 4). Любые два отрицательных результата при умножении становятся одним положительным. Так что выберите любые два из перемноженных (или разделенных) отрицаний и «отмените» их знаки:

Начну с того, что уберу одну пару знаков «минус».Потом размножу как обычно.

(–2) (- 3) (- 4)

= (–2) (- 3) (–4)

= (+6) (–4)

= –24

Если вам дано длинное умножение с отрицательными числами, просто уберите знаки «минус» попарно:

Первое, что я сделаю, это подсчитаю знаки «минус». Один два три четыре пять шесть семь. Итак, есть три пары, которые я могу отменить, оставив одну. В результате мой окончательный ответ должен быть отрицательным. Если я получу положительный результат, я буду знать, что сделал что-то не так.

(–1) (- 2) (- 1) (- 3) (- 4) (- 2) (- 1)

= (–1) (- 2) (–1) (- 3) (- 4) (- 2) (- 1)

= (+1) (+ 2) (–1) (- 3) (- 4) (- 2) (- 1)

= (1) (2) (–1) (- 3) (–4) (- 2) (- 1)

= (1) (2) (+1) (+ 3) (–4) (- 2) (- 1)

= (1) (2) (1) (3) (–4) (- 2) (–1)

= (1) (2) (1) (3) (+4) (+ 2) (–1)

= (1) (2) (1) (3) (4) (2) (- 1)

= (2) (3) (4) (2) (- 1)

= 48 (–1)

= –48

Я получил отрицательный ответ и знаю, что мой знак правильный.

Вот еще один пример, показывающий тот же процесс отмены в контексте разделения:


Отрицательные скобки

Основная трудность, с которой люди сталкиваются с негативом, заключается в том, чтобы иметь дело со скобками; в частности, в переносе отрицания через круглые скобки. Обычная ситуация примерно такая:

Если бы у вас было «3 ( x + 4)», вы бы знали, что нужно «распределить» 3 «над» круглыми скобками:

3 ( x + 4) = 3 ( x ) + 3 (4) = 3 x + 12

Те же правила применяются, когда вы имеете дело с негативом.Если у вас проблемы с отслеживанием, используйте маленькие стрелки:

проведите по экрану , чтобы просмотреть изображение полностью →


Мне нужно взять 3 в круглые скобки:

3 ( x — 5) = 3 ( x ) + 3 (–5) = 3 x — 15

Здесь я возьму «минус» в скобках; Я буду распределять –2 на x и минус 3.

–2 ( x — 3) = –2 ( x ) — 2 (–3) = –2 x + 2 (+3) = –2 x + 6

Обратите внимание, как я внимательно следил за знаками в круглых скобках. «Минус» был сохранен рядом с цифрой 3 за счет использования еще одного набора круглых скобок. Не стесняйтесь использовать группирующие символы, чтобы ваш предполагаемый смысл был понятен как оценщику, так и вам самому.


Другая проблема, связанная с предыдущей, связана с вычитанием скобок. Вы можете отслеживать знак вычитания, преобразовывая вычитание в умножение на отрицательное значение:

Я начну с написания маленькой цифры «1» перед круглыми скобками. Затем я нарисую стрелки от этой единицы к терминам в круглых скобках, чтобы напомнить себе о том, что мне нужно сделать.

проведите по экрану , чтобы просмотреть изображение полностью →

Не бойтесь написать эту маленькую цифру «1» и нарисовать эти маленькие стрелки.Вы должны делать все, что вам нужно, чтобы ваша работа была прямой и постоянно получала правильный ответ.

  • Упростить 6 — (3
    x — 4 [1 — x ]).

Я буду работать изнутри, упрощая сначала символы внутренней группировки в соответствии с Порядком операций. Итак, первое, что я сделаю, это возьму –4 через скобки.Тогда я упрощу; Я продолжу, поставив 1 перед круглыми скобками и, чтобы помочь мне отслеживать тот -1, который я буду распространять, я нарисую маленькие стрелки.

проведите по экрану , чтобы просмотреть изображение полностью →


Филиал


  • Упростить
    1 / 3 ( x -2) / 3 .

Это непросто. Они заставляют меня вычесть дробь. Мне нужно объединить дроби, что означает объединение числителей. Чтобы не упустить из виду, что именно означает этот «минус» (а именно, что я вычитаю весь числитель второй дроби, а не только x ), я конвертирую минус с плюсом –1:

проведите по экрану , чтобы просмотреть изображение полностью →

Обратите внимание, что я преобразовал вычитание дроби в добавление отрицательного числа, умноженного на единицу дроби.Очень легко «потерять» минус, когда вы добавляете такие беспорядочные полиномиальные дроби. Самая частая ошибка — ставить минус на x и забывать отнести его к –2. Будьте особенно осторожны с дробями!

Для дополнительной практики со скобками попробуйте здесь.


URL: https://www. purplemath.com/modules/negative3.htm

Умножение целых чисел — ChiliMath

Правила умножения и деления целых чисел очень похожи.В этом уроке мы сосредоточимся на умножении целых чисел.

Правила умножения целых чисел

Шаг 1: Умножьте их абсолютные значения.

Шаг 2: Определите знак окончательного ответа (в данном случае он называется произведением, потому что мы умножаем), используя следующие условия.

  • Условие 1 : Если знаки двух чисел совпадают с , произведение всегда будет положительным числом .
  • Условие 2 : Если знаки двух чисел разных , произведение всегда будет отрицательным числом .

Примеры умножения целых чисел

Пример 1 : Умножьте указанные ниже целые числа.

Решение: сначала получите абсолютное значение каждого числа.

Затем умножьте или найдите произведение абсолютных значений.

Наконец, определите знак окончательного ответа.Правило гласит, что если знаки двух целых чисел различаются, то окончательный ответ будет отрицательным.


Пример 2 : Умножьте указанные ниже целые числа.

Решение: Умножьте абсолютные значения двух чисел.

Поскольку мы умножаем целые числа с одинаковым знаком, окончательный ответ (произведение) должен быть положительным.


Пример 3 : Найдите произведение трех целых чисел ниже.

Решение: Мы также можем умножить три или более целых числа.Нам просто нужно умножить два целых числа за раз. Позвольте мне заключить в скобки, какие два числа мы умножаем в первую очередь. Произведение + 3 и 8 равно 24. Оно отрицательное, потому что знаки разные. Затем умножьте 24 на 2, чтобы получить + 48. Помните, что произведение двух целых чисел с одинаковым знаком всегда положительно.


Практика с рабочими листами


Возможно, вас заинтересует:

Целочисленное сложение

Целочисленное вычитание

Целочисленное деление

Умножение отрицательного числа дает положительный результат

Когда мы умножаем:

Да, действительно, два отрицания дают положительный результат, и мы объясним, почему , почему , на примерах!

Знаки

Поговорим о знаках .

«+» — положительный знак, «-» — отрицательный.

Когда число имеет без знака , это обычно означает, что это положительное значение .

И мы можем поставить () вокруг чисел, чтобы избежать путаницы.

Пример: 3 × −2 можно записать как 3 × (−2)

Два знака: правила

«Два одинаковых знака образуют положительный знак,
два разных знака образуют отрицательный знак»

Пример: (−2) × (+5)

Знаки — и + (отрицательный знак и положительный знак), поэтому они в отличие от знаков (они отличаются друг от друга)

Таким образом, результат должен быть отрицательным :

(-2) × (+5) = -10

Пример: (−4) × (−3)

Знаки — и — (оба являются отрицательными знаками), поэтому они похожи на знаки (похожи друг на друга)

Итак, результат должен быть положительным :

(−4) × (−3) = +12

Почему умножение двух отрицательных чисел дает положительное?

Ну, сначала объяснение «здравого смысла»:

Когда я говорю «Ешь!» Я призываю вас поесть (позитив)

Но когда я говорю «Не ешь!» Я говорю об обратном (отрицательном).

Теперь, если я скажу: «Не ешь ли , а не !», Я говорю, что не хочу, чтобы ты умирал с голоду, поэтому я снова говорю: «Ешь!» (положительный).

Итак, два отрицания дают положительный результат, и если это вас устраивает, то вам больше не нужно читать.

Направление

Все дело в направлении. Помните числовую черту?

Итак, малыш Стивен делает свои первые шаги. Он делает 2 шага за раз и делает это три раза, поэтому он делает 2 шага x 3 = 6 шагов вперед:

Теперь Малыш Стивен тоже может отступить (он умный маленький парень).Его отец ставит его в исходное положение, а затем Стивен отступает на 2 шага и делает это три раза:

И снова папа Стивена ставит его на старт, но лицом в другую сторону. Стивен делает 2 шага вперед (для него!), Но движется в отрицательном направлении. Он делает это 3 раза:

Снова на старте (спасибо, папа!), Все еще глядя в отрицательном направлении, он пробует ходить назад, снова делая два шага за раз, и он делает это три раза:

Итак, идя назад, смотря в отрицательную сторону, он движется в положительном направлении.

Попробуйте сами! Попробуйте идти вперед и назад, затем снова, но лицом в другую сторону.

Другие примеры

Пример: деньги
Сэм дает вам три купюры по 10 долларов: +3 × +10 = вы получаете 30 долларов
Сэм дает вам три долга по 10 долларов: +3 × −10 = вы теряете 30 долларов
Сэм берет у вас три купюры по 10 долларов: −3 × +10 = вы теряете 30 долларов
Сэм берет у вас три долга по 10 долларов: −3 × −10 = вы получаете 30 долларов
Пример: видео бегущих людей

Люди бегут вперед, видео нормальное:

Все нормально, люди бегут вперед: +1 × +1 = +1


Люди бегут вперед, а видео назад :

Похоже, люди бегут задом наперед: +1 × −1 = −1


Люди бегут Назад , Нормальное видео:

Вы видите людей, бегущих назад: -1 × +1 = -1


Люди бегут назад , но видео назад :

Похоже, люди бегут вперед: -1 × -1 = +1

Пример: повышение / понижение уровня в резервуаре

В баке 30 000 литров, из которых ежедневно вывозится 1000 литров. Какое количество воды было в баке 3 дня назад ?

Мы знаем, что количество воды в резервуаре меняется на -1000 каждый день, и нам нужно вычесть это 3 раза (чтобы вернуться на назад на 3 дня ), поэтому изменение составит:

−3 × −1,000 = +3,000

Полный расчет:

30 000 + (-3 × -1 000) = 30 000 + 3 000 = 33 000

Итак, 3 дня назад в баке было 33 000 литров воды.

Таблица умножения

Вот с другой точки зрения .

Начните с таблицы умножения (достаточно до 4 × 4):

× 1 2 3 4
1 1 2 3 4
2 2 4 6 8
3 3 6 9 12
4 4 8 12 16

Теперь посмотрим, что произойдет, если мы перейдем к негативам !

Поехали назад через ноль:

× 1 2 3 4
-4 -4 -8 -12 -16
-3 -3 -6 -9 -12
-2-2 -4 -6 -8
-1 -1-2 -3 -4
0 0 0 0 0
1 1 2 3 4
2 2 4 6 8
3 3 6 9 12
4 4 8 12 16

Посмотрите на столбец «4»: это -16, -12, -8, -4, 0, 4, 8, 12, 16 . Каждый раз становясь на 4 больше.

Посмотрите еще раз на эту таблицу, убедитесь, что вам удобно, как она работает, потому что …

… теперь идем дальше влево , через ноль:

× -4 -3 -2–1 0 1 2 3 4
-4 16 12 8 4 0 -4 -8 -12 -16
-3 12 9 6 3 0 -3 -6 -9 -12
-2 8 6 4 2 0-2 -4 -6 -8
-1 4 3 2 1 0 -1-2 -3 -4
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 -4 -3-2 -1 0 1 2 3 4
2 -8 -6 -4-2 0 2 4 6 8
3 -12 -9 -6 -3 0 3 6 9 12
4 -16 -12 -8 -4 0 4 8 12 16

Тот же шаблон: мы можем следовать по строке (или столбцу), и значения меняются последовательно:

  • Следуйте за строкой «4»: это идет -16, -12, -8, -4, 0, 4, 8, 12, 16 . Каждый раз становясь на 4 больше.
  • Следуйте за строкой «-4»: это идет 16, 12, 8, 4, 0, -4, -8, -12, -16 . Каждый раз становится на 4 меньше.
  • и т.д …

Итак, все по аккуратной схеме!

Как насчет умножения 3 или более чисел вместе?

Умножьте два за раз и следуйте правилам.

Пример: Что такое (−2) × (−3) × (−4)?

Сначала умножьте (−2) × (−3). Два подобных знака означают положительный знак, поэтому:

(−2) × (−3) = +6

Далее умножаем +6 × (−4).Два непохожих знака образуют отрицательный знак, поэтому:

+6 × (−4) = −24

Результат: (−2) × (−3) × (−4) = −24

Калькулятор умножения

Добро пожаловать в калькулятор умножения Omni , где мы изучим одну из четырех основных арифметических операций: умножение . Короче говоря, мы используем его всякий раз, когда хотим добавить одно и то же число несколько раз. Например, 16 умножить на 7 (записано 16 * 7 ) — это то же самое, что добавить 16 семь раз или, что то же самое, добавить 7 шестнадцать раз. Для удобства наш инструмент работает также как калькулятор с умножением десятичных знаков . Более того, даже если у вас есть более двух чисел для умножения, вы все равно можете найти их произведение с помощью этого калькулятора.

Примечание : Если вы хотите увидеть пошаговые решения для умножения больших чисел, ознакомьтесь с калькулятором длинного умножения Omni.

Давайте не теряем ни секунды больше и посмотрим , как умножать числа !

Произведение или умножение: как умножать числа

Произведение и умножение — это одно и то же: они являются результатом умножения чисел (или других объектов, если на то пошло).К счастью, процесс очень прост: он сводится к добавлению значения подходящее количество раз. Например, 24 умножить на 5 означает, что мы добавляем 24 пять раз, то есть

24 * 5 = 24 + 24 + 24 + 24 + 24 = 120 .

Аналогично, 12 умножить на 20 преобразуется в сложение 12 двадцать раз:

12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 = 240 .

Однако обратите внимание, что мы всегда можем инвертировать процесс нахождения произведения с умножением. Другими словами, 24 , умноженное на 5 , также может означать двадцать четыре раза сложить 5 :

5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 120 ,

, и мы можем получить 12 умноженное на 20 , добавив 20 двенадцать раз:

20 + 20 + 20 + 20 + 20 + 20 + 20 + 20 + 20 + 20 + 20 + 20 = 240 .

Мы всегда выбираем, как умножать числа, так как результат в любом случае будет одинаковым . С математической точки зрения это означает, что произведение или умножение равно , а коммутативная операция . Обратите внимание, что то же самое верно и для сложения. С другой стороны, это не относится, скажем, к вычитанию.

Кроме того, наш калькулятор умножения работает только с числами , но математики выяснили, как умножать другие объекты. Ниже мы перечислим еще несколько калькуляторов умножения от Omni.

Однако не всегда имеет дело с целыми числами , такими как 2 , 18 или 2020 . Мы узнали, как их умножить и что, скажем, 16 умножить на 7 , но как найти произведение десятичных знаков? Например, сколько 0,2 умножить на 1,25 ? Наш калькулятор умножения также калькулятор умножения десятичных дробей ?

Да, конечно!

Умножение десятичных знаков

По сути, десятичных знака — это дроби .Таким образом, один из способов умножения десятичных дробей — это преобразовать их в обычные дроби, а затем использовать основное правило умножения числителя на числитель на знаменатель на знаменатель . Например,

0,2 * 1,25 = (2/10) * (125/100) = (2 * 125) / (10 * 100) = 250/1000 = 0,25 .

Конечно, мы могли бы также найти более простые дроби, эквивалентные двум, указанным перед умножением. В этом случае мы могли бы сказать, что 0,2 = 1/5 и 1,25 = 5/4 , поэтому

0.2 * 1,25 = (1/5) * (5/4) = (1 * 5) / (5 * 4) = 5/20 = 1/4 .

Оба ответа верны ; как умножать десятичные дроби — это всегда ваш выбор. Однако, кроме двух упомянутых, есть еще .

При умножении десятичных знаков, скажем, 0,2 и 1,25 , мы можем начать с , забывая точки . Это означает, что чтобы найти 0,2 * 1,25 , мы начнем с поиска 2 * 125 , что составляет 250 . Затем мы подсчитываем, сколько цифр справа от точек у нас было в общей сложности в числах, с которых мы начали (в данном случае их три: одна из 0.2 и два в 1,25 ). Затем мы записываем точку , которая представляет собой много цифр справа в том, что мы получили. Для нас это означает размещение точки слева от 2 , что дает 0,250 = 0,25 (мы пишем 0 , если у нас нет числа перед точкой).

В общем, мы видели , как умножать десятичные дроби тремя способами . Честно говоря, первые два были почти одинаковыми; просто промежуточные шаги были в другом порядке.Тем не менее, на этом мы завершаем часть о том, как умножать без калькулятора. Теперь подробно опишем, как это сделать с одним, а точнее с калькулятором умножения Omni.

Пример: использование калькулятора умножения

Давайте найдем 2020 умножить на 12 с помощью калькулятора умножения. Вверху нашего инструмента мы видим формулу:

результат = a₁ * a₂ .

Это означает, что для расчета 2020 * 12 нам нужно ввести:

a₁ = 2020 и a₂ = 12 .

В тот момент, когда мы даем второе число, , калькулятор умножения выдаст ответ в поле Result .

результат = 2020 * 12 = 24240

Однако предположим, что вы хотите еще умножить результат на 1,3 (помните, что наш инструмент также работает как калькулятор умножения десятичных знаков).

Мы могли бы просто очистить поля и записать ответ сверху в один из факторов, т.е., введите a₁ = 24240 и a₂ = 1,3 . В качестве альтернативы, мы можем просто выбрать много чисел под Умножить … , что позволяет нам найти произведение умножения на большее количество чисел . Если мы это сделаем, мы получим возможность ввести a₁ , a₂ , a и так далее до a (обратите внимание, что изначально есть только a и a₂ , но больше переменные появляются, когда вы начинаете заполнять поля). Затем достаточно ввести:

a₁ = 2020 , a₂ = 12 , a₃ = 1,3 ,

и прочтите ответ снизу:

результат = 2020 * 12 * 1,3 = 31512 .

Что ж, этот калькулятор умножения действительно экономит много времени. Можете ли вы представить, что напишет две тысячи двадцать умноженные на число 12 , как мы это сделали в первом разделе? Мы, например, этого не делаем.

Доказательство того, что число в нулевой степени равно единице

Вы здесь: Главная → Статьи → Доказательство нулевой степени

Почему (-3) 0 = 1? Как это доказано?

Как в уроке про минус и ноль экспоненты, вы можете посмотреть следующую последовательность и спросите, что логически будет дальше:

(-3) 4 = 81
(-3) 3 = -27
(-3) 2 = 9
(-3) 1 = -3
(-3) 0 = ????

Вы можете использовать тот же шаблон для других чисел. Как только ваш ребенок обнаружит, что правило этой последовательности состоит в том, что на каждом шаге вы делите на -3, следующим логическим шагом будет то, что (-3) 0 = 1.

Видео ниже демонстрирует ту же идею: обучение нулевой экспоненты, начиная с шаблона. Это оправдывает правило и делает его логичным, а не просто кусок «анонсированной» математики без доказательств. В видео также показана идея доказательства, объясненная ниже: мы можем умножить степени одного и того же основания и сделать вывод из этого, каким должно быть число в степени нуля.

Другая идея доказательства состоит в том, чтобы сначала обратить внимание на следующее правило умножения ( n — любое целое число):

n 3 · n 4 = ( n · n · n ) · (n · n · n · n) = n 7

n 6 · n 2 = ( n · n · n · n · n · n) · · · · · n · n) = n 8

Вы заметили ярлык? Для любых показателей целого числа x и y вы можете просто добавить показатели:

n x · n y = ( n · n · n ·… · n · n · n) · (n · … · n) = п х + у

Математика логична, и ее правила работают во всех случаях (теоремы применяются «для любого целого числа n » или «для всех целых чисел»). Итак, предположим, мы не знаем, что такое (-3) 0 . Что бы ни было (-3) 0 , если оно подчиняется вышеприведенному правилу, то

(-3) 7 · (-3) 0 = (-3) 7 + 0

Другими словами,

(-3) 7 · (-3) 0 = (-3) 7

(-3) 3 · (-3) 0 = (-3) 3 + 0

Другими словами,

(-3) 3 · (-3) 0 = (-3) 3

(-3) 15 · (-3) 0 = (-3) 15 + 0

Другими словами,

(-3) 15 · (-3) 0 = (-3) 15

…и так далее для всевозможных возможных показателей. Фактически, мы можем написать, что (-3) x · (-3) 0 = (-3) x , где x — любое целое число.

Поскольку мы предполагаем, что еще не знаем, что такое (-3) 0 , давайте заменим его P. Теперь посмотрим на уравнения, которые мы нашли выше. Зная то, что вы знаете о свойствах умножения, , что за число может быть P?

(-3) 7 · P = (-3) 7 (-3) 3 · P = (-3) 3 (-3) 15 · P = (-3) 15

Другими словами… какое единственное число, когда вы умножаете на него, ничего не меняется? 🙂



Вопрос. Какая разница между -1 в нулевой степени и (-1) в нулевая мощность? Будет ли ответ 1 для обоих?

Пример 1: -1 0 = ____
Пример 2: (-1) 0 = ___

Ответ: Как уже объяснялось, ответ на (-1) 0 равен 1, поскольку мы возводим число -1 (отрицательное 1) в степень нуля.Однако в случае -1 0 отрицательный знак не означает отрицательное число, а вместо этого означает напротив числа следующего за ним. Итак, сначала мы вычисляем 1 0 , а затем принимаем обратное, что дает -1.

Другой пример: в выражении — (- 3) 2 первый отрицательный знак означает, что вы принимаете противоположность остальной части выражения. Итак, поскольку (-3) 2 = 9, то — (- 3) 2 = -9.

Вопрос. Почему при нулевом показателе экспоненты возникает ошибка ?? Пожалуйста, объясните, почему его не существует. Другими словами, что такое 0 0 ?

Ответ: Степень от нуля до нуля часто называют «неопределенной формой», потому что она может иметь несколько различных значений.

Поскольку x 0 равно 1 для всех чисел x, кроме 0, было бы логично определить, что 0 0 = 1.

Но мы могли бы также подумать о 0 0 , имеющем значение 0, потому что ноль для любой степени (кроме нулевой степени) равен нулю.

Кроме того, логарифм 0 0 будет равен 0 · бесконечность, что само по себе является неопределенной формой. Так что законы логарифмов с этим не сработают.

Итак, из-за этих проблем степень от нуля до нуля обычно считается неопределенной.

Однако, если для получения некоторого значения необходимо определить степень от нуля до нуля, наиболее логичным определением ее значения является 1. Это может быть «удобно», если вам нужен какой-то результат для работы во всех случаях (например, биномиальная теорема).

См. Также Что такое 0 в степени 0? от доктораМатематика.

В чем разница между степенью и экспонентой?
Вартан

Показатель степени — это небольшое повышенное число. «Степень» — это все: базовое число, возведенное в некоторый показатель степени — или значение (ответ), которое вы получите, если вычислите число, возведенное в некоторый показатель степени. Например, 8 — это степень (2), поскольку 2 3 = 8.

Степень с целым показателем (8 класс)

.

N-ой степенью числа \(a\) – называют выражение вида \(a^n\), значение которого равно произведению \(n\) множителей, каждый из которых равен \(a\). 1=2\)

 

Готов ответ.

Ответ: \(2\)

Почему при умножении на 0 получается 0

История возникновения

Ноль означает ничто, пустоту. Он используется для обозначения пустых разрядов чисел в позиционной системе счисления, а также в десятичных дробях до и после запятой. Вокруг этой цифры всегда велось много споров. Использовать ноль начали еще в древности, о чем свидетельствуют трактаты вавилонян и надписи майя.

Но повсеместно применять в вычислениях его начали лишь спустя несколько тысячелетий. Это произошло в Индии. Нулю там придавали не только математический, но и философский смысл. Он означает отсутствие всего, а его форма соответствовала кругу жизни.

Индусы использовали 0 как любое другое число. Его складывали, вычитали, на него умножали. С делением на 0 возникла проблема, но благодаря ей в дальнейшем возникла другая область математики — математический анализ. Идею использования нуля подхватили исламские ученые на Ближнем Востоке и внесли его в арабскую систему счисления.

В Европе до Крестовых походов применялась Римская система счисления. Это непозиционная система, и ноль в ней отсутствует. Делать расчеты в ней очень тяжело. Для вычислений использовали специальные разграфленные таблицы — абаки. Расчеты с их применением производились часами, в то время как сегодня любой школьник сможет легко получить результат, например, перемножая или складывая числа в столбик.

Во времена первых Крестовых походов арабские цифры вместе с нолем и позиционной системой счисления пришли в Европу. К этим новшествам сначала отнеслись с большим недоверием. Во Флоренции даже был издан закон о запрещении использования арабских цифр вместе с нулем.

Считалось, что они поощряют мошенничество: 0 легко переделать на цифру 9 или приписать в конце счета, чтобы величина долга возросла многократно. Лишь в XV веке, когда началось развитие в сфере математики и механики, люди оценили преимущество нуля и арабских цифр и стали использовать их повсеместно.

Сложение, умножение, степень

В математике используется несколько действий. Они следующие:

  • сложение;
  • вычитание;
  • умножение;
  • деление;
  • возведение в степень.

Сложение с нулем обычно вопросов не вызывает. Если к любому числу добавить 0, это значит, что к нему не прибавилось ничего. Слагаемое каким было, таким и осталось, сколько раз ноль ни прибавляй. То же самое будет, если отнять ноль.

Операция умножения гораздо менее очевидна. Не все понимают, почему при умножении на ноль получается ноль. Это объясняется особенностями операции умножения. Изначально ее определяли как число, прибавленное к самому себе определенное количество раз, что справедливо для натуральных чисел. Так, 5 х 3 = 15. Этот пример можно заменить следующим выражением: 5 + 5 + 5 = 15. То есть число 5 было взято 3 раза. Согласно этому правилу, умножение на 0 числа 5 дает нулевой результат, и 5 х 0 = 0.

Чтобы было нагляднее, можно привести следующий пример:

  • если мальчик съел 2 раза по 2 яблока, то окажется, что он позавтракал 4 яблоками;
  • если он съел 3 раза по 2 яблока, то в результате получится 6 яблок;
  • если же он съел 0 раз по 2 яблока, то ответ будет 0.

Иногда юные скептики выдвигают следующее возражение: допустим, у мальчика в руке 2 яблока. Если он не съел их, то яблоки не пропадут, они так и останутся в него в руке. Почему же тогда результат равен нулю? Действительно, яблоки из руки никуда не денутся. Но в примере учитываются лишь те из них, которые были съедены, проще говоря, оказались в желудке у мальчика. В последнем случае они туда не попали.

Правило умножения на ноль в математике действительно для любых чисел:

  • положительных;
  • отрицательных;
  • целых;
  • дробей;
  • разрядных;
  • рациональных;
  • иррациональных;
  • 0 можно умножать на 0.

В любом случае произведение будет нулевым. С нулем можно производить следующие действия:

  1. Если его разделить на любое ненулевое число, то в результате получится ноль. Правило действительно для положительных и отрицательных чисел.
  2. Любое число, не равное нулю, можно возвести в нулевую степень, в результате получится 1. Ноль в нулевую степень возводить нельзя, это бессмысленно.
  3. Нуль можно возвести в любую ненулевую степень, получится нуль. Пример: 0 2 = 0. Это выражение можно заменить следующим: 0 х 0 =0. Результат будет нулевым согласно правилам умножения.
  4. Корень из нуля равен нулю.

Деление на ноль

Математики говорят, что четыре арифметических действия: сложение, вычитание, умножение и деление неравноправны. Базовыми считаются первое и третье из них (сложение и умножение), а деление и вычитание — производными.

Например, разность между 5 и 2 равна 3. Это действие также можно записать в виде следующего выражения: Х + 2 = 5. Решением уравнения будет число 3. Аналогичное правило действует и для умножения. Деление 6 на 3 можно записать так: Х * 2 = 3.

Для действий с нулем можно использовать следующий прием. Выражение записывают так: Х * 0 = 0. Здесь X может быть равен любому числу. Из этого следует, что невозможно найти число, умножение которого на 0 давало бы произведение, отличное от 0.

Если попытаться найти результат от деления ненулевого числа (например, 5) на ноль, то это действие можно записать так: Х * 0 = 5. Так, при умножении любого числа на ноль получается ноль, у этого уравнения в арифметике нет решения.

Раскрытие неопределенностей

Действиями, связанными с делением на 0, занимается один из разделов высшей математики — математический анализ. В нем используется такое понятие, как бесконечность (бесконечно большая величина). Одно из ее определений — это предел, к которому стремится выражение а/Х при Х, стремящемся к нулю. Здесь а — любое ненулевое действительное число. Если в этом выражении уменьшать значение X, то результат будет увеличиваться, пока, в конце концов, не подойдет к бесконечности. С этой величиной можно делать различные математические действия:

  • прибавлять любые числа;
  • вычитать числа, не равные бесконечности;
  • умножать на значения, не равные 0 и бесконечности;
  • возводить в степень, не равную 0.

В результате получится бесконечность. Следующие выражения дают в результате полную неопределенность:

  • бесконечность минус бесконечность;
  • бесконечность умножить на 0;
  • бесконечность разделить на бесконечность;
  • ноль разделить на ноль;
  • ноль умножить на бесконечность;
  • ноль в нулевой степени;
  • бесконечность в степени ноль;
  • единица в степени бесконечность.

Задачи с неопределенностями возникают при вычислении пределов функций, которые заданы формулами, дающими подобные выражения при подстановке предельных значений аргумента. Математики говорят, что результатом таких уравнений будет бесконечное множество чисел. Обычно для их решения используют различные схемы и алгоритмы. Это называется раскрытием неопределенности.

Над нулем можно проделывать все арифметические операции. Единственное ограничение — он не может быть делителем для любого действительного числа. Результатом деления ненулевого числа на ноль в высшей математике считается бесконечность, а деление нуля на ноль дает неопределенность. В арифметике подобные действия считаются невозможными и бессмысленными.

Впервые с таким арифметическим действием, как умножение, ученики знакомятся на школьной скамье. Учитель математики среди многочисленных правил поднимает тему «умножение на ноль». Несмотря на однозначность формулировки, у учащихся возникает множество вопросов. Давайте рассмотрим, что будет, если умножить на 0.

По две стороны спора

Правило, согласно которому умножать на ноль нельзя, порождает массу споров между преподавателями и их учащимися. Важно понимать, что умножение на ноль является спорным аспектом ввиду своей неоднозначности.

В первую очередь акцентируется внимание на отсутствии достаточного уровня знаний у учеников средней общеобразовательной школы. Переступая порог учебного заведения, участник образовательного процесса в большинстве случаев не задумывается о главной цели, которую необходимо преследовать.

Это интересно! Как раскрыть модуль действительного числа и что это такое

В течение обучения преподаватель освещает различные вопросы. В их число входит ситуация, что получится, если умножать на 0. Стремясь предвосхитить повествование преподавателя, некоторые ученики вступают в полемику. Они доказывают, по крайней мере, стараются, что умножение на 0 допустимо. Но, к сожалению, это не так. При умножении на 0 любого числа получается ровным счетом ничего. В некоторых литературных источниках даже встречается упоминание, что любое число, умноженное на ноль, образует пустоту.

Важно! Внимательные слушатели аудитории сразу схватывают, что если число умножить на 0, то в результате получится 0. Иное развитие событий прослеживается в случае тех учеников, кто систематически пропускает занятия. Невнимательные или недобросовестные учащиеся чаще остальных задумываются, сколько будет, если умножать на ноль.

В результате отсутствия знаний по теме преподаватель и нерадивый ученик оказываются по противоположные стороны противоречивой ситуации.

Различие во взглядах на тему спора заключается в степени образованности на предмет того, можно умножать на 0 или все-таки нет. Единственный допустимый выход из сложившейся ситуации – попытаться воззвать к логическому мышлению для поиска верного ответа.

Для объяснения правила не рекомендуется использовать следующий пример. У Вани в сумке лежат 2 яблока на перекус. В обед он задумался о том, чтобы положить в портфель еще сколько-нибудь яблок. Но в тот момент рядом не оказалось ни одного фрукта. Ваня не положил ничего. Иными словами, к 2 яблокам он поместил 0 яблок.

Это интересно! Считаем правильно: как находить процент от суммы и числа

В плане арифметики в данном примере получается, что если 2 умножить на 0, то не получается пустоты. Ответ в этом случае однозначный. Для этого примера правило умножения на ноль не актуально. Верное решение заключается в суммировании. Именно поэтому правильный ответ заключается в 2 яблоках.

В противном случае учителю не остается ничего иного, кроме как составить ряд заданий. Последняя мера – повторно задать прохождение темы и провести опрос на исключения в умножении.

Суть действия

Изучение алгоритма действий при умножении на ноль целесообразно начинать с обозначения сути арифметического действия.

Сущность действия умножить изначально определялась исключительно для натурального числа. Если раскрывать механизм действия, то определенное число, участвующее в вычислении, прибавляется к самому себе.

При этом важно учитывать количество прибавлений. В зависимости от данного критерия получается различный результат. Прибавление числа относительно самого себя определяет такое его свойство, ка натуральность.

Это интересно! Как разложить на множители квадратный трехчлен: формула

Рассмотрим на примере. Необходимо число 15 умножить на 3. При умножении на 3 число 15 троекратно увеличивается в своей величине. Иными словами, действие выглядит как 15 * 3 = 15 + 15 + 15 = 45. Основываясь на механизме расчета, становится очевидным, если число умножить на другое натуральное число, возникает подобие сложения в упрощенном виде.

Алгоритм действий при умножении на 0 целесообразно начинать с предоставления характеристики на ноль.

Обратите внимание! Согласно общепринятому мнению ноль обозначает целое ничто. Для пустоты подобного рода в арифметике предусмотрено обозначение. Несмотря на данный факт, нулевое значение не несет под собой ничего.

Следует отметить, что подобное мнение в современном мировом научном обществе отличается от точки зрения древних восточных ученых. Согласно теории, которой они придерживались, ноль приравнивался к бесконечности.

Иными словами, если умножить на ноль, то получится многообразие вариантов. В нулевом значении ученые рассматривали некое подобие глубины мироздания.

В качестве подтверждения возможности умножить на 0 математики приводили следующий факт. Если рядом с любым натуральным числом поставить 0, то получится значение, превышающее исходное в десятки раз.

Приведенный пример является одним из аргументов. Кроме доказательства подобного рода, существует множество других примеров. Именно они лежат в основе непрекращающихся споров при умножении на пустоту.

Это интересно! Как найти и чему будет равна длина окружности

Целесообразность попыток

Среди учеников довольно часто на первых порах освоения учебного материала встречаются попытки число умножить на 0. Подобное действие является грубейшей ошибкой.

По существу от таких попыток ничего не произойдет, но и пользы не будет. Если произвести умножение на нулевое значение, то получится в дневнике неудовлетворительная отметка.

Единственная мысль, которая должна возникать при умножении на пустоту, – невозможность действия. Запоминание в данном случае играет немаловажную роль. Выучив правило раз и навсегда, учащийся предотвращает появление спорных ситуаций.

В качестве примера, применяемого при умножении на нулевое значение, разрешается использовать следующую ситуацию. Саша решила купить яблоки. Пока она была в супермаркете, она остановила выбор на 5 крупных спелых яблоках. Сходив в отдел молочной продукции, она посчитала, что этого ей будет недостаточно. Девочка положила к себе в корзину еще 5 штук.

Поразмыслив еще чуть-чуть, она взяла еще 5. В результате на кассе у Саши получилось: 5 * 3 = 5 + 5 + 5 = 15 яблок. Если бы она положила по 5 яблок только 2 раза, то было бы 5 * 2 = 5 + 5 = 10. В том случае, если бы Саша не положила в корзинку ни разу по 5 яблок, было бы 5 * 0 = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0. Иными словами, купить яблоки 0 раз значит не купить ни одного.

Полезное видео

Подведем итоги

Правило умножения на нулевое значение порождает множество споров. Для понимания его сути достаточно рассмотреть пару примеров. Только запоминание формулировки позволит уяснить, можно умножать на 0 или нет.

Ещё в школе учителя нам всем старались вбить в голову простейшее правило: «Любое число, умноженное на ноль, равняется нулю!», — но всё равно вокруг него постоянно возникает куча споров. Кто-то просто запомнил правило и не забивает себе голову вопросом «почему?». «Нельзя и всё тут, потому что в школе так сказали, правило есть правило!» Кто-то может исписать полтетради формулами, доказывая это правило или, наоборот, его нелогичность.

Кто в итоге прав

Во время этих споров оба человека, имеющие противоположные точки зрения, смотрят друг на друга, как на барана, и доказывают всеми силами свою правоту. Хотя, если посмотреть на них со стороны, то можно увидеть не одного, а двух баранов, упирающихся друг в друга рогами. Различие между ними лишь в том, что один чуть менее образован, чем второй.

Чаще всего, те, кто считают это правило неверным, стараются призвать к логике вот таким способом:

У меня на столе лежит два яблока, если я положу к ним ноль яблок, то есть не положу ни одного, то от этого мои два яблока не исчезнут! Правило нелогично!

Действительно, яблоки никуда не исчезнут, но не из-за того, что правило нелогично, а потому что здесь использовано немного другое уравнение: 2+0 = 2. Так что такое умозаключение отбросим сразу — оно нелогично, хоть и имеет обратную цель — призвать к логике.

Это интересно: Как найти разность чисел в математике?

Что такое умножение

Изначально правило умножения было определено только для натуральных чисел: умножение — это число, прибавленное к самому себе определённое количество раз, что подразумевает натуральность числа. Таким образом, любое число с умножением можно свести вот к такому уравнению:

  1. 25×3 = 75
  2. 25 + 25 + 25 = 75
  3. 25×3 = 25 + 25 + 25

Из этого уравнения следует вывод, что умножение — это упрощённое сложение.

Что такое ноль

Любой человек с самого детства знает: ноль — это пустота, Несмотря на то, что эта пустота имеет обозначение, она не несёт за собой вообще ничего. Древние восточные учёные считали иначе — они подходили к вопросу философски и проводили некие параллели между пустотой и бесконечностью и видели глубокий смысл в этом числе. Ведь ноль, имеющий значение пустоты, встав рядом с любым натуральным числом, умножает его в десять раз. Отсюда и все споры по поводу умножения — это число несёт в себе столько противоречивости, что становится сложно не запутаться. Кроме того, ноль постоянно используется для определения пустых разрядов в десятичных дробях, это делается и до, и после запятой.

Можно ли умножать на пустоту

Умножать на ноль можно, но бесполезно, потому что, как ни крути, но даже при умножении отрицательных чисел всё равно будет получаться ноль. Достаточно просто запомнить это простейшее правило и никогда больше не задаваться этим вопросом. На самом деле всё проще, чем кажется на первый взгляд. Нет никаких скрытых смыслов и тайн, как считали древние учёные. Ниже будет приведено самое логичное объяснение, что это умножение бесполезно, ведь при умножении числа на него всё равно будет получаться одно и то же — ноль.

Возвращаясь в самое начало, к доводу по поводу двух яблок, 2 умножить на 0 выглядит вот так:

  • Если съесть по два яблока пять раз, то съедено 2×5 = 2+2+2+2+2 = 10 яблок
  • Если их съесть по два трижды, то съедено 2×3 = 2+2+2 = 6 яблок
  • Если съесть по два яблока ноль раз, то не будет съедено ничего — 2×0 = 0×2 = 0+0 = 0

Ведь съесть яблоко 0 раз — это означает не съесть ни одного. Это будет понятно даже самому маленькому ребёнку. Как ни крути — выйдет 0, двойку или тройку можно заменить абсолютно любым числом и выйдет абсолютно то же самое. А если проще говоря, то ноль — это ничего, а когда у вас ничего нет, то сколько ни умножай — всё равно будет ноль. Волшебства не бывает, и из ничего не получится яблоко, даже при умножении 0 на миллион. Это самое простое, понятное и логичное объяснение правила умножения на ноль. Человеку, далёкому от всех формул и математики будет достаточно такого объяснения, для того чтобы диссонанс в голове рассосался, и всё встало на свои места.

Деление

Из всего вышеперечисленного вытекает и другое важное правило:

На ноль делить нельзя!

Это правило нам тоже с самого детства упорно вбивают в голову. Мы просто знаем, что нельзя и всё, не забивая себе голову лишней информацией. Если вам неожиданно зададут вопрос, по какой причине запрещено делить на ноль, то большинство растеряется и не сможет внятно ответить на простейший вопрос из школьной программы, потому что вокруг этого правила не ходит столько споров и противоречий.

Все просто зазубрили правило и не делят на ноль, не подозревая, что ответ кроется на поверхности. Сложение, умножение, деление и вычитание — неравноправны, полноценны из перечисленного только умножение и сложение, а все остальные манипуляции с числами строятся из них. То есть запись 10: 2 является сокращением уравнения 2 * х = 10. Значит, запись 10: 0 такое же сокращение от 0 * х = 10. Получается, что деление на ноль — это задание найти число, умножая которое на 0, получится 10. А мы уже разобрались, что такого числа не существует, значит, у этого уравнения нет решения, и оно будет априори неверным.

Чтобы не делил на 0!

Режь 1 как хочешь, вдоль,

Только не дели на 0!

Отзывы и комментарии

«Если съесть по два яблока ноль раз, то не будет съедено ничего — 2×0 = 0×2 = 0+0 = 0 Ведь съесть яблоко 0 раз — это означает не съесть ни одного. Это будет понятно даже самому маленькому ребёнку. »

Следуя вышеприведенной логике предлагаю автору и всем желающим провести эксперимент.Взять 2 (два) яблока в руку или обе руки(как удобно) и съесть их 0 (ноль) раз,т.е. не съесть вообще.А теперь посмотрите сколько яблок у вас останется на руках-2 (два). Следовательно експеримент подтвердит,что 2:0=2. Как же так? Кто нам врёт?

Первое число означает количество яблок у нас на текущий момент. Второе, сколько еще взяли яблок по этому количеству. Так как два яблока нам мало. 2 x 5 = 2+2+2+2+2=10 У нас было два яблока, взяли из корзины еще два яблока четыре раза. У нас десять яблок. 2 x 2 = 2+2=4 У нас было два яблока, взяли из корзины еще два яблока. У нас четыре яблока. 2 x 1 = 2=2 У нас было два яблока, из корзины не стали брать яблоки. У нас так и осталось два яблока. 2 x 0 = 2=2 У нас было два яблока, взяли из корзины ноль яблок (равносильно тому, что мы не взяли яблоки только заменили «не взяли» на краткую запись «0»). У нас осталось два яблока. Из видео следует, что ребёнок взял две бусинки, они у него есть. Ему говорят, увеличь на ничего. Ребёнок имея две бусинки, сказал, что он ничего с ними не сделал и потому у него так и осталось две бусинки. В матрице надо первую колонку подписать нулём, а не единицей. Так как первая означает, что мы уже что-то имеем в наличии. А вот если в первой колонке не будет бусинок, то умножая их на количество, получим ничего, так как изначально не имели бусинок вообще. Вот и получается, что имея что-то, мы просто это имеем у себя и можем увеличить или уменьшить, а если у себя мы ничего не имеем, то и оперировать не с чем.

Про деление. Возьмём безразмерное число равное 1 одному. 1 / 2 = 0.5 то есть, у нас было яблоко и мы его резанули пополам, получили две части по половинке от целого, отдали другу половинку и в итоге мы имеем 0,5 одна половинка. 1 / 0,1 = 10 то есть, 10 частей размером 0,1 от целого яблока. Раздали части всем и оставили себе одну часть, имеем 0,1 кусок от яблока. 1 / 0,001 = 1000 Было яблоко, мы его разделили на 1000 человек, каждому досталось по одной тысячной от яблока. 1 / 0,000001 = 1000000 разделили на миллион частей. 1 / 0 = 1 Было яблоко и осталось целым яблоком то есть 1. Деление на ничего как и умножение на ничего даёт то, что мы имеем изначально. Но если попробовать так 1 / 0,1e9999 = 1.e-9998 то есть 0 запятая 9998 нулей единица. Следовательно если делить на число стремящееся к нулю или почти бесконечное число нулей перед единицей (после запятой естественно) то мы получим число кусков яблок стремящееся к бесконечности. Следовательно. 1 / 0 = ∞. Математика так не работает и потому придумали правила которые противоречат стандартной логике физических яблок. Иначе при оперировании цифрами, можно получить не разрешимое состояние. Проще сказать, что оперировать нулём как цифрой нельзя (нет смысла). Но ноль можно использовать как указатель разрядности.

Часть B: Экспоненты и логарифмы (35 минут)

Задача B1
Один из способов выполнить это деление — использовать правило, согласно которому x a x b = x a – b . Здесь это означает, что x 3 разделить на x 3 равно x 0 . Другой способ сделать это — признать, что мы делим число само на себя и что любое ненулевое число, деленное само на себя, равно 1:

Поскольку ответы должны быть одинаковыми, это означает, что x 0 = 1 для любого значения x, кроме 0.

Задача B2
Один из способов выполнить это деление — использовать правило, согласно которому x a x b = x a – b . Здесь это означает, что x 3 разделить на x 4 равно x -1 . Другой способ сделать это — записать числитель и знаменатель:

Если x не равно 0, мы можем трижды вычеркнуть x из числителя и знаменателя, чтобы оставить 1/x в качестве окончательного ответа. Поскольку ответы должны быть одинаковыми, это означает, что x -1 = 1/x для любого значения x, кроме 0 (1/x не определено для x = 0). Следовательно, в любой задаче на деление с отрицательным показателем степени мы должны ограничить основание ненулевым числом.

Проблема B3
а. Если x 1/2 подчиняется тем же правилам, что и x m для целого числа m, то x 1/2 , умноженное на x 1/2 , должно быть x. Это означает, что x 1/2 — это число, которое мы умножаем само на себя, чтобы получить x. Это определение квадратного корня, поэтому x 1/2 представляет собой квадратный корень из x.
б. Точно так же x 1/3 нужно трижды умножить на себя, чтобы получить x, поэтому это кубический корень из x.

в. Если x положительное число больше 1, то x 1/2 будет больше, чем x 1/3 . Один из способов подумать об этом — посмотреть на x 1/6 , корень шестой степени из x. Поскольку x больше 1, x 1/6 также больше 1. Если бы x 1/6 было положительным, но меньше 1, умножение его само на себя дало бы меньшее число. С х 1/6 больше 1, умножение его само на себя дает каждый раз большее число.

Если умножить x 1/6 само на себя или x 1/6 , вы получите x 2/6 или x 1/3 . Между тем, x 1/6 , умноженное само на себя трижды, дает x 3/6 или x 1/2 . Следовательно, x 1/2 должно быть больше, чем x 1/3 , если x положительное число больше 1:

Следовательно, мы знаем, что x 0 < х 1/6 < х 1/3 < х 1/2 < х 2/3 < х 1 .

(Точки на линии выше нарисованы не в масштабе.)

Задача B4
Для этого запишем возведение в степень как многократное умножение: (x 3 ) 2 = x 3 • х 3 = (х • х • х) • (х • х • х). Согласно приведенным ранее правилам, мы прибавляем эти показатели степени при умножении, так что результат равен х 6 , то же значение, что и x 3 • 2 .

В общем, рассмотрим (x a ) b . Записав это как задачу на умножение, мы увидим x a • x a • x a … • x a , где есть b вхождений x a . Складывая эти показатели степени, мы получаем a + a + a… + a; то есть a добавил к себе всего b раз. Повторное сложение — это умножение, поэтому результат равен ab, произведению a и b. Итак, мы видим, что в общем случае (x a ) b = x (a • b) = x ab

Задача B5
Ноль нельзя использовать в качестве базы по нескольким причинам. База может быть только 0 при работе с правилами, включающими умножение и возведение в степень положительных показателей. Однако все положительные степени 0 равны 0, а произведения и суммы 0 равны 0, что делает систему с одним значением. Поскольку мы не можем делить на 0, мы не можем определить 0 0 как 0 n 0 n для некоторого n (дополнительную информацию см. в Задаче B1). Кроме того, мы не можем определить 0 n для любого отрицательного n (см. задачу B2).

Проблема B6
а. 43 007 = 4,3007 • 10 4 . Начальная цифра (4) изначально находилась в позиции 10 000, или 10 4 , поэтому, когда мы переместим ее в позицию 10 0 , мы должны умножить на 10 4 . Умножение 4,3007 на 10 4 дает нам 43 007.
б. 0,00245 = 2,45 • 10 -3 . Начальная цифра (2) изначально была в 1/1000, или 10 -3 9.0007, поэтому, когда мы переместим его в позицию 10 0 , мы должны умножить на 10 -3 . Умножение 2,45 на 10 -3 дает нам 0,00245.
г. -675 = -6,75 • 10 2 . Начальная цифра (6) изначально находилась в позиции 100, или 10 2 , поэтому, когда мы переместим ее в позицию 10 0 , мы должны умножить на 10 2 . Умножение -6,75 на 10 2 дает нам -6,75.

Проблема B7
а. 9b. 10 000 000 • 678 000 000 000 000 = (1 • 10 7 ) • (6,78 • 10 11 ) = 6,78 • 10 7+ 11 = 6,78 • 10 18
c. 1 490 000 000 7 000 = (1,49 • 10 ) (7 • 10 3 ) = (1,49 7) • 10 9 — 3 = 0,213 • 10 6

Проблема B8
A. В экспоненциальной форме log 100 равен 10 х = 100. Поскольку 10 2 = 100, log 100 = 2.
b. В экспоненциальной форме log 3 81 равно 3 x = 81. Поскольку 3 • 3 • 3 • 3 = 3 4 = 81, решение равно 4.
c. Если log x = 4, уравнение в экспоненциальной форме имеет вид 10 4 = x, поэтому x = 10 000.
д. Уравнение: b x = b. Это решается с помощью x = 1 для всех допустимых оснований для b (при условии, что b должно быть положительным и не равным 1).

Проблема B9
а.
Журнал 5  50 = x. Мы также можем записать это выражение в виде 5 x  = 50, т. е. 5 в какой степени будет равно 50? Мы знаем, что 5 2  = 25 и 5 3  = 125, поэтому мы можем оценить x как где-то между 2 и 3. Чтобы еще больше приблизить нашу оценку, мы можем посмотреть, что происходит для x = 2,5, что, преобразовав его в дробь, можно записать как 25/10 или 5/2. Итак, мы пишем 5 5/2  =  = 55,9. Таким образом, мы можем еще больше сузить нашу оценку, сказав, что x немного меньше 2,5.
б.
Точно так же log 3  100 = y можно записать как 3 y  = 100. Мы знаем, что 3 4  = 81 и 3 5  = 243, поэтому мы можем оценить y как где-то между 4 и 5. Для y = 4,5 мы можем преобразовать 4,5 в дробь, написав 4,5 = 45/10 = 9/2, мы получим 3 9/2  =  = 140,3. Таким образом, мы можем еще больше сузить нашу оценку, сказав, что y находится где-то между 4 и 4,5.

Если любое число, умноженное на ноль, равно нулю, и любое число, деленное само на себя, равно единице, и любое число, деленное на ноль, равно бесконечности, чему равно ноль, деленный на ноль? | Примечания и вопросы


Категории
Укромные уголки
Прошлый год
Семантические загадки
Тело красивое
Бюрократия, белая ложь
Спекулятивная наука
Этот остров со скипетром
Корень зла
Этические загадки
Эта спортивная жизнь
Сцена и экран
Птицы и пчелы
СПЕКУЛЯТИВНАЯ НАУКА

Если любое число, умноженное на ноль, равно нулю, и любое число, деленное само на себя, равно единице, и любое число, деленное на ноль, равно бесконечности, чему равно ноль, деленный на ноль?

  • НУЛЬ ДЕЛИТЬСЯ на ноль совершенно неопределенно. Ведь если А равно В, умноженному на С, то А, деленное на В, есть С. Но ноль равен нулю, умноженному на любое число. Следовательно, ноль, деленный на ноль, есть любое число.

    Айвор Этерингтон, Исдейл, Аргайл.

  • ДОЛЖНО ЛЮБОЕ число, умноженное на ноль, всегда равняться нулю? Когда на бумагу наносятся только цифры, это кажется так, но при выражении обычным языком возможен иной результат: если умножить общую стоимость сдачи в кармане на ноль, останется первоначальная сумма. Еще один пример влияния материальных величин: если взять два круга, длина окружности которых вычислена из их одинаковых радиусов, и разделить длину окружности одной на другую, вы никогда не получите одну.

    Джек Белк, США ([email protected])

  • СКАЗАТЬ, что «любое число, деленное на ноль, равно бесконечности», не совсем правильно. В обычной арифметике делить на ноль нельзя. Это потому, что «деление на х» на самом деле является просто сокращенным способом сказать «вычисление суммы, которая дает оригинал при умножении на х». Поскольку умножение на ноль всегда дает ноль, мы действительно не можем делить на ноль что-либо, отличное от нуля. На самом деле, если вспомнить, что «деление на…» — это сокращение для чего-то, включающего умножение, даже деление. Обозначение «бесконечность» в этом смысле является удобным сокращением, но не общепризнанным. Короче говоря, если мы помним, что «деление на» и «бесконечность» — удобные обозначения, которые иногда, но не всегда, полезны, то нетрудно поверить, что ноль, деленный на ноль, действительно не поддается определению.

    Дэйв Донахи, Бат ([email protected]ent.com)

  • МАТЕМАТИКА — это абстрактный язык, описывающий поведение вещей, которые мы называем числами. Тот факт, что это может быть связано с реальным миром, является случайным и удобным. Однако это далеко не всегда так. Пи — это число в любом собственном смысле (как и е — число, о котором я говорю ниже). У этих чисел, среди прочего, есть интересное свойство — их невозможно записать, если только вы не допускаете какой-либо ошибки, потому что они содержат бесконечное «количество» цифр. Следовательно, в любом «реальном» эксперименте всегда будет путаница, описанная Джеком Белком (выше). С другой стороны, 0/0 не определено, а не неопределенно. Это может показаться педантичным, но приводит к некоторым важным последствиям. Он может приближаться к определенному значению при заданных условиях и только тогда, когда эти условия применяются, например, если я возьму такую ​​функцию, как: f(x)=(1-exp(x))/x, тогда, когда x=0: f( x=0)=-1, потому что хотя при x=0 f(x)=0/0 приближается к этому значению упорядоченным образом. Попробуйте это с листом миллиметровой бумаги и карманным калькулятором или выполните разложение Тейлора для exp(x).

    (д-р) Саймон Эванс, Лондон ([email protected])

  • Спрашивающий просит нас проследить следствия некоторых гипотез в общей системе счисления. (Они не применимы к любой системе счисления любого использования, как объяснялось в предыдущих ответах.) Его вторая гипотеза дает ноль, деленный на ноль, равняется единице, а третья дает ноль, деленный на ноль, равно бесконечности. Отсюда сразу можно заключить, что в любой системе счисления, удовлетворяющей его гипотезам, бесконечность равна единице.

    Если мы дополнительно предположим, что «ноль, деленный на ноль» означает «уникальное число, дающее ноль при умножении на ноль», мы увидим, что ноль также равен обычному значению единицы и бесконечности, а также любым другим числам, которые могут существовать в рассматриваемой системы.

    Подводя итог: при заданных условиях каждое число равно одному и тому же значению, называйте его нулем, единицей, бесконечностью или как угодно.

    Пелхэм Бартон, Бирмингем, Великобритания

  • Должно ли любое число, умноженное на ноль, всегда равняться нулю? Если вы умножите общую стоимость сдачи в ваших карманных деньгах, в конечном итоге останется первоначальная сумма.

    ГАУТАМ, ХАЙДАРАБАД ИНДИЯ

Добавьте свой ответ

Что такое стандартная форма? — Определение, факты и примеры

Определение стандартной формы

Знаете ли вы, что Земле 4 543 000 000 лет? Мы знаем, что вы пропустили все эти нули, поэтому мы дадим вам более простой способ сказать: Земле 4,543 миллиарда лет. Вы видите, как чтение чисел определенным образом облегчает их понимание? Вот почему все математики мира решили договориться о некоторых правилах написания математических понятий, чтобы всем было удобно читать, писать и работать. Этот особый способ называется стандартной формой.

Все, что вы видите в математике, например, числа или дроби, уравнения или выражения, имеют определенную для них стандартную форму. Мы можем думать о стандартной форме как о наиболее распространенном способе представления математического элемента.

Давайте посмотрим на стандартную форму некоторых общих математических элементов:

Целые числа

Вы можете определить стандартную форму целого числа следующим образом.

Любое число, которое мы можем записать как десятичное число от 1,0 до 10,0, умноженное на степень 10, называется стандартной формой.

Например, возьмем число 123 000 000; более простой способ записи этого числа:

1,23 × 10 8 ;

Если внимательно присмотреться, 1,23 — это десятичное число от 1,0 до 10,0, поэтому мы имеем стандартную форму 123 000 000 как 1,23 × 10 8 .

Примеры стандартной формы чисел

  • 14 300 000 в стандартной форме равно 1,43 × 10 7 .
  • 3000 в стандартной форме 3×10³.
  • Некоторые другие примеры: 1,98 ✕ 10¹³ и 0,76 ✕ 10¹³.

Factoid: «Стандартная форма» также называется «Научная нотация» в зависимости от математического жаргона страны, в которой вы находитесь. ” используется чаще всего, тогда как в странах, которые следуют конвенциям США, эта форма написания в основном называется «Стандартной формой».

Пример 1: Рассмотрим число 81,900 000 000 000.

Шаг 1: Напишите первое число: 8 .

Шаг 2: Добавьте десятичную точку после этого и запишите остальные ненулевые числа: 8.19

Шаг 3: Теперь подсчитайте количество цифр после 8. Есть 13 цифр. Это 13 будет степенью 10 при записи данного числа в стандартной форме.

Шаг 4: Итак, в стандартной форме: 81 900 000 000 000 равно 8,19 × 10¹³.

Реальные примеры стандартной формы

  • Расстояние между Солнцем и Марсом составляет 141 700 000 миль или 228 000 000 км.

         Это расстояние можно легко записать в стандартной форме:
1,417 × 108 миль или 2,28 × 108 км.

  • Атомы — это крошечные единицы материи, состоящие из трех основных частиц — протона, нейтрона и электрона.
    Протон и нейтрон весят одинаково, 1,67 × 10–27 кг.
    Вес электрона составляет 9,11 × 10–31 кг.

Многие другие величины, такие как размер планет, размер микроорганизмов, размер микрочипов и население страны, выражаются в стандартной форме.

Дроби

Говорят, что дробь имеет стандартную форму, если и числитель, и знаменатель являются взаимно простыми числами.

Factoid: Два числа называются взаимно простыми, если их единственный общий делитель (или множитель) равен 1. Например, 2 и 3, 4 и 9, 6 и 13. В силу этого два простых числа всегда взаимно просты. основной.

Например, дробь  ⅚  является стандартной дробью, поскольку числитель 5 и знаменатель 6 не имеют общего делителя только 1, тогда как дробь 4/8 не является стандартной дробью, поскольку числитель и знаменатель имеют общие делители кроме 1, т. е. 2 и 4.

Но не беспокойтесь, вы хотите преобразовать дробь в ее стандартную форму? Мы получили вашу спину.
Давайте рассмотрим пример.

Рассмотрим дробь 12/20.

Шаг 1: Найдите все общие делители числителя и знаменателя.
            В этом случае 12 и 20 имеют общие делители: 1,2,4.

Шаг 2: Разделите числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель. Вот так:

Шаг 3 не требуется! Как видите, ⅗ — это стандартная дробь и стандартная форма числа 12/20.

Примеры стандартной формы дробей
  • Самая известная стандартная дробь — 22/7, также называемая «пи».
  • Все единичные дроби, т. е. дроби с числителем 1, являются стандартными.

Десятичные числа

Определение стандартной формы десятичных чисел такое же, как и у целых чисел,

Любое число, которое мы можем записать в виде десятичного числа, между 1,0 и 10,0, умноженное на степень из 10, как говорят, в стандартной форме.

Суть стандартной формы десятичных чисел заключается в их шагах. Это немного отличается от целых чисел, где, как вы могли заметить, степень 10 была положительным числом, например, 1,23 × 10 8 .

Давайте посмотрим, как мы можем преобразовать устрашающее десятичное число в красивое десятичное число.

Рассмотрим десятичное число 0,0004789.

Шаг 1: Сделайте так, чтобы десятичное число выпрыгнуло из исходной позиции и поместите его после первой ненулевой цифры: 4.789 .

Шаг 2: Подсчитайте, сколько цифр вы перепрыгнули. В данном случае мы перепрыгнули 4 цифры. Это число будет степенью 10 при записи нашего десятичного числа в стандартной форме.

Шаг 3: Если вы совершали прыжки в направлении вправо, степень 10 будет отрицательной. Если вы совершали прыжки в направлении налево, степень 10 будет положительной.

Шаг 4: Итак, в стандартной форме: 0,0004789 равно 4,789 × 10 -4 .

Используя тот же метод, стандартная форма десятичного числа 981,23 будет

9,8123 × 10 2 .

Стандартная форма математических элементов позволяет нам работать удобно и эффективно, делая их легко читаемыми для всех. Нет простого способа найти стандартную форму чего-либо, но вот несколько советов и приемов, которые мы собрали для вас, и которые вы должны помнить, когда пишете что-то в стандартной форме.

Советы по освоению стандартной формы

  • Тщательно изучите две части стандартной формы: цифры и степень числа 10. сделали прыжки влево, приведя десятичное число к его стандартной форме.
  • Подсчитайте места, на которые вы дважды переместили десятичную точку, прежде чем писать окончательный ответ.
  • Не забывайте о троюродном брате простых чисел: взаимных простых числах. Они являются основой для представления дроби в ее стандартной форме.

Решенные примеры

Выразите 321 000 000 в экспоненциальном представлении.

Научная форма числа 3,21 x 10 8 .

Экспресс 0,00005432 в стандартной форме.

Научная форма числа 5,432 x 10 -5 .

Напишите 25/40 в стандартной форме.

Научная форма данной дроби ⅝.

Практические задачи

78,98 × 10 6

7,898 × ​​10 7

7,898 × ​​10 6

0,7898 × ​​10 8

Правильный ответ: 7,898 × ​​100006 7
Стандартный форма А. Целый номер. быть десятичным числом от 1,00 до 10,00.

0,321452222 × 10 5

3,21452222 × 10 -4

3,21452222 × 10 4

32. 145222222. 3,2.11218 10000212121218 2: 3,2121218 2: 3,2121218 2: 3,2121218 2: 3,2121218 2.11218 2.0006 -4
Стандартная форма десятичного числа требует, чтобы первый член был десятичным числом между 1.00 и 10.00, а степень 10 положительна, если десятичная точка сдвинута влево.

6/9

4/6

24/36

2/3

Правильный ответ: 2/3
Стандартная форма дроби требует, чтобы числитель и знаменатель были взаимно простыми числами.

Часто задаваемые вопросы

Является ли стандартная форма такой же, как десятичная форма?

Да. Стандартная форма, десятичная форма и научная запись числа одинаковы.

Как преобразовать дробь в стандартную форму?

Дробь можно привести к стандартной форме, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель.

Каково основное правило написания стандартной формы?

При записи десятичных знаков в экспоненциальном представлении, стандартной или десятичной форме перемещайте десятичный разряд влево или вправо, пока не дойдете до числа от 1 до 10.

Темы по алгебре: обратные и обратные числа

Урок 4: обратные и обратные числа

/en/алгебра-темы/отрицательные-числа/содержание/

Противоположные числа

Каждое число имеет

4 напротив

4. На самом деле у каждого числа есть две противоположности : аддитивное , обратное , и , обратное , или , мультипликативное, обратное . Однако не пугайтесь этих технически звучащих названий. На самом деле найти противоположное число довольно просто.

Аддитивная инверсия

Первый тип противоположности вам, возможно, наиболее знаком: положительных числа и отрицательных числа . Например, противоположное 4 равно -4, или минус четыре . На числовой прямой 4 и -4 находятся на одинаковом расстоянии от 0, но на противоположных сторонах.

Этот тип противоположности также называется аддитивной инверсией . Обратное — это просто другое слово для напротив 9.0004 и Добавка означает, что когда вы складываете эти противоположные числа вместе, они всегда равны 0.

-4 + 4 = 0

В этом случае -4 + 4 равно 0. делает -20 + 20 и х + х . На самом деле, любое число, которое вы можете придумать, имеет аддитивную обратную. Независимо от того, насколько большое или маленькое число, сложение его и его инверсия каждый раз будет равняться 0.

Если вы никогда не работали с положительными и отрицательными числами, вы можете просмотреть наш урок об отрицательных числах.

Чтобы найти обратную добавку:
  • Для положительных чисел или переменных, таких как 5 или x : Добавьте знак минус (-) слева от числа: 5 → -5.
    x -x
    3y -3y
  • For negative numbers or variables, like -5 or -x : Remove the negative знак: -10 → 10.
    -y y
    -6x 6x
Using the additive inverse

The main time you’ll use the additive inverse in algebra is when you cancel out числа в выражении. (Если вы не знакомы с сокращением, посмотрите наш урок по упрощению выражений.) Когда вы сокращаете число, вы исключаете его из одной части уравнения, выполняя обратное действие на этом числе на обе части уравнения. In this expression, we’re cancelling out -8 by adding its opposite: 8.

x — 8 = 12
+ 8 + 8

Использование аддитивного обратного числа работает для сокращения, потому что число, добавленное к его обратному , всегда равно 0 .

Обратные и мультипликативные обратные

Второй тип обратного числа связан с умножением и делением . Это называется мультипликативным обратным , но чаще его называют обратным .

Чтобы понять обратное, вы должны сначала понять, что каждое целое число может быть записано как дробь , равная этому числу, деленному на 1 . Например, 6 также можно записать как 6/1.

Переменные также могут быть записаны таким образом. Например, х = х/1.

, обратное числа, представляет собой дробь, перевернутую вверх ногами. Другими словами, у обратной дроби нижнее число исходной дроби — или знаменателя — вверху, а верхнее число — или числителя — внизу. Таким образом, обратное число 6 равно 1/6, потому что 6 = 6/1, а 1/6 — это , обратное 6/1.

Ниже вы можете увидеть больше взаимозачетов. Обратите внимание, что обратная величина числа, которое уже является дробью, — это просто перевернутая дробь.

5y 1
5y
18 1
18

And because reciprocal means opposite , обратная дробь равна целому числу .

1 25
25
. 1 на сверху и исходный номер снизу .

Десятичные числа тоже имеют обратные значения! Чтобы найти обратную величину десятичного числа, замените его на дробь, а затем переверните дробь. Не знаете, как преобразовать десятичное число в дробь? Ознакомьтесь с нашим уроком по преобразованию процентов, десятичных дробей и дробей.

Использование обратных величин

Если вы когда-нибудь умножали и делили на дроби , обратная величина может показаться вам знакомой. (Если нет, вы всегда можете просмотреть наш урок по умножению и делению дробей.) Когда вы умножаете две дроби, вы умножаете прямо. Числители умножаются, а знаменатели умножаются.

4 2 = 8
5 3 15

However, when you divide by a fraction you flip the fraction over so числитель внизу, а знаменатель вверху. Другими словами, вы используете обратное . Вы используете число напротив числа , потому что умножение и деление также являются противоположностями.

4 ÷ 2 = 4 3 = 12
5 3 5 2 10

Практика!

Используйте только что полученные навыки для решения этих задач. После того, как вы решили оба набора задач, вы можете прокрутить вниз, чтобы просмотреть ответы.

Тренировочный набор 1

Find the additive inverse :

  1. 5
  2. -8
  3. q
Practice set 2

Find the reciprocal :

  1. 5
  2. 5/6
  3. 0.75
Set 1 answers
  1. -5
  2. 8
  3. Q
SET 2 Ответы
  1. 1/5
  2. 6/5
  3. 4/3
  4. 6/5
  5. 4/3
  6. 6/5
  7. 4/3
  8. 6/5
  9. 4/3
  10. 6. Продолжать

    Предыдущий: Отрицательные числа

    Next:Чтение алгебраических выражений

    /en/алгебра-темы/чтение-алгебраические-выражения/контент/

    Любое ненулевое число, возведенное в нулевую степень — ответы на кроссворды

    Разгадка кроссворда Любое ненулевое число, возведенное в нулевую степень из 3 букв, последний раз видели на 26 апреля 2020 г. . Мы думаем, что наиболее вероятным ответом на эту подсказку будет ОДИН 9.0053 . Ниже приведены все возможные ответы на эту подсказку, упорядоченные по рангу. Вы можете легко улучшить поиск, указав количество букв в ответе.

    Ранг Слово Подсказка
    94% ОДИН Любое ненулевое число, возведенное в нулевую степень
    3% МИЛЛИОН Любое феноменально большое число
    3% ПОДЪЕМ Поднятый
    3% НОЛЬ Нуль
    3% АВГУСТА Нуль
    3% БРЕД Поднятый
    2% АТАЛЛ В любой степени
    2% ПОМОЩЬ Поднятая платформа
    2% РАМПАРТ Возвышенное укрепление
    2% АРОЧНЫЙ Поднятый в середине
    2% МОЩЬ Сила
    2% СОЛНЕЧНАЯ __ сила
    2% Вт Единица мощности
    2% ОВАЛ Ноль, по сути
    2% ЗАГЛУШКА Выдвинуты возражения против пункта пепельницы
    2% ПЕСНЯ Число
    2% У ТЕБЯ ДРУГ После реформы из-за простить любое число
    2% ПОДЪЕМНЫЙ Поднятый
    2% НЕТОН Нуль
    2% ДАЖЕ Любое число делится на два

    Уточните результаты поиска, указав количество букв. Если какие-то буквы уже известны, вы можете предоставить их в виде шаблона: «CA????».

    • Предложение для краткого кроссворда
    • «Простите меня…» Кроссворд
    • Автор кроссворда «Адам Беде»
    • «Выйди!» Кроссворд
    • Пропитанный, каким-то образом Кроссворд
    • Слова пораженца Кроссворд
    • Диоген, За разгадку кроссворда
    • «Я люблю», к разгадке кроссворда Овидия
    • Критики, Часто Кроссворд
    • Nbc хит на протяжении более четырех десятилетий Кроссворд
    • Новый родитель, EG Кроссворд
    • Она преследует Харриса в линии наследования Кроссворд
    • Очень сухой, Кроссворд сомелье
    • Санта — Кроссворд «Ветры»
    • Санта — Кроссворд «Ветры»
    • Ясно, как ответ на кроссворд
    • Автор кроссворда «Бледно-голубая точка» Карл
    • укр. , Разгадка кроссворда
    • Spiced 39 через кроссворд
    • Кроссворд «Учитель Платона»
    • Не сдавался Кроссворд
    • Склад? Кроссворд
    • Кинг-Конг, EG Кроссворд
    • Розничные магазины или интернет-рынок, например, кроссворд
    • Кроссворд о супруге Бабара
    • Разгадка кроссворда «Горнило»
    • Обладатель «Золотого мяча» в семикратном кроссворде
    • Майкл Р. Джексон выиграл один за «Странную петлю» в кроссворде 2020 года
    • Они красные на парах Louboutins Кроссворд
    • Раньше, до Блейка Кроссворд
    • Способность бизнеса поддерживать конкурентное преимущество, Per Warren Buffett Crossword Clive
    • Язык в школе? Это противоречивый кроссворд
    • Немного обо всем? Кроссворд
    • Преимущество, так сказать кроссворд
    • Награды представлены в Нэшвилле за краткий кроссворд
    • Доллары и центы, E. G. Кроссворд
    • Еда для крепкой китайской собаки? Кроссворд
    • Ягодичные мышцы развились во время танцев в «Мулен Руж»? Кроссворд
    • Пройдите 10+ миль в триатлоне, разгадайте кроссворд
    • Хит, как снежки Кроссворд
    • Музыкальный набор в стране Оз с кроссвордом «The»
    • Примите участие в розыгрыше кроссворда на детской площадке
    • Складываем два и два вместе, например, кроссворд
    • Разгадка кроссворда «A» островов Abc
    • Пытался найти причину Кроссворд
    • Турман из кроссворда «Продюсеры»
    • Staked, как разгадка кроссворда вампира
    • Словесное неодобрение мальчика-короля? Кроссворд
    • Эскиз пари показывает кроссворд Old American Dandy
    • Руководитель темы урока? Кроссворд

    Найдено 1 решений для Любое ненулевое число, возведенное в нулевую степень . Лучшие решения определяются по популярности, рейтингу и частоте поиска. Наиболее вероятный ответ на подсказку: ОДИН .

    С crossword-solver.io вы найдете 1 решения. Мы используем исторические головоломки, чтобы найти наилучшие ответы на ваш вопрос. Мы добавляем много новых подсказок на ежедневной основе.

    С нашей поисковой системой для решения кроссвордов у вас есть доступ к более чем 7 миллионам подсказок. Вы можете сузить возможные ответы, указав количество букв, которые он содержит. Мы нашли более 1 отвечает для любого ненулевого числа, возведенного в нулевую степень.

    Ноль: объяснение умопомрачительной математики, стоящей за этим

    Компьютер, на котором вы сейчас читаете эту статью, работает на двоичном коде — строках нулей и единиц. Без нуля не было бы современной электроники. Без нуля нет исчисления, а значит, нет современной техники и автоматизации. Без нуля большая часть нашего современного мира буквально разваливается.

    Открытие человечеством нуля «полностью изменило правила игры… эквивалентно тому, как мы изучаем язык», — говорит Андреас Нидер, когнитивист из Тюбингенского университета в Германии.

    Но на протяжении большей части нашей истории люди не понимали числа ноль. Это не в нас врожденно. Мы должны были это изобрести. И мы должны продолжать учить этому подрастающее поколение.

    Другие животные, такие как обезьяны, эволюционировали, чтобы понять элементарную концепцию ничего. И ученые только что сообщили, что даже крошечный пчелиный мозг может вычислить ноль. Но только люди захватили ноль и превратили его в инструмент.

    Так что давайте не будем считать ноль чем-то само собой разумеющимся. Ничего увлекательного. Вот почему.

    Что вообще такое ноль?

    Getty Images

    Наше понимание нуля становится глубоким, если принять во внимание следующий факт: мы не часто, а может быть, и никогда не встречаем ноль в природе.

    У таких чисел, как один, два и три, есть аналог. Мы видим одну вспышку. Мы слышим два гудка автомобильного гудка. Но ноль? Это требует от нас признания того, что отсутствие чего-либо является вещью само по себе.

    «Z ero находится в уме, но не в чувственном мире», — говорит Роберт Каплан, профессор математики из Гарварда и автор книги о нуле. Даже в пустых уголках космоса, если вы видите звезды, это означает, что вы купаетесь в их электромагнитном излучении. В самой темной пустоте всегда есть что-то . Возможно, истинный ноль — то есть абсолютное ничто — мог существовать во времена, предшествующие Большому взрыву. Но мы никогда не узнаем.

    Тем не менее, ноль не обязательно должен существовать, чтобы быть полезным. На самом деле, мы можем использовать понятие нуля для получения всех остальных чисел во Вселенной.

    Каплан показал мне мысленное упражнение, впервые описанное математиком Джоном фон Нейманом. Это обманчиво просто.

    Представьте себе коробку, в которой ничего нет. Математики называют этот пустой ящик «пустым множеством». Это физическое представление нуля. Что внутри пустой коробки? Ничего такого.

    Теперь возьмите еще одну пустую коробку и поместите ее в первую.

    Сколько сейчас вещей в первом ящике?

    В нем один объект. Затем поместите еще одну пустую коробку внутрь первых двух. Сколько объектов он содержит сейчас? Два. Именно так «мы получаем все числа для счета из нуля… из ничего», — говорит Каплан. Это основа нашей системы счисления. Ноль — это абстракция и реальность одновременно. «Это то, что есть ничто», как сказал Каплан. (В этот момент истории вы можете захотеть еще раз попробовать свой бонг.)

    Затем он выразился более поэтично. «Ноль стоит как дальний горизонт, манящий нас так же, как горизонты на картинах», — говорит он. «Он объединяет всю картину. Если вы посмотрите на ноль, вы ничего не увидите. Но если вы посмотрите сквозь него, вы увидите мир. Это горизонт».

    Когда у нас был ноль, у нас были отрицательные числа. Ноль помогает нам понять, что мы можем использовать математику, чтобы думать о вещах, которые не имеют аналога в физическом жизненном опыте; мнимых чисел не существует, но они имеют решающее значение для понимания электрических систем. Ноль также помогает нам понять свою противоположность, бесконечность, во всей ее крайней странности. (Знали ли вы, что одна бесконечность может быть больше другой?)

    Почему ноль так чертовски полезен в математике

    Влияние нуля на нашу математику сегодня двоякое. Первая: это важная цифра-заполнитель в нашей системе счисления. Два: это полезное число само по себе.

    Первое использование нуля в истории человечества можно проследить примерно 5000 лет назад, в древней Месопотамии. Там он использовался для обозначения отсутствия цифры в строке чисел.

    Вот пример того, что я имею в виду: подумайте о числе 103. Ноль в данном случае означает «в столбце десятков нет ничего». Это заполнитель, помогающий нам понять, что это число сто три, а не 13.

    Хорошо, вы можете подумать: «Это элементарно». Но древние римляне этого не знали. Вы помните, как римляне записывали свои числа? 103 римскими цифрами — CIII. Число 99 — это XCIX. Вы пытаетесь добавить CIII + XCIX. Это абсурд. Обозначение-заполнитель — это то, что позволяет нам легко складывать, вычитать и иным образом манипулировать числами. Обозначения-заполнители — это то, что позволяет нам решать сложные математические задачи на листе бумаги.

    Если бы ноль оставался просто цифрой-заполнителем, он сам по себе был бы важным инструментом. Но около 1500 лет назад (а может, и раньше) в Индии ноль стал самостоятельным числом, ничего не означающим. Древние майя в Центральной Америке также самостоятельно разработали ноль в своей системе счисления на заре нашей эры.

    В седьмом веке индийский математик Брахмагупта записал то, что считается первым письменным описанием арифметики нуля:

    Когда ноль прибавляется к числу или вычитается из числа, число остается неизменным; и число, умноженное на ноль, становится нулем.

    Ноль медленно распространился по Ближнему Востоку, прежде чем достиг Европы, и разум математика Фибоначчи в 1200-х годах, который популяризировал «арабскую» систему счисления, которую мы все используем сегодня.

    Оттуда взорвалась полезность нуля. Подумайте о любом графике, отображающем математическую функцию, начинающуюся с 0,0. Этот ныне повсеместно распространенный метод построения графиков был впервые изобретен только в 17 веке после того, как ноль распространился в Европе. В том же столетии появилась совершенно новая область математики, зависящая от нуля: исчисление.

    Вы, возможно, помните из школьного или университетского курса математики, что простейшая функция в исчислении — это получение производной. Производная — это просто наклон линии, пересекающей одну точку на графике.

    Для расчета уклона одной точки обычно требуется точка сравнения: подъем над пробегом. Когда Исаак Ньютон и Готфрид Лейбниц изобрели исчисление, они обнаружили, что вычисление этого наклона в одной точке включает в себя все ближе, ближе и ближе — но никогда на самом деле — деление на ноль.

    «Все бесконечные процессы [в математике] вращаются, танцуют вокруг понятия нуля», — говорит Роберт Каплан. Вау.

    Почему ноль так глубок, как человеческая идея?

    Мы не рождаемся с пониманием нуля. Мы должны научиться этому, и это требует времени.

    Элизабет Брэннон — нейробиолог из Университета Дьюка, которая изучает, как люди и животные представляют числа в своем уме. Она объясняет, что даже когда дети младше 6 лет понимают, что слово «ноль» означает «ничего», им все равно трудно понять основную математику. «Когда вы спрашиваете [ребенка], какое число меньше, ноль или единица, они часто считают единицу наименьшим числом», — говорит Брэннон. «Трудно понять, что ноль меньше единицы».

    Во время экспериментов Брэннон часто играет с 4-летними детьми. Она выложит пару карт на стол или экран. И на каждой карточке будет несколько объектов. Например, на одной карте будет две точки. У другого будет три. Вот пример того, что они могут увидеть.

    Тенденции в когнитивной науке

    Она просто попросит детей выбрать карточку с наименьшим количеством предметов. Когда карточка, на которой ничего нет, соединена с карточкой, на которой изображен один предмет, менее половины детей дадут правильный ответ.

    Часто обезьяны лучше распознают ноль, чем маленькие дети. Тенденции в когнитивной науке

    Так что же происходит, чтобы все щелкнуло?

    Андреас Нидер, когнитивист из Германии, выдвигает гипотезу о том, что для понимания нуля нужно пройти четыре психологических шага, и каждый из них более сложен с точки зрения познания, чем предыдущий.

    Многие животные могут пройти первые три этапа. Но последний этап, самый сложный, «зарезервирован для нас, людей», — говорит Нидер.

    Первый — это простое сенсорное переживание стимула, возникающего и исчезающего. Это простая способность замечать мерцание света. Или шум включается и выключается.

    Второй — понимание поведения. На этой стадии животные могут не только распознавать отсутствие раздражителя, но и реагировать на него. Когда у человека закончилась еда, он знает, что нужно пойти и найти еще.

    На третьем этапе распознается, что ноль или пустой контейнер — это значение меньше единицы. Это сложно, хотя удивительное количество животных, включая медоносных пчел и обезьян, могут распознать этот факт. Это понимание того, «что ничто не имеет количественной категории», — говорит Нидер.

    На четвертом этапе отсутствие стимула рассматривается как символ и логический инструмент для решения проблем. Он говорит, что ни одно животное, кроме людей, «каким бы умным оно ни было», не понимает, что ноль может быть символом.

    Но даже хорошо образованные люди могут немного спотыкаться, думая о нуле. Исследования показали, что взрослым требуется на несколько секунд больше времени, чтобы распознать цифру ноль по сравнению с другими цифрами. И когда эксперимент Брэннона по выбору карточки с наименьшим числом повторяется со взрослыми, им требуется немного больше времени, чтобы сделать выбор между нулем и единицей, чем при сравнении нуля с большим числом.

    Это говорит о том, что ноль, даже для взрослых, требует дополнительных усилий мозга для обработки.

    Что еще ничего не могу понять?

    Getty Images/EyeEm

    Возможно, мы не родимся со способностью понимать ноль. Но наша способность изучать его может иметь глубокие эволюционные корни, как показывают нам некоторые новые научные данные.

    Четвертый шаг в представлении о нуле — то есть о нуле как о символе — может быть уникальным для людей. Но на удивление много животных могут перейти к третьему шагу: признать, что ноль меньше единицы.

    Это умеют даже пчелы.

    Скарлетт Ховард, аспирантка Королевского Мельбурнского технологического института, недавно опубликовала в журнале Science эксперимент, который почти идентичен тому, который Брэннон проводил с детьми. Пчелы выбирали пустую страницу в 60–70 % случаев. И они значительно лучше отличали большое число, например шесть, от нуля, чем единицу от нуля. Совсем как дети.

    Это впечатляет, учитывая, что «у нас есть большой мозг млекопитающего, но у пчел такой маленький мозг, который весит меньше миллиграмма», — говорит Ховард. Ее исследовательская группа надеется понять, как пчелы производят эти расчеты в своем уме, с целью однажды использовать эти идеи для создания более эффективных компьютеров.

    В аналогичных экспериментах исследователи показали, что обезьяны могут распознавать пустое множество (и часто лучше, чем 4-летние люди). Но тот факт, что пчелы могут это делать, просто удивителен, учитывая, как далеко они от нас на эволюционном древе жизни. «Последний общий предок между нами и пчелами жил около 600 миллионов лет назад, что является вечностью по эволюционным меркам», — говорит Нидер.

    Мы, люди, могли понять ноль как число только 1500 лет назад. Эксперименты на пчелах и обезьянах показывают нам, что это не просто результат нашей изобретательности. Это также, возможно, кульминация эволюции.

    Ноль по-прежнему хранит великие загадки. Во-первых, Нидер говорит, что «мы почти ничего не знаем» о том, как мозг физически обрабатывает это. И мы не знаем, сколько животных могут понять идею ничего как количества.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.