Четная и нечетная функция примеры решения: Четность и нечетность функции, с примерами

Четность и нечетность функции ☑️ как определить, примеры решения задач

Общие сведения

Исследование функции на четность и нечетность — базовый элемент, показывающий ее поведение, которое зависит от значения аргумента. Последний является независимой переменной, соответствующей определенным допустимым значениям. Множество чисел, которое может принимать неизвестная независимого типа, называется областью определения. Областью значений функции вида y = f (x) являются все значения зависимой переменной «y».

Теперь следует сформулировать список базовых знаний, которые необходимы для анализа выражений на четность. Если нужно выполнить другие процедуры исследования, то его следует расширить. Например, для нахождения максимума следует ознакомиться с производной. Необходимый минимум знаний о функциях следующий:

1. Область определения — D (f).
2. Виды.
3. Правила.
4. Свойства для четных и нечетных.
5. Классификация.

Первый элемент необходим для выявления аргумента, при котором можно узнать его недопустимые значения, а также определить симметричность. От свойств и вида также зависит четность. Первое рекомендуется применять в частных случаях, например, произведение двух нечетных тождеств. Результат следует проверять при помощи соответствующего программного обеспечения. Например, онлайн-калькулятор четности и нечетности функций позволяет следить за правильностью решения.

Область определения

Первый элемент, который нужен для анализа, следует рассмотреть подробнее. Область определения функции z = g (y) специалисты рекомендуют обозначать литерой «D». Полная запись выглядит таким образом: D (z). Кроме того, следует выяснить симметричность множества. Под последним понимается некоторый интервал, который нужно найти.

D (z) записывается в виде множества. Например, D (z) = [1;8]. Запись значит ограниченность аргумента, принимающего значения от 1 включительно до 8 включительно, то есть следующие цифры: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8. Если указана запись в виде (1;4), то ее нужно трактовать таким образом: от 1 не включительно до 4 не включительно, то есть в интервал входят только числа 2 и 3.

Для определения величины D (z) необходимо решить неравенство, корнем которого являются все значения аргумента. Для этих целей можно использовать и специализированное программное обеспечение. Математики рекомендуют свести пользование решебниками и программами к минимуму, поскольку не всегда предоставится возможность воспользоваться ими на экзаменах или контрольных.

Основные виды

Исследование функции зависит от ее вида, который нужно правильно определять. Для начала следует обозначить сложность, поскольку от этого параметра зависят дальнейшие действия и свойства, которыми придется руководствоваться. Математики производят разделение таким образом:

• Простые: алгебраические, трансцендентные и тригонометрические.
• Составные или сложные.

Алгебраические делятся на рациональные (без корня) и иррациональные (наличие радикала). Первые состоят из целых и дробных. D (z) для этих типов — все множество действительных чисел. Если функция представлена в виде обыкновенной дроби, то значение аргумента, приводящее к пустому множеству (знаменатель равен нулю), нужно исключить. Когда аргумент находится под знаком радикала (корня), тогда она считается иррациональной. Однако следует проверить, чтобы под корнем четной степени не было отрицательного значения, которое приводит к неопределенности.

Все функции, содержащие sin, cos, tg и ctg, являются тригонометрическими. Кроме того, arcsin, arccos, arctg и arcctg — обратные тригонометрические. Трансцендентные можно разделить на такие три группы: показательные, степенные и логарифмические.

Второе отличается от первого формулой. Другой тип классификации основан на периодичности. В зависимость от этого параметра все функции делятся на периодические и непериодические.

Параметр периодичности означает повторение ее поведения через определенный период Т.

Существует еще один критерий. Он называется монотонностью. В зависимости от него, функции бывают монотонными и немонотонными. Первая группа характеризуется постоянностью, то есть она либо убывает, либо возрастает. Все остальные могут убывать и возрастать на определенных промежутках. Примером является y = cos (x), поскольку она является убывающей и возрастающей через определенный период.

Правила для выявления

Для того чтобы исследовать на четность, существует два правила или теоремы, которые записываются в виде двух формул. Четная — функция вида w (x), для которой справедливо такое равенство: w (-x) = w (x). Для нечетной соотношение немного другое: w (-x) = w (x). Однако бывают выражения, к которым не применимы эти тождества. Они принадлежат общему виду.

Для оптимизации решения специалисты рекомендуют использовать некоторую последовательность действий или специальный алгоритм. Он позволяет определить четность за минимальный промежуток времени и без ошибок. Необходимо обратить внимание на пункты или шаги, по которым выполняется подробная оценка:

• Разложить при необходимости на простые элементы.
• Определить D (z). Если ее график симметричный, то нужно переходить к следующему шагу. В противном случае результатом является функция общего вида.
• Проверить, подставив в выражение отрицательное значение аргумента w (-x).
• Выполнить сравнение: w (-x) = w (x).
• Сделать соответствующий вывод.

Если w (-x) = w (x), то это свидетельствует о четности. При выполнении тождества w (-x) = -w (x) функция является нечетной. Важно обратить внимание на D, поскольку в некоторых точках равенства и условия могут не выполняться. Это свидетельствует о том, что искомая функция принадлежит к общему виду, то есть не является четной и нечетной.

Одним интересным способом является графический метод (принцип). Для его реализации нужно выполнить построение графика. Если он будет симметричным относительно оси ординат ОУ, то равенство w (-x) = w (x) будет выполняться. В случае симметричности относительно начала системы координат (точка пересечения осей абсцисс и ординат), будет справедливым равенство w (-x) = -w (x).

Следствия из утверждений

Свойства или следствия из утверждений расчетов позволяют оптимизировать процесс решения, поскольку нет необходимости выполнять какие-либо действия. Очень часто приходится тратить много времени на задание, которое можно решить за несколько минут.

Математики выделяют следующие свойства для таких функций:

• Симметричность графика: четная — относительно ОУ, а нечетная — относительно начала координат.
• Функция эквивалентна сумме четной и нечетной.
• Результат комбинации четных эквивалентен четной, а нечетных — нечетной.
• Результирующее произведение: 2 четных — четное, 2 нечетных — четная, а 2 разной четности — нечетной.
• Композиция: 2 нечетных — нечетна, четная и нечетная — четна, любая с четной — четна (не наоборот).
• При взятии производной от четной результирующая является нечетной, а от нечетной — четной.
• Определенный интеграл вида ∫(g (x))dx с границами от -А до А равен двойным интегралам ∫(g (x))dx с границей от -А до 0 и от 0 до А: ∫(g (x))dx |(-A;A) = 2∫(g (x))dx |(-A;0) = 2∫(g (x))dx |(0;A).
• Определенный интеграл нечетной функции с границами -А и А равен 0.
• Ряд Маклорена: четные степени соответствуют четной и наоборот.
• Ряд Фурье: четная содержит только выражения с cos, а нечетная — sin.

Второе свойство можно записать математически таким образом: z (x) = y (x) + w (x). Выражение y (x) можно выразить следующим образом: y (x) = [z (x) — z (-x)] /2. Тождество w (x) выражается через z (x) формулой: w (x) = [z (x) + z (-x)] /2.

Классификация по четности

Специалисты давно уже исследовали некоторые функции. Примеры четных и нечетных можно классифицировать по признаку четности. Эти данные значительно ускоряют процесс анализа любого выражения. К нечетным функциям относятся следующие (следует учитывать, что аргумент «x» принадлежит множеству действительных чисел Z):

• Возведение в степень, показатель которой является целым и нечетным.
• Сигнум (sgn) — кусочно-постоянный тип, который задан несколькими формулами, объединенными в систему.
• Радикал положительной нечетной степени.
• Тригонометрические: sin (x), tg (x), ctg (x) и cosec (x).
• Обратные тригонометрические: arcsin (x), arcctg (x), arcsec (x) и arccosec (x).
• Гиперболические и их обратные выражения: гиперболические синус и косинус, а также ареасинус, ареатангенс и ареакотангенс.
• Гудермана и обратная ей: gd (x) = arctg (sh (x)) и arcgd (x) = arch (sec (x)). 2) / 2c ² ].
• Кардинальный синус: sinc (x).

Остальные составляют класс общего вида, который не принадлежит к четным и нечетным. При решении задач необходимо иметь таблицу всех функций, которая должна быть составлена перед обучением. Следует учитывать, что на экзаменах и контрольных функции, используемые для описания каких-либо процессов, практически не исследуются. Зная алгоритм, не составит особого труда проверить выражение на четность. Следующим этапом, который поможет закрепить теоретические знания, считается практика.

Пример решения

Задачи исследования функции на четность встречаются редко, поскольку этот элемент входит в полный анализ ее поведения. Пусть дано тождество z (y) = (y ² — y — 2) / (y ² — 1). В этом случае следует действовать по алгоритму:

• Состоит из двух элементов: g (y) = y ² — y — 2 и h (y) = y ² — 1.
• Область значений: D (y ² — y — 2) = (-бесконечность; +бесконечность) и D (y ² — 1) = (-бесконечность; -1) U (-1;1) U (1; +бесконечность).
  2 — 1 = y ² — 1.
• В двух случаях функции являются нечетными: в первом — изменение знака, а во втором — от четной отнимается 1. Следовательно, искомое выражение является нечетной функцией.

Задачу можно решить вторым способом — проанализировать составляющие элементы. Например, знаменатель всегда будет нечетным, поскольку от четного y ² отнимается нечетное число (6 — 1 = 5). Этот способ используется в некоторых языках программирования, для написания подпрограмм и процедур, позволяющих проверить или отобрать все нечетные значения. Числитель также является нечетным, поскольку он содержит нечетный элемент «y». Если построить график, используя любой из веб-ресурсов, то он окажется симметричным относительно начала координат.

Первое свойство свидетельствует о том, что функция является нечетной. Некоторые новички делают распространенную ошибку, считая, что отношение нечетных есть величина четная. Однако такое утверждение не применимо в этом случае. Если бы было произведение двух нечетных выражений, то результат являлся бы четным. Об этой особенности свидетельствует свойство под номером 4.

Таким образом, для исследования функции на предмет ее четности или нечетности нужно воспользоваться специальным алгоритмом, который рекомендуют математики. Он позволит выполнить операцию без ошибок и за короткий промежуток времени.

Нечётные и чётные функции | это… Что такое Нечётные и чётные функции?

Нечётными и чётными называются функции, графики которых обладают симметрией относительно изменения знака аргумента. Это понятие важно во многих областях математического анализа, таких как теория степенных рядов и рядов Фурье. Такое название возникло как обобщение чётности степенных функций: функция f(x) = xⁿ чётна тогда и только тогда, когда n чётно, и нечётна тогда и только тогда, когда n нечётно.

 — пример нечётной функции.

 — пример чётной функции.

нечётная

ни чётная, ни нечётная.

Другие определения:

• Нечётная функция — функция, меняющая знак при изменении знака независимого переменного (симметричная относительно центра координат).
• Чётная функция — функция, не изменяющая своего значения при изменении знака независимого переменного (симметричная относительно оси ординат).
• Индифферентная функция^{[источник не указан 240 дней]} — функция, не обладающая симметрией. В эту категорию относят функции не подпадающие под предыдущие 2 категории.

Содержание 1 Определения 2 Свойства 3 Примеры 3.1 Нечётные функции 3.2 Чётные функции 4 Вариации и обобщения

Определения

Определения вводятся для любой симметричной относительно нуля области определения , например, отрезка или интервала.

• Функция называется чётной, если справедливо равенство

• Функция называется нечётной, если справедливо равенство

• Если не выполняется ни одно из этих равенств, то функция называется индифферентной^{[источник не указан 240 дней]}

(или функцией общего вида).

Свойства

• График нечётной функции симметричен относительно начала координат .
• График чётной функции симметричен относительно оси ординат .
• Произвольная функция может быть единственным образом представлена в виде суммы нечётной и чётной функций:

где

• Функция  — единственная функция, одновременно являющаяся нечётной и чётной.
• Сумма, разность и вообще любая линейная комбинация чётных функций чётна, а нечётных — нечётна.
• Функция, обратная чётной, чётна, а нечётной — нечётна.
• Произведение двух функций одной чётности чётно.
• Произведение двух функций разной чётности нечётно.
• Композиция двух нечётных функций нечётна.
• Композиция чётной функции с чётной/нечётной чётна.
• Композиция любой функции с чётной чётна (но не наоборот!).
• Производная чётной функции нечётна, а нечётной — чётна.
  • То же верно про производную третьего, пятого и вообще любого нечётного порядка.
• Производная чётного порядка имеет ту же чётность, что и первоначальная функция.

Примеры

Нечётные функции

• Нечётная степень где  — произвольное целое число.
• Синус .
• Тангенс .

Чётные функции

• Чётная степень где  — произвольное целое число.
• Косинус .
• Абсолютная величина (модуль) .

Вариации и обобщения

• Понятие чётности и нечётности функций естественно обобщаются на случай отображений между векторными пространствами.

Четные и нечетные функции

Пусть f(x) — функция.

Чтобы узнать, является ли f(x) четным или нечетным, мы должны заменить ‘x’ на ‘-x’ в f(x). Мы должны заключить f(x) как четную или нечетную функцию из результата f(-x), как показано ниже.

1. Если f(-x)  =  f(x), то f(x) является четной функцией

2. Если f(-x)  =  — f(x), то f(x) является нечетной функцией

Если f(-x) не равно ни f(x), ни -f(x), мы должны заключить, что f(x) не является ни четным, ни нечетным.

Сумма или разность двух четных функций всегда четна.

Сумма или разность двух нечетных функций всегда нечетна.

Применение

Несмотря на то, что у нас есть много применений четных и нечетных функций, давайте рассмотрим важное применение четных и нечетных функций в интегральном исчислении.

Если f(x) является четной функцией, 

Если f(x) является нечетной функцией, 

Примеры

Пример 1: 

Пусть f(x)  =  x ³ , является ли f(x) нечетной или четной функцией ?

Решение: 

Чтобы узнать, является ли f(x) нечетной или четной функцией, подставим x = -x в f(x).

Тогда имеем

f(-x)  =  (-x) ³

f(-x)  =  -x ³

f(-x)  =  4

2 , f(x) — нечетная функция.

Пример 2 : 

Пусть f(x)  =  x ²   + 2, является ли f(x) нечетной или четной функцией?

Решение: 

Чтобы узнать, является ли f(x) нечетной или четной функцией, подставьте -x вместо x в f(x).

Тогда имеем

f(-x)  =  (-x) ²  + 2

f(-x)  =  x ²  + 2

f(-x)  = 9 0f0(x4)

Итак, f(x) — четная функция.

Пример 3 : 

Пусть f(x)  =  x ³  — 2x, является ли f(x) нечетной или четной функцией?

Решение: 

Чтобы узнать, является ли f(x) нечетной или четной функцией, подставьте -x вместо x в f(x).

Тогда имеем

f(-x)  =  (-x) ³  — 2(-x)

f(-x)  =  -x ³  +  2x

f(-x) 9000 =  -(x ³  — 2x)

f(-x)  =  -f(x)  

Итак, f(x) — нечетная функция.

Пример 4 : 

Пусть f(x)  =  5x ³  + x ² — 1, является ли f(x) нечетной или четной функцией?

Решение: 

Чтобы узнать, является ли f(x) нечетной или четной функцией, подставьте -x вместо x в f(x).

Тогда имеем

f(-x)  =  5(-x) ³  + (-x) ²  — 1

f(-x)  =  5(-x ^{3 )-900 x 2 -1}

F (-x) = -5x ³ -x ² -1

F (-x) = -(5x ³ + x ² + 1)

f(-x) не может быть выражено как f(x) или -f(x).

Итак, f(x) не является ни четной, ни нечетной функцией.

Пример 5 : 

Пусть f(x)  =  x ⁴ + 2x ²   + 5, является ли f(x) нечетной или четной функцией?

Решение: 

Чтобы узнать, является ли f(x) нечетной или четной функцией, подставьте -x вместо x в f(x).

Тогда имеем

f(-x)  =  (-x) ⁴  + 2(-x) ²  + 2

f(-x)  =  x ^{4+ 04} + 2x 20 0 2

f(-x)  =  f(x)

Итак, f(x) — четная функция.

Важное примечание: 

В тригонометрических отношениях, если у нас есть отрицательный угол, мы должны понимать, что угол будет падать в IV ^{-й квадрант} .

В IV ^-м -м квадранте тригонометрические отношения ‘cos’ и ‘sec’ положительны, а все остальные тригонометрические отношения отрицательны.

Решение: 

Пусть f(x)  = sinx

Чтобы узнать, является ли f(x) нечетной или четной функцией, подставьте -x вместо x в f(x).

Тогда имеем

f(-x)  =  sin(-x)

Поскольку угол отрицательный, он попадает в IV ^{-й квадрант} . В IV ^-м -м квадранте «грех» отрицательный.

Итак, у нас есть

f(-x)  =  — sinx

f(-x)  =  — f(x)

 f(x) — нечетная функция  

Итак, sinx — нечетная функция.

Пример 7 :  

Является ли функция cosx четной или нечетной ?

Решение: 

Чтобы узнать, является ли функция f(x) четной или нечетной, подставьте -x вместо x в f(x).

Тогда у нас есть

f(-x)  =  cos(-x)

Поскольку угол отрицательный, он попадает в IV ^-й -й квадрант. В IV ^-й -й квадрант «cos» положительный.

Итак, у нас есть

f(-x)  =  cosx

f(-x)  =  f(x)

f(x) — четная функция

Итак, cosx — четная функция.

Пример 8 :  

Является ли tanx нечетным или четным ?

Решение: 

Пусть f(x)  = tanx

Чтобы узнать, является ли f(x) нечетной или четной функцией, подставьте -x вместо x в f(x).

Тогда у нас есть

f(-x)  = tan(-x)

Поскольку угол отрицательный, он попадает в IV ^-й -й квадрант. В IV ^{-м квадранте} «тангенс» отрицательный.

Итак, у нас есть

f(-x)  =  — tanx

f(-x)  =  — f(x)

 f(x) — нечетная функция  

Итак, tanx — нечетная функция.

Пример 9 :  

Пусть f(x)  =  sinx + tanx, является ли f(x) нечетной или четной функцией?

Решение: 

Чтобы узнать, является ли f(x) нечетной или четной функцией, подставьте -x вместо x в f(x).

Тогда у нас есть

f(-x)  =  sin (-x) + tan(-x)

Поскольку угол отрицательный, он попадает в IV ^-й -й квадрант. В IV ^-м -м квадранте и «sin», и «tan» отрицательные.

Итак, имеем

f(-x)  =  — sinx — tanx

f(-x)  =  — (sinx + tanx)

f(-x)  =  — f(x)

Итак, f (x) — нечетная функция.

Примечание: Сумма или разность двух нечетных функций всегда нечетна.

Пример 10 :  

Пусть f(x)  =  secx + cosx, является ли f(x) нечетной или четной функцией?

Решение: 

Чтобы узнать, является ли функция f(x) четной или нечетной, подставьте -x вместо x в f(x).

Тогда у нас есть

f(-x)  =  sec(-x) + cos(-x)

Поскольку угол отрицательный, он попадает в IV ^-й -й квадрант. В IV ^{-й квадрант} и «sec», и «cos» положительны.

Итак, у нас есть

f(-x)  =  secx + cosx

f(-x)  =  f(x)

Итак, f(x) — четная функция.

Примечание: Сумма или разность двух четных функций всегда четна.

Помимо материалов, перечисленных выше, если вам нужны какие-либо другие материалы по математике, пожалуйста, используйте наш пользовательский поиск Google здесь.

Пожалуйста, отправьте ваш отзыв на [email protected]

Мы всегда ценим ваши отзывы.

©Все права защищены. onlinemath5all.com

Интегрирование четных и нечетных функций

Результаты обучения

• Применение интегралов четных и нечетных функций

В Модуле 1: Функции и графики мы видели, что четная функция — это функция, в которой [latex]f(\text{−}x)=f(x)[/latex] для всех [latex]x[/latex ] в области, то есть график кривой не изменится, если [latex]x[/latex] заменить на −[latex]x[/latex]. Графики четных функций симметричны относительно оси [latex]y[/latex]. Нечетная функция — это функция, в которой [latex]f(\text{−}x)=\text{−}f(x)[/latex] для всех [latex]x[/latex] в домене, а граф функция симметрична относительно начала координат.

Интегралы четных функций, когда пределы интегрирования от −[latex]a[/latex] до [latex]a[/latex], включают две равные площади, поскольку они симметричны относительно [latex]y[/ латекс]-ось. Интегралы нечетных функций, когда пределы интегрирования равны [латекс]\влево[\текст{−}а,а\вправо],[/латекс] равны нулю, поскольку площади выше и ниже [латекс]х[/ латекс]-оси равны.

Интегралы четных и нечетных функций

---

Для непрерывных четных функций, таких что [latex]f(\text{−}x)=f(x),[/latex] 9{8}-2)dx[/latex] и убедитесь, что формула интегрирования для четных функций верна.

Показать решение

Посмотрите следующее видео, чтобы увидеть работающее решение примера: Интеграция четной функции.

Скрытые субтитры и расшифровка информации для видео

Пример: интегрирование нечетной функции

Вычислить определенный интеграл от нечетной функции [латекс]-5 \sin x[/латекс] по интервалу [латекс]\влево[\текст{−}\pi ,\pi \ справа].