Четной функции определение: Чётные и нечётные функции — урок. Алгебра, 9 класс.

Четная функция | это… Что такое Четная функция?

ТолкованиеПеревод

Четная функция

f(x) = x — пример нечётной функции.

f(x) = x2 — пример чётной функции.

f(x) = x3, нечётная

f(x) = x3 + 1 ни чётная, ни нечётная


Нечётная фу́нкция — функция, меняющая знак при изменении знака независимого переменного.

Чётная фу́нкция — это функция, не изменяющая своего значения при изменении знака независимого переменного.

Или по-другому

Нечётная фу́нкция — функция, симметричная относительно центра координат, а чётная — функция, симметричная относительно оси ординат.

Содержание

  • 1 Определения
  • 2 Свойства
  • 3 Примеры
    • 3.
      1 Нечётные функции
    • 3.2 Чётные функции
  • 4 Вариации и обобщения

Определения

  • Функция называется нечётной, если справедливо равенство
  • Функция f называется чётной, если справедливо равенство
  • Если не выполняется ни одно из этих равенств, то функция называется функцией общего вида.

Свойства

  • График нечётной функции симметричен относительно начала координат O.
  • График чётной функции симметричен относительно оси ординат Oy.
  • Произвольная функция может быть представлена в виде суммы нечётной и чётной функций:
f(x) = g(x) + h(x),

где

  • Функция  — единственная функция, одновременно являющаяся нечётной и чётной.
  • Сумма, разность и вообще любая линейная комбинация чётных функций чётна, а нечётных — нечётна.
  • Произведение или дробь двух нечётных функций чётно.
  • Произведение или дробь двух чётных функций чётно.
  • Произведение или дробь нечётной и чётной функций нечётно.
  • Композиция двух нечётных функция нечётна.
  • Композиция двух чётных функций чётна.
  • Композиция чётной функции с нечётной чётна.
  • Композиция любой функции с чётной чётна (но не наоборот).
  • Функция, обратная чётной, чётна, а нечётной — нечётна.
  • Производная чётной функции нечётна, а нечётной — чётна.
    • То же верно про производную третьего, пятого и вообще любого нечётного порядка.
  • Производная чётного порядка сохраняет чётность.

Примеры

Нечётные функции

  • Нечётная степень где  — произвольное целое число.
  • Синус .
  • Тангенс .

Чётные функции

  • Чётная степень где  — произвольное целое число.
  • Косинус .

Вариации и обобщения

  • Понятие чётности и нечётности функций естественно обобщаются на случай отображений между векторными пространствами.

Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем решить контрольную работу

  • Четность (математика)
  • Четмэн Вернон

Полезное


Четная функция | это… Что такое Четная функция?

ТолкованиеПеревод

Четная функция

f(x) = x — пример нечётной функции.

f(x) = x2 — пример чётной функции.

f(x) = x3, нечётная

f(x

) = x3 + 1 ни чётная, ни нечётная


Нечётная фу́нкция — функция, меняющая знак при изменении знака независимого переменного.

Чётная фу́нкция — это функция, не изменяющая своего значения при изменении знака независимого переменного.

Или по-другому

Нечётная фу́нкция — функция, симметричная относительно центра координат, а чётная — функция, симметричная относительно оси ординат.

Содержание

  • 1 Определения
  • 2 Свойства
  • 3 Примеры
    • 3.1 Нечётные функции
    • 3.2 Чётные функции
  • 4 Вариации и обобщения

Определения

  • Функция называется нечётной, если справедливо равенство
  • Функция f называется чётной, если справедливо равенство
  • Если не выполняется ни одно из этих равенств, то функция называется функцией общего вида.

Свойства

  • График нечётной функции симметричен относительно начала координат O.
  • График чётной функции симметричен относительно оси ординат Oy.
  • Произвольная функция может быть представлена в виде суммы нечётной и чётной функций:
f(x) = g(x) + h(x),

где

  • Функция  — единственная функция, одновременно являющаяся нечётной и чётной.
  • Сумма, разность и вообще любая линейная комбинация чётных функций чётна, а нечётных — нечётна.
  • Произведение или дробь двух нечётных функций чётно.
  • Произведение или дробь двух чётных функций чётно.
  • Произведение или дробь нечётной и чётной функций нечётно.
  • Композиция двух нечётных функция нечётна.
  • Композиция двух чётных функций чётна.
  • Композиция чётной функции с нечётной чётна.
  • Композиция любой функции с чётной чётна (но не наоборот).
  • Функция, обратная чётной, чётна, а нечётной — нечётна.
  • Производная чётной функции нечётна, а нечётной — чётна.
    • То же верно про производную третьего, пятого и вообще любого нечётного порядка.
  • Производная чётного порядка сохраняет чётность.

Примеры

Нечётные функции

  • Нечётная степень где  — произвольное целое число.
  • Синус .
  • Тангенс .

Чётные функции

  • Чётная степень где  — произвольное целое число.
  • Косинус .

Вариации и обобщения

  • Понятие чётности и нечётности функций естественно обобщаются на случай отображений между векторными пространствами.

Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем сделать НИР

  • Четность (математика)
  • Четмэн Вернон

Полезное


Четные функции: определение, примеры и формула

Сидя и ожидая поезда на станции Норт-Кэмп, направляющегося в Милфорд на прогулку, я задумался над несколькими тревожными вопросами. Почему произведение двух или более нечетных чисел дает нечетное число? Например, произведение 3 и 7, которые являются нечетными числами, даст 21, еще одно нечетное число. Точно так же, когда четные числа перемножаются между собой, всегда получается четное число; все еще погруженный в мысли, я опоздал на поезд. Тем не менее, мы не упустим цель этого обсуждения, далее мы узнаем о работает даже с .

Что такое четные функции?

Четные функции — это такие функции, как f(x), которые имеют те же значения при замене отрицательных независимых переменных, таких как f(-x). Следовательно, их лучше всего выражать как:

f(x)→f(-x)=f(x)

В соответствии с этой концепцией функции обычно классифицируются как четные, нечетные или никакие.

Подтвердите, что f(x) четно, когда

f(x)=x4-8

Решение:

Поскольку

f(x)=x4-8

Чтобы определить природу этой функции, мы находим f(-x), подставляя -x. Следовательно,

f(-x)=(-x)4-8f(-x)=x4-8

Следовательно,

f(x)=f(-x)

Это доказывает, что f(x) является четной функцией для выражения x4-8.

Нечетные функции

Нечетные функции — это функции, такие как f(x), которые имеют отрицательный эквивалент при замене отрицательных независимых переменных, таких как f(-x). Следовательно, они лучше всего выражены как:

f(x)→f(-x)=-f(x)

Подтвердить, что f(x) нечетно, когда

f(x)=x3+x

Решение:

Начиная с

f(x)=x3+x

Чтобы определить природу этой функции, найдем f(-x), подставив -x. Отсюда

f(-x)=(-x)3+(-x)f(-x)=-x3-x

При факторизации по -1 получаем

f(-x)=-1(x3 +x)

Звенит ли сейчас звонок?😁

Следовательно,

f(x)→f(-x)=-f(x)

выражение х3+х.

Ни одна из функций

Ни одна из функций не является функцией, подобной f(x), которая не имеет эквивалентных значений при замене отрицательных независимых переменных, таких как f(-x). Это говорит о том, что они не являются ни четными, ни нечетными функциями. Следовательно, их лучше всего выразить как:

f(x)→f(-x)≠f(x)

и

f(x)→f(-x)≠-f(x)

Подтвердите, что f (x) четно, когда

f(x)=x4+x-1

Решение:

Так как

f(x)=x4+x-1

Чтобы определить природу этой функции, мы находим f(-x), подставляя -x. Следовательно,

f(-x)=(-x)4+(-x)-1f(-x)=x4-x-1

Выражение x4-x-1 не эквивалентно x4+x-1 , следовательно, это не четная функция. 1), следовательно, это не нечетная функция

Следовательно,

f(x)→f(-x)≠f(x)

и

f(x)→f(-x)≠-f (х)

Это доказывает, что f(x) не является функцией выражения x4+x-1.

Четные функции в тригонометрических тождествах

Можно определить характер функции (т.е. четная, нечетная или никакая) среди тригонометрических тождеств. Мы будем использовать диаграммы ниже, чтобы объяснить это.

Рисунок 1, изображение, используемое для доказательства природы функций среди тригонометрических тождеств, когда θ положительно, StudySmarter Originals

Рис. 2, изображение, используемое для доказательства природы функций среди тригонометрических тождеств, когда θ отрицательно, StudySmarter Originals

Из первой диаграммы мы можем использовать SOHCATOA для определения cosθ. Если мы это сделаем, то обнаружим, что

cosθ=ba2+b2

Но что происходит, когда θ отрицательно? Из второй диаграммы мы замечаем, что хотя противолежащая сторона (а) изменилась (на -а) из-за поворота угла в противоположном направлении, примыкающая сторона (б) остается неизменной. В этом случае

cos(-θ)=b(-a)2+b2cos(-θ)=ba2+b2

Следовательно,

cosθ=cos(-θ)

Насколько это относится к четным функциям ? Теперь, если мы выразим косинус как функцию x, так что у нас будет cos(x) вместо cos(θ). Тогда, если

f(x)=cosx

и

f(-x)=cos-xf-x=cosx

Следовательно,

f(x)=f(-x)

В данном случае это предполагает что cos(x) — четная функция.

Функции косинуса без добавления к другим функциям равны функциям .

Как насчет функций синуса?

Если обратиться к рис. 1, то можно сделать вывод, что

sinθ=aa2+b2

Однако, когда вращение на декартовой плоскости идет в противоположном направлении на угол -θ (как показано на рис. 2), мы обратите внимание, что противоположная сторона «а» на рисунке 1 меняется на «-а» на рисунке 2, потому что а расположена на отрицательной оси y. Это означает, что

sin-θ=-aa2+b2

Если разложить на -1, получится

sin-θ=-1(aa2+b2)

Напомним, что

sinθ=aa2+b2

Следовательно ,

sin-θ=-sinθ

Но насколько полезна эта деталь? Если мы выразим синус как функцию x, а не θ, чтобы мы знали, как sin(x) так же, как и sin(-x), тогда, когда

f(x)=sinx

и

f(- x)=sin(-x)f(-x)=-sin(x)

с факторизацией на -1 в правой части уравнения, мы получили бы

f(-x)=-1(sin(x))

Напомним, что

f(x)=sin(x)

Это, безусловно, означает

f(-x)=-f(x)

Это приводит к представлению, что для функции синуса

f(x)≠f(-x)

но

f(-x)=-f(x)

и, как следствие, мы можем ergo заключить, что синусоидальные функции не четные функции , а нечетные функции .

Синусоидальные функции без добавления каких-либо других функций — нечетные функции .

Почему бы не поиграть с этими двумя диаграммами, чтобы определить, являются ли касательные функции четными, нечетными или ни одной из них?

Если бы вы попытались определить, какие функции являются касательными, вы бы заметили, что, поскольку

tanθ=ab

Из диаграмм мы также знаем, что

tan(-θ)=-ab

Отсюда следует, что

tan(-θ)=-tan(θ)

Следовательно, касательные функции являются нечетными функциями.

Вы были правы?

Какова формула четных функций?

Чтобы мы могли определить формулу четных функций, показатель степени независимой переменной x всегда четен с константой или без нее. Таким образом, для x n n является четным числом, таким как 2, 4, 6…n. Если a, b и c — константы, такие как 1, 2, 3… и n — четное число, то четная функция выражается как

f(x)=axn+bxn±2+c

или

f(x)=axn+bxn±2

Для нечетных функций показатель степени независимой переменной x всегда нечетен, и константа не должна присутствовать. Таким образом, для x n , n — нечетное число, например 1, 3, 5…n. Если a и b — константы, такие как 1, 2, 3… и n — нечетное число, то нечетная функция выражается как

f(x)=axn+bxn±2

Ни для одной из функций показатель степени независимой переменной x может быть как четным, так и нечетным с наличием константы или без нее. Таким образом, для x n n является нечетным и/или четным числом, таким как 1, 2, 3, 4, 5…n. Если a, b и c являются константами, такими как 1, 2, 3… и n, как четными, так и нечетными числами, то ни одна из функций не выражается как

f(x)=axn+bxn±1+c

или

f(x)=axn+bxn±1

или в случае, если все показатели степени значения независимой переменной x нечетны с константой . Ни одна из функций не выражается как

f(x)=axn+bxn±2+c

, где n — нечетное число.

Графики четной функции

График четной функции симметричен относительно вертикальной оси (оси Y).

Когда график симметричен оси, при вращении вокруг точки или при отражении от линии график остается прежним, хотя точка на этой оси остается той же, а точка на другой оси будет иметь противоположный знак потому что они являются отражением, как зеркальное отражение.

Таким образом, когда график симметричен вертикальной оси, заданные точки (p, q) на этом графике будут иметь точки (-p, q) на этом графике. Обратите внимание, что значение y (точка q на вертикальной оси) не изменилось, в то время как значение x в первой точке (p) имеет противоположное значение для второй точки (-p).

Например, четная функция

f(x)=x4-2

изображена ниже мы видим, что две точки (-1, -1) и (1, -1) графика доказывают симметрию к оси y для четной функции x4-2.

В чем разница между четными и нечетными функциями?

Четные и нечетные функции различаются двумя основными способами; в их графиках и общем выражении.

Разница в графике

Мы только что обсуждали, что график четных функций симметричен относительно вертикальной оси (оси Y).

Вы только что забыли об этом?

Но для нечетной функции ее график симметричен относительно начала координат. Это означает, что если кривую повернуть на 180° в начале координат (0, 0), график останется прежним.

Этого поворота можно добиться, выбрав точки (b, 0) и (0, b) на графике, если перетащить точку (b, 0) по горизонтали в точку (-b, 0) и перетащить точку (0, b ) по вертикали до точки (0, -b) вы подтвердите, что график точно такой же. Разве это не удивительно?

Обратите внимание, как упоминалось ранее, на графиках четной функции, если вы выберете данную точку (p, q) на графике, у вас обязательно будет другая точка на противоположной горизонтальной стороне кривой, которая будет (-p, q ).

Пожалуйста, обратитесь к графику x 4 -2 в качестве примера.

Между тем, в нечетных функциях, если вы выберете точку (p, q), у вас будет точка (-p, -q) на противоположных вертикальной и горизонтальной осях. Например, график нечетной функции

f(x)=x3

Отмечает точки (2, 8) вверх справа, а также другую точку (-2, -8), которая находится внизу слева.

График нечетной функции, f(x)=x 3 , StudySmarter Originals

Общее выражение

Четные функции также отличаются от нечетных по своему общему выражению. Даже функции выражаются в соответствии с правилом.

f(x)=f(-x)

Однако нечетные функции не подчиняются этому правилу, поскольку в их случае

f(x)≠f(-x)

к правилу

f(-x)=-f(x)

Примеры четных функций

Чтобы лучше понять четные функции, рекомендуется попрактиковаться в некоторых задачах.

Для функции

h(x)=6×6-4×4+2×2-1

Определить, является ли функция четной. Постройте график и выберите любые две точки, чтобы доказать, что это четная функция.

Решение:

Первая задача — определить, является ли функция четной. Если вы примените формулу четной функции, описанную ранее, посмотрев на выражение 6×6-4×4+2×2-1, мы можем сделать вывод, что это четная функция, поскольку все показатели степени x, т.е. 6, 4 и 2, являются четными числами. Тем не менее, для дальнейшего подтверждения мы просто применим правило:

f(x)=f(-x)

Подставляя -x в выражение, получаем

f(-x)=6(-x)6-4(-x)4+2(x2) -1f(-x)=6×6-4×4+2×2-1

Таким образом,

f(x)=f(-x)

Следовательно, мы можем сказать, что приведенное выше выражение действительно является четной функцией.

Следующая задача — построить график и, используя две точки, дополнительно доказать, что это выражение действительно является четной функцией.

Использование точек на графике для доказательства четных функций, StudySmarter Originals

Из приведенного выше графика выражения мы выбрали две точки (-1, 3) и (1, 3). Это еще раз доказывает, что выражение 6×6-4×4+2×2-1 является четной функцией, поскольку пара (-1, 3) и (1, 3) соответствует (p, q) и (-p, q).

Если

f(x)=3×2

и

g(x)=x4

Определите класс суммы обеих функций.

Решение:

f(x)+g(x)=3×2+x4

Теперь определим вид суммы. Пусть h(x) будет суммой, так что

h(x)=3×2+x4h(-x)=3(-x)2+(-x)4h(-x)=3×2+x4h(x) =h(-x)

Следовательно, сумма f(x) и g(x), которые являются четными функциями, дает нам h(x), еще одну четную функцию.

Even Functions — ключевые выводы

  • Четные функции — это такие функции, как f(x), которые имеют те же значения при замене отрицательных независимых переменных, таких как f(-x).
  • Нечетные функции — это такие функции, как f(x), которые имеют отрицательный эквивалент при замене отрицательных независимых переменных, таких как f(-x).
  • Ни одна из функций не является такой функцией, как f(x), которая не имеет эквивалентных значений при замене отрицательных независимых переменных, таких как f(-x).
  • Можно определить характер функции (т. е. четная, нечетная или ни одна) среди тригонометрических тождеств. Функции косинуса четны, а функции синуса нечетны.
  • Чтобы мы могли определить формулу четных функций, показатель степени независимой переменной x всегда четен с константой или без нее.
  • Когда отображается четная функция, ее график симметричен относительно вертикальной оси (оси Y).
  • Четные и нечетные функции различаются двумя основными способами; в их графиках и общем выражении.

Краткая заметка о четных и нечетных функциях

В математике мы изучаем различные виды функций. Мы можем использовать алгебру или графику, чтобы определить, является ли функция четной или нечетной. Четные и нечетные функции можно проверить, подставив отрицательные входные данные (-x) вместо x в функцию f(x) и проверив результирующее выходное значение. Для их классификации используются соотношения симметрии четных и нечетных функций. Степенная функция f (x) = xn является четной функцией, если n четно, и нечетной функцией, если n нечетно, поэтому четные и нечетные функции называются соответственно. Функция может быть четной, нечетной или и той, и другой, или ни четной, ни нечетной.

Четные и нечетные функции

В большинстве случаев функция с действительным знаком является либо четной, либо нечетной. Чтобы проверить, является ли функция четной или нечетной, мы подставляем -x вместо x в функции f(x), проверяя выходное значение f(-x), чтобы установить тип функции. Четные и нечетные функции имеют одинаковую симметрию.

Четная функция

Для всех значений x в области f функция f(x) с действительным знаком называется четной функцией, если выходное значение f(-x) такое же, как f (Икс). Следующее уравнение должно выполняться четной функцией: Для всех значений x в D(f) f(-x) = f(x), где D(f) означает область определения функции f. Иными словами, уравнение f(-x) – f(x) = 0 выполняется для каждого x при заданной четной функции. Рассмотрим следующий пример: f(x) = x².

Для всех значений x f(-x) = (-x)² = x², поскольку квадрат отрицательного числа равен квадрату его положительного значения. Для всех x это означает f(-x) = f(x). f(x) = x², следовательно, является четной функцией. Такие функции, как x⁴, x⁶, x⁸ и т. д., также являются функциями.

Нечетная функция

Для всех значений x в области f функция f(x) с действительным знаком называется нечетной функцией, если выходное значение f(-x) совпадает с отрицательное значение f(x). Следующее уравнение должно храниться в нечетной функции: Для всех значений x в D(f) f(-x) = -f(x), где D(f) означает область определения функции f. Другими словами, уравнение f (-x) + f (x) = 0 выполняется для каждого x для нечетной функции. Рассмотрим следующий пример: f(x) = x³.

Поскольку куб отрицательного числа совпадает с отрицательным кубом положительного значения числа, f(-x) = (-x)³ = -(x³) для всех значений x. Для всех x это означает f(-x) = -f(x). В результате f(x) = x³ — необычная функция. Точно так же необычны такие функции, как x⁵, x⁷, x⁹ и т. д.

И четная, и нечетная функция

Если функция f(x) с действительным знаком удовлетворяет условию f(-x) = f(x) и f(-x) = -f(x) для всех значений x в область определения функции f, она называется как четной, так и нечетной (x). Единственная функция, которая одновременно является четной и нечетной, — это нулевая функция, у которой f(x) = 0 для каждого x. Для всех значений x мы знаем, что f (-x) = -f (x) = f (x) = 0 для нулевой функции. В результате f(x) = 0 является одновременно четной и нечетной функцией.

Ни четная, ни нечетная функция

Утверждается, что вещественнозначная функция f(x) не является ни четной, ни нечетной, если она не удовлетворяет условиям f(-x) = f(x) и f(- x) = -f(x) хотя бы для одного значения x в области определения функции f(x) соответственно (x). Давайте рассмотрим пример, чтобы лучше понять, что означает это определение. Рассмотрим функции f(x) = 2x⁵ + 3x² + 1, f(-x) = 2(-x)⁵ + 3(-x)² + 1 = -2x⁵ + 3x² + 1, которые не равны f( х) ни -f(x). В результате функция f(x) = 2x⁵ + 3x² + 1 не является ни четной, ни нечетной функцией.

Свойства четных и нечетных функций
  • Сумма двух четных функций равна двум четным функциям, а сумма двух нечетных функций равна двум нечетным функциям.

  • Разница между двумя четными функциями равна единице, а разница между двумя нечетными функциями равна двум нечетным функциям.

  • Если ни одна из функций не является нулевой функцией, сумма четной и нечетной функций ни в коем случае не является ни четной, ни нечетной.

  • Также верно, что произведение двух равных функций равно, и что произведение двух нечетных функций равно произведению двух четных функций.

  • При объединении четной и нечетной функций результат будет нечетным.

  • Частное двух четных функций равно произведению двух нечетных функций, а произведение двух четных функций равно произведению двух нечетных функций.

  • Функция, являющаяся произведением четной и нечетной функций, называется нечетной функцией.

  • В случае двух четных функций результат будет четным, тогда как результат двух нечетных функций будет нечетным, и наоборот.

  • Четные функции образуются путем объединения четной и нечетной функций.

Пример четных и нечетных функций

Напр. 1. Определите, является ли функция f(x) = sinx.cosx четной или нечетной функцией. Проверьте, используя определение четных и нечетных функций.

Решение: задана функция f(x) = sinx.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *