Четвертой степени сумма: Разность четвертой степени | Формулы с примерами

Алгебра

Алгебра

Гельфанд И. М., Шень А. X. Алгебра. — М.: ФАЗИС, 1998. — 192 с. Эта книга — про алгебру. Алгебра — наука древняя, и от повседневного употребления её сокровища поблекли. Авторы старались вернуть им первоначальный блеск. Основную часть книги составляют задачи, большинство которых приводится с решениями. Начав с элементарной арифметики, читатель постепенно знакомится с основными темами школьного курса алгебры, а также с некоторыми вопросами, выходящими за рамки школьной программы, так что школьники разных классов (6 — 11) могут найти в книге темы для размышлений. Оглавление 1. Предисловие 2. Перемена мест слагаемых 3. Перемена мест сомножителей 4. 2 + bх + c = 0 53. Бще одна формула корней квадратного уравнения 54. Квадратное уравнение становится линейным 55. График квадратного трехчлена 56. Квадратные неравенства 57. Максимум и минимум квадратного трехчлена 58. Биквадратные уравнения 59. Возвратные уравнения 60. Как завалить на экзамене. Советы экзаменатору 61. Корни 62. Степень с дробным показателем 63. Доказательства числовых неравенств 64. Среднее арифметическое и среднее геометрическое 65. Среднее геометрическое не больше среднего арифметического 66. Задачи на максимум и минимум 67. Геометрические иллюстрации 68. Средние многих чисел 69. Среднее квадратическое 70. Среднее гармоническое 71. Книги для дальнейшего чтения

Математические головоломки Ника: Решение 79

• головоломки:
• 1-10
• 11-20
• 21-30
• 31-40
• 41-50
• 51-60
• 61-70
710003 51-60
• 61-70
7000 7113 70003 51-60
• 61-70
7000 7103 70003 70003 -80
• 81-90
• 91-100
• 101-110
• 111-120
• 121-130
• 131-140
• 141-150
• 151-160
• Индекс
• |
• Дом
• О нас
• Доступность

Сумма трех чисел равна 6, сумма их квадратов равна 8, а сумма их кубов равна 5.   Чему равна сумма их четвертых степеней?

---

Пусть числа будут a, b и c. Затем у нас есть

A + B + C = 6
A ² + B ² + C ² = 8
A ³ + B ³ + C ³ = 5

WE WU найдите (моническое) кубическое уравнение, корни которого равны a, b и c.
Если кубическое уравнение x ³ − Ax ² + Bx − C = 0 имеет корни a, b, c, тогда, разлагая (x − a)(x − b)(x − c), находим

A = a + b + c
B = ab + bc + ca
C = abc

Тогда B = ab + bc + ca = ½ [(a + b + c) ² − (a ² + b ² + c ² )] = 14.
Следовательно, a, b, c являются корнями x ³ − 6x ² + 14x − C = 0, и мы имеем

a ³ − 6a ² + 14a − C = 0 9005 б ³ − 6б ² + 14б − С = 0
C ³ — 6C ² + 14C — C = 0

Добавление, мы имеем (A ³ + B ³ + C ³ ) — 6 (A ² + B ² ) + c ² ) + 14(a + b + c) − 3C = 5 − 6×8 + 14×6 − 3C = 0,
Отсюда C = 41/3 и x ³ − 6x ² + 14x − 41/3 = 0,

Умножая полином на x, получаем x ⁴ − 6x ³ + 14x ² − 41x/3 = 0.   Тогда

a 60 ^{4 3} + 14a ² — 41a/3 = 0
B ⁴ — 6B ³ + 14B ² — 41B/3 = 0
C ⁴ — 6C ³ + 14C ^{2 —} — 41C ³ + 14C ^{2 —} — 40055 3 + 14C ^{2 —} — 40055 3 + 14C ² — 40055 3 + 14C ² — 40055 3 2 — 4155 3
. /3 = 0

Складывая, имеем (а ⁴ + b ⁴ + c ⁴ ) − 6(a ³ + b ³ + c ^{3
(2 0 9)} + b ² + c ² ) − 41(a + b + c)/3 = 0.
Следовательно, a ⁴ + b ⁴ + c ⁴ = 6×5 − 14×8 + (41/3)×6 = 0,

То есть сумма четвертых степеней чисел равна 0.

---

Корни

Обратите внимание, что нам не нужно было фактически вычислять a, b и c, чтобы определить сумму их четвертых степеней. На самом деле одно из чисел действительное; два других являются комплексно-сопряженными; Смотри ниже. Приблизительные значения чисел: 2,67770 и 1,66115 ± 1,53116 i .

Обобщение

Используя описанный выше подход, мы можем показать, что если

a + b + c = r
a ² + b ² + c ² = s
a ³ + b ³ + c ³ = t

−5 c0 9

являются корнями a, b

−5 c0

rx ² + ½(r ² − s)x + (½r(3s − r ² ) − t)/3 = 0,

Отсюда следует, что

a 4 4 + c 4	= 4rt/3 − ½s(r 2 − s) + r 2 (r 2 − 3s)/6.
	= (r 4 − 6r 2 с + 3s 2 + 8rt)/6.

Рекуррентное соотношение

Пусть f(n) = a ⁿ + b ⁿ + c ⁿ , где n — натуральное число.
Затем, учитывая уравнение x ³ − 6x ² + 14x − 41/3 = 0, мы можем умножить на x ⁿ и просуммировать по трем корням, чтобы получить следующее рекуррентное соотношение:

f(n +3) = 6f(n+2) — 14f(n+1) + (41/3)f(n).

Последовательное применение этой формулы позволяет вычислить a ⁵ + b ⁵ + c ⁵ , a ⁶ + b ⁶ + c ⁶ и так далее.

---

Дополнительная литература

1. Корни полиномов
2. Суммы степеней в терминах симметричных функций
3. Геометрия кубической формулы
4. Как открыть для себя решение кубической формы

Источник: традиционный

Обратно к вершине

• головоломки:
• 1-10
• 11-20
• 21-30
• 31-40
• 41-50
• 51-60
• 61-70
• 710303 51-60
• 61-70
• 710003 51-60
• 61-70
9000 70003
• 81-90
• 91-100
• 101-110
• 111-120
• 121-130
• 131-140
• 141-150
• 151-160
• Индекс
• |
• Дом
• О нас
• Доступность

[PDF] О сумме четвертых степеней чисел в арифметической прогрессии

• Идентификатор корпуса: 198968377

 @article{Langen2019OnTS,
 title={О сумме четвертых степеней чисел в арифметической прогрессии},
 автор={Джоуи М.  n }$ не имеет целочисленных решений ${ x, y, z}$ с ${ \gcd(x, y) = 1 }$ для всех целых чисел ${ n > 1 }$. В основном мы используем модульный подход с двумя ${ \mathbb{Q} }$-кривыми Фрея, определенными над полем ${ \mathbb{Q}( \sqrt{30} ) }$. 9p$ с $d=2, 3$ для набора простых чисел плотности 1/4, 1/2 соответственно. Метод состоит в том, чтобы связать возможное решение с еще одним…
 представления галуа, прикрепленные к Q-кристам и обобщенному уравнению Fermat A 4 +B 2 = C P 
 J. Ellenberg
 Математика
 2003
 888888888 гг. Мы доказываем, что уравнение A 4 + B 2 = C p не имеет решений в взаимно простых натуральных числах при p > 211. Основной шаг состоит в том, чтобы показать, что для всех достаточно больших простых чисел p каждая Q-кривая над an…
 О модулярных представлениях
$$(\бар Q/Q)$$
 возникающие из модулярных форм 
 К. Рибе
 Математика
 1990
 где G — группа Галуа GaI (I) /Q), а F — конечное поле характеристики I >
  3.
No related posts.