Четвертой степени уравнение как решать: Онлайн калькулятор: Решение уравнения 4-й степени

“Методы решения уравнений четвертой степени”

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа №1 г. Южи Ивановской области

Педагогический проект по теме:

“Методы решения уравнений четвертой степени”

Выполнила Чурина

Елена Вениаминовна,

учитель математики первой

квалификационной категории

Г. Южа

2021 год

Содержание

Актуальность

Цель и задачи работы:………………………………

1. Исторические сведения об уравнениях четвёртой степени……стр.

2. Определение уравнения 4 степени………………………….стр.

3. Способы решения уравнений 4 степени……………………………стр.

3.1. Схема метода Феррари……………………….стр.

3.2. Разложение на множители. Кубическая резольвента……………стр.

3.3. Теорема Виета для уравнения 4 степени……………………..стр.

3.4. Решение уравнений 4 степени по схеме Горнера……………………стр.

4.Решение некоторых уравнений 4 степени……………………………стр.

4.1. Решение биквадратного уравнения………………………………стр.

4.2. Решение уравнения способом группировки………………….стр.

4.3. Решение уравнения по свободному члену……………………стр.

4.4. Графический метод………………………………………..стр.

4.5. Применение формул сокращенного умножения. Выделение полного квадрата………………………………………………..стр.

5. Исследование………………………………………………стр.

6. Выводы

7. Заключение

8. Тренировочные задания для отработки различных способов решения уравнений высших степеней……………………………………………стр.

Список литературы

Актуальность

Как все знают, в математике одна из важнейших вещей — это уравнения. Чаще всего решаются линейные либо квадратные уравнения, но не мало важны уравнения 4 степени, которые решить сможет не каждый учащийся 9 класса. Чтобы решать такие уравнения было проще, нужно выбрать тот способ, который тебе более понятен.

Задания с уравнениями высших степеней есть в контрольных измерительных материалах  при проведении государственной итоговой аттестации. Значит, ученики должны уметь решать уравнения не только 2 степени, но и выше. А это умеет делать далеко не каждый.

Цель работы: узнать и разобрать методы решения уравнений высших степеней.

Задачи:

Изучить литературу по истории приемов решения уравнений 4-й стпени

Обобщить накопленные знания об уравнениях4-й степени и способах их решения.

Сделать выводы.

Разработать дидактический материал для проведения практикума по решению уравнений 4-й степени с использованием новых приемов в помощь ученикам, увлеченным математикой и учителям, ведущим факультативные занятия.

Проблемный вопрос: существуют ли кроме общепринятых приемов решения квадратных уравнений другие, которые позволяют быстро и рационально решать уравнения 4-й степени?

Гипотеза: существует универсальный способ для решения всех видов уравнений 4-степеней.

Объект исследования: уравнения 4-й степени

Предмет изучения: методы и приемы решениях уравнений 4-й степени, в том числе

1.Исторические сведения об уравнениях четвёртой степени

Решение уравнений высших степеней – история полная драматизма, разочарования и радости открытия. В течение почти 700 лет математики разных стран пытались найти приёмы решения уравнений третьей, четвёртой и более высоких степеней.

Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй и высших степеней ещё в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земельными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до нашей эры вавилоняне.

Однако уже при решении уравнений третей степени математики столкнулись с большими трудностями. История открытия способа решения кубических уравнений полна тайн, так как в древности учёные часто на открытых диспутах соревновались в решении трудных задач. От исхода этих состязаний зависела их научная репутация и материальное благополучие.

Тот, кто первым овладел решением кубических уравнений, мог легко победить своих соперников давая им задачи, сводящиеся к кубическим уравнениям. Поэтому способы решения уравнения тщательно скрывались. Историки полагают, что первым нашёл способ решения кубических уравнений известный итальянский алгебраист Специна дель Ферро (1465-1576), но впервые опубликовал общую формулу решения кубических уравнений итальянский математик Джераламо Кордано (1501-1576г.). Эта формула носит теперь название формулы Кордано, хотя предполагают, что эту формулу ему передал итальянский математик Николо Тарталья ( 1500-1557). С именами этих же математиков связано открытие способов решения уравнений четвёртой степени.

В дальнейшем математики активно пытались найти формулы вычисления корней уравнений пятой и более степени. И только почти через три столетия впервые итальянский учёный Паоло Руффини (1765-1822), а затем норвежский математик Нильс Хенрих Абель (1802-1829г.) доказали, что не  существует формулы, выражающей корни любого целого уравнения пятой степени через конечное число алгебраических операций над его коэффициентами. Да и найденные формулы вычисления корней для уравнений третьей и четвёртой степени столь сложны, что ими практически не пользуются. Поэтому в современной математике разработаны методы, позволяющие находить с любой степенью точности приближенные значения корней уравнений. Использование компьютеров значительно облегчают эту работу.

2. Определение уравнения 4 степени

Уравнение четвёртой степени —алгебраическое уравнение вида:

,

при этом a≠0 и где a,b,c,d,e- любые числа.

Четвёртая степень для алгебраических уравнений является наивысшей, при которой существует аналитическое решение в радикалах в общем виде (то есть при любых значениях коэффициентов).

3. Способы решения уравнений 4 степени.

3.1 Схема метода Феррари

     

a0x4 + a1x3 + a2x2 + a3x + a4 = 0,

(1)

где a0, a1, a2, a3, a4 –  произвольные вещественные числа, причем 

      Метод Феррари состоит из двух этапов.

      На первом этапе уравнения вида (1) приводятся к уравнениям четвертой степени, у которых отсутствует член с третьей степенью неизвестного.

      На втором этапе полученные уравнения решаются при помощи разложения на множители, однако для того, чтобы найти требуемое разложение на множители, приходится решать кубические уравнения.

Приведение уравнений 4-ой степени

      Разделим уравнение (1) на старший коэффициент a0 . Тогда оно примет вид

x4 + ax3 + bx2 + cx + d = 0,

(2)

где a, b, c, d –  произвольные вещественные числа.

      Сделаем в уравнении (2) замену

(3)

где y –  новая переменная.

      Тогда, поскольку

то уравнение (2) принимает вид

(4)

      Если ввести обозначения

то уравнение (4) примет вид

y4 + py2 + qy + r = 0,

(5)

где p, q, r –  вещественные числа.

      Первый этап метода Феррари  завершён.

3.2.Разложение на множители. Кубическая резольвента

      Добавив и вычитая в левой части уравнения (5) выражение

2sy2 + s2,

где s –  некоторое число, которое мы определим чуть позже, из (5) получим

      Следовательно, уравнение (5) принимает вид

(6)

      Если теперь выбрать число s так, чтобы оно являлось каким-нибудь решением уравнения

(7)

то уравнение (6) примет вид

(8)

      Избавляясь от знаменателя, уравнение (7) можно переписать в виде

или, раскрыв скобки, — в виде

(9)

      Полученное кубическое уравнение (9), эквивалентное уравнению (7), называют кубической резольвентой уравнения 4-ой степени (5).

      Если какое-нибудь решение  кубической резольвенты (9) найдено, то уравнение (8) можно решить, разложив его левую часть на множители с помощью формулы сокращенного умножения «Разность квадратов».

      Действительно,

      Таким образом, для решения уравнения (8) остаётся решить квадратное уравнение

(10)

а также квадратное уравнение

(11)

      Вывод метода Феррари завершен.

Пример решения уравнения 4-ой степени

      Пример. Решить уравнение

x4 + 4×3 – 4×2 – 20x – 5 = 0.

(12)

      Решение. В соответствии с (3) сделаем в уравнении (12) замену

      Поскольку

x4 + 4×3 – 4×2 – 20x – 5 = (y – 1)4 + 4(y – 1)3 – 4(y – 1)2 – 20(y – 1)– 5 = 
= y4 – 4y3 + 6y2 – 4y + 1 + 4y3 – 12y2 + 12y – 4 – 4y2 + 8y – 4 – 20y + 20 – 5 =
= y4 – 10y2 – 4y + 8,

то в результате замены (13) уравнение (12) принимает вид

y4 – 10y2 – 4y + 8 = 0.

(14)

      В соответствии с (5) для коэффициентов уравнения (14) справедливы равенства

p = – 10,      q = – 4,       r = 8.

(15)

      В силу (9)  и (15) кубической резольвентой для уравнения (14) служит уравнение

2s3 + 10s2 – 16s – 84 = 0,

которое при сокращении на 2 принимает вид:

s3 + 5s2 – 8s – 42 = 0.

(16)

      Проверяя, какой из делителей свободного члена уравнения (16) является целым корнем этого уравнения, находим, что целым корнем кубической резольвенты является число

      Подставляя значения (15) и (17) в формулу (10), получаем уравнение

y2 – 2y – 4 = 0,

корни которого имеют вид:

(18)

      Подставляя значения (15) и (17) в формулу (11), получаем уравнение

y2 + 2y – 2 = 0,

корни которого имеют вид:

(19)

      В завершение, воспользовавшись формулой (13), из (18) и (19) находим корни уравнения (12):

      Ответ. 

Но эти способы очень сложны. Рассмотрю более простые способы, с помощью которых можно решить некоторые уравнения 4-й четверти.

3.3Теорема Виета для уравнения четвёртой степени

Корни уравнения четвёртой степени {\displaystyle x_{1},\,x_{2},\,x_{3},\,x_{4}} связаны с коэффициентами {\displaystyle a,\,b,\,c,\,d,\,e}следующим образом:

{\displaystyle x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=-{\frac {b}{a}},}

3.4.Решение уравнений четвертой степени по схеме Горнера

2x4 + 5x3 — 11x2 — 20x + 12 = 0

Для начала нужно методом подбора найти один корень. Обычно он является делителем свободного члена. В данном случае делителями числа 12 являются ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12. Начнем их подставлять по-очереди:

1: 2 + 5 — 11 — 20 + 12 = -12 ⇒ число 1 не является корнем многочлена

-1: 2 — 5 — 11 + 20 + 12 = 18 ⇒ число -1 не является корнем многочлена

2: 2 ∙ 16 + 5 ∙ 8 — 11 ∙ 4 — 20 ∙ 2 + 12 = 0 ⇒ число 2 является корнем многочлена

Мы нашли 1 из корней многочлена. Корнем многочлена является 2, а значит исходный многочлен должен делиться на x — 2. Для того, чтобы выполнить деление многочленов, воспользуемся схемой Горнера:

В верхней строке выставляются коэффициенты исходного многочлена. В первой ячейке второй строки ставится найденный нами корень 2. Во второй строке пишутся коэффициенты многочлена, который получится в результате деления.

Они считаются так:

	Во вторую ячейку второй строки запишем число 2, просто перенеся его из соответствующей ячейки первой строки.
	2 ∙ 2 + 5 = 9
	2 ∙ 9 — 11 = 7
	2 ∙ 7 — 20 = -6
	2 ∙ (-6) + 12 = 0

Последнее число — это остаток от деления. Если он равен 0, значит мы все верно посчитали.

Таким образом, мы исходный многочлен разложили на множители и переходим к уравнению.

(х-2)(2х3+9х2+7х-6)=0

Многочлен, являющийся вторым множителем попробуем разложить на множители подобным образом.

Отыщем опять делители свободного члена. В данном случае делителями числа -6: ±1, ±2, ±3, ±4, ±6.

Число -2 является корнем многочлена. Напишем найденный корень в схему Горнера и начнем заполнять ячейки:

Во вторую ячейку третьей строки запишем число 2, просто перенеся его из соответствующей ячейки второй строки.

-2 ∙ 2 + 9 = 5

-2 ∙ 5 + 7 = -3

-2 ∙ (-3) — 6 = 0

Таким образом, мы исходный многочлен разложили на множители и переходим к уравнению.{2}-4ac}}}{2a}}}.}

Пример.

Решить уравнение

Замена

из этого следует, что уравнение имеет два корня.

Обратная замена

т.е. невозможно

Ответ: .

4.2. Решение уравнения способом группировки

Способом группировки можно решить уравнение 4 степени.

Чтобы разложить уравнение на множители, надо сгруппировать слагаемые по парам. Мы должны сгруппировать слагаемые по парам таким образом, чтобы при вынесении общего множителя за скобки у слагаемых был одинаковый множитель.

Решим на примере.

2х4-5х3+2х2-5х=0

(2х4-5х3)+( 2х2-5х)=0

х3(2х-5)+х(2х-5)=0

(2х-5)(х3-х)=0

х(2х-5)(х2-1)=0

х(2х-5)(х-1)(х+1)=0

х=0 или 2х-5=0 или х-1=0 или х+1=0

х1=0 х2=2,5 х3=1 х4=-1

4.3. Решение уравнения по свободному члену

Любое уравнение вида   можно свести к приведенному уравнению той же степени, домножив обе его части на  и выполнив замену переменной вида :

Полученные коэффициенты   тоже будут целыми.

Таким образом, будем решать приведенное уравнение степени n с целыми коэффициентами вида  .

Алгоритм решения.

Находим целые корни уравнения.

Целые корни уравнения  , i=1, 2, …, m (m – количество целых корней уравнения) находятся среди делителей свободного члена . То есть, первым делом выписываем делители свободного члена и подставляем их по очереди в исходное равенство для проверки. Перебираем их по очереди, пока не получим тождество. Как только тождество получено, то первый целый корень уравнения найден и уравнение предстает в виде  , где  — корень уравнения, а  — частное от деления  на .

Продолжаем подставлять выписанные ранее делители в уравнение , начиная с  (так как корни могут повторяться). Как только получаем тождество, то корень  найден и уравнение предстает в виде , где  — частное от деления  на .

И так продолжаем перебор делителей, начиная с . В итоге найдем все m целых корней уравнения и оно представится в виде , где  — многочлен степени n-m. Весь этот процесс удобно проводить по схеме Горнера.

Дробных корней приведенное уравнение с целыми коэффициентами иметь не может.

Находим оставшиеся корни (иррациональные и/или комплексные) из уравнения  любым способом.

Решить уравнение .

Во-первых, найдем все целые корни данного уравнения.

Свободным членом является -3. Его делителями являются числа 1, -1, 3 и -3.

Будем подставлять их по очереди в исходное равенство до получения тождества.

При х=1 имеем . То есть х=1 является корнем уравнения.

Разделим многочлен  на (х-1) столбиком:

Следовательно, .

Продолжим перебор делителей, но уже для равенства :

При х = -1 получили верное равенство, следовательно, -1 является корнем уравнения.

Разделим  на (х+1) столбиком:

Таким образом,

Продолжаем перебор делителей для равенства , начиная с х = -1:

Получили неверные равенства, следовательно, целых корней уравнение больше не имеет.

Оставшиеся корни исходного уравнения являются корнями квадратного трехчлена .

, то есть, действительных корней трехчлен не имеет, но имеет пару комплексно сопряженных.

4.4.Графический метод.

Иногда полезно рассмотреть эскизы графиков функций у=ƒ(x) и у=g(x), входящих в уравнение ƒ(x) = g(x). Это может помочь выяснить:

1) на какие множества надо разбить числовую ось, чтобы на каждом из этих множеств использовать свой способ решения;

2) наличие или отсутствие корней, их количество.

Пример: (материал взят из ОГЭ 2016г.)

x4=(3x-10)2

Решение №3: x4=(3x-10)2

1) Рассмотрим две функции: у = х4 и у =(3х-10)2.

2) Построим график функции у = х4 — график парабола ветви направлены вверх.

3) Построим график линейной функции у = (3х-10)2. Это парабола ветви, которой направлены вверх.

4) В данном примере наглядно видна только одна точка пересечения В(2;16) (см. приложение рис.3), хотя очевидно, что графики пересекаются еще в одной точке (т.е. имеется еще одно решение).

Как видим, что графический способ в данном случае не удобен, так как ограниченный размер листа тетради не позволяет увидеть все точки пересечения.

Графическое решение уравнения- наглядный способ, он хорош при необходимости определения наличия или отсутствия корней и их количества.

4.5. Применение формул сокращенного умножения. Выделение полного квадрата.

Этот метод основан на использовании формул: 

а2-b2=(а-b)(а+b)a2+2ab+b2=(a+b)2a2−2ab+b2=(a−b)2

а3+b3=(а+b)(а2-аb+b2)а3-b3=(а-b)(а2+аb+b2)(а+b)3=а3+3а2b+3аb2+b3

(а-b)3= а3-3а2b+3аb2-b3,

Пример: х4=(3х-10)2

Способ 1: Используем формулу сокращенного умножения х4-(3х-10)2=0

(х2-3х+10)(х2+3х-10)=0

х2-3х+10=0 или х2+3х-10=0

D=9-40=-31 D=9+40=49

корней нет х1=-5, х2=2.

Ответ: х1=-2, х2=5.

6. Выводы:

1. Уравнения высших степеней решали еще более 500 тыс. лет назад.

2. Есть много способов решения уравнений 4-й степеней. Некоторые из них довольно сложные, а некоторые помогут быстро решить задания на ОГЭ.

3. Уравнения 4-й степеней играют немалую роль в развитии математики. Лишь немногие из учащихся умеют решать такие уравнения. Эти методы решения уравнений высших степеней непросты в применении, но они всё равно могут заинтересовать увлекающихся математикой учеников.

7. Заключение

В данной работе рассмотрены способы решения уравнений 4-й степени.

А также рассмотрены приёмы решения уравнений 4-й степени, которые позволяют быстрее и проще решить такие уравнения.

Данные приёмы решения заслуживают внимания, поскольку каждые из них интересны и уникальны. Овладение данными приёмами поможет экономить время и эффективно решать уравнения. Потребность в быстром и упрощенном решении обусловлена применением этих навыком на экзаменах.

Таким образом, цель работы — узнать и разобрать методы решения уравнений высших степеней- достигнуты. Гипотеза доказана, существует универсальный способ решения уравнений 4-й степени. Это способ Феррари.

Источники:

Алгебра. 9 класс:учебник для общеобразовательных организаций / А45 Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Под редакцией С. А. Теляковского. – 4-е издание – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.: ил. – ISBN 978-5-09-046396-6.

. М.Л. Галицкий, А.М. Гольдман, Л.М. Звавич «Сборник задач по алгебре для 8-9 классов». Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики -Москва «Просвещение», 1999.

 В.В. Бардушкин, И.Б. Кожухов, А.А. Прокофьев, А.М. Ревякин,
А.М. Терещенко «Письменный вступительный экзамен по математике» — Москва «Лист», 1998.

 Н.В. Бурмистрова, Н.Г. Старостенкова «Функции и их графики». Учебное пособие — Саратов «Лицей», 2003.

 М.А.Еремин «Уравнения высших степеней» — Арзамас, 2003.

А.Г.Курош «Алгебраические уравнения произвольных степеней» — М.:Наука, 1975.

Л.М.Лоповок «1000 проблемных задач по математике» — М.: Просвящение, 1995.

 И.Р.Шафаревич «Популярные лекции по математике. О решении уравнений высших степеней» Вып.15 – М.: Наука, 1954.

10.https://zaochnik.com/spravochnik/matematika/systems/reshenie-uravnenij-vysshih-stepenej/

11. http://www.cleverstudents.ru/equations/equations_of_higher_degree.html

12. https://ru.wikipedia.org/wiki/Уравнение_четвёртой_степени

Приложение 1

Тренировочные задания для отработки различных способов решения уравнений 4-й степени.

№1 Решите уравнения способом замены: , б) X4-2×2-8=0,

в) x4-8×2-9=0, г) x4-7×2+12=0, д) 3×4-13×2+4=0, е) 2×4-19×2+9=0,

ж) 3×4-13×2+4=0, з) (x2+4x)(x2+4x-17)=60=0, и) (x2-5x)(x2-5x+10)+24=0,

к)(x2-3x)2-2(x2-3x)=8, л) (x2+x)2-11(x2+x)=12, 1

м) ()+10=0, н) ()=3; о)

№2 Решите уравнения, раскладывая левую часть на множители способом группировки:

а) 2×4-5×3+2×2-5x=0,

б) 6×4-3×3+12×2-6x=0,

в) 2×4+3×3-8×2-12x=0,

г) 2×4-5×3-18×2+45x=0.

№3 Решите уравнения по свободному члену
а) 2×4 – 3×3 – 7×2 –15x + 50 =0 б)х4-4х2 +3х+2=0

в) х4+2х3-7х2 -8х+12=0

№4 Решить уравнения, применения формулы сокращенного умножения

а)   б).

Уравнения четвертой степени, стр.6 — TopRef.ru

Уравнения четвертой степени

Метод решения уравнений четвертой степени нашел в XVI в. Лудовико Феррари, ученик Джероламо Кардано. Он так и называется – метод Феррари.

Как и при решении кубического и квадратного уравнений, в уравнении четвертой степени

можно избавиться от члена подстановкой . Поэтому будем считать, что коэффициент при кубе неизвестного равен нулю:

.

Идея Феррари состояла в том, чтобы представить уравнение в виде , где левая часть – квадрат выражения , а правая часть – квадрат линейного уравнения от , коэффициенты которого зависят от . После этого останется решить два квадратных уравнения: и . Конечно, такое представление возможно только при специальном выборе параметра . Удобно взять в виде , тогда уравнение перепишется так:

. (15)

Правая часть этого уравнения – квадратный трехчлен от . Полным квадратом он будет тогда, когда его дискриминант равен нулю, т.е.

, или

.

Это уравнение называется резольвентным (т.е. «разрешающим»). Относительно оно кубическое, и формула Кардано позволяет найти какой-нибудь его корень . При правая часть уравнения (15) принимает вид

,

а само уравнение сводится к двум квадратным:

.

Их корни и дают все решения исходного уравнения.

Решим для примера уравнение

.

Здесь удобнее будет воспользоваться не готовыми формулами, а самой идеей решения. Перепишем уравнение в виде

и добавим к обеим частям выражение , чтобы в левой части образовался полный квадрат:

.

Теперь приравняем к нулю дискриминант правой части уравнения:

,

или, после упрощения,

.

Один из корней полученного уравнения можно угадать, перебрав делители свободного члена: . После подстановки этого значения получим уравнение

,

откуда . Корни образовавшихся квадратных уравнений — и . Разумеется, в общем случае могут получиться и комплексные корни.

Решение Декарта-Эйлера

подстановкой приводится к «неполному» виду

. (16)

Корни , , , «неполного» уравнения четвертой степени (16) равны одному из выражений

,

в которых сочетания знаков выбираются так, чтобы удовлетворялось условие

,

причем , и — корни кубичного уравнения

.

Уравнения высоких степеней

Разрешимость в радикалах

Формула корней квадратного уравнения известна с незапамятных времен, а в XVI в. итальянские алгебраисты решили в радикалах уравнения третьей и четвертой степеней. Таким образом, было установлено, что корни любого уравнения не выше четвертой степени выражаются через коэффициенты уравнения формулой, в которой используются только четыре арифметические операции (сложение, вычитание, умножение, деление) и извлечение корней степени, не превышающей степень уравнения. Более того, все уравнения данной степени () можно «обслужить» одной общей формулой. При подстановке в нее коэффициентов уравнения получим все корни – и действительные, и комплексные.

После этого естественно возник вопрос: а есть ли похожие общие формулы для решения уравнений пятой степени и выше Ответ на него смог найти норвежский математик Нильс Хенрик Абель в начале XIX в. Чуть раньше этот результат был указан, но недостаточно обоснован итальянцем Паоло Руффини. Теорема Абеля-Руффини звучит так:

Общее уравнение степени при неразрешимо в радикалах.

Таким образом, общей формулы, применимой ко всем уравнениям данной степени , не существует. Однако это не значит, что невозможно решить в радикалах те или иные частные виды уравнений высоких степеней. Сам Абель нашел такое решение для широкого класса уравнений произвольно высокой степени – так называемых абелевых уравнений. Теорема Абеля-Руффини не исключает даже и того, что корни каждого конкретного алгебраического уравнения можно записать через его коэффициенты с помощью знаков арифметических операций и радикалов, в частности, что любое алгебраическое число, т.е. корень уравнения вида

, ,

с целыми коэффициентами, можно выразить в радикалах через рациональные числа. На самом деле такое выражение существует далеко не всегда. Это следует из теоремы разрешимости алгебраических уравнений, построенной выдающимся французским математиком Эваристом Галуа в его «Мемуаре об условиях разрешимости уравнений в радикалах» (1832 г.; опубликован в 1846 г.).

Подчеркнем, что в прикладных задачах нас интересует только приближенные значения корней уравнения. Поэтому его разрешимость в радикалах здесь обычно роли не играет. Имеются специальные вычислительные методы, позволяющие найти корни любого уравнения с любой наперед заданной точностью, ничуть не меньшей, чем дают вычисления по готовым формулам.

Решения уравнений четвёртой степени — Журнал Ольги Арефьевой — LiveJournal

У меня папа увлекается шахматами, шашками и математикой. У него инженерное образование. Его зовут Арефьев Виктор Андреевич, и ему сейчас 78 лет. Давно мне говорил, что написал математическую статью, но не знает, как набрать ее на компе (из-за формул). Зрение не очень, с компьютером несколько «на вы». Но со скайпом, вайбером, почтой, а также шахматными и шашечными играми онлайн — управляется. Статью он написал, только не знает, куда и кому ее послать, чтобы прочитали. Мой друг постарался и помог набрать текст с рукописного черновика. Это была эпопея, но теперь наконец все готово. Пожалуйста, если среди вас есть кто-то, кто разбирается, почитайте и отзовитесь, вдруг вам есть, что сказать в ответ.
И, если можно, затегайте тех, кто еще может статью почитать и подсказать, где ее можно опубликовать в сообществах или на сайтах для интересующихся математикой. Я в математических задачах ничего не понимаю. При всей широте моих увлечений точные науки в них не вошли. Папе нужна связь с теми, кому это интересно и понятно, и с кем можно иногда виртуально общаться и получать обратную связь.

Пока выложили на моем сайте.
Вот, что папа пишет:
«Уравнение Феррари давно известно, разложение на два квадратных уравнения тоже, сопряжённые числа тоже, но здесь приведено новое их применение для вывода решения Феррари. Я про это ничего не нашёл, хоть искал».

Итак, в этой статье (идите по ссылке)

I. Новый вывод метода Феррари решения уравнения четвёртой степени.
II. Решение уравнения четвёртой степени методом сопряжённых чисел.
III. Метод Декарта-Эйлера решения уравнения четвёртой степени.
IV. Сравнение методов на примере.

И еще пишет:
«Я отдохнул от писанины и теперь решаю, с чего начать: 1. Законы Кеплера в теории двух тел с применением комплексного счисления. 2. Квадрат суммы двустороннего ряда равен сумме квадратов без удвоенных произведений. 3. Пирамиды для мертвых и для живых (заряды у молекулы воды расположены в вершинах тетраэдра и это даёт ей все важные для жизни свойства). 4. Свойства пространства с точки зрения физического вакуума — электрические, магнитные и гравитационные. 5. Разбор решения уравнения 5 степени Сергея Зайкова и опровержение альтернативного метода Валентина Подвысоцкого. 6. Решение интеграла от рациональной дроби любой степени в общем виде. 7. Решённые и нерешенные алгебраические ряды. Новые решения Базельской проблемы. 8. Суммирование рядов по методу Архимеда и определение погрешности при этом по треугольнику Паскаля. 9. Этюд Д.Кларка в шашках (1873г.) и его углубление. Углубление этюдов А.Врагова (1914г.) и И. Бленкаара (1894 г.). 10. Три дамки против дамки с тремя простыми — решение всех 36 вариантов».

Лекция по теме «Уравнения высших степеней. Методы их решения». 9-й класс

Основные цели:

1. Закрепить понятие целого рационального уравнения -й степени.
2. Сформулировать основные методы решения уравнений высших степеней (n > 3).
3. Обучить основным методам решения уравнений высших степеней.
4. Научить по виду уравнения определять наиболее эффективный способ его решения.

Формы, методы и педагогические приемы, которые используются учителем на уроке:

• Лекционно-семинарская система обучения (лекции – объяснение нового материала, семинары – решение задач).
• Информационно-коммуникационные технологии (фронтальный опрос, устная работа с классом).
• Дифференцированное обучение, групповые и индивидуальные формы.
• Использование исследовательского метода в обучении, направленного на развитие математического аппарата и мыслительных способностей каждого конкретного ученика.
• Печатный материал – индивидуальный краткий конспект урока (основные понятия, формулы, утверждения, материал лекций сжато в виде схем или таблиц).

План урока:

1. Организационный момент.
   Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность, определить содержательные рамки урока.
2. Актуализация знаний учащихся.
   Цель этапа: актуализировать знания учащихся по изученным ранее смежным темам
3. Изучение новой темы (лекция). Цель этапа: сформулировать основные методы решения уравнений высших степеней (n > 3)
4. Подведение итогов.
   Цель этапа: еще раз выделить ключевые моменты в материале, изученном на уроке.
5. Домашнее задание.
   Цель этапа: сформулировать домашнее задание для учащихся.

Конспект урока

1. Организационный момент.

Формулировка темы урока: “Уравнения высших степеней. Методы их решения”.

2. Актуализация знаний учащихся.

Теоретический опрос – беседа. Повторение некоторых ранее изученных сведений из теории. Учащиеся формулируют основные определения и дают формулировки необходимых теорем. Приводят примеры, демонстрируя уровень полученных ранее знаний.

• Понятие уравнения с одной переменной.
• Понятие корня уравнения, решения уравнения.
• Понятие линейного уравнения с одной переменной, понятие квадратного уравнения с одной переменной.
• Понятие равносильности уравнений, уравнения-следствия (понятие посторонних корней), переход не по следствию (случай потери корней).
• Понятие целого рационального выражения с одной переменной.
• Понятие целого рационального уравнения n-й степени. Стандартный вид целого рационального уравнения. Приведенное целое рациональное уравнение.
• Переход к совокупности уравнений более низких степеней путем разложения исходного уравнения на множители.
• Понятие многочлена n-й степени от x. Теорема Безу. Следствия из теоремы Безу. Теоремы о корнях (Z-корни и Q-корни) целого рационального уравнения с целыми коэффициентами (соответственно приведенного и неприведенного).
• Схема Горнера.

3. Изучение новой темы.

Будем рассматривать целое рациональное уравнение n-й степени стандартного вида с одной неизвестной переменной x : P_n(x) = 0 , где P_n(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + a₁x + a₀ – многочлен n-й степени от x, a_n≠ 0. Если a_n = 1 то такое уравнение называют приведенным целым рациональным уравнением n-й степени. Рассмотрим такие уравнения при различных значениях n и перечислим основные методы их решения.

n = 1 – линейное уравнение.

n = 2 – квадратное уравнение. Формула дискриминанта. Формула для вычисления корней. Теорема Виета. Выделение полного квадрата.

n = 3 – кубическое уравнение.

Метод группировки.

Пример:

x³ – 4x² – x + 4 = 0 (x – 4)(x²– 1) = 0 x₁ = 4 , x₂ = 1, x₃ = -1.

Возвратное кубическое уравнение вида ax³ + bx² + bx + a = 0. Решаем, объединяя члены с одинаковыми коэффициентами.

Пример: x³ – 5x² – 5x + 1 = 0 (x + 1)(x² – 6x + 1) = 0 x₁ = -1, x₂ = 3 + 2, x₃ = 3 – 2.

Уравнение с целыми коэффициентами. Подбор Z-корней на основании теоремы. Схема Горнера. При применении этого метода необходимо сделать акцент на том, что перебор в данном случае конечный, и корни мы подбираем по определенному алгоритму в соответствии с теоремой о Z-корнях приведенного целого рационального уравнения с целыми коэффициентами.

Пример: x³ – 9x² + 23x – 15 = 0. Уравнение приведенное. Выпишем делители свободного члена {+1; +3; +5; +15}. Применим схему Горнера:

	x3	x2	x1	x0	вывод
	1	-9	23	-15
1	1	1 х 1 – 9 = -8	1 х (-8) + 23 = 15	1 х 15 – 15 = 0	1 – корень
	x2	x1	x0

Получаем (x – 1)(x² – 8x + 15) = 0 x₁ = 1, x₂ = 3, x₃ = 5.

Уравнение с целыми коэффициентами. Подбор Q-корней на основании теоремы. Схема Горнера. При применении этого метода необходимо сделать акцент на том, что перебор в данном случае конечный и корни мы подбираем по определенному алгоритму в соответствии с теоремой о Q-корнях неприведенного целого рационального уравнения с целыми коэффициентами.

Пример: 9x³ + 27x² – x – 3 = 0. Уравнение неприведенное. Выпишем делители свободного члена {+1; +3}. Выпишем делители коэффициента при старшей степени неизвестного. {+1; +3; +9} Следовательно, корни будем искать среди значений {+1; +; +; +3}. Применим схему Горнера:

	x3	x2	x1	x0	вывод
	9	27	-1	-3
1	9	1 x 9 + 27 = 36	1 x 36 – 1 = 35	1 x 35 – 3 = 32 ≠ 0	1 – не корень
-1	9	-1 x 9 + 27 = 18	-1 x 18 – 1 = -19	-1 x (-19) – 3 = 16 ≠ 0	-1 – не корень
	9	x 9 + 27 = 30	x 30 – 1 = 9	x 9 – 3 = 0	корень
	x2	x1	x0

Получаем (x – )(9x² + 30x + 9) = 0 x₁ = , x₂ = — , x₃ = -3.

Для удобства подсчета при подборе Q-корней бывает удобно сделать замену переменной, перейти к приведенному уравнению и подбирать Z-корни.

• Если свободный член равен 1

.

• Если можно воспользоваться заменой вида y = kx

.

Формула Кардано. Существует универсальный метод решения кубических уравнений – это формула Кардано. Эту формулу связывают с именами итальянских математиков Джероламо Кардано (1501–1576), Николо Тарталья (1500–1557), Сципиона дель Ферро (1465–1526). Эта формула лежит за рамками нашего курса.

n = 4 – уравнение четвертой степени.

Метод группировки.

Пример: x⁴ + 2x³ + 5x² + 4x – 12 = 0 (x⁴ + 2x³) + (5x² + 10x) – (6x + 12 ) = 0 (x + 2)(x³ + 5x – 6) = 0 (x + 2)(x – 1)(x² + x + 6) = 0 x₁ = -2, x₂ = 1.

Метод замены переменной.

• Биквадратное уравнение вида ax⁴ + bx² + с = 0.

Пример: x⁴ + 5x² – 36 = 0. Замена y = x². Отсюда y₁ = 4, y₂ = -9. Поэтому x_1,2 = +2 .

• Возвратное уравнение четвертой степени вида ax⁴ + bx³ + cx² + bx + a = 0.

Решаем, объединяя члены с одинаковыми коэффициентами, путем замены вида

• Обобщенное возвратное уравнение четвертой степени вида ax⁴ + bx³ + cx² – bx + a = 0.

• Обобщенное возвратное уравнение четвертой степени вида ax⁴ + bx³ + cx² + kbx + k²a = 0.

• Замена общего вида. Некоторые стандартные замены.

Пример 1:

Пример 3. Замена общего вида (вытекает из вида конкретного уравнения).

Уравнение с целыми коэффициентами. Подбор Z-корней на основании теоремы. Схема Горнера. Алгоритм аналогичен рассмотренному выше для n = 3.

Уравнение с целыми коэффициентами. Подбор Q-корней на основании теоремы. Схема Горнера. Алгоритм аналогичен рассмотренному выше для n = 3.

Формула общего вида. Существует универсальный метод решения уравнений четвертой степени. Эту формулу связывают с именем Людовико Феррари (1522–1565). Эта формула лежит за рамками нашего курса.

n > 5 – уравнения пятой и более высоких степеней.

Уравнение с целыми коэффициентами. Подбор Z-корней на основании теоремы. Схема Горнера. Алгоритм аналогичен рассмотренному выше для n = 3.

Уравнение с целыми коэффициентами. Подбор Q-корней на основании теоремы. Схема Горнера. Алгоритм аналогичен рассмотренному выше для n = 3.

Симметрические уравнения. Любое возвратное уравнение нечетной степени имеет корень x = -1 и после разложения его на множители получаем, что один сомножитель имеет вид (x + 1), а второй сомножитель – возвратное уравнение четной степени (его степень на единицу меньше, чем степень исходного уравнения). Любое возвратное уравнение четной степени вместе с корнем вида x = φ содержит и корень вида . Используя эти утверждения, решаем задачу, понижая степень исследуемого уравнения.

Метод замены переменной. Использование однородности.

Не существует формулы общего вида для решения целых уравнений пятой степени (это показали итальянский математик Паоло Руффини (1765–1822) и норвежский математик Нильс Хенрик Абель (1802–1829)) и более высоких степеней (это показал французский математик Эварист Галуа (1811–1832)).

• Напомним еще раз, что на практике возможно использование комбинации перечисленных выше методов. Удобно переходить к совокупности уравнений более низких степеней путем разложения исходного уравнения на множители.
• За рамками нашего сегодняшнего обсуждения остались широко используемые на практике графические методы решения уравнений и методы приближенного решения уравнений высших степеней.
• Бывают ситуации, когда у уравнения нет R-корней.
Тогда решение сводится к тому, чтобы показать, что уравнение корней не имеет. Для доказательства анализируем поведение рассматриваемых функций на промежутках монотонности. Пример: уравнение x⁸ – x³ + 1 = 0 не имеет корней.
• Использование свойства монотонности функций
. Бывают ситуации, когда использование различных свойств функций позволяет упростить поставленную задачу.
Пример 1: уравнение x⁵ + 3x – 4 = 0 имеет один корень x = 1. По свойству монотонности анализируемых функций других корней нет.
Пример 2: уравнение x⁴ + (x – 1)⁴ = 97 имеет корни x₁ = -2 и x₂ = 3. Проанализировав поведение соответствующих функций на промежутках монотонности, заключаем, что других корней нет.

4. Подведение итогов.

Резюме: Теперь мы овладели основными методами решения различных уравнений высших степеней (для n > 3). Наша задача научиться эффективно использовать перечисленные выше алгоритмы. В зависимости от вида уравнения мы должны будем научиться определять, какой способ решения в данном случае является наиболее эффективным, а также правильно применять выбранный метод.

5. Домашнее задание.

[1]: п.7, стр. 164–174, №№ 33–36, 39–44, 46,47.

[4]: №№ 9.1–9.4, 9.6–9.8, 9.12, 9.14–9.16, 9.24–9.27.

Возможные темы докладов или рефератов по данной тематике:

• Формула Кардано
• Графический метод решения уравнений. Примеры решения.
• Методы приближенного решения уравнений.

Анализ усвоения материала и интереса учащихся к теме:

Опыт показывает, что интерес учащихся в первую очередь вызывает возможность подбора Z-корней и Q-корней уравнений при помощи достаточно простого алгоритма с использованием схемы Горнера. Также учащиеся интересуются различными стандартными типами замены переменных, которые позволяют существенно упрощать вид задачи. Особый интерес обычно вызывают графические методы решения. В этом случае дополнительно можно разобрать задачи на графический метод решения уравнений; обсудить общий вид графика для многочлена 3, 4, 5 степени; проанализировать, как связано число корней уравнений 3, 4, 5 степени с видом соответствующего графика. Ниже приведен список книг, в которых можно найти дополнительную информацию по данной тематике.

Список литературы:

1. Виленкин Н.Я. и др. “Алгебра. Учебник для учащихся 9 классов с углубленным изучением математики” – М., Просвещение, 2007 – 367 с.
2. Виленкин Н.Я., Шибасов Л.П., Шибасова З.Ф. “За страницами учебника математики. Арифметика. Алгебра. 10-11 класс” – М., Просвещение, 2008 – 192 с.
3. Выгодский М.Я. “Справочник по математике” – М., АСТ, 2010 – 1055 с.
4. Галицкий М.Л. “Сборник задач по алгебре. Учебное пособие для 8-9 классов с углубленным изучением математики” – М., Просвещение, 2008 – 301 с.
5. Звавич Л.И. и др. “Алгебра и начала анализа. 8–11 кл. Пособие для школ и классов с углубленным изучением математики” – М., Дрофа, 1999 – 352 с.
6. Звавич Л.И., Аверьянов Д.И., Пигарев Б.П., Трушанина Т.Н. “Задания по математике для подготовки к письменному экзамену в 9 классе” – М., Просвещение, 2007 – 112 с.
7. Иванов А.А., Иванов А.П. “Тематические тесты для систематизации знаний по математике” ч.1 – М., Физматкнига, 2006 – 176 с.
8. Иванов А.А., Иванов А.П. “Тематические тесты для систематизации знаний по математике” ч.2 – М., Физматкнига, 2006 – 176 с.
9. Иванов А.П. “Тесты и контрольные работы по математике. Учебное пособие”. – М., Физматкнига, 2008 – 304 с.
10. Лейбсон К.Л. “Сборник практических заданий по математике. Часть 2–9 класс” – М., МЦНМО, 2009 – 184 с.
11. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. “Алгебра. Дополнительные главы к школьному учебнику 9 класса. Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики.” – М., Просвещение, 2006 – 224 с.
12. Мордкович А.Г. “Алгебра. Углубленное изучение. 8 класс. Учебник” – М., Мнемозина, 2006 – 296 с.
13. Савин А.П. “Энциклопедический словарь юного математика” – М., Педагогика, 1985 – 352 с.
14. Сурвилло Г.С., Симонов А.С. “Дидактические материалы по алгебре для 9 класса с углубленным изучением математики” – М., Просвещение, 2006 – 95 с.
15. Чулков П.В. “Уравнения и неравенства в школьном курсе математик. Лекции 1–4” – М., Первое сентября, 2006 – 88 с.
16. Чулков П.В. “Уравнения и неравенства в школьном курсе математик. Лекции 5–8” – М., Первое сентября, 2009 – 84 с.

Внеклассный урок — Уравнение с одной переменной. Корень уравнения. Уравнения n-й степени. Уравнение с одной переменной.

Уравнение с одной переменной. Корень уравнения. Уравнения n-й степени

  

Уравнение – это равенство, содержащее переменную, обозначенную буквой.

Корень уравнения (или решение уравнения) – это такое значение переменной, при котором уравнение превращается в верное равенство.

 

Пример: решим уравнение (то есть найдем корень уравнения): 4x – 15 = x + 15

Итак:
4х – х = 15 + 15
3х = 30
х = 30 : 3
х = 10

Результат: уравнение имеет один корень – число 10.

Уравнение может иметь и два, три, четыре и более корней. Например, уравнение (х-4)(х-5)(х-6) = 0 имеет три корня: 4, 5 и 6.

Уравнение может вовсе не иметь корней. Например, уравнение х+2=х не имеет корней, т.к. при любом значении х равенство невозможно.

 

Равносильность уравнений.

Два уравнения являются равносильными, если они имеют одинаковые корни либо если оба уравнения не имеют корней.

Пример1:

Уравнения х + 3 = 5 и 3х – 1 = 5 равносильны, так как в обоих уравнениях х=2.

Пример 2:

Уравнения х⁴ + 2 = 1 и х² + 5 = 0 равносильны, так как оба уравнения не имеют корней.

 

Целое уравнение с одной переменной

Целое уравнение с одной переменной – это уравнение, левая и правая части которого являются целыми выражениями (о целых выражениях см.раздел «Рациональные выражения»).

Уравнение с одной переменной может быть записано в виде P(x) = 0, где P(x) – многочлен стандартного вида.

Например:
y² + 3y – 6 = 0
(здесь P(x) представлен в виде многочлена y² + 3y – 6).

В таком уравнении степень многочлена называют степенью уравнения.

В нашем примере представлено уравнение второй степени (так как в нем многочлен второй степени).

 

Уравнение первой степени.

Уравнение первой степени можно привести к виду:

ax + b = 0,

где x – переменная, a и b – некоторые числа, причем a ≠ 0.

Отсюда легко вывести значение x:

           b
x = – —
          a

Это значение x является корнем уравнения.

Уравнения первой степени имеют один корень.

 

Уравнение второй степени.

Уравнение второй степени можно привести к виду:

ax² + bx + c = 0,

где x – переменная, a, b, c – некоторые числа, причем a ≠ 0.

Число корней уравнения второй степени зависит от дискриминанта:

— если D > 0, то уравнение имеет два корня;

— если D = 0, то уравнение имеет один корень;

— если D < 0, то уравнение корней не имеет.

Уравнение второй степени может иметь не более двух корней.

(о том, что такое дискриминант и как находить корни уравнения, см.разделы «Формулы корней квадратного уравнения. Дискриминант» и «Другой способ решения квадратного уравнения»).

 

Уравнение третьей степени.

Уравнение третьей степени можно привести к виду:

ax³ + bx² + cx + d = 0,

где x – переменная, a, b, c, d – некоторые числа, причем a ≠ 0.

Уравнение третьей степени может иметь не более трех корней.

 

Уравнение четвертой степени.

Уравнение четвертой степени можно привести к виду:

ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e  = 0,

где x – переменная, a, b, c, d, e – некоторые числа, причем a ≠ 0.

Уравнение третьей степени может иметь не более четырех корней.

 

Обобщение:

1) уравнение пятой, шестой и т.д. степеней можно легко вывести самостоятельно, следуя приведенной выше схеме;

2) уравнение n-й степени может иметь не более n корней.

 

Пример 1: Решим уравнение

x³ – 8x² – x + 8 = 0.

Мы видим, что это уравнение третьей степени. Значит, у него может быть от нуля до трех корней.
Найдем их и тем самым решим уравнение.
Разложим левую часть уравнения на множители:

x²(x – 8) – (x – 8) = 0.

Применим правило разложения многочлена способом группировки его членов. Для этого поставим перед вторыми скобками число 1:

x²(x – 8) – 1(x – 8) = 0.

Теперь сгруппируем многочлены x² и –1, являющиеся множителями многочлена x–8.
Получим две группы многочленов: (x² –1) и (x – 8). Следовательно, наше уравнение примет новый вид:

(x – 8)(x² – 1) = 0.

Здесь выражение x² – 1 можно представить в виде x² – 1².
А значит, можем применить формулу сокращенного умножения: x² – 1² = (x – 1)(x + 1).
Подставим в наше уравнение это выражение и получим:

(x – 8)(x – 1)(x + 1) = 0.

Дальше все просто. При x – 8 = 0 всё уравнение тоже равно нулю.
И так – в случае и с двумя остальными выражениями x – 1 и x + 1. Таким образом:

x – 8 = 0

x – 1 = 0

x + 1 = 0

Осталось найти корни нашего уравнения:

x₁ = 0 + 8 = 8

x₂ = 0 + 1 = 1

x₃ = 0 – 1 = –1.

Уравнение решено. Оно имеет три корня: 8, 1 и –1.

 

Пример 2: Решим уравнение

(x² – 5x + 4)(x² – 5x +6) = 120.

Это уравнение сложнее. Но его можно упростить оригинальным образом – методом введения новой переменной.
В нашем уравнении дважды встречается выражение x² – 5x.
Мы можем обозначить его переменной y. То есть представим, что x² – 5x = y.

Тогда наше уравнение обретает более простой вид:

(y + 4)(y + 6) = 120.

Раскроем скобки:

y² + 4y + 6y + 24 = 120

y² + 10y + 24 = 120

Приравняем уравнение к нулю:

y² + 10y + 24 – 120 = 0

y² + 10y – 96 = 0

Мы получили обычное квадратное уравнение. Найдем его корни. Нет необходимости производить расчеты: о том, как решать подобные уравнения, подробно написано в разделах «Квадратные уравнения» и «Формулы корней квадратного уравнения. Дискриминант». Здесь же мы сразу выведем результат. Квадратное уравнение y² + 10y – 96 = 0 имеет два корня:

y₁ = -16

y₂ = 6

Буквой y мы заменили выражение x² – 5x. А значит, мы уже можем подставить значения y и найти корни заданного уравнения, тем самым решив задачу:

1) Сначала применяем значение y₁ = –16:

x² – 5x = –16

Чтобы решить это уравнение, превращаем его в квадратное уравнение:

x² – 5x + 16 = 0

Решив его, мы обнаружим, что оно не имеет корней.

2) Теперь применяем значение y₂ = 6:

x² – 5x = 6

x² – 5x – 6 = 0

Решив это квадратное уравнение, мы увидим, что у него два корня:

x₁ = –1

x₂ = 6.

Уравнение решено. Оно имеет два корня: –1 и 6.

 

Метод введения новой переменной позволяет легко решать уравнения четвертой степени, которые являются квадратными относительно x² (такие уравнения называют биквадратными).

Показательные уравнения — как решать? Примеры, свойства и определение

Определение показательного уравнения

Показательными называются уравнения с показательной функцией f(x) = aх. Другими словами, неизвестная переменная в них может содержаться как в основании степени, так и в ее показателе. Простейшее уравнение такого вида: aх = b, где a > 0, a ≠ 1.

Конечно, далеко не все задачи выглядят так просто, некоторые из них включают тригонометрические, логарифмические и другие конструкции. Но для решения даже простых показательных уравнений нужно вспомнить из курса алгебры за 6–7 класс следующие темы:

Если что-то успело забыться, советуем повторить эти темы перед тем, как читать дальнейший материал.

С точки зрения геометрии показательной функцией называют такую: y = a^x, где a > 0 и a ≠ 1. У нее есть одно важное для решения показательных уравнений свойство — это монотонность. При a > 1 такая функция непрерывно возрастает, а при a < 1 (но больше 0) — непрерывно убывает. Это хорошо видно на рисунке ниже.

Важно знать

Показательная функция не может быть отрицательным числом, т. е. выражение у = a^x при а ≤ 0 корней не имеет.

Иногда в результате решения будет получаться несколько вариантов ответа, и в таком случае мы должны выбрать тот корень, при котором показательная функция больше нуля.

Свойства степеней

Мы недаром просили повторить свойства степенной функции — на них будет основано решение большей части примеров. Держите небольшую шпаргалку по формулам, которые помогут упрощать сложные показательные уравнения.

am x an	am+n
am:an	am-n
(a x b)n	an x bn
(a : b)n	an : bn
(an)m	an x m
a-n	1/an
(a/b)-n	(b/a)n
n√a	a1/n

Как видите, ничего нового здесь нет, все это проходят в 6–7 классе.

Методы решения показательных уравнений

Самые короткие и простые показательные уравнения решаются с помощью элементарной математики. Например:

4^х = 64.

Требуется найти, в какую степень нужно возвести 4, чтобы получить 64.

4 × 4 × 4 = 64

4³ = 64

Х = 3

Но как решать показательные уравнения вот такого вида: ³√128= 4^2х? Нужно немного повозиться с преобразованием этого выражения. Например, сделать так, чтобы либо основания, либо степенные показатели стали одинаковы. Для этого мы можем разложить 128 и 4. Вы ведь заметили, что у них есть общий множитель? Правильно, это 2.

³√128= 4^2х

³√2⁷= (2²)^2x

2^7/3 = 2^4х

Теперь в нашем уравнении появились одинаковые основания, а значит, мы можем приравнять и степени.

4х = 7/3

х = 7/12

В данном случае мы используем один из алгоритмов решения показательных уравнений — привели обе части равенства к одинаковым основаниям. Дальше рассмотрим и другие методы.

Приведение к одинаковому основанию

Весомую часть уравнений вида а^х = b (при а и b 0) можно решить, превратив b в определенную степень числа a. Именно это мы сделали в примере выше, получив одинаковые основания. Главная трудность в том, чтобы найти у этих чисел общий множитель.

Если у нас есть одинаковые основания, но разные показатели степени, то при умножении чисел степени складываются, а при делении — вычитаются.

Пример 1

Рассмотрим еще одно показательное уравнение с корнем.

(1/64²)^-х = √1/8

Мы знаем, что у 64 и 8 есть общий множитель — это 2. Попробуем использовать это, и тогда 64² = 2¹², а 8 = 2³.

(1/2¹²)^-х = √1/2³

1/2^-12х = 1/2^2/3

(1/2)^-12х = (1/2)^3/2

-12х = 3/2

х = -1/8

Пример 2

В этом примере показательного уравнения нужно будет отдельно преобразовать каждую составляющую.

(0,5)^х2 × 4^х+1 = 64^-1

Найдем общее основание показательных функций:

0,5 = 1/2 = 2^-1

4 = 2²

64 = 2⁶

В результате у нас получается:

(2^-1)^х2 × (2²)^х+1 = (2⁶)^-1

2^-х2 × 2^2х+2 = 2^-6

2^-х2+2х+2 = 2^-6

-х² + 2х + 2 = -6

х²— 2х — 8 = 0

Здесь у нас будет два корня: -2 и 4.

Приведение к одинаковой степени

Не все показательные уравнения с разными основаниями можно решить предыдущим способом. Иногда проще преобразовать не основания, а показатели степени. Правда, пользоваться этим методом есть смысл только в том случае, когда мы имеем дело с умножением или делением.

При умножении чисел с разными основаниями, но одинаковыми степенными показателями можно перемножить только основания (степень останется прежней): axbx = (ab)x.

Пример

5^2х-4 = 49^2-х

Общих множителей у левой и правой части уравнения нет и привести их к одинаковому основанию достаточно трудно. Поэтому стоит поработать с показателями степеней:

5^2х-4 = 49^2-х

5^2х-4 = 7^4-2х

5^2х-4 = (1/7)^2х-4

35^2х-4 = 1

2х — 4 = 0

х = 2

Пример 2

2^х-2 = 5^2-х

Нам нужно привести обе части уравнения к одинаковым степенным показателям, и для этого вначале попробуем преобразовать правую часть, используя свойство степенных функций.

2^х-2 = 1/5^х-2

Теперь умножим обе части на 5^2-х и придем к уравнению:

2^х-2 × 5^2-х = 1

10^х-2 = 1

10^х-2 = 10⁰

х — 2 = 0

х = 2

Замена переменной

Этот способ решения показательных уравнений понадобится тем, кто не боится по-настоящему трудных задач. Ведь с помощью ввода новой переменной можно упростить даже самое сложное выражение. Его суть проста: мы заменяем «трудную» переменную на более простую и решаем уравнение, а после производим обратную замену. Главное — определить, какую именно переменную стоит заменить.

Пример

4^x— 2^x+1— 8 = 0

Очевидно, что в этом уравнении показательные функции легко привести к общему основанию: 4^х = 2^2х, а 2^х+1 = 2 × 2^х.

2^2х — 2 × 2^х — 8 = 0

Что-то напоминает. 🤔 Если бы из этого выражения можно было волшебным образом убрать 2^х, получилось бы обычное квадратное уравнение. Поэтому мы обозначим 2^х новой переменной — допустим, y.

Если 2^х = y, получается: у²— 2у — 8 = 0.

У такого уравнения есть два корня: у₁ = 4, у₂ = -2.

Проведем обратную замену: 2^х = 4, 2^х = -2.

Но мы знаем, что показательная функция в любом случае не может быть отрицательным числом, а значит, 2^х = -2 корней не имеет. Следовательно, 2^х = 4.

х = 2.

Пример 2

25^х — 6 × 5^х + 5 = 0

Если присмотреться к этому выражению, становится понятно, что у него много общего с квадратным уравнением. Введем новую переменную: 5^х = у.

у² — 6у + 5 = 0

Корни такого уравнения: 1 и 5.

Выполним обратную замену:

5^х = 1, значит х = 0.

5^х = 5, значит х = 1.

Выделение устойчивого выражения

В предыдущих примерах мы преобразовывали разные виды показательных уравнений путем разложения многочленов на множители, потому что хотели найти способ решения — получить одинаковые основания или выделить переменную, которую можно заменить. Так вот, когда мы выносим некий множитель за скобку или заменяем переменную, пытаясь упростить уравнение — это действие по сути и является выделением устойчивого выражения.

Устойчивое выражение — это некий многочлен, содержащий переменную, который в скрытом виде присутствует во всех показательных функциях уравнения. Его можно вынести за скобки или обозначить новой переменной, чтобы упростить уравнение.

Хорошая новость: так или иначе устойчивое выражение можно найти почти в любом трудном уравнении. Проблема только в том, чтобы научиться верно определять такое выражение, а этот навык появляется лишь с опытом.

Пример 1

3^х+1 + 3^х — 3^х-2 = 35

В данном случае в качестве устойчивого выражения удобно взять 3^х-2 как степень с наименьшим показателем. В итоге мы получим:

3^х-2(3³ + 3² — 1) = 35

3^х-2 × 35 = 35

3^х-2 = 1

Поскольку 1 равняется любое число в нулевой степени, мы можем записать:

3^х-2 = 3⁰

х — 2 = 0

х = 2

Пример 2

5 × 3^-3х+1 + 3^-3х+2 = 24

Для начала мы попробуем в левой части уравнения получить одинаковую степень: 3^-3х+2 = 3^-3х+1+1 = 3 × 3^-3х+1.

Теперь у нас есть устойчивое выражение 3^-3х+1, которое можно вынести за скобки, чтобы получить более простое уравнение:

3^-3х+1(5+3) = 24

8 × 3^-3х+1 = 24

3^-3х+1 = 3¹

-3х + 1 = 1

х = 0

Схема (метод) Горнера. Примеры. Решение уравнений четвертой степени

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ 4-ОЙ СТЕПЕНИ ПО СХЕМЕ ГОРНЕРА

2x⁴ + 5x³ — 11x² — 20x + 12 = 0

Для начала нужно методом подбора найти один корень. Обычно он является делителем свободного члена. В данном случае делителями числа 12 являются ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12. Начнем их подставлять по-очереди:

1: 2 + 5 — 11 — 20 + 12 = -12 ⇒ число 1 не является корнем многочлена

-1: 2 — 5 — 11 + 20 + 12 = 18 ⇒ число -1 не является корнем многочлена

2: 2 ∙ 16 + 5 ∙ 8 — 11 ∙ 4 — 20 ∙ 2 + 12 = 0 ⇒ число 2 является корнем многочлена

Мы нашли 1 из корней многочлена. Корнем многочлена является 2, а значит исходный многочлен должен делиться на x — 2. Для того, чтобы выполнить деление многочленов, воспользуемся схемой Горнера:

В верхней строке выставляются коэффициенты исходного многочлена. В первой ячейке второй строки ставится найденный нами корень 2. Во второй строке пишутся коэффициенты многочлена, который получится в результате деления. Они считаются так:

	Во вторую ячейку второй строки запишем число 2, просто перенеся его из соответствующей ячейки первой строки.
	2 ∙ 2 + 5 = 9
	2 ∙ 9 — 11 = 7
	2 ∙ 7 — 20 = -6
	2 ∙ (-6) + 12 = 0

Последнее число — это остаток от деления. Если он равен 0, значит мы все верно посчитали.

Таким образом мы исходный многочлен разложили на множители:

2x⁴ + 5x³ — 11x² — 20x + 12 = (x — 2)(2x³ + 9x² + 7x — 6)

Но это еще не конец. Можно попробовать разложить таким же способом многочлен 2x³ + 9x² + 7x — 6.

Опять ищем корень среди делителей свободного члена. Делителями числа -6 являются ±1, ±2, ±3, ±6.

1: 2 + 9 + 7 — 6 = 12 ⇒ число 1 не является корнем многочлена

-1: -2 + 9 — 7 — 6 = -6 ⇒ число -1 не является корнем многочлена

2: 2 ∙ 8 + 9 ∙ 4 + 7 ∙ 2 — 6 = 60 ⇒ число 2 не является корнем многочлена

-2: 2 ∙ (-8) + 9 ∙ 4 + 7 ∙ (-2) — 6 = 0 ⇒ число -2 является корнем многочлена

Напишем найденный корень в нашу схему Горнера и начнем заполнять пустые ячейки:

	Во вторую ячейку третьей строки запишем число 2, просто перенеся его из соответствующей ячейки второй строки.
	-2 ∙ 2 + 9 = 5
	-2 ∙ 5 + 7 = -3
	-2 ∙ (-3) — 6 = 0

Таким образом мы исходный многочлен разложили на множители:

2x⁴ + 5x³ — 11x² — 20x + 12 = (x — 2)(x + 2)(2x² + 5x — 3)

Многочлен 2x² + 5x — 3 тоже можно разложить на множители. Для этого можно решить квадратное уравнение через дискриминант, а можно поискать корень среди делителей числа -3. Так или иначе, мы придем к выводу, что корнем этого многочлена является число -3

2 5 -11 -20 12 2 2 9 7 -6 0 -2 2 5 -3 0 -3 2	Во вторую ячейку четвертой строки запишем число 2, просто перенеся его из соответствующей ячейки третьей строки.
2 5 -11 -20 12 2 2 9 7 -6 0 -2 2 5 -3 0 -3 2 -1	-3 ∙ 2 + 5 = -1
2 5 -11 -20 12 2 2 9 7 -6 0 -2 2 5 -3 0 -3 2 -1 0	-3 ∙ (-1) — 3 = 0

Таким образом мы исходный многочлен разложили на линейные множители:

2x⁴ + 5x³ — 11x² — 20x + 12 = (x — 2)(x + 2)(x + 3)(2x — 1)

А корнями уравнения являются:

x = ±2; 3; 0.5

предварительное вычисление алгебры — Есть ли общая формула для решения уравнений 4-й степени (квартики)?

Конечно, есть, но это некрасиво, сложно и не стоит запоминать. Люди знают об этом и цитировали или цитировали это для вас, но на самом деле они никогда бы не использовали это. Если вам нужно что-то действительно полезное для решений с ручкой и бумагой, вы можете понять фактическую теорию, лежащую в основе решения. Ниже я приведу один метод.

Формула Quartic — это лишь конечный результат этой методологии, записанный в терминах исходных коэффициентов.Из-за этого метод намного легче запомнить, чем формулу, поэтому меня раздражает, когда люди цитируют только формулу и говорят вам: «Не беспокойтесь, используйте компьютер». Решение с ручкой и бумагой не сложно, это просто требует времени.

Понимание того, как это делается, даже если вы никогда не используете его, расширяет ваш мозг и ваше понимание, позволяет реализовать его в программировании и позволяет воссоздавать его всякий раз, когда это может вам понадобиться, вместо чрезмерной зависимости от компьютеров, которые всегда будут рядом. ты, что, на мой взгляд, плохой математик.

Есть три метода решения квартиков, которые я знаю и знаю:

• Квадратичная факторизация Декарта
• Метод Эйлера
• Метод Феррари

Если кто-нибудь знает больше, дайте мне знать.

Метод Феррари — исторически первый метод, открытый. Метод Эйлера очень похож на метод Кардано для кубических фигур и, вероятно, был смоделирован на основе того же подхода. Но я неравнодушен к технике квадратичной факторизации Декарта.Это относительно простой процесс, который я буду использовать ниже. Если вы хотите увидеть, как работают другие, дайте мне знать.

Все вышеперечисленные методы начинаются одинаково: депрессия (удаление члена степени $ n-1 $, в данном случае кубического члена) и нормализация (доведение коэффициента опережения до 1, т. Е. Превращение полинома в однозначное число).

Они все заканчивают примерно одним и тем же местом: решением кубического уравнения. Так что к этому нужно быть готовым. Я рекомендую вам освежить в памяти это; Я не буду объяснять здесь решение кубики, а буду ссылаться только на нее.2 + qz + r = 0 \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; (1) $$

Для некоторых $ p, q, r \ in \ mathbb {R} $. Это не влияет на корневые позиции; все, что сделал коэффициент опережения, — увеличил ненулевые значения. Абсолютно без потери общности по нулям. Все эти константы, $ p, q, r $, могут быть вычислены из исходных коэффициентов, $ a, b, c, d, e $. Кубического члена по-прежнему нет, и теперь нет и коэффициента опережения.

Интересно отметить, что случилось с многочленом.Мы начали с 5 произвольных констант и сократили их до 3, нормализовав шаг и убрав кубический член. Изначально у нас были произвольные значения $ a, b, c, d, e \ in \ mathbb {R} $, а теперь у нас есть произвольные значения $ p, q, r \ in \ mathbb {R} $. Хотя последние три вычисляются из исходных пяти, они имеют произвольные значения и нет потери общности. Это значительное упрощение проблемы. Отсутствие кубического члена окажется жизненно важным.

До сих пор все было просто настройкой: запись многочлена в сокращенной монической форме.Напомним, что все методы четвертой степени достигают по крайней мере этого. Далее мы реализуем метод факторизации Декарта.

---

Метод факторизации Декарта

Мы должны предполагать, что все коэффициенты действительны, $ p, q, r \ in \ mathbb {R} $. 2 } $$

Таким образом, мы, по сути, сократились до $ m $ как последнее неизвестное.2 = 0 $$

И, по сути, мы закончили. У нас остается кубический многочлен от $ w $ , который разрешим с помощью собственных методов. Приемы, о которых, как я полагаю, вы уже знаете, если пытаетесь решить квартики. Как и в случае с квартиками, как вы уже знаете, существуют кубические формулы, но я рекомендую изучить методы, лежащие в их основе.

Если вам нужна помощь с кубиками, я рекомендую метод Кардано (исходное решение) или тригонометрическое решение Виета (я предпочитаю).Также есть Completing the Cube, хорошее доказательство концепции, но я бы никогда его не использовал. Смело задавайте по кубику отдельный вопрос и я с радостью отвечу.

Дело в том, что задача свелась с поиска корней квартики к задаче поиска корней кубики. Проблема попроще! Обычно так бывает. Все методы нахождения корня четвертой степени требуют сначала нахождения корней кубической, очевидной или нет. Так же, как поиск корней кубики требует решения квадратичной.2 — mz + \ frac {r} {n}) = 0 $.

Еще не сделано. Теперь каждый из этих квадратичных множителей должен быть решен с помощью формулы квадратиков, и у вас есть решения в $ z $. Это решает депрессивную моническую квартику, с которой мы начали метод квадратичной факторизации Декарта.

---

Наконец

Не забывайте об исходной квартике, которая была у нас в самом начале, до депрессии и нормализации. Мы ввели горизонтальный сдвиг на $ x = z- \ frac {b} {4a} $. Выполнение этого последнего бита решит исходную квартику в терминах $ x $, что и является решением, которое вы хотите.

Когда все будет готово, вы придете к набору решений. Обязательно проверьте свои ответы. У вас могут быть избыточные или лишние решения. Некоторые избыточные решения могут быть записаны очень разными алгебраическими способами, но будут представлять одно и то же числовое значение.

Если вы выразите окончательный ответ $ x $ в терминах исходных $ a, b, c, d, e $, у вас будут точно такие же «формулы четвертой степени», которые вас цитируют другие люди. Выражение, конечно, будет немного отличаться в зависимости от того, какой из методов четвертой степени вы используете.

---

Проблемы

Если вас беспокоит предположение, что коэффициенты $ p, q, r $ действительны, не стоит. Все это означает, что $ a, b, c, d, e $ реальны, что обычно является хорошим предположением. Фактически, мы можем обобщить. Значения $ p, q, r $ можно сделать сложными, подразумевая только то, что исходная квартика имеет комплекс $ a, b, c, d, e $. Это также означает, что вам придется решать кубику с комплексными коэффициентами. Это выполнимо, и математика по-прежнему работает нормально.

(PDF) Классический новый метод решения уравнений четвертой степени

Прикладная и вычислительная математика, 2013, 2 (2): 24-27 27

ii

N

5622.06624.0,5622.06624.0

67.1398688.0,32.408688.0

3

+ −−  → ∠ − ∠ =

Выбираются корни, удовлетворяющие уравнению (18):

3247.1

1

= N

iN 5619.06224.0

2

−− =

5622.06624.0

3

+ — = N

iN 8749.03210.0,8749.03210.0

41 9000−

+

iiN 8749.03210.0,8749.03210.0

42

−− + =

15095.1,15095.1

43

— = N

Выбраны ответы, удовлетворяющие уравнению (16):

7929.1

1

— = x

ix

ix

x

75.11510.1

75.11510.1

5089.0

4

3

2

— = + =

Используя второй метод, мы проверяем следующий пример

.

5. Выводы

Самым важным моментом во всех методах

решения уравнения четвертой степени является сложность этих

решений.

Чтобы доказать эффективность и простоту предложенного метода

, в четвертом разделе статьи

приведен пример квартики, который решается с помощью предложенного инициированного метода.

Ссылки

[1] «Простой метод решения уравнений четвертой степени» Амир Фати,

Пуйя Мобадерсани, Рахим Фатхи, Австралийский журнал

Основные и прикладные науки, 6 (6): 331-336, 2012, ISSN

1991-8178.

[2] Кардано, Джироламо, (перевод Т. Ричарда Витмера), Ars

Magna или правила алгебры, Довер, Нью-Йорк, штат Нью-Йорк, 1993.

[3] Фосетт, ВМ «Геометрическая интерпретация Решение

общего многочлена четвертой степени ». Амер. Математика. Ежемесячно

103, 51-57, 1996.

[4] Gellert, W .; Gottwald, S .; Hellwich, M .; Kästner, H .; и

Künstner, H. (Eds.). ВНР Краткая энциклопедия

Математика, 2-е изд.Нью-Йорк: Ван Ностранд Рейнхольд,

1989.

[5] Хазевинкель М. (Управляющий ред.). Энциклопедия

Математика: обновленный и аннотированный перевод советской «Математической энциклопедии

». Дордрехт,

Нидерланды: Рейдел, 1988.

[6] MathPages. «Преобразование квартиков в кубики».

http://www.mathpages.com/home/kmath396.htm.

[7] Смит Д. Э. Справочник по математике. Нью-Йорк:

Дувр, 1994.

[8] ван дер Варден, Б. Л. §64 по алгебре, т. 1. Нью-Йорк:

Springer-Verlag, 1993.

[9] Бейер, У. Х. Стандартные математические таблицы CRC, 28-е изд.

Бока-Ратон, Флорида: CRC Press, стр. 12, 1987а.

[10] Бейер, У. Х. Справочник по математическим наукам, 6-е изд.

Бока-Ратон, Флорида: CRC Press, 1987b.

[11] Биркгоф, Г., Мак Лейн, С. Обзор современной алгебры,

5-е изд. Нью-Йорк: Macmillan, стр.107-108, 1996.

[12] Borwein, P. and Erdélyi, T. «Quartic Equations». §1.1.E.1e

в полиномах и полиномиальных неравенствах. Нью-Йорк:

Springer-Verlag, p. 4, 1995.

[13] Бойер, К. Б., Мерцбах, У. С. История математики,

2-е изд. New York: Wiley, pp. 286-287, 1991.

[14] И. Стюарт, «Теория Галуа», изд: Chapman & Hall / CRC

Mathematics, 2004.

[15] JJ O’Connor and Э.Ф. Робертсон, «Лодовико Феррари», в

Архив истории математики MacTutor, изд. Школа

математики и статистики, Университет Сент-Эндрюс

Шотландия.

[16] ЛЕГКИЙ ВЗГЛЯД НА КУБИЧЕСКУЮ ФОРМУЛУ. Томас Дж.

Ослер. Математический факультет, Университет Роуэн,

Глассборо, штат Нью-Джерси, 08028.

Решение уравнений Полиномиальные уравнения 4-й степени

Калькулятор позволяет вычислять корни любого многочлена четвертой степени.

Коэффициенты могут быть как действительными, так и комплексными числами.

Использовалась некая методика, которая нигде не описана и не отсортирована.

Формулы Феррари использовать не стал — не интересно.

Несмотря на свой путь, вы все равно утыкаетесь в задаче решения вспомогательного уравнения третьей степени, так называемой кубической резольвенты. И скорее всего избежать этого никак не получится.

Но дальше все идет по другому.

По любому из значений корня резольвенты, вычисляем три вспомогательных параметра.

Зная эти три параметра, мы легко можем найти все четыре корня исходного уравнения.

Есть только один нюанс, с которым столкнулись предшественники, мне иногда приходится некоторым определять знак + или тоже — для одного вспомогательного параметра.

Теперь в виде формул

Замена подстановки получаем так называемый заданный многочлен

Ищем решение этого уравнения в виде сумм двух функций

Три вспомогательных параметра связаны с коэффициентами данного полинома следующими соотношениями

Выражая любой из вспомогательных параметров получаем, в том или ином виде кубическая резольвента

Например, если мы выразим F2

Это кубическое уравнение, подстановка которого превращается в классическую кубическую резольвенту.

Теперь о нюансе, о котором говорили ранее. Какой знак использовать при вычислении корней?

Критерий получается очень простой. Берем любой корень резольвенты и сравниваем его

, если это условие истинно, ставится + (плюс), если условие некорректно — (минус)

Далее все эти параметры подставляются в формулу

также определены корни уравнения 4 степени.

Еще хотелось бы поговорить о критерии.Вдумчивый читатель спросит: «А что, если какой-то корень резольвенты является комплексным числом? Каков в данном случае критерий?»

Наилучшим образом, я рассчитывал на подстановку корня в исходное уравнение. Для этого существует легкий алогритический способ, описанный в статье Значение производной многочлена по методу Хорнера. Если адрес выражения равен нулю, то есть истина, то знак не меняется. Если иначе то знак ставим минус.

Теперь можно легко и быстро решать сложные уравнения 4 степени.Вы не найдете его в онлайн-сервисах.

Попробуйте решить уравнение

Один из корней равен

Кто считает, что действительной частью можно пренебречь и отвергнуть как «почти нулевую», глубоко заблуждается. Отказавшись от него, мы будем иметь значение функции, а не ноль.

И только с учетом «такой маленькой» действительной части уравнение стать идентичным. Поэтому точность расчетов очень важна. Если вдруг заметили ошибку в расчетах (а вдруг?) Просьба сообщить.Но я надеюсь, что этого не произойдет.

Несколько примеров:

Решение уравнения четвертой степени одной переменной

Решение уравнения четвертой степени одной переменной

0 Предисловие

В процессе обучения необходимо решить квадратное уравнение одной переменной.
Поскольку у него неизвестные параметры, я хотел использовать MATLAB для решения его аналитического решения и записать его на C ++ для расчета. Позже выяснилось, что решение было слишком долгим.

Если вы поместите его непосредственно в C ++, на решение в реальном времени уйдет даже больше времени, чем на решение унарного уравнения четвертой степени. Итак, найдите другой способ узнать, как решить унарное уравнение четвертой степени.

1. Метод 1

Метод Феррари, который также является самым простым способом попасть в Google.

Я перестал смотреть на принцип временных ограничений и пошел прямо выяснять. Так совпало, что код есть в энциклопедии. Ссылка.

Феррари.cpp

  #include 
#include 
#include <комплекс>
#include 

std :: complex  sqrtn (const std :: complex  & x, double n)
{
    двойное r = гипотеза (x.real (), x.imag ());
    если (г> 0,0)
    {
        double a = atan2 (x.imag (), x.real ());
        n = 1,0 / n;
        r = pow (r, n);
        а * = п;
        return std :: complex  (r * cos (a), r * sin (a));
    }
    return std :: complex <двойной> ();
}

std :: complex  Ferrari (std :: complex  x [4]
, std :: complex <двойной> a
, std :: complex <двойной> b
, std :: complex <двойной> c
, std :: complex <двойной> d
, std :: complex <двойной> e)
{
    а = 1.0 / а;
    б * = а;
    с * = а;
    д * = а;
    е * = а;
    std :: complex  P = (c * c + 12.0 * e - 3.0 * b * d) / 9.0;
    std :: complex  Q = (27.0 * d * d + 2.0 * c * c * c + 27.0 * b * b * e - 72.0 * c * e - 9.0 * b * c * d) / 54.0;
    std :: complex  D = sqrtn (Q * Q - P * P * P, 2.0);
    std :: complex <двойной> u = Q + D;
    std :: complex <двойной> v = Q - D;
    if (v.real () * v.real () + v.imag () * v.imag ()> u.real () * u.real () + u.imag () * u.imag ())
    {
        u = sqrtn (v, 3.0);
    }
    еще
    {
        u = sqrtn (u, 3,0);
    }
    std :: complex <двойной> y;
    если (u.real () * u.real () + u.imag () * u.imag ()> 0,0)
    {
        v = P / u;
        std :: complex  o1 (-0,5, + 0,86602540378443864676372317075294);
        std :: complex  o2 (-0,5, -0,86602540378443864676372317075294);
        std :: complex <двойной> & yMax = x [0];
        двойной m2 = 0,0;
        двойной m2Max = 0,0;
        int iMax = -1;
        для (int i = 0; i <3; ++ i)
        {
            у = и + v + с / 3.0;
            u * = o1;
            v * = o2;
            а = b * b + 4,0 * (y - c);
            m2 = a.real () * a.real () + a.imag () * a.imag ();
            если (0 == я || m2Max  m = sqrtn (b * b + 4.0 * (y - c), 2.0);
    если (m.real () * m.real () + m.imag () * m.imag ()> = DBL_MIN)
    {
        std :: complex <двойной> n = (b * y - 2.0 * г) / м;
        а = sqrtn ((b + m) * (b + m) - 8,0 * (y + n), 2,0);
        х [0] = (- (b + m) + a) / 4,0;
        х [1] = (- (b + m) - a) / 4,0;
        a = sqrtn ((b - m) * (b - m) - 8,0 * (y - n), 2,0);
        х [2] = (- (b - m) + a) / 4,0;
        х [3] = (- (b - m) - a) / 4,0;
    }
    еще
    {
        a = sqrtn (b * b - 8,0 * y, 2,0);
        х [0] =
        х [1] = (-b + a) / 4,0;
        х [2] =
        х [3] = (-b - a) / 4,0;
    }
вернуть x [4];
}

int main ()
{
std :: complex <двойной> x [4];
х [4] = Феррари (х, 1,2,3,4,5);
std :: cout << "root1:" << x [0] << std :: endl << "root2:" << x [1] << std :: endl << "root3:" << x [ 2] << std :: endl << "root4:" << x [3] << std :: endl;
вернуть истину;
}
  

Тестовый коэффициент: 1, 2, 3, 4, 5

Убедитесь, что результат верен, используйте Matlab для проверки:

  p = [1 2 3 4 5];
x = корни (p)
  

Результаты согласуются, ОК.{n-2} + \ cdots + c_1x + c_0 P (x) = xn + cn − 1 xn − 1 + cn − 2 xn − 2 + ⋯ + c1 x + c0
Сопутствующая матрица:

M Икс знак равно [ 0 0 . . . 0 - c 0 1 0 . . . 0 - c 1 0 1 . . . 0 - c 2 . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 . . . 1 - c п - 1 ] M_x = \ left [\ begin {array} {ccccc} 0 & {0} & {...} & {0} & {-c_0} \\ 1 & 0 & {...} & {0} & {- c_1} \\ {0} & {1} & {...} & {0} & {-c_2} \\ {...} & {...} & {...} & {...} & {...} \\ {0} & {0} & {...} & {1} & {-c_ {n-1}} \ end {array} \ right] Mx = ⎣⎢⎢⎢⎢⎡ 010 ... 0 001 ... 0 ............... 000 ... 1 −c0 −c1 −c2 ...− cn − 1 ⎦⎥⎥⎥⎥⎤
Характерное значение п ( Икс ) Р (х) P (x) Корни.

Итак, используйте Eigen, чтобы решить многочлен:

  #include 
#include 

#include <Собственный / плотный>
используя пространство имен std;

int main (int argc, char ** argv)
{

    Eigen :: Matrix  matrix_44;
    
Eigen :: Matrix <комплексный , Eigen :: Dynamic, Eigen :: Dynamic> matrix_eigenvalues;

    matrix_44 << 0, 0, 0, -5,
1, 0, 0, -4,
0, 1, 0, -3,
0, 0, 1, -2;

std :: cout << "matrix_44:" << std :: endl << matrix_44 << std :: endl << std :: endl;

матрица_собственные значения = матрица_44.собственные значения ();

std :: cout << "matrix_eigenvalues:" << std :: endl << matrix_eigenvalues ​​<< std :: endl;
возврат 0;
}


  

Результат такой же, как и выше:

3. Заключение

Чем глубже математика, тем меньше сложность кода! !

почему мы не можем решать полиномиальные уравнения выше четвертой степени? : managelikeimfive

Вот версия, которая безопасна (умная) 5-летней давности. Ведь они знают о многочленах.

Учитывая многочлен, мы, конечно, хотели бы его решить. Для степени 1,2,3,4 у нас есть формул в терминах радикалов , то есть они могут использовать +, -, x, /, как обычно, и брать корни n-й степени (радикалы), и все.

Теперь у многих многочленов есть решения, которые не находятся внутри обычных чисел (те, которые могут быть записаны в виде дробей, рациональные числа ). Попробуйте X ² + 1 = 0. Нет решения!

Итак, мы можем представить, что делаем нашу систему счисления больше, чтобы включить этих чисел.Это возможно! И самая маленькая такая система счисления называется полем разбиения полинома. Он «разбивает» многочлен на множители. (потому что вы, умный пятилетний ребенок, знаете о соответствии факторов и решений.)

Теперь эта система счисления (или просто поле для краткости) является наименьшей, которая имеет решения для нашего многочлена, но содержит ли она другие системы счисления ? Насколько большим нам нужно было сделать поле? Француз Эварист Галуа сумел доказать, что существует структура, называемая группой , в которой есть элементы, и эти элементы в ней соединяются одно в одно с полями, содержащимися в нашем поле расщепления.

Не знаю, кто это заметил, но какой-то чувак, у которого, должно быть, был гигантский мозг, кое-что заметил. Эти группы обладали особым свойством, когда решения в поле расщепления можно было записать в терминах радикалов. Это особое свойство известно как растворимость , но это hella Technical , поэтому я больше не буду о нем говорить. Еще одна вещь, группа, которую люди называют A_5, - это , а не .

Итак, вот где мы находимся прямо сейчас: нам может быть дан многочлен, и мы можем построить новую систему счисления (его поле расщепления), в которой он имеет решения.С этим полем связана группа, которая описывает, какие другие поля оно содержит, и если эта группа разрешима, то решения могут быть записаны в радикалах. Итак, вы должны знать, что нас ждет: если мы не можем записать решения некоторого полинома 5-й степени в радикалах, у него должно быть поле расщепления, группа которого равна , не разрешима .

Именно это и происходит. Некоторые полиномы 5-й степени имеют группу A_5, которая неразрешима! Итак, некоторые многочлены 5-й степени не могут иметь хорошо записанные решения.

Теперь, конечно, если некоторые не могут быть написаны таким образом, это мешает нам использовать уравнение. Какую бы формулу вы ни записали, есть некоторые квинтики, которые она не решит, потому что ее решения - это числа, которые просто невозможно записать таким образом !

Edit Итак, чтобы объяснить 5-летнему ребенку, мы скрываем, что в основном представляет собой все мясо, в котором разрешимые группы соответствуют полям разбиения, в которых решения могут быть записаны в радикалах. Что там происходит? Что ж, группа описывает для нас подполя в поле разделения, и это фактически кодирует в каком-то смысле, как числа в больших полях строятся в терминах чисел в меньших полях.Разрешаемые группы означают, что мы «красиво» строим числа, так что корни можно записать в терминах радикалов.

Как найти пример полинома четвертой степени математического класса 11 CBSE

Подсказка: В приведенном выше вопросе нас просят найти многочлен четвертой степени, не имеющий действительных корней. Это означает, что корни мнимые. Чтобы найти многочлен, выберите любую сопряженную пару мнимых чисел. Тогда, просто перемножив их, мы получим требуемую четвертую степень полиномиального уравнения.

Полный пошаговый ответ:
Теперь мы должны найти биквадратные многочлены, предполагая два мнимых корня с их сопряженными, поскольку у него нет реальных корней, поэтому корни биквадратного многочлена будут мнимыми.
Мы случайным образом возьмем любые комплексные числа с их сопряженными, так как мнимые корни всегда встречаются парами.
Следовательно, чтобы найти пример полиномиального уравнения четвертой степени, не имеющего действительных нулей или имеющего только мнимые корни, мы будем считать корнями \ [1 \ pm i \] и \ [2 \ pm i \].{2}} - 18x + 10 \].

Примечание: Другой метод решения вопроса заключается в том, что мы можем начать с любого квадратного уравнения, которое имеет положительный ведущий коэффициент или дискриминантное значение этого квадратного уравнения меньше нуля, а затем постоянно увеличивать постоянный член до значения где он больше не пересекает ось абсцисс. Решая приведенное выше уравнение, не забывайте брать мнимые корни в сопряженных парах.

Как решать уравнения четвертой степени

Освоив приемы решения в случае работы с квадратными уравнениями, студенты сталкиваются с необходимостью повышения квалификации.Однако этот переход не всегда кажется простым, и требование найти корни в уравнении четвертой степени иногда становится невыполнимой задачей.

Инструкция по эксплуатации

1

Примените формулу Виета, которая устанавливает связь между корнями уравнения четвертой степени и его коэффициентами. Согласно его положениям, сумма корней дает значение, равное отношению первого коэффициента ко второму, взятому с противоположным знаком.Порядок нумерации совпадает с убывающими степенями: первая соответствует максимальной степени, четвертая - минимальной. Сумма попарных произведений корней - это отношение третьего коэффициента к первому. Соответственно, количество произведений x1x3x4, x1x3x4, x1x4x4, x2x4 является значением, равным противоположному результату деления четвертого коэффициента на первый. А умножив все четыре корня, вы получите число, равное отношению свободного члена уравнения к коэффициенту, обращенному к переменной в максимальной степени.Скомпилированные таким образом четыре уравнения дают вам систему с четырьмя неизвестными, для которой достаточно базовых навыков.

2

Проверьте, принадлежит ли ваше выражение к одному из типов уравнений четвертой степени, которые называются «легко решаемыми»: биквадратичным или возвратным. Превратите первое в квадратное уравнение, изменив параметры и обозначив квадрат неизвестной другой переменной.

No related posts.