Таблицы натуральных чисел в степенях: примеры вычисления
Оглавление
Время чтения: 6 минут
2 134
Таблицы натуральных чисел в степенях
Высчитывать число в степени «вручную» можно только при небольших значениях (например: 23=2*2*2=8). Но когда дело касается больших цифр (например: 693), то найти значение конкретного числа путем его перемножения на себя указанное количество раз будет сложно. Для упрощения вычислений представлено множество различных таблиц степеней, которые уже представляют готовые ответы такого «перемножения». Количество версий таких структур практически не ограничено. Сегодня попробуем разобрать наиболее популярные и простые в использовании варианты.
Традиционная таблица степеней натуральных чисел: от 1 до 10
Проще всего находить значение многократного перемножения небольших натуральных чисел. Для поиска решения можно использовать следующую подсказку:
По методу вычисления эта таблица натуральных степеней схожа с таблицей умножения.
Чтобы найти результат произведения числа нужное количество раз, достаточно найти соответствующую формулу в столбике.
Пример 1. Используем простую таблицу степеней по алгебре.
Задача. Найти 79.
Решение. Находим 79. Расположено значение во втором столбике нижней строки.
Ответ. 40353607.
Пример 2. Используем простую таблицу по алгебре.
Задача. Найти 17.
Решение. В данном случае найти значение выражения можем без использования вспомогательных инструментов. Достаточно вспомнить одно из свойств степеней: единица всегда остается единицей.
Ответ. 1.
Таблица степеней по алгебре: числа в квадрате
Расписать абсолютно каждое число и найти его значение во всех степенях — невозможно. В сложных примерах рекомендуется использовать онлайн калькуляторы. Мы же рассматриваем наиболее примитивные и распространенные случаи. В основном, в средней школе (вплоть до 11 класса) рассматриваются примеры с перемножением незначительное количество раз.
Часто используется квадрат (a2). Некоторые числа мы уже возводили в него (от 1 до 25). Значения больших чисел же можно искать тут:
*Для лучшего понимания примеры подсвечены голубым.
С левой стороны указаны десятки, а сверху — единицы. Т.е., для возведения в квадрат числа 24 ищем пересечение его десятка и единицы (2 — десяток, 4 — единица). Получаем показатель 576. Таким образом данная таблица степеней натуральных чисел может использоваться для возведения в квадрат цифр до 99.
Пример 3. Возводим большие значения в квадрат.
Задача. Найти 632.
Решение. В числе «63» 6 десятков и 3 единицы. Десятки у нас находятся с левой стороны, а единицы — в верхней строчке. Ищем нужные значения в таблице степеней по алгебре и находим число, находящееся на их пересечении.
Ответ. 3969.
Нет времени решать самому?
Наши эксперты помогут!
Контрольная
| от 300 ₽ |
Реферат
| от 500 ₽ |
Курсовая
| от 1 000 ₽ |
Таблица степеней чисел до 100 в кубе
Часто в примерах требуется возвести двузначное число в куб.
Сделать это будет проще со следующей таблицей:
*Для лучшего понимания примеры подсвечены голубым.
Пример 4. Работаем с таблицей натуральных степеней чисел в кубе.
Задача. Найти 453.
Решение. Делим число на десятки и единицы. Находим 4 десятка (левый столбец) и 5 единиц (верхняя полоса) и ищем значение их пересечения.
Ответ. 157464.
Пример 5. Вычисляем квадрат по таблице.
Задача. Найти 403.
Решение. Найти значение можно двумя способами. Первый — руководствуясь таблицей. 4 — десятки, 0 — единицы. Ищем пересечение этих цифр. Результат — 6400. Второй способ: возводим 4 в куб и прибавляем два нуля (т.к. 10 в кубе = 100). 43=64. Прибавляем «00» и получаем идентичный ответ: 6400.
Ответ. 6400.
Пользоваться таблицами степеней по математике несложно. Но только в том случае, если речь идет о небольших цифрах. В длинных примерах, состоящих из множества чисел в степенях, можно использовать онлайн калькуляторы.
Это позволит избежать ошибок, которые могут быть вызваны просмотром не той ячейки.
Оценить статью (0 оценок):
Поделиться
| 1 | Найти точное значение | грех(30) | |
| 2 | Найти точное значение | грех(45) | |
| 3 | Найти точное значение | грех(30 градусов) | |
| 4 | Найти точное значение | грех(60 градусов) | |
| 5 | Найти точное значение | загар (30 градусов) | |
| 6 | Найти точное значение | угловой синус(-1) | |
| 7 | Найти точное значение | ||
| 8 | Найти точное значение | cos(pi/4) | |
| 9 | Найти точное значение | грех(45 градусов) | |
| 10 | Найти точное значение | грех(пи/3) | |
| 11 | Найти точное значение | арктан(-1) | |
| 12 | Найти точное значение | cos(45 градусов) | |
| 13 | Найти точное значение | cos(30 градусов) | |
| 14 | Найти точное значение | желтовато-коричневый(60) | |
| 15 | Найти точное значение | csc(45 градусов) | |
| 16 | Найти точное значение | загар (60 градусов) | |
| 17 | Найти точное значение | сек(30 градусов) | |
| 18 | Найти точное значение | cos(60 градусов) | |
| 19 | Найти точное значение | cos(150) | |
| 20 | Найти точное значение | грех(60) | |
| 21 | Найти точное значение | cos(pi/2) | |
| 22 | Найти точное значение | загар (45 градусов) | |
| 23 | Найти точное значение | arctan(- квадратный корень из 3) | |
| 24 | Найти точное значение | csc(60 градусов) | |
| 25 | Найти точное значение | сек(45 градусов) | |
| 26 | Найти точное значение | csc(30 градусов) | |
| 27 | Найти точное значение | грех(0) | |
| 28 | Найти точное значение | грех(120) | |
| 29 | Найти точное значение | соз(90) | |
| 30 | Преобразовать из радианов в градусы | пи/3 | |
| 31 | Найти точное значение | желтовато-коричневый(30) | |
| 32 | 92|||
| 35 | Преобразовать из радианов в градусы | пи/6 | |
| 36 | Найти точное значение | детская кроватка(30 градусов) | |
| 37 | Найти точное значение | арккос(-1) | |
| 38 | Найти точное значение | арктан(0) | |
| 39 | Найти точное значение | детская кроватка(60 градусов) | |
| 40 | Преобразование градусов в радианы | 30 | |
| 41 | Преобразовать из радианов в градусы | (2 шт. )/3 | |
| 42 | Найти точное значение | sin((5pi)/3) | |
| 43 | Найти точное значение | sin((3pi)/4) | |
| 44 | Найти точное значение | тан(пи/2) | |
| 45 | Найти точное значение | грех(300) | |
| 46 | Найти точное значение | соз(30) | |
| 47 | Найти точное значение | соз(60) | |
| 48 | Найти точное значение | соз(0) | |
| 49 | Найти точное значение | соз(135) | |
| 50 | Найти точное значение | cos((5pi)/3) | |
| 51 | Найти точное значение | cos(210) | |
| 52 | Найти точное значение | сек(60 градусов) | |
| 53 | Найти точное значение | грех(300 градусов) | |
| 54 | Преобразование градусов в радианы | 135 | |
| 55 | Преобразование градусов в радианы | 150 | |
| 56 | Преобразовать из радианов в градусы | (5 дюймов)/6 | |
| 57 | Преобразовать из радианов в градусы | (5 дюймов)/3 | |
| 58 | Преобразование градусов в радианы | 89 градусов | |
| 59 | Преобразование градусов в радианы | 60 | |
| 60 | Найти точное значение | грех(135 градусов) | |
| 61 | Найти точное значение | грех(150) | |
| 62 | Найти точное значение | грех(240 градусов) | |
| 63 | Найти точное значение | детская кроватка(45 градусов) | |
| 64 | Преобразовать из радианов в градусы | (5 дюймов)/4 | |
| 65 | Найти точное значение | грех(225) | |
| 66 | Найти точное значение | грех(240) | |
| 67 | Найти точное значение | cos(150 градусов) | |
| 68 | Найти точное значение | желтовато-коричневый(45) | |
| 69 | Оценить | грех(30 градусов) | |
| 70 | Найти точное значение | сек(0) | |
| 71 | Найти точное значение | cos((5pi)/6) | |
| 72 | Найти точное значение | КСК(30) | |
| 73 | Найти точное значение | arcsin(( квадратный корень из 2)/2) | |
| 74 | Найти точное значение | загар((5pi)/3) | |
| 75 | Найти точное значение | желтовато-коричневый(0) | |
| 76 | Оценить | грех(60 градусов) | |
| 77 | Найти точное значение | arctan(-( квадратный корень из 3)/3) | |
| 78 | Преобразовать из радианов в градусы | (3 пи)/4 | |
| 79 | Найти точное значение | sin((7pi)/4) | |
| 80 | Найти точное значение | угловой синус(-1/2) | |
| 81 | Найти точное значение | sin((4pi)/3) | |
| 82 | Найти точное значение | КСК(45) | |
| 83 | Упростить | арктан(квадратный корень из 3) | |
| 84 | Найти точное значение | грех(135) | |
| 85 | Найти точное значение | грех(105) | |
| 86 | Найти точное значение | грех(150 градусов) | |
| 87 | Найти точное значение | sin((2pi)/3) | |
| 88 | Найти точное значение | загар((2pi)/3) | |
| 89 | Преобразовать из радианов в градусы | пи/4 | |
| 90 | Найти точное значение | грех(пи/2) | |
| 91 | Найти точное значение | сек(45) | |
| 92 | Найти точное значение | cos((5pi)/4) | |
| 93 | Найти точное значение | cos((7pi)/6) | |
| 94 | Найти точное значение | угловой синус(0) | |
| 95 | Найти точное значение | грех(120 градусов) | |
| 96 | Найти точное значение | желтовато-коричневый ((7pi)/6) | |
| 97 | Найти точное значение | соз(270) | |
| 98 | Найти точное значение | sin((7pi)/6) | |
| 99 | Найти точное значение | arcsin(-( квадратный корень из 2)/2) | |
| 100 | Преобразование градусов в радианы | 88 градусов |
Как оценить количество степеней свободы в модели
В программном обеспечении COMSOL Multiphysics ® число степеней свободы (DOF) в модели существенно коррелирует с вычислением модели и влияет на него.
В этой статье мы объясним важность степеней свободы для модели и как оценить количество степеней свободы.
Что означают степени свободы в COMSOL Multiphysics
® ?Время решения и требования к памяти для вычисления модели сильно связаны с количеством степеней свободы в модели. Часто желательно иметь возможность оценить количество степеней свободы на основе количества элементов в модели.
Для большинства физических интерфейсов каждая зависимая переменная присутствует во всех узлах сетки. Это означает, что количество степеней свободы определяется количеством узлов, умноженным на количество зависимых переменных. Соотношение между количеством узлов и количеством элементов зависит от порядка элементов и различается между 2D и 3D. Отношение является приблизительным, так как оно зависит от соотношения элементов, лежащих на границе геометрии. Для тонких геометрий, где большая часть элементов лежит на границе, количество узлов на элемент немного больше. Дополнительную справочную информацию о степенях свободы в модели можно найти в сообщении блога, в котором обсуждается, сколько памяти необходимо для решения больших моделей, в разделе текста, объясняющем, что такое степени свободы.
Оценка количества степеней свободы
Ниже приведены приблизительные соотношения между количеством узлов и количеством элементов в 2D и 3D для элементов Лагранжа разного порядка. Четырехугольные (четверные) сетки имеют примерно в два раза больше узлов, чем треугольные, а шестигранные (кирпичные) сетки имеют примерно в шесть раз больше узлов, чем тетраэдрические. После расчета общего количества узлов вы можете рассчитать общее количество степеней свободы.
| Пространственное измерение | Заказ элемента | Приблизительное количество узлов |
|---|---|---|
| 2D | Линейные треугольные элементы | (# узлов) = 0,5 * (# элементов) |
| 2Д | Линейные счетверенные элементы | (# узлов) = 1 * (# элементов) |
| 2Д | Квадратные треугольные элементы | (# узлов) = 2 * (# элементов) |
| 2Д | Квадратные счетверенные элементы | (# узлов) = 4 * (# элементов) |
| 2Д | Кубические треугольные элементы | (# узлов) = 4,5 * (# элементов) |
| 2Д | Счетверенные кубические элементы | (# узлов) = 9 * (# элементов) |
| 3D | Линейные четырехгранные элементы | (# узлов) = 0,2 * (# элементов) |
| 3D | Линейные кирпичные элементы | (# узлов) = 1,2 * (# элементов) |
| 3D | Квадратные четырехгранные элементы | (# узлов) = 1,4 * (# элементов) |
| 3D | Квадратные кирпичные элементы | (# узлов) = 8,5 * (# элементов) |
| 3D | Кубические четырехгранные элементы | (# узлов) = 4,6 * (# элементов) |
| 3D | Кубические кирпичные элементы | (# узлов) = 28 * (# элементов) |
Общее количество степеней свободы определяется по формуле: (количество степеней свободы) = (количество узлов) * (количество зависимых переменных).
Количество элементов сетки в вашей модели отображается в окне Log каждый раз, когда вы создаете новую сетку или изменяете существующую, нажимая кнопку Build All . Он также доступен через вкладку ленты Mesh , в группе ленты Evaluate , через кнопку Statistics .
Кнопка Статистика на вкладке ленты «Сетка» (вверху справа) используется для быстрой оценки количества элементов сетки, среди других статистических данных сетки, в модели. Соответствующие количества отображаются в окне Log .
Вы также можете узнать количество элементов сетки в вашей модели, щелкнув правой кнопкой мыши узел Mesh и выбрав Statistics .
Окно Mesh Statistics , которое предоставляет подробный снимок статистической информации о сетке в вашей модели. Выше вы можете увидеть разбивку количества элементов сетки по типу.
Вычисление количества степеней свободы
Чтобы увидеть количество степеней свободы в модели, необходимо сначала создать конфигурации решателя, решив модель или щелкнув правой кнопкой мыши Изучить и выбрав Показать решатель по умолчанию .
Затем ваше исследование будет содержать один узел Compile Equations для каждого шага исследования. Щелкните правой кнопкой мыши на любом таком узле и выберите Статистика , чтобы увидеть количество степеней свободы, найденных на соответствующем шаге исследования.
Страница Статистика , на которой представлены статистические данные о решателе, зависимых переменных и количестве степеней свободы.
Это даст вам обзор зависимых переменных и их количество степеней свободы, а также общее количество степеней свободы. Обратите внимание, что количество степеней свободы — не единственный фактор, определяющий требования к памяти и время решения задачи. Кроме того, вычисление приведенной выше статистики требует вычисления размера собранной конечно-элементной модели, что может занять некоторое время для больших моделей. В этих случаях, в зависимости от размера вашей модели, может быть более целесообразно оценить количество степеней свободы, используя приближения, приведенные в начале этой статьи.