Что называется медианой треугольника: Что такое медиана треугольника? Ответ на webmath.ru

Медиана треугольника

Слово «медиана» переводится как «равноделящая сторону». Чтобы построить медиану, надо середину стороны треугольника соединить отрезком с противолежащей вершиной треугольника. Полученный отрезок и есть медиана треугольника.

Медиана треугольника – отрезок, проведенный из вершины треугольника, соединяющий эту вершину с серединой противолежащей стороны треугольника.

На рисунке красным цветом обозначена медиана CK. При этом она делит сторону AB треугольника пополам, AK = KB.

Свойства медианы треугольника

Все медианы треугольника пересекаются в одной точке, расположенной в плоскости треугольника и являющейся его центром тяжести. 

Для определения этой точки достаточно построить две медианы треугольника, и точка их пересечения будет принадлежать третьей медиане этого треугольника.

• Точкой пересечения медиан треугольника каждая медиана делится в отношении 2:1, считая от вершины треугольника. Т.е. длина отрезка медианы от вершины треугольника до точки пересечения медиан составляет 2/3 всей ее длины, а от точки пересечения медиан до стороны треугольника — 1/3 ее длины.

• Медиана разбивает треугольник на два равновеликих (по площади) треугольника.

• Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.

• Из отрезков, образующих медианы, можно составить треугольник, площадь которого будет равна 3/4 от всего треугольника. Длины медиан удовлетворяют неравенству треугольника.

• В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая из вершины с прямым углом, равняется половине гипотенузы.

• Большей стороне треугольника соответствует меньшая медиана.

• У равнобедренного треугольника медиана, биссектриса и высота, проведенные к основанию треугольника, совпадают.

• У равностороннего треугольника все три «замечательные» линии (высота, биссектриса и медиана) совпадают и три «замечательных» точки (точки ортоцентра, центра тяжести и центра вписанной и описанной окружностей) находятся в одной точке пересечения «замечательных» линий, т.е. тоже совпадают.

Средняя линия треугольника

Отрезок, проведенный через основания двух любых медиан треугольника, является его средней линией.

Средняя линия треугольника всегда параллельна той стороне треугольника, с которой она не имеет общих точек.

Средняя линия треугольника равна половине длины той стороны треугольника, которой она параллельна.

Формулы медианы произвольного треугольника

• Длина медианы, проведенной к стороне произвольного треугольника равна половине квадратного корня из удвоенной суммы квадратов двух других сторон из которой вычтен квадрат стороны, к которой проведена медиана (Формула 1)
• Сумма квадратов медиан треугольника равна 3/4 суммы квадратов его сторон (Формула 2)
• Длина стороны треугольника равна 2/3 квадратного корня из удвоенной суммы квадратов медиан, проведенных к двум другим его сторонам за вычетом квадрата медианы, проведенной к искомой стороне (Формула 3)
• Площадь треугольника можно найти через длины его медиан, используя значение полусуммы длин медиан (Формулы 4 и 5)

Содержание главы:

• Как найти длину медианы треугольника

• Нахождение площади через медианы

• Угол между высотой и медианой треугольника

• Медиана прямоугольного треугольника

• Медіана прямокутного трикутника

0  

 Площадь треугольника | Описание курса | Как найти длину медианы треугольника 

   

Высоты медианы биссектрисы треугольника — материалы для подготовки к ЕГЭ по Математике

Высоты, медианы и биссектрисы треугольника постоянно встречаются нам в задачах по геометрии. Мы начнем с таблицы, в которой показано, что такое высоты, медианы и биссектрисы, и какими свойствами они обладают. Затем — подробные объяснения и решение задач.

 

Высотой треугольника называется перпендикуляр,
опущенный из вершины треугольника
на противоположную сторону.

 

 

 

 

В тупоугольном треугольнике высота
опускается на продолжение стороны.

 

 

 

 

Три высоты треугольника  всегда
пересекаются в одной точке.

 

 

 

 

 

 

В случае тупого угла пересекаются
продолжения высот.

 

 

 

 

Медианой треугольника называют отрезок,
соединяющий вершину треугольника с
серединой противоположной стороны.

 

 

 

 

Три медианы треугольника пересекаются в
одной точке и делятся в ней в отношении
2 : 1 , считая от вершины.

 

 

 

 

Биссектриса треугольника делит
угол треугольника пополам.

 

 

 

 

Три биссектрисы пересекаются в одной точке,
которая является центром окружности,
вписанной в треугольник.

 

 

Напомним, что высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из его вершины на противоположную сторону.

Три высоты треугольника всегда пересекаются в одной точке. Вот как это выглядит в случае остроугольного треугольника.

Попробуйте провести три высоты в тупоугольном треугольнике. Получилось? Да, редкий выпускник справляется с этим заданием. Действительно, мы не можем опустить перпендикуляр из точки A на отрезок BC, зато можем опустить его на прямую BC — то есть на продолжение стороны BC.

В этом случае в одной точке пересекаются не сами высоты, а их продолжения.

В прямоугольном треугольнике каждый катет является высотой к другому катету. Три высоты прямоугольного треугольника пересекаются в вершине прямого угла.

Как доказать, что три высоты треугольника пересекаются в одной точке?
Доказательство здесь: Свойство высот треугольника.

Медиана треугольника — отрезок, соединяющий его вершину с серединой противоположной стороны.

Три медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся в ней в отношении 2 : 1, считая от вершины.

Доказательство этой теоремы смотрите здесь: Свойства медиан треугольника.

Биссектриса треугольника — отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне и делящий угол треугольника пополам.

У биссектрисы угла есть замечательное свойство — точки, принадлежащие ей, равноудалены от сторон угла. Поэтому три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, равноудаленной от всех сторон треугольника. Эта точка является центром окружности, вписанной в треугольник.

Читайте доказательство теоремы о том, что три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке:
Свойства биссектрис треугольника.

Еще одно свойство биссектрисы часто применяется при решении задач.

Теорема. Биссектриса треугольника делит противоположную сторону в отношении длин прилежащих сторон:

 

 

 

 

 

Доказательство этой теоремы здесь: Свойство биссектрисы треугольника.

Разберем несколько задач, в которых речь идет о высотах, медианах и биссектрисах треугольника. Все задачи взяты из Банка заданий ФИПИ.

Задача 1. Найдите острый угол между биссектрисами острых углов прямоугольного треугольника.
Ответ дайте в градусах.

Решение:

Пусть биссектрисы треугольник ABC (в котором угол C равен ) пересекаются в точке M.

Рассмотрим треугольник ABM.

,

, тогда .

Острый угол между биссектрисами на рисунке обозначен .

Угол  смежный с углом , следовательно, .

Поскольку треугольник  — прямоугольный, то .

Тогда .

Ответ: 45.

Задача 2. Острые углы прямоугольного треугольника равны и . Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Пусть CH — высота, проведенная из вершины прямого угла C, CK — биссектриса угла C.

Тогда ;

.

Угол между высотой и биссектрисой — это угол .

.

Ответ: 16.

Задача 3.  Острые углы прямоугольного треугольника равны  и . Найдите угол между высотой и медианой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Рассмотрим треугольник АВС, в котором угол С – прямой, CD – высота, СМ – медиана.

Требуется найти угол МСD.

Треугольник CMB – равнобедренный, т.к. медиана СМ равна половине гипотенузы АВ.

Следовательно, 

Искомый 

Ответ: 42.

Задача 4.  Острые углы прямоугольного треугольника равны  и . Найдите угол между биссектрисой и медианой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Рассмотрим треугольник АВС, в котором угол С – прямой, CL – биссектриса, СМ – медиана.

. Требуется найти угол МСL.

Треугольник CMB – равнобедренный, т.к. медиана СМ равна половине гипотенузы АВ.

Следовательно,

т.к. CL – биссектриса.

Искомый 

Ответ: 22.

Задача 5.  Два угла треугольника равны и . Найдите тупой угол, который образуют высоты треугольника, выходящие из вершин этих углов. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Из треугольника ACH (угол H — прямой) найдем угол CAH. Он равен .

Из треугольника ACK ( K — прямой) найдем угол ACK. Он равен .

В треугольнике AOC известны два угла. Найдем третий, то есть угол AOC, который и является тупым углом между высотами треугольника ABC:

.

Ответ: 130.

Задача 6.  В треугольнике ABC угол С равен , AD и BE — биссектрисы, пересекающиеся в точке O. Найдите угол AOB. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Пусть в треугольнике ABC угол BAC равен A, угол ABC равен B.

Рассмотрим треугольник AOB.

,

, тогда .

Из треугольника ABC получим, что .

Тогда .

Ответ: 119.

Задача 7.  В треугольнике ABC угол A равен , угол B равен . AD, BD и CF — биссектрисы, пересекающиеся в точке O. Найдите угол AOF. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Найдем угол ACB. Он равен

Тогда

Из треугольника ACF найдем угол . Он равен .

Рассмотрим треугольник AOF.

, . Значит .

Ответ: 49.

Задача 8.  В треугольнике ABC, CD — медиана, угол ACB равен , угол B равен . Найдите угол ACD. Ответ дайте в градусах.

Решение:

В прямоугольном треугольнике медиана равна половине гипотенузы.

Поэтому

Треугольник ADC равнобедренный, следовательно, углы при основании равны:

Поскольку в прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90 градусов, получим:

Ответ: 22.

Задача 9.  В треугольнике АВС АD — биссектриса, угол С равен . Угол САD равен . Найдите угол В. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Поскольку AD – биссектриса, то

Сумма углов треугольника равна , следовательно,

Ответ: 74.

Задача 10. В треугольнике АВС CH – высота, AD – биссектриса, О – точка пересечения прямых CH и AD, угол BAD равен . Найдите угол АОС. Ответ дайте в градусах.

Решение: 

Угол АОС – внешний в треугольнике АНО, следовательно,

Ответ: 116.

Задача 11. В треугольнике АВС проведена биссектриса AD и AB = AD = CD. Найдите меньший угол треугольника АВС. Ответ дайте в градусах.

Решение:

AD = CD, следовательно, треугольник ADC – равнобедренный и

AD — биссектриса, следовательно,

AB = AD, следовательно, треугольник ABD – равнобедренный и

– внешний в треугольнике ADC, следовательно,

Таким образом, наименьшим углом треугольника АВС является , два других угла – в два раза больше.

Воспользуемся тем, что сумма углов треугольника АВС равна :

, откуда получаем:

Наименьший угол треугольника АВС равен .

Ответ: 36.

Задача 12. Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки 2,8 и 4,2. Периметр треугольника равен 22. Найдите стороны треугольника.

Решение:

Пусть стороны треугольника равны и . Биссектриса делит сторону c на отрезки 2,8 и 4,2.
Значит,

В соответствии со свойством биссектрисы:

Или:

Одновременно выполнено условие для периметра:

Тогда

Ответ: 9, 6, 7.

 

Узнать определение, факты и примеры

Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой другой стороны и делящий эту сторону пополам, в геометрии называется медианой треугольника. В каждом треугольнике три медианы, по одной из каждой вершины.

В центре треугольника эти медианы пересекаются. Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину с серединой стороны, противоположной этой вершине. Медиана (AD) в приведенном ниже примере делит BC на две равные части, в результате чего BD = DC. Это отвечает на вопрос, что такое медиана в геометрии?

Медиана треугольника

Свойства медианы треугольника

Некоторые свойства медианы треугольника перечислены ниже:

• Отрезок от вершины треугольника до середины его противоположной стороны медиана треугольника.

• Он делит противоположную сторону на две равные части, разрезая ее пополам.

• Треугольник делится на два треугольника с одинаковой площадью по медиане.

• Три медианы любого треугольника сходятся в одной точке, независимо от его размера или формы.

• Для каждого треугольника существуют три медианы, по одной из каждой вершины. Центроид треугольника образован пересечением трех медиан.

• Центроид — это точка пересечения медиан треугольника.

Высота треугольника

Отрезок, образующий прямой угол (90°) от вершины треугольника к противоположной стороне, считается высотой треугольника. В зависимости от типа треугольника высота может быть внутри или снаружи треугольника. Каждый треугольник имеет три высоты, по одной из каждой вершины, которые сходятся в ортоцентре треугольника. 9{2}}{4}}$

, где $P Q=3, P R=4, Q R=5$

$PM=\sqrt{\dfrac{18+32-25}{4}}=\sqrt{ \dfrac{50-25}{4}}=\sqrt{\dfrac{25}{4}}=\dfrac{5}{2}=2,5 \text { ед. }$

Q2. Определите длину медианы треугольника ABC, стороны которого равны AB = 10, BC = 8 и AC = 13 единиц соответственно. Медиана, созданная на стороне BC, задается как AD, где D — медиана.

Ответ: Здесь мы должны найти AD. {2}$. 9{2}=100-36=64$

$\Rightarrow B D=8$

$\Rightarrow B C=2 B D=2 \times 8=16$

Площадь $\Delta \mathrm{BGD}=\ dfrac{1}{2} \times \mathrm{GD} \times \mathrm{BD}$

$=\dfrac{1}{2} \times 8 \times 6=24$ кв.ед.

Q5. Два равносторонних треугольника со стороной 4 см каждый, но обозначенные как △ABC и △LHN, не равны. Правда или ложь?

Ответ: Два равносторонних треугольника с равными сторонами всегда равны, независимо от того, как они обозначены. Итак, утверждение Ложное. 9{2}}{4}}$

Q2. Найдите длину медианы AD, если у нас есть координаты треугольника ABC как A(1,0), B(0,1), C(1,1)

Ответ: $\dfrac{\sqrt{5}}{ 2}$

3 кв. Данное утверждение истинно или ложно, то есть точка, где медиана встречается с противоположными сторонами, является серединой этой линии.

Ответ: Правда

Q4. Для любого треугольника центр тяжести является точкой пересечения __________ треугольника

Ответ: медианы

Q5. Сколько медиан у треугольника?

Ответ: Каждый треугольник имеет 3 медианы

Итог

В геометрии медиана треугольника — это отрезок, соединяющий одну вершину с серединой другой стороны, делящий его пополам. Каждая вершина треугольника имеет одинаковое количество медиан, которые пересекаются в центре треугольника. Медиана срезает любой угол под углом в вершине равнобедренного или равностороннего треугольника, две смежные стороны которого имеют одинаковую длину. Поскольку соответствующие элементы конгруэнтных треугольников конгруэнтны, медианы конгруэнтных треугольников равны, если два треугольника конгруэнтны. Студенты могут стать хорошо осведомленными, только практикуя множество примеров медианы суммы треугольников.

Связь между медианой и сторонами треугольника

Перейти к содержимому

Треугольник образован тремя медианами. В треугольнике медиана образуется путем соединения отрезка в любой вершине треугольника и середины его противоположности. Это также линия от середины стороны до противоположного внутреннего угла. пересечение 3медианы известно как центр тяжести. Обсудим метод нахождения медианы треугольника, свойства и пример

Медиана треугольника:

Отрезок, соединяющий вершину с серединой стороны, противоположной этой вершине, называется медианой треугольника. Как показано на рисунке ниже, AD является медианой, делящей BC на две равные части, так что BD = DC.

Зарегистрируйтесь, чтобы получить бесплатные пробные тесты и учебные материалы

Класс
—Класс 6Класс 7Класс 8Класс 9Класс 10Класс 11Класс 12

Вы ученик Шри Чайтаньи?
НетДа

+91

Подтвердить OTP-код (обязательно)

Я согласен с условиями и политикой конфиденциальности.

Метод нахождения медианы треугольника:-

Длину медианы можно найти различными способами, такими как:

• Формула длины медианы до стороны BC =

  =

• формула медианы треугольника по «Использованию теоремы Аполлония»

м _а =

В этом треугольнике a, b, c — стороны треугольника, а длина медианы от вершины A равна m _a .

Свойства медианы треугольника:

• Медиана любого треугольника делит вершину угла пополам в равнобедренном и равностороннем треугольнике, потому что в этих треугольниках две смежные стороны одинаковы.
• Точка пересечения трех медиан любого треугольника называется центром тяжести.
• Медиана делит площадь треугольника в отношении 2:1.
• Три медианы треугольника делятся на 6 треугольников.
• Длина медианы равна стороне только в случае равностороннего треугольника
• В случае равнобедренного треугольника медианы из вершин, имеющих равные углы, имеют одинаковую длину
• В случае разностороннего треугольника длина медиан отличается
• Сумма двух сторон треугольника больше медианы, проведенной из вершины, которая является общей.
• Медиана и длины сторон всегда «3 умножают на сумму квадратов длин всех трех сторон = 4 умножают на квадраты всех 3 медиан треугольника».

3 (AB ² + BC ² + CA ² ) = 4 (AD ² + BE ² + CF ² ).

• Пересечение трех медиан делит длину каждой медианы в соотношении 2:1

Часто задаваемые вопросы

В. На приведенном рядом рисунке ∠PQR = 90 ^∘ , а QL — медиана, PQ = 12 см и QR = 16 см. Тогда QL равно

Ответ: Учитывая, что PQ = 12 см, QR = 16 см и QL является медианой.

∴ PL = LR …….(I)

In ΔPQR, (PR) ² = (PQ) ² + (QR) ² (по теореме Пифагора)

904454 = 5

⇒ PR = 20

Теперь, по теореме, если L — середина гипотенузы PR прямоугольного ΔPQR, то мы можем записать как:

QL = 1 / 2 [PR] = [1 / 2] * (20) = 10 см

Что такое медиана треугольника?

Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, таким образом делящий эту сторону пополам. Все треугольники имеют ровно три медианы, по одной из каждой вершины.