Что такое детерминант матрицы: Определитель матрицы | это… Что такое Определитель матрицы?

Определитель матрицы

ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ, ДЕТЕРМИНАНТ [determinant] — число, соответствующее квадратной матрице и полученное путем ее преобразования по определенному правилу. Обычное обозначение (для матрицы A): det A. Напр., определитель (второго порядка) матрицы

det A = a11a22 — a12a21.

Свойства определителей:

Определитель , имеющий строку, представленной суммой двух строк, равносилен сумме определителей

Определитель , имеющий нулевую строку, равен нулю

Определитель , имеющий две пропорцинальных строки , равен нулю

Определитель единичной матрицы равен единице

Опредилетель транспонированной матрицы равен определителю не транспонированной матрицы

Определитель не изменится, если из строки вынести множитель

Определитель не изменится, если одну из его строк домножить на число и добавить к другой cтроке

При перестановке двух строк определителя, определитель меняет знак

Все свойства сформулированые для строк, верны и для столбцов.

2. Определители. Способы их вычисления.

С пособ 1 (Разложение по i-ой строке Суть данного метода в следующем :

Поочередно берутся элементы выбранной строки.

Затем из определителя вычеркиваются (мысленно) выбранная строка и столбец , выбранного элемента

Вычисляется определитель, уже меньшего порядка

Полученное число домножается на выбранный элемент и коэфициент

Далее все полученные значения суммируются.

Способ 2 (Разложение по j-ому стролбцу)

Аналогичен способу 1, в силу свойства 5 .

Транспонируем матрицу

Находим ее определитель , раскладывая по j строке

Способ 3 (Привидение к треугольному виду)

Самый удобный и быстрый способ.

План действий :

Рассматриваем первый столбец, перестановкой строк и столбцов матрицы (если есть необходимость) добиваемся того чтобы элемент , стоящий в первой строке и первом столбце матрицы, был не нулевым.

Домножая первую строку на соответствующие коэфициенты, зануляем все элементы первого столбца, стоящие ниже первой строки.

Рассматриваем второй столбец, перестановкой строк и столбцов матрицы , кроме первого столбца и первой строки, добиваемся того чтобы элемент, стоящий во второй строке второго столбца, был не нулевым.

Домножая вторую строку на соответствующие коэфициенты, зануляем все элементы второго столбца стоящие, ниже второй строки.

Далее продолжаем эти действия до (n-1)-го столбца, не перемещая столбцы и строки предыдущих шагов.

Примечание : при перестановке строк и столбцов следует менять знак опеределителя.

Если на некотором К-ом шаге не удается получить не нулевое значение элемента, стоящего в К-ой строке и К-ом столбце, то ситуция выглядит следующим образом

иначе говоря, определитель такой матрицы равен 0.

Если подобной проблемы не возникло, то матрица имеет вид

и ее определитель равен произведению элементов стоящих на главной диагонали.

3. Минор матрицы, алгебраическое дополнение, транспонированная матрица и ее свойства.

Минор матрицы A ― определитель квадратной матрицы порядка k (который называется также порядком этого минора), элементы которой стоят в матрице A на пересечении строк с номерами и столбцов с номерами .

Если номера отмеченных строк совпадают с номерами отмеченных столбцов, то минор называется главным, а если отмечены первые k строк и первые k столбцов ― угловым или ведущим главным.

Дополнительный минор элемента матрицы n-го порядка есть определитель порядка (n-1), соответствующий той матрице, которая получается из матрицы путем вычеркивания i-ой строки и j-го столбца.

Базисным минором матрицы называется любой её ненулевой минор максимального порядка. Для того чтобы минор был базисным, необходимо и достаточно, чтобы все окаймляющие его миноры (то есть содержащие его миноры на единицу большего порядка) были равны нулю. Система строк (столбцов) матрицы, связанных с базисным минором, является максимальной линейно независимой подсистемой системы всех строк (столбцов) матрицы.

Например, есть матрица:

Предположим, надо найти дополнительный минор М₂₃. Этот минор — определитель матрицы, получающейся путем вычеркивания строки 2 и столбца 3:

 Получаем М₂₃ = 13

Алгебраическое дополнение:

А лгебраическим дополнением элемента матрицы называется число а_ij матрицы А называется число

Транспонированная матрица — матрица AT, полученная из исходной матрицы A заменой строк на столбцы.

Свойства транспонированной матрицы:

Дважды транспонированная матрица А равна исходной матрице А.

Транспонированная сумма матриц равна сумме транспонированных матриц. Транспонированное произведение матриц равно произведению транспонированных матриц

При транспонировании можно выносить скаляр

Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы.

Тензорное исчисление

Тензорное исчисление

Тензорное исчисление. Акивис М. А., Гольдберг В. В., Изд-во «Наука», Главная редакция физико-математической литературы, 1969 г. Излагаются основы тензорного исчисления и некоторые его приложения к геометрии, механике и физике. В качестве приложений строится общая теория поверхностей второго порядка, изучаются тензоры инерции, напряжений, деформаций и рассматриваются некоторые вопросы кристаллофизики. Последняя глава знакомит с элементами тензорного анализа. Оглавление ПРЕДИСЛОВИЕ ГЛАВА I. ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО § 1. Понятие линейного пространства § 2. Линейная зависимость векторов § 3. Размерность и базис линейного пространства § 4. Прямоугольный базис в трехмерном пространстве. Скалярное произведение векторов § 5. Векторное и смешанное произведения векторов § 6. Преобразования ортонормированного базиса. Основная задача тензорного исчисления § 7. Некоторые вопросы аналитической геометрии в пространстве ГЛАВА II. ПОЛИЛИНЕЙНЫЕ ФОРМЫ И ТЕНЗОРЫ § 2. Билинейные формы § 3. Полилинейные формы. Общее определение тензора § 4. Алгебраические операции над тензорами § 5. Симметричные и антисимметричные тензоры ГЛАВА III. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ВЕКТОРНОГО ПРОСТРАНСТВА И ТЕНЗОРЫ ВТОРОЙ ВАЛЕНТНОСТИ § 2. Матрица линейного преобразования § 3. Определитель матрицы линейного преобразования. Ранг матрицы § 4. Линейные преобразования и билинейные формы § 5. Умножение линейных преобразований и умножение матриц § 6. Обратное линейное преобразование и обратная матрица § 7. Группа линейных преобразований и ее подгруппы ГЛАВА XIV. ПРИВЕДЕНИЕ К ПРОСТЕЙШЕМУ ВИДУ МАТРИЦЫ ЛИНЕЙНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ § 1. Собственные векторы и собственные значения линейного преобразования § 2. Приведение к простейшему виду матрицы линейного преобразования в случае различных собственных значений § 3. Многочлены от матриц и теорема Гамильтона—Кэли § 4. Свойства собственных векторов и собственных значений симметричного линейного прейбразования § 5. Приведение к диагональному виду матрицы симметричного линейного преобразования § 6. Приведение квадратичной формы к каноническому виду § 7. Представление невырожденного линейного преобразования в виде произведения симметричного и ортогонального преобразований ГЛАВА V. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА § 1. Общее уравнение поверхности второго порядка. Его инварианты § 2. Приведение к простейшему виду общего уравнения поверхности второго порядка § 3. Определение типа поверхности второго порядка при помощи инвариантов § 4. Классификация поверхностей второго порядка § 5. Приложение теории инвариантов к классификации поверхностей второго порядка § 6. Центральные и нецентральные поверхности второго порядка § 7. Примеры ГЛАВА VI. ПРИЛОЖЕНИЕ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К НЕКОТОРЫМ ВОПРОСАМ МЕХАНИКИ И ФИЗИКИ § 2. Некоторые свойства кристаллов, связанные с тензорами второй валентности § 3. Тензоры напряжений и деформации § 4. Дальнейшие свойства кристаллов ГЛАВА VII. ОСНОВЫ ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА § 1. Тензорное поле и его дифференцирование § 2. Механика деформируемой среды § 3. Ортогоналыше криволинейные системы координат § 4. Подвижной репер ортогональной криволинейной системы координат и тензорные поля § 5. Дифференцирование тензорного поля в криволинейных координатах ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ЛИТЕРАТУРА

Линейная алгебра 101 — Часть 5: Детерминанты | Шо Накагоме | sho.jp

В этой статье мы рассмотрим, возможно, одну из самых важных концепций линейной алгебры — « детерминанты »!

Если вы не читали предыдущие истории, вы можете проверить здесь:

Линейная алгебра 101 — Часть 4

Это серия статей, посвященных изучению линейной алгебры. Я твердо верю, что важно понимать…

medium.com

Детерминанты — это уникальная концепция, в которой запомнить формулу довольно просто, но понять ее значение и истинный потенциал часто бывает сложнее. Короче говоря, «детерминант» — это масштабный коэффициент площади или объема, представленный векторами-столбцами в квадратной матрице. Чтобы понять это, я не могу не подчеркнуть, насколько важно посмотреть это потрясающее видео от 3Blue1Brown.

Обязательно потратьте 10 минут на просмотр этого видео, чтобы получить общее представление о том, что такое определитель.

Детерминант — Википедия

Детерминанты встречаются во всей математике. Например, матрица часто используется для представления коэффициентов в…

en.wikipedia.org

Теперь у вас есть общее представление о том, что такое определитель. Давайте теперь посмотрим на формулу.

Это случай два на два, и общая формула довольно сложная, поэтому я просто оставлю это на странице вики, чтобы вы могли проверить

Определитель — Википедия

Детерминанты встречаются во всей математике. Например, матрица часто используется для представления коэффициентов в…

en. wikipedia.org

Это основная тема, которую мы хотим обсудить сегодня. Свойства определителя.

Вы можете посмотреть полную лекцию доктора Стрэнга из Массачусетского технологического института на эту тему в Лекции 18.

Если вы смотрели первое видео, размещенное в этой истории, вы можете понять это первое свойство. Если мы говорим об единичной матрице, то векторы-столбцы ортогональны друг другу, и масштабировать нечего. Вот почему определитель всегда равен 1,9.0005

Второе свойство заключается в том, что когда вы меняете местами любые строки, меняется знак определителя.

Если вы помните видео от 3Blue1Brown, то можете понять следующий пример. В основном, меняя местами строки, стрелки меняют свое положение, что приводит к изменению его знаков.

Давайте снова возьмем простой пример.

Подобно предыдущему, в 3 есть еще одно свойство.

Давайте возьмем еще один простой пример для этого свойства.

Четвертое свойство может быть получено из уже описанного второго свойства.

Отсюда проще показать, почему, используя свойства, которые мы уже рассмотрели. Пятое свойство можно показать с помощью нескольких свойств.

Вот конкретный пример.

Последние три свойства очень важны, так как они снова и снова возвращаются в более поздних историях.

Например, свойство 8 очень важно, потому что оно используется для проверки того, обратима матрица или нет.

Свойство 9 пригодится, когда трудно вычислить некоторые определители.

Свойство 10 тоже полезно запомнить.

Вот и все свойства определителей. Давайте воспользуемся ими, чтобы вывести уравнение детерминантов для случая 2 x 2.

Во-первых, давайте вспомним, что это была за формула.

Чтобы получить эту формулу, мы будем использовать довольно много свойств, которые мы уже обсуждали.

Затем, начиная с уравнения, которое мы только что отметили звездочкой…

Отлично! Надеюсь, теперь вы знаете много о свойствах и самом определителе!

Обновление от 27 февраля 2019 г.

Я нашел отличный веб-ресурс, где вы можете в интерактивном режиме изучать линейную алгебру. Посетите эту веб-страницу для интерактивного изучения детерминантов:

Глава 7: Детерминанты (иммерсивная линейная алгебра)

begin{equation} \begin{array}{llr} (i) & \det( \mx{I}) = 1 & \spc\text{(определитель единичной матрицы)} \\ (ii) &…

immersivemath.com

Определитель — важная шкала в линейной алгебре. Вот почему у него много свойств. Вам не нужно запоминать все построчно. Во-первых, попытайтесь получить идеи. Затем поиграйте со свойствами. С созданными вами примерами. Тогда это должно просто остаться у вас в голове, чтобы вы могли использовать его сами. Так же, как научиться использовать некоторые инструменты, такие как шитье.

Определитель матрицы | Определитель матрицы 3×3

Содержание

Определители и матрицы используются для решения линейных уравнений с использованием правила Крамера или метода матриц. Вы можете вычислять определители только для квадратных матриц. Они также используются для нахождения сопряженной и обратной матрицы. 9{th}$ элемент $\text{A}$.

Это можно рассматривать как функцию, которая связывает каждую квадратную матрицу с уникальным числом (действительным или комплексным). Если $\text{M}$ — набор квадратных матриц, $\text{K}$ — набор чисел (действительных или комплексных), а $f : \text{M} \rightarrow \text{K}$ определяется как $f (\text{A}) = k$, где $\text{A} \in \text{M}$ и $k \in \text{K}$, тогда $f(\text{ A})$ называется определителем $\text{A}$. Он также обозначается $| \text{A}|$ или $\text{det A}$ или $\triangle \text{A}$.

Примечание:  

• Для матрицы $\text{A}$, $| \text{A}|$ читается как определитель $\text{A}$, а не как модуль $\text{A}$
• Только квадратные матрицы имеют определители

Как найти определитель матрицы ?

Для простейшей квадратной матрицы порядка $1 \times 1$, которая имеет только одно число, определитель становится самим числом. Определители матриц более высокого порядка вычисляются путем их разбиения на квадратные матрицы более низкого порядка.

Определитель матрицы 1×1

Если $\text{A} = [a]$ — матрица порядка $1$, то определитель $\text{A}$ равен $a$ .

Примеры определителя матрицы 1×1

Пример 1: Найдите определитель матрицы $[-7]$.

Определитель $[-7] = |-7| = -7$.

Примечание: 

• Определитель $[-a] = -a$
• Модуль $-a = a$

Пример 2: Найдите определитель матрицы $[9]$.

Определитель $[9] = |9| = 9$.

Определитель матрицы 2×2

Для любой квадратной матрицы $2 \times 2$ или квадратной матрицы порядка $2 \times 2$ мы можем использовать формулу определителя для вычисления ее определителя. Если $\text{A}$ является матрицей $2 \times 2$, такой что

, то ее определитель $2 \times 2$ можно вычислить как

Примеры определителя матрицы 2×2

Пример 1: Найдите определитель данной матрицы.

Определитель матрицы $\text{A} = |\text{A}| = 5 х 4 – 3 х 2 = 20 – 6 = 14$.

Пример 2: Найдите определитель данной матрицы.

Определитель матрицы $\text{B} = |\text{B}| = -1 х 9 – 7 х 6 = -9 – 42 = -51$.

Пример 3: Найдите определитель данной матрицы.

Определитель матрицы $\text{C} = |\text{C}| = 4 х 12 – (-3) х 8 = 48 + 24 = 72$.

Определитель матрицы 3×3

Для любой квадратной матрицы $3 \times 3$ или квадратной матрицы порядка $3 \times 3$,

, ее определитель $3 \times 3$ можно вычислить как $a_1 \times \left( b_2 c_3 – b_3 c_2 \ справа) – b_1 \times \left( a_2 c_3 – a_3 c_2 \right) + c_1 \times \left( a_2 b_3 – a_3 b_2 \right)$

Примеры определителя матрицы 3×3

Пример 1: Найдите определитель данной матрицы.

Определитель матрицы $\text{A} = |\text{A}| = 2 х (4 х 5 – 2 х 2) – 1 х (1 х 5 – 2 х 3) + 3 х (1 х 2 – 4 х 3)$

$= 2 \раз (20 – 4) – 1 \раз (5 – 6) + 3 \раз (2 – 12)$

$= 2 \раз 16 – 1 \раз (-1) + 3 \ раз (-10)$

$= 32 + 1 – 30 = 3$

Пример 2: Найдите определитель данной матрицы.

Определитель матрицы $\text{B} = |\text{B}| = 3 х (7 х (-1) – 1 х 8) – (-2) х (2 х (-1) – 1 х 4) + 0 х (2 х 8 – 7) \times 4)$

$= 3 \times (-7 – 8) + 2 \times (-2 – 4) + 0$

$= 3 \times (-15) + 2 \times (-6) + 0$

$= -45 – 12 + 0 = -57$

Ключевые выводы

• Определитель можно рассматривать как функцию, которая принимает на вход квадратную матрицу и возвращает одно число на выходе.
• Квадратная матрица может быть определена как матрица, имеющая одинаковое количество строк и столбцов.
• Для простейшей квадратной матрицы порядка $1 \times 1$, которая имеет только одно число, определитель становится самим числом.

Практические задачи 9{th}$ элемент $\text{A}$.

Это можно рассматривать как функцию, которая связывает каждую квадратную матрицу с уникальным числом (действительным или комплексным). Если $\text{M}$ — набор квадратных матриц, $\text{K}$ — набор чисел (действительных или комплексных), а $f : \text{M} \rightarrow \text{K}$ определяется как $f (\text{A}) = k$, где $\text{A} \in \text{M}$ и $k \in \text{K}$, тогда $f(\text{ A})$ называется определителем $\text{A}$. Он также обозначается $| \text{A}|$ или $\text{det A}$ или $\triangle $.

Для чего используются определители?

Детерминанты играют важную роль в линейных уравнениях, где они используются для регистрации изменений переменных в целых числах и того, как линейные преобразования изменяют объем или площадь. Детерминанты особенно полезны в приложениях, где используются обратные и сопряженные матрицы. Перекрестное произведение двух векторов также вычисляется с помощью определителей.

Какая формула определителя матрицы 2×2?

Для любой квадратной матрицы $2 \times 2$ или квадратной матрицы порядка $2 \times 2$ мы можем использовать формулу определителя для вычисления ее определителя. Если $\text{A}$ — матрица $2 \times 2$, то $|\text{A}| = объявление – BC$.

Коммутативны ли определители?

Да, умножение определителей коммутативно, и это можно понять с помощью следующего свойства: если $\text{A}$ и $\text{B}$ — две квадратные матрицы порядка $n \times n$, то $\text{det}(\text{AB}) = \text{det}(\text{A}) \times \text{det}(\text{B}) = \text{det}(\text{ B}) \times \text{det}(\text{A})$.