Что такое комплексные числа: Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»

Содержание

Есть ли что-нибудь более сложное, чем комплексные числа?

В математике существует несколько систем чисел, более сложных, чем комплексные числа, например, кватернионы.

Когда мы были детьми, единственные числа, которые нас волновали, были те, которые нужны для счета. Сколько у тебя глаз? Два! Сколько тебе лет? Семь! Сколько конфет ты хочешь? Ну… бесчисленное множество, но суть вы уловили.

Нам не нужны были другие числа, кроме тех, которые использовались для подсчета вещей, потому что они естественным образом появлялись в природе, и так родились натуральные числа.

По мере того как вы взрослели и проваливали все больше и больше тестов, вы поняли важность нуля. В итоге вы добавили этот ноль к существующему набору чисел и получили целые числа.

Все становилось все сложнее. В какой-то момент вы встретили в жизни отрицательных людей, которые познакомили вас с концепцией отрицательных целых чисел.

Были также рациональные и иррациональные люди, которые обрушили на вас бомбардировку из совершенно странных видов чисел.

Однако все это было в порядке вещей, потому что вы знали, что все они реальны, но счастье было недолгим. Числа так сильно зацепили вас, что вскоре вы уже представляли их себе. Вы просто не могли за ними угнаться, потому что они становились все сложнее, и в конце концов вы просто сели и задумались: «Неужели это когда-нибудь закончится?

Эти сложные числа кажутся довольно сложными, верно? Можно ли на этом остановиться или есть что-то еще более сложное, чем комплексные числа?».

Спойлер: да, есть кое-что еще более сложное… и оно оказывается еще хуже.

Что такое комплексные числа?

Давайте сначала рассмотрим мнимые числа. Что такое мнимое число и что делает его мнимым? Прежде всего, мнимые числа не входят в набор действительных чисел. К действительным числам относятся все целые числа, а также рациональные и иррациональные числа.

Вам может показаться, что действительные числа содержат все числа, но это не совсем так. Подумайте вот о чем: каков квадратный корень из 4? Вы ведь знаете ответ на этот вопрос, верно? Это либо 2, либо -2 (потому что оба числа при умножении на себя дают одно и то же число).

Довольно просто, верно? А теперь попробуйте спросить, каков квадратный корень из -4? Давайте подумаем об этом. Какое число при умножении на себя дает -4? Ответ не может быть 2 или -2, потому что их нужно умножать друг на друга, а не на самих себя (так как 2 и -2 — это два совершенно разных числа).

В такие моменты мы используем мнимое число i. Значение i равно √ — 1 (получается i²= — 1). Таким образом, мы можем написать, что квадратный корень из -4 равен 2i. Любое число в паре с i становится мнимым числом.

Комплексное число — это комбинация действительного и мнимого чисел. Оно имеет вид:

Комплексное число = действительное число + мнимое число

Например, мы можем иметь комплексное число 4+3i, где 4 — действительная часть, а 3i — мнимая часть.

Как комплексные числа «вращаются»?

Давайте сначала представим эти числа на графике. С самого детства нас учили числовой линии. Числовая линия может показать все действительные числа от ∞ до ∞.

Одномерная числовая линия.

Видите ли, линия является одномерной, поэтому для представления действительных чисел вам нужно только одно измерение. Можно также сказать, что действительные числа одномерны.

Теперь давайте посмотрим, как можно представить комплексные числа. Как упоминалось ранее, комплексные числа состоят из двух частей — действительной и мнимой, поэтому для их графического представления нам нужны две линии: одна линия для действительной части, как и раньше, и одна линия для мнимой части, в единицах i.

Двумерная комплексная плоскость.

Итак, комплексные числа нуждаются в двух линиях или осях для графического представления, поэтому они двумерны, и есть одна очень интересная вещь, которую можно делать в двух измерениях… вращать!

По прямой линии мы можем двигаться только вперед или назад, но в двухмерной плоскости мы можем двигаться вверх-вниз, влево-вправо или даже двигаться по полному кругу, вращаясь на 360 градусов.

Вращение числа на комплексной плоскости при умножении на различные степени i.

Мы можем двигаться по горизонтальной оси, складывая или вычитая действительное число, и можем двигаться по вертикальной линии, складывая или вычитая мнимое число, но если мы умножаем комплексное число на i, то в итоге мы поворачиваем число (это все равно что выбрать число и переместить его по периметру круга, а затем поместить под другим углом) на определенный угол.

Так как же вращать в трех измерениях?

Именно этот вопрос беспокоил Уильяма Гамильтона во время прогулки с женой. Его осенило внезапное осознание того, что проблему решит четырехмерное число.

Мост Броам с мемориальной доской, напоминающей о великом открытии Гамильтона.

Считается, что он вырезал первое правило своих новых четырехмерных чисел, известных как кватернионы, прямо на мосту Броуэм:

Это очень похоже на правило i²= — 1 для мнимых чисел.

Таблица умножения кватернионов.

Как и комплексные числа, кватернион записывается как комбинация этих чисел вместе с действительным числом, например: 6+2i+4j+7k.

Как мы видели в двумерном случае комплексных чисел, умножение на i поворачивает число в двумерной плоскости; в случае кватернионов умножение на любое из i, j, k или их комбинаций поворачивает число в трех измерениях.

Это чрезвычайно важное свойство кватернионов, которое используется в графическом программировании для того, чтобы заставить анимированные объекты вращаться в окружающей среде. Фактически, кватернионы также используются для отображения и программирования вращения ваших смартфонов и планшетов.

Итак, да, существуют более сложные системы чисел, чем комплексные числа, одну из которых мы видели здесь в виде кватернионов — 4-мерных чисел. Существуют даже системы 8-мерных и 16-мерных чисел, но они не очень полезны и поэтому практически не обсуждаются (даже в кругах любителей математики).

Комплексные числа. Алгебраическая форма комплексного числа

Комплексными числами называются выражения вида

a+bi

(1)

где a и b− вещественные числа, i− некоторый символ, удовлетворяющий следующему равенству: i²=−1.

Комплексное число можно представить как упорядоченная пара вещественных чисел.

Определение 1. Комплексными числами называются упорядоченные пары вещественных чисел, для которых понятия равенства, суммы, произведения и отожествления некоторых пар с вещестенными числами подчиняются следующим правилам:

1. Пары (a,b) и (c,d) считаются равными тогда и только тогда, когда равны их соответствующие компоненты:

2. Суммой пар (a, b) и (c, d) называется пара (a+c, b+d), т.е.

(a,b)+(c,d)= (a+c, b+d).

3. Произведение пар (a, b) и (c, d) называется пара (ac−bd, ad+bc), т.е.

(a,b)(c,d)= (ac−bd, ad+bc).

4. Пара (a, 0) отождествляется с вещественным числом a, т.е. (a, 0)=a.

Правило 4 определения 1 представляет связь между вещественными и комплексными числами. Точнее указывает на то, что множество вещественных чисел является частью комплексных чисел.

Сопоставим правило 4 с 1. Пусть вещественные числа a и c равны, тогда по правилу 4 этим числам соответствуют комплексные числа (a, 0) и (c, 0). Поскольку a=c, имеем (a, 0)=(c, 0), т.е. выполнено правило 1.

Сопоставим правило 4 с 2. Сумма пар (a, 0) и (c, 0) согласно правилу 2 равна (

a, 0)+(c, 0)=(a+c, 0), которая, согласно правилу 4 отождествляется с суммой вещественных чисел a и c.

Сопоставим правило 4 с 3. Согласно правилу 3 произведение пар (a, 0) и (c, 0) равно (a, 0)(c, 0)=(ac−0·0, a0+0c)=(ac, 0), которая, согласно правилу 4 отождествляется с произведением вещественных чисел a и c.

Из правил 3 и 4 вытекает следующая формула

m(a, b)=(ma, mb),

где m− любое вещественное число. Действительно m(a, b)=(m, 0)(a, b)=(ma−0b, mb+0a)=(ma, mb).

Проверим теперь, что привычные свойства вещественных чисел сохраняются при переходе к комплексным числам, т.е. комплексные числа образуют поле.

1.(a,b)+(c,d)=(c,d)+(a,b). (коммутативность сложения). Действительно, левая часть равна (a+с,b+d), правая часть равна (с+a,d+b). Из коммутативности сложения вещественных чисел следует, что левая и правая части равны.

2. ((a,b)+(c,d))+(e,f)=(a,b)+((c,d)+(e,f)) (ассоциативность сложения). Действительно, из ассоциативности сложения вещественных чисел следует, что левая и правая части равны (a+c+e, b+d+f).

3. (a,b)+(0, 0)=(a,b). Следовательно пара (0, 0) (отожествляемая с вещественным числом 0) соответствует нулю при сложении пар.

4. (a,b)+ (−a,−b)=(0, 0). Т.е. для кажддой пары (a,b) существует противоположная пара (−a,−b).

5. (a,b)(c,d)=(c,d

)(a,b)(коммутативность множения). Действительно, левая часть равна (ac−bd, ad+bc), правая часть равна (ca−db, da+cb). Следовательно они равны.

6. ((a,b)+(c,d))(e,f)=(a,b)(e,f)+(c,d)(e,f)(левая дистрибутивность).

6′. (e,f)((a,b)+(c,d))=(e,f)(a,b)+(e,f)(c,d)(правая дистрибутивность).

Проверм свойство 6. Левая часть уравнения равна

Правая часть уравнения равна

Следовательно левая и правая части равны.

Из коммутативности умножения следует справедливость свойства 6′.

7. (ассоциативность умножения).

Левая часть равна

Правая часть равна

Левая и правая части равны. Следовательно свойство 7 выполняется.

8. .

Свойство 8 определяет пару (1, 0), которая отожествляется с вещественным числом 1.

Итак из свойств 1−8 следует, что комплексные числа составляют коммутативное ассоциативное кольцо с единицей.

Введем понятие сопряженных комплексных чисел. Пары называются сопряженными, если отличаются знаком второй компоненты. Пары (a,b) и (a,−b) сопряженные пары (сопряженные комплексные числа).

Умножив сопряженные пары

получим, что их произедение равно неотрицательному числу a²+b². Это число, равно нулю тогда и только тогда, когда a=0, b=0, т.е. тогда и только тогда, когда (a,b)=0.

Пусть (a,b)≠0. Тогда

является обратной парой (и обозначается через (a, b)⁻¹), т.е. выполняется следующее равенство

Представим следующее свойство.

9. Для любой пары (a,b) отличной от нуля, существует обратная (a, b)⁻¹:

Итак, свойства 1−9 показывают что комплексные числа образуют поле.

Алгебраическая форма записи комплексного числа

Представим, теперь, комплексное число в алгебаической форме записи. Комплексное число (a,b) можно представить так:

где i=(0, 1).

Из правила 3 определения 1 следует:

Таким образом алгебраическая форма комплексного числа имеет вид:

Первая компонента комплексного числа называется вещественной частью комплексного числа α и обозначается Reα, а вторая компонента называется мнимой частью и обозначается Imα. Отметим, что как вещественная часть (a), так и мнимая часть (b) комплексного числа вещественные числа.

Говоря о комплексных числах надо помнить, что вещественные числа являются частным случаем комплексных, которые имеют нулевую вторую компоненту. К примеру a вещественное число, которое соответствует комплексному числу α=a+0i.

Вычитание и деление комплексных чисел

Вычитание и деление определяются как обратные к действиям сложения и умножения.

Утверждение 1. Пусть α и β − комплексные числа. Тогда существует одно и только одно комплексное число γ=(−α)+β так, что α+γ=β.

Доказательство. Возьмем комплексное число γ=(−α)+β и подставим в уравнение α+γ=β. Имеем α+γ=α+(−α)+β=β. Так что γ=(−α)+β удовлетворяет требованию утверждения.

Обратно. Пусть α+γ=β. Добавим в обе части уравнения число −α. Тогда

(−α)+α+γ=(−α)+β.

Упростим:

γ=(−α)+β.

Таким образом всякое число, отличное от (−

α)+β не удовлетворяет требованию утверждения.

Число (−α)+β является разностью чисел β и α и обозначается β−α.

Утверждение 2. Пусть α и β − комплексные числа и α≠0. Тогда существует одно и только одно комплексное число γ=α⁻¹β так, что αγ=β.

Доказательство. При γ=α⁻¹β, имеем

αγ=αα⁻¹β=β.

Еслиαγ=β, то умножив обе части этого уравнения на α⁻¹, получим:

α⁻¹αγ=α⁻¹β

или

γ=α⁻¹β

Конец доказательства.

Число =α⁻¹β является частным от деления β на α. Частное обычно записывается так: . Как известно значение дроби не меняется при умножении числителя и знаменателя на одно и то же ненулевое число. Поэтому можно записать:

Вычислять частное от деления комплексных чисел удобно умножая числитель и знаменатель на комплексное сопряженное с знаменателем:

где вещественное число.

Например

Для сложения вычитания умножения и деления комплексных чисел, пользуйтесь онлайн калькулятором комплексных чисел.

Геометрическое представление комплексных чисел

Комплексные числа представляются как точки на плоскости. Горизонтальная ось называется действительной осью и обозначается через R, а вертикальная ось − мнимой осью и обозначается через I. Плоскость, точки которой отожествлены с комплексными числами называется комплексной плоскостью. На рис.1 представлено комплексное число

α=a+bi. Свяжем с этой точкой вектор исходящий из начала координат в точку, изображающую это комплексное число (назовем этот вектор радиус-вектором этой точки).

Число, противоположное числу α=a+bi будет точкой комплексной плоскости, симметричной с точкой α относительно начала координат (−α=−a−bi).

Сложение и вычитание комплексных чисел можно представить на комплексной плоскости в виде сложения и вычитания радиус векторов соответствующих точек. Сложение векторов α и β выполняется по правилу параллелограма (рис.2).

Вычитание векторов α и β эквивалентна сложению векторов α и −β, поэтому сначала строится противоположная к вектору β, далее слагаются векторы α

и −β (рис.3).

Смотрите также:

2 = -1$. В этом выражении $x$ равно реальная часть и $y$ мнимая часть комплексного числа.

Комплексные числа, обозначаемые $\mathbb C$, расширяют понятие одномерной числовой прямой до двумерную комплексную плоскость (также известную как плоскость Аргана) с использованием горизонтальной оси для реальная часть и вертикальная ось для мнимой части. Аналогия с двумерными векторами немедленный. Комплексное число $x+iy$ можно отождествить с точкой $(x, y)$ на комплексной плоскости но также его можно интерпретировать как двумерный вектор. 92}=|г|$$ и, естественно, дает нам понятие абсолютного значения $z$, обозначаемого как $|z|$, то есть это длина вектора, связанного с $z$. Значение $|z|$ часто называют модулем $z$. Угол $\theta$ называется аргументом (или фазой

) $z$ и обозначается на $\textbf{arg}(z)$. Когда $z\neq 0$, значения $\theta$ можно найти из (\ref{par}) через стандартную тригонометрию: $$\tan\theta = \frac{y}{x}$$ где квадрант, в котором лежат $x$, $y$, понимается как заданный. 92}. \] Легко показать, что коммутативный, ассоциативный и распределительный законы сложение и умножение выполняются. С геометрической точки зрения сложение двух комплексных чисел эквивалентно закон параллелограмма векторов.

Некоторые термины и обозначения, используемые для описания комплексных чисел, представлены на рис. 1.

Рис. 1: Сводная информация.

Я предлагаю вам освоиться с понятиями, терминологией и обозначениями, введенными до сих пор. Для этого попытайтесь убедить себя геометрически (и/или алгебраически) в каждом из следующих фактов: \begin{выравнивание*} \textbf{Re}(z)=\frac{1}{2}\left(z+\overline{z}\right)\quad\quad \textbf{Im}(z)=\frac{1}{2i} \left(z-\overline{z}\right)\quad \quad|z|=\sqrt{x^2+y^2} \end{выравнивание*} \begin{выравнивание*} \tan\left(\textbf{arg}(z)\right)=\frac{\textbf{Im}(z)}{\textbf{Re}(z)}\quad \quad re^{i\theta} = г (\ соз \ тета + я \ грех \ тета) \end{выравнивание*} \begin{выравнивание*} \overline{\overline{z}}=z\quad \quad \left|z_1z_2\right|=\left|z_1\right|\left|z_2\right|\quad \quad \left|\frac{z_1}{ z_2}\right|=\frac{\left|z_1\right|}{\left|z_2\right|},\; (z_2\neq0) \end{выравнивание*} \begin{выравнивание*} \overline{z_1\pm z_2}=\overline{z_1}\pm\overline{z_2}\quad \quad \quad \overline{z_1z_2}=\overline{z_1}\cdot \overline{z_2}\quad \quad \ четырехъядерный \ overline {\ left (\ frac {z_1} {z_2} \ right)} = \ frac {\ overline {z_1}} {\ overline {z_2}}, \; (z_2\neq0) \end{выравнивание*} \begin{выравнивание*} \left|z_1\pm z_2\right|\leq \left|z_1\right|+\left|z_2\right| \quad \quad \quad \left|\left|z_1\right|-\left|z_2\right|\right|\leq \left|z_1\pm z_2\right| \end{выравнивание*} Следующее называется обобщенное неравенство треугольника : \begin{выравнивание*} |z_1+z_2+\cdots +z_n|\leq |z_1|+ |z_2|+\cdots |z_n| \end{выравнивание*} Когда имеет место равенство?

ДАЛЕЕ: Геометрическая интерпретация

1.

1: Комплексные числа — Физика LibreTexts

Последнее обновление
Сохранить как PDF

Идентификатор страницы: 16514

Том Вайдеман
Калифорнийский университет в Дэвисе

Определения и свойства

Комплексное число состоит из комбинации действительной части и мнимой части , первая из которых является действительным числом, а вторая представляет собой произведение $\sqrt{-1}$, которое обозначим как «$i$».

\[z=a+bi, \;\;\;\;\; a \equiv Re\left(z\right), \;\;\;\;\; b \equiv Im\left(z\right) \]

Строго действительное или мнимое число также является комплексным, мнимая или действительная часть которого равна нулю соответственно. Комплексные числа образуют то, что в математике называется полем , что (в двух словах – это не текст в чистой математике) означает, что:

произведения и суммы комплексных чисел также являются комплексными числами
произведений и сумм удовлетворяют обычным ассоциативным/коммутативным/дистрибутивным свойствам действительных чисел
все они имеют инверсию, кроме нуля

Все это свойства действительных чисел, но обратите внимание, что такие операции, как квадратный корень из комплексных чисел, также производят комплексные числа, чего нельзя сказать о действительных числах.

Комплексное сопряжение комплексного числа — это еще одно комплексное число, в котором знак мнимой части исходного числа перевернут. Операция комплексного сопряжения легко достигается заменой всех $i$ в выражении комплексного числа на $-i$. Комплексно-сопряженная переменная, представляющая комплексное число, обозначается звездочкой в верхнем индексе: 92} \]

Диаграммы Аргана

Как следует из уравнения 1. 1.3, мы можем выразить комплексное число как вектор на плоскости, хотя, чтобы отличить их от векторов, им обычно дается имя phasor по причинам, которые будут вскоре станет ясно. Величина такого объекта тогда будет длиной фазора с компонентами, являющимися реальной и мнимой частями. Каждой точке этой реальной/воображаемой плоскости (а также вектору, указывающему на нее из начала координат) соответствует уникальное комплексное число. Это графическое представление известно как 92}\), то действительные и мнимые «компоненты» равны:

\[a = R\cos\theta, \;\;\;\;\; b = R\sin\theta, \;\;\;\;\; \Правая стрелка \;\;\;\;\; z=R\left(\cos\theta+i\sin\theta\right) \]

Уравнение движения объекта, следующего простому гармоническому движению, может быть записано как действительная или мнимая часть вектора, который вращается по постоянной ставке. Амплитуда движения — это величина вектора, а фаза синусоидальной функции, описывающей его движение, — это угол, который вектор составляет с реальной осью $\тета$. Физические гармонические волны демонстрируют гармоническое движение в каждой фиксированной точке пространства, поэтому их можно описать в терминах компонент векторов. Как мы увидим, в квантовой механике волны выражаются через полный фазор (а не через один компонент). 9{-i\theta}}{2i} \]

Пример $\PageIndex{1}$

Неудивительно, что векторы складываются точно так же, как векторы. Используйте этот факт, чтобы доказать следующее тождество триггера:

\[ 1 + \cos\left[\left(1\right)\left(\dfrac{2\pi}{n}\right)\right]+ \cos\left[\left(2\right)\left(\dfrac{2\pi}{n}\right)\right]+\dots+\cos\left[\left(n-1\right)\left (\dfrac{2\pi}{n}\right)\right] = 0 \nonumber \]

Решение: Если мы построим $n$ векторов величины 1 с углами, равномерно распределенными по всему диапазону $2\pi$, то сложение их как векторов приведет к нулевому «чистому вектору». Поместив первый вектор в $\theta = 0$, он просто равен 1.
No related posts.