Что такое область значения и область определения функции: В чем разница между областью определения и областью значения функции?

алгоритм нахождения области значения функции

Что такое функции, области определения и значений функции

Определение 1

Функция — вид зависимости, при котором каждому элементу одного множества ставится в соответствие элемент другого множества.

В общем виде функцию в алгебре обозначают как y=f(x). Переменную x называют независимой переменной или аргументом функции, переменную y — зависимой переменной или значением функции.

Основными характеристиками функции являются:

• область определения;
• область значений.

Определение 2

Область определения — множество значений, которые может принимать аргумент функции, то есть переменная x. Область определения иногда называют областью допустимых значений. Обозначение области допустимых значений функции f: D (f).

Также область определения можно трактовать как проекцию графика функции на ось абсцисс.

Определение 3

Областью значений называется множество всех значений функции (переменной y), полученных при переборе всех значений переменной x из области определения. Принято следующее обозначение области значений: E (f).

В графическом изображении область значений — проекция графика функции на ось ординат.

Нахождение области значений осуществляется одним из следующих способов:

• графически;
• аналитически (по уравнению).

Способы нахождения области значений некоторых функций по графику

Чаще всего графический способ используют для функций с достаточно простой зависимостью. В этом случае построение графика не вызывает трудностей.

Приведем алгоритм нахождения области значений функции по графику:

1. Ищем область определения функции. Например, у показательной функции или параболы аргумент может принимать любое значение из множества действительных чисел R, то есть E(f)=R. Если выражение f(x) является дробным, область определения находится из условия неравенства нулю знаменателя. Если выражение f(x) находится под квадратным корнем, область определения можно узнать из неравенства f(x)≥0.
2. Строим график функции по точкам.
3. По графику функции находим ее минимум. Значение y_{min} будет являться нижней границей области значений. В том случае, когда минимум невозможно определить визуально, то есть функция не имеет минимума, границей будет -∞.
4. Аналогично определяем максимум y_{max} и, соответственно, верхнюю границу области значений. Если максимум не определяется, границей области значения является +∞.
5. Записываем область значений функции, при этом необходимо учесть точки разрыва, если они есть. Точки разрыва возникают, например, при исключении из области определения таких значений аргументов, при которых знаменатель обращается в ноль. Область значений записывают в виде числового промежутка. Границы, входящие в область, заключают в квадратные скобки, не входящие — в круглые. Если область значений включает в себя несколько числовых промежутков, их объединяют знаком «U», например: (-∞; 4]U[6; +∞).

Как найти область значений функции по уравнению

Нахождение области значений функции по заданному уравнению также сводится к вычислению экстремумов.

Рассмотрим два случая:

1. Нахождение области значений функции, непрерывной на некотором заданном отрезке.
2. Нахождение области значений функции, непрерывной на некотором интервале. Сюда же отнесем случаи, когда функция не существует в какой-либо точке. Например, точка нуля знаменателя, в которой функция не существует, а область определения терпит разрыв.

Алгоритм поиска области значений для первого случая:

1. Находим производную функции.
2. Приравниваем производную к нулю, находим корни уравнения f′(x)=0 и точки, в которых производная не существует — критические точки.
3. Отмечаем корни, критические точки и границы заданного интервала на прямой и определяем знаки производной на каждом получившемся промежутке.
4. Находим минимумы и максимумы функции. Если в некоторой точке x1 производная меняет знак с «+» на «-», то точка x1 — максимум, если с «-» на «+» — минимум.
5. Подставляя значения аргументов для минимума и максимума функции в выражение f(x), находим минимальное и максимальное значения функции. В том случае, если имеются точки, в которых производная не существует, значение функции вычисляем через пределы по формулам: limx→x1-0f(x)   и limx→x1+0f(x).
6. Записываем область значений функции.

Для второго случая:

1. Находим производную, приравниваем ее к нулю и определяем знаки производной на каждом промежутке.
2. Определяем значение функции в каждой из точек. Для определения значения функции в граничных точках, а также в точках разрыва или точках, в которых производная не существует, вычисляем пределы функции аналогично указанным в пункте 5 для первого случая.
3. Определяем и записываем область значений.

Примеры решений

Рассмотрим несколько примеров на нахождение области значений функции и приведем их решения.

Задача 1

Найти область значений функции y=x по графику.

Решение:

Найдем область определения функции. Выражение под знаком квадратного корня всегда положительно, то есть x≥0, и область определения D(f(x))=[0; +∞). Теперь построим график функции.

Из графика видно, что минимальное значение переменная y принимает при x=0. Максимальное значение не определяется, при этом видно, что при возрастании x значении y также растет. Получили, что ymin=0, а область значений E(f(x))=[0; +∞).

Ответ: E(f(x))=[0; +∞).

Задача 2

Найти область значений функции y=4xx2+2 на отрезке [-2; 2].

Решение:

Найдем область определения функции. Функция представляет собой дробь, однако, ее знаменатель не будет равен нулю при любых значениях x. Действительно, квадрат любого числа есть положительное число, получили в знаменателе сумму положительных чисел. Тогда D=R, где R — множество действительных чисел.

Найдем производную функции: y'(x)=4xx2+2’=4(2-x2)(x2+2)2.

Приравняем числитель производной к нулю и найдем корни получившегося уравнения: 8-4×2=0;x1=-2иx2=2.

Отметим корни на координатной оси и, поочередно подставляя значения x=-4,-2,2,4, определим знаки производной на каждом промежутке.

Из рисунка видно, что функция имеет один минимум и максимум. Вычислим значения ymin и ymax:

ymin=y(-2)=4·(-2)(-2)2+2=-2;

ymax=y(2)=4·(2)(2)2+2=2.

Экстремумы функции входят в заданный интервал и не являются точками разрыва области определения функции, то есть минимальные и максимальные значения должны быть включены в область значений.

Ответ:E(f(x))=[-2;2].

Задача 3

Найти область значений функции y=5x+1 на области действительных чисел.

Решение:

Найдем область определения функции. Знаменатель не может быть равным нулю, значит, D(f(x))=(-∞; -1)U(-1;+∞).

Найдем производную: y'(x)=-5(x+1)2.

Получили, что производная не равна нулю при любых x. При x=-1 знаменатель производной обращается в ноль, то есть в данной точке производная не существует.

Отметим точку x=-1 и рассмотрим два промежутка: (-∞;-1) и (-1;+∞).

Определим знаки производной на каждом промежутке.

 

Из рисунка видно, что функция убывает на обоих интервалах и не имеет максимума или минимума.

Теперь определим значение функции в точке x=-1, для чего вычислим пределы функции при x→-1-0 и x→-1+0.

limx→(-1-0)5x+1=5-1-0+1=5-0=-∞;

limx→(-1+0)5x+1=5-1+0+1=5+0=+∞.

Итак, точка x=-1 — это точка разрыва второго рода.

Значение функции на границах заданного интервала -∞ и +∞ также вычисляется с помощью пределов:

limx→-∞5x+1=5-∞+1=0;

limx→+∞5x+1=5+∞+1=0.

Данная функция является гиперболой с асимптотами x=-1 и y=0.

Область значений E(f(x))=(-∞; 0)U(0;+∞).

Ответ: E(f(x))=(-∞; 0)U(0;+∞).

Область блока, область действия и локальная область видимости в Javascript

Я не уверен, что вы уже получили ответы на свои вопросы:

Область блока иногда совпадает с областью действия функции? Я знаю, что область действия функции предназначена для всего внутри функции, но не понимаю, что точно область блока.

Да , область действия блока иногда совпадает с областью действия функции. Область блока — это все, что находится внутри набора фигурных скобок { здесь область блока } . Таким образом, в верхней части кода функции область блока будет такой же, как и область действия функции:

 функциональный тест(х) {
   // это и область видимости блока, и область действия функции
   пусть у = 5;
   если (х) {
       // это меньшая область видимости блока, которая не совпадает с областью действия функции
       пусть г = 1;
   }
}
 

Для Javascript в настоящее время рекомендуется использовать вместо этого let / const var для будущего обслуживания? (Это было из Руководства по стилю Airbnb)

let и const являются частью новейшей спецификации ES6 и реализованы только в последних движках Javascript, а иногда в последних движках они включаются только со специальными флагами. Они появляются во всех новых движках/браузерах JS, но пока не получили широкого распространения. Таким образом, если вы пишете Javascript для обычного использования браузера в широком Интернете, вы не можете надежно использовать пусть и пока не равны .

В некоторых случаях вы можете безопасно программировать с let и const now:

1. nodejs или плагин только для конкретной версии конкретного браузера).

2. Если вы используете транспилятор, который преобразует ваш код в код, который будет работать во всех браузерах. При использовании транспилятора вы можете написать свой код с использованием новейших функций, а транспилятор «заглушит» его, чтобы ваш код работал в старых браузерах, используя симуляции новых функций.

Если вы программируете для среды, где вы знаете, что поддерживаются let и const , рекомендуется использовать их соответствующим образом. Если вы объявите переменную в начале своей функции, то let и var сделают то же самое.

Если вы объявите переменную в меньшей области внутри функции, то пусть будет содержаться в меньшей области, но var будет поднята наверх функции и будет иметь область действия, независимо от того, где она объявляется.

---

Руководство по стилю AirBnb, на которое вы ссылаетесь, специально написано для среды ES6 (обратите внимание, что существует отдельная ссылка на версию их руководства по стилю для ES5). Итак, это означает, что они предполагают среду с поддержкой ES6. Это либо потому, что они нацелены на серверный JS-движок, который, как они знают, поддерживает ES6, либо потому, что они используют транспилятор, который преобразует код ES6 во что-то, что будет работать на движке ES5.

---

Примечание о транспиляторах. Прежде чем использовать транспилятор и переключать все объявления переменных на пусть в рамках блоков, стоит понять, какой код генерирует транспилятор и влияет ли генерируемый им дополнительный код на производительность вашего приложения. Например, область блока для let моделируется путем создания встроенного IIFE, что может привести к дополнительным накладным расходам во время выполнения для каждого блока, содержащего оператор let .