Что такое предел: предел | это… Что такое предел?

Содержание

предел | это… Что такое предел?

сущ., м., употр. часто

Морфология: (нет) чего? преде́ла, чему? преде́лу, (вижу) что? преде́л, чем? преде́лом, о чём? о преде́ле; мн. что? преде́лы, (нет) чего? преде́лов, чему? преде́лам, (вижу) что? преде́лы, чем? преде́лами, о чём? о преде́лах

1. Пределом называется видимая, известная конечная часть какой-либо природной местности.

Предел полей, лесов. | Раскинулась степь без конца и предела. | Кажется, нет предела пустыни.

2. Пределом жизни называется чья-либо кончина, смерть.

3. Пределами называется естественная или условная черта, граница какой-либо территории, страны и т.

д. Раздвинуть пределы земельного участка. | Оказаться за пределами страны, отечества. | Русские общины за пределами России. | Он не выезжал за пределы своего государства.

= рубеж

4. Пределами называют границы, рамки чего-либо принятого, установленного, дозволенного.

Выйти за пределы допустимого. | Пределы власти. | Пределы коммерческих операций. | Увеличить предел займа.

5. Если кто-либо положил, поставил предел чему-либо, то это означает, что этот человек своими действиями способствовал прекращению, приостановке каких-либо неблагоприятных процессов.

6. Пределом называют крайнюю степень чего-либо.

Предел совершенства. | Предел терпению, жестокости.

| Дойти до предела нищеты. | Возмущение дошло до высшего предела.

= верх

7. Пределом мечтаний называют то, что кто-либо не решается себе представить как реальное, осуществимое и т. п.

8. Если чему-либо нет предела, то это означает, что что-либо ощущается кем-либо в очень сильной степени.

Нет предела моей благодарности. | Любви матери нет предела.

9. Если что-либо доведено до предела, то это означает, что что-либо доведено до крайней степени своего проявления.

Силы людей доведены до предела.

10. Пределом называется критическая точка в проявлении каких-либо физических свойств, качеств.

Предел прочности. | Предел выносливости. | Предел упругости. | Минимальный предел огнестойкости конструкции равен 0.

11. В математике пределом называется постоянная величина, к которой приближается переменная величина, зависящая от другой переменной величины, при определённом изменении последней.

Предел числовой последовательности. | Теория пределов. | Предел допустимой основной погрешности.

12. Если кто-либо делает что-либо на пределе, то это означает, что этот человек делает это, ощущая крайнюю степень физического или умственного напряжения.

Работать на пределе.

13. Если кто-либо

на пределе, то это означает, что этот человек очень раздражён.

14. Если о чём-либо говорят, что это (ещё) не предел, то это означает, что что-либо имеет тенденции быть усиленным, улучшенным, получить большее распространение и т. д.

15. Фраза Всему есть предел употребляется в том случае, если что-либо сказанное, сделанное кем-либо ощущается другим человеком как крайне неприличное, неуместное.

22.Что такое предел функции? Приведите примеры.

Определение:

Говорят, что предел функции , если :

определена по крайней мере на некоторой правой полупрямой

Иными словами, B равняется пределу , в точности тогда, когда график этой функции при достаточно больших значениях аргументаx попадает в полосу b-E<y<b+E.

Число A₁ называется

пределом функции f (x) слева в точке a, если для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех выполняется неравенство

Число A₂ называется пределом функции f (x) справа в точке a, если для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех выполняется неравенство

Функция α (x) называется бесконечно малой при x → a (здесь a – конечное число или ∞), если Функцияx = 0 является бесконечно малой функцией в каждой точке. Примерами бесконечно малых (на бесконечности) функций являются зависимость силы тяжести от расстояния до притягивающего центра или зависимость скорости движения по параболической орбите от времени.

Если в некоторой окрестности a определены функции

f (x), g (x), h (x) такие, что f (x) = g (x) h (x), , то функцииf (x) и g (x) называются эквивалентными при x → a:

f (x) ~ g (x).

Так, функции иэквивалентны приx → 0, так как а второй множитель стремится к 1 приx → 0. Другие примеры эквивалентных функций при x → 0:

sin x ~ x

tg x ~ x

arcsin x ~ x

arctg x ~ x

e^x – 1 ~ x

ln (1 + x) ~ x

(1 + x)^α – 1 ~ α x.

При вычислении пределов функций можно использовать понятие эквивалентности.

↑ назад в содержание ↑

23.Что такое 1-й замечательный предел?

Что такое 1-й замечательный предел?

Доказательство:

Sтр.ОАС<ScектOAC<Sтр.OAB

*1*sinx<*x*1<*1*tgx

Sinx>0

Делим на

1<<(cosx→1, когдаx→0)

x→0:

→1

↑ назад в содержание ↑

24.Что такое 2-й замечательный предел?

Число е является иррациональным е=2.718281828.

Число b называется пределом функции при,

lim f(n)=b

x→0

cуществует lim f(x)

x→0

f(x)=sinПx

Из этого соответствия вытекают еще 2 важных равенства:

① lim (e-1)/x=1

x→0

(e в степени х)

② lim (ln(1+x))/x =1 или lim (ln(1+x))=0

x→0 x→0

Небольшой пример:

lim (e-1)/x=4 lim (e-1)/4x=4

x→0 x→0

(е в степени 4х)

-5 lim (ln(1-5x))/(-5x)=-5

x→0

↑ назад в содержание ↑

25.

Расскажите о методах вычисления пределов основных типов. Приведите примеры.

↑ назад в содержание ↑

26.Дайте определение непрерывной функции. Приведите примеры.

Непрерывность функции

Определение 1. Функция f(x) называется непрерывной в точке x₀, если .

Более подробно это расшифровывается следующим образом:

1. .

2. . Другими словами, непрерывная функция характеризуется тем свойством, что можно менять местами знак функции и знак предела.

3. Обозначим (приращение аргумента) и (приращение функции). Тогда непрерывная функция характеризуется тем свойством, что при также и , то есть бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

Определение 2. Функция f(x) называется непрерывной на множестве Х, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Примеры:

Предельное определение и значение — Merriam-Webster

1 из 2

ограничивать · это ˈli-mət

: то, что ограничивает, сдерживает или ограничивает

возрастной ценз для юниоров в гольф

: максимальная степень

довела свое тело до предела

географическая или политическая граница

ограничивает множественное число : место заключенное в границу : границы

в пределы севера они пришли Джон Мильтон

: ограничение

печаль безгранична Уильям Шекспир

: определяющая черта или отличие в логике

: предписанное максимальное или минимальное количество, количество или число: например,

: максимальное количество дичи или рыбы, которое можно законно выловить в определенный период

: максимум, установленный для азартной игры, повышения или выплаты

: число, числовое отличие которого от математической функции сколь угодно мало для всех значений независимых переменных, которые достаточно близки, но не равны заданным заданным числам, или которые достаточно велики в положительную или отрицательную сторону

: число, которое для бесконечной последовательности чисел таково, что в конечном счете каждый из оставшихся членов последовательности отличается от этого числа меньше, чем на любую заданную положительную величину

: то, что раздражает или невыносимо

У нас была плохая погода, но это предел.

Безграничный

ˈli-mət-ləs

имя прилагательное

неограниченно наречие

безграничность сущ.

предел

2 из 2

переходный глагол

: установить определенные ограничения : предписать

зарезервировано право ограничить использование земли

: для ограничения границ или пределов

специалист больше не может ограничиваться своей специальностью

: сокращение или сокращение количества или степени

мы должны ограничить силы агрессоров

ограниченный

ˈli-mə-tə-bəl

имя прилагательное

ограничитель существительное

Синонимы

Существительное

связанный
граница
крышка
потолок
ограничивает
конец
степень
ограничение
строка
окончание

Глагол

крышка
очерчивать
ограничивать
удерживать
ограничить

Просмотреть все синонимы и антонимы в тезаурусе

Примеры предложений

Существительное Он достиг предел его выносливости. На тренировках она довела свое тело до физических пределов . Он пытается быть творческим в пределах обычной журналистики. Есть ограничения 9019+4 к тому, что я могу смириться с ним! Глагол Нам нужно найти способы лимит расходов. Он пытался ограничить ущерб своей репутации, обвиняя других людей. Фактором , ограничивающим экономические показатели нашей страны, является нехватка ресурсов. Наша нехватка денег ограничивает наши возможности. Из-за нехватки денег мы вынуждены ограничить себя меньшим количеством вариантов. Узнать больше

Последние примеры в Интернете

Cal Am перекачивал более чем в три раза больше установленного законом лимита , и к 1995 году Государственный совет по контролю за водными ресурсами приказал прекратить овердрафт — крайний срок, который был продлен до декабря 2021 года. Розанна Ксиастафф, писатель, Los Angeles Times , 18 ноября 2022 г. Ограничения покрытия ответственности Сумма покрытия вашей ответственности ограничена в зависимости от вашего полиса предел , который обычно составляет от 100 000 до 500 000 долларов США. Кейтлин Котербски, Fortune , 17 ноября 2022 г. А в недавнем выпуске «Шоу Эзры Кляйна» автор Джордж Сондерс размышлял о влиянии главного нововведения Twitter — его символа и ограничения — на наше понимание языка, нюансов и даже правды. Чарли Уорзел, Атлантика , 17 ноября 2022 г. Технически Конгрессу не нужно делать это в этом году, поскольку США не превысят лимит заимствований в 90 193 – 90 194 примерно до 2023 года. Грейс Сегерс, Новая Республика , 15 ноября 2022 г. На улице переднее сцепление кажется неисчерпаемым, поскольку Type R ныряет влево и вправо, заставляя вас упираться в валики сидений на пределе 1,02 г . Тони Кирога, 9 лет0193 Автомобиль и водитель , 15 ноября 2022 г. Фронхёфер был не единственным инженером Twitter, который, похоже, достиг своего предела терпения в отношении стиля руководства Маска. Эшли Белэнджер, Ars Technica , 15 ноября 2022 г. Городской совет Сан-Диего утвердил во вторник план долгосрочных займов, предложенный мэром Тоддом Глорией, в результате чего городская кредитная карта увеличилась на 175 миллионов долларов, а государственный долг приблизился к отметке 9.0193 предел . Джефф Макдональд, San Diego Union-Tribune , 15 ноября 2022 г. Государственное финансирование в рамках краткосрочной сделки, заключенной перед выборами, истекает в середине декабря, в то время как в следующем году страна достигнет предела своего долга в . Globe Staff, BostonGlobe.com , 10 ноября 2022 г.

Надежная защита, фантастическая беговая игра, контролируйте часы, не переворачивайте их, ограничивают владений, пусть ваш квотербек играет, когда это необходимо. Карлос Монаррес, Detroit Free Press , 19 ноября 2022 г. Это, в свою очередь, может ограничить количество домов, выставленных на продажу. Новости CBS , 18 ноября 2022 г. Могут ли Ягуары лимит больших спектаклей в прохождение игры? Крег Стивенсон | Cstephenson@al. com, al , 18 ноября 2022 г. И, установив потолок цен на места премиум-класса, Swift может ограничить степень, в которой покупатели билетов получают дойку. Тимоти Ноа, Новая Республика , 18 ноября 2022 г. Строгие правила ограничивают количество цифровых манипуляций, допустимых для изображений, и жюри должно иметь доступ к исходным необработанным файлам для проверки подлинности. Якопо Приско, CNN , 18 ноября 2022 г. Это должно ограничить величину будущих столкновений, гарантируя, что микрометеороиды не столкнутся с зеркалом Уэбба лоб в лоб. Джошуа Хокинс, BGR , 17 ноября 2022 г. Роберт Петерсон / Деревенские белые интерьеры Don’t ограничьте рождественское освещение белыми гирляндами на елке. Келли Аллен, Красивый дом , 16 ноября 2022 г. В некоторых случаях такой тип партнерства может даже ограничить рост бренда, запереть его и навсегда привязать к этой конкретной принадлежности. Аршад Ласи, Rolling Stone , 16 ноября 2022 г. Узнать больше

Эти примеры предложений автоматически выбираются из различных онлайн-источников новостей, чтобы отразить текущее использование слова «лимит». Мнения, выраженные в примерах, не отражают точку зрения Merriam-Webster или ее редакторов. Отправьте нам отзыв.

История слов

Этимология

Существительное и глагол

Среднеанглийский, от англо-французского limite , от латинского предел-, лаймы граница

Первое известное употребление

Существительное

15 век, в значении, определенном в смысле 1a

Глагол

14 век, в значении, определенном в смысле 1

3 Путешественник во времени Первое известное использование предела

было в 14 веке
Посмотреть другие слова из того же века
Словарные статьи приближаются к пределу

известковость
ограничение
ограничитель
Посмотреть другие записи поблизости
Процитировать эту запись «Ограничение».
Словарь Merriam-Webster.com , Merriam-Webster, https://www.merriam-webster.com/dictionary/limit. По состоянию на 2 декабря 2022 г.
Копировать цитирование
Дети Определение
ограничение 1 из 2
ограничивать · это ˈlim-ət
1
: линия границы
в черте города пределы
2
: точка, за которую человек или предмет не может выйти
Безграничный
-ləs
имя прилагательное
предел
2 из 2
: установить пределы до : держать в пределах
лимит расходы
руководство оставляет за собой право лимит количества
прилагательное лимиты значение существительного
Еще от Merriam-Webster на
limit
Английский: Перевод limit для говорящих на испанском языке
Britannica English: Перевод limit для говорящих на арабском языке
Britannica. com: Энциклопедическая статья о limit
Последнее обновление: 21 ноя 2022 — Обновлены примеры предложений
Подпишитесь на крупнейший словарь Америки и получите тысячи дополнительных определений и расширенный поиск без рекламы!
Merriam-Webster без сокращений
Формальное определение предела
Вы видели пределы в классе исчисления и знаете, что они как-то связаны с приближением, но как бы вы использовали это в доказательстве?
Фото Тома Подмора на Unsplash
Если вы читаете эту статью, у вас, вероятно, есть хорошее интуитивное представление об ограничениях. Предел f(x) , поскольку x приближается к a , значение f(x) приближается к , когда x приближается к a . В более общем смысле, когда вход приближается к значению, функция приближается к предельному значению.
Хотя эта интуиция хороша и все такое, она не поможет в доказательстве. Нам нужно точное определение того, что значит приближаться к чему-либо. После нескольких столетий размышлений Вейерштрасс пришел к такому определению: эпсилон-дельта определение предела . Я не большой визуальный ученик и не аниматор, поэтому я бы порекомендовал посмотреть видео 3blue1brown о лимитах, прежде чем двигаться дальше.
Если бы мы формализовали это определение, то у нас было бы много случаев, но пока мы сосредоточимся на двух случаях (позже мы их обобщим): конечный и бесконечный пределы. Для конечных двусторонних пределов мы имеем
, где D — область определения f(x) . Для бесконечных пределов у нас есть
. Для пределов на отрицательной бесконечности замените х > N с х < -N .
Несмотря на то, что эти определения содержат символы, которые могут быть вам незнакомы, каждый из приведенных выше символов имеет простое определение. Вам нужно будет узнать, что означает каждый символ, только один раз. В этом разделе я объясню каждый символ.
Логическая эквивалентность
Это утверждение означает, что P и Q логически эквивалентны. Точнее, P и Q являются истинными или ложными. P не может быть истинным, а Q ложным или наоборот. На простом английском это можно прочитать как «Сказать P — это то же самое, что сказать Q » или « P тогда и только тогда, когда Q ». Если вы хотите доказать P , то вы можете доказать Q или наоборот. В нашем определении предела это означает, что если мы хотим сказать
, мы можем показать
Универсальный квантификатор
Это утверждение означает, что каждый элемент S (обозначается как k ) будет удовлетворять всем последующим. Вы можете думать об этом как о вызове для того, кто не верит в то, что вы собираетесь сказать дальше. «Ты мне не веришь? Выберите любой элемент из S . Назовите это k . k удовлетворит все, что следует из этого».
Два экземпляра универсального квалификатора в определении:
Первое выражение означает, что вы можете выбрать любое положительное число, которое хотите. Второе выражение означает, что вы можете выбрать любой элемент в домене ф(х) .
Квантификатор существования
Это выражение означает, что существует по крайней мере один элемент k в S такой, что все последующее верно. Нам часто приходится доказывать, что такое k существует, в том числе при доказательстве пределов.
Единственным экземпляром квантора существования в определении является
, что в сочетании с утверждением перед ним означает, что вы можете назвать по крайней мере одно положительное число 𝛿, такое, что остальная часть утверждения истинна независимо от того, какое положительное значение вы выбираете для ϵ .
Следствие
Это выражение означает, что если P истинно, то Q истинно. Классический пример — это утверждение «Если вы пойдете под дождем, то промокнете», которое выглядит как
, если написать его как импликацию. Обратите внимание, что если утверждение верно, то возможны три варианта:
Вы идете под дождем и промокаете.
Под дождем не гуляешь и не промокаешь.
Вы не идете под дождем и промокаете (например, вы падаете в бассейн или попадаете под брызги из разбрызгивателя).
Единственный случай, когда утверждение может быть ложным, это то, что вы могли ходить под дождем, но не промокли. Важно привести пример, потому что некоторые люди путают импликацию с логической эквивалентностью. Большая разница между ними состоит в том, что P может быть ложным, а Q может быть истинным в импликации, но не в логической эквивалентности.
Единственное значение в определении
говорит, что если x находится на расстоянии 𝛿 от a (но не равно a ), то f(x) находится на расстоянии ϵ от L .
Собираем все вместе
Сказать
— это то же самое, что сказать, что для любого положительного значения ϵ
мы можем найти по крайней мере одно положительное значение для 𝛿
такое, что для любого значения x в области определения D
(0 < | x - a | < 𝛿 ) подразумевает (| f(x) — L | < ϵ) .
Многие учителя или учебники остановятся на этом и не покажут вам, как использовать это определение. Мы можем преобразовать это определение в общий набор шагов, которым мы можем следовать, чтобы доказать предел.
Конечные пределы
Выберите произвольное значение ϵ > 0 . В данном случае это означает, что мы рассматриваем ϵ как переменную.
Решите неравенство | f(x) — L| < ϵ для x .
Вы должны были получить что-то вроде m(ϵ, a) < x < n ( ϵ, a) , где m(ϵ, a) и n(ϵ, a) — выражения, содержащие ϵ и a .
Ваш 𝛿 является меньшим из двух значений | m(ϵ, а) — а | и | п(е, а) — а | .
Вы говорите Q.E.D. и произвести впечатление на всех на вечеринке.
Бесконечные пределы
Выберите произвольное значение ϵ > 0 . В данном случае это означает, что мы лечим ϵ в качестве переменной.
Решите неравенство | f(x) — L| < ϵ для N .
Вы должны были получить что-то вроде N > g(ϵ, x) , где g(ϵ, x) — это выражение, содержащее ϵ и x .
Вы говорите Q.E.D. и произвести впечатление на всех на вечеринке.
Невозможно решить алгебраически
Теперь, если вы не можете найти x или N , то вы обычно можете использовать некоторые другие приемы, чтобы получить более хорошие результаты. Например, вы можете использовать неравенство треугольника или найти минимальное и максимальное значения функции.
Базовый пример
Рассмотрим классический пример
Во-первых, мы рассматриваем ϵ как произвольную переменную. Затем мы решаем следующее неравенство для x
Наши m(ϵ, 5) = 5 — ϵ / 2 и наши n(ϵ, 5) = 5 + ϵ / 2 . Обратите внимание, что x не может равняться 5 , если мы хотим исключить (x — 5) из числителя и знаменателя. К счастью, для ограничений x никогда не требуется. Теперь мы вычисляем два приведенных выше значения, которые нам нужны, чтобы определить значение 𝛿.
Два значения равны, поэтому мы можем выбрать 𝛿 = ϵ / 2 , и все готово. Конечно, если мы хотим, мы можем выбрать 𝛿 еще меньше, например, ϵ / 3 или ϵ / π . В некоторых доказательствах вам нужно выбрать 𝛿 меньше, чем максимально возможное 𝛿, так что имейте это в виду.
Интересное упражнение
Я призываю вас попытаться найти предел, используя определение предела (ϵ, 𝛿 ) , но использовать неправильное значение для предела. Например, в приведенном выше примере попробуйте установить L до 0 или 25. Если вы повторите приведенное выше доказательство, но предположите, что предел равен неправильному значению, то вы получите значения ϵ , такие что 𝛿 стремится к нулю, становится отрицательным или делает другие абсурдные вещи . Для последовательностей вы обнаружите, что по мере того, как ϵ приближается к ненулевому значению сверху, N приближается к бесконечности.
У нас есть несколько типов пределов:
Конечные пределы
Левосторонние пределы
Правосторонние пределы
Пределы на положительной бесконечности
Пределы на отрицательной бесконечности
Пределы последовательностей
Пределы в высших измерениях
У каждого из них есть определение, но сами определения очень похожи. Все они имеют некоторую общую идею о том, что по мере приближения к значению во входном пространстве вы должны приближаться к предельному значению в выходном пространстве. Проблема заключается в том, что каждый из пределов различается по тому, как они подходят к вещам, и они требуют разных определений.
Сети
Мне придется вывалить на вас кучу определений, но каждое из них должно быть простым. Каждое определение имеет только одну вещь за
Рефлексивность: бинарное отношение ◉ на множестве S рефлексивно, если a ◉ a для всех a в S . Например, ≤ является рефлексивным на множестве натуральных чисел, поскольку a ≤ a для всех a в натуральных числах.
Транзитивность: бинарное отношение ◉ на множестве S является транзитивным, если a ◉ b и b ◉ c подразумевают a ◉ c для всех a, b, c в S . Например, ≤ является транзитивным для натуральных чисел, поскольку a ≤ b и b ≤ c подразумевает a ≤ c для всех натуральных чисел a, b, c в натуральных числах.
Предпорядок: Бинарное отношение ◉ является предварительным порядком, если ◉ рефлексивно и транзитивно. Поскольку ≤ рефлексивно и транзитивно, это предпорядок.
Набор по предварительному заказу: Набор с предварительным заказом.
Направленный набор: предварительно заказанный набор S с предварительным заказом ◉ такой, что для любых a, b в S существует некоторое c в S такое, что a ◉ c и b . Предварительный порядок также известен как «направление» набора, и вы можете прочитать его как меру того, насколько элемент близок к определенному значению. Например, натуральные числа с ≤ представляют собой направленное множество, поскольку для любых двух натуральных чисел a и b , a ≤ a + b и b ≤ a + b . Мы бы сказали, что это множество направлено в бесконечность.
Сеть: Функция, областью определения которой является направленное множество.
Обратите внимание, что последовательность является сетью, поскольку ее областью определения являются натуральные числа, а ее предварительный порядок ≤.
Чем нам помогают сети?
Направленные множества и сети позволяют объединить все определения предела в одном выражении. Пусть f(x) — функция с областью определения D и диапазон R , где D — направленный набор с предварительным заказом ◉, направленным на x0 , а R — направленный набор с предварительным заказом ◈, направленным на L . Тогда мы можем сказать
. Следствие можно прочитать так: «Если x ближе к x0 , чем β , то f(x) ближе к L , чем α ».
Чтобы увидеть, как это определение может вместить все определения, мы должны посмотреть на направленные наборы, которые составляют домен и диапазон. Домен и два эквивалентных определения для предварительного заказа ◉ для каждого вида ограничения перечислены ниже. Первое определение дано в терминах подмножеств ( a ⊆ b означает, что a является подмножеством b ) и согласуется с a ◉ b , что означает, что набор, основанный на a , является подмножеством набора, основанного на b . Второе определение относится к стандартным вещам, которые вы могли бы увидеть в реальном анализе, таким как абсолютные значения и неравенства.
В большинстве случаев ◈ совпадает с предварительным заказом ◉ для конечных двусторонних пределов с заменой x0 на L .
Восстановление определений стандартных пределов
Чтобы увидеть, как мы можем восстановить одно из стандартных определений предела, мы можем подставить все обратно в общее определение предела.
Например, чтобы восстановить определение предела на бесконечности, мы можем заменить D действительными числами, a ≥ b вместо a ◉ b и | Л — а | ≤ | л — б | in вместо a ◈ b для получения
Если заменить β на N немного меньше β и заменить | α — л | с ϵ немного больше, чем | α — л | , то вы получите исходное определение:
Эта статья началась как часть более крупной статьи, доказывающей теорему Мура-Осгуда.
No related posts.