Что такое угол геометрия: понятие, определение и виды углов на рисунках

«Угол. Измерение углов». Геометрия. 7-й класс

Ключевые слова: угол, Измерение углов, Вычисление неизвестного угла, Расчет углов, Задачи на нахождение углов

Цели:

1. Образовательная: сформировать понятия угла и навыки измерения углов, научить вычислять градусную меру угла.
2. Развивающая: используя авторскую модель транспортира оказать существенную помощь в развитии абстрактного мышления учащихся при изучении заявленной темы урока, развивать логическое мышление.
3. Воспитательная: воспитание интереса к геометрии, уважения к товарищам, взаимопомощи.

Оборудование урока:

1. Транспортир демонстрационный – большой, напольный (рисунок 1).
2. Транспортир демонстрационный – маленький, ученический (рисунок 2).

Рисунок 1

Рисунок 2

Оборудование прошло проверку в ФИПС (Роспатент).

Автор и патентообладатель: Калашников А.Н., учитель математики, Ленинск-Кузнецкий городской округ.

Тип урока: комбинированный.

Ход урока

1. Организационная часть.
2. Самостоятельная работа по теме: «Измерение отрезков».
3. Определение темы и целей урока.
4. Изучение темы урока.
5. Решение задач по изученной теме.
6. Закрепление материала.
7. Домашнее задание.

I. Организационная часть

II. Самостоятельная работа по теме «Измерение отрезков» выполняется по карточкам

III. Запись темы в тетрадь и определение целей урока

IV. Изучение темы урока

Изучение материала урока проходит при непосредственном построении углов на транспортире каждым учеником класса.

Что такое градус? – 1/180 часть развернутого угла.

Построим угол в 10 на транспортире и сравним его с развернутым углом.

На транспортирах мы построили развернутый угол и один из лучей переместили значению 10. Градус составил 1/18^o часть развернутого угла. (Перемещая луч по шкале, мы сразу определяем градусную меру угла).

Рисунок 3

При объяснении обращаю внимание на то, что если по внутренней шкале градусная мера угла равна 80^o, то по внешней шкале, градусная мера смежного с ним угла равна 100^o. В сумме каждая пара значений равна 180^o. Этот факт очень удобно использовать при вычислениях. Ответ расположен на противоположной шкале транспортира.

Рисунок 4

Построим угол по рисунку 33 (а).

Обговаривая заранее обозначение лучей, обращаем внимание на то, как кратно произносится градусное значение угла, и делаем соответствующую запись.

Можно построить несколько углов, т.к. оборудование  позволяет сохранять время урока.

Рисунок 5

Равные углы имеют равную градусную меру.

Построим на транспортире несколько углов. В каждом случае определим градусные меры каждого угла.

Рисунок 6

Меньший угол имеет меньшую градусную меру.

Рисунок 7

Развернутый угол равен 180^o.

Рисунок 8

Неразвернутый угол меньше 180^o.

Любой из двух углов меньше развернутого.

Рисунок 9

Когда луч делит угол на два угла, градусная мера всего угла равна сумме градусных мер этих углов.

Рисунок 10

Острый угол 0^o < 10^o  <  90^o.

На рисунке показан один из острых углов по внутренней шкале транспортира.

Рисунок 11

Тупой угол. 90^o <130^o <180^o

Рисунок 12

V. Решение задач по теме «Угол. Измерение углов»

Учебник «Геометрия. 7-9 класс». Авторы: Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузова, С.Б.Кадомцева, Э.Г.Поздняк, И.И.Юдина.

№41. Начертите три неразвернутых угла и один развернутый угол и обозначьте их так: АОВ, CDE, hk и MNP. С помощью транспортира измерьте углы и запишите результаты измерений.

На своих уроках использую авторские разработки транспортиров, которые являются связующим звеном между условием задачи и ее образным представлением.

Решение:

1. Построим на транспортирах неразвернутый угол. (Учитель выполняет построение на большом, напольном транспортире. Ученики выполняют построения на ученических, маленьких транспортирах).

Обращаем внимание, что центр транспортира располагается в вершине угла – это точка крепления лучей. Сразу же определяем градусную меру угла. Обговариваем, что построение выполняли по внутренней шкале транспортира. (рисунок 13)

Рисунок 13

2. Ученики выполняют построение данного угла в тетради и вводят обозначение AOB. Выполняют измерение угла и результат измерений записывают в тетрадь.

Рисунок 14

3. Выполним построение второго неразвернутого угла. Снова обращаем внимание на то, что центр транспортира располагается в вершине угла. Определяем градусную меру угла. Обращаем внимание на то, что построение происходило по внутренней шкале транспортира.

Рисунок 15

4. Ученики выполняют построение угла в тетради и вводят обозначение CDE. Выполняем измерение угла и результат измерений записываем в тетради.

Рисунок 16

5. Выполним построение третьего неразвернутого угла.

Обращаем внимание на то, что построение выполнено по внешней шкале транспортира.

Определяем градусную меру угла.

Рисунок 17

6. Ученики выполняют построение в тетради. Вводят обозначение hk. Выполняют измерение угла, и результат измерений записывают в тетрадь.

Рисунок 18

7. Выполним построение прямого угла на транспортире. Обратим внимание на соотношения между прямым и развернутым углом (рисунок 19).

Рисунок 19

8. Выполним построение развернутого угла на транспортире. Обратим внимание на то, что не зависимо от используемой шкалы: внутренней или внешней, градусная мера угла равна 1800.

(Выполнение подобной практической работы, позволяет сразу формировать образное представление изучаемой темы, эффективно воздействовать на логическое и абстрактное мышление ученика).

Рисунок 20

9. Ученики выполняют построение развернутого угла в тетради, вводят обозначение MNP.

Рисунок 21

№43. Начертите угол, равный 70^o, и с помощью транспортира проведите его биссектрису.

1. Построим на транспортире угол, равный 70^o по внешней шкале. (Можно выполнить построение и по внутренней шкале). (рисунок 22)

Рисунок 22

2. Модель такого транспортира легко позволяет напомнить, что называется биссектрисой (луч, исходящий из вершины угла и делящей его на два равных угла, называется биссектрисой угла).

Построим биссектрису угла, которая пройдет через значение в 35^o.

Рисунок 23

3. Используя обычные транспортиры, построим угол, равный 70^o и проведем его биссектрису – луч ОС.

Рисунок 24

№49. Луч ОС делит угол AOB на два угла. Найдите угол AOC, если AOB=155

o, а угол AOC на 15^o больше угла COB.

Решение:

Ученики выполняют построение на ученических транспортирах, учитель на большом напольном транспортире.

1. Построим на транспортире угол AOB, равный 155^o.

Рисунок 25

2. Построим произвольно луч ОС, который делит  угол на два угла.

Нам известно, что сумма двух составляющих углов AOB равна 155^o.

Рисунок 26

3. Известно, что угол AOC больше угла COB на 15^o.

4. Это означает, что если убрать 150 из 155^o, то углы будут равны между собой, и сумма равных углов составит 140^o. (рисунок 27)

Рисунок 27

5. Переместим луч ОС к отметке 70^o, т.е. построим биссектрису угла AOB.

Рисунок 28

6. Ранее из угла АOC мы вычли 15^o. Следовательно, к углу AOC надо добавить 15^o, т.е. луч ОА переместим к отметке 155^o.

Рисунок 29

7. На транспортире с лучами определяем, что AOC=85^o.

8. В тетради произвольно построим рисунок по условию задачи.

Рисунок 30

9. Оформим условие задачи.

10. Запишем решение задачи в тетрадь.

VI. Закрепление материала

Закрепление изученного материала происходит с применением транспортиров с лучами.

Примерные вопросы:

1. Постройте острый угол (указываем шкалу).
2. Постройте тупой угол (указываем шкалу).
3. Постройте развернутый угол.
4. Постройте угол и луч, который разделит данный угол на два неравных угла.
5. Постройте угол и его биссектрису.
6. Постройте два угла: AOC=36^o и COB=47^o. Чему равна градусная мера угла AOB?
VII. Домашнее задание

§5, вопросы 14-16;

Решить задачи.

• I уровень сложности: 35, 36, 39, 40 (рабочая тетрадь).
• II уровень сложности: 42, 46, 48, 52.

При решении номера 48 воспользоваться транспортиром с лучами.

Начальные геометрические сведения. Прямая, отрезок, луч и угол.

1. Базовые сведения о геометрии
2. Прямая и отрезок
3. Луч и угол. Измерение углов.

Добро пожаловать в удивительный мир геометрии. Сегодня мы познакомимся с очень важными и базовыми понятиями науки математики — прямой, отрезком, лучом и углом.

Базовые сведения о геометрии

Геометрия зародилась очень давно – около двух тысяч лет до нашей эры. Она родилась в связи с практическими нуждами людей в Древнем Египте. Слово «геометрия» — греческое. «Геос» переводится как земля, а «метрео» — измеряю. Геометрия – землемерение. В школах нашей страны изучается евклидова геометрия по имени великого ученого Евклида. Курс школьной геометрии делятся на планиметрию (7-9 класс) и стереометрию (10-11 класс). Планиметрия изучает свойства фигур на плоскости. Стереометрия изучает свойства фигур в пространстве.

Основными фигурами на плоскости точка и прямая. Все фигуры состоят из точек и прямых. Точки обозначаются большими латинскими буквами. Прямые обозначаются либо двумя большими латинскими буквами, либо одной маленькой. Точка — это мгновенное прикосновение карандаша к бумаге.

Прямая и отрезок

Прямая это фигура не имеет ни начала, ни конца.

Через любые две точки плоскости можно провести прямую и при том только одну. Если прямые имеют одну общую точку, то говорят, что они пересекаются в ней. Если прямые имеют две и более точек, то они совпадают. Если прямые не имеют общих точек, то они параллельны — A параллельна B.

На прямой точки могут лежать, а могут и не лежать. Посмотрите на  рисунок. Вы видите знак принадлежности, непринадлежности. Выражение точка А не принадлежит прямой а записывается короче с использованием этих значков.

Точка B не принадлежит прямой а.
Точка C принадлежит прямой а.
Точка D принадлежит прямой а.
Точка Е принадлежит прямой а
Точка F принадлежит прямой а, потому что прямую а можно продолжить, и тогда она будет проходить через точку F. Прямая не имеет ни начала, ни конца.

Если точка О принадлежит прямой а и точка О принадлежит прямой b одновременно, это означает, что прямые a и b пересекаются в точке О.

Часть прямой, ограниченная двумя точками называется отрезком. Отрезок можно обозначить либо AB, либо BA. Точки A и B — концы отрезка. Вообще, отрезок имеет и начало, и конец. Если на отрезке лежит точка О, то существует свойство: если к длине отрезка АО прибавить длину отрезка ОB, то получится весь отрезок AB.

Луч и угол. Измерение углов.

Если мы нарисуем прямую и далее отметим точку О, то эта точка разбивает прямую на два дополнительных луча — луч ОА и луч ОВ. Точка О — начало этих двух дополнительных лучей. Луч имеет начало, но не имеет конца. Обозначается луч либо двумя большими, либо одной маленькой латинской буквой. Луч — это тоже часть прямой.

Угол — это геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей, исходящих из этой точки. Точка — это вершина угла, а лучи — это стороны угла. Углы обозначают большими латинскими буквами. Либо одной большой буквой по вершине угла, либо тремя большими буквами, в этом случае вершина О находится посередине, либо двумя маленькими буквами по названию лучей. Угол делит плоскость на две части – внутреннюю и внешнюю область угла.  Если внутри угла АОС проходит луч ОВ, то существует свойство: если к углу а AОB прибавить угол ВОС, то мы получим угол АОС.

Угол АОВ является частью угла АОС, значит угол АОВ меньше угла АОС. Точно так же угол ВОС – часть большого угла АОС, и значит угол ВОС меньше, чем угол АОС.

Луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла, называют биссектрисой угла. При этом угол АОВ будет равен углу ВОС. ОВ – биссектриса.

Углы измеряются транспортиром. Углы измеряются в градусах, минутах, секундах. Например, угол А равен 60 градусов 51 минута 3 секунды.

1 градус — это 60 минут, 1 минута — это 60 секунд. Значит, в одном градусе 360 секунд. Развёрнутый угол — его градусная мера 180 градусов

Половина развернутого угла — это прямой угол. Мы его обозначаем квадратиком внутри угла, и он равен 90 градусов.

Острый угол находится в диапазоне от 0 до 90 градусов.

Тупой угол находится в диапазоне от 90 градусов до 180 градусов.

 

Геометрия — Резюме — Углы

Определения

Загрузить рабочий лист GeoGebra

Интерактивная демонстрация некоторых определений углов.
Переместите ползунок, чтобы увидеть варианты соответствующих и альтернативных углов.

1. Угол одного оборота 360°.
2. Два угла, имеющие общий луч, называются смежными .
3. Два смежных угла, лежащих на одной прямой, называются дополнительными углы .
4. Если два дополнительных угла равны, они прямых углов .
5. Угол, который меньше одного прямого угла, является острым углом .
6. Угол, который больше одного прямого угла и меньше двух прямых, называется тупым углом .
7. Прямая, пересекающая две другие прямые, называется секущей . Углы соответствуют углам .
8. Углы альтернативные углы .
9. Углы составляют вертикальных углов .
10. Угол является внешним углом к треугольнику.

Примечание: Номер 1 был добавлен в список, несмотря на то, что степени не упоминаются в «Элементах» Евклида.

задач GeoGebra

Проведите линию a через точки A и B , и линию b через точки C и D . Входить точка пересечения E и угол α . Место точка F на линии b .

Задача 1

Составить угол β в точке F равным α , и такой, что β становится альтернативным углом когда рисуется новая линия. Что вы можете сказать о линии и и новая линия?

Задача 2

Сделайте угол β в точке F равным α , и такой, что β становится соответствующим углом когда рисуется новая линия. Что вы можете сказать о линии

и и новая линия?

Теоремы

Теорема 1 Вертикальные углы равны.

Теорема 2 В любом треугольнике сумма двух внутренних углов меньше двух прямых углов.

Теорема 3 Если две прямые пересекаются секущей и если противоположные углы равны, то две прямые параллельны.

Теорема 4 Если две параллельные прямые пересечены секущей, то противоположные углы равны.

Теорема 5 Если две прямые пересекаются секущей и соответствующие углы равны, то две прямые параллельны.

Теорема 6 Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответствующие углы равны.

Теорема 7. Теорема о внешнем угле Внешний угол треугольник равен сумме двух удаленных друг от друга внутренних углов.

Теорема 8 Сумма внутренних углов треугольника равна двум прямым.

Теорема 9 Обратная теорема о равнобедренном треугольнике Если два угла в треугольнике равны, то треугольник равнобедренный.

Упражнения

Теоремы, которые вы должны знать, прежде чем делать это: случаи конгруэнтности SAS, SSS, ASA и теорема об углах равнобедренного треугольника.

Упражнение 1

Докажите теорему 1

Упражнение 2

В приведенной ниже демонстрации D является средней точкой сегмента AC , а также средней точкой сегмента BE . Пока вершины треугольника имеют порядок против часовой стрелки A , B , C ; сумма α и γ меньше двух прямых углов. Показать что γ=β . Затем докажите теорему 2. Вам разрешено использовать только те теоремы, которые уже было доказано.

Загрузить рабочий лист GeoGebra

Демонстрация суммы двух углов в треугольнике.

Упражнение 3

Докажите теорему 3. Попробуйте сделать доказательство от противного, т. е. предположить, что ваше суждение неверно; затем покажи что это предположение приводит к противоречию. Затем используйте теорему 3 для доказательства теоремы 4, доказательство от противного работает в и этот случай.

Упражнение 4

Используйте некоторые из уже доказанных теорем для доказательства теорем 5 и 6.

Упражнение 5

Докажите теорему 7. Теорема о внешнем угле. Используйте картинку ниже. Линия l параллельна AC .

Упражнение 6

Докажите теорему 8.

Упражнение 7

Докажите теорему 9! Подсказка: проведите биссектрису в одной из вершин треугольника.

Малин Кристерссон в рамках Creative Commons Attribution-Noncommercial-Share Alike 2.5 Швеция Лицензия

www.malinc.se

9круг`. В частности, две пары равных углов образовано этим пересечением. Вертикальные углы — это два угла, которые противоположны друг другу на пересечении из двух строк. Эти углы имеют одинаковую меру и никогда не образуют линейной пары. Пересечение двух линий всегда создает два пар вертикальных углов.

Пример 7:

9цирк`

Объяснение:

Пример 8:

Угол YOV или Угол VOY

Пояснение:

---

При пересечении двух параллельных прямых секущей образуется восемь углов. Четыре угла между двумя параллельными прямыми называются внутренними углами , а остальные четыре угла называются внешними углами. Альтернативные внутренние углы представляют собой два угла на противоположных сторонах секущей и между двумя параллельными линиями. Эти углы равны и существуют только в том случае, если прямые, которые пересекает поперечная, параллельны.

Пример 9:

 Угол XYC или угол CYX

Объяснение:

Пример 10:

 81

Объяснение:

---

Альтернативные внешние углы — это два угла на противоположных сторонах секущей, которые не лежат между параллельными прямыми. Подобно чередующимся внутренним углам, эти углы также конгруэнтны и существуют только в том случае, если прямые, которые пересекает поперечная, параллельны.

Внешний угол является дополнительным к внутреннему углу, если:

1. Он образует линейную пару по одну сторону от секущей.

2. Он образует линейную пару с альтернативным внешним углом на противоположной стороне трансверсали.

Внешний угол равен внутреннему углу, если:

1. Они являются вертикальными углами на противоположной стороне поперечной.

2. Это вертикальные углы с альтернативным внешним углом на той же стороне поперечной.

Пример 11:

 Угол NRQ или угол QRN

Объяснение:

Пример 12:

 72

Объяснение:

---

Соответствующие углы — это два равных угла, лежащих по одну сторону от секущей. Один угол внутренний, а другой внешний угол. Подобно альтернативным внутренним углам и альтернативным внешним углам, эти углы существуют только в том случае, если линии, которые пересекает поперечная параллельны.