Что такое возвратное уравнение: ВОЗВРАТНОЕ УРАВНЕНИЕ | это… Что такое ВОЗВРАТНОЕ УРАВНЕНИЕ?

Содержание

Возвратные уравнения в математике с примерами решения

Оглавление:

Возвратные уравнения

Уравнения вида

где — фиксированное число и , называются возвратными уравнениями соответственно нечётной и чётной степеней. При уравнения (1) и (2) являются, в частности, симметрическими уравнениями соответственно нечётной и чётной степеней, при — кососимметрическими.

Возвратное уравнение нечётной степени (1) всегда имеет корень , поскольку это уравнение можно переписать в виде

и при выражения в каждой скобке обращаются в нуль. Выделив множитель из каждой скобки, можно доказать, что уравнение (1) равносильно совокупности двух уравнений: уравнения и некоторого возвратного уравнения чётной степени.

Для решения возвратного уравнения чётной степени (2) поступают следующим образом. Поскольку x = 0 не является корнем уравнения, то, разделив уравнение (2) на и сгруппировав члены, получим уравнение

Положим , тогда имеем

и т. д., и уравнение (3) степени 2n относительно x в результате такой замены преобразуется к виду алгебраического уравнения степени n относительно и . Таким образом, степень уравнения стала ниже в два раза. Если теперь удастся решить полученное уравнение степени n , то тогда можно будет найти все решения уравнения (2).

Пример №192.

Решить уравнение

Решение:

Заметим при внимательном анализе структуры уравнения, что его можно переписать в виде

откуда следует, что данное уравнение относится к возвратным уравнениям степени 5 (при ). Так как согласно теории x = 2 является его корнем, то, сгруппировав члены уравнения, приведём уравнение к виду

Применяя формулы разности пятых и третьих степеней и выделяя множитель (х — 2), преобразуем уравнение к виду

Второе из уравнений совокупности является возвратным уравнением четвертой степени с , поскольку его можно переписать в виде

Так как x = 0, очевидно, не является корнем последнего уравнения, то, поделив его на и сгруппировав члены, получим равносильное уравнение

Сделав замену x + (4/х) = и , приходим к квадратному уравнению

имеющему корни

Первое из этих уравнений решений не имеет, второе имеет два корня Объединяя решения, приходим к ответу.

Ответ:

10.Уравнения вида , где а,b,c — заданные числа, отличные от нуля, решаются с помощью замены неизвестной, произведённой по формуле у = x + (а + b)/2 , приводящей уравнение к симметричному виду, в результате чего решение уравнения 4-й степени общего вида оказывается сведено к решению биквадратного уравнения.

Пример №193.

Решить уравнение

Решение:

Положим (симметризирую-щая подстановка), тогда уравнение приведётся к более удобному симметричному виду

Применяя формулу сокращенного умножения

получаем биквадратное уравнение . Поскольку корни квадратного уравнения есть и , то находим и, следовательно, и

Ответ: .

11.Уравнения вида (х — a)(х — b)(x — с)(х — d) = А , где a<b<c<d , b-a = d- c,

. Для решения уравнения сгруппируем вначале сомножители попарно:

или

Так как а + d = b + c, то выполним после этого симметризирующую подстановку , в результате чего получим уравнение

откуда (при условии неотрицательности правой части) находим и, возвращаясь к первоначальной переменной, сводим задачу к решению двух квадратных уравнений:

Замечание. Любое уравнение этого вида можно решать иначе, а именно с помощью симметризирующей подстановки

сводить к биквадратному уравнению

Пример №194.

Решить уравнение

Решение:

1-й способ. Перепишем уравнение в виде: . Обозначим , тогда . Следовательно, осталось решить два квадратных уравнения . Одно из них даёт корни x = 0 и x = — 5 , а другое не имеет решений.

2-й способ. Сделаем подстановку , тогда:

. При этом дискриминант , и единственный положительный корень Отсюда приходим к тому же ответу.

12.Уравнения вида , где

Уравнение этого вида не имеет корня x = 0, поэтому, разделив его на , получим равносильное ему уравнение

которое после замены неизвестной преобразуется в квадратное уравнение, решение которого не представляет трудностей.

Пример №195.

Решить уравнение

Решение:

Так как x = 0 не является корнем уравнения, то, разделив его на, получим уравнение

Делая замену у = x + (2/х), получим квадратное уравнение (y + 1)(y + 2) =2 , которое имеет два корня у = 0, у = — 3 . Следовательно, исходное уравнение равносильно совокупности уравнений

решая которую находим корни. Ответ:

12.Уравнения вида где Для решения уравнения такого типа вначале преобразуем его:

Разделив далее обе части уравнения на , получим уравнение

Так как ab = cd , то, выполнив замену , приходим к квадратному уравнению и так далее.

Пример №196.

Выберите промежуток, содержащий сумму всех корней уравнения А) (0,6); Б) (6, 12); В) (l 2,18); Г) (18,24); Д) ответы А) — Г) — неверные.

Решение:

Положим y = x + (8/х), тогда (y — 9)(у- 6)=4. Можно обозначить далее z = у — 7, тогда (z — 2)(z + 1) = 4 <=> z = -2 или z=3. Делая обратную подстановку, приходим к квадратному уравнению , для которого по теореме Виета находим (действительные корни есть, так как дискриминант положителен). Поскольку . то, следовательно, правильный ответ будет Б).

14. Уравнения вида где

Рассмотрим метод решения такого рода уравнений. Так как x = 0 не является корнем уравнения, то поделим его на :

После замены у = cx + (q/x) уравнение приводится к виду квадратного относительно у .

Пример №197.

Решить уравнение

Решение:

Поскольку , то уравнение равносильно следующему уравнению

Обозначим

Ответ:

Эта лекция взята со страницы, где размещён подробный курс лекций по предмету математика:

Предмет математика

Эти страницы возможно вам будут полезны:

2.10 Возвратные уравнения. Квадратные уравнения и уравнения высших порядков

Квадратные уравнения и уравнения высших порядков

реферат

Возвратное уравнение — алгебраическое уравнение

а₀хⁿ + a₁x^{n — 1} + … + a_{n — 1}x + a_n =0,

в котором а_к= a_n_—_k, где k = 0, 1, 2 …n, причем, а ? 0.

Задачу нахождения корней возвратного уравнения сводят к задаче нахождения решений алгебраического уравнения меньшей степени. Термин возвратные уравнения был введён Л. Эйлером.

Уравнение четвёртой степени вида:

ax⁴ + bx³ + cx² + bmx + am? = 0, (a ? 0).

Приведя это уравнение к виду

a (x? + m?/x?) + b(x + m/x) + c = 0, и y = x + m/x и y? — 2m = x? + m?/x?,

откуда уравнение приводится к квадратному

ay? + by + (c-2am) = 0.

Пример:

3х⁴ + 5х³ — 14х² — 10х + 12 = 0

Разделив его на х², получим эквивалентное уравнение

3х² + 5х — 14 — 5 ? , или

Где и

3(y²^{— 4) + 5y — 14 = 0, откуда}

y₁ = y₂ = -2, следовательно

и , откуда

х_1,2 =

х_3,4 =

Ответ: х_1,2 = х_3,4 = .

Частным случаем возвратных уравнений являются симметричные уравнения. О симметричных уравнениях третей степени мы говорили ранее, но существуют симметричные уравнения четвертой степени.

Симметричные уравнения четвертой степени.

Если m = 1, то это симметричное уравнение первого рода, имеющее вид

ax⁴ + bx³ + cx² + bx + a = 0 и решающееся новой подстановкой

y =

2) Если m = -1, то это симметричное уравнение второго рода, имеющее вид

ax⁴ + bx³ + cx² — bx + a = 0 и решающееся новой подстановкой

y =

Делись добром 😉

Возвратные последовательности

§6. Возвратные задачи

1. Задача о ханойской башне Рассмотрим сначала маленькую изящную головоломку под названием ханойская башня, которую придумал французский математик Эдуард Люка в 1883 г. Башня представляет собой восемь дисков…

Идентификация параметров осциллирующих процессов в живой природе, моделируемых дифференциальными уравнениями

1.2 Уравнения в вариациях

Рассмотрим задачу Коши: (14) (15) где — параметры. В дальнейшем мы рассмотрим функционалы, зависящие от параметров через решение задачи Коши (14),(15). Тогда градиентные уравнения будут зависеть от производных по решения задачи (14),(15)…

Инвариантность стационарного распределения трехузловой сети массового обслуживания

2.3 Уравнения равновесия

Предположим, что существует стационарное распределение. Составим уравнение равновесия…

Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов

1.4 Дифференциальные уравнения

Обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка для функции аргумента называется соотношение вида (1.10) где — заданная функция своих аргументов. В названии этого класса математических уравнений термин «дифференциальное» подчеркивает…

Иррациональные уравнения

2.1 Уравнения вида

Пример 1. Решить уравнение . Решение. Возведем обе части исходного уравнения в квадрат.. О т в е т: {6}. Пример 2. Решить уравнение . Решение. В левой части исходного уравнения стоит арифметический квадратный корень — он по определению неотрицателен. ..

Иррациональные уравнения

2.2 Уравнения вида

Довольно часто при решении уравнений данного вида учащиеся используют следующую формулировку свойства произведения «Произведение двух сомножителей равно нулю, когда хотя бы один из них равен нулю». Заметим…

Квадратные уравнения и уравнения высших порядков

1.2 Уравнения арабов

Некоторые способы решения уравнений как квадратных, так и уравнений высших степеней были выведены арабами. Так известный арабский математик Ал-Хорезми в своей книге «Ал — джабар» описал многие способы решения различных уравнений…

Логарифмическая функция в задачах

§2 Вид: простейшие логарифмические уравнения. Метод решения: по определению логарифма. Логарифмо-показательные уравнения

Пример 1. Решите уравнение . Решение: Область допустимых значений — множество всех действительных чисел, так как при всех . По определению логарифма имеем . Получим показательное уравнение, которое решим методом приведения к алгебраическому. ..

Методика решения уравнений типа свертки

3.2 Сингулярные интегральные уравнения и уравнения типа свертки с монотонной нелинейностью

Пример 3.1. Нелинейные уравнения с ядром Гильберта: (3.12) (3.13) Имеют единственное решение в гильбертовом пространстве . В 1977 году Г.М. Магомедов рассмотрел нелинейные сингулярные интегральные уравнения с ядром Коши вида (3…

Приближенные методы решения краевых задач, для дифференциальных уравнений с частными производными

6. УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАССА И ПУАСОННА (УРАВНЕНИЯ ЭЛЛЕПТИЧЕСКОГО ТИПА) В КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЯХ

Напомним уравнение Пуассона (4) (4) На практике к построению конечноразностных схем применяют несколько шаблонов. 1. Конечноразностная схема «крест»…

Применение дифференциального и интегрального исчисления к решению физических и геометрических задач в MATLab

4. Дифференциальные уравнения

Многие физические законы имеют вид дифференциальных уравнений, т. е. соотношений между функциями и их производными. Задача интегрирования этих уравнений — важнейшая задача математики…

Решение нелинейных уравнений методом итераций

1.1 Нелинейные уравнения

итерация нелинейный уравнение алгоритм Одной из важнейших и наиболее распространённых задач прикладной математики является задача решения нелинейных уравнений, встречающихся в разных областях научных исследований…

Упругопластическая деформация трубы

1.2 Уравнения равновесия

Первая группа уравнений выражает условия равновесия элемента среды во взаимодействии с соседними элементами, их называют статическими уравнениями. Вторая группа уравнений связывает деформации элемента тела с функциями…

Цепи Маркова в теории вероятности и их приложения

2. Возвратные и невозвратные состояния

Рассмотрим цепь Маркова с состояниями е1, е2, … и переходными вероятностями рij, i, j=1, 2, … Пусть в начальный момент система находится в состоянии еi. Временно положим un=pij(n) и обозначим хn вероятность того. ..

Цепи Маркова в теории вероятности и их приложения

4. Достижимые возвратные состояния

Говорят, что состояние еj достижимо из еi, если за некоторое число шагов система с положительной вероятностью переходит из еi в еj т. е. pij(M)>0 при некотором М. Пусть еi — возвратное состояние еj достижимо из еi. Тогда еi в свою очередь достижимо из еj…

Универсальные приемы решения уравнений.

Сборник посвящен задачам, которые для школьников считаются задачами повышенной трудности, требующим нестандартных методов решений. Приводятся методы решений уравнений основанные на свойствах функций. Автор ставит своей целью познакомить читателя с различными, основанными на материале программы общеобразовательной средней школы, методами решения, казалось бы трудных задач.

Пособие может оказать помощь при подготовке к экзаменам.

С о д е р ж а н и е.

Выделение полного квадрата.
Замена переменных.
Однородные уравнения
Уравнение вида (ax+b)⁴+ (ax—b)⁴= c
Возвратные уравнения
Возвратные уравнения 4^й степени
Использование суперпозиции функций
Mетод мажорант
Сведение решений иррациональных уравнений к решению тригонометрических уравнений.
Литература.

Универсальные приемы решения уравнений

Выделение полного квадрата.

Данный прием основан на использовании свойств квадрата действительного числа:

и , и также формул сокращенного умножения и

Решить ур-ние: x²— 10x + 25 + y²= 0

Представляем левую часть уравнения как сумму 2-х полных квадратов и воспользуемся ограниченностью каждого из них, перейдем от уравнения к системе:

x²— 10x + 25 + y²= 0  (x-5)²+ y²= 0   .

Ответ: (5;0)

б)

Область определения:

Ответ: -1,2.

2) Замена переменных.

Этот метод является одним из основных методов решения уравнений. Как правило, уравнение с помощью введения новых неизвестных сводится к более простым уравнениям, системам уравнений, системам уравнений и неравенств.

а)

Заметим, что

Поделим на не является корнем уравнения.

Заменим

Ответ: 4;6; .

б)

Делим на x = 0 не является корнем уравнения. Получим ;

Заменим ,получим уравнение относительно :

в)

Левая часть уравнения определена при всех значениях .Обозначим и перепишем уравнение в виде Возведём в квадрат, и получим ; Это уравнение равносильно системе:

Рассмотрим второе уравнение системы: после преобразований получим: Возвращаясь к переменной , получаем уравнение: .

, откуда , .

Проверим выполнение условия .

, , рассмотрим . Итак, .

Ответ: .

Однородные уравнения

Уравнения вида где и — некоторые функции, называется однородным степени n.

Если , то и з уравнения следует, что и Если , то разделив обе части исходного уравнения на и обозначив через y , получим уравнение относительно y: Таким образом, уравнение равносильно совокупности двух систем:

Решить уравнение:

а).

Уравнение является однородным уравнением четвертой степени относительно двух многочленов и . Проверим, есть ли среди корней уравнения корни уравнения ,а следовательно и корни исходного уравнения. Решим систему

Если , то разделив левую и правую части уравнения на получаем:

Обозначим

Получим систему

Уравнение не имеет решений ( посторонний корень). Уравнение имеет корень ( 1-посторонний).Уравнение имеет корень -4, и уравнение имеет корень 0.

Ответ: -4;0; ;1.

б)

Выполним замену (x+5)² = t, x² = w, имеем

т.е. исходное уравнение, являющееся однородным относительно (x + 5)² и x². Выполним деление на w² = x⁴ Получим квадратное уравнение

Ответ: .

в)

Поделим

x²+x+1 0 при всех x.

Обозначим имеем

Решим уравнение

и .

Ответ: 1.

в)

Разделим на log (2x-1)

Заменим

Решим уравнения

или .

Ответ:

в)

делим на 6^x0.

Заменим

г) .

Полученное уравнение является однородным уравнением второго порядка. Поделим уравнение на : . Заменим получим квадратное уравнение , корни — посторонний. Следовательно,

Ответ: 2.

Уравнение вида (ax+b)⁴+ (ax—b)⁴= c

После раскрытия скобок и приведения подобных членов сводится к биквадратному.

а) (x-3)⁴+ (x-5)⁴ = 82.

Заменим , получим

(t+1)⁴ + (t-1)⁴ = 82;

t⁴ + 4t³ + 6t² + t + 1 + t⁴ — 4t³ + 6t² — t + 1 = 82;

2t⁴ + 12t² + 2 = 82;

t⁴ + 6t² + 1 = 41;

t⁴ + 6t² — 40 = 0;

Возвратные уравнения

Пусть задано уравнение 4^ой степени.

a₄x⁴ + a₃x³ + a₂x² + a₁x + a₀ = 0, где

Если коэффициенты уравнения связаны соотношением a₁ = λ²a₄ (λ или , то уравнение называется возвратным и после деления на x² и замены сводится квадратному.

Частным случаем возвратных уравнений является симметрическое (λ = 1) и кососимметрическое (λ = -1) уравнения.

Одним из способов решения уравнений степени больше двух является приведение его к виду f(x) = 0 и разложение многочлена, стоящего в первой части, на множители, что позволяет свести решение исходного уравнения к решению совокупности нескольких уравнений меньших степеней.

Данный способ основан на следующем свойстве корней многочлена n – ой степени. Если число с является корнем многочлена F(x) = a_nxⁿ + a_n_-1xⁿ^-1+ … + a₁ x + a₀, то этот многочлен можно записать в виде F(x) = (x – c) G(x), где G(x) – многочлен степени n-1. Другими словами, многочлен F(x) делится на многочлен x–c.

В общем случае для многочлена n^ой степени не существует универсального способа нахождения корней. Однако для многочлена с целыми коэффициентами существует теорема, облегчающая нахождение корней таких многочленов: рациональными корнями многочлена a_nxⁿ + a_n_-1xⁿ^-1+ … + a₁ x + a₀, где (i = 0, … n) могут быть лишь числа ( ), причем m является делителем числа a_n_.

Решить уравнение:

Данное уравнение является симметрическим нечетной степени. Суммы коэффициентов при четных и нечетных степенях x такого уравнения равны, а значит один из корней

x = -1.

Выделим в левой части сомножитель x+1:

= 0 — симметрическое уравнение четной степени.

Делим на x³ .

получим

Ответ:

Пример – классическая задача с подсказкой.

Решить уравнение

Выделим такой же множитель в выражение x⁴+11x²+10:

x⁴+11x²+10+7x(x²+1) = 0

Возвратные уравнения 4^й степени

т.к. x = 0 не является корнем уравнения, то разделим его на x² и сгруппируем его члены.

Пусть тогда

решений нет.

Ответ:

Решить уравнение:

Перейдем к равносильной системе, получим:

Представим уравнение системы как квадратное относительно 5, получим

Решая его, находим

Условию удовлетворяют два из найденных значений

Ответ:

в)

Имеем возвратное уравнение четвертой степени.

Делим на

корней нет

Ответ:

Использование суперпозиции функций

Иногда можно найти корень уравнения, если заметить, что функция, находящаяся в одной из частей уравнения, является суперпозицией некоторых простых функций.

Решить уравнение: 1 СПОСОБ.

Обозначим тогда уравнение можно записать в виде .Ясно ,что корни уравнения являются корнями исходного уравнения .То есть

если корень уравнения то корень уравнения

Решим уравнение

Исходное уравнение имеет эти корни. Преобразуем исходное уравнение:

У полученного уравнения уже найдены два корня:3и2

разделим многочлен на то есть на трёхчлен «уголком» и найдем оставшиеся корни ,если они есть.

-3x³ + 18x² — 33x

-3x³ + !5x² — 18x

3x² — 15x + 18

Ответ: 2;3.

2 СПОСОБ. Решим уравнение вторым способом.

Обозначим .Тогда исходное уравнение будет равносильно системе

Вычтем из первого уравнения системы второе уравнение:

Подставляя найденные значения у в первое уравнение системы, найдем х:

Mетод мажорант

Мажорантой данной функции на множестве P(или множества А чисел) называют такое число M, что либо для всех либо для всех

Например, любое число, большее или равное 1 будет мажорантой для функций sinx и cosx на любом множестве.

Основная идея метода мажорант состоит в следующем:

Пусть требуется решить уравнение вида = и существует такое число М, что для любого Х из области определения и имеем и . Тогда уравнение = равносильно системе Нет необходимости решать оба уравнения системы. Достаточно найти корни одного из уравнений и проверкой установить, являются ли они корнями второго уравнения, т . е. решениями системы.

Число М искать можно с помощью производной или если использовать следующие неравенства:

при и при , равенство достигается при .

при равенство достигается при a=b, при

Пример 1. 2 sinx=5x²+2x+3

2 sinx 2 – левая часть не превосходит двух.

5(x²+²+²+ )= 5(x+ )²+

Левая часть уравнения при любом строго меньше правой, то решений нет.

Ответ: решений нет.

Пример 2 sin¹³+cos⁸x=1

sin¹³x sin²x, cos⁸x cos²x

Сложим эти неравенства, получим для любого sin¹³+cos⁸x sin²x+cos²x

sin¹³+cos⁸x 1, причем равенство достигается, когда sin¹³x=sin²x и cos⁸x=cos²x.

Уравнение равносильно системе

Ответ: x= n, x=

Пример 3. Решить уравнение log₂((x-2)²+4)=2-sin²5x

(x-2)²+4 4, log₂((x-2)²+4) log₂4=2, sin²5 x 0 2-sin²5 x 2

x=2

Ответ:2.

Пример 4. Найти все решения уравнения 4x³+3x²=6x—+sinx, лежащие на отрезке

Решение. Перепишем уравнение в виде sin x=4x³+3x²-6x+ . Найдем наименьшее значение функции, стоящей в правой части. D( )=R

f(x) возрастает на отрезках , убывает на

Наименьшее значение функция принимает в точке x= — , либо в точке x=

f(-

Правая часть не меньше 1 на , причем равенство может достигаться при x=

Проверим sin

. Левая и правая часть при x= равна 1

Ответ:

Пример 5 . Рассмотрим выражение и преобразуем его:

Уравнение приняло вид: .Оценим выражение в первой скобке с помощью неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим, рассмотрев два случая.

а) Пусть тогда ,

, равенство достигается при ,

. Таким образом, левая часть уравнения не меньше . Равенство достигается, если .

Решим полученную систему. ( )

Рассмотрим первую систему совокупности.

Второе уравнение разобьём на три серии: где целые числа.

Получим совокупность из трёх систем:

Первая и третья первой системы совокупности ( ) решений не имеют, вторая имеет решение , s .

Рассмотрим вторую систему совокупности: .

Второе уравнение аналогично разобьём на три серии: , , , где q,r,g целые числа.Получим совокупность трех систем:

Вторая система совокупности ( ) имеет решение , .

Совокупность (*) имеет решение: где .

Б)Пусть , тогда .

Поскольку , то левая часть

, так что в этом случае решений нет.

Ответ: .

Сведение решений иррациональных уравнений к решению тригонометрических уравнений.

Ряд трудных алгебраических задач может быть решён с помощью так называемых тригонометрических подстановок, которые сводят решение алгебраической задачи к решению тригонометрической.

Метод тригонометрической подстановки применяется при решении алгебраических задач (уравнений, систем, неравенств и т.д.), в которых появляются выражения, по своей структуре похожие на формулы тригонометрии.

Выражение вида встречается в тригонометрии, так устроена правая часть известной формулы . Поэтому естественно заменить на . Сделать это можно, если Наиболее распространены выражения ,

При этом полезны следующие замены неизвестной.

Если в уравнение входит радикал , то можно сделать замену = sint или = cost.
Если в уравнение входит радикал , то можно сделать замену = tgt
Если в уравнение входит радикал , то можно сделать замену =

Пример1: Решить уравнение: Область определения уравнения: x . Сделаем замену неизвестной x=tgt, где

, тогда уравнение запишется в виде . Поскольку

cost для рассматриваемых t, то уравнение для этих t равносильно уравнению

2-2sint=5(1-sin²t)

2(1-sint)=5(1-sint)(1+sint) , откуда

Промежутку принадлежит только t=arcsin( ),

sint=-

Сделаем обратную замену:

x= tg(arcsin(- )) и вычислим значение x:

tg(arcsin(- ))=

Ответ: —

Пример2. Решить уравнение :

Выделяя полные квадраты, преобразуем уравнение к виду . Введем переменную , тогда получим уравнение относительно t: .Оно определено при всех t , удовлетворяющих условию: . Сделаем замену , где , тогда уравнение примет вид: .

После упрощения : Применяя метод введения дополнительного аргумента , имеем:

Найдем те значения , которые принадлежат промежутку .Таким значением является Найдем .

Ответ: .

Пример3 Решим уравнение:

Решение. Найдём область допустимых значений неизвестной: . . Каждому значению x из этого отрезка соответствует и притом только одно значение t из отрезка такое, что .

Тогда для новой переменной: но t меняется на отрезке , значит

Отрезку принадлежат три корня: и . Исходное уравнение имеет три корня: , т.е.

Решим уравнение вторым способом (без использования тригонометрической подстановки).

Решим уравнение системы, для этого введем новую переменную :

Рациональный корень , тогда

Возвращаясь к неизвестной х, получим:

, , ,

поэтому уравнение имеет 6 корней ,- , , ,

, .

Неравенство решаем методом интервалов:

Неравенству системы удовлетворяют корни ,

Ответ: ,

А.И.Азаров О.М.Гладун, Ю.А.Кремень,В.С.Федосеенко. Алгебраические уравнения и неравенства. Минск «Тривиум» 1997. стр.127.
С.Н.Олехник,М.К.Потапов,П.И. Пасиченко. Уравнения и неравенства . нестандартные методы решения.М.»Факториал»1997 . 217 стр.

Уравнения взаимности — определение, теорема, формулы, решенные примеры задач

Уравнения взаимности

Пусть α будет решением уравнения.

2x ⁶ — 3x ⁵ + √2x ⁴ + 7x ³ + √2x ² — 3x + 2 = 0. … (1)

Тогда ) и

2α ⁶ — 3α ⁵ + √2α ⁴ + 7α ³ + √2α ² — 3α + 2 = 0.

Замена 1/α на левой стороне (1), получаем

Таким образом, 1/α также является решением (1). Точно так же мы можем видеть, что если α является решением уравнения

x ⁵ + 3 x ⁴ — 4 x ³ + 4 x ² — 3 x — 2 = 0 .

.. (2)

, то 1/α также является решением (2).

Уравнения (1) и (2) имеют общее свойство: если заменить x на 1/x в уравнении и запишем его как полиномиальное уравнение, тогда мы получить то же самое уравнение. Непосредственный вопрос, который вспыхивает в нашем уме «Можем ли мы определить, обладает ли данное уравнение этим свойством или нет, просто видеть это?» Теорема 3.6 ниже отвечает на этот вопрос.

Определение 3.1

Многочлен P ( x ) степени n называется обратный многочлен, если выполняется одно из следующих условий: обратный многочлен типа I, если P ( x ) = называется уравнение обратной связи типа I.

Многочлен P ( x ) степени n называется обратный многочлен типа II, если P ( x ) = — называется обратное уравнение типа II.

Theorem 3.6

A polynomial equation a _n x ⁿ + a _n ₋ ₁ x ⁿ ⁻ ¹ + a _n ₋ ₂ x ⁿ ⁻ ² +…. + a ₂ x ² + A ₁ x + A ₀ = 0, ( A _n = 0, ( A _n. уравнение тогда и только тогда, когда верно одно из следующих двух утверждений:

(i) a _n = a ₀ , a _n _-1 = a ₁ ,

a _n _-2 = a ₂ ….

(II) A _N = — A ₀, A _N _-1 = n _-1 = n _-1 = _{.0126 1} , a _n _-2 = — a ₂ , …

Proof

Consider the polynomial equation

P ( x ) = a _n x ⁿ + a _n _-1 x ⁿ ^-1 + a _n _-2 x ^N ^-2 + . .. + A ₂ x ² + A x ² + A x ² + A x ^{10 + A} + A + A 99269 2 2 + A 6669 2 + A 6669 2 . 0 = 0 . … (1)

Заменив x на 1/x в (1), получим

Умножив обе части (2) на x ⁿ ,

2
5
2 (1) представляет собой обратное уравнение ⇔ P( x ) = ± x ⁿ P (1/ x ) ⇔ (1) и (3) совпадают.

Пусть пропорция будет равно λ. Тогда мы получаем _n /a ₀ = λ и a ₀ /a _n = λ . Умножение этих уравнений, мы получаем λ ² = 1. Итак, мы получаем два случая λ = 1 и λ = -1 .
Случай (i):
λ = 1 В этом случае мы имеем a _n = a

₀ , a _n ₋₁ = a ₁ , a _n ₋₂ = a ₂ , …. .
То есть коэффициенты (1) с начала равны коэффициенты с конца.
Случай (ii):
λ = −1 В этом случае мы имеем a _n = − a ₀ , a _n ₋₁ = − a ₁ , a _n ₋₂ = − a ₂ , …..
То есть коэффициенты (1) с начала равны в величине коэффициентов с конца, но противоположных по знаку.
Примечание
Уравнения взаимности I типа соответствуют тем, в которых коэффициенты с начала равны коэффициентам с конца.
.
Уравнения взаимности II типа соответствуют тем, в которых коэффициенты из начала равны по величине коэффициентам из конец, но противоположный по знаку.

Например, уравнение 6 x ⁵ − 41 x ⁴ + 97 x ³ − 97 x 2 + 41 x − 6 = 0 относится к типу II.
Замечание
(i) Уравнение взаимности не может иметь решением 0.
(ii) Коэффициенты и решения не ограничены настоящий.
(iii) Утверждение « Если P ( x ) = 0 является полиномиальным уравнением таким, что всякий раз, когда α является корнем, 1/0042 α тоже корень, тогда уравнение полинома P ( x ) = 0 должно быть уравнением взаимности» неверно. Например, 2 x ³ − 9 x ² + 12 x − 4 = 0 является многочленом. уравнение, корни которого равны 2, 2,1/2.

Обратите внимание, что x ³ P( 1/ x ) ≠ ± P(x) и, следовательно, это не обратное уравнение. Взаимные уравнения классифицируются как тип I и тип II. согласно _n-r = a _r или a _n-r = -a _r , r = 0, 1, 2,…n. Приведем некоторые результаты без доказательства:
· Для обратного уравнения типа I нечетной степени x = −1 должно быть решением.
· Для обратного уравнения типа II нечетной степени x = 1 должно быть решением.
· Для обратного уравнения четной степени второго типа среднее term должен быть 0 Дальше x = 1 и x = -1 являются решениями.
• Для обратного уравнения четной степени, взяв x + (1/ x ) или x – (1/x) при y , мы можем получить полиномиальное уравнение степени половина степень данного уравнения ; решая это полиномиальное уравнение, мы можем получить корни данного полиномиального уравнения.

В качестве иллюстрации рассмотрим полиномиальное уравнение
6 x ⁶ — 35 x ⁵ + 56 x ⁴ — 56 x ² + 35 x — 6 = 0
, что является уравнением обратной связи четной степени II типа. Итак, 1 и -1 являются двумя решениями уравнения и, следовательно, x ² -1 является коэффициентом многочлен. Разделив многочлен на множитель х ² -1, получим 6 х ⁴ — 35 х ³ + 62 х ^{2 х ^{2 0} — 40 а 403} — 35 фактор. Разделив этот коэффициент на x2 и переставив члены, мы получим . Установка и = ( x + 1/ x ) становится квадратичным многочленом как 6 (у ² — 2) — 35у + 62 что уменьшается до 6u ²
— 35u + 50 . Решая получаем u = 10/3 , 5/2 . Взяв u = 10/3 дает x = 3, 1/3, а взятие x = 5/2 дает x = 2, 1/2. Таким образом, требуемые решения +1, -1, 2, 1/2, 3, 1/3.

Пример 3.27
Решите уравнение 7 x ³ − 43 x ² = 43 x − 7.
Solution
The given equation can be written as 7 x ³ — 43 x ² — 43 x + 7 = 0.
Это обратное уравнение нечетной степени типа I. Таким образом, -1 равно решение и, следовательно, x +1 является фактором.
Деление многочлена 7 x ³ — 43 x ² — 43 х + 7 по коэффициент х +1, мы получаем 7 х ² — 50 х + 7 как частное.
Решая это, мы получаем 7 и 1/7 как корни. Таким образом, -1, 1/7, 7 являются решения данного уравнения.
Пример 3.28
Решить следующее уравнение: x ⁴ −10 x ³ + 26 x ² —10 x +1 x ² —10 x +1 x ² — 100042 x +1 x ² — 100009 3 + 26 x 9009 2 — 100009 3 + 26 x 2 — 100009 3 26 x 2 ^.
Решение
Это уравнение типа I является уравнением взаимного обмена четной степени. Следовательно, это можно переписать как

Пусть y = x + [1/ x ] . Тогда мы получаем
(y ² — 2) -10 y + 26 = 0 ⇒ y ² -10 y + 24 = 0 ⇒ ( у -6)( у — 4) = 0 ⇒ y = 6 или y = 4
Случай (i)
y = 6 ⇒ x + (1/ x ) = 6 ⇒ х = 3 + 2√2, х = 3 -√2 .
Случай (ii)
у = 4 ⇒ х + (1/ х ) = 4 ⇒ x = 2 + √3, x = 2 -√3
Следовательно, корни равны 3 ± 2√2, 2 ±√3

Теги : определение, теорема, формулы, решенные примеры задач , 12th Математика: БЛОК 3: Теория уравнений
Учебный материал, Лекционные заметки, Задание, Справочник, Объяснение описания Wiki, краткая информация
12th Математика: БЛОК 3: Теория уравнений: Уравнения обратной связи | Определение, теорема, формулы, решенные примеры задач
Reciprocal equation]
Expression
Equation
Inequality
Contact us
Simplify
Factor
Expand
GCF
LCM
Solve
Graph
System
Решение
График
Система
Математический решатель на вашем сайте
Наших пользователей:
Мое решение купить «Алгебратор» для моего сына, чтобы помочь ему с домашним заданием по алгебре, оказалось прекрасным выбором. Теперь он проявляет большой интерес к дробям и показательным выражениям. За это улучшение я благодарю вас.
Том Грин, Массачусетс
Это программное обеспечение по алгебре дает моей дочери возможность учиться самостоятельно, предлагая факты и полезные советы, прежде чем предлагать ей задачи для решения. Очень хорошо получается. . . Я думаю, что программное обеспечение прекрасно помогает студентам в течение всего года, дополняя любые материалы, которые они получают в обычном классе.
Лаура Джексон, Северная Каролина
Ваша программа до сих пор была отличной. Я купил это программное обеспечение для моих 13 лет. старая дочь, у которой проблемы с математикой. У нас есть репетитор, который приходит на дом, и благодаря вашему программному обеспечению и ему она получила свою первую пятерку в очень сложном тесте по главе. Как вы, возможно, знаете, иногда, когда вы видите другой подход к проблеме, или иногда просто кто-то другой показывает вам разные способы понимания проблемы, этого достаточно. Ваше программное обеспечение, кажется, дает этот подход к решению проблем таким образом, чтобы его было легко понять. Еще раз спасибо всей семье Терли.
Адам Боттс, Флорида
Для многих людей алгебра является сложным курсом, неважно, первый это уровень или инженерный, Алгебратор немного проведет вас в мир алгебры.
Адам Боттс, Флорида
Студенты, борющиеся со всевозможными задачами по алгебре, узнают, что наше программное обеспечение может спасти им жизнь. Вот поисковые фразы, которые сегодняшние поисковики использовали, чтобы найти наш сайт. Сможете ли вы найти среди них свою?

Поисковые фразы, использованные 21 декабря 2011 г.:
Многочлен решателя Java
бесплатных печатных листов по использованию пропорций
рабочие листы для деления положительных и отрицательных чисел
процентная пропорция: рабочие листы
Холт Райнхарт и Уинстон Алегбра 1 рабочая тетрадь ответы
Начальная математика — Раздел с остатками Задания и рабочие листы
+помощь по математике и механическому мышлению
ввод решателя цепных правил
бесплатных примеров по математике для 8-го класса
формула для корней квадратного уравнения
умножить выражения
Практика Добавление смешанных #
фундаментальное свойство рациональных выражений рабочих листов
Мне нужен бесплатный онлайн алгебраический калькулятор
задачи на сложение и вычитание целых чисел
Рабочий лист
с добавлением положительных и отрицательных чисел
сложные математические задачи для детей
рабочих листов для перечисления дробей от наименьшей до наибольшей
квадрат разности
Решатель Рунге Кутта Matlab
математические мелочи о соотношениях
rudin раствор глава7
фракций отображают KS2
Рабочий лист
целых чисел
как ввести логарифмическую базу 10 в ti89
КАК ОБУЧАТЬ СИММЕТРИИ ПЕРВОКЛАССНИКОВ
как вычислить многочлен 3-го порядка
радикальные калькуляторы онлайн
Алгебра 1 Холт
выражения степени
Калькулятор квадратичных выражений
квадратный корень из закона показателей
Десятичные выражения и уравнения для 6-го класса
задачи по алгебре
печатные листы по элементарной алгебре
Показатели тригонометрии TI 89
Гленко Математическая алгебра 1
ти-89решение полярных
эмулятор ti-89 mac
математика вероятностей 9 класс
вычислить n-й корень на ti 84
учебник по химии ответ
математику легко распечатать для начинающих
Таблица положительных и отрицательных чисел
прошлые бумаги с вопросами GMAT
определить наибольший общий делитель
примеров математической мелочи алгебры
решение радикалов
тригономическая алгебра
калькулятор наименьшего общего знаменателя
практических задач на упрощение рациональных выражений
интерактивные уроки квадратного уравнения
+»растворы» +»галлиан»
Рабочая тетрадь Mcdougal Littell Inc по геометрии ответ на вопрос
вычислить определитель матрицы 4-го порядка онлайн
упростить x в дробной степени
онлайн Texas Ti-83 графический калькулятор
Калькулятор радикальных выражений и радикальных уравнений
наибольший общий делитель числа 479
Рабочие листы с нормами и соотношениями для восьмого класса по математике
извлечение квадратного корня шаг за шагом
как найти кубический корень на TI-83 Plus
бесплатный рабочий лист сложения и вычитания
онлайн калькулятор с дробями
задание по современной абстрактной алгебре
Matlab решает уравнения
промежуточный экзамен в 8 классе
рабочий лист 3D Пифагора GCSE жесткий
Рабочий лист показателей 7-го класса
точек на графике с уравнением
изображение калькулятора ti
калькулятор третий корень
стихов квадратных уравнений
нахождение наименьшего общего знаменателя и составление эквивалентных рациональных выражений
бесплатная электронная книга по бухгалтерскому учету
Рабочие листы для 7-го класса онлайн бесплатно
Упростить подкоренное выражение
кубический корень
преобразовать из десятичной дроби в дробную
примеров по нахождению масштабных коэффициентов
решить векторное произведение
бесплатный онлайн калькулятор TI-83
год 8 математических игр
Математические стихотворения степени
бесплатные рабочие листы по алгебре для седьмого класса
онлайн-решатель производных
Ti 83 калькулятор скачать бесплатно эмулятор
ОБУЧЕНИЕ ОСНОВАМ ВЕРОЯТНОСТИ В 3-ГО КЛАССЕ
‘бесплатная печатная викторина с целыми числами’
веб-калькулятор Casio
Glencoe алгебра радикальных выражений тест
Программа решения сумм Римана для TI 86
интерактивная игра с десятичными знаками и процентами
математика +работа +лист за 2 класс
что использует функции абсолютного значения и преобразования
Алгербра 1 ответы
Предыдущая Далее
Графики обратной зависимости: определение, уравнение и функция
Графики обратной связи представляют собой графическое представление обратных функций, представленных в общем виде в виде и , где числитель представляет собой вещественную константу, а знаменатель содержит алгебраическое выражение с переменной x.
Использование обратных графиков
обратные графики полезны для визуального представления отношений, которые обратно пропорциональны, что означает, что они ведут себя противоположным образом – если один уменьшается, другой увеличивается, и наоборот. Например, если количество работников в магазине увеличивается, количество времени, которое покупатели тратят на ожидание обслуживания, сократится.
Асимптоты
Чтобы нарисовать этот тип графика, необходимо учитывать его асимптоты. Асимптота — это линия, к которой кривая подходит очень близко, но никогда не касается. График обратных функций и имеют асимптоты при и .
См. график ниже для
Асимптоты обратной функции, Марилу Гарсиа Де Тейлор — StudySmarter Originals
является вертикальной асимптотой, потому что вы не можете делить на ноль; следовательно, x не может быть равен нулю. является горизонтальной асимптотой, потому что нет значений x, которые составляют , поэтому y также не может быть нулевым.
$Обратите внимание, что график симметричен линиям и . <img loading='lazy' src='/800/600/http/cf2.ppt-online.org/files2/slide/h/HdRlbLfSeZVwtu8sIqKa6YEo0Dmx3BjJrk2FMcihO/slide-1.jpg' />$ $Обратная функция y = 1 / x — симметрия к y = x, Марилу Гарсия Де Тейлор — StudySmarter Originals$
Обратная функция y = 1 / x — симметрия к y = -x, Марилу Гарсия Де Тейлор — StudySmarter Originals
In в общем, область обратных функций будет состоять из всех действительных чисел, кроме вертикальной асимптоты, а область будет состоять из всех действительных чисел, кроме горизонтальной асимптоты.
Типы обратных графиков
В статье Graphs обсуждается, что координатная плоскость разделена на четыре квадранта, названных римскими числами (I, II, III и IV):
Координатная плоскость, Марилу Гарсия Де Тейлор — StudySmarter Originals
возможные типы обратных графиков включают:
a) Если a> 0:
Например, если , , форма графика показана ниже. Обратите внимание, что график построен в квадрантах I и III координатной плоскости.
Обратная функция, Марилу Гарсия Де Тейлор — StudySmarter Originals
b) Если a <0:
Например, если , , форма обратной функции показана ниже. В этом случае график строится по квадрантам II и IV. Этот график является отражением предыдущего, потому что отрицательный знак в функции означает, что все положительные значения теперь будут иметь отрицательные значения y, а все отрицательные значения x теперь будут иметь положительные значения y.
Обратная функция с отрицательным числителем, Марилу Гарсия Де Тейлор — StudySmarter Originals
а) Если a> 0:
Например, если , , форма графика показана ниже. Обратите внимание, что график построен в квадрантах I и II координатной плоскости. Форма графика меняется по сравнению с предыдущим графиком , так как наличие в знаменателе означает, что все значения y будут положительными при всех значениях .
Функция обратного квадрата, Марилу Гарсия Де Тейлор — StudySmarter Originals
b) Если a <0:
Например, если , , форма обратной функции показана ниже. В этом случае график строится на квадрантах III и IV. Этот график также является отражением предыдущего из-за отрицательного знака в числителе функции.
Функция обратного квадрата с отрицательным числителем, Марилу Гарсия Де Тейлор — StudySmarter Originals
Рисование графиков обратной функции
Чтобы показать вам, как построить график обратной функции, мы будем использовать пример . Чтобы построить график этой функции, вам необходимо выполнить следующие шаги:
Для и являются асимптотами.
В нашем примере обратная функция имеет тип y = и a> 0; следовательно, графики будут построены на квадрантах I и III.
Точки графика стратегически показывают поведение графика по мере его приближения к асимптотам с каждой стороны.
Отрицательная сторона:
Обратите внимание: чем дальше мы идем влево, тем ближе мы подходим к нулю.
Теперь давайте попробуем некоторые дроби отрицательного числа 1:
Положительная сторона:
Обратите внимание, что чем ближе мы идем к нулю, тем дальше мы приближаемся к нулю.
Теперь давайте попробуем некоторые доли положительных 1:
Нарисуйте график, используя полученную таблицу значений:0005
Обратная функция преобразована, если ее уравнение записано в стандартной форме , где a, h и k — действительные константы, вертикальная асимптота функции , а горизонтальная .
Для обратной функции асимптотами являются и .
График обратной функции с уравнением в стандартной форме, Марилу Гарсиа Де Тейлор — StudySmarter Originals
Вас могут попросить найти точки пересечения графика обратной функции с осями x и y. Вы можете действовать следующим образом:
x-отрезок: Подставьте y = 0 в уравнение и найдите x.
Точка, где график функции пересекает оси x (-3, 0)
Y-Intercept: . уравнение и решить для y.
Точка, в которой график функции пересекает ось Y, равна
Как найти уравнение обратного графика?
Если вам дан график обратной зависимости, вы можете найти его уравнение, выполнив следующие действия:
Найдите вертикальную асимптоту. Это значение нужно прибавить или вычесть из переменной в знаменателе. Он будет иметь противоположный знак вертикальной асимптоты.
Найти горизонтальную асимптоту. Это будет значение , которое прибавляется или вычитается из дроби в зависимости от ее знака.
Найдите значение путем замены x и y, соответствующих данной точке на кривой в уравнении.
Найдите уравнение обратного графика ниже:
Уравнение обратного графика, Марилу Гарсиа Де Тейлор — StudySmarter Originals , 0) в обратной функции найти значение :
Уравнение обратной функции: То же самое относится и к функциям. Чтобы найти обратную функцию, вы можете найти выражение .
Найти обратную функцию
Обратная величина
Графики обратной зависимости — основные выводы
Обратные графики представляют собой графическое представление обратных функций, где числитель — действительная константа, а знаменатель содержит алгебраическое выражение с переменной x.
При построении обратных графиков необходимо учитывать их асимптоты.
Асимптота — это линия, к которой кривая подходит очень близко, никогда не касаясь ее.
Областью определения обратных функций будут все действительные числа, кроме вертикальной асимптоты.
Диапазоном обратных функций будут все действительные числа, кроме горизонтальной асимптоты.
No related posts.