Область определения функции — Википедия
Область определения — множество, на котором задаётся функция. В каждой точке этого множества значение функции должно быть определено.
График функции f(x) = √x, область определения которой — все неотрицательные числа
Содержание
- 1 Определение
- 2 Примеры
- 2.1 Числовые функции
- 2.1.1 Тождественное отображение
- 2.1.2 Гармоническая функция
- 2.1.3 Дробно-рациональные функции
- 2.2 Мера
- 2.3 Функционал
- 2.1 Числовые функции
- 3 См. также
- 4 Примечания
- 5 Литература
Если на множестве X{\displaystyle X}
задана функция, которая отображает множество X{\displaystyle X} в другое множество, то множество X{\displaystyle X} называется областью определения или областью задания функции.Более формально, если задана функция f{\displaystyle f}
, которая отображает множество X{\displaystyle X} в Y{\displaystyle Y} , то есть: f:X→Y{\displaystyle f\colon X\to Y} , то множество X{\displaystyle X} называется
domain — «область»).Иногда рассматриваются и функции, определённые на подмножестве D{\displaystyle D}
некоторого множества X{\displaystyle X} . В этом случае множество X{\displaystyle X} называется областью отправления функции f{\displaystyle f} [3].Наиболее наглядные примеры областей определения доставляют числовые функции. Мера и функционал также доставляют важные в приложениях виды областей определения.
Числовые функцииПравить
Числовые функции — это функции, относящиеся к следующим двум классам:
- вещественнозначные функции вещественного переменного — это функции вида f:R→R{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} } ;
- а также комплекснозначные функции комплексного переменного вида f:C→C{\displaystyle f\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C} } ,
где R{\displaystyle \mathbb {R} }
и C{\displaystyle \mathbb {C} } — множества вещественных и комплексных чисел соответственно.Тождественное отображениеПравить
Область определения функции f(x)=x{\displaystyle f(x)=x}
совпадает с областью отправления (R{\displaystyle \mathbb {R} } или C{\displaystyle \mathbb {C} } ). {2}-4\neq 0} . Таким образом domf{\displaystyle \mathrm {dom} \,f} является множеством всех действительных (или комплексных) чисел кроме 2 и −2.МераПравить
Если каждая точка области определения функции — это некоторое множество, например, подмножество заданного множества, то говорят, задана функция множества.
Мера — пример такой функции, где в качестве области определения функции (меры) выступает некоторая совокупность подмножеств заданного множества, являющееся, например, кольцом или полукольцом множеств.
Например, определённый интеграл представляет собой функцию ориентированного промежутка.
ФункционалПравить
Пусть F={f∣f:X→R}{\displaystyle \mathbb {F} =\{f\mid f\colon X\to \mathbb {R} \}}
— семейство отображений из множества X{\displaystyle X} в множество R{\displaystyle \mathbb {R} } . Тогда можно определить отображение вида F:F→R{\displaystyle F\colon \mathbb {F} \to \mathbb {R} } . Такое отображение называется функционалом.Если, например, фиксировать некоторую точку x0∈ X{\displaystyle x_{0}\in ~X}
, то можно определить функцию F(f)=f(x0){\displaystyle F(f)=f(x_{0})} , которая принимает в «точке» f{\displaystyle f} то же значение, что и сама функция f{\displaystyle f} в точке x0{\displaystyle x_{0}} .- Область значений функции
- ↑ В. А. Садовничий. Теория операторов. — М.: Дрофа, 2001. — С. 10. — 381 с. — ISBN 5-71-074297-X.
- ↑ В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Глава 3. Теория пределов // Математический анализ / Под ред. А. Н. Тихонова. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Проспект, 2006. — Т. 1. — С. 105—121. — 672 с. — ISBN 5-482-00445-7.
- ↑ В. А. Зорич. Глава I. Некоторые общематематические понятия и обозначения. § 3. Функция // Математический анализ. Часть I. — четвертое, исправленное. — М.: МЦНМО, 2002. — С. 12—14. — 664 с. — ISBN 5-94057-056-9.
- Функция, математический энциклопедический словарь. — Гл. ред. Ю. В. Прохоров. — М.: «Большая российская энциклопедия», 1995.
- Клейн Ф. Общее понятие функции. В кн.: Элементарная математика с точки зрения высшей. Т.1. М.-Л., 1933
- И. А. Лавров, Л. Л. Максимова. Часть I. Теория множеств // Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов. — 3-е изд.. —
- А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. Глава 1.. Элементы теории множеств // Элементы теории функций и функционального анализа. — 3-е изд.. — М.: Наука, 1972. — С. 14—18. — 256 с.
- Дж. Л. Келли. Глава 0. Предварительные сведения // Общая топология. — 2-е изд.. — М.: Наука, 1981. — С. 19—27. — 423 с.
- В. А. Зорич. Глава I. Некоторые общематематические понятия и обозначения. § 3. Функция // Математический анализ, часть I. — М.: Наука, 1981. — С. 23—36. — 544 с.
- Г. Е. Шилов. Глава 2. Элементы теории множеств. § 2.8. Общее понятие функции. График // Математический анализ (функции одного переменного). — М.: Наука, 1969. — С. 65—69. — 528 с.
- А. Н. Колмогоров. Что такое функция // «Квант» : науч.-поп. физ.-мат. журн. — М.: «Наука», 1970. — № 1. — С. 27—36. — ISSN 0130-2221.
Область определения функции
Множество всех значений X (xX), которые может принимать аргумент функции x, называется областью определения этой функции.
Множество всех значений Y (yY), которые может принимать функция f(x), называется областью значений этой функции.
Примеры:
Областью определения функции y = x²
является интервал (– ;
),
а областью значений функции – интервал
[0; ).
Задача 1. Найти область определения функции .
Решение: Область определения функции находится как решение неравенства 2x
Задача 2. Найти область определения функции .
Решение: Область определения функции находится как решение неравенства 4 – x² > 0 – 2 < x < 2, т.е. x (–2; 2).
Элементарные функции
Степенная функция: y = xn (n — степень, nR)
Линейная y = x,
квадратичная y = x²,
кубическая y = x3,
гиперболическая
и постояннаяy = 1 функции
являются частными случаями степенной
функции со степенями n = 1; 2; 3; –1; 0.
Показательная функция: y = a x (a — основание степени, a > 0, a 1).
Показательная функция с основанием a = e = 2,718… называется экспоненциальной функцией y = ex.
Областью определения показательной функции является интервал (– ; ), а областью значений функции – интервал (0; ).
Логарифмическая функция: y = logax (a — основание логарифма, a > 0, a 1).
Логарифмическая
функция с основанием a = e
= 2,718… называется натуральным
логарифмом: y = lnx,
а логарифмическая функция с основанием a = 10
— десятичным
логарифмом: y = lgx.
Областью определения логарифмической функции является интервал (0; ), а областью значений функции интервал (
Тригонометрические функции: y = sinx, y = cosx, y = tgx, y = ctgx.
Областью определения функций y = sinx, y = cosx является интервал (– ; ), а областью значений функций – интервал [– 1; 1]. Областью определения функции y = tgx является интервал (– /2 + n; /2 + n), а областью значений функции — (– ; ). Областью определения функции y = ctgx является интервал (n; + n), а областью значений функции — (– ; ).
Обратные тригонометрические функции: y = arcsinx, y = arccosx, y = arctgx, y
= arcctgx. Областью определения функций y = arcsinx, y = arccosx является интервал [– 1; 1], а областью значений функций – интервал (– ; ). Областью определения функции y = arctgx является интервал (– ; ), а областью значений функции — (– /2 + n; /2 + n). Областью определения функции y = arcctgx является интервал (– ; ), а областью значений функции — (n; + n).
Пример функции прибыли: В наиболее общем виде прибыль П (profit) определяется как разность между полным доходом (выручкой) от реализации продукции или услуг R (revenue) и полными издержками (затратами) C (cost): П = R – C. С учетом кривой спроса R = pQ = (p0 – aQ
С другой стороны издержки делятся
на постоянные и переменные, т.е. C = Cf + CvQ.
Таким образом, П = – aQ2+ (p0 – CvQ)
– Cf,
т.е. зависимость П от Q квадратичная.Обратная функция
Если из зависимости y = f(x) вытекает соотношение x = g(y), то функция g(y) называется обратной функцией (относительно функции f(x)).
Пример: Обратной
функцией линейной функции y = 2x + 4 является функция
.
Показательная и логарифмическая функции, тригонометрические и обратные тригонометрические функции являются обратными.
Область определения X функции f(x) является областью значений Y обратной функции g(y) и наоборот.
функций — Что означает обозначение $f : \mathbb R \rightarrow \mathbb R$?
Задать вопрос
спросил
Изменено 5 лет, 4 месяца назад
Просмотрено 997 раз
92}{64}$? Кроме того, всегда ли можно использовать символы, обозначающие наборы, например, всех действительных или рациональных чисел, чтобы различать, когда это обозначение относится к функции, а когда оно относится к домену и кодовому домену функции? Все, что я хотел бы, это подтверждение этих идей, чтобы я знал, как использовать их в будущем. Спасибо.
- функции
- обозначение
$\endgroup$
2 92/64$, если вы сделаете домен $f$ чистым.
Если я правильно его анализирую, я думаю, что ответ на ваш последний вопрос заключается в том, что вы должны использовать $\mapsto$, когда вы даете алгебраическое определение функции, и $\to$, когда вы указываете тип (домен и кодовый домен). ) функции.
$\endgroup$
2
$\begingroup$
Вы все усложняете.
Правильное обозначение функции: $$f:X\стрелка вправо Y:x\mapsto f(x).$$
Часть $f:X\rightarrow Y$ означает, что $X$ — это домен функции, а $Y$ — это целевой/кодовый домен. Часть $x\mapsto f(x)$ объясняет, что происходит с элементами $x$. Здесь конкретный $x$ отображается в $f(x)\in Y$. +: x\mapsto f(x)$, мы видим, что $f$ имеет максимум, а $g$ – нет, огромная разница. 92}{64}$, это ограничение снимается.
Для полноты картины позвольте мне привести несколько примеров функций с более странными доменами и кодоменами.
Рассмотрим карту $f:C([0,1])\rightarrow \mathbb{R}:h\mapsto \max_{x\in [0,1]}h(x)$, нетривиально, что эта карта корректно определена, т. е. максимум существует. Здесь $C([0,1])$ — множество всех вещественнозначных непрерывных функций на $[0,1]$. Вот еще один $g:\mathbb{R}[X]\стрелка вправо \mathbb{R}[X]:p(X)\mapsto p'(X)$. Здесь $\mathbb{R}[X]$ — множество всех многочленов из $X$ с действительными коэффициентами, а $p'(X)$ — производная от $p(X)$.
$\endgroup$
12
Объяснение урока: Область рациональных функций
В этом объяснении мы узнаем, как идентифицировать область рациональных функций.
функция и общая область определения двух или более рациональных функций.
Напомним, что мы понимаем под областью определения функции. Когда мы определяем функция, мы обычно пишем ее в форме 𝑓∶𝑋⟶𝑌. Что это значит что для каждого 𝑥∈𝑋 функция 𝑓 отображает это к 𝑦∈𝑌. Мы пишем это как 𝑓(𝑥)=𝑦. Здесь мы звоним 𝑋 домен функции и 𝑌 кодовый домен функции. Проиллюстрируем эту мысль на диаграмма ниже.
Здесь домен 𝑓 равен 𝑋={1,3,4}, а кодовый домен равен 𝑌={0,2,3,6}. Кроме того, диапазон 𝑓, который мы обозначаем на 𝑓(𝑥) равно {0,2,3}, что в данном случае меньше кодового домена. Если бы мы хотели написать, что 1 отображается в 2 с помощью 𝑓, мы бы написали, что математически как 𝑓(1)=2.
Чтобы взять пример, в котором используется конкретное уравнение, предположим, что у нас есть функция 𝑓∶𝑋⟶𝑌 определяется 𝑓(𝑥)=𝑥+7.
Здесь мы можем смело определить домен 𝑋 этой функции как
— множество действительных чисел ℝ, так как мы можем взять любое
𝑥 это действительное число и подставьте его в уравнение без
проблемы. Мы также можем определить кодовый домен 𝑌 этой функции, чтобы он был просто
ℝ, так как для любого 𝑥∈ℝ мы знаем, что
𝑓(𝑥)∈ℝ. Нам не нужно знать это здесь, но
диапазон этой функции 𝑓(𝑥)=[7,∞[. Мы знаем это
потому что 𝑥≥0 для всех 𝑥∈ℝ, поэтому значение
𝑓(𝑥) не может быть меньше 7. С другой стороны, как
𝑥 становится больше, 𝑥 будет продолжать увеличиваться, в конце концов
собирается ∞.
Напомним, что полиномиальная функция имеет вид 𝑓(𝑥)=𝑎+𝑎𝑥+𝑎𝑥+⋯+𝑎𝑥.
Приведенное выше выражение 𝑥+7 является полиномом второго порядка или квадратичным. Обычно для любой полиномиальной функции нам нужны оба 𝑋, 𝑌∈ℝ. Однако, как мы увидим позже, для различных функций иногда может понадобиться ограничить домен, в зависимости от нашей функции.
Напомним, что рациональное число (или дробь) — это любое число
форма 𝑝𝑞, где 𝑝 и
𝑞 — целые числа, а 𝑞≠0. Это важно
помните, что знаменатель 𝑞 не может быть равен нулю, так как деление на ноль
неопределенная операция. Мы можем распространить эту идею рациональных чисел на рациональные
функции со следующим определением.
Определение: Рациональные функции
Функция 𝑓∶𝑋⟶𝑌 называется рациональной функцией если его можно записать в виде 𝑓(𝑥)=𝑝(𝑥)𝑞(𝑥), где 𝑝 и 𝑞 — полиномиальные функции и 𝑞(𝑥)≠0 для всех 𝑥∈𝑋.
Обратите внимание, что домен 𝑋 of 𝑓 должен исключить любые точки 𝑥, где 𝑞(𝑥)=0. Так как 𝑞 является многочлен, это иногда означает, что мы должны найти его нули, чтобы узнать, какой баллы недействительны. Например, допустим, у нас есть функция 𝑓(𝑥)=1𝑥−2.
Мы можем сказать, что эта функция недействительна, если 𝑥−2=0, что мы легко можем
решить, что 𝑥 не может быть равно 2. Следовательно, область
этой функции должно быть ℝ−{2}, то есть множество всех действительных чисел
исключая 2. Заметим, что кодовый домен этой функции по-прежнему
ℝ и, вообще говоря, любая рациональная функция
по-прежнему будет кодовый домен ℝ.
Рассмотрим более сложный пример, когда нам нужно решить квадратное уравнение. уравнение, чтобы найти, какие значения не определены.
Пример 1. Определение того, какие значения не определены для рациональной функции
Для каких значений 𝑥 является функцией 𝑛(𝑥)=𝑥−25𝑥−12𝑥+32 не определено?
Ответ
Чтобы найти, для каких значений 𝑛(𝑥) не определено, мы имеем только рассмотреть знаменатель дроби, 𝑥−12𝑥+32, и когда он равно 0. Это потому, что любые значения числителя 𝑥−25 берет, не вызовет 𝑛(𝑥) быть неопределенным.
Итак, попробуем решить 𝑥−12𝑥+32=0. Чтобы решить квадратное уравнение, мы можем либо попытаться разложить его на множители, либо использовать квадратичное формула. Попробуем учесть это здесь, предположив, что 𝑥−12𝑥+32=(𝑥−𝑎)(𝑥−𝑏)=𝑥−(𝑎+𝑏)𝑥+𝑎𝑏.
Мы видим, что 𝑎 и 𝑏 должны складываться, чтобы получить 12
и умножьте, чтобы получить 32. Пробуя разные числа, мы видим, что, взяв
𝑎=4 и 𝑏=8 работают или наоборот. Следовательно, мы имеем
𝑥−12𝑥+32=(𝑥−8)(𝑥−4)=0,
Таким образом, 𝑥=4 или 𝑥=8 являются решениями уравнения, и мы можем говорят, что исходная функция 𝑛(𝑥) не определена для 𝑥=4,8.
Давайте попробуем решить другую похожую задачу, на этот раз в примере, где у нас есть найти область определения функции.
Пример 2. Определение области определения рациональной функции
Какова область определения функции 𝑦=𝑥−1𝑥+1?
Ответ
Чтобы определить область определения этой функции, нам нужно найти значения для которых она не определена, а значит, надо рассматривать точки где знаменатель 𝑥+1=0.
Чтобы решить квадратное уравнение, мы обычно хотим разложить его на множители или применить квадратное уравнение
формула. Однако в данном примере это может быть невозможно. Действительно, если
мы переставляем приведенное выше уравнение, мы видим, что
𝑥+1=0𝑥=−1𝑥=√−1.
Поскольку −1 отрицательно, мы не можем извлечь из него квадратный корень (при условии, что 𝑥∈ℝ). Это означает, что данное уравнение не имеет решения. Другими словами, нет точки, в которой 𝑥+1=0, и поэтому рациональная функция определена для всех значений. Таким образом, область определения 𝑥−1𝑥+1 равна ℝ.
Теперь мы рассмотрели несколько примеров, в которых рассматривались рациональные функции. и вычислил точки, где они не определены (и, соответственно, их домены). Мы также можем столкнуться с проблемами, когда нам дают домен функции и должны найти, какие значения соответствуют домену. Давайте рассмотрим пример, в котором используется это понятие.
Пример 3. Нахождение значения функции с учетом домена
Учитывая, что домен функции 𝑛(𝑥)=36𝑥+20𝑥+𝑎 равно ℝ−{−2,0}, оценить 𝑛(3).
Ответ
Этот вопрос состоит из нескольких частей. Сначала мы должны попытаться найти
точки, в которых 𝑛 не может быть оценен, что должно позволить нам
найти неизвестную переменную 𝑎. Тогда мы можем заменить
𝑥=3
в 𝑛, чтобы найти ответ.
Для начала мы видим, что 𝑛 представляет собой сумму двух отдельных рациональные функции. Чтобы вычислить точки, в которых 𝑛 не может оценивается, а значит, и его область, нам просто нужно рассмотреть точки в ни одна из функций не может быть вычислена сама по себе, так как в этом случае сумма также не будет действительной. Давайте сделаем это сначала с 36𝑥.
Это простая рациональная функция, и мы можем видеть, что когда знаменатель 𝑥=0, это неверно. Далее у нас есть 20𝑥+𝑎.
Здесь мы видим, что функция недействительна, когда знаменатель 𝑥+𝑎=0. Перестановка дает нам 𝑥=−𝑎.
Теперь область определения функции равна ℝ−{−2,0}, что означает
𝑛 нельзя оценить при 𝑥=0 или
𝑥=−2. Мы можем увидеть
что требование 𝑥=0 исходит из
36𝑥. Таким образом, 𝑥=−𝑎 должно привести к
𝑥=−2. Объединение этих уравнений дает нам
−𝑎=−2 или 𝑎=2. Это дает нам
𝑛(𝑥)=36𝑥+20𝑥+2.
Чтобы решить проблему, мы, наконец, хотим оценить 𝑛(3). Выяснив, что 𝑎, мы можем просто подставить 3 в уравнение: 𝑛(3)=363+203+2=12+4=16.
В последнем примере мы коснулись идеи о том, что объединение нескольких рациональных функций вместе означает, что область определения результирующей функции должна занимать области применения каждой отдельной функции. Касательная к этому идея рассмотрения общего домена двух или более рациональных функций. В качестве простого примера предположим, что у нас есть следующие функции: 𝑓∶ℝ−{0}⟶ℝ,𝑓(𝑥)=1𝑥,𝑔∶ℝ−{2}⟶ℝ,𝑔(𝑥)=1𝑥−2.
Чтобы рассмотреть здесь общую область, мы просто возьмем пересечение двух домены. То есть общая область определения этих двух функций есть (ℝ-{0})∩(ℝ-{2})=ℝ-{0,2}.
В общих чертах, мы можем взять любое количество функций, и общий домен
это просто пересечение этих доменов. Поэтому все, что нам нужно сделать
заключается в разработке домена каждой функции в отдельности и объединении их всех
все вместе. Давайте рассмотрим пример, который охватывает эту концепцию.
Пример 4. Определение общей области определения трех рациональных функций
Найдите общую область определения между функциями 𝑛(𝑥)=−9𝑥+9, 𝑛(𝑥)=8𝑥+3, и 𝑛(𝑥)=7𝑥𝑥−4𝑥.
Ответ
Чтобы найти общую область определения этих функций, мы должны вычислить области каждого в отдельности, а затем взять их пересечение. Во-первых, давайте учитывать 𝑛(𝑥)=−9𝑥+9.
Учитывая знаменатель 𝑥+9, мы видим, что 𝑛 не определено когда 𝑥=−9, так как мы будем делить на 0. Следовательно, область определения эта функция везде, кроме этой точки, которая ℝ−{−9}. Далее у нас есть 𝑛=8𝑥+3.
Аналогичным образом мы видим, что 𝑛 не определено, когда
𝑥=−3, поэтому домен должен быть ℝ−{−3}. Наконец, мы считаем
𝑛=7𝑥𝑥−4𝑥.
𝑛 не определено, когда знаменатель 𝑥−4𝑥 равно 0. Это функция — кубический многочлен; однако, поскольку он имеет общий множитель 𝑥, мы можем довольно легко разложить его следующим образом: 𝑥−4𝑥=𝑥𝑥−4=𝑥(𝑥−2)(𝑥+2).
Установив это значение равным 0, мы видим, что 𝑛 не определено для 𝑥=0,2 или −2. Итак, домен ℝ−{−2,0,2}.
Наконец, мы должны объединить домены вместе, взяв их пересечение. Это пересечение просто ℝ минус все баллы, которые мы вынули из каждой функции. Таким образом, общий домен ℝ−{−9,−3,−2,0,2}.
Наконец, давайте рассмотрим еще один пример, который сочетает в себе некоторые из концепции, которые мы видели до сих пор.
Пример 5: Нахождение значения функции с учетом общего домена
Если общий домен двух функций
𝑛(𝑥)=𝑥𝑥+64 и
𝑛(𝑥)=−5𝑥+11𝑥−𝑏
ℝ−{−7,−4}, найдите значение 𝑏.
Ответ
Общий домен – это пересечение доменов 𝑛 и 𝑛. Чтобы определить что такое 𝑏, мы начнем с вычисления доменов 𝑛 и 𝑛 и сравнение этих значений до ℝ−{−7,−4}.
Для начала рассмотрим 𝑛(𝑥)=𝑥𝑥+64.
Чтобы найти область определения рациональной функции, мы хотим найти, когда знаменатель равен 0. В этом случае мы видим, что 𝑥+64=0𝑥=−64𝑥=√−64.
Поскольку 𝑥 должно быть действительным, мы заключаем, что это уравнение не имеет решений; то есть 𝑥+64≠0 для всех 𝑥∈ℝ. Таким образом, область 𝑛 это просто ℝ.
Теперь, прежде чем вычислять домен 𝑛, отметим что, поскольку мы знаем, что общий домен ℝ−{−7,−4}, имеем {𝑛}∩{𝑛}=ℝ−{−7,−4}ℝ∩{𝑛}=ℝ−{−7,−4}.domainofdomainofdomainof
Так как каждая точка области определения 𝑛 принадлежит ℝ, у нас есть {𝑛}=ℝ−{−7,−4}.domainof
Это показывает нам, что обе особенности −4 и −7 должны исходить из
𝑛. Теперь 𝑛
𝑛(𝑥)=−5𝑥+11𝑥−𝑏.
Как и в случае 𝑛, область определения этой функции можно найти по формуле учитывая точки, в которых знаменатель 𝑛 равен к 0. Другими словами, нам нужно решить 𝑥+11𝑥+𝑏=0.
Обычно мы можем решить этот квадрат только в терминах 𝑏. Однако, поскольку мы знаем, что домен 𝑛=ℝ−{−7,−4}, решения этого уравнения должны соответствовать особенности −4 и −7.
Квадратное уравнение с решениями −4 и −7 должен быть в форме (𝑥+4)(𝑥+7)=𝑥+11𝑥+28.
Сравнивая это со знаменателем 𝑛, мы имеем 𝑥+11𝑥−𝑏≡𝑥+11𝑥+28.
Таким образом, находим 𝑏=−28.
Давайте закончим, пробежавшись по ключевым моментам, которые мы узнали из этого объяснения.
Ключевые точки
- Функция 𝑓∶𝑋⟶𝑌 называется рациональной
функцию, если ее можно записать в виде
𝑓(𝑥)=𝑝(𝑥)𝑞(𝑥),
где 𝑝 и 𝑞 — полиномиальные функции и
𝑞(𝑥)≠0 для всех 𝑥∈𝑋.