Что значит разложить по векторам: Разложение вектора по векторам

Разложение вектора по трем некомпланарным векторам

Материал урока.

Аналогично тому, как на плоскости любой вектор можно разложить по двум неколлинеарным векторам, наверняка, в пространстве любой вектор можно разложить по трём некомпланарным векторам.

Говорят, что вектор  разложен по векторам , , если он представлен в виде суммы произведений вектора  на число x, вектора  на число y и вектора  на число z.

При этом числа x, y и z называют коэффициентами разложения.

Запишем теорему. Любой вектор можно разложить по трём некомпланарным векторам, причём коэффициенты разложения определяются единственным образом.

Докажем эту теорему для некомпланарных векторов , , .

Отметим любую удобную точку пространства и отложим от неё векторы , , и  равные векторам , ,  соответственно.

Далее через точку P проведём прямую параллельную прямой OC. Точку пересечения этой прямой с плоскостью ABC обозначим за P₁.

Далее через точку P₁ проведём прямую параллельную прямой OB. А точку пересечения этой прямой с прямой ОА обозначим за P₂.

Пользуясь правилом многоугольника сложения нескольких векторов, запишем, что .

Из построений следует, . А это значит, что .

 

 .

Таким образом мы разложили вектор  по трём некомпланарным векторам , , .

Осталось только доказать, что коэффициенты разложения x, y, z определяются единственным образом.

Допустим, что кроме полученного нами разложения есть ещё одно, в котором коэффициенты разложения равны x₁, y₁, z₁.

Вычтем второе разложение из первого.

Понятно, что в разложении нулевого вектора по трём некомпланарным ненулевым векторам все коэффициенты разложения должны быть равны нулю.

Отсюда соответственно равны коэффициенты:

А это противоречит нашему допущению о том, что коэффициенты второго разложения вектора  отличны от коэффициентов первого разложения.

Отсюда получаем, что коэффициенты разложения x, y, z определяются единственным образом.

Что и требовалось доказать.

Выполним несколько заданий.

Задача.  параллелепипед.

Разложить:

а) вектор  по векторам ,  и ;

б) вектор  по векторам ,  и .

Решение.

 Изобразим все векторы, перечисленные в первом пункте. Пользуясь правилом параллелепипеда сложения трёх некомпланарных векторов, нетрудно заметить, что . Таким образом мы разложили вектор  по данным векторам. Причём каждый коэффициент данного разложения равен единице.

Обратимся к следующему пункту. Вектор  нужно разложить по векторам ,  и .

Для начала запишем, что по правилу многоугольника сложения нескольких векторов, вектор  .

Так мы разложили вектор  по данным векторам, где коэффициенты разложения y и x равны 1, а z равно -1.

Задача.  параллелепипед.  точка пересечения диагоналей. Разложить векторы  и  по векторам ,  и .

Решение.

Сразу можно отметить, что .

Поэтому в разложении этого вектора по данным векторам коэффициенты разложения при векторах  и  равны 0, а при векторе  — -1.

Далее разложим вектор  по данным векторам.

Задача.  тетраэдр.  середина ребра . Разложить векторы  по векторам ,  и . Если ,  и .

Решение.

Для начала стоит отметить, что на рёбрах DC и DB тетраэдра можно построить параллелограмм. И отрезок DK будет являться половиной его диагонали DD₁. Действительно, точка К является серединой второй диагонали BC, а значит, она является точкой пересечения диагоналей данного параллелограмма.

 

Рассмотрим каждый вектор этой суммы в отдельности.

Подставим полученные суммы в выражение для вектора .

Подведём итоги этого урока.

На нём вы узнали, что аналогично тому, как на плоскости любой вектор можно разложить по двум неколлинеарным векторам, в пространстве любой вектор можно разложить по трём некомпланарным векторам.

Говорят, что вектор  разложен по векторам ,  и , если он представлен в виде суммы произведений вектора  на число x, вектора  на число y и вектора  на число z. При этом числа x, y, z называют коэффициентами разложения.

Также мы доказали, что любой вектор можно разложить по трём некомпланарным векторам, причём коэффициенты разложения определяются единственным образом.

Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам / Метод координат / Справочник по геометрии 7-9 класс

1. Главная
2. Справочники
3. Справочник по геометрии 7-9 класс
4. Метод координат
5. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам

Лемма

Если векторы и коллинеарны и , то существует такое число , что .

Доказательство

Дано: и коллинеарны, .

Доказать: существует такое число , что .

Доказательство:

Возможны два случая:

1) .

Пусть число . Так как , то векторы и сонаправлены.

При этом, их длины равны: . Следовательно, .

2) .

Пусть число . Так как , то векторы и сонаправлены.

При этом, их длины равны: . Следовательно, . Лемма доказана.

Пусть и два данных вектора. Если вектор представлен в виде , где и — некоторые числа, то говорят, что вектор разложен по векторам и . Числа и называются коэффициентами разложения.

Теорема

На плоскости любой вектор можно разложить по двум данным неколлинеарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом.

Доказательство

Дано: и неколлинеарные.

Доказать: любой вектор можно разложить по векторам и , т.е. , и определяются единственным образом.

Доказательство:

1 случай

Вектор коллинеарен одному из векторов и , например, вектору .

Тогда по лемме о коллинеарных векторах вектор можно представить в виде , где — некоторое число, следовательно, , т.е. вектор можно разложить по векторам и .

2 случай

Вектор не коллинеарен ни вектору , ни вектору .

Отметим какую-нибудь точку О и отложим от нее векторы . Через точку Р проведем прямую, параллельную прямой ОВ, которая пересечет прямую ОА в точке А₁

.

По правилу треугольника сложения двух векторов , при этом векторы и коллинеарны векторам и , следовательно, по лемме о коллинеарных векторах существуют такие числа и такие, что и . Поэтому , т.е. вектор можно разложить по векторам и .

Докажем, что коэффициенты и определяются единственным образом.

Допустим, что вместе с разложением   (1) существует и другое разложение .  (2)

Вычтем из равенства (1) равенство (2), получим: , откуда, учитывая правила действий над векторами, .  (3)

Равенство (3) выполнимо только в том случае, когда и . Действительно, если предположить, что , то из равенства (3) получим, что , значит, векторы и коллинеарны, что противоречит условию теоремы. Следовательно, и , откуда и , а это говорит о том, что коэффициенты и разложения вектора определяются единственным образом.

Теорема доказана.

Советуем посмотреть:

Координаты вектора

Связь между координатами вектора его начала и конца

Простейшие задачи в координатах

Уравнение линии на плоскости

Уравнение окружности

Уравнение прямой

Взаимное расположение двух окружностей

Метод координат

Правило встречается в следующих упражнениях:

7 класс

Задание 912, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 914, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 915, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 916, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 919, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 921, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 927, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 3, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 6, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 988, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

---

векторов

векторов

векторов

---

Вектор — это величина, обладающая свойствами величины (размера) и направления.

Чтобы представить это, мы рисуем векторы в виде стрелок, где величина вектора указывается длиной стрелки, а направление вектора указывается ориентацией стрелки. Общие векторы, возникающие при движении, — это силы (такие как тяга и сопротивление), скорость и ускорение.

---

Добавление вектора

Часто в проблеме участвуют несколько векторов, и нам нужно найти их «чистый» или «результирующий» эффект. Чтобы найти результирующий вектор, мы должны использовать векторное сложение (суммирование). Сложение векторов отличается от сложения двух чисел, потому что мы должны учитывать как величину, так и направление векторов.

Типичным примером является суммирование сил, действующих на объект, для нахождения равнодействующей или «чистой» силы, действующей на объект. Это показано на рисунке ниже, где на блок действуют две силы. Одна сила имеет величину 30 Н в направлении x , а другая сила имеет величину 40 Н в направлении y . Поскольку эти силы имеют разные направления, мы не можем просто сложить их величины, чтобы получить результирующую силу.

Схема сил на блоке

Вместо этого мы можем сложить эти векторы графически, как показано на рисунке ниже. Графическое сложение векторов происходит путем выравнивания двух векторов «голова к хвосту». Тогда сумма векторов или результирующий вектор представляет собой вектор, проведенный из хвоста первого вектора в начало последнего вектора.

Общая проблема сложения векторов

Математически мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти величину равнодействующей силы. Точно так же мы можем использовать тригонометрию, чтобы найти направление равнодействующей силы, выраженное как угол силы θ относительно горизонтали. Соответствующие расчеты приведены ниже.

Обозначение вектора: Иногда неудобно представлять векторы графически в виде стрелок. Вместо этого мы часто представляем векторы символически, используя векторную запись. Одним из распространенных методов является представление вектора как комбинации его компонентов в направлении x , или « i », и в направлении y , или « j ». Для приведенного выше случая чистый коэффициент силы выражается как

.

где i и 9Символы 0015 j напоминают нам о направлении, связанном с величиной каждого компонента, а маленькая стрелка над F _net указывает, что это вектор.

В качестве альтернативы, мы можем просто указать величину и направление вектора напрямую как

Обратите внимание, что величина вектора может быть представлена ​​либо путем размещения вертикальных полос вокруг вектора, либо с помощью символа вектора, выделенного курсивом, без стрелки над ним.

---

Векторная декомпозиция

Векторная декомпозиция — это деконструкция вектора, который не лежит только в одном направлении, на несколько векторов в разных направлениях. По сути, разложение векторов — это сложение векторов в обратном порядке. Обычно мы разлагаем векторы на составные векторы, которые ортогональны. Это должно быть сделано таким образом, чтобы вектора компонентов суммировались с исходным вектором.

Для иллюстрации рассмотрим приведенный ниже вектор скорости, который равен 10 м/с при 53,1° относительно горизонтали. Мы хотели бы разложить этот вектор на его горизонтальную и вертикальную составляющие.

Общая задача векторной декомпозиции

Используя базовую тригонометрию, мы можем напрямую вычислить величину компонент векторов как в горизонтальном ( i ), так и в вертикальном ( j ) направлениях. Используя функцию синуса, можно определить величину вертикальной составляющей как

.

Тогда, используя теорему Пифагора, можно определить оставшуюся сторону векторного треугольника следующим образом

В качестве альтернативы можно снова использовать тригонометрию для определения третьего катета треугольника, а именно

Часто бывает удобно разложить векторы на составляющие, когда для задачи важна только одна из составляющих. Кроме того, знание горизонтальной и вертикальной составляющих вектора позволяет нам представить вектор в векторной записи. Используя наши результаты, рассмотренный выше вектор скорости можно записать в векторной записи как

---

Относительное движение и векторы

Векторы также полезны для понимания концепции относительного движения. Чтобы проиллюстрировать, как векторы используются для определения относительного движения, мы определим относительную скорость ветра, наблюдаемую с движущегося парусника.

Парусник, показанный ниже, плывет на северо-восток со скоростью 20 узлов, в то время как ветер дует с востока со скоростью 10 узлов. Каково направление и величина скорости ветра, которую ощущают (наблюдают) моряки на борту парусника?

Иллюстрация относительной скорости ветра

Чтобы определить наблюдаемую моряками скорость ветра, мы должны рассмотреть задачу с их точки зрения. В частности, они видят океан, движущийся мимо них со скоростью 20 узлов от носа лодки к корме, что означает, что они видят океан, движущийся в юго-западном направлении со скоростью 20 узлов. Добавление юго-западного движения, наблюдаемого моряками, к западному движению ветра со скоростью 10 узлов дает скорость ветра, наблюдаемую моряками. Графическое сложение векторов показано на рисунке ниже.

Поскольку скорость парусника находится под углом 45°, будет легче найти величину ( W ) и направление относительной скорости ветра, если мы сначала разложим вектор скорости парусника на его горизонтальную и вертикальную составляющие. Векторы компонентов показаны на рисунке выше. Поскольку скорость парусной лодки находится под углом 45°, величины ее горизонтальной и вертикальной составляющих равны и легко определяются по теореме Пифагора как

.

После разложения скорости парусника на составляющие становится очевидным, что горизонтальная составляющая скорости относительного ветра является суммой двух горизонтальных составляющих (10 м/с и 14,1 м/с), а вертикальная составляющая равна как вертикальная составляющая скорости парусника. Итак, векторная запись у нас есть

Векторные вычисления

Обратите внимание, что знаки «-» используются для обозначения того, что вертикальная составляющая указывает на одну сторону, а горизонтальная составляющая указывает налево. Точно так же величина и направление Вт можно определить как

Расчеты величины и направления

---

Как разложить силу на компоненты x и y

Часто бывает полезно разложить силу на компоненты x и y, т. е. найти две силы, одна из которых направлена ​​в направлении x, другая — в направлении y, а векторная сумма двух сил равна исходной силе.

Давайте посмотрим, как мы можем это сделать.

Предположим, у нас есть сила F, которая образует угол 30° с положительная ось x, как показано ниже:

Сила F, образующая угол 30 градусов с положительной осью x Fx30°y

И мы хотим разложить F на компоненты x и y.

Первое, что нам нужно сделать, это представить два компонента на xy-плоскости . Сделаем это, опустив из головы F два перпендикуляра: один на ось x, другой на ось y.

Вот так:

Представление двух перпендикуляров, идущих от головы F к осям x и y Fx30°y

И мы соединяем начало координат плоскости xy с точкой пересечения x , чтобы представить компонент x F:

Представление компонента x FFx30°yxF

y-пересечение для представления y-компоненты F:

Обе x- и y-компоненты F представлены Fx30°yxFyF

F _x и F _y являются двумя векторами, т. е. они оба имеют величину и направление . Однако поскольку F _x и F _y находятся в направлениях осей x и y, они обычно выражаются только величиной , которым предшествует положительный или отрицательный знак: положительный, когда они указывают в положительном направлении, и отрицательный, когда они указывают в отрицательных направлениях осей x и y.

В нашем примере F _x и F _y положительны, потому что оба указывают в положительном направлении осей x и y.

Положительные значения F _x и F _y можно найти с помощью тригонометрии:

F _x = F cos 30°

F _y = F sin 30°

Для простоты запомните, что 900 28, если компонент рядом с углом , то это cos, иначе sin.

Часто F _x будет составляющей, примыкающей к углу, так что это будет cos, а F _y будет sin.

Теперь рассмотрим силу, одна из составляющих которой отрицательна:

Сила F с отрицательной составляющей x Fx15°yxFyF

В этом случае F _x является отрицательной, поскольку указывает в отрицательном направлении оси x.

Следовательно:

F _x = −F cos 15°

F _y = F sin 15°

Обратите внимание на знак минус перед F cos 15°, который мы добавили, чтобы получить F _х отрицательный.

Вы должны быть очень осторожны, если ваш угол равен , а не между 0° и 90°, потому что sin или (и) cos этого угла может быть уже минус , поэтому произведение также равно минус и вам не нужно добавлять знак минус.

На всякий случай мы рекомендуем всегда работать с углами от 0° до 90°, чтобы sin и cos всегда были положительными и, следовательно, произведение также всегда было положительным.

Суть

Мы можем резюмировать процесс разложения силы F следующим образом:

1. Представьте компоненты x и y силы на плоскости xy , опустив перпендикуляры от головы силы к осям x и y, а затем соединив начало плоскости xy с двумя пересечениями ( цель графического представления компонентов состоит в том, чтобы помочь вам увидеть, какой компонент является смежным с угол и каковы знаки двух компонентов ).
2. Найдите значения компонентов x и y : компонент, примыкающий к углу, будет F cos θ, а другой будет F sin θ. Компоненты, которые указывают в отрицательных направлениях осей x и y, являются отрицательными, поэтому вам нужно будет добавить знак минус (учитывая, что вы работаете с θ между 0 ° и 90°, так что F cos θ и F sin θ всегда положительны).

Силы с хвостом не в начале координат

Иногда силы не имеют сказки в начале координат плоскости xy.

Например:

Сила с хвостом в 3-м квадранте Fx30°y

В подобных случаях мы проводим две прямые, параллельные осям x и y, которые проходят через хвост силы, а затем опускаем две перпендикуляры от головы силы к прямым:

Разложение на компоненты x y силы с хвостом в 3-м квадранте Fx30°yxFyF

F _x = F cos 30°

F _y = F sin 30°

Силы, которые уже действуют в направлении x или y

Часто мы имеем дело с силами, которые уже действуют в направлении x или y. В этом случае мы можем определить компоненты x и y более простым и интуитивно понятным способом, не прибегая к тригонометрии.

Если, например, у нас есть сила F, направленная в сторону положительной оси x:

Сила F, направленная в сторону положительной оси xFxy

Очевидно, что компонент y силы F равен 0, а компонент x положительный с величиной, равной величине F:

Компонент x силы F в положительном направлении xxFxy

F _x = F

F _y = 0

С другой стороны, если у нас есть сила F в направлении отрицательной оси x:

Сила F, направленная в направлении отрицательной оси x Fxy

Тогда компонент y снова 0, а компонент x равен минус (поскольку он указывает в отрицательном направлении оси x) и имеет ту же величину, что и F:

Компонент x силы F в отрицательном направлении xxFxy

F _x = −F

F _y = 0

То же самое можно показать для сил в направлении y: они всегда будут иметь компонент x, равный 0, и компонент y, положительный или отрицательный, с величиной, равной величине силы.

Чтобы проверить свое понимание концепции, выполните приведенные ниже упражнения.

Упражнения

#1

Сила 19 Н действует в направлении отрицательной оси x. Найдите компоненты x и y силы.

Решение

Компонент x силы указывает в отрицательном направлении, компонент y равен нулюxFxy

F _x является отрицательным и имеет ту же величину, что и сила (19 Н). F _y равно нулю.

F _x = −19 Н

F _y = 0 Н

#2

Сила 114 Н образует угол 67° с положительной осью x. Разложите силу на компоненты x и y.

Решение

Сила, образующая угол 67 градусов с положительным x, и ее компоненты Fx67°yxFyF

Обе компоненты положительны.

F _x = F cos 67° = 44,5 Н

F _y = F sin 67° = 105 Н

#3

Сила образует угол 221° с положительным x ось. Предполагая, что сила имеет величину 3,1 × 10 ³ Н, найдите компоненты x и y.

Решение

Сила, образующая угол 221 градус с положительной осью x, и ее компоненты Fx221°yxFyF

Вместо того, чтобы иметь дело с углом 221°, мы хотим иметь дело с углом 41° (221° — 180°), который сила образует с отрицательной осью x:

Теперь мы рассматриваем угол 41 градус, который сила образует с отрицательная ось х41°FxyxFyF

Как видите, и F _x , и F _y отрицательны:

F _x = −F cos 41° = −2,3 × 10 ³ N 9000 3

F _г = −F sin 41° = −2,0 × 10 ³ Н

#4

Сила 4,5 × 10 ⁵  N имеет положительное направление оси Y. Определите его составляющие.

Решение

Y-компонент силы направлен в положительном направлении y. Компонент x равен 0.yFxy

Это просто. F _x равно нулю. F _y положительно и имеет ту же величину, что и сила.

F _x = 0 Н

F _y = F = 4,5 × 10 ⁵ Н

#5

33° с положительным направлением y. Вычислите компоненты x и y силы.

Совет: Поскольку угол равен +33°, он идет против часовой стрелки от положительной оси y.

Решение

Сила, образующая угол 33 градуса с положительным y. Его компоненты x и y также представлены 33°FxyxFyF

. В этом случае F _y находится рядом с углом, поэтому его величина равна силе, умноженной на cos угла, а величина F _x равна силе, умноженной на угол. грех.

Также обратите внимание, что F _x отрицательно:

F _x = −F sin 33° = −49,0 N

F _y = F cos 33° = 75,5 N

В качестве альтернативы вы могли бы рассмотреть угол 57° (90° − 33°), который F составляет с F _х . Таким образом, F _x будет примыкать к углу.

#6

Сила, имеющая величину 3,21 × 10 ⁴  Н, образует угол −50° с положительной осью x. Определите компоненты.

Совет: Угол отрицательный, то есть он идет по часовой стрелке от положительной оси x.