алгебраическое предварительное исчисление — Решение $\cos(3x) = \cos(2x)$
Задавать вопрос
спросил
Изменено 4 года, 9 месяцев назад
Просмотрено 423 раза
$\begingroup$ 92-3t +1 = 0$$
Это кубическое уравнение. Ваша искренняя помощь будет оценена по достоинству.
С уважением!
- алгебра-предварительное исчисление
- тригонометрия
- кубики
$\endgroup$
2
$\begingroup$
По определению функции косинуса мы имеем, что
$$\cos \alpha = \cos \theta \iff \alpha = \theta +2k\pi \, \lor \, \alpha = -\theta +2k\ пи \quad k\in \mathbb{Z}$$
и, таким образом,
$$\cos(3x) = \cos(2x)\iff 3x=2x+2k\pi \, \lor \, 3x=-2x+2k\pi \quad k\in \ mathbb{Z}$$
то есть
$x=2k\pi$
$x=\frac25 k\pi$
$\endgroup$
10
$\begingroup$
Равенство $\cos(3x)=\cos(2x)$ очевидно верно при $x=0$ и, следовательно, при $t=1.
2-3t +1 = (t-1)(\cdots\cdots\cdots)
$$
Остальные нули — это квадратичные полиномы, записанные здесь как $(\cdots\cdots\cdots).$
$\endgroup$
$\begingroup$
Подсказка
Вы можете использовать эквивалентность сумма-произведение. То есть:
$$\cos(A)-\cos(B)=-2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\left(\frac{A-B}{ 2}\справа)$$ Итак,
$$\cos(3x)-\cos(2x)=0\to-2\sin\left(\frac{3x+2x}{2}\right)\sin\left(\frac{3x -2x}{2}\right)=0$$
$$\sin\left(\frac{5x}{2}\right)\sin\left(\frac{x}{2}\right)= 0$$ Итак,
$$\sin\left(\frac{5x}{2}\right)=0 \text{ или } \sin\left(\frac{x}{2}\right)=0$$ 95-1)(г-1) = 0 $$
так что решения очевидны.
$$ х = \frac{2\pi}{5}k,\;\; \mbox{для}\;\; k=0,1,2,\cdots $$
$\endgroup$
$\begingroup$
Чтобы дополнить прекрасный ответ Гимуси, есть и другие случаи, когда работают простые методы:
- $\cos f(x)=\cos g(x)$
- $\sinf(x)=\sing(x)$
- $\tan f(x)=\tan g(x)$
- $\sinf(x)=\cosg(x)$
- $\cot f(x)=\tan g(x)$
где $f(x)$ и $g(x)$ — выражения, содержащие неизвестное $x$.
Уравнение 1 имеет решения $$ f(x)=g(x)+2k\pi \qquad\text{или}\qquad f(x)=-g(x)+2k\pi $$
Уравнение 2 имеет решения $$ f(x)=g(x)+2k\pi \qquad\text{или}\qquad f(x)=\pi-g(x)+2k\pi $$
Уравнение 3 имеет решения $$ f(x)=g(x)+k\pi $$ (конечно, нужно также исключить значения $x$, которые делают $\tan f(x)$ или $\tan g(x)$ неопределенными).
Два угла имеют одинаковый косинус тогда и только тогда, когда точки на единичной окружности, которым они соответствуют, имеют одинаковую координату $x$; два угла имеют одинаковый синус тогда и только тогда, когда точки единичной окружности имеют одинаковую координату $y$. Член $2k\pi$ или $k\pi$, где $k$ — целое число, представляет периодичность.
Как насчет уравнения вида $\sin f(x)=\cos g(x)$? Мы можем вспомнить, что $\sin\alpha=\cos(\pi/2-\alpha)$, поэтому мы можем сократить его до $$ \cos\left(\frac{\pi}{2}-f(x)\right)=\cosg(x) $$ который является типом 1 выше.
Аналогично, $\cot f(x)=\tan g(x)$ может стать
$$
\ tan \ left (\ frac {\ pi} {2} -f (x) \ right) = \ tan g (x)
$$
то есть тип 3 выше.
$\endgroup$
1
| 1 | Найти точное значение | грех(30) | |
| 2 | Найти точное значение | грех(45) | |
| 3 | Найти точное значение | грех(30 градусов) | |
| 4 | Найти точное значение | грех(60 градусов) | |
| 5 | Найти точное значение | загар(30 градусов) | |
| 6 | Найти точное значение | угловой синус(-1) | |
| 7 | Найти точное значение | грех(пи/6) | |
| 8 | Найти точное значение | cos(pi/4) | |
| 9 | Найти точное значение | грех(45 градусов) | |
| 10 | Найти точное значение | грех(пи/3) | |
| 11 | Найти точное значение | арктический(-1) | |
| 12 | Найти точное значение | cos(45 градусов) | |
| 13 | Найти точное значение | cos(30 градусов) | |
| 14 | Найти точное значение | желтовато-коричневый(60) | |
| 15 | Найти точное значение | csc(45 градусов) | |
| 16 | Найти точное значение | загар(60 градусов) | |
| 17 | Найти точное значение | сек(30 градусов) | |
| 18 | Найти точное значение | cos(60 градусов) | |
| 19 | Найти точное значение | соз(150) | |
| 20 | Найти точное значение | грех(60) | |
| 21 | Найти точное значение | cos(pi/2) | |
| 22 | Найти точное значение | загар(45 градусов) | |
| 23 | Найти точное значение | arctan(- квадратный корень из 3) | |
| 24 | Найти точное значение | csc(60 градусов) | |
| 25 | Найти точное значение | сек(45 градусов) | |
| 26 | Найти точное значение | csc(30 градусов) | |
| 27 | Найти точное значение | грех(0) | |
| 28 | Найти точное значение | грех(120) | |
| 29 | Найти точное значение | соз(90) | |
| 30 | Преобразовать из радианов в градусы | пи/3 | |
| 31 | Найти точное значение | желтовато-коричневый(30) | |
| 32 | Преобразование градусов в радианы 92 | ||
| 35 | Преобразовать из радианов в градусы | пи/6 | |
| 36 | Найти точное значение | детская кроватка(30 градусов) | |
| 37 | Найти точное значение | арккос(-1) | |
| 38 | Найти точное значение | арктический(0) | |
| 39 | Найти точное значение | детская кроватка(60 градусов) | |
| 40 | Преобразование градусов в радианы | 30 | |
| 41 | Преобразовать из радианов в градусы | (2 шт. )/3 | |
| 42 | Найти точное значение | sin((5pi)/3) | |
| 43 | Найти точное значение | sin((3pi)/4) | |
| 44 | Найти точное значение | желтовато-коричневый (пи/2) | |
| 45 | Найти точное значение | грех(300) | |
| 46 | Найти точное значение | соз(30) | |
| 47 | Найти точное значение | соз(60) | |
| 48 | Найти точное значение | соз(0) | |
| 49 | Найти точное значение | соз(135) | |
| 50 | Найти точное значение | cos((5pi)/3) | |
| 51 | Найти точное значение | соз(210) | |
| 52 | Найти точное значение | сек(60 градусов) | |
| 53 | Найти точное значение | грех(300 градусов) | |
| 54 | Преобразование градусов в радианы | 135 | |
| 55 | Преобразование градусов в радианы | 150 | |
| 56 | Преобразовать из радианов в градусы | (5 дюймов)/6 | |
| 57 | Преобразовать из радианов в градусы | (5 дюймов)/3 | |
| 58 | Преобразование градусов в радианы | 89 градусов | |
| 59 | Преобразование градусов в радианы | 60 | |
| 60 | Найти точное значение | грех(135 градусов) | |
| 61 | Найти точное значение | грех(150) | |
| 62 | Найти точное значение | грех(240 градусов) | |
| 63 | Найти точное значение | детская кроватка(45 градусов) | |
| 64 | Преобразовать из радианов в градусы | (5 дюймов)/4 | |
| 65 | Найти точное значение | грех(225) | |
| 66 | Найти точное значение | грех(240) | |
| 67 | Найти точное значение | cos(150 градусов) | |
| 68 | Найти точное значение | желтовато-коричневый(45) | |
| 69 | Оценить | грех(30 градусов) | |
| 70 | Найти точное значение | сек(0) | |
| 71 | Найти точное значение | cos((5pi)/6) | |
| 72 | Найти точное значение | КСК(30) | |
| 73 | Найти точное значение | arcsin(( квадратный корень из 2)/2) | |
| 74 | Найти точное значение | желтовато-коричневый ((5pi)/3) | |
| 75 | Найти точное значение | желтовато-коричневый(0) | |
| 76 | Оценить | грех(60 градусов) | |
| 77 | Найти точное значение | arctan(-(квадратный корень из 3)/3) | |
| 78 | Преобразовать из радианов в градусы | (3 шт. |