тригонометрия — Аксиоматическое определение sin и cos?
спросил
Изменено 5 месяцев назад
Просмотрено 4к раз
$\begingroup$
Я ищу возможность определить sin / cos с помощью алгебраических соотношений, не прибегая к степенным рядам, интегралам, дифференциальным уравнениям и геометрической интуиции. 92}} = \arcsin x$$
PS В книге Вальтера Рудина «Принципы математического анализа» sin и cos введены через степенные ряды.
В книге Соломона Фефермана «Системы счисления: основы алгебры и анализа» я вижу систему, полученную из интегрального определения.
- тригонометрия
- аксиомы
10
$\begingroup$
Процитирую мой предыдущий ответ:
Робисон, «Новый подход к круговым функциям, π и lim sin(x)/x», Math.
Маг. 41.2 (март 1968 г.), 66–70 [jstor].
В этой статье показано, что закон сложения для косинуса (и пара других простых предположений) однозначно определяет косинус и синус.
(Это статья, которую я чаще всего цитирую на StackExchange.)
Если у вас нет доступа к jstor (и вы не хотите подписываться на их бесплатную сделку по 3 статьям за раз), вы могли бы попробовать этот другой мой ответ на тесно связанный вопрос о возведении в степень, в котором я адаптировал доказательство Робисона, чтобы дать следующую функциональную характеристику синуса и косинуса:0005
Предложение 1. Предположим, что $C,S\colon\mathbb R\to\mathbb R$ удовлетворяют следующим условиям:
- $C$ и $S$ непрерывны;
- $C(u-v) = C(u)C(v)+S(u)S(v)$ для всех $u,v\in\mathbb R$;
- $S(u-v) = S(u)C(v)-C(u)S(v)$ для всех $u,v\in\mathbb R$;
- $C$ и $S$ не равны тождественно нулю.
Тогда существует $\lambda\in\mathbb R$ такое, что
$$ C(u) = \cos(\lambda u) \quad\text{and}\quad S(u) = \sin(\lambda u) \text{ .
x-1}{x} = 1$.)
$\endgroup$
4
$\begingroup$
Из того, что вы не хотите, в значительной степени остаются функциональные уравнения.
Кажется, есть система двух функциональных уравнений для синуса и косинуса: (ссылка)
$$ \Тета(х+у)=\Тета(х)\Тета(у)-\Омега(х)\Омега(у) \\ \Омега(х+у)=\Тета(х)\Омега(у)+\Омега(х)\Тета(у) $$
$\endgroup$
92}\right)&x&\in\mathbb R \end{выравнивание} Ссылка на полезный график, чтобы помочь вам увидеть, что происходит. Попробуйте изменить $r$; вы увидите, что неравенство всегда выполняется. Попробуйте изменить $p$; вы увидите, что это неравенство однозначно определяет $\pi$.$\endgroup$
4
Зарегистрируйтесь или войдите в систему
Зарегистрируйтесь с помощью Google
Зарегистрироваться через Facebook
Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль
Опубликовать как гость
Электронная почта
Обязательно, но не отображается
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но не отображается
Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie
.
Обзор функций Sin, Cos и Tan
Узнайте больше о тригонометрических функциях sin, cos и tan при решении треугольных уравнений.
© Университет Ноттингема
Введение
Тригонометрия — это исследование треугольников. В этой статье мы сосредоточимся на sin, cos и tan — трех тригонометрических функциях, которые относятся конкретно к прямоугольным треугольникам. Математически они называются синусом, косинусом и тангенсом, но сокращаются до sin, cos и tan.
SOHCATOA
Во-первых, нам нужно иметь возможность пометить каждую сторону прямоугольного треугольника:
гипотенуза всегда самая длинная сторона ; это тот самый напротив прямого угла .
Сторона , противоположная , — это сторона, которая лежит напротив угла .
Сторона , примыкающая к , — это сторона, которая примыкает к (рядом с) углом .
Если мы допустим, что O будет противоположным, A будет соседним, а H будет гипотенузой, то они сокращаются до:
Точные тригонометрические отношения для углов 0°, 30°, 45°, 60° и 90°
Тригонометрические отношения для углов 30°, 45° и 60° можно вычислить с помощью двух специальных треугольников. С помощью равностороннего треугольника разделите его на два прямоугольных треугольника. мы можем найти точные значения тригонометрических отношений 30° и 60°.
Квадрат со сторонами 1 см можно использовать для расчета точных значений тригонометрических соотношений 45°.
Точные тригонометрические соотношения для 0°, 30°, 45°, 60° и 9о). Дана гипотенуза и нужно найти прилежащий катет. Эта формула, которая соединяет эти три:
[cos(theta)=frac{adj}{hyp}~~~~ подразумевает~~~~cos(60)=frac{x}{13}]
Использование точного значения для (cos(60)) и преобразование уравнения дает
[x=13cos(60)~~~~подразумевается~~~~x=13timesfrac{1}{2}=6,5 см.
