Cos через sin: Основные тригонометрические тождества sin, cos, tg, ctg

тригонометрия — Аксиоматическое определение sin и cos?

спросил

Изменено 5 месяцев назад

Просмотрено 4к раз

$\begingroup$

Я ищу возможность определить sin / cos с помощью алгебраических соотношений, не прибегая к степенным рядам, интегралам, дифференциальным уравнениям и геометрической интуиции. 92}} = \arcsin x$$

PS В книге Вальтера Рудина «Принципы математического анализа» sin и cos введены через степенные ряды.

В книге Соломона Фефермана «Системы счисления: основы алгебры и анализа» я вижу систему, полученную из интегрального определения.

  • тригонометрия
  • аксиомы

$\endgroup$

10

$\begingroup$

Процитирую мой предыдущий ответ:

Робисон, «Новый подход к круговым функциям, π и lim sin(x)/x», Math. Маг. 41.2 (март 1968 г.), 66–70 [jstor].

В этой статье показано, что закон сложения для косинуса (и пара других простых предположений) однозначно определяет косинус и синус.

(Это статья, которую я чаще всего цитирую на StackExchange.)

Если у вас нет доступа к jstor (и вы не хотите подписываться на их бесплатную сделку по 3 статьям за раз), вы могли бы попробовать этот другой мой ответ на тесно связанный вопрос о возведении в степень, в котором я адаптировал доказательство Робисона, чтобы дать следующую функциональную характеристику синуса и косинуса:0005

Предложение 1. Предположим, что $C,S\colon\mathbb R\to\mathbb R$ удовлетворяют следующим условиям:

  1. $C$ и $S$ непрерывны;
  2. $C(u-v) = C(u)C(v)+S(u)S(v)$ для всех $u,v\in\mathbb R$;
  3. $S(u-v) = S(u)C(v)-C(u)S(v)$ для всех $u,v\in\mathbb R$;
  4. $C$ и $S$ не равны тождественно нулю.

Тогда существует $\lambda\in\mathbb R$ такое, что

$$ C(u) = \cos(\lambda u) \quad\text{and}\quad S(u) = \sin(\lambda u) \text{ . x-1}{x} = 1$.)

$\endgroup$

4

$\begingroup$

Из того, что вы не хотите, в значительной степени остаются функциональные уравнения.

Кажется, есть система двух функциональных уравнений для синуса и косинуса: (ссылка)

$$ \Тета(х+у)=\Тета(х)\Тета(у)-\Омега(х)\Омега(у) \\ \Омега(х+у)=\Тета(х)\Омега(у)+\Омега(х)\Тета(у) $$

$\endgroup$

92}\right)&x&\in\mathbb R \end{выравнивание} Ссылка на полезный график, чтобы помочь вам увидеть, что происходит. Попробуйте изменить $r$; вы увидите, что неравенство всегда выполняется. Попробуйте изменить $p$; вы увидите, что это неравенство однозначно определяет $\pi$.

$\endgroup$

4

Зарегистрируйтесь или войдите в систему

Зарегистрируйтесь с помощью Google

Зарегистрироваться через Facebook

Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль

Опубликовать как гость

Электронная почта

Обязательно, но не отображается

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie

.

Обзор функций Sin, Cos и Tan

Узнайте больше о тригонометрических функциях sin, cos и tan при решении треугольных уравнений.

© Университет Ноттингема

Введение

Тригонометрия — это исследование треугольников. В этой статье мы сосредоточимся на sin, cos и tan — трех тригонометрических функциях, которые относятся конкретно к прямоугольным треугольникам. Математически они называются синусом, косинусом и тангенсом, но сокращаются до sin, cos и tan.

SOHCATOA

Во-первых, нам нужно иметь возможность пометить каждую сторону прямоугольного треугольника:

гипотенуза всегда самая длинная сторона ; это тот самый напротив прямого угла .

Сторона , противоположная , — это сторона, которая лежит напротив угла .

Сторона , примыкающая к , — это сторона, которая примыкает к (рядом с) углом .

Если мы допустим, что O будет противоположным, A будет соседним, а H будет гипотенузой, то они сокращаются до:

Точные тригонометрические отношения для углов 0°, 30°, 45°, 60° и 90°

Тригонометрические отношения для углов 30°, 45° и 60° можно вычислить с помощью двух специальных треугольников. С помощью равностороннего треугольника разделите его на два прямоугольных треугольника. мы можем найти точные значения тригонометрических отношений 30° и 60°.

Квадрат со сторонами 1 см можно использовать для расчета точных значений тригонометрических соотношений 45°.

Точные тригонометрические соотношения для 0°, 30°, 45°, 60° и 9о). Дана гипотенуза и нужно найти прилежащий катет. Эта формула, которая соединяет эти три:

[cos(theta)=frac{adj}{hyp}~~~~ подразумевает~~~~cos(60)=frac{x}{13}]

Использование точного значения для (cos(60)) и преобразование уравнения дает

[x=13cos(60)~~~~подразумевается~~~~x=13timesfrac{1}{2}=6,5 см.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *