Сумма и разность кубов двух выражений / Формулы сокращенного умножения / Алгебра / Справочник по математике 5-9 класс
- Главная
- Справочники
- Справочник по математике 5-9 класс
- Алгебра
- Формулы сокращенного умножения
- Сумма и разность кубов двух выражений
Сумма кубов двух выражений
Найдем произведение двучлена и трехчлена . Согласно правилу умножения многочлена на многочлен, получим:
Итак, мы получили тождество:
, которое называют формулой суммы кубов двух выражений.
Многочлен , стоящий в правой части, похож на многочлен , который равен квадрату разности и , поэтому многочлен называют неполным квадратом разности.
Правило:
| Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений и неполного квадрата их разности. |
Пример:
Разложите на множители многочлен .
Решение:
Используя свойства степени, представляем данный многочлен в виде суммы кубов двух выражений, получаем:
Разность кубов двух выражений
Найдем произведение двучлена и трехчлена . Согласно правилу умножения многочлена на многочлен, получим:
Итак, мы получили тождество:
, которое называют формулой разности кубов двух выражений.
Многочлен , стоящий в правой части, похож на многочлен , который равен квадрату суммы и , поэтому многочлен называют неполным квадратом суммы.
Правило:
| Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений и неполного квадрата их суммы. |
Пример:
Разложите на множители многочлен .
Решение:
Используя свойства степени, представляем данный многочлен в виде разности кубов двух выражений, получаем:
Поделись с друзьями в социальных сетях:
Советуем посмотреть:
Произведение разности и суммы двух выражений.
Разность квадратов двух выражений.
Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений
Введение в алгебру
Линейное уравнение с одной переменной
Решение задач с помощью уравнений
Тождественно равные выражения. Тождества
Степень с натуральным показателем
Свойства степени с натуральным показателем
Одночлены
Многочлены
Сложение и вычитание многочленов
Умножение одночлена на многочлен
Умножение многочлена на многочлен
Разложение многочленов на множители
Формулы сокращенного умножения
Функции
Системы линейных уравнений с двумя переменными
Алгебра
Правило встречается в следующих упражнениях:
7 класс
Номер 2, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 4, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 5, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 683, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 688, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 690, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 730, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 3, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 1198, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 1208, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
8 класс
Номер 24, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 25, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 36, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 43, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 45, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 48, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 74, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 76, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 78, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 122, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Разность квадратов — формула сокращенного умножения и примеры
Главная » 7 класс.
Алгебра. » Разность квадратов
7 класс. Алгебра.
Автор Ольга Андрющенко На чтение 6 мин. Просмотров 1.2k. Опубликовано
Как быстро умножать алгебраические выражения? Для этого есть формулы сокращенного умножения, среди них есть квадрат разности и квадрат суммы, а есть разность квадратов. Эта важная формула помогает в математике упрощать выражения, доказывать тождества и даже решать уравнения и неравенства — мы рассмотрим на примерах.
Формулы сокращённого умножения в математике включают и разность квадратов двух чисел. Эти формулы изучают в 7 классе по алгебре. Рассмотрим эту формулу подробнее.
Содержание
Определение разности квадратов двух чисел
Действительно, давайте выполним умножение , что и требовалось доказать. Вполне можно умножать эти две скобки именно так, как мы только что умножили — сначала первое число в первой скобке умножаем на сумму во второй скобке, потом второе число в первой скобке умножаем на выражение во второй скобке, затем преобразуем, и только потом получим что произведение равно .
Формула относится к формулам сокращенного умножения, то есть к таким формулам, которые позволяют производить умножение быстро, сокращенно, не тратя время на вывод и преобразования. Эту формулу надо запомнить — это ваша палочка-выручалочка на ЕГЭ — сэкономит время.
Рассмотрим, например, такое задание:
Решите уравнение
Упростим выражение слева от равенства, получим:
. Мы использовали формулу разности квадратов . Приведем подобные слагаемые в упрощенной левой части уравнения, получим:
Решим уравнение с помощью теоремы Виета (уравнение приведенное , ). Корни уравнения по теореме Виета можно найти по формулам: , .
Подходят два числа и .
Проверим: — -корень уравнения.
Проверим второй корень : .
Получили два корня: и .
Вот так «разность квадратов» помогла нам быстро решить квадратное уравнение.
Стандартная ошибка при применении формулы разности квадратов.
Пока навык использования формулы не выработан, часто делают такую ошибку: если запись идет в виде путают что из чего надо вычитать.
То ли , то ли . Чтобы не гадать — обращаем внимание на разность чисел, а у нас , а так как слагаемые могут меняться местами, то выражение можно изменить и записать и тогда решением будет . Внимание — на разность.
Например, нужно упростить . Обращаем внимание на разность, получим .
Формула может использоваться в различных алгебраических выражениях, когда надо упростить выражение, разложить на множители. Давайте теперь рассмотрим примеры, где применяется формула «разность квадратов».
Примеры выполнения заданий
Потренируемся в применении формулы разности квадратов, вот примеры выполнения типичных заданий, где применяется эта формула.
Пример 1
Разложить выражение на множители:
.
Решение: Данное выражение можно разложить на множители, используя формулу «разность квадратов»:
.
Пример 2
Решите неравенство
Решение:
В левой части неравенства можно применить формулу разности квадратов (мысленно замените выражение переменной , а переменной ):
Ответ:
Пример 3
Упростите:
Решение: .
Ответ:
Пример 4
Разложите на множители .
Решение: .
Ответ:
Пример 5
Решите уравнение: .
Решение:
или
или
и
Так как исходное уравнение шестой степени, то в ответе будет шесть корней.
Ответ: и .
( 3 оценки, среднее 5 из 5 )
Теория чисел. Можно ли выразить 2140138088471960538384538519958130596908 как сумму или разность трех пятых степеней?
спросил
Изменено 5 лет, 4 месяца назад
Просмотрено 166 раз
$\begingroup$
У меня есть большое целое число 2140138088471960538384538519958130596908 из 40 цифр.
Я ищу три пятых степени, которые при сложении или вычитании друг из друга равны этому числу. Это большое целое число сравнимо с числом 9 (по модулю 11). Любые идеи о том, как начать работу над этой проблемой?
- теория чисел
- вычислительная математика
$\endgroup$
8
$\begingroup$ 95$ на порядок меньше, так что я не слишком оптимистичен. Я искал другие решения, используя одну маленькую пятую степень, и ничего не добился.
(Можете ли вы объяснить, как вы выбрали 282508861$ и 282441633$?)
$\endgroup$
5
Зарегистрируйтесь или войдите
Зарегистрироваться через Google
Зарегистрироваться через Facebook
Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но не отображается
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но не отображается
98}) = 39$.