Дано комплексное число z требуется записать число в алгебраической форме: 1. Дано комплексное число z. Требуется : 1) записать число z в алгебраической и тригонометрической…

Содержание

Как перевести комплексное число в показательную форму

Комплексные числа

В математике кроме натуральных, рациональных и вещественных чисел имеется ещё один вид, называемый комплексными числами. Такое множество принято обозначать символом $ \mathbb $.

Рассмотрим, что из себя представляет комплексное число. Запишем его таким образом: $ z = a + ib $, в котором мнимая единица $ i = \sqrt $, числа $ a,b \in \mathbb $ вещественные.

Если положить $ b = 0 $, то комплексное число превращается в вещественное. Таким образом, можно сделать вывод, что действительные числа это частный случай комплексных и записать это в виде подмножества $ \mathbb \subset \mathbb $. К слову говоря также возможно, что $ a = 0 $.

Принято записывать мнимую часть комплексного числа как $ Im(z) = b $, а действительную $ Re(z) = a $.

Введем понятие комплексно-сопряженных чисел. К каждому комплексному числу $ z = a+ib $ существует такое, что $ \overline = a-ib $, которое и называется сопряженным. $
Тригонометрическая $ z = |z|\cdot(\cos(\varphi)+i\sin(\varphi)) $
Далее с примерами решений вы узнаете как переводить комплексные числа из одной формы в другую путем несложных действий в обе стороны.
Изображение
Изучение выше мы начали с алгебраической формы. Так как она является основополагающей. Чтобы было понятно в этой же форме изобразим комплексное число на плоскости:
Видим, что $ a,b \in \mathbb $ расположены на соответствующих осях плоскости.
Комплексное число $ z = a+ib $ представляется в виде вектора $ \overline $.
Аргумент обозначается $ \varphi $.
Модуль $ |z| $ равняется длине вектора $ \overline $ и находится по формуле $ |z| = \sqrt $
Аргумент комплексного числа $ \varphi $ нужно находить по различным формулам в зависимости от полуплоскости, в которой лежит само число.
$ a>0 $, то $ \varphi = arctg\frac$
$ a<0, b>0 $, то $ \varphi = \pi + arctg\frac$
$ a<0, b<0 $, то $ \varphi = -\pi + arctg\frac$
Операции
Над комплексными числами можно проводить различные операции, а именно:
Складывать и вычитать
Умножать и делить
Извлекать корни и возводить в степень
Переводить из одной формы в другую
Для нахождения суммы и разности складывается и вычитаются только соответствующие друг другу члены. n(\cos n\varphi+i\sin n\varphi) $$
Для извлечения корней необходимо также воспользоваться формулой Муавра:
Так же теория комплексных чисел помогает находить корни многочленов. Например, в квадратном уравнении, если $ D<0 $, то вещественных корней нет, но есть комплексные. В последнем примере рассмотрен данный случай.
Рассмотрим на практике комплексные числа: примеры с решением.
Примеры с решением
Для начала приступим к нахождению модуля комплексного числа:
Осталось найти аргумент:
Теперь составляем тригонометрическую запись комплексного числа, указанного в условии примера:
Тут же можно записать показательную форму:
Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!
Вычислить сумму и разность заданных комплексных чисел:
$$ z_1 = 3+i, z_2 = 5-2i $$
Сначала выполним сложение. 2 — 4\cdot 1 \cdot 2 = 4-8 = -4 $$
Получили, что $ D=-4<0 $ и казалось бы, что решение можно заканчивать. Но нет! В нашем задании требуется решить уравнение над комплексным множеством, а то что дискриминант отрицательный означает только лишь отсутствие вещественных корней. А комплексные корни есть! Найдем их продолжив решение:
Заметим, что $ \sqrt = 2\sqrt = 2i $ и продолжим вычисление:
Получили комплексно-сопряженные корни:
$$ x_1 = -1 — i; x_2 = -1 — i $$
Как видите любой многочлен можно решить благодаря комплексным числам.
В статье «Комплексные числа: примеры с решением» было дано определение, основные понятия, формы записи, алгебраические операции и решение практических примеров.
Калькулятор преобразования формы комплексного числа
Данный калькулятор позволяет осуществлять перевод комлпексных чисел из одной формы в другую c пошаговым описанием хода решения. Например, можно перевести комплексное число из алгебраической формы записи в тригонометрическую или из экспоненциальной в алгебраическую и т. \) (произведение модуля и аргумента)
Пример:
$\mathcal z=3\mathcal i$ .
Комплексно сопряженное число в показательной форме
Если $\mathcal z=\mathcal a+\mathcal,$ то считаем, что $\overline=\mathcal a-\mathcal$ является комплексным сопряженным к числу $\mathcal z.$
Примечание:
Мнимые части отличаются знаком.
Пример:
Если $\mathcal z=5-\mathcal i$ , то комплексно сопряженным для этого числа будет $\overline=5+\mathcal i$ .
Действия над комплексными числами в показательной форме
формула перемножения
как делить
Вычитание и сложение происходит в алгебраической форме. Вычитаем и складываем действительные и мнимые части.
дано комплексное число z требуется записать число в алгебраической и … — Учеба и наука
Лучший ответ по мнению автора

13. 03.16
Лучший ответ по мнению автора
Другие ответы

13. 03.16

Елена Васильевна

Читать ответы

Вениамин Шемякин

Читать ответы

Посмотреть всех экспертов из раздела Учеба и наука > Информатика
Пользуйтесь нашим приложением
Электронное пособие по математике на тему «Комплексные числа»
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ВОРОНЕЖСКОЙ ОБЛАСТИ
«ВОРОНЕЖСКИЙ ТЕХНИКУМ СТРОИТЕЛЬНЫХ ТЕХНОЛОГИЙ»

ЭЛЕКТРОННОЕ ПОСОБИЕ

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА



Воронеж
2014

ОДОБРЕНО
Предметной (цикловой) комиссией математических и естественнонаучных дисциплин

Протокол заседания № _____
от «____» ____________2014 г.

Председатель ПЦК
____________( Шаранина Н.К.)
«____»_____________2014 г.

Составлено в соответствии с учебным планом и рабочей программой дисциплины
Математика

       Пособие предназначено для студентов 2-го курса всех специальностей техникума, изучающих тему «Комплексные числа». Материал изложен в доступной для студента техникума форме с соблюдением должной математической строгости.

Составитель: Сафонова Елена Артуровна, преподаватель ГОБУ СПО ВО           «Воронежский техникум строительных технологий»

Оглавление

    Пояснительная записка. 4
    КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
1. Развитие понятия числа. 5
     2. Основные определения и соотношения для комплексных чисел…………………………………………. 5
     3. Действия над комплексными числами в алгебраической форме………………………………………….6
УПРАЖНЕНИЯ… 7
4. Геометрическое изображение комплексных чисел. 9
5. Модуль и аргумент комплексного числа. 9
        Правило нахождения аргумента комплексного числа. 10
6. Тригонометрическая форма комплексного числа. 11
7. Правило перехода от алгебраической формы записи комплексного числа к    тригонометрической   11
7. Действия над комплексными числами в тригонометрической   форме. 12

9. Показательная форма комплексного числа. 15
    Применение комплексных чисел в расчёте физических величин. 17
ВОПРОСЫ К ЗАЧЁТУ ПО ТЕМЕ.. 18
Примерные варианты контрольной работы по теме………………………………………………………………20
    ЛИТЕРАТУРА.. 21

       Настоящее методическое пособие предназначено для студентов 2-го курса техникума всех специальностей, изучающих тему «Комплексные числа».
   Пособие представляет собой краткое изложение теоретического материала, набор практических упражнений по теме «Комплексные числа» и формулы, необходимые для их решения. Для знакомства с основными методами решения предлагаемых упражнений в пособии рассматриваются типовые примеры и их подробные решения, что способствует лучшему пониманию и усвоению учебного материала.

   Содержащийся в пособии теоретический материал может быть использован на уроке для самостоятельной работы, а также для самостоятельного изучения темы студентами дома.
    Настоящее методическое пособие также включает в себя вопросы на повторение основного материала и примерные задания, что позволит студентам в подготовке к контрольной работе и зачёту по теме.

     Простейшим числовым множеством является множество натуральных чисел
N= {1; 2; 3….}. В этом множестве всегда выполнимы сложение и умножение, т. е сумма и произведение двух натуральных чисел будут всегда числом натуральным.
       Но в этом множестве не всегда выполнимо вычитание. Например, 3-5 не является числом натуральным. Поэтому, чтобы действие вычитание было выполнимо всегда, множество натуральных чисел расширили, присоединив к нему числа целые, отрицательные и ноль. Получили множество
целых чисел Z= {…,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3; …}
    Однако в этом множестве деление осталось выполнимо не всегда. Потребовалось новое расширение множества целых чисел за счет присоединения к нему чисел дробных. Получили множество рациональных чисел Q. Это множество является настолько плотным, что даже два его рядом стоящих числа мы записать не можем.
     Но извлечение корня потребовало введения иррациональных чисел. Объединение рациональных и иррациональных чисел составило множество действительных чисел R.
     Однако извлечение корня четной степени из отрицательного числа и в этом множестве выполнить было нельзя. Для того чтобы можно было решать уравнения вида       или      были введены новые числа, которые получили название комплексных чисел.

2. Основные определения и соотношения для комплексных чисел.
ü        Число называется мнимой единицей. Следовательно .

ü        Числа вида b j, где b R называются мнимыми или чисто мнимыми.
                   Например: , , .
ü        Числа вида a+b j, где R называются комплексными.
                  Например: ; ; .
ü    Два комплексных числа a + b j и c + d j считаются равными, если равны их действительные части и коэффициенты при мнимой единице, т. е. a =c и b = d (понятия >, < для комплексных чисел нет).

ü    Комплексное число вида 0+0j называется нулевым комплексным числом.

ü    Два комплексных числа вида a + b j   и   a – b j называются сопряжёнными.
               Например:   и .
ü    Два комплексных числа вида a + b j   и —a – b j называются противоположными.
               Например:   и .
3. Действия над комплексными числами в алгебраической форме.
     Запись комплексного числа в виде называется алгебраической формой записи комплексного числа.
     Рассмотрим правила действия над комплексными числами в алгебраической форме.

     а) Сложение и вычитание комплексного числа выполняются как сложение и вычитание многочленов, т.е. раскрываются скобки и приводятся подобные слагаемые.
          Примеры:
;
.
     б) Умножение комплексного числа в алгебраической форме выполняется как умножение многочленов с последующей заменой на и приведением подобных слагаемых.
          Пример:
в) Деление.
     Чтобы выполнить деление комплексного числа нужно делимое и делитель умножить на число, сопряжённое делителю, выполнить действия и полученный в числителе результат почленно разделить на знаменатель.
          Пример:
= = = = =
       Заметим, что произведение поэтому в знаменателе результат будем находить сразу по этой формуле

           Пример:
Степени мнимой единицы.



                                                            и т. д.
           Таким образом,   .
     Чтобы подсчитать любую степень j нужно выделить из нее степень кратную 4 и остаток, а потом вычислить j в степени, равной остатку.
        Примеры.     ;
                              ;

            Произвести сложение и вычитание комплексных чисел:
           1.          5.             9
2. 6. 10
3           7. 11.
4.             8. 12.
            Произвести умножение комплексных чисел:
13              17. 21.
14. 18. 22.
15. 19. 23.
16. 20. 24.
       При выполнении умножения можно использовать формулы

Примеры:

              Выполнить действия:
25.                                                       33.
26.                                 29.                                   34.
                             30.                                35.
Выполнить действия:
36.                39.                    42.
37.                 40.                  43.
38.                 41.                44.
              Выполнить деление:
45 ;                              48.    ;                             51.    ;
46. ;                              49.    ;                            52.    ;
47. ;                               50.    ;                             53.     .
              Вычислите:
54. ; ; ; .                           57.
55.                       58.
5659.
             Выполните действия:
60.   .                63.    +                              66.
61.   –    .                  64.   —                                  67.
          62. ( ).          65.    –     68. .
              Решить квадратные уравнения:
Пример:
Решение.   Найдём дискриминант по формуле.
;      .
                      =

63.              65.                    67.
64.              66.             68.
              Найдите x и   y на основании равенства двух комплексных чисел.
Пример:   .
Решение. Из равенства комплексных чисел следует, что

69.                                         70.
71.                                    72.
73. . .                       74. .
      Комплексное число изображается на координатной плоскости точкой М(a;b)
или вектором , начало которого совпадает с началом координат, а конец –   с точкой М(a;b). Сама координатная плоскость при этом называется комплексной плоскостью, ось абсцисс – действительной осью, ось ординат – мнимой осью.
        y
        b                             M(a;b)

              r

    0                            а       x      Рис. 1.

75.   Изобразите на координатной плоскости числа: ; ;
;    ;     ; .

Определение. Модулем комплексного числа называется абсолютная величина вектора,    соответствующего этому числу.
      Модуль числа обозначается или или r.
На основании теоремы Пифагора (см. рис.1) получается формула
      Например, комплексное число имеет модуль равный 10, так как
Определение. Аргументом комплексного числа называется величина угла между положительным направлением оси Оx и вектором, соответствующим этому числу (см. рис. 1).
      Аргумент обозначается , arg z или arg
      Аргумент комплексного числа определяется неоднозначно.
Так, аргументами числа 5 являются следующие углы: ,,и вообще каждый из углов k,
      Аргументами числа 3 j – следующие углы: ; =, = (см. рис.2) и вообще каждый из углов .
      Любые два аргумента комплексного числа отличаются друг от друга на слагаемое, кратное 2.

  y

0       5         x
                    Рис. 2

1. Найти tg =
2. Найти =arctg.
3. Выяснив, в какой четверти лежит вектор, соответствующий числу, найти аргумент .
   Если     ∈ 1 четверти, то =
              ∈ 2 четверти, то —
              ∈ 3 четверти, то +
              ∈ 4 четверти, то =—

                            Примеры:
Найти модуль и аргумент комплексного числа.
             а)
                                                                           =2


= arctg=
                                                                           M (

          б)
                                                                       =2

                                                                     tg =

                                             = arctg =,   M (
                                                 =

                                                                      в)


                                                                      tg = = arctg
                                                                       =
                                                               (

        Пусть дано комплексное число . Из ОМА можно выразить действительные числа а и b через модуль r и аргумент числа z следующим образом:

b                             M (a;b)




        Таким образом, комплексное число можно записать в виде ( где r – модуль комплексного числа,    — один из его аргументов.

        Представление комплексного числа z в виде z= r ( называется тригонометрической формой записи комплексного числа.

     Для того чтобы перейти от алгебраической формы записи к тригонометрической нужно:
1. Найти модуль комплексного числа по формуле: r
2. Найти один из аргументов комплексного числа, пользуясь правилом нахождения аргумента.
3. Записать комплексное число в тригонометрической форме.
Пример. Записать число в тригонометрической форме.
Решение:
1.   r =
2.   tg = = arctg,    =
3.   z = 2(
Замечание
        Модули и аргументы действительных чисел и чисто мнимых чисел надо находить непосредственно исходя из их геометрического изображения, а не используя приведенное выше правило (тем более, что для чисто мнимых чисел это правило вообще нельзя применять).

Например:
1.         , значит M(Тогда = 4(
2. z = 2j,      значит M(      Тогда   = 2(

     Чтобы перейти от тригонометрической формы записи обратно к алгебраической форме нужно найти значения sin и cos при данном аргументе и умножить на модуль.
     Например:

1. Умножение.
Пусть r₁ ()
           (
Тогда z₁* z₂ = r₁* r₂ ()
         Таким образом, при умножении комплексных чисел в тригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы складываются.
     Примеры:
           , =

     Решение.

2. Деление.
Таким образом, при делении комплексных чисел модуль частного равен частному модулей делимого и делителя, а аргумент – разности их аргументов.

      Пример:
( ,
(

3. Возведение в степень.
– это формула Муавра.
      Таким образом, при возведении комплексного числа в степень нужно его модуль возвести в данную степень, а аргумент умножить на показатель степени.
      Пример:
(
4. Извлечение корня из комплексного числа.
   (

      Пример:
(

        При k = 0, 1, 2, 3 получим
z₀=3()
z₁=3(
z₂=3(
z₃=3(


УПРАЖНЕНИЯ

     Изобразить на плоскости числа:
51.                            54. ;                        57.
52. ;                       55.                  58.
53.                   56.                      59.
Записать в тригонометрической форме комплексные числа:
57. .                        58. 59.             60.
      61. 2;             62.                     63.                 64. .
Найти произведение комплексных чисел и
     65. =2(.
     66. = (
     67. =0,6(

Найти частное комплексных чисел и :
     68. =0,6(
     69. =3(

     70. Найти:
     71. Вычислить: .
72. Найти: .
Найти произведения:
73. 2(
74. .
75. 3(
76.
     Вычислить, пользуясь формулой Муавра:
77.                       84.
78.                       85.
79. (                           86.
     80.                                   87.
81. (                     88. (
82.                                89.
83.                    90.
    Найти частное чисел:
91. 4(
92. 3(
     93. 4(

Выполните действия в тригонометрической форме:

94. .         95. .         96. .

9. Показательная форма комплексного числа.

     Показательная форма комплексного числа – это запись комплексного числа в виде

      Например:       .

      Действия над комплексными числами в показательной форме выполняются по правилам действия над степенями с общим основанием.

       Пусть Тогда

Примеры:

.

Деление

.

УПРАЖНЕНИЯ
Пример 1. Записать число z = 3( в показательной форме.
Решение. Из заданной тригонометрической формы устанавливаем, что Подставив эти значения в показательную форму получим .
Пример 2. Записать число в тригонометрической и показательной   формах.
Решение. Чтобы представить число в виде (  и , нужно найти модуль и аргумент числа z.
так как точка М(0;-5), соответствующая данному числу, находится на оси Оу. Получим     и

Пример 3. Записать число j в тригонометрической и показательной формах.
Решение.   1. Найдём модуль
                  2. Найдём аргумент
, тогда
Точка M( находится в 4 четверти, поэтому
Тогда тригонометрическая форма и показательная
Записать комплексные числа в тригонометрической и показательной формах:
97.                                           98.                                       99.
100. j.                                 101.                                 102.
Записать комплексные числа в показательной форме:
103. .                              104.
105. .                       106.
Записать комплексные числа в тригонометрической форме:
107.                           108. .                           109.
110.                                111.                                112. .
Выполнить действия:
113. Найти , если
114. Найти    , если ,
115. Найти
116. Найти   ,   если
117. Найти   , если
118. Найти

     Так как комплексные числа геометрически представляются векторами на плоскости, то все векторные физические величины могут быть охарактеризованы при помощи комплексных чисел. Представление векторных физических величин комплексными числами облегчает выполнение расчётов этих величин. При этом действия над векторами, которые выполняются графическим путём, заменяются соответствующими действиями над комплексными числами, которые выполняются аналитически, что значительно проще. Кроме того, комплексные числа могут быть взяты в алгебраической, тригонометрической и показательной формах в зависимости от конкретного случая.

     Особенно широкое применение комплексные числа получили в электротехнике при расчёте электрических цепей.

     Заметим, что в электротехнике мнимая единица i обозначается буквой j , так как буквой i традиционно обозначается сила тока в цепи.
     Рассмотрим пример. На рис. 1 дана векторная диаграмма неразветвлённой цепи переменного тока.
                y              М                               Пусть вектор представляет
                                                             вектор напряжения , модуль которого
                                                        В, вектор представляет
                        60                                вектор напряжения модуль
                                                              которого   Тогда
                0      -90                 x
                                                                 Также
               N
                                                                     Если электрическая цепь составлена из двух последовательно включённых участков с напряжениями,
то на зажимах будем иметь напряжение
.

     Аналогично применяются комплексные числа при выражении других характеристик электрических цепей.

     Заметим, что в электротехнике модуль вектор напряжения называется просто напряжением и обозначается через , а соответствующее этому вектору комплексное число называется комплексом напряжения и обозначается (ставится точка над символом).

1. Что называется мнимой единицей? Какое число называется чисто мнимым? Приведите примеры.

2. Определение комплексного числа. Какие комплексные числа называются сопряжёнными, а какие противоположными? Какие два комплексных числа считаются равными? Приведите примеры.

3. Степени мнимой единицы. Правило вычисления любой степени мнимой единицы. Приведите примеры.

3. Действия над комплексными числами в алгебраической форме: сложение и вычитание, умножение, деление. Приведите примеры.

4. Геометрическое изображение комплексных чисел.
    Изобразите геометрически числа:   а)

5. Что такое модуль комплексного числа? Как он находится?

6. Что называется аргументом комплексного числа? Как понимать, что аргумент определяется неоднозначно? Какой алгоритм нахождения аргумента комплексного числа?

7. Какова тригонометрическая форма записи комплексного числа? Правило перехода от алгебраической формы записи к тригонометрической и обратно.

8. Как выполняется умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме? Выполните умножение и деление двух комплексных чисел:
= 6(  и

9. Как выполняется возведение в степень и извлечение корня из комплексного числа в тригонометрической форме?
Выполните действия: а) ; б) .

10. Какова показательная форма записи комплексного числа? Как перейти от алгебраической формы к показательной и обратно?

11. По каким правилам выполняются действия над комплексными числами в показательной форме?

ПРИМЕНРНЫЕ ВАРИАНТЫ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ
ПО ТЕМЕ «КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА»

Вариант 1
1.    Выполнить действия:
                а)
                б) .
2. Запишите в алгебраической, тригонометрической и показательной                                    формах число, соответствующее точке В(3;-).
3. Изобразите геометрически комплексные числа и найдите их сумму и разность:



4. Решите уравнения: а)

Вариант 2
2.   Выполнить действия:
                а)
                б) .
2. Запишите в алгебраической, тригонометрической и показательной                                    формах число, соответствующее точке A(;).
3. Изобразите геометрически комплексные числа и найдите их сумму и разность:

                .

4. Решите уравнения: а)

1.     Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: Учеб. пособие для техникумов. — М.: Высш. школа, 1981.
2.     Валуцэ И.И., Дилигул Г.Д. Математика для техникумов на базе средней школы. – М.:Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1980. – 496 с.
3.     Кутепов А. К., Рубанова А. Т. Задачник по алгебре и элементарным функциям. Учебное пособие для средних специальных учебных заведений. – М., «Высшая школа», 1969.
4.     Лисичкин В. Т., Соловейчик И. Л. Математика в задачах с решениями: Учебное пособие. – М.: «Высшая школа», 2012.

Дифференциальные уравнения, ряды, производные, комплексные числа
Задачи контрольной работы
Найти решение задачи Коши.

Решение
Данное уравнение является линейным, так как оно содержит искомую функцию и её производную в первой степени и не содержит их произведений.
Применяем подстановку , где и — некоторые неизвестные функции аргумента . Если , то и данное уравнение примет вид , или . (1)
Так как искомая функция представлена в виде произведения двух других неизвестных функций, то одну из них можно выбрать произвольно. Выберем функцию так, чтобы выражение, стоящее в круглых скобках левой части равенства (1), обращалось в нуль, т. е. выберем функцию так, чтобы имело место равенство (2)
При таком выборе функции уравнение (1) примет вид . (3)
Уравнение (2) есть уравнение с разделяющимися переменными относительно и . Решим это уравнение:
; ; ;; , .
Чтобы равенство (2) имело место, достаточно найти одно какое – либо частное решение, удовлетворяющее этому уравнению. Поэтому для простоты при интегрировании этого уравнения находим то частное решение, которое соответствует значению произвольной постоянной С=0. Подставив в (3) найденное выражение для , получим: ; ; ; .
Интегрируя, получаем . Тогда — общее решение данного уравнения.
Используем начальное условие , Тогда
Окончательно получим:
Ответ:

Найти общее решение дифференциального уравнения.

Решение
Общее решение данного уравнения имеет вид: .
Найдём . Для этого решим соответствующее однородное уравнение . Составляем характеристическое уравнение: . Корнями этого уравнения являются и . Т. к. решения действительные числа, то .
Теперь найдём . Правая часть . Тогда .
Найдём производные первого и второго порядка от .
, .
Подставим в исходное уравнение , и . Тогда
Или
Далее приравниваем коэффициенты при соответствующих подобных слагаемых и получаем систему уравнений:
Тогда .
Следовательно, общее решение исходного уравнения: .

Дан степенной ряд Написать первые три члена ряда, найти интервал сходимости ряда и выяснить вопрос о сходимости ряда на концах интервала. Числа А, B и K даны.
Решение
Имеем
Для нахождения интервала сходимости применим признак Даламбера для соответствующего положительного ряда (в интервале сходимости степенной ряд сходится абсолютно). Имеем,
По признаку Даламбера ряд сходится, если и расходится, если . Значит интервалом сходимости служит или или .
Исследуем сходимость ряда на концах интервала. Пусть , тогда получаем ряд — знакочередующийся ряд сходится по признаку Лейбница (общий член монотонно стремится к нулю).
Пусть теперь , тогда получаем ряд . Исследуем его сходимость с помощью интегрального признака. Для этого исследуем на сходимость несобственный интеграл . Так как несобственный интеграл расходится, то и ряд расходится.
Ответ: область сходимости ряда:
Найти четыре члена разложения функции в ряд Маклорена.

Решение
Запишем данную функцию в виде: .
Используем стандартное разложение для функции
. Тогда
. Подставив в данную функцию получим:
Ответ:
При указанных начальных условиях найти три первых, отличных от нуля члена разложения в степенной ряд функции являющейся решением заданного дифференциального уравнения.

Решение
Будем искать частное решение уравнения в виде ряда:
(4)
Непосредственно из уравнения найдем: .
Дифференцируя последовательно обе части уравнения и полагая X = 0 в полученных равенствах, будем иметь:.
Подставляя в ряд (4) найденные значения получим:
.
Найти частные производные второго порядка

Решение
Найдём частные производные:
,
Тогда частные производные второго порядка
Найти полный дифференциал функции

Решение
Найдём частные производные: ,
Следовательно, полный дифференциал первого порядка есть
Исследовать на экстремум функцию

Решение
Находим стационарные точки заданной функции: .
Решение системы дает
Следовательно, данная функция имеет только одну стационарную точку.
Находим частные производные второго порядка и их значения в найденной стационарной точке:
.
Как видно, частные производные второго порядка не содержат Х И Y, Они постоянны в любой точке и, в частности, в точке . Имеем А=2; В=-1; С=2.
.
Так как и А>0, то в точке данная функция имеет миниимум: .
Ответ:
Дано комплексное число z. Требуется: 1) записать число z в алгебраической, тригонометрической и показательной формах, 2) вычислить значение , ответ записать в показательной и алгебраической формах.

.
Решение
1) Домножим это число на в числителе и знаменателе:
― это алгебраическая форма
Найдём модуль комплексного числа:
Найдём аргумент для тригонометрического представления комплексного числа:
Следовательно, — тригонометрическая форма
— показательная форма.
2) Вычислим значение ,
Для этого найдём тригонометрическую форму числа
Найдём модуль комплексного числа:
Найдём аргумент для тригонометрического представления комплексного числа:
Следовательно, — тригонометрическая форма
Используя правило умножения комплексных чисел в тригонометрической форме получим
Тогда
Показательная форма
Алгебраическая форма
< Предыдущая Следующая >
комплексных чисел | Алгебра и тригонометрия
Цели обучения
В этом разделе вы будете:
Складывать и вычитать комплексные числа.
Умножать и делить комплексные числа.
Упростите степени [latex]i[/latex].
Рисунок 1.
Обнаруженное Бенуа Мандельбротом примерно в 1980 году, множество Мандельброта является одним из самых узнаваемых фрактальных изображений. Изображение построено на теории самоподобия и операции итерации. Увеличение фрактального изображения преподносит много сюрпризов, особенно высокий уровень повторения деталей, появляющийся при увеличении увеличения. Уравнение, порождающее это изображение, оказывается довольно простым.
Чтобы лучше понять это, нам нужно ознакомиться с новым набором чисел. Имейте в виду, что изучение математики постоянно опирается на себя. Отрицательные целые числа, например, заполняют пустоту, оставленную набором положительных целых чисел. Множество рациональных чисел, в свою очередь, заполняет пустоту, оставленную множеством целых чисел. Множество действительных чисел заполняет пустоту, оставленную множеством рациональных чисел. Неудивительно, что множество действительных чисел также имеет пустоты. В этом разделе мы рассмотрим набор чисел, который заполняет пустоты в наборе действительных чисел, и узнаем, как с ним работать.
Выражение квадратных корней из отрицательных чисел в виде кратных [latex]\,i[/latex]
Мы знаем, как найти квадратный корень из любого положительного действительного числа. Аналогичным образом мы можем найти квадратный корень из любого отрицательного числа. Отличие в том, что рут не настоящий. Если значение подкоренной черты отрицательное, корень называется мнимым числом . Мнимое число[латекс]\,i\,[/латекс] определяется как квадратный корень из [латекс]\,-1.[/латекс]
[латекс]\sqrt{-1}=i[/ латекс] 9{2}=-1[/latex]
Мы можем записать квадратный корень из любого отрицательного числа как кратное [latex]\,i.\,[/latex]Рассмотрим квадратный корень из [latex]\,- 49.[/latex]
[латекс]\begin{array}{ccc}\hfill \sqrt{-49}& =& \hfill \sqrt{49\cdot \left(-1\right)}\\ & =& \sqrt{49}\sqrt{-1}\hfill \\ & =& 7i\hfill \end{array}[/latex]
Мы используем [latex]\,7i\,[/latex], а не [латекс]\,-7i\,[/латекс], потому что главный корень [латекс]\,49\,[/латекс] является положительным корнем.
Комплексное число — это сумма действительного числа и мнимого числа. Комплексное число выражается в стандартной форме при записи [латекс]\,а+би\,[/латекс], где [латекс]\,а\,[/латекс] — действительная часть, а [латекс]\,b\, [/latex] — мнимая часть. Например, [латекс]\,5+2i\,[/латекс] — комплексное число. Так же и is[latex]\,3+4i\sqrt{3}.[/latex]
Мнимые числа отличаются от действительных чисел тем, что квадрат мнимого числа дает отрицательное действительное число. Напомним, что при возведении в квадрат положительного действительного числа результатом является положительное действительное число, а при возведении в квадрат отрицательного действительного числа результатом также является положительное действительное число. Комплексные числа состоят из действительных и мнимых чисел.
Мнимые и комплексные числа
Комплексное число — это число вида [латекс]\,а+би\,[/латекс], где
[латекс]а\,[/латекс] — действительная часть комплексное число.
[латекс]b\,[/латекс] — мнимая часть комплексного числа.
Если[латекс]\,b=0,[/латекс],то[латекс]\,а+би\,[/латекс]является действительным числом. Если [латекс]\,а=0\,[/латекс]и[латекс]\,b\,[/латекс]не равно 0, комплексное число называется чисто мнимым числом. Мнимое число – это четный корень из отрицательного числа.
How To
Имея мнимое число, представьте его в стандартной форме комплексного числа.
Написать[латекс]\,\sqrt{-a}\,[/latex]как[латекс]\,\sqrt{a}\sqrt{-1}.[/latex]
Экспресс[латекс]\,\sqrt{-1}\,[/латекс]как[латекс]\,я.\,[/латекс]
Напишите [латекс]\,\sqrt{a}\cdot i\,[/латекс] в простейшей форме.
Выражение мнимого числа в стандартной форме
Выразите[latex]\,\sqrt{-9}\,[/latex]в стандартной форме.
Показать решение
Попробуйте
Express[latex]\,\sqrt{-24}\,[/latex]в стандартной форме.
Показать решение
Нанесение комплексного числа на комплексную плоскость
Мы не можем наносить на числовую прямую комплексные числа, как настоящие числа. Однако мы все еще можем представить их графически. Чтобы представить комплексное число, нам нужно обратиться к двум компонентам числа. Мы используем комплексную плоскость, которая представляет собой систему координат, в которой горизонтальная ось представляет действительную составляющую, а вертикальная ось представляет мнимую составляющую. Комплексные числа — это точки на плоскости, выраженные в виде упорядоченных пар [латекс]\,\слева (а,б\справа),[/латекс], где [латекс]\,а\,[/латекс] представляет собой координату для горизонтальная ось, а [латекс]\,b\,[/латекс] представляет собой координату вертикальной оси.
Рассмотрим число[латекс]\,-2+3i.\,[/латекс]Действительная часть комплексного числа равна [латекс]\,-2\,[/латекс], а мнимая часть равна 3. Мы строим упорядоченную пару [латекс]\,\левый(-2,3\правый)\,[/латекс] для представления комплексного числа[латекс]\,-2+3i,[/латекс], как показано на (рис. ) .
Рис. 2.
Сложная плоскость
На комплексной плоскости горизонтальная ось является реальной осью, а вертикальная ось — мнимой осью, как показано на (Рисунок).
Рис. 3.
Как
Для заданного комплексного числа представить его компоненты на комплексной плоскости.
Определите действительную и мнимую части комплексного числа.
Перемещайтесь по горизонтальной оси, чтобы показать действительную часть числа.
Перемещение параллельно вертикальной оси для отображения мнимой части числа.
Нанесите точку.
Нанесение комплексного числа на комплексную плоскость
Нанесите комплексное число[latex]\,3-4i\,[/latex] на комплексную плоскость.
Показать решение
Попробуйте
Нанесите комплексное число[латекс]\,-4-i\,[/латекс] на комплексную плоскость.
Показать решение
Сложение и вычитание комплексных чисел
Как и с действительными числами, мы можем выполнять арифметические операции над комплексными числами. Чтобы сложить или вычесть комплексные числа, мы объединяем действительные части, а затем объединяем мнимые части.
Комплексные числа: сложение и вычитание
Добавление комплексных чисел:
[латекс]\влево(а+би\вправо)+\влево(с+ди\вправо)=\влево(а+с\вправо)+\влево(b+d\вправо) i[/latex]
Вычитание комплексных чисел:
[латекс]\left(a+bi\right)-\left(c+di\right)=\left(a-c\right)+\left(b-d\right) )i[/latex]
How To
Даны два комплексных числа, найдите их сумму или разность.
Определите действительную и мнимую части каждого числа.
Добавить или вычесть действительные части.
Сложить или вычесть мнимые части.
Сложение и вычитание комплексных чисел
Сложение или вычитание, как указано.
[латекс]\влево(3-4i\вправо)+\влево(2+5i\вправо)[/латекс]
[латекс]\влево(-5+7i\вправо)-\влево(-11+2i\вправо)[/латекс]
Показать решение
Попробуйте
Вычтите [латекс]\,2+5i\,[/латекс]из [латекс]\,3–4i. [/латекс]
Показать решение
Умножение комплексных чисел
Умножение комплексных чисел очень похоже на умножение двучленов. Основное отличие состоит в том, что мы работаем с реальной и мнимой частями отдельно.
Умножение комплексного числа на вещественное число
Начнем с умножения комплексного числа на действительное число. Мы распределяем действительное число так же, как и биномиальное. Рассмотрим, например, [латекс]\,3\влево(6+2i\вправо)[/латекс]:
Как сделать
Учитывая комплексное и действительное число, умножьте их, чтобы найти произведение.
Использовать свойство дистрибутива.
Упростить.
Умножение комплексного числа на действительное число
Найти продукт[латекс]\,4\левый(2+5i\правый).[/латекс]
Показать решение
Попробуйте
Найдите продукт:[латекс]\,\frac{1}{2}\left(5-2i\right). {2},[/латекс] он равен [латекс]\,-1.[/латекс] 9{2}=-1.[/латекс]
Сгруппируйте вместе действительные и мнимые члены
Умножение комплексного числа на комплексное число
Умножение: [латекс]\,\влево(4+3i\вправо)\влево(2-5i\вправо).[/латекс]
Показать решение
Попробуйте
Умножить:[латекс]\,\влево(3-4i\вправо)\влево(2+3i\вправо).[/латекс]
Показать решение
Деление комплексных чисел
Деление двух комплексных чисел сложнее, чем сложение, вычитание или умножение, потому что мы не можем делить на мнимое число, а это означает, что любая дробь должна иметь знаменатель действительного числа, чтобы записать ответ в стандартной форме[латекс ]\,a+bi.\,[/latex]Нам нужно найти член, на который мы можем умножить числитель и знаменатель, который исключит мнимую часть знаменателя, чтобы мы получили действительное число в качестве знаменателя . Этот член называется комплексно-сопряженным знаменателем, который находится при изменении знака мнимой части комплексного числа. Другими словами, комплексное сопряжение [латекс]\,а+би\,[/латекс] равно [латекс]\,а-би.\,[/латекс]Например, произведение [латекс]\,а +bi\,[/latex] и [латекс]\,a-bi\,[/latex] равно 9{2}\hfill \end{массив}[/latex]
Результатом является действительное число.
Обратите внимание, что комплексные сопряжения имеют обратную связь: комплексное сопряжение [латекс]\,а+би\,[/латекс]является [латекс]\,а-би,[/латекс], а комплексное сопряжение [латекс ]\,a-bi\,[/latex]is[latex]\,a+bi.\,[/latex] Далее, когда квадратное уравнение с действительными коэффициентами имеет комплексные решения, решения всегда комплексно сопряжены друг другу .
Предположим, мы хотим разделить [латекс]\,с+ди\,[/латекс] на [латекс]\,а+би,[/латекс], где ни [латекс]\,а\,[/латекс]ни [латекс]\,b\,[/латекс] равно нулю. Сначала запишем деление в виде дроби, затем найдем комплексно-сопряженную часть знаменателя и умножим. 9{2}}\hfill \end{array}[/latex]
Комплексное сопряжение
Комплексно-сопряженное число комплексного числа[латекс]\,а+би\,[/латекс]является[латекс]\,а -bi. \,[/latex]Оно находится при смене знака мнимой части комплексного числа. Действительная часть числа остается неизменной.
Когда комплексное число умножается на его комплексно-сопряженное, результатом является действительное число.
Когда комплексное число добавляется к его комплексно-сопряженному, результатом является действительное число.
Нахождение комплексно-сопряженных чисел
Нахождение комплексно-сопряженных чисел каждого числа.
[латекс]2+i\sqrt{5}[/латекс]
[латекс]-\frac{1}{2}i[/латекс]
Показать решение
Анализ
Хотя мы видели, что мы можем найти комплексно-сопряженные числа мнимого числа, на практике мы обычно находим комплексно-сопряженные только комплексные числа с вещественной и мнимой компонентами. Чтобы получить действительное число из мнимого, мы можем просто умножить на[latex]\,i.[/latex]
Попробуйте
Найдите комплексно-сопряженное число [латекс]\,-3+4i. [/латекс]
Показать решение
Как сделать
Даны два комплексных числа, разделите одно на другое.
Запишите задачу деления в виде дроби.
Определите комплексное сопряжение знаменателя.
Умножить числитель и знаменатель дроби на комплексное сопряжение знаменателя.
Упростить.
Деление комплексных чисел 9{19}[/латекс]
Каждый из них в конечном итоге приведет к ответу, который мы получили выше, но может потребовать несколько дополнительных шагов, чем наш предыдущий метод.
Получите доступ к этим онлайн-ресурсам для получения дополнительных инструкций и практики работы с комплексными числами.
Сложение и вычитание комплексных чисел
Умножение комплексных чисел
Умножение комплексных конъюгатов
Повышение и до степени
Ключевые понятия
Квадратный корень из любого отрицательного числа может быть записан как кратное [латекс]\,i. \,[/латекс]См. (рисунок).
Чтобы построить комплексное число, мы используем две числовые линии, которые пересекаются, образуя комплексную плоскость. Горизонтальная ось — это реальная ось, а вертикальная ось — воображаемая ось. См. (Рисунок).
Комплексные числа можно складывать и вычитать, комбинируя действительные части и комбинируя мнимые части. См. (Рисунок).
Комплексные числа можно умножать и делить.
Чтобы умножить комплексные числа, распределите так же, как и многочлены. См. (Рисунок) и (Рисунок) .
Чтобы разделить комплексные числа, умножьте числитель и знаменатель на комплексное сопряжение знаменателя, чтобы исключить комплексное число из знаменателя. См. (Рисунок) и (Рисунок) .
Степени [latex]\,i\,[/latex]циклические, повторяющиеся каждые четвертые. См. (Рисунок).
Раздел Упражнения
Verbal
Объясните, как складывать комплексные числа. {2}+x-4,[/latex]вычислить[латекс]\,y\,[/latex]данные[латекс]\,x=2i.[ /латекс] 9{2}+x-3,[/latex]вычислить[латекс]\,y\,[/latex]данные[латекс]\,x=2-3i.[/latex]
If[латекс]\,y =\frac{x+1}{2-x},[/latex]evaluate[latex]\,y\,[/latex]данные[latex]\,x=5i.[/latex]
Показать решение
Если[латекс]\,y=\frac{1+2x}{x+3},[/latex]вычислить[латекс]\,y\,[/latex]данные[латекс]\,x=4i. [/latex]
Графический
Для следующих упражнений нанесите комплексные числа на комплексную плоскость.
[латекс]1-2i[/латекс]
Показать решение
[латекс]-2+3i[/латекс]
[латекс]i[/латекс]
Показать решение
[латекс]-3-4i[/латекс]
Числовой
Для следующих упражнений выполните указанную операцию и представьте результат в виде упрощенного комплексного числа.
[латекс]\влево(3+2i\вправо)+\влево(5-3i\вправо)[/латекс]
Показать решение
[латекс]\влево(-2-4i\вправо)+\влево(1+6i\вправо)[/латекс]
[латекс]\влево(-5+3i\вправо)-\влево(6- i\right)[/latex]
Показать решение
[латекс]\влево(2-3i\вправо)-\влево(3+2i\вправо)[/латекс]
[латекс]\влево(-4+4i\вправо)-\влево(-6+9i\вправо)[/латекс]
Показать решение
[латекс]\влево(2+3i\вправо)\влево(4i\вправо)[/латекс]
[латекс]\влево(5-2i\вправо)\влево(3i\вправо)[/латекс]
Показать решение
[латекс]\влево(6-2i\вправо)\влево(5\вправо)[/латекс]
[латекс]\влево(-2+4i\вправо)\влево(8\вправо)[/латекс ]
Показать решение
[латекс]\влево(2+3i\вправо)\влево(4-i\вправо)[/латекс]
[латекс]\влево(-1+2i\вправо)\влево(-2+3i\ справа)[/латекс]
Показать решение
[латекс]\влево(4-2i\вправо)\влево(4+2i\вправо)[/латекс]
[латекс]\влево(3+4i\вправо)\влево(3-4i\вправо) [/latex]
Показать решение
[латекс]\frac{3+4i}{2}[/latex]
[латекс]\frac{6-2i}{3}[/latex]
Показать решение
[латекс]\frac{-5+3i}{2i}[/latex]
[латекс]\frac{6+4i}{i}[/latex]
Показать решение
[латекс]\frac{2-3i}{4+3i}[/latex]
[латекс]\frac{3+4i}{2-i}[/latex] 9{2}}[/latex]
Показать решение
[латекс]\frac{3+2i}{2+i}+\left(4+3i\right)[/latex]
[латекс]\frac{4+i}{i}+\frac{ 3-4i}{1-i}[/latex]
Показать решение
[латекс]\frac{3+2i}{1+2i}-\frac{2-3i}{3+i}[/latex]
Глоссарий
комплексное сопряжение
комплексное число, содержащее те же элементы, что и другое комплексное число, но с обратным оператором. Умножение комплексного числа на его сопряженное дает действительное число.
комплексный номер
сумма действительного числа и мнимого числа; стандартная форма: [латекс]\,а+би,[/латекс], где a — действительная часть, а [латекс]\,b\,[/латекс] — сложная часть.
сложный самолет
координатная плоскость, в которой горизонтальная ось представляет действительную составляющую комплексного числа, а вертикальная ось представляет мнимую составляющую, обозначенную i .
мнимое число
квадратный корень из [латекс]\,-1\,[/латекс]:[латекс]\,i=\sqrt{-1}.[/латекс]
Комплексная плоскость, сложение и вычитание
Комплексные числа: комплексная плоскость, сложение и вычитание Поскольку Гаусс доказал основную теорему алгебры, мы знаем, что все комплексные числа имеют вид 90 672 x 90 673 + 90 672 yi, 90 673, где 90 672 x 90 673 и 90 672 y 90 673 — действительные числа, а 90 672 — действительные числа, 90 673 — все положительные числа. , отрицательный или нулевой. Таким образом, мы можем использовать xy -плоскость для отображения комплексных чисел. Мы даже назовем ее комплексной плоскостью , когда используем таким образом xy -плоскость. Это дает нам второй путь к комплексным числам, первый путь — алгебраический, как в выражении x + yi.
Обозначение.
Стандартный символ для набора всех комплексных чисел — C , и мы также будем обозначать комплексную плоскость как C 9069.7 .
Мы попробуем использовать x и y для действительных переменных и z и z для комплексных переменных. Например, уравнение z = x + yi следует понимать как говорящее, что комплексное число z является суммой действительного числа x и действительного числа y , умноженного на i. Как правило, часть комплексного числа размером x z = x + yi называется реальной частью z , а y называется мнимой частью z . (Иногда и называют мнимой частью.)
Когда мы используем плоскость xy для комплексной плоскости C , мы будем называть ось x именем реальной оси, и ось y мы будем называть воображаемая ось.
Вещественные числа следует рассматривать как частные случаи комплексных чисел; это просто цифры x + yi , когда y равно 0, то есть это числа на действительной оси. Например, действительное число 2 равно 2 + 0 , т.е. Числа на мнимой оси иногда называют чисто мнимыми числами.
Арифметические операции над
C Операции сложения и вычитания понятны. Чтобы сложить или вычесть два комплексных числа, просто сложите или вычтите соответствующие действительные и мнимые части. Например, сумма 5 + 3 i и 4 + 2 i равно 9 + 5 i. Во-вторых, сумма 3 + i и 1 + 2 i равна 2 + 3 i.
Дополнение может быть представлено графически на комплексной плоскости C . Возьмем последний пример. Комплексное число z = 3 + i расположено на 3 единицы правее мнимой оси и на 1 единицу выше действительной оси, а w = 1 + 2 i расположено на 1 единицу левее и 2 единиц вверх. Итак, сумма z + w = 2 + 3 i на 2 единицы вправо и на 3 единицы вверх.
Правило параллелограмма.
Обратите внимание, что в последнем примере четыре комплексных числа 0, z = 3 + i, w = 1 + 2 i, и z + 7 w i 3 = 906 + 906 + углы параллелограмма. В целом это правда. Найти где в плоскости C сумма z + w из двух комплексных чисел z и w находится, начерти z и w, , проведи прямые от 0 к каждому из них, и заверши параллелограмм. Четвертая вершина будет z + w.
Дополнение в виде перевода.
Используя правило параллелограмма, можно интерпретировать сложение w как преобразование плоскости C . Добавление w к 0 дает w, , конечно, поэтому 0 перемещается в w в этом преобразовании. Любая другая точка z перемещается в z + w, , поэтому z перемещается в том же направлении на то же расстояние. Другими словами, каждая точка в C перемещается в том же направлении и на то же расстояние, когда к нему добавляется w . Можно сказать, что сложение w дает перевод плоскости C в направлении и на расстояние от 0 до w. Термин «вектор» обычно используется в описании: «плоскость переводится по вектору 0 с.
Отрицание и вычитание.
Есть и хорошая геометрическая интерпретация отрицания. Конечно, отрицание 90 672 x 90 673 + 90 672 yi 90 673 равно 90 672 x 90 673 90 672 yi, 90 673, поэтому отрицание комплексного числа будет располагаться как раз напротив 0 и на таком же расстоянии от него. Например, z = 2 + i расположено на 2 единицы вправо и на одну единицу вверх, поэтому его отрицание z = 2   i расположено на 2 единицы влево и на одну единицу вниз.
Отрицание также можно интерпретировать как трансформацию плоскости C . Если повернуть плоскость на 180° вокруг 0, то каждая точка z отправляется в свое отрицание z. Таким образом, отрицание дает поворот на 180°.
Из сложения и отрицания можно определить, какое геометрическое правило используется для вычитания. Чтобы найти, где будет z    w , сначала инвертируйте w , найдя точку напротив 0, а затем используйте правило параллелограмма.
Вычитание w можно интерпретировать как преобразование C : плоскость перемещается вдоль вектора от 0 до w. Другой способ сказать, что плоскость перемещается вдоль вектора w 0.
Комплексные числа: обратные, сопряженные и деление
Комплексные числа: обратные, сопряженные и деление Мы изучали сложение, вычитание и умножение. Теперь пришло время деления. Точно так же, как вычитание может быть составлено из сложения и отрицания, деление может быть составлено из умножения и взаимного обмена. Итак, мы поставили перед собой задачу найти 1/ z дано z. Другими словами, по заданному комплексному числу z = x + yi, найдите другое комплексное число w = u + vi такое, что z = 1. что и алгебраически, и геометрически. Во-первых, алгебраически. Мы будем использовать формулу продукта, которую мы разработали в разделе об умножении. Он сказал ( x + yi )( u + vi ) = ( xu yv ) + ( xv + yu ) i .
Теперь, если два комплексных числа равны, то их действительные части должны быть равны, и их мнимые части должны быть равны. Чтобы zw = 1, нам понадобится
( xu    yv ) + ( xv + yu ) i = 1.
Это дает нам два уравнения. Первый говорит, что действительные части равны:
сю    yv = 1,
а второй говорит, что мнимые части равны:
xv + ю = 0.
Теперь, в нашем случае, х было задано, а х было неизвестно, поэтому в этих двух уравнениях х и х даны, а х и х являются неизвестными для решения. Вы можете довольно легко решить за u и v в этой паре одновременных линейных уравнений. Когда вы это сделаете, вы найдете
Таким образом, обратное число z = x + yi равно числу w = u + vi , где u имеют только что найденные 76 и . Таким образом, мы имеем следующую формулу взаимного обмена:
Обратные числа, выполненные геометрически, и комплексно-сопряженные числа.
Из того, что мы знаем о геометрии умножения, мы можем определить обратные геометрически. Если z и w обратны, то zw = 1, поэтому произведение их модулей равно 1, а сумма их аргументов (углов) равна 0.
Это означает, что длина 1/ z является обратной величиной длины z. Например, если | из | = 2, как на схеме, то |1/ с | = 1/2. Это также означает, что аргумент для 1/ z является отрицанием аргумента для z. На диаграмме arg( z ) составляет около 65°, а arg(1/ z ) составляет около 65°.
Вы можете видеть на диаграмме еще одну точку, отмеченную чертой над z. Это называется комплексным сопряжением числа z. Имеет ту же действительную составляющую x, , но мнимая составляющая инвертирована. Комплексное сопряжение отрицает мнимую составляющую, поэтому преобразование плоскости C все точки отражаются на реальной оси (то есть точки выше и ниже реальной оси меняются местами). Конечно, точки на действительной оси не меняются, потому что комплексное сопряжение действительного числа есть само.
Комплексно-сопряженные числа дают нам еще один способ интерпретировать обратные числа. Вы можете легко проверить, что комплексное число z = x + yi , умноженное на его сопряженное x    yi , является квадратом его абсолютного значения | г | ² .
Таким образом, 1/ z является сопряженным z , деленным на квадрат его абсолютного значения | из | ² .
На рисунке видно, что 1/| из | и сопряженные z лежат на том же луче от 0, но 1/| из | составляет только одну четвертую длины сопряжения z (и | г | ² это 4).
Между прочим, комплексное сопряжение — удивительно «прозрачная» операция. Он коммутирует со всеми арифметическими операциями: сопряжение суммы, разности, произведения или частного есть сумма, разность, произведение или частное соответственно сопряженных. Такая операция называется изоморфизмом поля .
Подразделение.
Собрав воедино нашу информацию о произведениях и обратных величинах, мы можем найти формулы для частного деления одного комплексного числа на другое. Во-первых, у нас есть строго алгебраическая формула в терминах действительной и мнимой частей.
Далее у нас есть выражение в комплексных переменных, в котором используется комплексное сопряжение и деление на действительное число.
Обе формулировки полезны и их стоит знать и понимать.
5.1: Комплексная система счисления
Последнее обновление
Сохранить как PDF
Идентификатор страницы
7124
Тед Сандстром и Стивен Шликер
Государственный университет Гранд-Вэлли через ScholarWorks @Grand1 Valley3 State University
Основные вопросы
Следующие вопросы предназначены для того, чтобы направлять наше изучение материала в этом разделе. Изучив этот раздел, мы должны понять концепции, мотивированные этими вопросами, и быть в состоянии написать точные, связные ответы на эти вопросы.
Что такое комплексное число?
Что означает равенство двух комплексных чисел?
Как сложить два комплексных числа?
Как перемножить два комплексных числа?
Что такое сопряженное комплексное число?
Чему равен модуль комплексного числа?
Как связаны сопряженное число и модуль комплексного числа?
Как разделить одно комплексное число на другое? 9{2} + х + 1 = 0\),
получаем решения $x = \dfrac{-1 + \sqrt{-3}}{2}$ и $x = \dfrac{-1 — \sqrt{-3}}{2}$ . Эти числа являются комплексными числами, и у нас есть специальная форма для записи этих чисел. Мы пишем их таким образом, чтобы изолировать квадратный корень из $-1$. Для иллюстрации число
\[\dfrac{-1 + \sqrt{-3}}{2} \номер\]
можно записать так:
\[\dfrac{-1 + \sqrt{-3}}{2} = -\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{-3}}{2} = -\dfrac{1} {2} + \dfrac{\sqrt{3}\sqrt{-1}}{2} = -\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{-1 } \номер\] 9{2} = -1\).
Форма $a + bi$, где a и b — действительные числа, называется стандартной формой для комплексного числа. Когда у нас есть комплексное число вида $z = a + bi$, число $a$ называется действительной частью комплексного числа $z$, а число $b$ называется мнимой частью оператора $z$. Поскольку i не является вещественным числом, два комплексных числа $a + bi$ и $c + di$ равны тогда и только тогда, когда $a = c$ и $b = d$.
Существует арифметика комплексных чисел, которая определяется сложением и умножением комплексных чисел. Складывать и вычитать комплексные числа естественно: 9{2} \\[4pt] &= (ac — bd) + (ad + bc)i \end{align*}\]
Свойства комплексных чисел
Можно показать, что комплексные числа обладают многими полезными и знакомыми свойствами, которые аналогичны свойствам действительных чисел. Если $u$, $w$ и $z$ комплексные числа, то
$w + z = z + w$
$и + (ш + г) = (и + ш) + г$
Комплексное число $0 = 0 + 0i$ является аддитивной единицей, то есть $z + 0 = z$. {2} = -1\), чтобы увидеть, что 9{2}) = 6 — 4i + 3i — 2(-1) = 8 — i\]
Упражнение $\PageIndex{1A}$
Запишите каждую из сумм или произведений в виде комплексного числа в стандартной форме.
$(2 + 3i) + (7 — 4i)$
$(4 — 2i)(3 + i)$
$(2 + i)i — (3 + 4i)$
Ответить
(а) $(2 + 3i) + (7 — 4i) = 9 — i$
(б) $(4 — 2i)(3 + i) = (4 — 2i)3 + (4 — 2i)i = 14 — 2i$
(в) $(2 + i)i — (3 + 4i) = (2i — 1) — 3 — 4i = -4 — 2i$ 9{2} — x + 2 = 0\) как комплексные числа вида $r + si$ и $u + vi$ для некоторых действительных чисел $r$, $s$, $ и$ и $v$.
( Подсказка : Помните: $i = \sqrt{-1}$. Таким образом, мы можем переписать что-то вроде $\sqrt{-4}$ как $\sqrt{-4} = \sqrt{ 4}\sqrt{-1} = 2i$.)
Ответить
Мы используем квадратичную формулу для решения уравнения и получаем \[x = \dfrac{1 \pm \sqrt{-7}}{2}. \]
Тогда мы можем написать $\sqrt{-7} = i\sqrt{7}$. Итак, два решения квадратного уравнения:
\[\begin{align*} x &= \dfrac{1 \pm i\sqrt{7}}{2} \\[4pt] &= \dfrac{1}{2} \pm \dfrac{\sqrt {7}}{2}i \\[4pt] \end{align*}\]
Деление комплексных чисел
Мы можем складывать, вычитать и умножать комплексные числа, поэтому естественно спросить, можем ли мы делить комплексные числа. Проиллюстрируем на примере.
Пример $\PageIndex{2}$: Деление на комплексное число
Запишите частное $\dfrac{2 + i}{3 + i}$ как комплексное число в форме $a + би$.
Решение
Эта задача рационализирует знаменатель, поскольку $i = \sqrt{-1}$. Так что в данном случае нам нужно «убрать» мнимую часть из знаменателя. Напомним, что произведение комплексного числа на его сопряженное является действительным числом, поэтому, если мы умножим числитель и знаменатель $\dfrac{2 + i}{3 + i}$ на комплексно-сопряженное число знаменателя, мы можно переписать знаменатель как действительное число. Шаги следующие. Умножение числителя и знаменателя на сопряженное $3 — i$ или $3 + i$ дает нам 9{2}} = \dfrac{7 + i}{10} \nonumber\]
Теперь мы можем записать окончательный результат в стандартной форме как
\[\dfrac{7 + i}{10} = \dfrac{ 7}{10} + \dfrac{1}{10}i. \nonumber\]
Пример $\PageIndex{2}$ иллюстрирует общий процесс деления одного комплексного числа на другое. В общем, мы можем записать частное $\dfrac{a + bi}{c + di}$ в форме $r + si$, умножив числитель и знаменатель нашей дроби на сопряженное $c — di $ из $c + di$, чтобы увидеть, что
9{2}}i\]
при условии $c + di \neq 0$.
Упражнение $\PageIndex{3}$
Пусть $z = 3 + 4i$ и $w = 5 — i$.
Запишите $\dfrac{w}{z} = \dfrac{5 — i}{3 + 4i}$ в виде комплексного числа в виде $r + si$, где $r$ и $s$ — некоторые действительные числа. Проверьте результат, умножив частное на $3 + 4i$. Равно ли это произведение $5 — i$?
Найдите решение уравнения $(3 + 4i)x = 5 — i$ в виде комплексного числа в виде $x = u + vi$, где $u$ и $v$ некоторые действительные числа. 9{2} = \left(\dfrac{33}{25} + \dfrac{92}{25}\right) + \left(-\dfrac{69}{25}i + \dfrac{44}{25} я\справа) = 5 — я\]
Мы можем найти $x$, разделив обе части уравнения на $3 + 4i$, чтобы увидеть, что \[x = \dfrac{5 — i}{3 + 4i} = \dfrac{11} {25} — \dfrac{23}{25}i\]
Геометрические представления комплексных чисел
Каждая упорядоченная пара $(a , b)$ действительных чисел определяет:
Точку на координатной плоскости с координатами $(a , b)$.
Комплексное число $a + bi$
Вектор $a\textbf{i} + b\textbf{j} = ( a, b )$
Это означает, что мы можем геометрически представить комплексное число $a + bi$ вектором в стандартном положении с конечной точкой $(a , b)$. Следовательно, мы можем рисовать изображения комплексных чисел на плоскости. Когда мы делаем это, горизонтальная ось называется реальной осью , а вертикальная ось называется мнимой осью . Кроме того, координатная плоскость обозначается как сложный самолет . То есть, если $z = a + b i$, мы можем думать о $z$ как о направленном отрезке прямой от начала координат до точки (a, b), где конечная точка отрезка есть $ а$ единиц от мнимой оси и $б$ единиц от действительной оси. Например, комплексные числа $3 + 4i$ и $-8 + 3i$ показаны на рис. 5.1.
Рисунок $\PageIndex{1}$: два комплексных числа.
Кроме того, сумму двух комплексных чисел можно представить геометрически, используя векторные формы комплексных чисел. Нарисуйте параллелограмм, определяемый $w = a + bi$ и $z = c + di$. Сумма $w$ и $z$ представляет собой комплексное число, представленное вектором из начала координат в вершину параллелограмма, противоположного началу координат, как показано векторами $w = 3 + 4i$ и \ (z = -8 + 3i\) на рисунке $\PageIndex{2}$.
Упражнение $\PageIndex{4}$
Пусть $w = 2 + 3i$ и $z = -1 + 5i$.
Запишите комплексную сумму $w + z$ в стандартной форме.
Нарисуйте рисунок, иллюстрирующий сумму, используя векторы для представления $w$ и $z$.
Ответить
1. Сумма равна $w + z = (2 — 1) + (3 + 5)i = 1 + 8i$.
2. Представление комплексной суммы с помощью векторов показано на рисунке ниже.
9{2},\], и поэтому \[|z| = \sqrt{z\bar{z}}\]
Упражнение $\PageIndex{5}$
Пусть $w = 2 + 3i$ и $z = -1 + 5i$
Найти $\bar{w}$ и $\bar{z}$.
Вычислить $|w|$ и $|z|$.
Вычислить $w\bar{w}$ и $z\bar{z}$.
Что такое $\bar{z}$, если $z$ — действительное число?
Ответить
1. Используя определение сопряженного комплексного числа, находим, что $\bar{w} = 2 — 3i$ и $\bar{z} = -1 — 5i$. 9{2}} = \sqrt{26}\).
3. Используя определение произведения комплексных чисел, находим, что
\[w\bar{w} = (2 + 3i)(2 — 3i) = 4 + 9 = 13\]
\[z\bar{z} = (-1 + 5i)(-1 — 5i) = 1 + 25 = 26\]
4. Пусть $z = a + 0i$ для некоторого $a \in \mathbb{R}$. Тогда $\bar{z} = a — 0i$. Таким образом, $\bar{z} = z$, когда $z \in \mathbb{R}$.
Резюме
В этом разделе мы изучили следующие важные концепции и идеи: 9{2} = -1\). Когда у нас есть комплексное число вида $z = a + bi$, число $a$ называется действительной частью комплексного числа $z$, а число $b$ называется мнимой частью оператора $z$.
Мы можем складывать, вычитать, умножать и делить комплексные числа следующим образом:
\[(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i \nonumber \]
\[(a + bi) — (c + di) = (a — c) + (b — d)i\nonumber\]
\[(a + bi)(c + di) = (ac — bd) + (ad + bc)i\nonumber\] 9{2}}i\nonumber\] при условии $c + di \neq 0$
Комплексное число $a + bi$ может быть геометрически представлено вектором в стандартном положении с конечной точкой $(a , б)$. Когда мы делаем это, горизонтальная ось называется реальной осью , а вертикальная ось называется мнимой осью . Кроме того, координатная плоскость тогда называется комплексной плоскостью . То есть, если $z = a + bi$, мы можем думать о $z$ как о направленном отрезке прямой от начала координат до точки $(a, b)$, где конечная точка отрезка это единицы от мнимой оси и $b$ единиц от действительной оси. 9{2} \номер\]
Эта страница под названием 5.1: Комплексная система счисления распространяется под лицензией CC BY-NC-SA 3.0 и была создана, изменена и/или курирована Тедом Сандстромом и Стивеном Шликером (ScholarWorks @Grand Valley State University) через исходный контент это было отредактировано в соответствии со стилем и стандартами платформы LibreTexts; подробная история редактирования доступна по запросу.
Наверх
Была ли эта статья полезной?
Тип изделия
Раздел или Страница
Автор
Тед Сандстром и Стивен Шликер
Лицензия
CC BY-NC-SA
Версия лицензии
3,0
Показать страницу Содержание
нет
Теги
комплексно-сопряженный
комплексные номера
сложный самолет
источник@https://scholarworks. gvsu.edu/books/12
Комплексные числа: определение, формулы и примеры
До сих пор мы имели дело только с действительными числами. Но были времена, когда мы не получали решения для некоторых проблем. Например, мы не получаем решения, когда нам нужно решать числа с отрицательным квадратным корнем. Теперь мы можем решить ее с помощью определенного типа чисел, называемых комплексными числами .
Что такое комплексное число?
Комплексные числа представлены в виде математической записи. Комплексное число содержит действительную часть и мнимую часть.
Мнимое число (мнимая часть комплексного числа) имеет числовое значение и обозначается буквой i. Ключевое тождество мнимого числа заключается в следующем.
Уравнение будет иметь действительные корни только тогда, когда. Однако оно будет иметь мнимые корни, когда .
Итак, комплексное число имеет вид. Обычно мы представляем комплексные числа как. Действительная часть есть, а мнимая часть есть. Мы можем представить это математически, сказав и. Все действительные числа также являются комплексными числами, где ноль принимается за мнимую часть.
Комплексные числа обладают теми же свойствами, что и действительные числа, и такие операции, как сложение и вычитание, выполняются таким же образом. Это то, что мы рассмотрим далее.
Как насчет операций и комплексных чисел?
Сложение и вычитание комплексных чисел
С операциями мы используем их как алгебру. Поэтому мы складываем действительные части вместе и мнимые части вместе. Это означает, что если мы позволим и, то:
Умножение комплексных чисел
Умножение комплексных чисел иногда может быть немного сложным для понимания. Итак, давайте разберемся шаг за шагом на примере. Мы рассмотрим два комплексных числа sayand, затем, умножив их вместе (найти), мы получим:
Здесь оба члена произведения являются биномами. Итак, мы делаем биномиальное умножение на вышеуказанный термин.
Как, поэтому так, если мы заменим -1, мы можем получить:
Деление в комплексных числах
При делении комплексных чисел мы можем сделать. Мы можем думать об этом как о том же методе, что и упрощение surds. Поэтому нам нужно привлечь сопряжение.
Сопряжение, представлено как, просто меняет знак мнимой части на противоположное, поэтому сопряжение. Следовательно.
Таким образом, при упрощении мы просто получаем такое значение.
Опять же, если мы подставим тот факт, что мы получим:
Следовательно.
Как насчет графического представления комплексных чисел?
Мы можем изобразить комплексные числа на так называемой диаграмме Аргана. При рисовании диаграммы Аргана у нас есть две оси. Ось, представляющая действительную часть комплексного числа, и ось, представляющая мнимую часть комплексного числа.
Диаграмма Аргана выглядит примерно так:
Простой пример диаграммы Аргана, Instituteofeducation. ie
Что такое полярные координаты?
Полярные координаты — это еще одна форма системы координат, вместо оси x и оси y мы можем использовать угол и сторону. Таким образом, вместо того, чтобы быть координатами, координаты есть.
— длина вектора (т. е. расстояние от начала координат до взятой точки), а — угол, образованный реальной осью и r. Ниже на схеме показано, как это работает:
Диаграмма в полярных координатах, khanacademy.org
Причина, по которой мы иногда используем полярные координаты вместо стандартной декартовой системы, заключается в том, что она делает определенные фигуры более простыми для графика. Например, это кардиоида:
Схема кардиоиды, mathworld.wolfram.com
Почему это важно? Что ж, уравнение в полярных координатах такое же простое, как и уравнение декарта, как мы видим, уравнение в полярных координатах намного проще, чем уравнение декарта.
Как это связано с комплексными числами?
Идея использования and исходит из того факта, что эти значения что-то означают в комплексных числах. Мы используем эти полярные координаты, чтобы задать полярную форму комплексных чисел. Для этого мы рассматриваем комплексное число и представляем его на двумерной координатной диаграмме, как показано ниже.
Диаграмма модуля и аргумента, image.slidesharecdn.com
Здесь на рисунке горизонтальная ось — действительная ось, а вертикальная ось — мнимая ось. Используя тригонометрические отношения из данного числа, мы получаем,
Теперь, применяя теорему Пифагора, мы имеем,
Мы используем все вышеперечисленные значения и подставляем их в наше комплексное число z.
где модуль комплексного числа.
Значение угла известно как аргумент комплексного числа. По сути, это просто угол против часовой стрелки от реальной оси (в большинстве случаев от горизонтальной оси). Следовательно, как угол, его можно вычислить с помощью тригонометрии как.
Здесь значение ofchanges зависит от положения квадранта z.
Если z находится в первом или четвертом квадранте, то.
Если z находится во втором квадранте, то.
Если z находится в третьем квадранте, то
Эти значения модуля и аргумента очень полезны, как мы увидим в следующих темах.
Комплексные числа – основные выводы
Комплексные числа включают действительную и мнимую части.
Они помогают нам понять различные понятия в физике и экономике, которые мы обычно не понимаем с действительными числами.
Полярные координаты — это отдельная система координат, в которой для понимания направления используются величины и углы.
При попытке понять комплексные числа операции работают одинаково с некоторыми отличиями.
Комплексные числа в полярной и экспоненциальной форме
15.2 — Комплексные числа в полярной и экспоненциальной форме
15.2 — Комплексные числа в полярной и экспоненциальной форме

Комплексные числа в форме полярных координат
Форма a + b i называется прямоугольной координатной формой комплексного числа. потому что для построения числа мы представляем себе прямоугольник шириной и и высота b , как показано на графике в предыдущем разделе.
Но комплексные числа, как и векторы, также могут быть выражены в форме полярных координат, r ∠ θ . (Это произносится как « r под углом θ ».) На рисунке справа показан пример. Число r перед символом угла называется величина комплексного числа и расстояние комплексное число из начала. Угол θ после символа угла является направлением комплексное число от начала отсчитывается против часовой стрелки от положительная часть действительной оси.
Для любого комплексного числа z , запись | из | обозначает его величину. Например, четыре комплексных числа 5 и −5 и 3 + 4 и и 5 ∠ 120° имеют звездную величину 5, потому что они все находятся на расстоянии 5 от начала координат. Используя обозначение величины, мы пишем | 5 | = 5 и | −5 | = 5 и | 3 + 4 i | = 5 и | 5 ∠ 120° | = 5.

Полярная → Прямоугольная Преобразование
Предположим, у нас есть комплексное число, выраженное в полярной форме, и мы хотим выразить его в прямоугольной форме. (то есть мы знаем r и θ и нам нужно и б .) Обращаясь к рисунку, мы видим, что мы можем использовать формулы:
Прямоугольное → полярное преобразование
С другой стороны, предположим, что у нас есть комплексное число, выраженное в прямоугольную форму, и мы хотим выразить ее в полярной форме. (То есть мы знаем a и b и нам нужно r и θ .) Мы видим, что мы можем использовать формулы:

Пример: Преобразование комплексного числа 5 ∠ 53° в прямоугольную форму.
Решение: Имеем r = 5 и θ = 53°. Мы вычисляем a = 5 cos (53°) = 3 и b = 5 sin (53°) = 4, поэтому комплексное число в прямоугольной форме должно быть 3 + 4 и .

Пример: Преобразование комплексного числа 5 + 2 i в полярную форму.
Решение: Имеем a = 5 и b = 2. Вычислим
поэтому комплексное число в полярной форме должно быть 5,39 ∠ 21,8 °.

Пример: Преобразовать комплексное число −5 − 2 i в полярную форму.
Решение: У нас есть a = −5 и б = -2. Мы вычисляем
что точно такой же ответ, как и для предыдущего примера ! Что пошло не так? Ответ заключается в том, что функция arctan всегда возвращает угол в первой или четвертой четверти, и нам нужен угол в третий квадрант. Таким образом, мы должны добавить 180° к углу вручную . Таким образом, комплексное число в полярной форме должно быть 5,39 ∠ 201,8°.

Умножение и деление комплексных чисел в полярной форме
Комплексные числа в полярной форме особенно легко умножаются и делятся. Правила:
Правило умножения: Чтобы составить произведение, умножьте величины и сложить углы.
Правило деления: Чтобы составить частное, разделить величины и вычесть углы.

Пример: умножить (5 ∠ 30°) · (3 ∠ 25°)
(5 ∠ 30°) · (3 ∠ 25°) = (5·3) ∠ (30+25)° = 15 ∠ 55°
г.

Пример: разделить 15 ∠ 32° на 3 ∠ 25°

Пример: разделить 5 + 3 i на 2 − 4 i
Ради интереса мы преобразовали оба числа в полярную форму (с углами в радианах), затем сделал деление в полярной форме, а затем преобразовал результат обратно в прямоугольную форму.

Комплексные числа в экспоненциальной форме
Эти правила о сложении или вычитании углов при умножении или деление комплексных чисел в полярной форме, вероятно, напомнит вам правила прибавления или вычитания степеней при умножении или деление экспонент:
x ^м · x ⁿ = x ^{м + n} а также x ^м / x ⁿ = x ^{м — n} .
Они предполагают, что, возможно, углы являются своего рода показателями. Эта догадка оказывается верной. В следующем разделе мы докажем, что:
где как обычно основание e это число е = 2,71828… Форма r e ^{i θ} называется экспоненциальной форма комплексного числа. В следующем примере показано умножение одних и тех же комплексных чисел в обеих формах:
полярная форма
экспоненциальная форма
Обратите внимание, что в экспоненциальной форме нам не нужно ничего, кроме знакомого свойства показателей для получения результата умножения. Это намного приятнее, чем полярная форма, где мы должны ввести странные правила умножения длин и сложения углов.

Доказательство того, что
r ∠ θ = р е ^{и θ} Доказательство того, что полярная и экспоненциальная формы комплексного числа эквивалентны, а именно, что r ∠ θ = р е ^{я θ} , требует использования формулы Эйлера, поэтому мы сначала сформулируем и докажем Формула Эйлера. Эта формула утверждает, что:
e ^{i θ} = cos ( θ ) + i sin ( θ ) Формула Эйлера
Это связано с Леонардом Эйлером, и это показывает, что существует глубокая связь между экспоненциальным ростом и синусоидальными колебаниями. Чтобы доказать это, нам нужен способ вычисления синуса, косинуса и экспоненты. любого значения θ , как это делает калькулятор. Ряд Тейлора дает способ.
Серия Taylor для e ^x :
Обозначение 4! означает 4 · 3 · 2 · 1 и т. д. Точки … означают, что ряд (сумма) продолжается вечно. Идея состоит в том, что если мы сохраним только первые несколько членов, то получим приближение для e ^x . Чем больше членов мы сохраняем, тем лучше приближение. Если бы мы могли сохранить все термины, то получили бы точный ответ. Например e ¹ или e округляется только первые 5 терминов уже подходят примерно к 3 значащим цифрам:
Существуют аналогичные ряды Тейлора для sin( θ ) и cos( θ ):
а также
( Важное примечание: эти две формулы для синуса и косинуса предположим, что θ измеряется в радианах. Измерение θ в градусах не имело бы смысла, потому что тогда каждый член ряда имел бы разные единицы, и тогда их нельзя было сложить. ) Чтобы доказать формулы мы будем манипулировать левой частью, пока она не станет равной правая сторона. Сначала замените серию на ^x . в левую часть формулы Эйлера, заменив x на i θ :
Теперь упростите и сгруппируйте все действительные термины вместе и сгруппируйте все мнимые термины вместе. Мы получаем:
Теперь обратите внимание, что члены в первых скобках — это просто числа Тейлора. ряд для cos( θ ) и что члены во вторых скобках являются просто рядом Тейлора для греха ( θ ). Таким образом, мы преобразовали левую часть формулы Эйлера, чтобы читать cos( θ ) + i sin( θ ), что равно правой части формулы Эйлера. На этом доказательство формулы Эйлера заканчивается.

Теперь, когда у нас есть формула Эйлера, легко доказать, что г ∠ θ = r e ^{i θ} . Мы снова будем манипулировать левой стороной, пока она не сравняется с правой стороной. Сначала преобразуйте левую сторону в прямоугольную форму:
Теперь вычтите r и примените формулу Эйлера к слагаемым в скобках.
В результате мы преобразовали левую часть в правую. Это доказывает, что r ∠ θ = r e ^{i θ}
Примеры с использованием прямоугольной, полярной и экспоненциальной формы
При выполнении вычислений с комплексными числами, какую форму следует использовать? Вообще говоря, используйте прямоугольную форму для сложения и вычитания, полярная форма для умножения и деления и экспоненциальная форма для возведения в степень или манипулирования буквальные выражения. Вот несколько примеров.

Пример 1: Покажите, что e ^{i π} = −1. Это известно как тождество Эйлера.
Решение: Просто преобразуйте в полярную, а затем в прямоугольную:

Пример 2: Вычислить i ⁿ для n = 1, 2, 3, …, нанесите числа на комплексную плоскость и определите закономерность.
Решение: Образец легче всего обнаружить в полярной, где i = 1 ∠ 90°. Тогда:
Сюжет показан справа. Различные силы дают последовательность комплексные числа, идущие по кругу радиуса 1 против часовой стрелки около Происхождение. После четвертой степени угол больше 360°. но схема против часовой стрелки продолжается с новыми числами, падающими на вершина старых чисел.

Пример 3: Вычисление экспоненциального (3 + 4 i ) ^{(6 + 7 i )}
Решение: Проделайте следующие манипуляции:
Преобразование основания в экспоненциальную форму. Помните, что угол должен быть в радианах. База теперь содержит два фактора.
Применить свойство экспоненты
( а б ) ^м = а ^м · б ^м .
Применить свойство показателей
b ^{m + n} = б ^м · б ^н .
Переместите реальные факторы на передний план и оцените их.
Изменить основание с 5 на e , используя идентификатор
5 = e ^In(5) .
Объедините показатели степени и оцените.
Выразите ответ в экспоненциальной, полярной или прямоугольной форме.

Многие тригонометрические законы и тождества легко доказать с помощью комплексных чисел, выраженных в полярной форме. Среди них законы синуса и косинуса, тригонометрические тождества суммы углов и формула Муавра.

Доказательство законы синусов и косинусов
В этом доказательстве используется комплексное сопряжение, обозначаемое z *.
Напомним, что если z = a + b i — комплексное число, выраженное в прямоугольных координатах, то z * = a — b i .
Если z = r ∠ θ комплексное число, выраженное в полярных координатах, то z *= r ∠(– θ )
В общем, чтобы получить комплексно-сопряженное число , любое комплексное выражение просто заменяет каждые i в выражении на – i и заменяет каждый угол θ на – θ . Комплексное сопряжение полезно, потому что:
z + z * = 2 a = 2 r cos θ , что всегда действительно,
Z — Z * = 2 B I = 2 R I SIN θ , который всегда является воображаемым и
Z , который всегда является воображаемым и
Z · и и . + b ² = r ² , что всегда реально и положительно.

На рисунке справа показаны три комплексных числа (красные стрелки), удовлетворяющие соотношению
б ∠ θ − а ∠0 = с ∠ φ
Обратите внимание, что a , b и c также являются длинами сторон серого треугольника. Каждое число имеет комплексное сопряжение (серые стрелки). ( a ∠0, будучи действительным, является своим собственным комплексным сопряжением.) Комплексно-сопряженные подчиняются соотношению
б ∠(- θ ) — а ∠0 = с ∠(- ф )
Если мы умножим эти два уравнения, расширим и упростим, получится закон косинусов. Сначала умножьте уравнения.
( б ∠ θ − а ∠0) · ( б ∠ (- θ ) — а ∠0) = в ∠ φ · с ∠ (- φ )
Теперь разверните LHS.
б ² ∠0 − аб ∠ θ − аб ∠(− θ ) + а ² ∠0 = с ² ∠0
Теперь упростите.
Это Закон косинуса , C ² = A ²+ B ² — 2 A B COS .
Для доказательства закона синусов достаточно взять мнимую часть б ∠ θ − a ∠0 = c ∠ φ . Это дает b sin θ − 0 = c sin φ или
, который является синусоидальным законом .

Доказательство тождество суммы углов грех(
θ + φ ) = sin( θ )·cos( φ ) + cos( θ )·sin( φ ). Начните с правила умножения в форме (1∠ θ ) · (1∠ φ ) = 1∠( θ + φ ). Преобразуйте каждое комплексное число в прямоугольное с помощью тригонометрии. (то есть использовать r ∠ α = r cos α + i r sin α ).
(cos θ + i sin θ ) · (cos φ + i sin φ ) = потому что ( θ + φ ) + i sin ( θ + φ )
Расширьте LHS и упростите.
Приравнивание мнимых частей дает идентичность суммы углов для синуса. Приравнивание действительных частей дает тождество суммы углов для cos.

Формула де Муавра
Формула де Муавра утверждает, что
(1∠ θ ) ^п = 1∠( n θ )
где n — любое целое число. Его можно обобщить, чтобы прочитать ( r ∠ θ ) ⁿ = r ⁿ ∠( n θ ). Чтобы доказать это, просто умножьте число r ∠ θ само на себя, повторив и упростив. Например
(2∠40°) ³ = (2∠40°) (2∠40°) (2∠40°) = (2) ³ ∠(40° + 40° + 40°) = 8∠120°
г.
Одним из применений формулы де Муавра является доказательство двойных, тройных и более высоких многоугольных тождеств. Например, начните с (1∠ θ ) · (1∠ θ ) = 1∠(2 θ ) и преобразовать в прямоугольный.
(cos θ + i sin θ ) · (cos θ + i sin θ ) = cos (2 θ ) + i sin (2 θ )
Расширьте LHS и упростите.
Приравнивание мнимых частей дает двуугольная идентичность для греха и приравнивание действительных частей дает тождество двойного угла для косинуса.
Формулу Де Муавра также можно использовать для нахождения n ^th корней любого комплексного числа r ∠ θ (точнее, с его помощью можно решить уравнение z ⁿ = r ∠ θ , где n — натуральное число, для z ).
No related posts.