Даны n различных натуральных чисел составляющих арифметическую прогрессию n 3: Задание №19 Т/Р №207 А. Ларина

Решутест. Продвинутый тренажёр тестов

Решутест. Продвинутый тренажёр тестов

• Главная
• ЕГЭ
• Математика профильная
• Анализ математических моделей
• Последовательности и прогрессии

Решил заданий

Не решил заданий

Осталось заданий

История решения

8448 — не приступал 8559 — не приступал 1241 — не приступал 9412 — не приступал 2047 — не приступал 6466 — не приступал 6101 — не приступал 1069 — не приступал 9223 — не приступал

Формат ответа: цифра или несколько цифр, слово или несколько слов. Вопросы на соответствие «буква» — «цифра» должны записываться как несколько цифр. Между словами и цифрами не должно быть пробелов или других знаков.

Примеры ответов: 7 или здесьисейчас или 3514

Раскрыть Скрыть

№1

Числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 16 произвольно делят на три группы так, чтобы
в каждой группе было хотя бы одно число. Затем вычисляют значение среднего арифметического чисел в каждой из групп (для группы из единственного числа среднее арифметическое равно этому числу).

а) Могут ли быть одинаковыми два из этих трёх значений средних арифметических в группах из разного количества чисел?

б) Могут ли быть одинаковыми все три значения средних арифметических?

в) Найдите наименьшее возможное значение наибольшего из получаемых трёх средних арифметических.

ответ

а) Рассмотрим две группы, в одной пусть будет число 3, а во второй – числа 1 и 5. Остальные числа в третьей группе. Тогда среднее арифметическое в первых двух группах будет равно 3 и (1+5)/2=3 соответственно. Да, могут.

б) Обозначим через x среднее арифметическое во всех трех группах. Пусть в первой группе N чисел, во второй – M чисел, и в третьей – K чисел. Так как всего чисел 10, то N+M+K=10. Также должно соблюдаться условие, что если мы среднее арифметическое умножим на количество чисел, мы получим сумму всех чисел.

$x(N+M+K)=1+2+3+4+5+6+7+8+9+16=61$

Получаем уравнение для x:

$10x=61$

$x=6,1$

Проверим, может ли такое среднее арифметическое быть одинаковым для трех групп. Например, значение

$x\cdot N=6,1\cdot N$

должно давать целое значение, так как это сумма чисел в первой группе. При этом N может меняться в диапазоне от 1 до 7. Но простая подстановка показывает, что ни при одном значении N в этом диапазоне мы не можем получить целого значения. Следовательно, одинакового среднего для всех трех групп быть не может.

в) Среднее арифметическое должно быть больше, чем 6,1. Иначе получим $x_{1},x_{2} &lt x_{\max }\leq 6,1$Тогда $x_{1}N+x_{2}M+x_{\max }K &lt 6,1\cdot 10=61$ . Наибольший знаменатель, который может быть у среднего арифметического в данном случае, 7, наименьший числитель 1. Проверим, есть ли набор, при котором среднее арифметическое равно $6\displaystyle \frac{1}{7}$ .

$\displaystyle \frac{16+8+7+5+4+2+1}{7}=\displaystyle \frac{43}{7}\approx 6,14$

№2

В целочисленной последовательности $a_{1}=2,a_{2},…,a_{n}=336$, состоящей из целых чисел, сумма любых двух соседних членов последовательности равна или 5, или 7, или 29.

а) Приведите пример такой последовательности.

б) Может ли такая последовательность состоять из 812 членов?

в) Какое наименьшее число членов может быть в такой последовательности?

ответ

а) Нужно сформировать последовательность так, чтобы на n-м месте получилось число 336. Первое значение дано по условию задачи $a_{1}=2$, сформируем следующие первые члены:

2; 3; 4; 1; 6; -1; 8;

Последующие члены будем формировать по правилу

$a_{k+1}+a_{k}=5$

$a_{k+2}+a_{k}=7$

получим:

-3; 10; -5; 12; . ..; 334; -329; 336.

б) Из полученной последовательности в пункте а) можно заметить, что на нечетных местах стоят четные члены, а на четных местах – нечетные члены. Это правило будет соблюдаться при любом виде формирования последовательности, так как в нашем правиле для составления члена прогрессии используются нечетные числа 5, 7 и 29. Следовательно, если последовательность состоит из 812 членов, то на последнем 812-м месте будет находиться нечетное число. Вместе с тем число 336 – четное, значит сформировать последовательность длиной 812 членов нельзя.

в) Чтобы последовательность содержала минимальное число членов, она должна максимально быстро возрастать. Это достигается, если сумма первых двух членов будет равна 5, а сумма вторых двух членов – 29, то есть для любого k можно записать правило:

$a_{k+1}+a_{k}\geq 5$

$a_{k+2}+a_{k+1}\leq 29$

Перенесём переменные первого неравенства влево и вычтем из второго неравенства первое:

$a_{k+2} \leq a_{k}+24$

В результате получаем следующие члены последовательности:

$a_{1}=2$

$a_{3}\leq a_{1}+24=26$

$a_{5}\leq a_{3}+24=50$

. ..

$a_{2k+1}\leq a_{2k-1}+24=2+24\cdot k$

Последним числом нужно получить число 336. Оно четное, следовательно, должно стоять на нечетной позиции. Нечетная позиция определяется индексом 2k+1, следовательно,

$336\leq 2+24\cdot k$

и достигается при

$k\geq \displaystyle \frac{334}{24}=13\displaystyle \frac{11}{12}$

то есть k должно быть не менее 14 и в последовательности будет минимум $2\cdot 14+1=29$ ленов. Например, это последовательность вида

2, 3, 26, -21, 50, -45, 74, -69, 98, -93, 122, -117, 146, -141, 170, -165, 194, -189, 218, -213, 242, -237, 266, -261, 290, -285, 314, -307, 336.

№3

а) Существует ли конечная арифметическая прогрессия, состоящая из пяти натуральных чисел, такая, что сумма наибольшего и наименьшего членов этой прогрессии равна 99?

б) Конечная арифметическая прогрессия состоит из шести натуральных чисел. Сумма наибольшего и наименьшего членов этой прогрессии равна 9. Найдите все числа, из которых состоит эта прогрессия.

в) Среднее арифметическое членов конечной арифметической прогрессии, состоящей из натуральных чисел, равно 6,5. Какое наибольшее количество членов может быть в этой прогрессии?

ответ

Будем считать прогрессию возрастающей. Обозначим a — первый член прогрессии, n —количество членов, а d — её разность. Числа a, n, и d — натуральные.

а) Сумма первого и пятого членов этой прогрессии равна 2

a + 4d и является чётным числом. Поскольку число 99 нечётное, сумма наибольшего и наименьшего членов конечной арифметической прогрессии из 5 натуральных чисел не может быть равной 99.

б) Сумма первого и шестого членов этой прогрессии равна 2a + 5d = 9. Получаем уравнение в целых числах. Поскольку d — натуральное число, получаем d = 1. (так как если оно равно двум или больше, уравнение не будет иметь решений в натуральных числах) Тогда a = 2. Искомые числа: 2, 3, 4, 5, 6, 7.

в) Среднее арифметическое прогрессии равно полусумме её крайних членов (это напрямую следует из формулы для суммы арифметической прогрессии. Там стоит среднее значение прогресии, умноженное на количество её членов.), поэтому получаем 2a + (n-1)d =13

Значит, (n-1)d ≤ 11; n-1≤11; n≤12.

Натуральны числа от 1 до 12 составляют прогрессию, среднее арифметическое членов которой равно 6,5, а количество членов равно 12. Поэтому наибольшее возможное количество чисел — это 12.

№4

Даны n различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию (n≥3).

а) Может ли сумма всех данных чисел быть равной 10?

б) Каково наибольшее значение n, если сумма всех данных чисел меньше 1000?

в) Найдите все возможные значения n, если сумма всех данных чисел равна 129.

ответ

а) Предположим, что n=3, тогда сумма: a+(a+d)+(a+2d)=3a+3d=3(a+d)=10 – такого быть не может, так как 10 не кратно 3. Пусть чисел 4. Тогда их сумма: a+(a+d)+(a+2d)+ (a+3d) =4a+6d=10

откуда 2a+3d=5. Например, a=d=1:1,2,3,4. Ответ: да.

б) Нужно взять арифметическую прогрессию из натуральных чисел с наименьшим значением а₁ и d. Это и будет последовательность натуральных чисел от 1 до n.

Запишем ограничение на её сумму:

$S_{n}=\displaystyle \frac{1+1+(n-1)}{2}n

n(n+1)

n² + n — 2000

D = 1-4(-2000)= 8001

$n=\displaystyle \frac{-1\pm \sqrt{8001}}{2}$.

Рассмотрим функцию n² + n — 2000. Это парабола, оси направленны вверх, значит, меньше нуля она будет в промежутке между корнями. В нашем случае один корень отрицательный, другой положительный. Так как n натуральное число

$n &lt \displaystyle \frac{\sqrt{8001}-1}{2} &lt \displaystyle \frac{90-1}{2}=44,5$ Так как 8001 2

Значит n

в) $S_{n}=\displaystyle \frac{2a+d(n-1)}{2}n=129$

Перед нами уравнение в целых числах. Причём левая часть представляет из себя произведение двух натуральных чисел.

Так как n ≥ 3, n может быть равным 3, 6 или 43. Может ли n равнять 43? В пункте б у нас было n=44 и сумма была равна 1000. Причём последовательность была с наименьшими по величине членами. При n=43 получим:

$n(2a+d(n-1))=129\cdot 2=3\cdot 43\cdot 2$

Значит, у нас осталось 2 варианта, n=3 и n=6. Проверим, можно ли подобрать такие прогрессии.

$1)$ $n=3,$ тогда $2a+d(3-1)=243$

$2a+2d=243$

$a+d=43$

Запишем сумму арифметической прогрессии, состоящей из 3 членов:

a+(a+d)+(a+2d)=3a+3d=3(a+d)= 129 верно. Подойдёт любой пример с a+d=43:

a=42, d=1. 42+43+44=129.

2) n=6 тогда 2a+d(6-1) = 43

2a+5d=43

Запишем сумму арифметической прогрессии, состоящей из 6 членов:

a+(a+d)+(a+2d)+(a+3d)+(a+4d)+(a+5d)=6a+15d=3(2a+5d) =129 верно. Подойдёт любой пример с 2a+5d=43:

если d=1, то а=19. 19+20+21+22+23+24=129.

№5

Можно ли привести пример пяти различных натуральных чисел, произведение которых равно 312 и

а) пять;

б) четыре;

в) три

из них образуют геометрическую прогрессию?

ответ

а) Разложим число 312 на простые множители, получим:

$312=2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 13$

Из этого разложения видно, что можно взять следующие неповторяющиеся натуральные множители: 2, 4, 3, 13:

$312=2\cdot 4\cdot 3\cdot 13$

Также число 312 можно разложить и так (нужно для геометрической прогрессии):

$312=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 13$

то есть имеем последовательность чисел 1, 2, 3, 4 и 13. Они не образуют геометрическую прогрессию, значит, пять членов быть не может.

б-в) Проанализируем, могут ли множители 1, 2, 3, 4, 13 образовывать геометрическую прогрессию. Знаменатель прогрессии должен быть целым числом и больше 1 (так как все члены натуральные и возрастают). Если взять q=2 , то числа 1, 2, 4 образуют члены геометрической прогрессии. Других вариантов (с большим числом членов) нет. Так как число 13 простое.

№6

На доске было написано 20 натуральных чисел (не обязательно различных), каждое из которых не превосходит 40. Вместо некоторых из чисел (возможно, одного) на доске написали числа, меньшие первоначальных на единицу. Числа, которые после этого оказались равными 0, с доски стёрли.

а) Могло ли оказаться так, что среднее арифметическое чисел на доске увеличилось?

б) Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 27. Могло ли среднее арифметическое оставшихся на доске чисел оказаться равным 34?

в) Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 27. Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел, которые остались на доске.

ответ

а) Среднее арифметическое может увеличиться, когда некоторые числа становятся нулями и вычеркиваются. Тогда количество чисел уменьшается.

Например, если были написаны по 10 раз числа 11 и 1 и со всеми провели эти действия, то их среднее было равно 6, а после описанных действий оно станет равно 10.

б) Обозначим за x количество изначально написанных единиц, которые превратятся в нули, а через y — количество прочих уменьшаемых чисел. Тогда сумма всех чисел равна 27 • 20 = 540, а сумма всех чисел, кроме будущих нулей, равна 540-x и их 20-x штук.

После описанных действий будет 20-x чисел с общей суммой 540-x-y. Значит новое среднее:

$\displaystyle \frac{540-x-y}{20-x}=34\leftrightarrow 540-x-y=680-34x\leftrightarrow 140=33x-y$

Значит $x\geq 5,$ так как $33x=140+y\geq 0. $ Но тогда $y\geq 33\cdot 5-140=25$, что невозможно.

в) Обозначая как в пункте б) получаем, что нужно максимизировать значение выражения y=0 и максимизировать число

$\displaystyle \frac{540-x}{20-x}=\displaystyle \frac{520+20-x}{20-x}=1+\displaystyle \frac{520}{20-x},$ то есть следует максимизировать x.

В первоначальном наборе x единиц, и 20-х чисел, которые не превосходят 40. Значит, сумма этих чисел не превосходит х+40(20-х). С другой стороны сумма первоначальных чисел равна 540. Получаем:

$x+40(20-x)\geq 540$

Откуда х≤6. Подставим это значение в дробь:

$1+\displaystyle \frac{520}{20-6}=38\displaystyle \frac{1}{7}$

Это возможно, например, для набора из шести единиц, числа 14 и тринадцати чисел по 40, из которых уменьшают все единицы.

№7

Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля), не кратное 100.

а) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 90?

б) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 88?

в) Какое наибольшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр?

ответ

Пусть данное число равно $100a+10b+c$ где a,b и c — цифры сотен, десятков и единиц соответственно. Если частное этого числа и суммы его цифр равно k то выполнено

$100a+10b+c=ka+kb+kc.$

а) Если частное равно 90, то $100a+10b+c=90a+90b+90c;$ $10a=80b+89c;$

Так как переменные – цифры, меньше 10, то 80b+89c &lt 100, то есть либо b либо c равно 0.

Например, при $a=8,b=1,c=0$ частное числа 810 и суммы его цифр равно 90.

б) Если частное равно 88, то $100a+10b+c=88a+88b+88c;$

$12a=78b+87c$

Рассуждая аналогично, что все переменные – цифры, получим неравенство:

$78b+87c &lt 120$ значит, либо b=0 и c =1, либо b=1 и c =0. Либо оба числа равны нулю. Но тогда число вида а00 при делении на сумму цифр, даст число 100, не удовлетворяющее условиям.

Но ни 78 ни 87 не делится на 12. Значит, частное трёхзначного числа и суммы его цифр не может быть равным 88.

в) Пусть k — наибольшее натуральное значение частного числа и суммы его цифр. Тогда

$100a+10b+c=ka+kb+kc$

$(100-k)a=(k-10)b+(k-1)c$

Сделаем оценку, так как а цифра, максимальное значение, которое она может принимать равно 9:

$(100-k)a\leq 9(100-k)$

$(k-10)b+(k-1)c\geq (k-10)(b+c)\geq k-10$

Получаем, что $9(100-k)\geq k-10,$, откуда $k\leq 91$

Значит, наибольшее натуральное значение частного трёхзначного числа и суммы его цифр равно 91. Пример: число 910.

№8

Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля).

а) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 12?

б) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 87?

в) Какое наименьшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр?

ответ

Пусть данное число равно 100a + 10b + c, где a, b и c — цифры сотен, десятков и единиц соответственно. Если частное этого числа и суммы его цифр равно к, то выполнено 100a + 10b + c = ka + kb + kc.

а) Если частное равно 12, то 100a + 10b + c = 12a + 12b + 12c; 88а = 2b + 11c, что верно, например, при b = 0, a = 1, c = 8: частное числа 108 и суммы его цифр равно 12.

б) Если частное равно 87, то 100a + 10b + c = 87a + 87b + 87c. Получаем: a a b + 86c b = 0, c = 1 или b = 1, c = 0. Но ни 77, ни 86 не делится на 13. Значит, частное трёхзначного числа и суммы его цифр не может быть равным 87.

в) Частное числа 198 и суммы его цифр равно 11.

Пусть k — наименьшее натуральное значение частного числа и суммы его цифр — равно 10 или меньше. Тогда

$100a+10b+c=ka+kb+kc$

$(100-k)a=(k-10)b+(k-1)c$

Сделаем оценку, так как а первая цифра числа, минимальное значение, которое она может принимать равно 1:

$(100-k)\leq (100-k)a$

$(k-1)c\leq 9(k-1)$

$(100-k)a+(10-k)b=(k-1)c\leq 9(k-1)$

Получаем, что $100-k\leq 9(k-1)$, откуда $k\geq 10,9$

Это противоречит условию $k\leq 10$. Значит, наименьшее натуральное значение частного трёхзначного числа и суммы его цифр равно 11. Пример: число 198.

№9

Каждое из чисел a₁, a₂, …, a₃₅₀ равно 1, 2, 3 или 4. {4}.$

Известно, что S₁ = 513.

 

а) Найдите S₄, если еще известно, что S₂ = 1097, S₃ = 3243.

б) Может ли S₄ = 4547 ?

в) Пусть S₄ = 4745. Найдите все значения, которые может принимать S₂.

ответ

Пусть количества едениц, двоек, троек и четверок среди $a_{1},a_{2},…a_{350}$ равны \ $m_{1},m_{2},m_{3},m_{4},$ соответственно. Тогда $m_{1}+m_{2}+m_{3}+m_{4}=350$ и $m_{1}+2m_{2}+3m_{3}+4m_{4}=513.$

а) По условию

$S_{1}=m_{1}+2m_{2}+3m_{3}+4m_{4}=513$

$S_{2}=m_{1}+4m_{2}+9m_{3}+16m_{4}=1097$ (каждый коэффициент возводится в квадрат).

$S_{3}=m_{1}+8m_{2}+27m_{3}+64m_{4}=3243$

где $m_{1}+m_{2}+m_{3}+m_{4}=350$

Получили систему четырех линейных уравнений с четырмя неизвестными, находим:

$m_{1}=282,m_{2}=7,m_{3}=27,m_{4}=34. $ Значаит,

$S_{4}=m_{1}+16m_{2}+81m_{3}+256m_{4}=11285.$

б) Если

$S_{4}=m_{1}+16m_{2}+81m_{3}+256m_{4}=4547,$

где $m_{1}+m_{2}+m_{3}+m_{4}=350,$ то $ 15m_{2}+80m_{3}+255m_{4}=4197.$ В последнем равенстве левая часть кратна 5, а правая — нет, поэтому $S_{4}$ не может быть равна 4547.

в) Если

$S_{4}=m_{1}+16m_{2}+81m_{3}+256m_{4}=4547,$

где $ m_{1}+m_{2}+m_{3}+m_{4}=350,$ то $15m_{2}+80m_{3}+255m_{4}=4395.$ Не забываем про условие на $S_{1}=m_{1}+2m_{2}+3m_{3}+4m_{4}=513.$

Получаем:$m_{2}+2m_{3}+3m_{4}=163$ или $15m_{2}+30m_{3}+45m_{4}=2445. $

Вычтем из первого полученного равенства второе:

$50m_{3}+210m_{4}=1950$ или $5m_{3}+21m_{4}=195.$

Значит, $m_{4}$ делится на 5 и может равняться только 0 или 5. При $m_{4}=0$ получаем:

$m_{3}=39,m_{2}=85,m_{1}=226,$ тогда $S_{2}=917.$

При $m_{4}=5$ получаем:

$m_{3}=18,m_{2}=112,m_{1}=215,$ тогда $S_{2}=905.$

Так твой прогресс будет сохраняться.

Регистрация

Мы отправили код на:

Изменить

Получить код повторно через 00:00

Я прочитал(-а) Политику конфиденциальности и согласен(-на) с правилами использования моих персональных данных

Ништяк!

Решено верно

Браво!

Решено верно

Крутяк!

Решено верно

Зачёт!

Решено верно

Чётко!

Решено верно

Бомбезно!

Решено верно

Огонь!

Решено верно

Юхууу!

Решено верно

Отпад!

Решено верно

Шикарно!

Решено верно

Блестяще!

Решено верно

Волшебно!

Решено верно

Задача 19 (С6).

Последовательности и прогрессии. — Математика

На занятии мы поговорим о свойствах прогрессий, порешаем вспомогательные задачи на прогрессии.

 

Конспект занятия «Задача 19 (С6). Последовательности и прогрессии.»

Арифметическая и геометрическая прогрессии.

Прогрессия — последовательность чисел, получаемых по некоторому правилу. Числа составляющие последовательность, называются ее членами.

Прогрессии:

Арифметическая прогрессия

Арифметическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждый член получается из предыдущего путем прибавления к нему одного и того же числа d, называемого разностью этой арифметической прогрессии.

Формула n-го члена:

Формулы суммы n первых членов:

Свойства арифметической прогрессии:

Геометрическая прогрессия

Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел, каждое из которых равно предыдущему, умноженному на некоторое постоянное для данной прогрессии число q, называемое знаменателем этой геометрической прогрессии.

Формула n-го члена:

Формулы суммы n первых членов:

Сумма бесконечной прогрессии:

Свойства геометрической прогрессии:

Задачи:

1. В арифметической прогрессии 10 членов. Сумма членов с четными номерами равна А, сумма членов с нечетными номерами равна В. Чему равна разность этой прогрессии?

2. Несколько последовательных натуральных чисел сложили и получили 2014. Какое максимальное количество могло быть?

3. Даны n различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию

а) Может ли сумма всех данных чисел быть равной 10?

б) Каково наибольшее значение n, если сумма всех данных чисел меньше 1000?

в) Найдите все возможные значения n, если сумма всех данных чисел равна 129.

1. Можно ли привести пример пяти различных натуральных чисел, произведение которых равно 1008 и

а) пять;

б) четыре;

в) три

из них образуют геометрическую прогрессию?

1. В возрастающей последовательности натуральных чисел каждые три последовательных члена образуют либо арифметическую, либо геометрическую прогрессию. Первый член последовательности равен 1, а последний 2076.

а) может ли в последовательности быть три члена?

б) может ли в последовательности быть четыре члена?

в) может ли в последовательности быть меньше 2076 членов?

1. Целые числа x, y, z в указанном порядке образуют геометрическую прогрессию.

а) Могул ли числа x+3, y² и z+5 образовывать в указанном порядке арифметическую прогрессию?

б) Могут ли числа 5x, y и 3z образовывать в указанном порядке арифметическую прогрессию?

в) Найдите все x, y и z, при которых числа 5x+3, y² и 3z+5 будут образовывать в указанном порядке арифметическую прогрессию?

1. Бесконечная арифметическая прогрессия, состоящая из различных нату­ральных чисел, первый член которой меньше 10, не содержит ни одного числа вида  . Какое наименьшее значение может принимать сумма первых 10 членов этой прогрессии?

1. Каждое из чисел a₁, a₂, …, a₃₅₀ равно 1, 2, 3 или 4. Обозначим

 

S₁ = a₁+a₂+…+a₃₅₀,

S₂ = a₁²+a₂²+…+a₃₅₀²,

S₃ = a₁³+a₂³+…+a₃₅₀³,

S₄ = a₁⁴+a₂⁴+…+a₃₅₀⁴.

 

Известно, что S₁ = 513.

 

а) Найдите S₄, если еще известно, что S₂ = 1097, S₃ = 3243.

б) Может ли S₄ = 4547 ?

в) Пусть S₄ = 4745. Найдите все значения, которые может принимать S₂.

Задание 1

(2 балла)

Арифметическая прогрессия содержит 25 членов. Первый член прогрессии равен 429, а разность  -22. Сколько членов прогрессии нужно взять, чтобы сумма была равна 3069?

Задание 2

(3 балла)

Найдите сумму корней уравнения ,  если |x|<1.

Задание 3

(4 балла)

Сумма цифр трёхзначного натурального числа А делится на 12. Сумма цифр числа  А + 6 также делится на 12. Найдите  наименьшее возможное число А.

Проверить правильность выполнения заданий вы можете в автоматическом режиме в разделе домашние задания на странице с курсом «Математика Подготовка к ЕГЭ, (бывшая С) 2017»

Следующий урок на тему » Задача 19 (С6). Прогрессии.»

Предыдущий урок на тему » Задача 19 (С6). Делимость. Свойства делимости.»

Формула суммы натуральных чисел

Формула суммы натуральных чисел получается с помощью формулы арифметической прогрессии, где общая разность между предыдущим и последующим числами равна 1. Натуральные числа также называют числами, считая от числа 1 до бесконечности, например как 1,2,3,4,5,6,7 и так далее. Давайте узнаем о сумме n натуральных чисел, о том, как выводится формула, и решим несколько примеров.

Что такое формула суммы натуральных чисел? 9{n}\) = [n(n+1)]/2,

, где n — натуральное число.

Определение суммы n натуральных чисел

Сумма n натуральных чисел может быть определена как форма арифметической прогрессии, в которой сумма n членов расположена в последовательности, где первый член равен 1, n — количество членов вдоль с n ^th срок. Сумма n натуральных чисел представляется как [n(n+1)]/2. Натуральные числа — это числа, которые начинаются с 1 и заканчиваются бесконечностью. Натуральные числа включают в себя целые числа, кроме числа 0.

Вывод формулы суммы натуральных чисел

Выведем сумму натуральных чисел, используя сумму n слагаемых в AP. В AP «a» — это первый член, «d» — общая разность, «l» — последний член, т.е. натуральные числа, общая разность между числами равна 1.

Сумма n членов арифметической прогрессии будет:

Сумма = a + (a+d) + (a+2d) …… + (l-2d) + (л-г) + л——————— (1)

При обратном порядке сумма остается той же, следовательно,

Сумма = l+(l-d)+(l-2d)..…+(a+2d)+(a+d)+a——— ———- (2)

Складывая уравнения 1 и 2, получаем

2 × Сумма = (a+l)+[(a+d)+(l-d)]………+[(l-d)+( a+d)]+(l+a)]

2× Сумма = (a+l)+(a+l)………+(a+l)+(a+l)

2× Сумма = n×(a+l)

⇒ Сумма = n/2(a+l)

Подставляя значение l из предыдущего уравнения, получаем

Сумма n членов арифметической прогрессии = n/2[2a + (н – 1)д]

Для натуральных чисел a = 1 и d = 1, следовательно,

S = n/2[2×1+(n-1)1]

S = [n(n+1)]/2

Следовательно, формула суммы натуральных чисел = [n(n+1)]/2

Есть вопросы по основным математическим понятиям?

Станьте чемпионом по решению проблем, используя логику, а не правила. Узнайте, что стоит за математикой, с нашими сертифицированными экспертами

Запишитесь на бесплатный пробный урок

Примеры формулы суммы натуральных чисел

Пример 1: Найдите сумму первых 35 натуральных чисел.

Решение: Дано, n = 35

Формула суммы натуральных чисел:

S = [n(n+1)]/2

S = [35(35+1)]/2

S = 630

Следовательно, сумма первых 35 натуральных чисел равна 630

Пример 2: Найдите сумму натуральных чисел от 1 до 100.

Решение: формула прогрессии для нахождения суммы натуральных чисел от 1 до 100. Где a = 1, n = 100 и d = 1

Сумма n членов арифметической прогрессии = n/2[2a + (n – 1)d]

S = 100/2[2×1 + (100 — 1)1]

S = 5050

Следовательно, сумма натуральных чисел от 1 до 100 равна 5050

Пример 3: Найдите сумму первых 5 натуральных чисел.

Решение: Дано, n = 5

Используя формулу суммы натуральных чисел, мы получаем,

Формула суммы натуральных чисел = [n(n+1)]/2

S = 5(5+1 )/2

S = 15

Следовательно, сумма первых 5 натуральных чисел равна 15

Часто задаваемые вопросы о формуле суммы натуральных чисел

Что означает формула суммы n натуральных чисел?

Формула суммы натуральных чисел используется для нахождения суммы натуральных чисел до n слагаемых. т. е. 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + …. до n членов. Для вывода формулы нам нужно использовать сумму формулы арифметической прогрессии, потому что натуральные числа расположены в арифметической последовательности. С 1 в качестве первого члена, 1 в качестве общей разности и до n членов мы используем сумму AP = n/2(2+(n-1)). Решив это, получим формулу суммы натуральных чисел = [n(n+1)]/2

Какова формула суммы n натуральных чисел?

Сумма натуральных чисел получается с помощью арифметической прогрессии. Следовательно, формула выглядит так:

Формула суммы натуральных чисел = [n(n+1)]/2

, где n — натуральное число.

Какова формула суммы первых n четных натуральных чисел?

Сумма первых n четных натуральных чисел равна n(n + 1). Вот как мы его получили:

n — это четные натуральные числа, равные 2,4,6,………., 2n, которые образуют арифметическую прогрессию. Здесь а = 2, d = 4 — 2 = 2

Используя формулу арифметической прогрессии, получаем Sn = n/2 [2a + (n – 1) d]

Sn = n/2 [2(2) + (n -1) 2]

Sn = n/2 [4 + 2n – 2]

Sn = n/2 × 2 [2 + n – 1]

Sn = n (n + 1)

Следовательно, сумма четных натуральных чисел равна n(n + 1)

Какова сумма первых 29 натуральных чисел по формуле?

Сумма формулы натуральных чисел = [n(n+1)]/2

S = 29(29+1)/2

S = 435

Следовательно, сумма первых 29натуральных чисел 435.

Как найти сумму n натуральных чисел?

Сумма n натуральных чисел может быть получена с помощью формулы

Формула суммы натуральных чисел = [n(n+1)]/2

Как найти сумму натуральных чисел от 1 до 100?

Сумма всех натуральных чисел от 1 до 100 равна 5050, где общее количество натуральных чисел в этом диапазоне равно 100.

Сумма первых n членов арифметической последовательности

Горячая математика

Предположим, последовательность чисел арифметика (то есть увеличивается или уменьшается на постоянную величину каждый член), и вы хотите найти сумму первого н условия.

Обозначим эту частичную сумму через С н . Затем

С н «=» н ( а 1 + а н ) 2 ,
где н это количество терминов, а 1 является первым термином и а н это последний срок.

Сумма первого н членов арифметической прогрессии называется арифметический ряд .

Пример 1:

Найдите сумму первых 20 члены арифметического ряда, если а 1 «=» 5 и а 20 «=» 62 .