Действия с дробями: правила, примеры, решения
Данная статья рассматривает действия над дробями. Будут сформированы и обоснованы правила сложения, вычитания, умножения, деления или возведения в степень дробей вида AB, где A и B могут быть числами, числовыми выражениями или выражениями с переменными. В заключении будут рассмотрены примеры решения с подробным описанием.
Правила выполнения действий с числовыми дробями общего вида
Числовые дроби общего вида имеют числитель и знаменатель, в которых имеются натуральные числа или числовые выражения. Если рассмотреть такие дроби, как 35, 2,84, 1+2·34·(5-2), 34+782,3-0,8, 12·2, π1-23+π, 20,5ln 3, то видно, что числитель и знаменатель может иметь не только числа, но и выражения различного плана.
Определение 1Существуют правила, по которым идет выполнение действий с обыкновенными дробями. Оно подходит и для дробей общего вида:
- При вычитании дробей с одинаковыми знаменателями складываются только числители, а знаменатель остается прежним, а именно: ad±cd=a±cd, значения a, c и d≠0 являются некоторыми числами или числовыми выражениями.
- При сложении или вычитании дроби при разных знаменателях, необходимо произвести приведение к общему, после чего произвести сложение или вычитание полученных дробей с одинаковыми показателями. Буквенно это выглядит таком образом ab±cd=a·p±c·rs, где значения a, b≠0, c, d≠0, p≠0, r≠0, s≠0 являются действительными числами, а b·p=d·r=s. Когда p=d и r=b, тогда ab±cd=a·d±c·db·d.
- При умножении дробей выполняется действие с числителями, после чего со знаменателями, тогда получим ab·cd=a·cb·d, где a, b≠0, c, d≠0 выступают в роли действительных чисел.
- При делении дроби на дробь первую умножаем на вторую обратную, то есть производим замену местами числителя и знаменателя: ab:cd=ab·dc.
Обоснование правил
Определение 2Существуют следующие математические моменты, на которые следует опираться при вычислении:
- дробная черта означает знак деления;
- деление на число рассматривается как умножение на его обратное значение;
- применение свойства действий с действительными числами;
- применение основного свойства дроби и числовых неравенств.
С их помощью можно производить преобразования вида:
ad±cd=a·d-1±c·d-1=a±c·d-1=a±cd;ab±cd=a·pb·p±c·rd·r=a·ps±c·es=a·p±c·rs;ab·cd=a·db·d·b·cb·d=a·d·a·d-1·b·c·b·d-1==a·d·b·c·b·d-1·b·d-1=a·d·b·cb·d·b·d-1==(a·c)·(b·d)-1=a·cb·d
Примеры
В предыдущем пункте было сказано про действия с дробями. Именно после этого дробь нуждается в упрощении. Подробно эта тема была рассмотрена в пункте о преобразовании дробей.
Для начала рассмотрим пример сложения и вычитания дробей с одинаковым знаменателем.
Пример 1Даны дроби 82,7 и 12,7, то по правилу необходимо числитель сложить, а знаменатель переписать.
Решение
Тогда получаем дробь вида 8+12,7. После выполнения сложения получаем дробь вида 8+12,7=92,7=9027=313. Значит, 82,7+12,7=8+12,7=92,7=9027=313.
Ответ: 82,7+12,7=313
Имеется другой способ решения. Для начала производится переход к виду обыкновенной дроби, после чего выполняем упрощение. Это выглядит таким образом:
82,7+12,7=8027+1027=9027=313
Пример 2Произведем вычитание из 1-23·log23·log25+1 дроби вида 233·log23·log25+1.
Так как даны равные знаменатели, значит, что мы выполняем вычисление дроби при одинаковом знаменателе. Получим, что
1-23·log23·log25+1-233·log23·log25+1=1-2-233·log23·log25+1
Имеются примеры вычисления дробей с разными знаменателями. Важный пункт – это приведение к общему знаменателю. Без этого мы не сможем выполнять дальнейшие действия с дробями.
Процесс отдаленно напоминает приведение к общему знаменателю. То есть производится поиск наименьшего общего делителя в знаменателе, после чего добавляются недостающие множители к дробям.
Если складываемые дроби не имеют общих множителей, тогда им может стать их произведение.
Пример 3Рассмотрим на примере сложения дробей 235+1 и 12.
Решение
В данном случае общим знаменателем выступает произведение знаменателей. Тогда получаем, что 2·35+1. Тогда при выставлении дополнительных множителей имеем, что к первой дроби он равен 2, а ко второй 35+1. После перемножения дроби приводятся к виду 42·35+1.
235+1+12=2·22·35+1+1·35+12·35+1==42·35+1+35+12·35+1=4+35+12·35+1=5+352·35+1
Ответ: 235+1+12=5+352·35+1
Когда имеем дело с дробями общего вида, тогда о наименьшем общем знаменателе обычно дело не идет. В качестве знаменателя нерентабельно принимать произведение числителей. Для начала необходимо проверить, имеется ли число, которое меньше по значению, чем их произведение.
Пример 4Рассмотрим на примере 16·215 и 14·235, когда их произведение будет равно 6·215·4·235=24·245. Тогда в качестве общего знаменателя берем 12·235.
Рассмотрим примеры умножений дробей общего вида.
Для этого необходимо произвести умножение 2+16 и 2·53·2+1.
Решение
Следую правилу, необходимо переписать и в виде знаменателя написать произведение числителей. Получаем, что 2+16·2·53·2+12+1·2·56·3·2+1. Когда дробь будет умножена, можно производить сокращения для ее упрощения.
Тогда 5·332+1:1093=5·332+1·9310.
Используя правило перехода от деления к умножению на обратную дробь, получим дробь, обратную данной. Для этого числитель и знаменатель меняются местами. Рассмотрим на примере:
5·332+1:1093=5·332+1·9310
После чего должны выполнить умножение и упростить полученную дробь. Если необходимо, то избавиться от иррациональности в знаменателе. Получаем, что
5·332+1:1093=5·33·9310·2+1=5·210·2+1=32·2+1==3·2-12·2+1·2-1=3·2-12·22-12=3·2-12
Ответ: 5·332+1:1093=3·2-12
Данный пункт применим, когда число или числовое выражение может быть представлено в виде дроби, имеющую знаменатель, равный 1, тогда и действие с такой дробью рассматривается отдельным пунктом. Например, выражение 16·74-1·3 видно, что корень из 3 может быть заменен другим 31 выражением. Тогда эта запись будет выглядеть как умножение двух дробей вида 16·74-1·3=16·74-1·31.
Выполнение действие с дробями, содержащими переменные
Правила, рассмотренные в первой статье , применимы для действий с дробями, содержащими переменные.
Рассмотрим правило вычитания, когда знаменатели одинаковые.
Необходимо доказать, что A, C и D (D не равное нулю) могут быть любыми выражениями, причем равенство AD±CD=A±CD равноценно с его областью допустимых значений.
Необходимо взять набор переменных ОДЗ. Тогда А, С, D должны принимать соответственные значения a0, c0 и d0. Подстановка вида AD±CD приводит разность вида a0d0±c0d0, где по правилу сложения получаем формулу вида a0±c0d0. Если подставить выражение A±CD, тогда получаем ту же дробь вида a0±c0d0. Отсюда делаем вывод, что выбранное значение, удовлетворяющее ОДЗ, A±CD и AD±CD считаются равными.
При любом значении переменных данные выражения будут равны, то есть их называют тождественно равными. Значит это выражение считается доказываемым равенством вида AD±CD=A±CD.
Примеры сложения и вычитания дробей с переменными
Когда имеются одинаковые знаменатели, необходимо только складывать или вычитать числители. Такая дробь может быть упрощена. Иногда приходится работать с дробями, которые являются тождественно равными, но при первом взгляде это незаметно, так как необходимо выполнять некоторые преобразования.
Например, x23·x13+1 и x13+12 или 12·sin 2α и sin a·cos a. Чаще всего требуется упрощение исходного выражения для того, чтобы увидеть одинаковые знаменатели.
Вычислить:1) x2+1x+x-2-5-xx+x-2, 2)lg2x+4x·(lg x+2)+4·lg xx·(lg x+2), x-1x-1+xx+1.
Решение
- Чтобы произвести вычисление, необходимо вычесть дроби, которым имеют одинаковые знаменатели. Тогда получаем, что x2+1x+x-2-5-xx+x-2=x2+1-5-xx+x-2. После чего можно выполнять раскрытие скобок с приведением подобных слагаемых. Получаем, чтоx2+1-5-xx+x-2=x2+1-5+xx+x-2=x2+x-4x+x-2
- Так как знаменатели одинаковые, то остается только сложить числители, оставив знаменатель:lg2x+4x·(lg x+2)+4·lg xx·(lg x+2)=lg2x+4+4x·(lg x+2)
Сложение было выполнено. Видно, что можно произвести сокращение дроби. Ее числитель может быть свернут по формуле квадрата суммы, тогда получим (lg x+2)2из формул сокращенного умножения. Тогда получаем, что
lg2x+4+2·lg xx·(lg x+2)=(lg x+2)2x·(lg x+2)=lg x+2x - Заданные дроби вида x-1x-1+xx+1 с разными знаменателями. После преобразования можно перейти к сложению.
После преобразования можно перейти к сложению.Рассмотрим двоякий способ решения.
Первый способ заключается в том, что знаменатель первой дроби подвергается разложению на множители при помощи квадратов, причем с ее последующим сокращением. Получим дробь вида
x-1x-1=x-1(x-1)·x+1=1x+1
Значит, x-1x-1+xx+1=1x+1+xx+1=1+xx+1.
В таком случае необходимо избавляться от иррациональности в знаменателе.
Получим:
1+xx+1=1+x·x-1x+1·x-1=x-1+x·x-xx-1
Второй способ заключается в умножении числителя и знаменателя второй дроби на выражение x-1. Таким образом, мы избавляемся от иррациональности и переходим к сложению дроби при наличии одинакового знаменателя. Тогда
x-1x-1+xx+1=x-1x-1+x·x-1x+1·x-1==x-1x-1+x·x-xx-1=x-1+x·x-xx-1
Ответ: 1) x2+1x+x-2-5-xx+x-2=x2+x-4x+x-2, 2)lg2x+4x·(lg x+2)+4·lg xx·(lg x+2)=lg x+2x, 3)x-1x-1+xx+1=x-1+x·x-xx-1.
В последнем примере получили, что приведение к общему знаменателю неизбежно. Для этого необходимо упрощать дроби.
Вычислить значения дробей: 1) x3+1×7+2·2, 2) x+1x·ln2(x+1)·(2x-4)-sin xx5·ln(x+1)·(2x-4), 3) 1cos2x-x+1cos2x+2·cos x·x+x
Решение
- Никаких сложных вычислений знаменатель не требует, поэтому нужно выбрать их произведение вида 3·x7+2·2, тогда к первой дроби x7+2·2 выбирают как дополнительный множитель, а 3 ко второй. При перемножении получаем дробь вида x3+1×7+2·2=x·x7+2·23·x7+2·2+3·13·x7+2·2==x·x7+2·2+33·x7+2·2=x·x7+2·2·x+33·x7+2·2
- Видно, что знаменатели представлены в виде произведения, что означает ненужность дополнительных преобразований. Общим знаменателем будет считаться произведение вида x5·ln2x+1·2x-4. Отсюда x4 является дополнительным множителем к первой дроби, а ln(x+1) ко второй. После чего производим вычитание и получаем, что:
x+1x·ln2(x+1)·2x-4-sin xx5·ln(x+1)·2x-4==x+1·x4x5·ln2(x+1)·2x-4-sin x·lnx+1×5·ln2(x+1)·(2x-4)==x+1·x4-sin x·ln(x+1)x5·ln2(x+1)·(2x-4)=x·x4+x4-sin x·ln(x+1)x5·ln2(x+1)·(2x-4) - Данный пример имеет смысл при работе со знаменателями дробями. Необходимо применить формулы разности квадратов и квадрат суммы, так как именно они дадут возможность перейти к выражению вида 1cos x-x·cos x+x+1(cos x+x)2. Видно, что дроби приводятся к общему знаменателю. Получаем, что cos x-x·cos x+x2.
Необходимо применить формулы разности квадратов и квадрат суммы, так как именно они дадут возможность перейти к выражению вида 1cos x-x·cos x+x+1(cos x+x)2. Видно, что дроби приводятся к общему знаменателю. Получаем, что cos x-x·cos x+x2.После чего получаем, что
1cos2x-x+1cos2x+2·cos x·x+x==1cos x-x·cos x+x+1cos x+x2==cos x+xcos x-x·cos x+x2+cos x-xcos x-x·cos x+x2==cos x+x+cos x-xcos x-x·cos x+x2=2·cos xcos x-x·cos x+x2
Ответ:
1) x3+1×7+2·2=x·x7+2·2·x+33·x7+2·2, 2) x+1x·ln2(x+1)·2x-4-sin xx5·ln(x+1)·2x-4==x·x4+x4-sin x·ln(x+1)x5·ln2(x+1)·(2x-4), 3) 1cos2x-x+1cos2x+2·cos x·x+x=2·cos xcos x-x·cos x+x2.
Примеры умножения дробей с переменными
При умножении дробей числитель умножается на числитель, а знаменатель на знаменатель. Тогда можно применять свойство сокращения.
Пример 8Произвести умножение дробей x+2·xx2·ln x2·ln x+1 и 3·x213·x+1-2sin2·x-x.
Решение
Необходимо выполнить умножение.
Получаем, что
x+2·xx2·ln x2·ln x+1·3·x213·x+1-2sin(2·x-x)==x-2·x·3·x213·x+1-2×2·ln x2·ln x+1·sin (2·x-x)
Число 3 переносится на первое место для удобства подсчетов, причем можно произвести сокращение дроби на x2, тогда получим выражение вида
3·x-2·x·x13·x+1-2ln x2·ln x+1·sin (2·x-x)
Ответ: x+2·xx2·ln x2·ln x+1·3·x213·x+1-2sin(2·x-x)=3·x-2·x·x13·x+1-2ln x2·ln x+1·sin (2·x-x).
Деление
Деление у дробей аналогично умножению, так как первую дробь умножают на вторую обратную. Если взять к примеру дробь x+2·xx2·ln x2·ln x+1 и разделить на 3·x213·x+1-2sin2·x-x, тогда это можно записать таким образом, как
x+2·xx2·ln x2·ln x+1:3·x213·x+1-2sin(2·x-x), после чего заменить произведением вида x+2·xx2·ln x2·ln x+1·3·x213·x+1-2sin(2·x-x)
Возведение в степень
Перейдем к рассмотрению действия с дробями общего вида с возведением в степень. Если имеется степень с натуральным показателем, тогда действие рассматривают как умножение одинаковых дробей.
Но рекомендовано использовать общий подход, базирующийся на свойствах степеней. Любые выражения А и С, где С тождественно не равняется нулю, а любое действительное r на ОДЗ для выражения вида ACr справедливо равенство ACr=ArCr. Результат – дробь, возведенная в степень. Для примера рассмотрим:
x0,7-π·ln3x-2-5x+12,5==x0,7-π·ln3x-2-52,5x+12,5
Порядок выполнения действий с дробями
Действия над дробями выполняются по определенным правилам. На практике замечаем, что выражение может содержать несколько дробей или дробных выражений. Тогда необходимо все действия выполнять в строгом порядке: возводить в степень, умножать, делить, после чего складывать и вычитать. При наличии скобок первое действие выполняется именно в них.
Пример 9Вычислить 1-xcos x-1cos x·1+1x.
Решение
Так как имеем одинаковый знаменатель, то 1-xcos x и 1cos x, но производить вычитания по правилу нельзя, сначала выполняются действия в скобках, после чего умножение, а потом сложение.
Тогда при вычислении получаем, что
1+1x=11+1x=xx+1x=x+1x
При подстановке выражения в исходное получаем, что 1-xcos x-1cos x·x+1x. При умножении дробей имеем: 1cos x·x+1x=x+1cos x·x. Произведя все подстановки, получим 1-xcos x-x+1cos x·x. Теперь необходимо работать с дробями, которые имеют разные знаменатели. Получим:
x·1-xcos x·x-x+1cos x·x=x·1-x-1+xcos x·x==x-x-x-1cos x·x=-x+1cos x·x
Ответ: 1-xcos x-1cos x·1+1x=-x+1cos x·x.
Решение задач
от 1 дня / от 150 р.
Курсовая работа
от 5 дней / от 1800 р.
Реферат
от 1 дня / от 700 р.
Действия с дробями: правила, примеры, решения
Данная статья рассматривает действия над дробями. Будут сформированы и обоснованы правила сложения, вычитания, умножения, деления или возведения в степень дробей вида AB, где A и B могут быть числами, числовыми выражениями или выражениями с переменными. В заключении будут рассмотрены примеры решения с подробным описанием.
Правила выполнения действий с числовыми дробями общего вида
Числовые дроби общего вида имеют числитель и знаменатель, в которых имеются натуральные числа или числовые выражения.
Если рассмотреть такие дроби, как 35, 2,84, 1+2·34·(5-2), 34+782,3-0,8, 12·2, π1-23+π, 20,5ln 3, то видно, что числитель и знаменатель может иметь не только числа, но и выражения различного плана.
Существуют правила, по которым идет выполнение действий с обыкновенными дробями. Оно подходит и для дробей общего вида:
- При вычитании дробей с одинаковыми знаменателями складываются только числители, а знаменатель остается прежним, а именно: ad±cd=a±cd, значения a, c и d≠0 являются некоторыми числами или числовыми выражениями.
- При сложении или вычитании дроби при разных знаменателях, необходимо произвести приведение к общему, после чего произвести сложение или вычитание полученных дробей с одинаковыми показателями. Буквенно это выглядит таком образом ab±cd=a·p±c·rs, где значения a, b≠0, c, d≠0, p≠0, r≠0, s≠0 являются действительными числами, а b·p=d·r=s. Когда p=d и r=b, тогда ab±cd=a·d±c·db·d.
- При умножении дробей выполняется действие с числителями, после чего со знаменателями, тогда получим ab·cd=a·cb·d, где a, b≠0, c, d≠0 выступают в роли действительных чисел.
- При делении дроби на дробь первую умножаем на вторую обратную, то есть производим замену местами числителя и знаменателя: ab:cd=ab·dc.
Обоснование правил
Определение 2Существуют следующие математические моменты, на которые следует опираться при вычислении:
- дробная черта означает знак деления;
- деление на число рассматривается как умножение на его обратное значение;
- применение свойства действий с действительными числами;
- применение основного свойства дроби и числовых неравенств.
С их помощью можно производить преобразования вида:
ad±cd=a·d-1±c·d-1=a±c·d-1=a±cd;ab±cd=a·pb·p±c·rd·r=a·ps±c·es=a·p±c·rs;ab·cd=a·db·d·b·cb·d=a·d·a·d-1·b·c·b·d-1==a·d·b·c·b·d-1·b·d-1=a·d·b·cb·d·b·d-1==(a·c)·(b·d)-1=a·cb·d
Примеры
В предыдущем пункте было сказано про действия с дробями. Именно после этого дробь нуждается в упрощении. Подробно эта тема была рассмотрена в пункте о преобразовании дробей.
Для начала рассмотрим пример сложения и вычитания дробей с одинаковым знаменателем.
Даны дроби 82,7 и 12,7, то по правилу необходимо числитель сложить, а знаменатель переписать.
Решение
Тогда получаем дробь вида 8+12,7. После выполнения сложения получаем дробь вида 8+12,7=92,7=9027=313. Значит, 82,7+12,7=8+12,7=92,7=9027=313.
Ответ: 82,7+12,7=313
Имеется другой способ решения. Для начала производится переход к виду обыкновенной дроби, после чего выполняем упрощение. Это выглядит таким образом:
82,7+12,7=8027+1027=9027=313
Пример 2Произведем вычитание из 1-23·log23·log25+1 дроби вида 233·log23·log25+1.
Так как даны равные знаменатели, значит, что мы выполняем вычисление дроби при одинаковом знаменателе. Получим, что
1-23·log23·log25+1-233·log23·log25+1=1-2-233·log23·log25+1
Имеются примеры вычисления дробей с разными знаменателями. Важный пункт – это приведение к общему знаменателю. Без этого мы не сможем выполнять дальнейшие действия с дробями.
Процесс отдаленно напоминает приведение к общему знаменателю.
То есть производится поиск наименьшего общего делителя в знаменателе, после чего добавляются недостающие множители к дробям.
Если складываемые дроби не имеют общих множителей, тогда им может стать их произведение.
Пример 3Рассмотрим на примере сложения дробей 235+1 и 12.
Решение
В данном случае общим знаменателем выступает произведение знаменателей. Тогда получаем, что 2·35+1. Тогда при выставлении дополнительных множителей имеем, что к первой дроби он равен 2, а ко второй 35+1. После перемножения дроби приводятся к виду 42·35+1. Общее приведение 12 будет иметь вид 35+12·35+1. Полученные дробные выражения складываем и получаем, что
235+1+12=2·22·35+1+1·35+12·35+1==42·35+1+35+12·35+1=4+35+12·35+1=5+352·35+1
Ответ: 235+1+12=5+352·35+1
Когда имеем дело с дробями общего вида, тогда о наименьшем общем знаменателе обычно дело не идет. В качестве знаменателя нерентабельно принимать произведение числителей.
Для начала необходимо проверить, имеется ли число, которое меньше по значению, чем их произведение.
Рассмотрим на примере 16·215 и 14·235, когда их произведение будет равно 6·215·4·235=24·245. Тогда в качестве общего знаменателя берем 12·235.
Рассмотрим примеры умножений дробей общего вида.
Пример 5Для этого необходимо произвести умножение 2+16 и 2·53·2+1.
Решение
Следую правилу, необходимо переписать и в виде знаменателя написать произведение числителей. Получаем, что 2+16·2·53·2+12+1·2·56·3·2+1. Когда дробь будет умножена, можно производить сокращения для ее упрощения. Тогда 5·332+1:1093=5·332+1·9310.
Используя правило перехода от деления к умножению на обратную дробь, получим дробь, обратную данной. Для этого числитель и знаменатель меняются местами. Рассмотрим на примере:
5·332+1:1093=5·332+1·9310
После чего должны выполнить умножение и упростить полученную дробь. Если необходимо, то избавиться от иррациональности в знаменателе.
Получаем, что
5·332+1:1093=5·33·9310·2+1=5·210·2+1=32·2+1==3·2-12·2+1·2-1=3·2-12·22-12=3·2-12
Ответ: 5·332+1:1093=3·2-12
Данный пункт применим, когда число или числовое выражение может быть представлено в виде дроби, имеющую знаменатель, равный 1, тогда и действие с такой дробью рассматривается отдельным пунктом. Например, выражение 16·74-1·3 видно, что корень из 3 может быть заменен другим 31 выражением. Тогда эта запись будет выглядеть как умножение двух дробей вида 16·74-1·3=16·74-1·31.
Выполнение действие с дробями, содержащими переменные
Правила, рассмотренные в первой статье , применимы для действий с дробями, содержащими переменные. Рассмотрим правило вычитания, когда знаменатели одинаковые.
Необходимо доказать, что A, C и D (D не равное нулю) могут быть любыми выражениями, причем равенство AD±CD=A±CD равноценно с его областью допустимых значений.
Необходимо взять набор переменных ОДЗ. Тогда А, С, D должны принимать соответственные значения a0, c0 и d0.
Подстановка вида AD±CD приводит разность вида a0d0±c0d0, где по правилу сложения получаем формулу вида a0±c0d0. Если подставить выражение A±CD, тогда получаем ту же дробь вида a0±c0d0. Отсюда делаем вывод, что выбранное значение, удовлетворяющее ОДЗ, A±CD и AD±CD считаются равными.
При любом значении переменных данные выражения будут равны, то есть их называют тождественно равными. Значит это выражение считается доказываемым равенством вида AD±CD=A±CD.
Примеры сложения и вычитания дробей с переменными
Когда имеются одинаковые знаменатели, необходимо только складывать или вычитать числители. Такая дробь может быть упрощена. Иногда приходится работать с дробями, которые являются тождественно равными, но при первом взгляде это незаметно, так как необходимо выполнять некоторые преобразования. Например, x23·x13+1 и x13+12 или 12·sin 2α и sin a·cos a. Чаще всего требуется упрощение исходного выражения для того, чтобы увидеть одинаковые знаменатели.
Пример 6Вычислить:1) x2+1x+x-2-5-xx+x-2, 2)lg2x+4x·(lg x+2)+4·lg xx·(lg x+2), x-1x-1+xx+1.
Решение
- Чтобы произвести вычисление, необходимо вычесть дроби, которым имеют одинаковые знаменатели. Тогда получаем, что x2+1x+x-2-5-xx+x-2=x2+1-5-xx+x-2. После чего можно выполнять раскрытие скобок с приведением подобных слагаемых. Получаем, чтоx2+1-5-xx+x-2=x2+1-5+xx+x-2=x2+x-4x+x-2
- Так как знаменатели одинаковые, то остается только сложить числители, оставив знаменатель:lg2x+4x·(lg x+2)+4·lg xx·(lg x+2)=lg2x+4+4x·(lg x+2)
Сложение было выполнено. Видно, что можно произвести сокращение дроби. Ее числитель может быть свернут по формуле квадрата суммы, тогда получим (lg x+2)2из формул сокращенного умножения. Тогда получаем, что
lg2x+4+2·lg xx·(lg x+2)=(lg x+2)2x·(lg x+2)=lg x+2x - Заданные дроби вида x-1x-1+xx+1 с разными знаменателями. После преобразования можно перейти к сложению.
Рассмотрим двоякий способ решения.
Первый способ заключается в том, что знаменатель первой дроби подвергается разложению на множители при помощи квадратов, причем с ее последующим сокращением.
Получим дробь вида
x-1x-1=x-1(x-1)·x+1=1x+1
Значит, x-1x-1+xx+1=1x+1+xx+1=1+xx+1.
В таком случае необходимо избавляться от иррациональности в знаменателе.
Получим:
1+xx+1=1+x·x-1x+1·x-1=x-1+x·x-xx-1
Второй способ заключается в умножении числителя и знаменателя второй дроби на выражение x-1. Таким образом, мы избавляемся от иррациональности и переходим к сложению дроби при наличии одинакового знаменателя. Тогда
x-1x-1+xx+1=x-1x-1+x·x-1x+1·x-1==x-1x-1+x·x-xx-1=x-1+x·x-xx-1
Ответ: 1) x2+1x+x-2-5-xx+x-2=x2+x-4x+x-2, 2)lg2x+4x·(lg x+2)+4·lg xx·(lg x+2)=lg x+2x, 3)x-1x-1+xx+1=x-1+x·x-xx-1.
В последнем примере получили, что приведение к общему знаменателю неизбежно. Для этого необходимо упрощать дроби. Для сложения или вычитая всегда необходимо искать общий знаменатель, который выглядит как произведение знаменателей с добавлением дополниетльных множителей к числителям.
Пример 7Вычислить значения дробей: 1) x3+1×7+2·2, 2) x+1x·ln2(x+1)·(2x-4)-sin xx5·ln(x+1)·(2x-4), 3) 1cos2x-x+1cos2x+2·cos x·x+x
Решение
- Никаких сложных вычислений знаменатель не требует, поэтому нужно выбрать их произведение вида 3·x7+2·2, тогда к первой дроби x7+2·2 выбирают как дополнительный множитель, а 3 ко второй. При перемножении получаем дробь вида x3+1×7+2·2=x·x7+2·23·x7+2·2+3·13·x7+2·2==x·x7+2·2+33·x7+2·2=x·x7+2·2·x+33·x7+2·2
- Видно, что знаменатели представлены в виде произведения, что означает ненужность дополнительных преобразований. Общим знаменателем будет считаться произведение вида x5·ln2x+1·2x-4. Отсюда x4 является дополнительным множителем к первой дроби, а ln(x+1) ко второй. После чего производим вычитание и получаем, что:
x+1x·ln2(x+1)·2x-4-sin xx5·ln(x+1)·2x-4==x+1·x4x5·ln2(x+1)·2x-4-sin x·lnx+1×5·ln2(x+1)·(2x-4)==x+1·x4-sin x·ln(x+1)x5·ln2(x+1)·(2x-4)=x·x4+x4-sin x·ln(x+1)x5·ln2(x+1)·(2x-4) - Данный пример имеет смысл при работе со знаменателями дробями. Необходимо применить формулы разности квадратов и квадрат суммы, так как именно они дадут возможность перейти к выражению вида 1cos x-x·cos x+x+1(cos x+x)2. Видно, что дроби приводятся к общему знаменателю. Получаем, что cos x-x·cos x+x2.
При перемножении получаем дробь вида x3+1×7+2·2=x·x7+2·23·x7+2·2+3·13·x7+2·2==x·x7+2·2+33·x7+2·2=x·x7+2·2·x+33·x7+2·2После чего получаем, что
1cos2x-x+1cos2x+2·cos x·x+x==1cos x-x·cos x+x+1cos x+x2==cos x+xcos x-x·cos x+x2+cos x-xcos x-x·cos x+x2==cos x+x+cos x-xcos x-x·cos x+x2=2·cos xcos x-x·cos x+x2
Ответ:
1) x3+1×7+2·2=x·x7+2·2·x+33·x7+2·2, 2) x+1x·ln2(x+1)·2x-4-sin xx5·ln(x+1)·2x-4==x·x4+x4-sin x·ln(x+1)x5·ln2(x+1)·(2x-4), 3) 1cos2x-x+1cos2x+2·cos x·x+x=2·cos xcos x-x·cos x+x2.
Примеры умножения дробей с переменными
При умножении дробей числитель умножается на числитель, а знаменатель на знаменатель. Тогда можно применять свойство сокращения.
Пример 8Произвести умножение дробей x+2·xx2·ln x2·ln x+1 и 3·x213·x+1-2sin2·x-x.
Решение
Необходимо выполнить умножение. Получаем, что
x+2·xx2·ln x2·ln x+1·3·x213·x+1-2sin(2·x-x)==x-2·x·3·x213·x+1-2×2·ln x2·ln x+1·sin (2·x-x)
Число 3 переносится на первое место для удобства подсчетов, причем можно произвести сокращение дроби на x2, тогда получим выражение вида
3·x-2·x·x13·x+1-2ln x2·ln x+1·sin (2·x-x)
Ответ: x+2·xx2·ln x2·ln x+1·3·x213·x+1-2sin(2·x-x)=3·x-2·x·x13·x+1-2ln x2·ln x+1·sin (2·x-x).
Деление
Деление у дробей аналогично умножению, так как первую дробь умножают на вторую обратную. Если взять к примеру дробь x+2·xx2·ln x2·ln x+1 и разделить на 3·x213·x+1-2sin2·x-x, тогда это можно записать таким образом, как
x+2·xx2·ln x2·ln x+1:3·x213·x+1-2sin(2·x-x), после чего заменить произведением вида x+2·xx2·ln x2·ln x+1·3·x213·x+1-2sin(2·x-x)
Возведение в степень
Перейдем к рассмотрению действия с дробями общего вида с возведением в степень.
Если имеется степень с натуральным показателем, тогда действие рассматривают как умножение одинаковых дробей. Но рекомендовано использовать общий подход, базирующийся на свойствах степеней. Любые выражения А и С, где С тождественно не равняется нулю, а любое действительное r на ОДЗ для выражения вида ACr справедливо равенство ACr=ArCr. Результат – дробь, возведенная в степень. Для примера рассмотрим:
x0,7-π·ln3x-2-5x+12,5==x0,7-π·ln3x-2-52,5x+12,5
Порядок выполнения действий с дробями
Действия над дробями выполняются по определенным правилам. На практике замечаем, что выражение может содержать несколько дробей или дробных выражений. Тогда необходимо все действия выполнять в строгом порядке: возводить в степень, умножать, делить, после чего складывать и вычитать. При наличии скобок первое действие выполняется именно в них.
Пример 9Вычислить 1-xcos x-1cos x·1+1x.
Решение
Так как имеем одинаковый знаменатель, то 1-xcos x и 1cos x, но производить вычитания по правилу нельзя, сначала выполняются действия в скобках, после чего умножение, а потом сложение.
Тогда при вычислении получаем, что
1+1x=11+1x=xx+1x=x+1x
При подстановке выражения в исходное получаем, что 1-xcos x-1cos x·x+1x. При умножении дробей имеем: 1cos x·x+1x=x+1cos x·x. Произведя все подстановки, получим 1-xcos x-x+1cos x·x. Теперь необходимо работать с дробями, которые имеют разные знаменатели. Получим:
x·1-xcos x·x-x+1cos x·x=x·1-x-1+xcos x·x==x-x-x-1cos x·x=-x+1cos x·x
Ответ: 1-xcos x-1cos x·1+1x=-x+1cos x·x.
Решение задач
от 1 дня / от 150 р.
Курсовая работа
от 5 дней / от 1800 р.
Реферат
от 1 дня / от 700 р.
Действия с дробями: правила, примеры, решения
Данная статья рассматривает действия над дробями. Будут сформированы и обоснованы правила сложения, вычитания, умножения, деления или возведения в степень дробей вида AB, где A и B могут быть числами, числовыми выражениями или выражениями с переменными. В заключении будут рассмотрены примеры решения с подробным описанием.
Правила выполнения действий с числовыми дробями общего вида
Числовые дроби общего вида имеют числитель и знаменатель, в которых имеются натуральные числа или числовые выражения.
Если рассмотреть такие дроби, как 35, 2,84, 1+2·34·(5-2), 34+782,3-0,8, 12·2, π1-23+π, 20,5ln 3, то видно, что числитель и знаменатель может иметь не только числа, но и выражения различного плана.
Существуют правила, по которым идет выполнение действий с обыкновенными дробями. Оно подходит и для дробей общего вида:
- При вычитании дробей с одинаковыми знаменателями складываются только числители, а знаменатель остается прежним, а именно: ad±cd=a±cd, значения a, c и d≠0 являются некоторыми числами или числовыми выражениями.
- При сложении или вычитании дроби при разных знаменателях, необходимо произвести приведение к общему, после чего произвести сложение или вычитание полученных дробей с одинаковыми показателями. Буквенно это выглядит таком образом ab±cd=a·p±c·rs, где значения a, b≠0, c, d≠0, p≠0, r≠0, s≠0 являются действительными числами, а b·p=d·r=s. Когда p=d и r=b, тогда ab±cd=a·d±c·db·d.
- При умножении дробей выполняется действие с числителями, после чего со знаменателями, тогда получим ab·cd=a·cb·d, где a, b≠0, c, d≠0 выступают в роли действительных чисел.
- При делении дроби на дробь первую умножаем на вторую обратную, то есть производим замену местами числителя и знаменателя: ab:cd=ab·dc.
Обоснование правил
Определение 2Существуют следующие математические моменты, на которые следует опираться при вычислении:
- дробная черта означает знак деления;
- деление на число рассматривается как умножение на его обратное значение;
- применение свойства действий с действительными числами;
- применение основного свойства дроби и числовых неравенств.
С их помощью можно производить преобразования вида:
ad±cd=a·d-1±c·d-1=a±c·d-1=a±cd;ab±cd=a·pb·p±c·rd·r=a·ps±c·es=a·p±c·rs;ab·cd=a·db·d·b·cb·d=a·d·a·d-1·b·c·b·d-1==a·d·b·c·b·d-1·b·d-1=a·d·b·cb·d·b·d-1==(a·c)·(b·d)-1=a·cb·d
Примеры
В предыдущем пункте было сказано про действия с дробями. Именно после этого дробь нуждается в упрощении. Подробно эта тема была рассмотрена в пункте о преобразовании дробей.
Для начала рассмотрим пример сложения и вычитания дробей с одинаковым знаменателем.
Даны дроби 82,7 и 12,7, то по правилу необходимо числитель сложить, а знаменатель переписать.
Решение
Тогда получаем дробь вида 8+12,7. После выполнения сложения получаем дробь вида 8+12,7=92,7=9027=313. Значит, 82,7+12,7=8+12,7=92,7=9027=313.
Ответ: 82,7+12,7=313
Имеется другой способ решения. Для начала производится переход к виду обыкновенной дроби, после чего выполняем упрощение. Это выглядит таким образом:
82,7+12,7=8027+1027=9027=313
Пример 2Произведем вычитание из 1-23·log23·log25+1 дроби вида 233·log23·log25+1.
Так как даны равные знаменатели, значит, что мы выполняем вычисление дроби при одинаковом знаменателе. Получим, что
1-23·log23·log25+1-233·log23·log25+1=1-2-233·log23·log25+1
Имеются примеры вычисления дробей с разными знаменателями. Важный пункт – это приведение к общему знаменателю. Без этого мы не сможем выполнять дальнейшие действия с дробями.
Процесс отдаленно напоминает приведение к общему знаменателю.
То есть производится поиск наименьшего общего делителя в знаменателе, после чего добавляются недостающие множители к дробям.
Если складываемые дроби не имеют общих множителей, тогда им может стать их произведение.
Пример 3Рассмотрим на примере сложения дробей 235+1 и 12.
Решение
В данном случае общим знаменателем выступает произведение знаменателей. Тогда получаем, что 2·35+1. Тогда при выставлении дополнительных множителей имеем, что к первой дроби он равен 2, а ко второй 35+1. После перемножения дроби приводятся к виду 42·35+1. Общее приведение 12 будет иметь вид 35+12·35+1. Полученные дробные выражения складываем и получаем, что
235+1+12=2·22·35+1+1·35+12·35+1==42·35+1+35+12·35+1=4+35+12·35+1=5+352·35+1
Ответ: 235+1+12=5+352·35+1
Когда имеем дело с дробями общего вида, тогда о наименьшем общем знаменателе обычно дело не идет. В качестве знаменателя нерентабельно принимать произведение числителей.
Для начала необходимо проверить, имеется ли число, которое меньше по значению, чем их произведение.
Рассмотрим на примере 16·215 и 14·235, когда их произведение будет равно 6·215·4·235=24·245. Тогда в качестве общего знаменателя берем 12·235.
Рассмотрим примеры умножений дробей общего вида.
Пример 5Для этого необходимо произвести умножение 2+16 и 2·53·2+1.
Решение
Следую правилу, необходимо переписать и в виде знаменателя написать произведение числителей. Получаем, что 2+16·2·53·2+12+1·2·56·3·2+1. Когда дробь будет умножена, можно производить сокращения для ее упрощения. Тогда 5·332+1:1093=5·332+1·9310.
Используя правило перехода от деления к умножению на обратную дробь, получим дробь, обратную данной. Для этого числитель и знаменатель меняются местами. Рассмотрим на примере:
5·332+1:1093=5·332+1·9310
После чего должны выполнить умножение и упростить полученную дробь. Если необходимо, то избавиться от иррациональности в знаменателе.
Получаем, что
5·332+1:1093=5·33·9310·2+1=5·210·2+1=32·2+1==3·2-12·2+1·2-1=3·2-12·22-12=3·2-12
Ответ: 5·332+1:1093=3·2-12
Данный пункт применим, когда число или числовое выражение может быть представлено в виде дроби, имеющую знаменатель, равный 1, тогда и действие с такой дробью рассматривается отдельным пунктом. Например, выражение 16·74-1·3 видно, что корень из 3 может быть заменен другим 31 выражением. Тогда эта запись будет выглядеть как умножение двух дробей вида 16·74-1·3=16·74-1·31.
Выполнение действие с дробями, содержащими переменные
Правила, рассмотренные в первой статье , применимы для действий с дробями, содержащими переменные. Рассмотрим правило вычитания, когда знаменатели одинаковые.
Необходимо доказать, что A, C и D (D не равное нулю) могут быть любыми выражениями, причем равенство AD±CD=A±CD равноценно с его областью допустимых значений.
Необходимо взять набор переменных ОДЗ. Тогда А, С, D должны принимать соответственные значения a0, c0 и d0.
Подстановка вида AD±CD приводит разность вида a0d0±c0d0, где по правилу сложения получаем формулу вида a0±c0d0. Если подставить выражение A±CD, тогда получаем ту же дробь вида a0±c0d0. Отсюда делаем вывод, что выбранное значение, удовлетворяющее ОДЗ, A±CD и AD±CD считаются равными.
При любом значении переменных данные выражения будут равны, то есть их называют тождественно равными. Значит это выражение считается доказываемым равенством вида AD±CD=A±CD.
Примеры сложения и вычитания дробей с переменными
Когда имеются одинаковые знаменатели, необходимо только складывать или вычитать числители. Такая дробь может быть упрощена. Иногда приходится работать с дробями, которые являются тождественно равными, но при первом взгляде это незаметно, так как необходимо выполнять некоторые преобразования. Например, x23·x13+1 и x13+12 или 12·sin 2α и sin a·cos a. Чаще всего требуется упрощение исходного выражения для того, чтобы увидеть одинаковые знаменатели.
Пример 6Вычислить:1) x2+1x+x-2-5-xx+x-2, 2)lg2x+4x·(lg x+2)+4·lg xx·(lg x+2), x-1x-1+xx+1.
Решение
- Чтобы произвести вычисление, необходимо вычесть дроби, которым имеют одинаковые знаменатели. Тогда получаем, что x2+1x+x-2-5-xx+x-2=x2+1-5-xx+x-2. После чего можно выполнять раскрытие скобок с приведением подобных слагаемых. Получаем, чтоx2+1-5-xx+x-2=x2+1-5+xx+x-2=x2+x-4x+x-2
- Так как знаменатели одинаковые, то остается только сложить числители, оставив знаменатель:lg2x+4x·(lg x+2)+4·lg xx·(lg x+2)=lg2x+4+4x·(lg x+2)
Сложение было выполнено. Видно, что можно произвести сокращение дроби. Ее числитель может быть свернут по формуле квадрата суммы, тогда получим (lg x+2)2из формул сокращенного умножения. Тогда получаем, что
lg2x+4+2·lg xx·(lg x+2)=(lg x+2)2x·(lg x+2)=lg x+2x - Заданные дроби вида x-1x-1+xx+1 с разными знаменателями. После преобразования можно перейти к сложению.
Рассмотрим двоякий способ решения.
Первый способ заключается в том, что знаменатель первой дроби подвергается разложению на множители при помощи квадратов, причем с ее последующим сокращением.
Получим дробь вида
x-1x-1=x-1(x-1)·x+1=1x+1
Значит, x-1x-1+xx+1=1x+1+xx+1=1+xx+1.
В таком случае необходимо избавляться от иррациональности в знаменателе.
Получим:
1+xx+1=1+x·x-1x+1·x-1=x-1+x·x-xx-1
Второй способ заключается в умножении числителя и знаменателя второй дроби на выражение x-1. Таким образом, мы избавляемся от иррациональности и переходим к сложению дроби при наличии одинакового знаменателя. Тогда
x-1x-1+xx+1=x-1x-1+x·x-1x+1·x-1==x-1x-1+x·x-xx-1=x-1+x·x-xx-1
Ответ: 1) x2+1x+x-2-5-xx+x-2=x2+x-4x+x-2, 2)lg2x+4x·(lg x+2)+4·lg xx·(lg x+2)=lg x+2x, 3)x-1x-1+xx+1=x-1+x·x-xx-1.
В последнем примере получили, что приведение к общему знаменателю неизбежно. Для этого необходимо упрощать дроби. Для сложения или вычитая всегда необходимо искать общий знаменатель, который выглядит как произведение знаменателей с добавлением дополниетльных множителей к числителям.
Пример 7Вычислить значения дробей: 1) x3+1×7+2·2, 2) x+1x·ln2(x+1)·(2x-4)-sin xx5·ln(x+1)·(2x-4), 3) 1cos2x-x+1cos2x+2·cos x·x+x
Решение
- Никаких сложных вычислений знаменатель не требует, поэтому нужно выбрать их произведение вида 3·x7+2·2, тогда к первой дроби x7+2·2 выбирают как дополнительный множитель, а 3 ко второй. При перемножении получаем дробь вида x3+1×7+2·2=x·x7+2·23·x7+2·2+3·13·x7+2·2==x·x7+2·2+33·x7+2·2=x·x7+2·2·x+33·x7+2·2
- Видно, что знаменатели представлены в виде произведения, что означает ненужность дополнительных преобразований. Общим знаменателем будет считаться произведение вида x5·ln2x+1·2x-4. Отсюда x4 является дополнительным множителем к первой дроби, а ln(x+1) ко второй. После чего производим вычитание и получаем, что:
x+1x·ln2(x+1)·2x-4-sin xx5·ln(x+1)·2x-4==x+1·x4x5·ln2(x+1)·2x-4-sin x·lnx+1×5·ln2(x+1)·(2x-4)==x+1·x4-sin x·ln(x+1)x5·ln2(x+1)·(2x-4)=x·x4+x4-sin x·ln(x+1)x5·ln2(x+1)·(2x-4) - Данный пример имеет смысл при работе со знаменателями дробями. Необходимо применить формулы разности квадратов и квадрат суммы, так как именно они дадут возможность перейти к выражению вида 1cos x-x·cos x+x+1(cos x+x)2. Видно, что дроби приводятся к общему знаменателю. Получаем, что cos x-x·cos x+x2.
При перемножении получаем дробь вида x3+1×7+2·2=x·x7+2·23·x7+2·2+3·13·x7+2·2==x·x7+2·2+33·x7+2·2=x·x7+2·2·x+33·x7+2·2После чего получаем, что
1cos2x-x+1cos2x+2·cos x·x+x==1cos x-x·cos x+x+1cos x+x2==cos x+xcos x-x·cos x+x2+cos x-xcos x-x·cos x+x2==cos x+x+cos x-xcos x-x·cos x+x2=2·cos xcos x-x·cos x+x2
Ответ:
1) x3+1×7+2·2=x·x7+2·2·x+33·x7+2·2, 2) x+1x·ln2(x+1)·2x-4-sin xx5·ln(x+1)·2x-4==x·x4+x4-sin x·ln(x+1)x5·ln2(x+1)·(2x-4), 3) 1cos2x-x+1cos2x+2·cos x·x+x=2·cos xcos x-x·cos x+x2.
Примеры умножения дробей с переменными
При умножении дробей числитель умножается на числитель, а знаменатель на знаменатель. Тогда можно применять свойство сокращения.
Пример 8Произвести умножение дробей x+2·xx2·ln x2·ln x+1 и 3·x213·x+1-2sin2·x-x.
Решение
Необходимо выполнить умножение. Получаем, что
x+2·xx2·ln x2·ln x+1·3·x213·x+1-2sin(2·x-x)==x-2·x·3·x213·x+1-2×2·ln x2·ln x+1·sin (2·x-x)
Число 3 переносится на первое место для удобства подсчетов, причем можно произвести сокращение дроби на x2, тогда получим выражение вида
3·x-2·x·x13·x+1-2ln x2·ln x+1·sin (2·x-x)
Ответ: x+2·xx2·ln x2·ln x+1·3·x213·x+1-2sin(2·x-x)=3·x-2·x·x13·x+1-2ln x2·ln x+1·sin (2·x-x).
Деление
Деление у дробей аналогично умножению, так как первую дробь умножают на вторую обратную. Если взять к примеру дробь x+2·xx2·ln x2·ln x+1 и разделить на 3·x213·x+1-2sin2·x-x, тогда это можно записать таким образом, как
x+2·xx2·ln x2·ln x+1:3·x213·x+1-2sin(2·x-x), после чего заменить произведением вида x+2·xx2·ln x2·ln x+1·3·x213·x+1-2sin(2·x-x)
Возведение в степень
Перейдем к рассмотрению действия с дробями общего вида с возведением в степень.
Если имеется степень с натуральным показателем, тогда действие рассматривают как умножение одинаковых дробей. Но рекомендовано использовать общий подход, базирующийся на свойствах степеней. Любые выражения А и С, где С тождественно не равняется нулю, а любое действительное r на ОДЗ для выражения вида ACr справедливо равенство ACr=ArCr. Результат – дробь, возведенная в степень. Для примера рассмотрим:
x0,7-π·ln3x-2-5x+12,5==x0,7-π·ln3x-2-52,5x+12,5
Порядок выполнения действий с дробями
Действия над дробями выполняются по определенным правилам. На практике замечаем, что выражение может содержать несколько дробей или дробных выражений. Тогда необходимо все действия выполнять в строгом порядке: возводить в степень, умножать, делить, после чего складывать и вычитать. При наличии скобок первое действие выполняется именно в них.
Пример 9Вычислить 1-xcos x-1cos x·1+1x.
Решение
Так как имеем одинаковый знаменатель, то 1-xcos x и 1cos x, но производить вычитания по правилу нельзя, сначала выполняются действия в скобках, после чего умножение, а потом сложение.
Тогда при вычислении получаем, что
1+1x=11+1x=xx+1x=x+1x
При подстановке выражения в исходное получаем, что 1-xcos x-1cos x·x+1x. При умножении дробей имеем: 1cos x·x+1x=x+1cos x·x. Произведя все подстановки, получим 1-xcos x-x+1cos x·x. Теперь необходимо работать с дробями, которые имеют разные знаменатели. Получим:
x·1-xcos x·x-x+1cos x·x=x·1-x-1+xcos x·x==x-x-x-1cos x·x=-x+1cos x·x
Ответ: 1-xcos x-1cos x·1+1x=-x+1cos x·x.
Решение задач
от 1 дня / от 150 р.
Курсовая работа
от 5 дней / от 1800 р.
Реферат
от 1 дня / от 700 р.
дробей | АСТ Математика | Основы
Популярные учебные пособия
в дробяхКак решить задачу на сравнение двух дробей?
Возникла проблема со словами при сравнении дробей? Нет пота! Посмотрите, как преобразовать текстовую задачу в математическое выражение, упростить ее и сравнить полученные дроби с помощью перекрестных произведений. В этом уроке все описано шаг за шагом!
Как вычитать дроби с разными знаменателями?
Вычитание дробей с разными знаменателями не должно быть кошмаром.
Просто найдите общий знаменатель и все успокоится! Посмотрите, как сохранить спокойное вычитание дробей с помощью этого урока.Как вычитать дроби с одинаковым знаменателем?
Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями? Просто вычтите числители и приведите результат к общему знаменателю! Чтобы увидеть этот процесс в действии, ознакомьтесь с этим руководством!
Как превратить смешанную дробь в неправильную дробь?
Работа со смешанными дробями в уравнениях может быть сложной, но все становится проще, если сначала преобразовать их в неправильные дроби. Как только вы освоите этот навык, вы обнаружите, что будете использовать его все время, поэтому посмотрите, как преобразовать смешанную дробь в неправильную дробь.
Как найти общий знаменатель и наименьший общий знаменатель?
В этом учебном пособии вы потренируетесь находить общий знаменатель и наименьший общий знаменатель трех дробей.
Есть только один наименьший общий знаменатель, но общих знаменателей много. Этот учебник дает вам один. Можете ли вы найти другой?Как умножать дроби?
Работа с дробями может быть пугающей, но если вы вооружитесь нужными инструментами, вы обнаружите, что работать с дробями не сложнее, чем с простыми числами. В этом уроке вы увидите процесс умножения 3 очень простых дробей. Наслаждаться!
Как складывать дроби с разными знаменателями?
Пытаетесь складывать дроби с разными знаменателями? Сначала вам понадобится общий знаменатель! Следуйте этому руководству и посмотрите, что вам нужно сделать, чтобы сложить эти дроби вместе.
Что такое смешанный номер?
Дроби бывают разных видов, и в этом уроке вы научитесь распознавать смешанные числа.
Что такое неправильная дробь?
Дроби бывают разных видов, и в этом уроке вы научитесь распознавать неправильные дроби.
Как складывать дроби с одинаковым знаменателем?
Хотя складывать дроби может быть сложно, складывать дроби с одинаковым знаменателем так же просто, как складывать числа. Вот почему, когда вы складываете дроби, вы сначала получаете все они с одинаковым знаменателем, а затем складываете их. В этом уроке вы увидите, как легко складывать дроби, если у них одинаковый знаменатель!
Что такое числитель и что такое знаменатель?
Числители и знаменатели являются ключевыми составляющими дробей, поэтому, если вы хотите работать с дробями, вы должны знать, что такое числители и знаменатели. К счастью для вас, этот учебник научит вас некоторым отличным приемам, чтобы запомнить, что такое числители и знаменатели.
Как упростить дробь целого числа?
Сложные дроби, ну, сложные. Но если вы посмотрите этот урок, вы увидите, как сделать эти сложные дроби намного проще!
Что такое сложная дробь?
Вы когда-нибудь задумывались, что делает сложные дроби такими сложными? Посмотрите этот видеоурок и больше не удивляйтесь 🙂
Что такое обратное правило деления?
Когда вы делите дроби, хитрость заключается в том, чтобы переписать деление как умножение.
Но правда в том, что вы всегда можете переписать деление как умножение, и в этом уроке вы увидите правило, которое делает это возможным!Как упростить дробь над дробью?
Сложные дроби могут быть довольно сложными. К счастью, вы можете упростить сложную дробь, чтобы с ней было намного проще работать. Посмотрите, как в этом уроке!
Что такое взаимность?
Обратные числа важны, когда дело доходит до деления дробей, нахождения перпендикулярных линий, работы с обратными пропорциями и многого другого! В этом уроке вы можете ознакомиться с основами взаимного обмена.
Как превратить неправильную дробь в смешанную дробь?
В математике часто бывает важно преобразовать дробь одного типа в другой. Это может помочь вам работать с дробью в уравнении или помочь лучше понять ответ. В этом уроке показано, как преобразовать неправильную дробь в смешанную дробь.
Как сократить дробь?
Дробей, содержащих большие числа, может быть немного, но иногда эти дроби можно сократить, избавив вас от этих больших чисел. В этом уроке показано, как преобразовать дробь в простейшую форму. Взглянем!
Как сравнивать дроби, находя общий знаменатель?
Упорядочить дроби от наименьшего к наибольшему? У вас нет общих знаменателей? Найдите общий знаменатель, перемножив знаменатели вместе. Используйте этот общий знаменатель для создания эквивалентных дробей. Затем сравните числители, чтобы выяснить, что больше! Этот урок покажет вам, как!
Что такое эквивалентные дроби?
Нахождение эквивалентных дробей является важной частью таких операций, как сложение, вычитание и сравнение дробей. Но что это такое? В этом уроке вы узнаете, что эквивалентные дроби — это просто дроби, которые имеют одинаковое значение, даже если они могут выглядеть очень по-разному! Взгляните на эквивалентные дроби, посмотрев этот урок!
Как вы делите дроби?
Деление дробей? Измените это деление на умножение, умножив делимое на величину, обратную делителю.
Узнайте все об этом, посмотрев этот урок!Как сравнивать дроби путем преобразования в десятичные?
Сравнение дробей с разными знаменателями? Вы можете преобразовать каждую дробь в десятичную и сравнить десятичные дроби в числовой строке. Посмотрите этот урок, чтобы узнать, как сравнивать дроби с разными знаменателями!
Как превратить целое число в дробь?
Любое целое число можно записать в виде дроби! Просто поместите это целое число в числитель дроби со знаменателем 1. Посмотрите этот урок, чтобы узнать, как это делается!
Просто найдите общий знаменатель и все успокоится! Посмотрите, как сохранить спокойное вычитание дробей с помощью этого урока.
Есть только один наименьший общий знаменатель, но общих знаменателей много. Этот учебник дает вам один. Можете ли вы найти другой?
Но правда в том, что вы всегда можете переписать деление как умножение, и в этом уроке вы увидите правило, которое делает это возможным!
Узнайте все об этом, посмотрев этот урок!Работа с дробями — SAT Mathematics
Все ресурсы SAT Mathematics
137 Практические тесты Вопрос дня Карточки Learn by Concept
← Предыдущая 1 2 Следующая →
SAT Mathematics Help » Делимость и беглость чисел » Работа с дробями
У Джесси есть большая коллекция фильмов, содержащая фильмы.
из его фильмов — боевики, остальные — комедии, а остальные — исторические фильмы. Сколько исторических фильмов принадлежит Джесси?
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
из фильмов — боевики. фильмов являются комедиями, или , или . Комбинируя комедии и боевики ( или ), мы получаем, что фильмы являются либо боевиками, либо комедиями. Таким образом, остаются фильмы, и все они должны быть историческими.
Сообщить об ошибке
Если и , найдите значение .
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Explanation:
Substitute the values of and into the given expression:
Report an Error
Let the nth term of a sequence be denoted as and given by the following equation:
Например, десятый член последовательности равен .
Чему равна сумма первых пяти членов последовательности?
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Чтобы найти сумму первых пяти членов, нам нужно найти значения каждого из первых пяти членов, используя приведенное выше уравнение. По сути, мы позволим диапазон от до для определения каждого термина.
Помните, что все в нулевой степени равно 1. Следовательно, возведение в нулевую степень также равно .
Обычно при возведении в четную степень получается . И наоборот, если возвести в нечетную степень, результат будет .
Таким образом, первые пять членов последовательности равны . Теперь мы должны сложить все это вместе. Поскольку мы складываем дроби с разными знаменателями, нам нужно найти наименьшее общее кратное. Поскольку кратно , нам действительно нужно беспокоиться только о .
Если бы мы перечислили число, кратное , мы бы увидели, что наименьшее общее из них равно . Иногда самый простой способ найти наименьшее общее кратное нескольких чисел — это перемножить их. Продукция есть .
Теперь мы преобразуем каждую дробь в эквивалентную форму со знаменателем . Например, если нам нужно преобразовать в дробь со знаменателем , мы умножим и числитель, и знаменатель на , как показано ниже:
Ответ .
Сообщить об ошибке
Для чего нужно упрощенное решение?
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Сообщить об ошибке
Каков результат добавления из в ?
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Давайте сначала получим наше значение для процента первой дроби.
из находится путем умножения на (или, упрощенно, ):
Таким образом, наше сложение равно . Общих множителей нет, поэтому наименьшим общим знаменателем будет или . Умножьте числитель и знаменатель на , а числитель на 9.0015
Это дает:
, которое нельзя уменьшить.
Сообщить об ошибке. Объяснение:
Найдите наименьший общий знаменатель, чтобы решить эту задачу.
Умножьте 27 на и умножьте на 3, чтобы получить общий знаменатель.
Преобразование дробей.
Объедините слагаемые в одну дробь.
Ответ:
Сообщить об ошибке
Музыкальный магазин пополнил запасы новых материалов, так что их текущий ассортимент состоит из поп-музыки, рока и хип-хопа. из их пластинок – это поп-музыка, а из их пластинок – рок-записи. Если в магазине есть записи, сколько записей в стиле хип-хоп хранится в магазине?
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Пояснение:
Сначала мы должны выяснить, какая доля хип-хоп пластинок есть в магазине.
Мы находим общий знаменатель для фракции поп-пластинок и рок-пластинок, умножая на и на , чтобы получить записи, являющиеся поп-записями, и записи, являющиеся рок-записями.
Чтобы получить фракцию хип-хоп пластинок, оставшихся в магазине, мы должны написать:
так как сумма дробей должна составлять . Решаем получить.
Это говорит нам о том, что доля хип-хоп записей должна быть .
Вопрос заключается в том, сколько записей хранится в хранилище, поэтому нам нужен знаменатель . Мы можем написать и решить для .
Аналогично этот вопрос можно решить с помощью дедукции. Если из равно и из равно , зная, что нам нужна оставшаяся сумма, мы можем вычесть из и получить .
Вариант ответа неверен, так как он определяет общее количество записей Pop.
Вариант ответа неверный, потому что он находит общее количество рок-записей.
Неверный ответ, потому что фракции были добавлены неправильно.
Сообщить об ошибке
Джексон написал песню с равными частями пре-припева, припева и бриджа. В итоге песня длится минуты и секунды, а ритм – каждые секунды. Сколько ударов в припеве?
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Во-первых, мы должны преобразовать длину песни из минут и секунд в простые секунды.
. Мы добавляем секунды к секундам и получаем общую длину песни в секундах.
Если песня состоит из пре-припева, припева и бриджа в равных частях, это означает, что песня состоит из пре-припева, песня состоит из припева и песня состоит из бриджа. Поэтому делим на и получаем секунды припева.
Так как удар происходит каждые пять секунд, мы делим секунды на секунды, чтобы получить количество ударов за этот период времени. . Так как доля не может быть разделена, ответ округляется до .
Вариант ответа неверен, так как он определяет общее количество долей в песне.
Вариант ответа неверен, так как он округляется до ближайшего числа.
Сообщить об ошибке
Пожалуйста, упростите следующее:
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Пояснение:
Правило деления дробей: инвертировать вторую дробь и умножить. Мы сохраняем как есть, затем меняем знак деления на знак умножения и инвертируем в .
становится .
Точно так же вы можете запомнить «верх, низ, низ, верх», что означает «находится наверху и остается наверху», помечается как «нижний» и остается внизу, помечается как «нижний» и перемещается вниз, затем помечается как top, чтобы он перемещался вверх.
Сообщить об ошибке
Найти значение if
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Пояснение:
Чтобы найти ответ, мы должны умножить крест.
При перекрестном умножении получаем:
или
Вычитаем из
Затем находим x, разделив на 6,
Сообщить об ошибке0014 Уведомление об авторских правах
Все ресурсы по математике SAT
137 Практические тесты Вопрос дня Карточки Learn by Concept
|
Способ деления простых задач называется кратким делением. Для тех из вас, кому никогда не показывали короткое деление, на Math6.org есть урок и практические рекомендации, которые помогут вам освоить этот навык! Проверь их; вы будете рады, что сделали это.
РАССЛАБЛЯТЬСЯ! Большинство дробей представляют собой простые двух- и трехзначные числа, и большинство дробей, которые вам будет предложено упростить, делятся на 2 и 3! Вам необходимо освоить следующие правила: правило 2, правило 3, правило 5, правило 7 и правило 11. Это не так сложно, как кажется, и вы можете сделать это за короткий период, если будете следовать инструкциям. Я создал специальный раздел правил делимости на Math6.org, чтобы помочь вам с упрощенной версией этих правил.
Распечатайте рабочую тетрадь по правилам делимости! 
Поскольку вы усердно работали, изучая мой метод упрощения дробей, я позабочусь о том, чтобы все, что связано с вычислением дробей, было таким же простым, как упрощение дробей сейчас!
После того, как вы узнаете, как переименовывать дроби, вы легко найдете следующее! Посмотрите урок и попробуйте пошаговую практику, чтобы подготовиться!
