Действие с отрицательными и положительными числами правило: fkn+antitotal | студентам & программистам

alexxlab / / Разное

Содержание

правило, примеры, сравнение положительных и отрицательных чисел

В статье ниже озвучим принцип сравнения отрицательных чисел: сформулируем правило и применим его в решении практических задач.

Правило сравнения отрицательных чисел

В основе правила – сравнение модулей исходных данных. По сути, сравнить два отрицательных числа – значит сравнить положительные числа, равные модулям сравниваемых отрицательных чисел.

Определение 1

При сравнении двух отрицательных чисел меньшим является то число, модуль которого больше; бОльшим является то число, модуль которого меньше. Заданные отрицательные числа являются равными, если их модули равны.

Сформулированное правило применимо как к отрицательным целым числам, так и к рациональным и действительным.

Геометрическое толкование подтверждает принцип, озвученный в указанном правиле: на координатной прямой отрицательное число, которое является меньшим, находится левее, чем большее отрицательное. Это утверждение, в общем, верно для любых чисел.

Примеры сравнения отрицательных чисел

Самым простым примером сравнения отрицательных чисел является сравнение целых чисел. С подобной задачи и начнем.

Пример 1

Необходимо сравнить отрицательные числа -65 и -23.

Решение

Согласно правилу, для осуществления действия сравнения отрицательных чисел сначала необходимо определить их модули. |-65| = 65 и |-23| = 23. Теперь сравним положительные числа, равные модулям заданных: 65 > 23. Применим вновь правило, гласящее, что больше то отрицательное число, модуль которого меньше. Таким образом, получим: -65 < -23.

 Ответ:  -65 < -23.

Чуть сложнее сравнивать отрицательные рациональные числа: действие в конечном счете приводит к сравнению обыкновенных или десятичных дробей.

Пример 2

Необходимо определить, какое из заданных чисел больше: -4314или-4,7.

Решение 

Определим модули сравниваемых чисел. -4314=4314 и |-4,7| = 4,7. Теперь сравним полученные модули. Целые части дробей равны, так что приступим к сравнению дробных частей:

314 и 0,7. Осуществим перевод десятичной дроби 0,7 в обыкновенную: 710, найдем общие знаменатели сравниваемых дробей, получим: 1570и4970. Тогда результатом сравнения станет: 1570<4970  или 314<0,7. Таким образом, 4314<4,7.fff Применив правило сравнения отрицательных чисел, имеем: -4314<-4,7

Также можно было осуществить сравнение путем перевода обыкновенной дроби в десятичную. Разница – лишь в удобстве вычисления.

Ответ: -4314<-4,7

Сравнение отрицательных действительных чисел производится согласно тому же правилу.

Решение задач от 1 дня / от 150 р.

Курсовая работа от 5 дней / от 1800 р. Реферат от 1 дня / от 700 р.

Автор: Ирина Мальцевская

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Навигация по статьям

Предыдущая статья

Сравнение чисел с разными знаками

Следующая статья

Сравнение натуральных чисел

  • Арифметические операции над действительными числами
  • Взаимно обратные числа
  • Вычитание десятичных дробей
  • Вычитание натуральных чисел
  • Вычитание натуральных чисел
  • Все темы по математике
  • Курсовые работы
  • Рефераты
  • Контрольные работы
  • Отчет по практике
  • Эссе

Узнать подробнее

  • Создать базу и интерфейс

    • Вид работы:

      Лабораторная работа

    • Выполнена:

      22 июня 2022 г.

    • Стоимость:

      3 800 руб

    Заказать такую же работу

  • Начертательная геометрия

    • Вид работы:

      Практическая работа

    • Выполнена:

      18 июня 2022 г.

    • Стоимость:

      1 300 руб

    Заказать такую же работу

  • Судовые системы и трубопроводв будет готовая курсовая с расчетами нужно будет только чертеж в автокад сделать к работе

    • Вид работы:

      Чертёж

    • Выполнена:

      12 мая 2022 г.

    • Стоимость:

      1 200 руб

    Заказать такую же работу

  • Математическая логика

    • Вид работы:

      Контрольная работа

    • Выполнена:

      11 ноября 2021 г.

    • Стоимость:

      1 400 руб

    Заказать такую же работу

  • тема Решение прикладной задачи бухгалтерского учета с использованием типовой конфигурации СПредприятие

    • Вид работы:

      Курсовая работа

    • Выполнена:

      22 октября 2021 г.

    • Стоимость:

      12 000 руб

    Заказать такую же работу

  • Исследование структуры кросссекционной выборки данных и построение факторной регрессионной модели

    Заказать такую же работу

    • Смотреть все работы по mysql

    Как вычислить отрицательные и положительные числа.

    Нужны правила положительных и отрицательных чисел

    Отрицательные числа — это числа со знаком минус (−), например −1, −2, −3. Читается как: минус один, минус два, минус три.

    Примером применения отрицательных чисел является термометр, показывающий температуру тела, воздуха, почвы или воды. В зимнее время, когда на улице очень холодно, температура бывает отрицательной (или как говорят в народе «минусовой»).

    Например, −10 градусов холода:

    Обычные же числа, которые мы рассматривали ранее, такие как 1, 2, 3 называют положительными. Положительные числа — это числа со знаком плюс (+).

    При записи положительных чисел знак + не записывают, поэтому мы и видим привычные для нас числа 1, 2, 3. Но следует иметь ввиду, что эти положительные числа выглядят так: +1, +2, +3.

    Содержание урока

    Это прямая линия, на которой располагаются все числа: и отрицательные и положительные. Выглядит следующим образом:

    Здесь показаны числа от −5 до 5. На самом деле координатная прямая бесконечна. На рисунке представлен лишь её небольшой фрагмент.

    Числа на координатной прямой отмечают в виде точек. На рисунке жирная чёрная точка является началом отсчёта. Начало отсчёта начинается с нуля. Слева от начала отсчёта отмечают отрицательные числа, а справа — положительные.

    Координатная прямая продолжается бесконечно по обе стороны. Бесконечность в математике обозначается символом ∞. Отрицательное направление будет обозначаться символом −∞, а положительное символом +∞. Тогда можно сказать, что на координатной прямой располагаются все числа от минус бесконечности до плюс бесконечности:

    Каждая точка на координатной прямой имеет своё имя и координату. Имя — это любая латинская буква. Координата — это число, которое показывает положение точки на этой прямой. Проще говоря, координата это то самое число, которое мы хотим отметить на координатной прямой.

    Например, точка А(2) читается как «точка А с координатой 2» и будет обозначаться на координатной прямой следующим образом:

    Здесь A — это имя точки, 2 — координата точки A.

    Пример 2. Точка B(4) читается как «точка B с координатой 4»

    Здесь B — это имя точки, 4 — координата точки B.

    Пример 3. Точка M(−3) читается как «точка M с координатой минус три» и будет обозначаться на координатной прямой так:

    Здесь M — это имя точки, −3 — координата точки M.

    Точки можно обозначать любыми буквами. Но общепринято обозначать их большими латинскими буквами. Более того, начало отчёта, которое по другому называют началом координат принято обозначать большой латинской буквой O

    Легко заметить, что отрицательные числа лежат левее относительно начала отсчёта, а положительные числа правее.

    Существуют такие словосочетания, как «чем левее, тем меньше» и «чем правее, тем больше» . Наверное, вы уже догадались о чём идёт речь. При каждом шаге влево, число будет уменьшаться в меньшую сторону. И при каждом шаге вправо число будет увеличиваться. Стрелка, направленная вправо, указывает на положительное направление отсчёта.

    Сравнение отрицательных и положительных чисел

    Правило 1. Любое отрицательное число меньше любого положительного числа.

    Например, сравним два числа: −5 и 3. Минус пять меньше , чем три, несмотря на то, что пятёрка бросается в глаза в первую очередь, как цифра большая, чем три.

    Связано это с тем, что −5 является отрицательным числом, а 3 — положительным. На координатной прямой можно увидеть, где располагаются числа −5 и 3

    Видно, что −5 лежит левее, а 3 правее. А мы говорили, что «чем левее, тем меньше» . И правило говорит, что любое отрицательное число меньше любого положительного числа. Отсюда следует, что

    −5

    «Минус пять меньше, чем три»

    Правило 2. Из двух отрицательных чисел меньше то, которое располагается левее на координатной прямой.

    Например, сравним числа −4 и −1. Минус четыре меньше , чем минус единица.

    Связано это опять же с тем, что на координатной прямой −4 располагается левее, чем −1

    Видно, что −4 лежит левее, а −1 правее. А мы говорили, что «чем левее, тем меньше» . И правило говорит, что из двух отрицательных чисел меньше то, которое располагается левее на координатной прямой. Отсюда следует, что

    Минус четыре меньше, чем минус единица

    Правило 3. Ноль больше любого отрицательного числа.

    Например, сравним 0 и −3. Ноль больше , чем минус три. Связано это с тем, что на координатной прямой 0 располагается правее, чем −3

    Видно, что 0 лежит правее, а −3 левее. А мы говорили, что «чем правее, тем больше» . И правило говорит, что ноль больше любого отрицательного числа. Отсюда следует, что

    Ноль больше, чем минус три

    Правило 4. Ноль меньше любого положительного числа.

    Например, сравним 0 и 4. Ноль меньше , чем 4. Это в принципе ясно и так. Но мы попробуем увидеть это воочию, опять же на координатной прямой:

    Видно, что на координатной прямой 0 располагается левее, а 4 правее. А мы говорили, что «чем левее, тем меньше» . И правило говорит, что ноль меньше любого положительного числа. Отсюда следует, что

    Ноль меньше, чем четыре

    Понравился урок?
    Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

    В этой статье мы поговорим про сложение отрицательных чисел . Сначала дадим правило сложения отрицательных чисел и докажем его. После этого разберем характерные примеры сложения отрицательных чисел.

    Навигация по странице.

    Правило сложения отрицательных чисел

    Прежде чем дать формулировку правила сложения отрицательных чисел, обратимся к материалу статьи положительные и отрицательные числа . Там мы упоминали, что отрицательные числа можно воспринимать как долг, а в этом случае определяет величину этого долга. Следовательно, сложение двух отрицательных чисел – это есть сложение двух долгов.

    Этот вывод позволяет осознать правило сложения отрицательных чисел . Чтобы сложить два отрицательных числа, нужно:

    • сложить их модули;
    • поставить перед полученной суммой знак минус.

    Запишем правило сложения отрицательных чисел −a и −b в буквенном виде: (−a)+(−b)=−(a+b) .

    Понятно, что озвученное правило сводит сложение отрицательных чисел к сложению положительных чисел (модуль отрицательного числа является числом положительным). Также понятно, что результатом сложения двух отрицательных чисел является отрицательное число, о чем свидетельствует знак минус, который ставится перед суммой модулей.

    Правило сложения отрицательных чисел можно доказать, основываясь на свойствах действий с действительными числами (или таких же свойствах действий с рациональными или целыми числами). Для этого достаточно показать, что разность левой и правой частей равенства (−a)+(−b)=−(a+b) равна нулю.

    Так как вычитание числа – это все равно, что прибавление противоположного числа (смотрите правило вычитания целых чисел), то (−a)+(−b)−(−(a+b))=(−a)+(−b)+(a+b) . В силу переместительного и сочетательного свойств сложения имеем (−a)+(−b)+(a+b)=(−a+a)+(−b+b) . Так как сумма противоположных чисел равна нулю, то (−a+a)+(−b+b)=0+0 , а 0+0=0 в силу свойства сложения числа с нулем. Этим доказано равенство (−a)+(−b)=−(a+b) , а значит, и правило сложения отрицательных чисел.

    Осталось лишь научиться применять правило сложения отрицательных чисел на практике, что мы и сделаем в следующем пункте.

    Примеры сложения отрицательных чисел

    Разберем примеры сложения отрицательных чисел . Начнем с самого простого случая – сложения отрицательных целых чисел, сложение будем проводить по правилу, рассмотренному в предыдущем пункте.

    Пример.

    Выполните сложение отрицательных чисел −304 и −18 007 .

    Решение.

    Выполним все шаги правила сложения отрицательных чисел.

    Сначала находим модули складываемых чисел: и . Теперь нужно сложить полученные числа, здесь удобно выполнить сложение столбиком :

    Теперь ставим знак минус перед полученным числом, в результате имеем −18 311 .

    Запишем все решение в краткой форме: (−304)+(−18 007)= −(304+18 007)=−18 311 .

    Ответ:

    −18 311 .

    Сложение отрицательных рациональных чисел в зависимости от самих чисел можно свести либо к сложению натуральных чисел , либо к сложению обыкновенных дробей , либо к сложению десятичных дробей .

    Пример.

    Сложите отрицательное число и отрицательное число −4,(12) .

    Решение.

    По правилу сложения отрицательных чисел сначала нужно вычислить сумму модулей. Модули складываемых отрицательных чисел равны соответственно 2/5 и 4,(12) . Сложение полученных чисел можно свести к сложению обыкновенных дробей. Для этого переведем периодическую десятичную дробь в обыкновенную дробь : . Таким образом, 2/5+4,(12)=2/5+136/33 . Теперь выполним




















    Назад Вперёд

    Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

    Цели и задачи урока:

    • Обобщить и систематизировать знаний учащихся по данной теме.
    • Развивать предметные и общеучебные навыки и умения, умение использовать полученные знания для достижения поставленной цели; устанавливать закономерности многообразия связей для достижения уровня системности знаний.
    • Воспитание навыков самоконтроля и взаимоконтроля; вырабатывать желания и потребности обобщать полученные факты; развивать самостоятельность, интерес к предмету.

    План урока:

    I. Вступительное слово учителя.

    II. Проверка домашнего задания.

    III. Повторение правил сложения и вычитания чисел с разными знаками. Актуализация знаний.

    IV. Решение заданий по карточкам

    V. Самостоятельная работа по вариантам.

    VI. Подведение итогов урока. Постановка домашнего задания.

    Ход урока

    I. Организационный момент

    Ученики под руководством учителя проверяют наличие дневника, рабочей тетради, инструментов, отмечаются отсутствующие, проверяется готовность класса к уроку, учитель психологически настраивает детей на работу на уроке.

    Народная мудрость гласит нам “повторенье – мать ученья”.

    Сегодня мы с вами проведём заключительный урок по теме сложение и вычитание положительных и отрицательных чисел.

    Цель нашего урока — повторить материал по этой теме и подготовиться к контрольной работе.

    И девизом нашего урока, я думаю, должно стать высказывание: “Складывать и вычитать мы научимся на “5”!”

    II. Проверка домашнего задания

    №1114. Заполните пустые места таблицы:

    №1116. В альбоме 1105 марок, число иностранных марок составило 30% от числа российских марок. Сколько иностранных и сколько российских марок было в альбоме?

    III. Повторение правил сложения и вычитания чисел с разными знаками. Актуализация знаний.

    Учащиеся повторяют: правило сложения отрицательных чисел, правило сложения чисел с разными знаками, правило вычитания чисел с разными знаками. Затем решают примеры на применение каждого из этих правил. (Слайды 4-10)

    Актуализация знаний учащихся по нахождению длины отрезка на координатной прямой по известным координатам его концов:

    4) Задание “Отгадай слово”

    На земном шаре живут птицы – безошибочные “составители” прогноза погоды на лето. Название этих птиц зашифровано в карточке.

    Выполнив все задания, ученик получает ключевое слово, а ответы проверяются с помощью проектора.

    Ключ ФЛАМИНГО строят гнезда в виде конуса: высокие – к дождливому лету; низкие – к сухому. (Показывается ученикам модель Слайды 14-16)

    IV. Решение заданий по карточкам.

    V. Самостоятельная работа по вариантам.

    У каждого учащегося индивидуальная карточка.

    Вариант 1.

    Обязательная часть.

    1. Сравните числа:

    а) –24 и 15;

    б) –2 и –6.

    2. Запишите число, противоположное числу:

    3. Выполните действия:

    4. Найдите значение выражения:

    VI. Подведение итогов урока. Постановка домашнего задания.

    Вопросы спроектированы на экран.

    1. Число, которому соответствует точка на координатной прямой…
    2. Из двух чисел на координатной прямой больше то число, которое расположено…
    3. Число, не являющееся ни отрицательным, ни положительным. ..
    4. Расстояние от числа до начала отсчета на числовой прямой…
    5. Натуральные числа, им противоположные и нуль…

    Постановка домашнего задания:

    • подготовиться к контрольной работе:
    • повторить правила сложения и вычитания положительных и отрицательных чисел;
    • решить № 1096 (к,л,м) №1117

    Итоги урока.

    Шёл мудрец, а навстречу ему три человека, которые везли под горячим солнцем тележки с камнями для строительства. Мудрец остановился и каждому задал по вопросу. У первого спросил: “Что ты делал целый день?” И тот с ухмылкой ответил, что целый день возил проклятые камни. У второго мудрец спросил: “А Что ты делал целый день?”. А тот ответил: “А я добросовестно выполнял свою работу”. А третий улыбнулся,его лицо засветилось радостью и удовольствием: “А я принимал участие в строительстве храма”

    Ребята! Давайте мы попробуем оценить каждый свою работу за урок.

    Кто работал так, как первый человек, поднимает синие квадратики.

    Кто работал добросовестно, поднимает зеленые квадратики.

    Кто принимал участие в строительстве храма “Знаний”, поднимает красные квадратики.

    Рефлексия — Соответствуют ли ваши знания и умения девизу урока?

    Какие знания вам сегодня были необходимы?

    Инструкция

    Математических действий существует четыре вида: сложение, вычитание, умножение и деление. Поэтому примеров с будет четыре типа. Отрицательные числа внутри примера выделяются для того, чтобы не перепутать математическое действие. Например, 6-(-7), 5+(-9), -4*(-3) или 34:(-17).

    Сложение. Данное действие может иметь вид:1) 3+(-6)=3-6=-3. Замена действия: сначала раскрываются скобки, знак «+» меняется на противоположный, далее из большего (по модулю) числа «6» отнимается меньшее — «3», после чего ответу присваивается знак большего, то есть «-«.
    2) -3+6=3. Этот можно записать по- («6-3») или по принципу «из большего отнимать меньшее и присваивать ответу знак большего».
    3) -3+(-6)=-3-6=-9. При раскрытии замена действия сложения на вычитание, затем суммируются модули и результату ставиться знак «минус».

    Вычитание.1) 8-(-5)=8+5=13. Раскрываются скобки, знак действия меняется на противоположный, получается пример на сложение.
    2) -9-3=-12. Элементы примера складываются и получает общий знак «-«.
    3) -10-(-5)=-10+5=-5. При раскрытии скобок снова меняется знак на «+», далее из большего числа отнимается меньшее и у ответа — знак большего числа.

    Умножение и деление.При выполнении умножения или деления знак не влияет на само действие. При произведении или делении чисел с ответу присваивается знак «минус», если числа с одинаковыми знаками — у результата всегда знак «плюс».1)-4*9=-36; -6:2=-3.
    2)6*(-5)=-30; 45:(-5)=-9.
    3)-7*(-8)=56; -44:(-11)=4.

    Источники:

    • таблица с минусами

    Как решать примеры ? С таким вопросом часто обращаются дети к родителям, если уроки требуется сделать дома. Как правильно объяснить ребенку решение примеров на сложение и вычитание многозначных чисел? Попробуем в этом разобраться.

    Вам понадобится

    • 1. Учебник по математике.
    • 2. Бумага.
    • 3. Ручка.

    Инструкция

    Прочитайте пример. Для этого каждое многозначное разбить на классы. Начиная с конца числа, отсчитываем по три цифры и ставим точку (23.867.567). Напомним, что первые три цифры с конца числа к единиц, следующие три — к классу , далее идут миллионы. Читаем число: двадцать три восемьсот шестьдесят семь тысяч шестьдесят семь.

    Запишите пример . Обратите внимание, что единицы каждого разряда записываются строго друг под другом: единицы под единицами, десятки под десятками, сотни под сотнями и т.д.

    Выполните сложение или вычитание. Начинайте выполнять действие с единиц. Результат записывайте под тем разрядом, действие с которым выполняли. Если получилось число(), то единицы записываем на месте ответа, а число десятков прибавляем к единицам разряда. Если количество единиц какого-либо разряда в уменьшаемом меньше, чем в вычитаемом, занимаем 10 единиц следующего разряда, выполняем действие.

    Прочитайте ответ.

    Видео по теме

    Обратите внимание

    Запретите ребенку использование калькулятора даже для проверки решения примера. Сложение проверяется вычитанием, а вычитание — сложением.

    Полезный совет

    Если ребенок хорошо усвоит приемы письменных вычислений в пределах 1000, то действия с многозначными числами, выполненные по-аналогии, не вызовут затруднений.
    Устройте ребенку соревнование: сколько примеров он может решить за 10 минут. Такие тренировки помогут автоматизировать вычислительные приемы.

    Умножение — одна из четырех основных математических операций, которая лежит в основе многих более сложных функций. При этом фактически умножение основывается на операции сложения: знание об этом позволяет правильно решить любой пример.

    Для понимания сущности операции умножения необходимо принять во внимание, что в ней участвуют три основных компонента. Один из них носит название первого множителя и представляет собой число, которое подвергается операции умножения. По этой причине у него имеется второе, несколько менее распространенное название — «множимое». Второй компонент операции умножения принято называть вторым множителем: он представляет собой число, на которое умножается множимое. Таким образом, оба эти компонента носят название множителей, что подчеркивает их равноправный статус, а также то, что их можно поменять местами: результат умножения от этого не изменится. Наконец, третий компонент операции умножения, получающийся в ее результате, носит название произведения.

    Порядок операции умножения

    Сущность операции умножения основывается на более простом арифметическом действии — . Фактически умножение представляет собой суммирование первого множителя, или множимого, такое количество раз, которое соответствует второму множителю. Например, для того, чтобы умножить 8 на 4 необходимо 4 раза сложить число 8, получив в результате 32. Этот способ, помимо обеспечения понимания сущности операции умножения, можно использовать для проверки результата, получившегося при вычислении искомого произведения. При этом следует иметь в виду, осуществление проверки обязательно предполагает, что слагаемые, участвующие в суммировании, одинаковы и соответствуют первому множителю.

    Решение примеров на умножение

    Таким образом, для того, чтобы решить , связанный с необходимостью осуществления умножения, может быть достаточно заданное количество раз сложить необходимое число первых множителей. Такой способ может быть удобен для осуществления практически любых расчетов, связанных с этой операцией. Вместе с тем, в математике достаточно часто встречаются типовые , в которых участвуют стандартные целые однозначные числа. Для того, чтобы облегчить их расчет, была создана так называемая умножения, которая включает в себя полный перечень произведений целых положительных однозначных чисел, то есть чисел от 1 до 9. Таким образом, однажды выучив , можно существенно облегчить себе процесс решения примеров на умножение, основанных на использовании таких чисел. Однако для более сложных вариантов необходимо будет осуществлять эту математическую операцию самостоятельно.

    Видео по теме

    Источники:

    • Умножение в 2019

    Умножение — одна из четырех основных арифметических операций, которая часто встречается как в учебе, так и в повседневной жизни. Как можно быстро перемножить два числа?

    Основу самых сложных математических вычислений составляют четыре основных арифметических операции: вычитание, сложение, умножение и деление. При этом, несмотря на свою самостоятельность, эти операции при ближайшем рассмотрении оказываются связанными между собой. Такая связь существует, например, между сложением и умножением.

    Операция умножения чисел

    В операции умножения участвуют три основных элемента. Первый из них, который обычно называют первым множителем или множимым, представляет собой число, которое будет подвергнуто операции умножения. Второй, который именуют вторым множителем, является числом, на которое будет умножен первый множитель. Наконец, результат осуществленной операции умножения чаще всего носит название произведения.

    При этом следует помнить, что сущность операции умножения фактически основывается на сложении: для ее осуществления необходимо сложить между собой определенное количество первых множителей, причем количество слагаемых этой суммы должно быть равно второму множителю. Помимо вычисления самого произведения двух рассматриваемых множителей, этот алгоритм можно использовать также для проверки получившегося результата.

    Пример решения задания на умножение

    Рассмотрим решения задачи на умножение. Предположим, по условиям задания необходимо вычислить произведение двух чисел, среди которых первый множитель равен 8, а второй 4. В соответствии с определением операции умножения, это фактически означает, что нужно 4 раза сложить цифру 8. В результате получается 32 — это и есть произведение рассматриваемых чисел, то есть результат их умножения.

    Кроме того, необходимо помнить, что в отношении операции умножения действует так называемый переместительный закон, который устанавливает, что от изменения мест множителей в первоначальном примере его результат не изменится. Таким образом, можно 8 раз сложить цифру 4, получив в результате то же произведение — 32.

    Таблица умножения

    Понятно, что решать таким способом большое количество однотипных примеров — довольно утомительное занятие. Для того чтобы облегчить эту задачу, была придумана так называемая умножения. Фактически она представляет собой перечень произведений целых положительных однозначных чисел. Проще говоря, таблица умножения — это совокупность результатов перемножения между собой от 1 до 9. Один раз выучив эту таблицу, можно уже не прибегать к осуществлению умножения всякий раз, когда потребуется решить пример на такие простые числа, а просто вспомнить его результат.

    Видео по теме

    ВЫЧИТАНИЕ

    Математика, 6 класс

    (Н.Я.Виленкин)

    учитель математики МОУ «Упшинская основная

    общеобразовательная школа» Оршанского района Республики Марий Эл


    Смысл вычитания

    Задача. Пешеход за 2 часа прошел 9 км. Сколько километров он прошел за первый час, если его путь за второй час равен 4 км?

    В этой задаче число 9 — сумма двух слагаемых, одно из которых равно 4 , а другое неизвестно.

    Действие, с помощью которого по сумме и одному из слагаемых находят другое слагаемое, называют вычитанием.


    Смысл вычитания

    Так как 5 + 4 = 9,

    то искомое слагаемое равно 5.

    Пишут 9 – 4 = 5

    9 – 4 = 5

    разность

    вычитаемое

    уменьшаемое


    Смысл вычитания

    – 5 + 14 = 9

    9 – 14 = ?

    ? + 14 = 9

    9 – 14 = –5

    – 9 – 14 = ?

    – 23 + 14 = –9

    ? + 14 = –9

    – 9 – 14 = – 23


    Смысл вычитания

    Вычитание отрицательных чисел имеет тот же смысл: действие, с помощью которого по сумме и одному из слагаемых находят другое слагаемое, называют вычитанием.

    9 – (–14) = ?

    23 + (–14) = 9

    ? + (–14) = 9

    9 – (–14) = 23

    Подберите неизвестное слагаемое

    – 9 – (–14) = ?

    5 + (–14) = –9

    ? + (–14) = –9

    – 9 – (–14) = 5


    9 – (–14) = 23

    9 – 14 = –5

    9 + (–14) = –5

    9 + 14 = 23

    – 9 – (–14) = 5

    – 9 – 14 = – 23

    – 9 + (–14) = – 23

    – 9 + 14 = 5

    Подумайте, как вычитание заменить сложением.

    ПРАВИЛО. Чтобы из данного числа вычесть другое, надо к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому.


    ВЫЧИТАНИЕ

    а – b = a + ( –b )

    15 – 18 = 15 + ( –18 ) =

    15 – ( –18 ) = 15 + 18 =


    ВЫЧИТАНИЕ

    Замените вычитание сложением и найдите значение выражения:

    12 – 20 =

    3,4 – 10 =

    – 10 – ( –13 ) =

    – 1,2 – ( –1,3 ) =

    17 – ( –13 ) =

    2,3 – ( –3,5 ) =

    – 21 – 13 =

    – 5,1 – 4,9 =


    ВЫЧИТАНИЕ

    5 – 10 = 5 + ( – 10 )

    ПРАВИЛО. Любое выражение, содержащее лишь знаки сложения и вычитания, можно рассматривать как сумму

    Назовите каждое слагаемое в сумме:

    5 – 10 + 7 –15 –23 =

    – n + y – 9 + b – c – 1 =


    ВЫЧИСЛИТЕ:

    – 10 + 7 – 15 =

    12 – 17 – 11 =

    12 + 23 – 41 =

    – 2 – 33 + 20 =

    24 – 75 + 20 =


    6 – 2 –5 ПРАВИЛО. Разность двух чисел положительна, если уменьшаемое больше вычитаемого. »

    8 – 6 =

    2

    уменьшаемое

    вычитаемое

    разность

    – 2 – ( –5 ) =

    3

    уменьшаемое

    разность

    вычитаемое

    Когда разность двух чисел положительна?

    8 6

    – 2 –5

    ПРАВИЛО. Разность двух чисел положительна, если уменьшаемое больше вычитаемого .


    10 – 15 =

    – 5

    уменьшаемое

    вычитаемое

    разность

    – 8 – ( –6 ) =

    – 2

    уменьшаемое

    разность

    вычитаемое

    Сравните уменьшаемое и вычитаемое в примерах.

    Когда разность двух чисел отрицательна?

    10 15

    – 8 –6

    ПРАВИЛО. Разность двух чисел отрицательна, если уменьшаемое меньше вычитаемого .


    Подумайте, когда разность двух чисел равна 0. Приведите примеры.

    0

    уменьшаемое

    разность

    вычитаемое

    Определите знак разности, не производя вычислений:

    – 12 – ( –13 ) =

    3,4 – 10 =

    15 – ( –11 ) =

    2,3 – ( –3,5 ) =

    – 5,1 – 4,9 =

    – 31 – 23 =


    Нахождение длины отрезка

    х

    А (–3)

    – 3 + х = 4

    х = 4 – (–3) = 7

    В (4)

    АВ — ?

    АВ = 7 ед.

    ПРАВИЛО.


    Нахождение длины отрезка

    А (–1)

    АВ = –1 – (–5) = 4 ед.

    В (–5)

    АВ — ?

    АВ = 4 ед.

    ПРАВИЛО. Чтобы найти длину отрезка на координатной прямой, надо из координаты его правого конца вычесть координату левого конца.


    Вопросы для закрепления:

    • Что означает вычитание отрицательных чисел?
    • Как вычитание заменить сложением?
    • Когда разность двух чисел положительна?
    • Когда разность двух чисел отрицательна?
    • Когда разность двух чисел равна нулю?
    • Как найти длину отрезка на координатной прямой?

    учитель начальных классов МАОУ лицей №21 , г. Иваново


    НЕМНОГО ИСТОРИИ

    Индийские математики пред-ставляли себе положительные числа как «имущества» , а отрицательные числа как «долги»

    Правила сложения и вычитания, излагаемые Брахмагуптой:

    • «Сумма двух имуществ есть имущество».
    • «Сумма двух долгов есть долг»
    • «Сумма имущества и долга равна их разности»

    Брахмагупта, индийский математик и астроном.

    Сложение чисел с разными знаками 6 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей

    Введение

     

    Посмотрите на эту шестеренку (см. рис. 1).

     

    Рис. 1. Шестеренка часов

    Это не стрелка, которая непосредственно показывает время и не циферблат (см. рис. 2). Но без этой детали часы не работают.

    Рис. 2. Шестеренка внутри часов

    А что обозначает буква Ы? Ничего, кроме звука Ы. Но без нее не будут «работать» многие слова. Например, слово «мЫшь». Так и отрицательные числа: они не показывают никакого количества, но без них механизм вычислений был бы существенно труднее.

     

    Отрицательные числа

     

     

    Мы знаем, что сложение и вычитание равноправные операции, и их можно выполнять в любом порядке. В записи  в прямом порядке мы можем посчитать: , а начать с вычитания нет, так как мы не договорились еще, а что же такое .

     

    Понятно, что увеличить число на , а потом уменьшить на  означает в итоге уменьшение на три. Почему бы так и не обозначить этот объект  и так и считать: прибавить  – значит вычесть . Тогда .

    Число  может означать, например,  яблока. Новое число  не обозначает никакого реального количества. Само по себе оно ничего не означает, как буква Ы. Это просто новый инструмент для упрощения вычислений.

    Назовем новые числа отрицательными. Теперь мы можем вычитать из меньшего числа большее. Технически всё равно нужно вычесть из большего числа меньшего, но в ответе поставить знак минус: .

    Рассмотрим ещё один пример: . Можно сделать все действия подряд: .

    Однако из первого числа легче вычесть третье, а потом прибавить второе число:

     

    Формальное определение отрицательного числа

     

     

    Отрицательные числа можно определить и по-другому.

     

    Для каждого натурального числа, например , введем новое число, которое обозначим , и определим, что оно обладает следующим свойством: сумма числа  и  равна : .

    Число  будем называть отрицательным, а числа  и  – противоположными. Таким образом, мы получили бесконечное количество новых чисел, например:

     – противоположное для числа ;

     – противоположное числу ;

     – противоположное числу ;

     – противоположное числу ;

    Вычтем из меньшего числа большее: . Прибавим к данному выражению : . Получили ноль. Однако согласно свойству: число, которое в сумме с пятью дает ноль, обозначается минус пять : . Следовательно, выражение  можно обозначить как .

    То есть теперь мы можем вычитать из меньшего числа большее. Результатом будет отрицательное число:

     

    Противоположные числа

     

     

    У каждого положительного числа существует число-близнец, которое отличается только тем, что перед ним стоит знак минус Такие числа называются противоположными (см. рис. 3).

     

    Рис. 3. Примеры противоположных чисел

    Свойства противоположных чисел

    1. Сумма противоположных чисел равна нулю: .

    2. Если из нуля вычесть положительное число, то результатом будет противоположное отрицательное число: .

     

    Сложение с отрицательными числами

     

     

    1. Оба числа могут быть положительными, и складывать их мы уже умеем: .

     

    2. Оба числа могут быть отрицательными.

    Мы уже прошли сложение таких чисел на предыдущем уроке, но убедимся, что понимаем, что с ними делать. Например: .

    Чтобы эту сумму найти, складываем противоположные положительные числа  и  и ставим знак минус.

    3. Одно число может быть положительным, а другое – отрицательным.

    Прибавление отрицательного числа мы, если это нам удобно, можем заменять на вычитание положительного: .

    Ещё один пример: . Опять сумму записываем как разность. Вычесть из меньшего большее число можно, вычитая из большего меньшее, но поставив знак минус.

    Слагаемые можем менять местами: .

    Ещё один аналогичный пример: .

    Во всех случаях в итоге получается вычитание.

     

    Модуль

     

     

    Чтобы коротко сформулировать эти правила, давайте вспомним еще один термин. Противоположные числа, конечно, не равны друг другу. Но было бы странно не заметить у них общего. Это общее мы назвали модулем числа. Модуль у противоположных чисел одинаковый: у положительного числа он равен самому числу, а у отрицательного – противоположному, положительному. Например: , .

     

     

    Правила сложения рациональных чисел

     

     

    Чтобы сложить два отрицательных числа, нужно сложить их модули и поставить знак минус:

     

    Чтобы сложить отрицательное и положительное число, нужно из большего модуля вычесть меньший модуль и поставить знак числа с большим модулем:

     

    Примеры

     

     

    1.

     

    Оба числа отрицательные, следовательно, складываем их модули и ставим знак минус: 

    2.

    Два числа с разными знаками, следовательно, из модуля числа  (больший модуль) вычитаем модуль числа  и ставим знак минус (знак числа с большим модулем):

    3.

    Два числа с разными знаками, следовательно, из модуля числа  (больший модуль) вычитаем модуль числа  и ставим знак минус (знак числа с большим модулем): .

    4.

    Два числа с разными знаками, следовательно, из модуля числа  (больший модуль) вычитаем модуль числа  и ставим знак плюс (знак числа с большим модулем): .

     

    Отрицательные числа в окружающем мире

     

     

    У положительных и отрицательных чисел исторически разная роль.

     

    Сначала мы ввели натуральные числа для счета предметов:

    Потом мы ввели другие положительные числа – дроби, для счета нецелых количеств, частей: .

    Отрицательные же числа появились как инструмент для упрощения расчетов. Не было такого, чтобы в жизни были какие-то количества, которые нам было не посчитать, и мы изобрели отрицательные числа.

    То есть отрицательные числа не возникли из реального мира. Просто они оказались настолько удобными, что кое-где им нашлось применение и в жизни. Например, мы часто слышим про отрицательную температуру. При этом мы никогда не сталкиваемся с отрицательным количеством яблок. В чем же разница?

    Разница в том, что в жизни отрицательные величины используют только для сравнения, но не для количеств. Если в гостинице оборудовали подвал и туда пустили лифт, то, чтобы оставить привычную нумерацию обычных этажей, может появиться минус первый этаж. Этот минус первый означает всего лишь на этаж ниже уровня земли (см. рис. 1).

    Рис. 4. Минус первый и минус второй этажи

    Отрицательная температура отрицательна только по сравнению с нулем, который выбрал автор шкалы Андерс Цельсий. Есть другие шкалы, и та же самая температура уже может не быть там отрицательной.

    При этом мы понимаем, что невозможно поменять точку отсчета так, чтобы яблок стало не пять, а шесть. Таким образом, в жизни положительные числа используются для определения количеств ( яблок,  торта).

    Еще мы их используем вместо имен. Каждому телефону можно было бы дать свое имя, но количество имен ограничено, а чисел нет. Поэтому мы используем номера для телефонов. Также для упорядочивания ( век идет за  веком).

    Отрицательные числа в жизни используются в последнем смысле (минус первый этаж ниже нулевого и первого этажей)

     

    Список рекомендованной литературы

    1. Виленкин Н. Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 6. М.: Мнемозина, 2012.
    2. Мерзляк А.Г., Полонский В.В., Якир М.С. Математика 6 класс. «Гимназия», 2006.
    3. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики. М.: Просвещение, 1989.
    4. Рурукин А.Н., Чайковский И.В. Задания по курсу математика 5–6 класс. М.: ЗШ МИФИ, 2011.
    5. Рурукин А.Н., Сочилов С.В., Чайковский К.Г. Математика 5–6. Пособие для учащихся 6 классов заочной школы МИФИ. М.: ЗШ МИФИ, 2011.
    6. Шеврин Л.Н., Гейн А.Г., Коряков И.О., Волков М.В. Математика: Учебник-собеседник для 5–6 классов средней школы. М.: Просвещение, Библиотека учителя математики, 1989.

     

    Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

    1. Math-prosto.ru (Источник).
    2. Youtube (Источник).
    3. School-assistant.ru (Источник).
    4. Allforchildren.ru (Источник).

     

    Домашнее задание

    1. Вопросы в конце раздела 33 (§6), задание 1066, 1073 (стр. 181-182) – Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 6 класс (Источник). 
    2. Сложите положительное число и отрицательное число .
    3. Температура плавления ртути . При изменении ее температуры на  она закипит. Определите температуру кипения ртути.

     

    Сложение и вычитание целых чисел

    В этом уроке мы изучим сложение и вычитание целых чисел .

    Напомним, что целыми числами являются все положительные и отрицательные числа, а также число 0.

    Например, следующие числа являются целыми:

    −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3

    Положительные числа легко складывать и вычитать, умножать и делить. К сожалению, этого нельзя сказать об отрицательных числах, которые многих новичков смущают своими минусами перед каждой цифрой.

    Примеры сложения и вычитания целых чисел

    Первое, чему нужно научиться, это складывать и вычитать целые числа с помощью координатной линии. Нет необходимости рисовать числовую линию. Достаточно представить его в уме и посмотреть, где отрицательные числа, а где положительные.

    Рассмотрим следующее простое выражение. Для этого от точки, где находится цифра 1, нам предстоит переместиться на три шага вправо. Это приведет нас к точке, где находится цифра 4. Как это происходит, вы можете увидеть на картинке:

    Знак плюс в выражении 1 + 3 говорит нам двигаться вправо, чтобы увеличить числа.

    Пример 2. Найдите значение выражения 1 — 3

    Значение этого выражения равно -2

    1 — 3 = -2

    Этот пример снова можно понять, используя координатную линию. Для этого от точки, где находится цифра 1, нам предстоит переместиться на три шага влево. В результате мы оказываемся в точке, где находится отрицательное число -2. На картинке видно, как это происходит:

    Знак минус в выражении 1 — 3 говорит нам двигаться влево, чтобы уменьшить числа.

    В общем, если вы добавляете, вы должны двигаться к правой стороне числовой строки. Если выполняется вычитание, то мы должны двигаться влево в сторону убывания.

    Пример 3. Найдите значение выражения -2 + 4

    Значение этого выражения равно 2

    -2 + 4 = 2

    Опять же, этот пример можно понять, используя числовую прямую. Для этого от точки, где находится отрицательное число -2, нам нужно переместиться вправо на четыре шага. Это приведет нас к точке, где находится положительное число 2.

    Как видите, мы продвинулись от точки, где находится отрицательное число -2, вправо на четыре шага, и оказались в точке, где находится положительное число 2.

    Пример 4. Найдите значение выражения -1 — 3

    Значение этого выражения равно -4

    -1 — 3 = -4

    Опять же, этот пример можно решить с помощью координатной прямой . Для этого от точки, где находится отрицательное число -1, переместитесь влево на три шага. В результате мы окажемся в точке, где находится отрицательное число -4.

    Как видите, мы продвинулись от точки, где стоит отрицательное число -1, влево на три шага, и оказались в точке, где стоит отрицательное число -4.

    Пример 5. Найдите значение выражения -2 + 2

    Значение этого выражения равно 0

    -2 + 2 = 0

    Этот пример можно решить с помощью координатной прямой. От точки, где находится отрицательное число -2, переместитесь на два шага вправо. В результате мы окажемся в точке, где число 0

    Как видите, мы продвинулись от точки, где находится отрицательное число -2, вправо на два шага и оказались в точке, где находится число 0.

    Правила сложения и вычитания целых чисел

    Чтобы складывать или вычитать целые числа, не нужно каждый раз представлять числовой ряд. Можно использовать готовые правила.

    При применении правил необходимо обращать внимание на знак операции и знаки чисел, которые нужно складывать или вычитать. Это определит, какое правило следует применить.

    Пример 1. Найдите значение выражения -2 + 5

    Здесь к отрицательному числу прибавляется положительное число. Другими словами, складываются числа с разными знаками, потому что -2 — отрицательное число, а 5 — положительное число. В таких случаях применяется следующее правило:

    Чтобы сложить числа с разными знаками, вычтите меньший модуль из большего модуля и перед ответом поставьте знак числа, модуль которого больше.

    Итак, давайте посмотрим, какой модуль больше:

    Модуль 5 больше, чем модуль -2. Правило требует, чтобы больший модуль вычитался из меньшего модуля. Значит, надо из 5 вычесть 2 и поставить перед ответом знак числа, модуль которого больше.

    Число 5 имеет больший модуль, поэтому в ответе будет знак этого числа. То есть ответ будет положительным:

    −2 + 5 = 5 − 2 = 3

    Обычно пишут в более короткой форме: -2 + 5 = 3

    Пример 2. Найти значение выражения 3 + (-2)

    Здесь, как и в предыдущем примере, складываются числа с разными знаками. 3 — положительное число, а -2 — отрицательное число. Обратите внимание, что число -2 помещено в круглые скобки, чтобы сделать выражение более понятным. Это выражение гораздо легче понять, чем выражение 3 + -2.

    Итак, применим правило сложения чисел с разными знаками. Как и в предыдущем примере, вычитаем меньший модуль из большего модуля и ставим перед ответом знак числа, модуль которого больше:

    3 + (−2) = |3| − |−2| = 3 − 2 = 1

    Модуль числа 3 больше модуля числа -2, поэтому мы вычли 2 из 3 и поставили перед ответом знак числа, модуль которого больше. Число 3 имеет больший модуль, поэтому мы ставим в ответе знак этого числа. То есть ответ положительный.

    Обычно пишут короче 3 + (-2) = 1

    Пример 3. Найдите значение выражения 3 — 7

    В этом выражении из большего числа вычитается меньшее число. В этом случае действует следующее правило:

    Чтобы вычесть большее число из другого числа, вы должны вычесть меньшее число из большего числа и поставить перед ответом знак минус.

    3 − 7 = 7 − 3 = −4

    В этом выражении есть небольшая загвоздка. Напомним, что знак равенства (=) ставится между значениями и выражениями, когда они равны друг другу.

    Значение выражения 3 — 7, как мы узнали, равно -4. Это означает, что любые преобразования, которые мы будем выполнять в этом выражении, должны быть равны -4

    Но мы можем заметить, что на втором шаге есть выражение 7 — 3, которое не равно -4.

    Чтобы исправить это, выражение 7 — 3 нужно заключить в круглые скобки и перед этой скобкой поставить минус:

    3 − 7 = − (7 − 3) = − (4) = −4

    В этом случае на каждом этапе будет соблюдаться равенство:

    После вычисления выражения скобки можно убрать, что мы и сделали.

    Следовательно, если быть точнее, решение должно выглядеть так:

    3 − 7 = − (7 − 3) = − (4) = − 4

    Это правило можно записать с использованием переменных. Выглядит это следующим образом:

    a − b = − (b − a)

    Большое количество скобок и знаков операций может усложнить решение, казалось бы, простой задачи, поэтому такие примеры лучше научиться писать кратко , например, 3 — 7 = — 4.

    На самом деле сложение и вычитание целых чисел — это сложение. Это означает, что если требуется вычитание чисел, эту операцию можно заменить сложением.

    Итак, давайте выучим новое правило:

    Вычесть число b из a означает прибавить напротив  b (-b) к a.

    Например, рассмотрим простейшее выражение 5 — 3. На ранних этапах математики мы ставили знак равенства и записывали ответ:

    5 − 3 = 2

    Но сейчас мы делаем успехи в обучения, поэтому нам приходится приспосабливаться к новым правилам.

    На примере выражения 5 — 3 попробуем разобраться в этом правиле. Уменьшаемое в этом выражении равно 5, а вычитаемое равно 3. Правило гласит, что для того, чтобы из 5 вычесть 3, нужно прибавить число, противоположное 3, к 5. Противоположное 3 равно -3. Запишите новое выражение:

    5 + (−3)

    И мы уже знаем, как находить значения для таких выражений. Это сложение чисел с разными знаками, о котором мы говорили ранее. Чтобы сложить числа с разными знаками, мы вычитаем меньший модуль из большего модуля и ставим перед ответом знак числа, модуль которого больше:

    5 + (−3) = |5| − |−3| = 5 − 3 = 2

    Модуль 5 больше, чем модуль -3. Итак, мы вычли 3 из 5 и получили 2. Модуль числа 5 больше, поэтому в ответе мы поставили знак этого числа. То есть ответ положительный.

    Поначалу не все умеют быстро заменить вычитание сложением. Это потому, что положительные числа записываются без знака плюс.

    Например, в выражении 3 — 1 знак минус, указывающий на вычитание, является знаком операции и не относится к единице. Единицей в данном случае является положительное число, и у него есть свой плюс, но мы его не видим, потому что перед положительными числами плюсик не пишется.

    И поэтому для наглядности это выражение можно записать так:

    (+3) − (+1)

    Для удобства номера со своими знаками заключены в круглые скобки. В этом случае гораздо проще заменить вычитание сложением.

    В выражении (+3) — (+1) вычитаемое число равно (+1), а противоположное число равно (-1).

    Замените вычитание сложением, а вместо вычитаемого числа (+1) напишите противоположное число (-1).

    (+3) − (+1) = (+3) + (−1)

    Дальнейшие вычисления не представляют особой сложности.

    (+3) — (+1) = (+3) + (-1) = |3| − |−1| = 3 − 1 = 2

    На первый взгляд может показаться, что смысла в этих дополнительных действиях нет, если можно старым добрым методом поставить знак равенства и сразу записать ответ 2. На самом деле это правило поможет нам не раз.

    Давайте решим предыдущий пример 3 — 7, используя правило вычитания. Для начала сделаем выражение понятным, разместив каждое число со своими знаками.

    Перед тройкой стоит знак плюс, потому что это положительное число. Знак минус, указывающий на вычитание, не применяется к семерке. Семь имеет знак плюс, потому что это положительное число: 9.0005

    (+3) − (+7)

    Заменить вычитание сложением:

    (+3) − (+7) = (+3) + (−7)

    Дальнейший расчет не представляет труда:

    ( +3) − (−7) = (+3) + (–7) = −(|−7| − |+3|) = −(7 − 3) = −(4) = −4

    Пример 7. Найдите значение выражения -4 — 5

    Приведем выражение к понятному виду:

    (−4) − (+5)

    Это снова операция вычитания. Эту операцию необходимо заменить сложением. К вычитающему (-4) прибавьте число, стоящее напротив вычитающего (+5). Число, противоположное вычитателю (+5), равно (-5).

    (−4) − (+5) = (−4) + (−5)

    Мы подошли к ситуации, когда нам нужно сложить отрицательные числа. В таких случаях применяется следующее правило:

    Чтобы сложить отрицательные числа, просуммируйте оба модуля и поставьте минус перед результатом.

    Итак, сложим оба модуля чисел, как того требует правило, и поставим минус перед ответом:

    (−4) − (+5) = (−4) + (−5) = |−4| + |−5| = 4 + 5 = −9

    Запись с модулями следует заключать в круглые скобки и ставить минус перед этими скобками. Таким образом, мы обеспечим минус, который должен стоять перед ответом:

    (−4) − (+5) = (−4) + (−5) = −(|−4| + |−5|) = −(4 + 5) = −(9) = −9

    Решение для этого примера можно записать в более короткой форме:

    −4 − 5 = −(4 + 5) = −9

    или еще короче:

    −4 − 5 = −9

    Пример 8. Найдите значение выражения −3 − 5 − 7 − 9

    Приведем выражение к понятному виду. Здесь все числа, кроме -3, положительные, поэтому они будут со знаком плюс:

    (−3) − (+5) − (+7) − (+9)

    Заменить вычитание сложением. Все минусы, кроме минуса перед тройкой, изменятся на плюсы, а все положительные числа превратятся в противоположные:

    (−3) − (+5) − (+7) − (+9) = (−3) + (−5) + (−7) + (−9)

    Теперь применим правило сложения отрицательных чисел. Чтобы сложить отрицательные числа, сложите их модули и поставьте перед ответом минус:

    (−3) − (+5) − (+7) − (+9) = (−3) + (−5) + (−7) + (−9) =

    = −( |−3| + |−5| + |−7| + |−9| ) = −(3 + 5 + 7 + 9) = -(24) = -24

    Решение этого примера можно записать в более короткой форме:

    -3 — 5 — 7 — 9 = -(3 + 5 + 7 + 9) = -24

    или еще короче:

    −3 − 5 − 7 − 9 = −24

    Пример 9. Найдите значение выражения −10 + 6 − 15 + 11 − 7

    Приведем выражение к в понятной форме:

    (−10) + (+6) − (+15) + (+11) − (+7)

    Здесь у нас сразу две операции: сложение и вычитание. Оставляем сложение без изменений и заменяем вычитание на сложение:

    (-10) + (+6) — (+15) + (+11) — (+7) = (-10) + (+6) + (-15) + (+11) + (-7) )

    Соблюдая порядок действий, выполняйте каждое действие по очереди, исходя из правил, изученных ранее. Вы можете пропустить записи с модулями:

    Первое действие:

    (-10) + (+6) = — (10 — 6) = — (4) = — 4

    Второе действие:

    (−4) + (−15) = − (4 + 15) = − (19) = − 19

    Третье действие:

    (−19) + (+11) = − (19− 11) = − (8) = −8

    Четвертое действие:

    (−8) + (−7) = − (8 + 7) = − (15) = − 15

    Таким образом, значение выражения -10 + 6 — 15 + 11 — 7 равно -15

    Примечание. Нет необходимости делать выражение понятным, заключая числа в круглые скобки. Когда вы привыкнете к отрицательным числам, вы можете пропустить это действие, поскольку оно отнимает много времени и может сбивать с толку.

    Итак, чтобы складывать и вычитать целые числа, нужно помнить следующие правила:

    1. Чтобы сложить числа с разными знаками, вычтите меньший модуль из большего модуля и перед ответом поставьте знак числа, модуль которого больше.

    2. Чтобы вычесть большее число из меньшего, вычтите меньшее число из большего числа и поставьте перед ответом минус.

    3. Вычитание одного числа из другого означает добавление к вычитающему числа, противоположного вычитаемому.

    4. Чтобы сложить отрицательные числа, сложите их модуль и перед ответом поставьте минус.

    Упражнения

    Задача 1. Найдите значение выражения:

    −50 + 40

    Решение

    −50 + 40 = −10

    Показать решение

    Задача 2. Найдите значение выражения:

    25 + (−5)

    Решение

    25 + (−5) = 20

    Показать решение

    Задача 3. Найдите значение выражения:

    −20 + 60

    Решение

    −20 + 60 = 40

    Показать решение

    Задача 4. Найдите значение выражения:

    8 20000 )

    Решение

    20 + (−8) = 12

    Показать Решение

    Задание 5. Найти значение выражения:

    30 + (−50)

    9000 + Решение

    ) = −20

    Показать решение

    Задача 6. Найдите значение выражения:

    27 + (−19)

    Решение

    27 + (−19) = 8

    Показать решение

    Задача 7. Найдите значение выражения:

    5 − 9 17 + (−12) + (−8)

    Решение

    Показать решение

    Задача 8. Найти значение выражения:

    −6 − 4

    Решение

    −6 − 4 = −6 + (−4) = −10

    Показать решение

    Задача 9. Найдите значение выражения:

    −6 − (−4)

    Решение

    −6 − (−4) = −6 + 4 = −2

    Показать решение

    Задача 10. Найти значение выражения:

    − 15 − (−15)

    Решение

    −15 − (−15) = −15 + 15 = 0

    Показать решение

    Задача 11. Найти значение выражения:

    −11 − (− 14)

    Решение

    −11 − (−14) = −11 + 14 = 3

    Показать решение

    Задача 12. Найти значение выражения:

    −3 + 2 − (−1)

    Решение

    Показать решение

    Задание 13. Найти значение выражения:

    −5 − 6 − 3

    2

    2

    2 Решение

    Показать решение

    Видеоурок

    Отрицательные и положительные числа: рабочие листы и задания

    Учащиеся KS2 должны понимать основы отрицательных и положительных чисел. Применяя эти советы, вы можете создать среду, в которой вашим ученикам будет весело и интересно учиться.

    Содержание

    В этом блоге основное внимание уделяется ключевым элементам отрицательных чисел, которые необходимо преподавать на ключевом этапе 2, и чтобы помочь учителям проводить уроки.

    Обучение отрицательным числам можно облегчить, если помнить об одном ключевом принципе.

    Учащиеся должны освоить язык отрицательных чисел и концепцию отрицательных чисел  , прежде чем выполнять какие-либо вычисления.

    Если вы следуете CPA (конкретному, графическому, абстрактному подходу), наиболее популярным графическим представлением отрицательных чисел является числовая линия.

    История отрицательных чисел весьма интересна и может быть полезна для междисциплинарных целей.

    В этой статье Стэнфордского университета содержится объяснение того, как китайцы адаптировали отрицательные числа для решения одновременных уравнений. Они представляли бы положительные числа красными стержнями и отрицательные числа черными стержнями.

    Отрицательные и положительные числа в национальной учебной программе

    4 год 5 год 6 год 6 год

    4-й год

    считать в обратном порядке через ноль, включая отрицательные числа

    5-й год

    интерпретировать отрицательные числа в контексте, считать в прямом и обратном направлении с положительными и отрицательными целыми числами, в том числе до нуля

    6-й год

    использовать отрицательные числа в контексте и вычислять интервалы между нулями

    6-й класс


    Не установленный законом

    С помощью числовой строки учащиеся используют, складывают и вычитают положительные и отрицательные целые числа для

    меры, такие как температура.

    Учащиеся рисуют и обозначают пару осей во всех четырех квадрантах с одинаковым масштабом. Это расширяет их знания об одном квадранте на все четыре квадранта, включая использование отрицательных чисел.

    Essential Learning

    Это основные моменты обучения и порядок понятий, которые учащиеся должны усвоить, чтобы освоить отрицательные числа на ключевом этапе 2:

    1. Чтобы понять, что отрицательные числа существуют, и уметь говорить об отрицательных числах (например, по отношению к температуре или деньгам).
    2. Уметь распознавать, чем отрицательные числа представляются иначе, чем положительные числа.
    3. Уметь представлять отрицательные и положительные числа на числовой прямой и выполнять базовые вычисления с отрицательными числами.

    1. Существуют отрицательные числа и разговоры о них.

    Я считаю, что для того, чтобы говорить об отрицательных числах понятным образом, нам нужно посмотреть, откуда они берутся.

    Зачем нужны отрицательные числа? Когда нам нужны отрицательные числа?

    Что происходит, когда температура опускается ниже 0 градусов? Как представить, насколько холоднее 0?

    Что ваши ученики сделали бы, чтобы изобразить:

    •  замерзание (при 0 градусов),
    • немного холоднее, чем мороз (скажем, -5 градусов)        
    • намного холоднее, чем мороз (скажем, -100 градусов!)

    Они могли рисовать цифры красным (или синим!). Они могли бы использовать символ (например, -) для обозначения меньше нуля.

    Смогут ли ваши ученики нарисовать числовую прямую, показывающую, как они представляют числа меньше нуля?

    Будут ли их системы работать дешевле, чем «ноль денег»?

    Покажите систему, которую мы используем, т. е. «-», и посмотрите, что они думают.

    Это сбивает с толку табличкой на вынос? Почему это может быть хорошей системой?

    2. Представление отрицательных и положительных чисел

    Итак, мы установили, что существуют отрицательные числа, и они представлены знаком «–».

    (Самый главный совет — напомнить учащимся, что перед положительными числами может стоять «+», но они не отображаются, тогда как отрицательные числа всегда показывают «-».)

    После того, как учащиеся поймут, как представлять отрицательные и положительные числа, вы можете помочь им привыкнуть к расширенной числовой строке.

    3. Числовые строки и отрицательные числа

    Учащиеся должны знать, как определить отрицательное число в числовой строке, а затем, как всегда , чтобы сложить, мы пойдем правильно; и чтобы вычесть, мы идем налево.

    Отрицательные числа в реальной жизни

    Есть несколько хороших возможностей ввести отрицательные числа в несколько межпредметных областей: 

    • Деньги – овердрафты и займы. Насколько большим будет мой овердрафт, если я потрачу еще 100 фунтов стерлингов?
    • Температура – ​​ниже точки замерзания. Насколько на 10 градусов холоднее?
    • Разница во времени – если в Нью-Йорке отставание на 5 часов, а здесь 10 часов утра, сколько сейчас времени в Нью-Йорке?

     

    Действия с отрицательными числами

    Некоторые другие действия, которые могут помочь прогрессу в понимании отрицательных чисел:

    Игра в лестницы: На полу проведите числовую линию, она может быть воображаемой. Предложите учащимся подойти к выбранному вами номеру.

    Последовательности: Вы также можете нарисовать на доске несколько последовательностей и попросить учащихся сказать вам, правильные они или нет, используя свои математические знания. Вы также можете проиллюстрировать числа на доске и попросить учащихся расставить их по порядку.

    Рабочие листы с отрицательными числами

    Мы подготовили два рабочих листа для ваших учеников, чтобы они могли попрактиковаться в числовом ряду и распознавать отрицательные и положительные числа. Просто нажмите кнопку, чтобы скачать!

    Игра с отрицательным числом

    Если вашему ученику нравится учиться с помощью игр, мы предлагаем воспользоваться бесплатным пробным доступом Эмиля. Вы можете найти множество игр, таких как сложение и вычитание, включая отрицательные числа, которые понравятся вашим ученикам. Они могут соревноваться друг с другом, собирать наряды для своего виртуального Эмиля и следить за его прогрессом.

    Читайте больше в наших блогах по математике…

    отрицательных чисел в Excel | 3 лучших способа показать отрицательное число

    Microsoft Excel использует положительные и отрицательные числа при выполнении математических вычислений. В Excel отрицательные числа по умолчанию отображаются со знаком минус. Это числа, которые меньше 0 по значению. Excel упрощает распознавание отрицательных чисел, используя различные рекомендации.

    Необходимо распознавать отрицательные числа при выполнении вычислений. В некоторых сценариях, например при определении дисперсии, необходимо преобразовать отрицательные числа в положительные числа или представить их в соответствующем формате, чтобы использовать отрицательные значения надлежащим образом. Требуется представить их, применив определенный условный форматУсловное форматированиеУсловное форматирование — это метод в Excel, который позволяет нам форматировать ячейки на листе на основе определенных условий. Его можно найти в разделе стилей на вкладке «Главная». Узнайте больше в зависимости от требований.

    Настоящая статья направлена ​​на определение способов управления отрицательными числами в Excel.

    Содержание
    • Отрицательные числа в Excel
      • Объяснение отрицательных чисел в Excel
      • Как отображать отрицательные числа в Excel?
      • 3 основных способа отображения/выделения отрицательных чисел в Excel
        • Пример №1 — с условным форматированием
        • Пример №2 — со встроенным форматированием чисел
        • Пример №3 — с пользовательским форматированием чисел
      • Что нужно помнить
      • Рекомендуемые статьи

    Объяснение отрицательных чисел в Excel

    Обработка отрицательных чисел в Excel очень проста. Excel может эффективно управлять как положительными, так и отрицательными числами. Но отрицательные числа иногда могут вызвать некоторую путаницу у пользователей. Существует вероятность возникновения проблем при обработке отрицательных чисел, когда для них выбран неподходящий формат. Он отображает ошибки, когда пользователь пытается выполнить вычисления с негативами.

    Вводить отрицательные числа со знаком минус очень просто, но анализировать их сложно, когда представлена ​​смесь положительных и отрицательных значений. Чтобы избежать этой проблемы, необходимо изменить формат ячеек Excel, содержащих отрицательные значения, для получения точных результатов.