Как найти обратную функцию примеры: Примеры обратных функций

Содержание

Обратные функции и их графики. Виды функции. Обратная функция. Область определения и область значения функции. Примечание по записи

28.10.2021Рубрика: Земля

2.Теория обратных функций

Обратные тригонометрические функции

Определение обратной функции

Определение. Если функция f(x) задает взаимно однозначное соответствие между своей областью определения X и своей областью значений У (иными словами, если любым различным значениям аргумента соответствуют различные значения функции), то говорят, что функция f(x) имеет обратную функцию или что функция f (x ) обратима.

Определение. Обратная функция — это правило, которое каждому числу у є У сопоставляет число х є X , причем y=f(x). Область определения обратной

функции есть множество У, область значений — X.

Теорема о корне. Пусть функция f возрастает (или убывает) на промежутке I, число а — любое из значений, принимаемых f на этом промежутке. Тогда уравнение f(x)=a имеет единственный корень в промежутке I.

Доказательство. Рассмотрим возрастающую функцию f (в случае убывающей функции рассуждения аналогичны). По условию в промежутке I существует такое число b, что f(b)=a. Покажем, что b — единственный корень уравнения f(x)=a.

Допустим, что на промежутке I есть еще число с≠ Ь, такое что f(c)=a. Тогда или сb. Но функция f возрастает на промежутке I, поэтому соответственно либо f(c)f(b). Это противоречит равенству f(c)= f(b)=a. Следовательно, сделанное предположение неверно и в промежутке I, кроме числа b, других корней уравнения f(x)=a нет.

Теорема об обратной функции. Если функция f возрастает (или убывает) на промежутке I, то она обратима.

Обратная к f функция g, определенная в области значений f также является возрастающей (соответственно убывающей).

Доказательство. Положим для определенности, что функция f возрастает. Обратимость функции f — очевидное следствие теоремы о корне. Поэтому остается доказать, что функция g, обратная к f, возрастает на множестве E(f).

Пусть х 1 и х 2 — произвольные значения из E(f), такие, что х 2 > х 1 и пусть y 1 = g (х 1), у 2 = g(х 2 ). По определению обратной функции х 1 = f(y 1) и х 2 = f(y 2).

Воспользовавшись тем условием, что f — возрастающая функция, находим, что допущение y 1≥ y 2 приводит к выводу f(y 1) > f(y 2), то есть х 1 > х 2 . Это

противоречит предположению х 2 > х 1 Поэтому, y 1 > y 2 , то есть из условия х 2 > х 1 следует, что g(x 2)> g(х 1). Что и требовалось доказать.

Исходная функция и обратная ей являются взаимно

обратными.

Графики взаимно обратных функций

Теорема. Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой у=х.

Доказательство. Заметим, что по графику функции f можно найти числовое значение обратной к f функции g в произвольной точке а. Для этого нужно взять точку с координатой а не на горизонтальной оси (как это обычно делается), а на вертикальной. Из определения обратной функции следует, что значение g(a) равно b.

Для того, чтобы изобразить график g в привычной системе координат, надо отразить график f относительно прямой у=х.

Алгоритм составления обратной функции для функции y=f(x), x X.

1 .Убедиться в том, что функция y=f(x) обратима на X.

2.Из уравнения y=f(x) х выразить через у, учитывая при этом, что х є X.

З.В полученном равенстве поменять местами х и у.

2.2.Определение, свойства и графики обратных тригонометрических

функций

Арксинус

Функция синус возрастает на отрезке
и принимает все значения от -1 до 1. Следовательно, по теореме о корне для любого числа а, такого, что
, в промежутке существует единственный корень уравнения sin x = a. Это число и называют арксинусом числа а и обозначают arcsin а.

Определение. Арксинусом числа а, где , называется такое число из отрезка, синус которого равен а.

Свойства.

D(у) = [ -1;1 ]

Е(у) = [-π/2;π/2]

у (-х) = arcsin(-х) = — arcsin х – функция нечетная, график симметричен относительно точки О(0;0).

arcsin х = 0 при х = 0.

arcsin х > 0 при х є (0;1]

arcsin х

у = arcsin х возрастает при любом х є [-1;1]

1 ≤ х 1 arcsin х 1

Арккосинус

Функция косинус убывает на отрезке и принимает все значения от -1 до 1. Поэтому для любого числа а, такого, что |а|1, на отрезке существует единственный корень в уравнении cosx=a. Это число в называют арккосинусом числа а и обозначают arcos а.

Определение . Арккосинусом числа а, где -1 а 1, называется такое число из отрезка , косинус которого равен а.

Свойства.

Е(у) =
у(-х) = arccos(-х) = π — arccos х – функция не является ни четной, ни нечетной.
arccos х = 0 при х = 1
arccos х > 0 при х є [-1;1)

arccos х

у = arccos х убывает при любом х є [-1;1]

1 ≤ х 1 arcsin х 1 ≥ arcsin х 2 – убывающая.

Арктангенс

Функция тангенс возрастает на отрезке —

, следовательно, по теореме о корне уравнение tgx=a, где а — любое действительное число, имеет единственный корень х на интервале -. Этот корень называют арктангенсом числа а и обозначают arctga.

Определение. Арктангенсом числа a R называется такое число х , тангенс которого равен а.

Свойства.

Е(у) = (-π/2;π/2)

у(-х) = у = arctg(-х) = — arctg х – функция является нечетной, график симметричен относительно точки О(0;0).

arctg х = 0 при х = 0

Функция возрастает при любом х є R

-∞ arctg х 1

Арккотангенс

Функция котангенс на интервале (0;) убывает и принимает все значения из R. Поэтому для любого числа а в интервале (0;) существует единственный корень уравнения ctg х = а.

Это число а называют арккотангенсом числа а и обозначают arcctg а.

Определение. Арккотангенсом числа а, где а R, называется такое число из интервала (0;), котангенс которого равен а.

Свойства.

Е(у) = (0;π)

у(-х) = arcctg(-х) = π — arcctg х – функция не является ни четной, ни нечетной.

arcctg х = 0 – не существует.

Функция у = arcctg х убывает при любом х є R

-∞ 1 2 arcctg х 1 > arcctg х 2

Функция непрерывна при любом х є R.

2.3 Тождественные преобразования выражений, содержащих обратные тригонометрические функции

Пример 1 . Упростить выражение:

а) где

Решение. Положим
. Тогда
и

Чтобы найти
, воспользуемся соотношением
Получаем
Но . На этом отрезке косинус принимает только положительные значения. Таким образом,
, то есть где
.

б)

Решение.

Решение. Положим
. Тогда
и
Найдем сначала , для чего воспользуемся формулой
, откуда
Так как и на этом интервале косинус принимает только положительные значения, то
.

Пусть множества $X$ и $Y$ включены в множество действительных чисел. Введем понятие обратимой функции .

Определение 1

Функция $f:X\to Y$ отображающая множество $X$ в множество $Y$ называется обратимой, если для любых элементов $x_1,x_2\in X$ из того что $x_1\ne x_2$ следует, что $f(x_1)\ne f(x_2)$.

Теперь мы можем ввести понятие обратной функции.

Определение 2

Пусть функция $f:X\to Y$ отображающая множество $X$ в множество $Y$ обратима. 3$:

Находим подходящие значения $x$

Значение в нашем случае подходит (так как область определения — все числа)

Переопределим переменные, получим, что обратная функция имеет вид

Пример 4

Найти обратную функцию для функции $y=cosx$ на промежутке $$

Решение.

Рассмотрим на множестве $X=\left$ функцию $y=cosx$. Она непрерывна и убывает на множестве $X$ и отображает множество $X=\left$ на множество $Y=[-1,1]$, поэтому по теореме о существовании обратной непрерывной монотонной функции у функции $y=cosx$ в множестве $Y$ существует обратная функция, которая также непрерывна и возрастает в множестве $Y=[-1,1]$ и отображает множество $[-1,1]$ на множество $\left$.

Найдем $x$ из уравнения $y=cosx$:

Находим подходящие значения $x$

Переопределим переменные, получим, что обратная функция имеет вид

Пример 5

Найти обратную функцию для функции $y=tgx$ на промежутке $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$.

Решение.

Рассмотрим на множестве $X=\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$ функцию $y=tgx$. Она непрерывна и возрастает на множестве $X$ и отображает множество $X=\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$ на множество $Y=R$, поэтому по теореме о существовании обратной непрерывной монотонной функции у функции $y=tgx$ в множестве $Y$ существует обратная функция, которая также непрерывна и возрастает в множестве $Y=R$ и отображает множество $R$ на множество $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$

Найдем $x$ из уравнения $y=tgx$:

Находим подходящие значения $x$

Переопределим переменные, получим, что обратная функция имеет вид

Мы уже сталкивались с задачей, когда по заданной функции f и заданному значению её аргумента необходимо было вычислить значение функции в этой точке. Но иногда приходится сталкиваться с обратной задачей: найти по известной функции f и её некоторому значению y значение аргумента, в котором функция принимает данное значение y.

Функция, которая, принимает каждое свое значение в единственной точке своей области определения, называется обратимой функцией. Например, линейная функция будет являться обратимой функцией . А квадратичная функция или функция синус не будет являться обратимыми функциями. Так как одно и то же значение функция может принимать при различных аргументах.

Обратная функция

Положим, что f есть некоторая произвольная обратимая функция. Каждому числу из области её значений y0, соответствует лишь одно число из области определения x0, такое что f(x0) = y0.

Если теперь мы каждому значению х0 поставим в соответствие значение y0, то получим уже новую функцию. Например, для линейной функции f(x) = k * x + b функция g(x) = (x — b)/k будет являться обратной.

Если некоторая функция g в каждой точке х области значений обратимой функции f принимает значение у такое, что f(y) = x, то говорят, что функция g — есть обратная функция к f.

Если у нас будет задан график некоторой обратимой функции f, то для того чтобы построить график обратной функции, можно пользоваться следующим утверждением: график функции f и обратной к ней функции g будут симметричны относительно прямой, заданной уравнением y = x.

Если функция g является обратной к функции f, то функция g будет являться обратимой функцией. А функция f будет обратной к функции g. Обычно говорят, что две функции f и g взаимно обратные друг к другу.

На следующем рисунке представлены графики функций f и g взаимно обратных друг к другу.

Выведем следующую теорему: если функция f возрастает (или убывает) на некотором промежутке A, то она обратима. Обратная к а функция g, определенная в области значений функции f, также является возрастающей (или соответственно убывающей) функцией. Данная теорема называется теоремой об обратной функции .

Функция — это зависимость одной переменной от другой. Функции можно задавать способом таблицы, словесным способом, графический, формулой.

Функции подразделяются на следующие виды:

Линейная функция
Квадратичная функция
Кубическая функция
Тригонометрическая функция
Степенная функция
Показательная функция
Логарифмическая функция

Область определения функции D(у) — это множество всех допустимых значений аргумента x (независимой переменной x), при которых выражение, стоящее в правой части уравнения функции y = f(x) имеет смысл. Другими словами, это область допустимых значений выражения f(x).

Чтобы по графику функции y = f(x) найти ее область определения, нужно, двигаясь слева направо вдоль оси ОХ, записать все промежутки значений х, на которых существует график функции.

Множество значений фнкции Е(у) — это множество всех значений, которые может принимать зависимая переменная y.

Чтобы по графику функции y = f(x) найти ее множество значений, нужно, двигаясь снизу вверх вдоль оси OY, записать все промежутки значений y, на которых существует график функции.

Обратная функция — функция y=g(x), которая получается из данной функции y = f(x), если из отношения x = f(у) выразить y через x.

Чтобы для данной функции y = f(x) найти обратную, надо:

В соотношении y = f(x) заменить x на y, а y — на x: x = f(у) .
В полученном выражении x=f(у) выразить y через x.

Функции f(x) и g(x) — взаимно обратны. Рассмотрим это на примере

Примеры нахождения обратных функций:

Область определения и область значений функций f и g меняются местами: область определения f является областью значений g, а область значений f — областью определения g.

Не для всякой функции можно указать обратную. Условие обратимости функции — ее монотонность, то есть функция должна только возрастать или только убывать. Если функция не монотонна на всей области определения, но монотонная на некотором промежутке, тогда можно задать обратную ей функцию только на этом промежутке.

Свойства взаимно обратных функций Отметим некоторые свойства взаимно обратных функций. 1) Тождества .

Пусть f и g – взаимно обратные функции. Тогда: f(g(y)) = у и g(f(x)) = х . 2) Область определения .

Пусть f и g – взаимно обратные функции. Область определения функции f совпадает с областью значений функции g , и наоборот, область значений функции f совпадает с областью определения функции g . 3) Монотонность .

Если одна из взаимно обратных функций возрастает, то и другая возрастает. Аналогичное утверждение верно и для убывающих функций. 4) Графики .

Графики взаимно обратных функций, построенные в одной и той же системе координат, симметричны друг другу относительно прямой у = х .

Преобразования графиков функций — это линейные преобразования функции y = f (x ) или её аргумента x к виду y = af (kx + b ) + m , а также преобразование с использованием модуля.

Зная, как строить графики функции y = f(x) , где

можно построить график функции y = af(kx + b) + m.

Вопросы к конспектам

Y = 0,5x — 4

Найдите область определения функции:

Определить четность и нечетность функции:

Решите дробно-рациональное уравнение:

Найдите обратную функцию данной функции:

Найдите значение выражения 6f(-1) +3f(5), если

Пусть множества $X$ и $Y$ включены в множество действительных чисел. Введем понятие обратимой функции .

Определение 1

Находим подходящие значения $x$

Значение в нашем случае подходит (так как область определения — все числа)

Переопределим переменные, получим, что обратная функция имеет вид

Пример 4

Найти обратную функцию для функции $y=cosx$ на промежутке $$

Решение.

Найдем $x$ из уравнения $y=cosx$:

Находим подходящие значения $x$

Переопределим переменные, получим, что обратная функция имеет вид

Пример 5

Найти обратную функцию для функции $y=tgx$ на промежутке $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$. 2

Функция. Основные свойства функции. Обратная функция.

Инструкционная карта №3

Тақырыбы/ Тема: «Функция. Способы задания функции. График функции. Обратная функция.»

Мақсаты/ Цель:

1. Познакомить учащихся с понятием функции, ее способами задания функции, понятием графика функции и понятием обратной функции. Нахождением области определения функции.

2. При решении упражнений, развивать у учащихся умения выделять главное, существенное в изучаемом материале, обучить умению рационально находить правильное решение изучаемого вопроса.

3. Развивать самостоятельность и рациональность при решении упражнений, развивать логику мышления.

Теоретический материал:

Определение. Правило, или закономерность, при котором каждому значению х из множества Х соответствует единственное значение у из множества Y, называется функцией. Обозначение: . Функция считается заданной, если указаны:

область определения ;
правило, или закономерность, между значениями х и у;
множество значений .

Графиком функции y = f(x) называется множество всех точек плоскости Oxy , для каждой из которых x является значением аргумента, а y – соответствующим значением функции.

Чтобы задать функцию y = f(x), необходимо указать правило, позволяющее, зная x , находить соответствующее значение y.

Наиболее часто встречаются три способа задания функции: аналитический, табличный, графический.

Аналитический способ: функция задается в виде одной или нескольких формул или уравнений.

Если область определения функции y = f(x) не указана, то предполагается, что она совпадает с множеством всех значений аргумента, при которых соответствующая формула имеет смысл.

Аналитический способ задания функции является наиболее совершенным, так как к нему приложены методы математического анализа, позволяющие полностью исследовать функцию y = f(x).

Графический способ: задается график функции.

Преимуществом графического задания является его наглядность, недостатком – его неточность.

Табличный способ: функция задается таблицей ряда значений аргумента и соответствующих значений функции. Например, известные таблицы значений тригонометрических функций, логарифмические таблицы.

Пример 1

Рассмотрим функцию

Рассмотрим теперь область определения. Извлечь квадратный корень из выражения (х — 2) можно, только если эта величина неотрицательная, т. е. х — 2 ≥ 0 или х ≥ 2. Находим

Пример 2

Рациональная функция определена при х — 2 ≠ 0, т. е. x ≠ 2. Поэтому область определения данной функции — множество всех не равных 2 действительных чисел, т. е. объединение интервалов (-∞; 2) и (2; ∞).

Возвращаясь к примеру, можно записать:

Пример 3

Найдем область определения дробно-рациональной функции:

Знаменатели дробей обращаются в нуль при х = 2, х = 1 и х = -3. Поэтому область определения данной функции

Пример 4

Найти область определения функции у = х² +2х – 5

Если функция задана в виде многочлена, то ее значение можно вычислить при любом значении аргумента, следовательно, D (у) = R

Четность и нечетность функций.

Функция f называется четной, если для любого х из её области определения выполняется равенство f(-x) = f(x).
Функция f называется нечетной, если для любого х из её области определения выполняется равенство f(-x) = -f(x).

Понятие об обратной функции

Если функция y=f(x) такова, что для любого ее значения y_o уравнение f(x)=y_o имеет относительно х единственный корень, то говорят, что функция f обратима.
Если функция y=f(x) определена и возрастает (убывает) на промежутке Х и областью ее значений является промежуток Y, то у нее существует обратная функция, причем обратная функция определена и возрастает(убывает) на Y. Таким образом, чтобы построить график функции, обратной к функции y=f(x), надо график функции y=f(x) подвергнуть преобразованию симметрии относительно прямой y=x.

Пример

Для функции у = 2х — 4 найдем обратную функцию: у + 4 = 2х, откуда х = 1/2у + 2. Введем переобозначения х ↔ у и запишем обратную функцию в виде у = 1/2х + 2. Таким образом, для функции f(х) = 2х – 4 обратная функция f-1(x) = 1/2х + 2. Построим графики этих функций. Видно, что графики симметричны относительной прямой у = х.

Практическая часть:

1 вариант	2 вариант	3 вариант	4 вариант
Найти область определения функции: 1. у=х³-3х²+2х-6; 2. у=; 3. у=.	Найти область определения функции: 1. у=2х³-5х²+7х-1; 2. у=; 3. у=.	Найти область определения функции: 1. у=-х³+х²-7х-34; 2. у=; 3. у=.	Найти область определения функции: 1. у=-4х³-14х²+2х-100; 2. у=; 3. у=.
Какие функции являются четными (нечетными): 1. у=3; 2. у=; 3. у= .	Какие функции являются четными (нечетными): 1. у=4; 2. у=; 3. у= .	Какие функции являются четными (нечетными): 1. у=; 2. у=; 3. у= .	Какие функции являются четными (нечетными): 1. у=-; 2. у=; 3. у=х(5- .
Начертите эскиз графика функции f: f – четная функция, х_max=-3, х_min=0, f(-3)=4, f(0)=0.	Начертите эскиз графика функции f: f – нечетная функция, х_max=2, х_min=5, f(2)=3, f(5)=-4.	Начертите эскиз графика функции f: f – четная функция, х_max=0, х_min=4, f(4)=-2, f(0)=2.	Начертите эскиз графика функции f: f – нечетная функция, х_max=-1, х_min₌-4, f(-4)=-3, f(-1)=1.
Найти обратную функцию к заданной функции: у=3х-7	Найти обратную функцию к заданной функции: у=6-2х	Найти обратную функцию к заданной функции: у =	Найти обратную функцию к заданной функции: у=х²+1,х

Контрольные вопросы:

Что такое числовая функция?
Какое множество соответствует области определения функции?
Назовите способы задания функции?
Дайте определение четной (нечетной) функции.
Всякой ли функции можно найти обратную функцию?

Инвертирование функций с ограниченными областями

Определения / инвертирование графикаЯвляется ли обратная функция?Поиск обратныхРабочие примерыДоказательство обратных

Purplemath

График параболы не пройдет тест горизонтальной линии; существует множество горизонтальных линий, которые пересекают график дважды. Таким образом, обратная квадратичная функция параболы сама по себе не будет функцией.

Однако иногда необратимую функцию можно преобразовать в обратимую, ограничив область определения.

Содержание продолжается ниже

MathHelp.com

Обратные функции

В случае параболы, если мы используем только одну «сторону» или одну «половину» параболы, тогда график пройдет Горизонтальную линию Тест.

Найдите обратную функцию y = x ² + 1, x ≤ 0,

Единственная разница между этой функцией и предыдущей заключается в том, что домен может включать только отрицательную половину х — ось; то есть функция была ограничена только левой половиной параболы. Из-за этого ограничения график выглядит следующим образом:

Эта функция проходит тест горизонтальной линии, поэтому она будет иметь обратную функцию, которая также является функцией.

(к вашему сведению: почти каждый раз, когда они дают вам задачу, в которой они потрудились ограничить домен, они также почти всегда давали вам что-то, обратная функция которого также будет. Однако вы должны быть осторожны с алгебру и нарисуйте красивую картинку, потому что может потребоваться дополнительное усилие, чтобы показать, что обратная функция является функцией, и, по крайней мере, ограниченная область определения функции потребует ограниченного диапазона.)

В этом случае, поскольку домен равен x ≤ 0, а диапазон (из графика) равен y ≥ 1, то обратный будет иметь домен x ≥ 1 и диапазон y . ≤ 0.

I start by solving for » x =»:

y = x ² + 1

y − 1 = x ²

By Выяснив область определения и диапазон обратной функции, я знаю, что должен выбрать отрицательный знак для квадратного корня в моей обратной функции:

Теперь я поменяю местами x и y ; новое » y =» является обратным:

(Ограничение » x ≥ 1″ подтверждается тем фактом, что выражение x — 1 находится внутри квадратного корня. Единственный способ для квадратный корень должен быть определен для x — 1 ≥ 0.)

Итак, мой ответ:

обратное:

y = — sqrt ( x 9018 — 17),
эта обратная также является функцией

Если вы изучали обозначения функций, вы можете начать с f ( x ) вместо y . В этом случае запустите процесс инверсии, переименовав f ( x ) в y . Затем выполните обычную процедуру. Как только вы найдете обратное, переименуйте полученное y как f ⁻¹ ( x ). (Обычно легче работать с y .)

Предупреждение: запись обратной функции вводит в заблуждение; степень «минус один» в обозначении обратной функции означает «обратное значение исходной функции», а не «обратное значение выражения». Не путайте два.

Найдите обратное число f ( x ) = − sqrt ( x − 2), x ≥ 2. обратного.

Ограничение домена связано с тем, что x находится внутри квадратного корня. Обычно я не стал бы записывать « x ≥ 2», потому что знаю, что значения x меньше 2 дадут мне отрицательные значения внутри квадратного корня. Но в данном случае ограничение полезно, потому что вместе с графиком оно поможет мне определить домен и диапазон на обратном:

Область (данная в постановке упражнения) равна x ≥ 2; диапазон (найденный из графика) равен y ≤ 0. Тогда областью обратного будет x ≤ 0; the range will be y ≥ 2.

Now I need to find my inverse:

y ² = x − 2

y ² + 2 = x

x ² + 2 = y

F  ⁻¹ ( x ) = x ² + 2

. Эта внедренная функция Грагсы как парабол, где я начал. с половиной (боковой) параболы. Так как я уже разобрался с доменом и диапазоном — в частности, домен обратного равен x ≤ 0 — я знаю, что мне нужно взять отрицательную половину параболы. Итак, мой ответ:

обратное: y = x ² + 2
обратная функция,
с доменом x ≤ 0
и диапазон y ≥ 2

Найдите обратное число f ( x ) = x ² − 3 x , 0 0018 ≤ 1,5

С ограничением домена граф выглядит следующим образом:

Из того, что я знаю о графическом построении квадратичных уравнений, вершина находится в точке ( x , y ) = (1,5, −0,25), поэтому этот граф является левым. половина параболы. И эта половина параболы проходит тест горизонтальной линии, поэтому (ограниченная) функция обратима. Но как решить для обратного? Начинаю как обычно:

f ( x ) = x ² — 3 x + 2

y = x ² — 3 x + 2

Теперь я решайте для « x =», используя квадратичную форму:

9 Поскольку x ≤ 1,5, то мне нужен *отрицательный* квадратный корень:
Затем, после переименования, обратное значение получается следующим образом:
Да, иногда обратное может быть беспорядочным.
URL: https://www.purplemath.com/modules/invrsfcn4.htm
Страница 1Страница 2Страница 3Страница 5Страница 6
Найти обратную функцию
Все ресурсы для предварительного исчисления
12 Диагностических тестов 380 практических тестов Вопрос дня Карточки Learn by Concept
← Предыдущая 1 2 3 4 Следующая →
Precalculus Help » Функции » Обратные функции » Найдите обратную функцию
Найдите обратную функцию
.
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Чтобы найти обратную, поменяйте местами переменные x и y в функции, затем найдите y.
Переключая переменные получаем,
.
Затем найдем y, чтобы получить окончательный ответ.
Сообщить об ошибке
Найти обратное число
.
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Во-первых, переключите преобразование переменных в .
Затем найдите у, извлекая квадратный корень из обеих сторон.

Сообщить об ошибке
Найдите обратное уравнение.
.
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Чтобы найти обратное в этом случае, нам нужно поменять местами переменные x и y, а затем найти y.
Следовательно,
становится
Чтобы найти у, мы возводим обе стороны в квадрат, чтобы избавиться от квадратного корня.
Затем мы вычтем 2 из обеих сторон и возьмем экспоненциал каждой стороны, и у нас останется окончательный ответ.

Сообщить об ошибке
Найдите обратную следующую функцию.
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Чтобы найти обратную величину y, или
, сначала поменяйте местами переменные x и y в уравнении.

Во-вторых, найдите переменную в полученном уравнении.
Упрощение числа с нулем в степени, обратное число равно
Сообщить об ошибке
Найдите обратную следующую функцию.
Возможные ответы:
Не существует
Правильный ответ:
3 Объяснение:
Чтобы найти обратную величину y, или
, сначала поменяйте местами переменные x и y в уравнении.
Во-вторых, найдите переменную в полученном уравнении.
И, установив каждую часть уравнения как степень основания e,
Сообщить об ошибке
Найти обратную функцию.
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Чтобы найти обратную, нам нужно поменять местами переменные, а затем найти y.
Меняя переменные, мы получаем следующее уравнение:
.
Теперь найдите у.
Сообщить об ошибке
Найдите обратное число
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Итак, сначала мы заменим каждый на и каждый на .
Получившееся уравнение:

Теперь мы просто находим у.
Вычтите 9 из обеих сторон:
Теперь разделите обе части на 10:
Обратный
IS
Отчет о ошибке
Что является обратным
. Объяснение:
Чтобы найти обратную функцию, мы просто меняем местами все и друг с другом.
Итак,
превращается в

Теперь найдем
Разделим обе части на
Сообщить об ошибке
Если , какова ее обратная функция, ?
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Начнем с того, что возьмем и заменим на а, что даст нам.
Далее переключаем все наши и , давая нам .
Наконец, мы находим , вычитая из каждой стороны, умножая каждую сторону на и разделив каждую сторону на , оставляя нас с,
.
Сообщить об ошибке
Найти обратное значение .
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Чтобы найти обратную функцию, мы переключаем переменные в функции.
Переключение и дает
Тогда решение для дает наш ответ:
Сообщить об ошибке
← Предыдущий 1 2 3 4 Следующий →
Уведомление об авторских правах
Все ресурсы по предварительному исчислению
12 Диагностические тесты 380 практических тестов Вопрос дня Карточки Learn by Concept
Обратные функции — GCSE Maths
Введение
Что такое обратные функции?
Как найти обратные функции
Рабочий лист обратных функций
Распространенные заблуждения
Практические вопросы с обратной функцией
Обратные функции Вопросы GCSE
Контрольный список обучения
Следующие уроки
Все еще застряли?
Индивидуальные занятия по математике, созданные для успеха KS4
Теперь доступны еженедельные онлайн-уроки повторения математики GCSE
Узнать больше
Введение
Что такое обратные функции?
Как найти обратные функции
Рабочий лист обратных функций
Распространенные заблуждения
Практические вопросы с обратной функцией
Обратные функции Вопросы GCSE
Контрольный список обучения
Следующие уроки
Все еще застряли?
Здесь мы узнаем об обратных функциях, в том числе о том, что такое обратная функция, какие обозначения используются для обратной функции и как найти обратную функцию. 9{-1} .
Мы увидели, как использовать функциональную машину для работы в обратном направлении, чтобы найти входные данные по известным выходным данным. Если бы мы записали алгебраическое выражение, относящееся к этим обратным операциям, в правильном порядке, мы бы нашли обратную функцию.
Чтобы найти обратную функцию, нам нужно переписать функцию, используя y в качестве неизвестной переменной, и установить функцию равной x. Затем нам нужно переставить функцию, чтобы сделать y субъектом, и записать функцию, используя нотацию обратной функции. 9{-1}, отразив график функции f в строке y=x .
Что такое обратные функции?
Как найти обратную функцию
Чтобы найти обратную функцию:
Запишите выражение для исходной функции, используя y вместо x . Установите это выражение равным x.
Переставьте уравнение так, чтобы y был субъектом.
Запишите обратную функцию, используя обозначение f^{-1}.
Объясните, как найти обратные функции
Таблица обратных функций
Получите бесплатную таблицу обратных функций, содержащую более 20 вопросов и ответов. Включает рассуждения и прикладные вопросы.
СКАЧАТЬ БЕСПЛАТНО
Икс
Рабочий лист обратных функций
Получите бесплатный рабочий лист обратных функций, содержащий более 20 вопросов и ответов. Включает рассуждения и прикладные вопросы.
СКАЧАТЬ БЕСПЛАТНО
Уроки по связанным функциям
Обратные функции являются частью более широкой темы, функций. Возможно, вам будет полезно изучить основную тему, прежде чем изучать подробные отдельные уроки, приведенные ниже:
Функции
Обозначение функций
Составные функции
Машины функций
Примеры обратных функций
3 90 обратная линейная функция
Если f(x)=3x-7 , найти f^{-1}(x).
Запишите выражение для исходной функции, используя y вместо x . Установите это выражение равным x.
3у-7=х
2 Переставьте уравнение так, чтобы и стали субъектом.
\begin{выровнено} & 3y-7=x \\\\ & 3y=x+7 \hspace{2cm} \text{Добавить } 7 \text{ к обеим частям уравнения} \\\\ & y=\frac{x+7}{3} \hspace{2cm} \text{Разделить обе стороны на } 3 \end{выровнено} 9{-1}(х) .
Запишите выражение исходной функции, используя y вместо x . Установите это выражение равным x.
9-\frac{y}{2}=x
Перестройте уравнение так, чтобы y стало предметом.
\begin{align} & 9-\frac{y}{2}=x \\\\ & 9-x=\frac{y}{2} \hspace{2cm} \text{Добавить} \ frac{y}{2} \text{ с обеих сторон и вычесть } x \text{ с обеих сторон. } \\\\ & 18-2x=y \hspace{1.8cm} \text{Умножить обе стороны на } 2. \end{выравнивание} 9{-1}(х) .
Запишите выражение исходной функции, используя y вместо x . Установите это выражение равным x.
\frac{y-3}{y+2}=x
Перестройте уравнение так, чтобы y стало предметом.
\ начало {выровнено} & \frac{y-3}{y+2}=x \\\\ & y-3=x\left( y+2 \right) \hspace{2.7cm} \text{Умножить обе части на знаменатель } y+2 \\\\ & y-3=xy+2x \hspace{2,8 см} \text{Расширить скобку} \\\\ & y-xy=2x+3 \hspace{2,8 см} \text{Изолируйте } y \text{, вычитая } xy \text{ с обеих сторон}\\ & \hspace{5cm} \text{и добавив } 3 \text{ с обеих сторон} \\\\ & y\left( 1-x \right)=2x+3 \hspace{2.5cm} \text{Вынести за скобки } y\\\\ & y=\frac{2x+3}{1-x} \hspace{3.4cm} \text{Разделить обе стороны на } 1-x \end{выровнено} 9{-1} или \frac{1}{3x} .
No related posts.