Действия с дробями обычными: Действия с обыкновенными дробями – примеры арифмитеческих действий

Действия с обыкновенными дробями – примеры арифмитеческих действий

4.2

Средняя оценка: 4.2

Всего получено оценок: 167.

4.2

Средняя оценка: 4.2

Всего получено оценок: 167.

Действия с обыкновенными дробями тема не простая. Зато ее понимание избавляет учеников от множества ошибок, поскольку дроби встречаются на каждом шагу, как в математике, так и в реальной жизни.

Что такое дробь?

Дробью называется незавершенная операция деления. Делимое превращается в числитель, делитель в знаменатель, а знак деления в дробную черту.

Правильным является приведенное определение. Однако дроби можно считать так же частями чего-то целого. Это не ошибка, но приведенное определение считается более научным.

Именно благодаря тому, что дробь считается незавершенной операцией деления, возможно сложение, вычитание и умножение обыкновенных дробей.

Виды дробей

Выделяют следующие виды дробей:

• Дробь, у которой числитель меньше знаменателя. Зовется правильной
• Дробь, у которой числитель больше знаменателя. Называется неправильной.
• Смешанной дробью называют неправильную дробь, у которой выделили целую часть.
• Десятичной дробью называют дробь, у которой в знаменателе степень числа 10

Вид дробей не влияет на знак числа. Это значит, что каждый из подвидов дробей может быть положительным и отрицательным. Отрицательных чисел, как в условии, так и в результате бояться не нужно.

Действия с обыкновенными дробями

Разберем все группы действий с обыкновенными дробями.

Умножение

Для того, чтобы перемножить две дроби нужно числитель умножить на числитель, а знаменатель на знаменатель. Результат при необходимости сокращают, и выделяют целую часть. Умножение можно считать самой легкой операцией с дробями.

Деление

В прямом смысле слова делить дроби друг на друга нельзя. Зато есть правило деления дробей, которое рассказывает о небольшой хитрости. Дело в том, что поделить одну дробь на другую это то же самое, что умножить дробь-делимое на дробь, обратную делителю.

То есть для того, чтобы разделить одну дробь на другую, сначала нужно перевернуть делитель. Для этого числитель и знаменатель меняют местами. После этого дробь делимое умножают на получившуюся дробь. Результат является результатом деления.

Сложение и вычитание

Сложение и вычитание дробей возможно только при наличии у обоих чисел одинаковых знаменателей. Перед решением примера, дроби приводятся к одному знаменателю. Чтобы найти такое число используют НОК или метод перебора.

После того, как найден общий знаменатель, числитель и знаменатель дроби домножают на одно и то же число так, чтобы в знаменателе оказался НОК. Числители полученных дробей складываются или вычитаются, а знаменатель остается прежним.

Что мы узнали?

Мы поговорили о том, что такое дробь. Узнали 2 определения этого вида чисел. Разбили возможные арифметические действия с обыкновенными дробями на группы и изучили правила каждой из получившихся подгрупп.

Тест по теме

Доска почёта

Чтобы попасть сюда — пройдите тест.

• Эмир Субхонбердиев

  5/5

• Ольга Глыбина

  5/5

• Вова Ахмедов

  5/5

• Сергей Евдокимов

  5/5

• Степан Прокопов

  5/5

Оценка статьи

4.2

Средняя оценка: 4.2

Всего получено оценок: 167.

---

А какая ваша оценка?

Правила арифметических действий над обыкновенными дробям

#1. Основное свойство дроби

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю, то получится дробь, равная данной.

3/7=3*3/7*3=9/21, то есть 3/7=9/21

a/b=a*m/b*m — так выглядит основное свойство дроби.

Другими словами, мы получим дробь, равную данной, умножив или разделив числитель и знаменатель исходной дроби на одно и то же натуральное число.

Если ad=bc, то две дроби a/b=c/d считаются равными.

Например, дроби 3/5 и 9/15 будут равными, так как 3*15=5*9, то есть 45=45

Сокращение дроби — это процесс замены дроби, при котором новая дробь получается равной исходной, но с меньшим числителем и знаменателем.

Сокращать дроби принято, опираясь на основное свойство дроби.

Например, 45/60=15/​​20=9/12=3/4​ ​​(числитель и знаменатель делится на число 3, на 5 и на 15).

Несократимая дробь — это дробь вида 3/4​​, где числитель и знаменатель являются взаимно простыми числами. Основная цель сокращения дроби — сделать дробь несократимой.

2. Приведение дробей к общему знаменателю

Чтобы привести две дроби к общему знаменателю, надо:

1) разложить знаменатель каждой дроби на простые множители;

2) умножить числитель и знаменатель первой дроби на недостающие

множители из разложения второго знаменателя;

3) умножить числитель и знаменатель второй дроби на недостающие множители из первого разложения.

Примеры: приведите дроби к общему знаменателю .

Разложим знаменатели на простые множители: 18=3∙3∙2, 15=3∙5

умножили числитель и знаменатель дроби на недостающий множитель 5 из второго разложения.

числитель и знаменатель дроби на недостающие множители 3 и 2 из первого разложения.

= , 90 – общий знаменатель дробей .

3. Арифметические действия над обыкновенными дробями

3.1. Сложение обыкновенных дробей

а) При одинаковых знаменателях числитель первой дроби складывают с числителем второй дроби, оставляя знаменатель прежним. Как видно на примере:

a/b+c/b=(a+c)/b​​;

б) При разных знаменателях дроби сначала приводят к общему знаменателю, а затем выполняют сложение числителей по правилу а):

7/3+1/4=7*4/12+1*3/12=(28+3)/12=31/12

3.2. Вычитание обыкновенных дробей

а) При одинаковых знаменателях из числителя первой дроби вычитают числитель второй дроби, оставляя знаменатель прежним:

a/b-c/b=(a-c)/b​​;

б) Если же знаменатели дробей различны, то сначала дроби приводят к общему знаменателю, а затем повторяют действия как в пункте а).

3.3. Умножение обыкновенных дробей

Умножение дробей подчиняется следующему правилу:

a/b*c/d=a*c/b*d,

то есть перемножают отдельно числители и знаменатели. n или смешанные числа.

Например: 51/10=5,1; 763/100=7,63

В виде десятичной дроби представляется любая обыкновенная дробь со знаменателем, который является делителем некой степени числа 10.

менателем, который является делителем некой степени числа 10.

Пример: 5 — делитель числа 100, поэтому дробь 1/5=1 *20/5*20=20/100=0,2​0=0,2.

6. Арифметические действия над десятичными дробями

6.1. Сложение десятичных дробей

Для сложения двух десятичных дробей, нужно их расположить так, чтобы друг под другом оказались одинаковые разряды и запятая под запятой, а затем выполнить сложение дробей как обычных чисел.

6.2. Вычитание десятичных дробей

Выполняется аналогично сложению.

6.3. Умножение десятичных дробей

При умножении десятичных чисел достаточно перемножить заданные числа, не обращая внимания на запятые (как натуральные числа), а в полученном ответе запятой справа отделяется столько цифр, сколько их стоит после запятой в обоих множителях суммарно.

Давайте выполним умножение 2,7 на 1,3. Имеем 27 \cdot 13=35127⋅13=351. Отделяем справа две цифры запятой (у первого и второго числа — одна цифра после запятой; 1+1=21+1=2). В итоге получаем 2,7 \cdot 1,3=3,512,7⋅1,3=3,51.

Если в полученном результате получается меньше цифр, чем надо отделить запятой, то впереди пишут недостающие нули, например:

Для умножения на 10, 100, 1000, надо в десятичной дроби перенести запятую на 1, 2, 3 цифры вправо (в случае необходимости справа приписывается определенное число нулей).

Например: 1,47 \cdot 10 000 = 14 7001,47⋅10000=14700.

6.4. Деление десятичных дробей

Деление десятичной дроби на натуральное число производят также, как и деление натурального числа на натуральное. Запятая в частном ставится после того, как закончено деление целой части.

Если целая часть делимого меньше делителя, то в ответе получается нуль целых, например:

Рассмотрим деление десятичной дроби на десятичную. Пусть нужно разделить 2,576 на 1,12. Первым делом, умножим делимое и делитель дроби на 100, то есть перенесем запятую вправо в делимом и делителе на столько знаков, сколько их стоит в делителе после запятой (в данном примере на две). Затем нужно выполнить деление дроби 257,6 на натуральное число 112, то есть задача сводится к уже рассмотренному случаю:

Бывает так, что не всегда получается конечная десятичная дробь при делении одного числа на другое. В результате получается бесконечная десятичная дробь. В таких случаях переходят к обыкновенным дробям.

Например, 2,8 : 0,09= 28/10 : 9/100= 28*100/10*9=2800/90=280/9=​31  1/9​​.

Операции с дробями

Горячая математика

Сложение и вычитание дробей

Когда сложение и вычитание дробей , первое, что нужно проверить, это совпадают ли знаменатели.

Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Если знаменатели совпадают, то это довольно просто: просто сложите или вычтите числители и запишите результат над тем же знаменателем.

Например,

2 7 + 4 7 знак равно 6 7

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Если знаменатели не совпадают, то вы должны использовать равнозначные дроби, которые имеют общий знаменатель. Для этого нужно найти наименьшее общее кратное (НОК) двух знаменателей.

Например,

3 4 + 5 3 знак равно 3 × 3 4 × 3 + 5 × 4 3 × 4 знак равно 912 + 20 12 знак равно 29 12

Умножение и деление дробями

Умножение дроби на дробь

Чтобы умножить две дроби, просто умножьте числители, чтобы получить числитель произведения, и умножьте знаменатели, чтобы получить знаменатель произведения.

а б ⋅ с г знак равно а ⋅ с б ⋅ г

Например,

4 3 ⋅ 5 7 знак равно 4 ⋅ 5 3 ⋅ 7 знак равно 20 21

Умножение дроби на целое число

Чтобы умножить дробь на целое число, помните, что любое целое число н можно записать в виде дроби н 1 .

Например,

6 ⋅ 3 13 знак равно 6 1 ⋅ 3 13 знак равно 6 ⋅ 3 1 ⋅ 13 знак равно 18 13

Деление на дробь

Чтобы разделить на доля , умножить на взаимный фракции.

Например,

Разделять 2 3 к 4 5 .

2 3 ÷ 4 5 знак равно 2 3 ⋅ 4 5 знак равно 10 12 знак равно 5 6

Смотрите также: Умножение дроби на дробь , Умножение дроби на целое число и Деление на дробь

Операции над дробями | College Algebra Corequisite

Результаты обучения

• Сложение или вычитание дробей.
• Упростить дроби.
• Умножение дробей.
• Разделить дроби.

Студенты-математики и работающие взрослые часто обнаруживают, что их знания о том, как складывать, вычитать, умножать и делить дроби, заржавели от неиспользования. Мы склонны полагаться на калькуляторы, которые делают за нас большую часть работы с дробями. Тем не менее, студенческая алгебра создает некоторые важные методы работы с выражениями и уравнениями, основанные на операциях над дробями. Поэтому важно заново освоить эти навыки. Этот раздел напомнит вам, как выполнять действия над дробями. По мере прохождения оставшейся части курса вы можете возвращаться к этому разделу по мере необходимости для быстрого напоминания об операциях с дробями.

Прежде чем мы начнем, давайте определимся с терминологией.

• произведение: результат умножения
• фактор: что-то умножается — для  [латекс]3 \cdot 2 = 6[/латекс] , и [латекс]3[/латекс] и [латекс]2[/латекс] являются множителями [латекс]6[ /латекс]
• числитель: верхняя часть дроби – числитель дроби [латекс]\крупный\фрак{2}{3}[/латекс] равен [латекс]2[/латекс]
• знаменатель: нижняя часть дроби – знаменатель дроби [латекс]\большой\фракция{2}{3}[/латекс] равен [латекс]3[/латекс]

Примечание об инструкциях

Определенные слова используются в учебниках по математике и учителями, чтобы предоставить учащимся инструкции о том, что делать с данной задачей.

Например, вы можете увидеть такие инструкции, как найти или упростить.  Важно понимать, что означают эти слова, чтобы успешно решать задачи этого курса. Вот краткий список некоторых инструкций по решению проблем вместе с их описаниями, поскольку они будут использоваться в этом модуле.

Инструкция	Интерпретация
Найти	Выполнить указанные математические операции, которые могут включать в себя сложение, вычитание, умножение, деление (позже использование слова найти будет расширено до решения уравнений, как в найти значение переменной).
Упростить	1) Выполнять указанные математические действия, включая сложение, вычитание, умножение, деление 2) Напишите математическую формулировку в наименьших выражениях, чтобы не было других математических операций, которые можно было бы выполнить — часто встречается в задачах, связанных с дробями и порядком операций
Оценка	1) Выполнять указанные математические действия, включая сложение, вычитание, умножение, деление 2) Подставить заданное значение переменной в выражение и затем выполнить указанные математические операции
Уменьшить	Напишите математическое выражение в наименьшем или минимальном выражении, чтобы не было других математических операций, которые можно было бы выполнить — часто встречается в задачах, связанных с дробями или делением

Сложение дробей

Когда вам нужно складывать или вычитать дроби, вам нужно сначала убедиться, что дроби имеют одинаковый знаменатель. Знаменатель говорит вам, на сколько частей разбито целое, а числитель говорит вам, сколько из этих частей вы используете.

Концепция «части целого» может быть смоделирована с помощью пиццы и кусочков пиццы. Например, представьте, что пицца разрезана на [латекс]4[/латекс] куска, и кто-то берет [латекс]1[/латекс] кусок. Теперь [latex]\Large\frac{1}{4}[/latex] из пиццы исчезает, а [latex]\Large\frac{3}{4}[/latex] остается. Обратите внимание, что обе эти дроби имеют знаменатель [латекс]4[/латекс], который относится к количеству ломтиков, на которые была разрезана вся пицца. Что, если у вас есть еще одна пицца, разрезанная на [латекс]8[/латекс] равных частей, и [латекс]3[/латекс] из этих частей исчезли, оставив [латекс]\большой\фрак{5}{8} [/латекс]?

Как описать общее количество оставшейся пиццы одним числом, а не двумя разными дробями? Вам нужен общий знаменатель, технически называемый наименьшим общим кратным . Помните, что если число кратно другому, вы можете разделить их и не получить остатка.

Один из способов найти наименьшее общее кратное двух или более чисел — сначала умножить каждое из них на [латекс]1, 2, 3, 4[/латекс] и т. д. Например, найти наименьшее общее кратное [латекс] 2[/латекс] и [латекс]5[/латекс].

Сначала перечислите все кратные [латекс]2[/латекс]:	Затем перечислите все числа, кратные 5:
[латекс]2\cdot 1 = 2[/латекс]	[латекс]5\cdot 1 = 5[/латекс]
[латекс]2\cdot 2 = 4[/латекс]	[латекс]5\cdot 2 = 10[/латекс]
[латекс]2\cdot 3 = 6[/латекс]	[латекс]5\cdot 3 = 15[/латекс]
[латекс]2\cdot 4 = 8[/латекс]	[латекс]5\cdot 4 = 20[/латекс]
[латекс]2\cdot 5 = 10[/латекс]	[латекс]5\cdot 5 = 25[/латекс]

Наименьшее их общее кратное будет общим знаменателем, используемым для преобразования каждой дроби в эквивалентные дроби. См. пример ниже для демонстрации нашей задачи о пицце.

Пример

В одной пицце, разрезанной на четыре ломтика, один отсутствует. Другая пицца того же размера была разрезана на восемь частей, три из которых были удалены. Опишите общее количество пиццы, оставшейся в двух пиццах, используя общие термины.

Показать раствор

Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, сначала перепишите их с одинаковыми знаменателями. Затем добавьте или вычтите числители над общим знаменателем.

Сложение дробей с разными знаменателями

1. Найдите общий знаменатель.
2. Перепишите каждую дробь в виде эквивалентной дроби, используя общий знаменатель.
3. Теперь, когда дроби имеют общий знаменатель, можно сложить числители.
4. Упростите, убрав все общие множители в числителе и знаменателе.

Упростить дробь

В математике принято представлять дроби в наименьшем выражении. Мы называем эту практику упрощением или сокращением дроби, и это может быть достигнуто путем сокращения (деления) общих множителей в числителе и знаменателе дроби. Мы можем сделать это, потому что дробь представляет собой деление, и для любого числа [latex]a[/latex], [latex]\dfrac{a}{a}=1[/latex].

Например, чтобы упростить [латекс]\dfrac{6}{9}[/latex] вы можете переписать [latex]6[/latex] и [latex]9[/latex] , используя наименьшие возможные множители следующим образом:

[latex]\dfrac{6}{9}=\dfrac{ 2\cdot3}{3\cdot3}[/latex]

Поскольку [latex]3[/latex] есть и в числителе, и в знаменателе, а дроби можно считать делением, мы можем разделить [latex]3[ /latex] вверху и [latex]3[/latex] внизу, чтобы сократить до [latex]1[/latex].

[латекс]\dfrac{6}{9}=\dfrac{2\cdot\cancel{3}}{3\cdot\cancel{3}}=\dfrac{2\cdot1}{3}=\dfrac {2}{3}[/латекс]

В следующем примере показано, как сложить две дроби с разными знаменателями, а затем упростить ответ.

Пример

Добавить [латекс]\Большой\фракция{2}{3}+\Большой\фракция{1}{5}[/латекс]. Упростите ответ.

Показать решение

Вы можете найти общий знаменатель, найдя общие кратные знаменателей. Наименьшее общее кратное является самым простым в использовании.

Пример

Добавить [latex]\Large\frac{3}{7}+\Large\frac{2}{21}[/latex]. Упростите ответ.

Показать раствор

В следующем видео вы увидите пример сложения двух дробей с разными знаменателями.

Вы также можете сложить более двух дробей, если сначала найдете для них общий знаменатель. Пример суммы трех дробей показан ниже. В этом примере вы будете использовать метод простой факторизации, чтобы найти LCM.

Подумай об этом

Добавить [латекс]\Большой\фрак{3}{4}+\Большой\фрак{1}{6}+\Большой\фрак{5}{8}[/латекс]. Упростите ответ и запишите в виде смешанного числа.

Чем этот пример отличается от предыдущих? Используйте поле ниже, чтобы записать несколько мыслей о том, как бы вы сложили вместе три дроби с разными знаменателями.

Показать решение

Вычитание дробей

Вычитание дробей происходит так же, как и сложение. Сначала определите, одинаковы ли знаменатели. Если нет, перепишите каждую дробь как эквивалентную дробь с одинаковым знаменателем. Ниже приведены примеры вычитания дробей, знаменатели которых не совпадают.

В приведенном ниже примере показано, как с помощью кратных найти наименьшее общее кратное, которое будет являться наименьшим общим знаменателем.

Пример

Вычесть [латекс]\крупный\фрак{5}{6}-\крупный\фрак{1}{4}[/латекс]. Упростите ответ.

Показать решение

В следующем видео вы увидите пример вычитания дробей с разными знаменателями.

Умножение дробей

Так же, как сложение, вычитание, умножение и деление при работе с целыми числами, вы также можете использовать эти операции при работе с дробями. Есть много случаев, когда необходимо умножить дроби. Модель может помочь вам понять умножение дробей.

Когда вы умножаете дробь на дробь, вы получаете «долю дроби». Предположим, у вас есть [latex]\Large\frac{3}{4}[/latex] конфеты, и вы хотите найти [latex]\Large\frac{1}{2}[/latex] из [latex ]\Large\frac{3}{4}[/latex]:

Разделив каждую четверть пополам, вы можете разделить шоколадный батончик на восьмые части.

Затем выберите половину из них, чтобы получить [латекс]\большой\фрак{3}{8}[/латекс].

В обоих приведенных выше случаях, чтобы найти ответ, вы можете перемножить числители вместе и знаменатели вместе.

Умножение двух дробей

[latex]\Large\frac{a}{b}\cdot\Large\frac{c}{d}=\Large\frac{a\cdot c}{b\cdot d}= \Large\frac{\text{произведение числителей}}{\text{произведение знаменателей}}[/latex]

Умножение более двух дробей

[латекс]\Large\frac{a}{b} \cdot\Large\frac{c}{d}\cdot\Large\frac{e}{f}=\Large\frac{a\cdot c\cdot e}{b\cdot d\cdot f}[/latex ]

Пример

Умножить [latex]\Large\frac{2}{3}\cdot\Large\frac{4}{5}[/latex]

Показать раствор

Повторим: если дробь имеет общие делители в числителе и знаменателе, мы можем привести дробь к ее упрощенной форме, удалив общие делители.

Например,

• Учитывая [латекс]\большой\фрак{8}{15}[/латекс], множители [латекс]8[/латекс] равны: [латекс]1, 2, 4, 8 [/latex] и коэффициенты [latex]15[/latex]: [latex]1, 3, 5, 15[/latex]. [latex]\Large\frac{8}{15}[/latex] упрощен, потому что нет общих множителей для [latex]8[/latex] и [latex]15[/latex].
• Учитывая [латекс]\большой\фрак{10}{15}[/латекс], множители [латекс]10[/латекс] следующие: [латекс]1, 2, 5, 10[/латекс] и множители из [латекс]15[/латекс]: [латекс]1, 3, 5, 15[/латекс]. [latex]\Large\frac{10}{15}[/latex] не упрощается, поскольку [latex]5[/latex] является общим делителем [latex]10[/latex] и [latex]15[/latex]. ].

Прежде чем умножать две дроби, вы можете упростить, чтобы облегчить себе работу. Это позволяет вам работать с меньшими числами при умножении.

В следующем видео вы увидите пример того, как умножить две дроби, а затем упростить ответ.

Подумай об этом

Умножить [латекс]\Большой\фракция{2}{3}\cdot\Большой\фракция{1}{4}\cdot\Большой\фракция{3}{5}[/латекс ]. Упростите ответ.

Чем этот пример отличается от предыдущих? Используйте поле ниже, чтобы записать несколько мыслей о том, как бы вы умножили три дроби.

Показать решение

Разделить дроби

Бывают случаи, когда вам нужно использовать деление для решения проблемы. Например, если для покраски одного слоя краски на стенах комнаты требуется [латекс]3[/латекс] литра краски, и у вас есть ведро, содержащее [латекс]6[/латекс] кварт краски, сколько слоев краски краской можно красить стены? Вы делите [латекс]6[/латекс] на [латекс]3[/латекс] для ответа [латекс]2[/латекс] слоев. Также будут случаи, когда вам нужно разделить на дробь. Предположим, что для покраски шкафа в один слой требуется всего [латекс]\большой\фрак{1}{2}[/латекс] литр краски. Сколько слоев можно нанести 6 литрами краски? Чтобы найти ответ, вам нужно разделить [латекс]2[/латекс] на дробь [латекс]\большой\фракция{1}{2}[/латекс].

Прежде чем мы начнем делить дроби, давайте рассмотрим некоторые важные термины.

• обратное: две дроби являются обратными, если их произведение равно [латекс]1[/латекс] (не волнуйтесь, мы покажем вам примеры того, что это значит.)
• частное: результат деления

Для деления дробей необходимо использовать обратное число или дробь. Если вы умножаете два числа вместе и получаете в результате [латекс]1[/латекс], тогда эти два числа являются обратными. Вот несколько примеров взаимного обмена:

Исходный номер	Обратный	Продукт
[латекс]\большой\фрак{3}{4}[/латекс]	[латекс]\большой\фрак{4}{3}[/латекс]	[латекс]\Large\frac{3}{4}\cdot\Large\frac{4}{3}=\Large\frac{3\cdot 4}{4\cdot 3}=\Large\frac{12 {12}=1[/латекс]
[латекс]\большой\фрак{1}{2}[/латекс]	[латекс]\большой\фрак{2}{1}[/латекс]	[латекс]\Large\frac{1}{2}\cdot\Large\frac{2}{1}=\Large\frac{1\cdot2}{2\cdot1}=\Large\frac{2}{ 2}=1[/латекс]
[латекс] 3=\Large\frac{3}{1}[/latex]	[латекс]\большой\фрак{1}{3}[/латекс]	[латекс]\Large\frac{3}{1}\cdot\Large\frac{1}{3}=\Large\frac{3\cdot 1}{1\cdot 3}=\Large\frac{3 {3}=1[/латекс]
[латекс]2\Большой\фракция{1}{3}=\Большой\фракция{7}{3}[/латекс]	[латекс]\большой\фрак{3}{7}[/латекс]	[латекс]\Large\frac{7}{3}\cdot\Large\frac{3}{7}=\Large\frac{7\cdot3}{3\cdot7}=\Large\frac{21}{ 21}=\нормальный размер 1[/латекс]

Иногда мы называем обратное «переворотом» другого числа: переверните [латекс]\большой\фрак{2}{5}[/латекс], чтобы получить обратный [латекс]\большой\фрак{5}{ 2}[/латекс].

Деление на ноль

Вы знаете, что значит делить на [латекс]2[/латекс] или делить на [латекс]10[/латекс], но что значит делить количество на [латекс]0[ /латекс]? Это вообще возможно? Можете ли вы разделить [латекс]0[/латекс] на число? Рассмотрим дробь

[латекс]\большой\фрак{0}{8}[/латекс]

Мы можем прочитать это как «ноль разделить на восемь». Поскольку умножение обратно делению, мы могли бы переписать это как задачу на умножение.

[латекс]\текст{?}\cdot{8}=0[/латекс].

Мы можем сделать вывод, что неизвестное должно быть [латекс]0[/латекс], так как это единственное число, которое даст результат [латекс]0[/латекс] при умножении на [латекс]8[/латекс]. ].

Теперь рассмотрим обратную величину [латекс]\крупный\фрак{0}{8}[/латекс], которая будет [латекс]\крупный\фрак{8}{0}[/латекс]. Если мы перепишем это как задачу на умножение, у нас будет

[латекс]\текст{?}\cdot{0}=8[/латекс].

Это не имеет никакого смысла. Не существует чисел, которые можно умножить на ноль, чтобы получить результат 8. Обратная величина [латекс]\большой\фрак{8}{0}[/латекс] не определена, и фактически любое деление на ноль не определено. .

Внимание! Деление на ноль не определено, как и обратная величина любой дроби с нулем в числителе. Для любого действительного числа a [латекс]\большой\фрак{а}{0}[/латекс] не определен. Кроме того, обратная величина [latex]\Large\frac{0}{a}[/latex] всегда будет неопределенной.

Деление дроби на целое число

Когда вы делите целое число, вы умножаете его на обратное. В примере покраски, где вам нужно [латекс]3[/латекс] кварты краски для слоя и у вас есть [латекс]6[/латекс] кварты краски, вы можете найти общее количество слоев, которые можно покрасить, разделив [ латекс]6[/латекс] от [латекс]3[/латекс], [латекс]6\div3=2[/латекс]. Вы также можете умножить [латекс]6[/латекс] на обратную величину [латекс]3[/латекс], которая равна [латекс]\большой\фрак{1}{3}[/латекс], поэтому задача умножения становится

[latex]\Large\frac{6}{1}\cdot\Large\frac{1}{3}=\Large\frac{6}{3}=\normalsize2[/latex]

Деление равно умножению по обратному

Для всех делений вы можете превратить операцию в умножение, используя обратное. Деление равносильно умножению на обратное.

Та же идея будет работать, когда делитель (вещь, которую делят) является дробью. Если у вас есть [latex]\Large\frac{3}{4}[/latex] шоколадного батончика и вам нужно разделить его между [latex]5[/latex] людьми, каждый человек получает [latex]\Large\frac {1}{5}[/latex] доступных конфет:

[латекс]\Large\frac{1}{5}\normalsize\text{ из }\Large\frac{3}{4}=\Large\frac{1}{5}\cdot\Large\frac{ 3}{4}=\Large\frac{3}{20}[/latex]

Каждый человек получает [latex]\Large\frac{3}{20}[/latex] целого батончика.

Если у вас есть рецепт, который нужно разделить пополам, вы можете разделить каждый ингредиент на [латекс]2[/латекс] или умножить каждый ингредиент на [латекс]\большой\фрак{1}{2} [/latex], чтобы найти новую сумму.

Например, деление на [латекс]6[/латекс] равносильно умножению на обратную величину [латекс]6[/латекс], которая равна [латекс]\большой\фрак{1}{6}[/ латекс]. Посмотрите на схему двух пицц ниже. Как можно справедливо разделить то, что осталось (область, заштрихованная красным), между [латекс]6[/латекс] людьми?

Каждый человек получает один кусок, поэтому каждый человек получает [latex]\Large\frac{1}{4}[/latex] пиццы.

Деление дроби на целое — это то же самое, что и умножение на обратную, поэтому вы всегда можете использовать умножение дробей для решения задач на деление.

Пример

Найти [latex]\Large\frac{2}{3}\div \normalsize 4[/latex]

Показать решение

Пример

Разделить. [latex] 9\div\Large\frac{1}{2}[/latex]

Показать решение

Разделить дробь на дробь

Иногда вам нужно решить задачу, требующую деления на дробь. Предположим, у вас есть пицца, которая уже нарезана на [латекс]4[/латекс] ломтика. Сколько существует фрагментов [latex]\Large\frac{1}{2}[/latex]?

Есть [латекс]8[/латекс] срезов. Вы можете видеть, что деление [латекс]4[/латекс] на [латекс]\большой\фрак{1}{2}[/латекс] дает тот же результат, что и умножение [латекс]4[/латекс] на [латекс]2. [/латекс].

Что произойдет, если вам потребуется разделить каждый срез на три части?

У вас будет [латекс]12[/латекс] срезов, что равносильно умножению [латекс]4[/латекс] на [латекс]3[/латекс].

Деление дробями

1. Найдите обратную величину числа, следующего за символом деления.
2. Умножьте первое число (то, что перед знаком деления) на величину, обратную второму числу (после знака деления).

Самый простой способ запомнить, как делить дроби, — это фраза «сохранить, изменить, перевернуть». Это значит до СОХРАНИТЬ первое число, ЗАМЕНИТЬ знак деления на умножение, а затем ПЕРЕВЕРНУТЬ (использовать обратное) второго числа.

Пример

Разделить [latex]\Large\frac{2}{3}\div\Large\frac{1}{6}[/latex]

Показать решение

Пример

Разделить [latex]\Large\frac{3}{5}\div\Large\frac{2}{3}[/latex]

Показать решение

При решении задачи на деление путем умножения на обратное число помните, что все целые числа и смешанные числа следует записывать в виде неправильных дробей.