Действия с комплексными числами практическая работа: Практическая работа по теме «Действия с комплексными числами»

Практическая работа «Действия с комплексными числами»

Похожие презентации:

Элементы комбинаторики ( 9-11 классы)

Применение производной в науке и в жизни

Проект по математике «Математика вокруг нас. Узоры и орнаменты на посуде»

Знакомство детей с математическими знаками и монетами

Тренажёр по математике «Собираем урожай». Счет в пределах 10

Методы обработки экспериментальных данных

Лекция 6. Корреляционный и регрессионный анализ

Решение задач обязательной части ОГЭ по геометрии

Дифференциальные уравнения

Подготовка к ЕГЭ по математике. Базовый уровень Сложные задачи

1. Практическая работа «Действия с комплексными числами»

i- комплексное число, такое , что
i²=-1
z = a+bi – алгебраическая форма записи
комплексного числа
a – действительная часть,
bi – мнимая часть,
i – мнимая единица.

3. Задача 1

Найти мнимую часть комплексного числа
z = 4 – 3i (выбери верный ответ)
4
3i
ДАЛЕЕ
-3i

4.

Задача 2Определить вид записи комплексного
числа
z 12 6i
(выбери верный ответ)
алгебраическая
арифметическая
математическая
ДАЛЕЕ

5. Изображение комплексных чисел на координатной плоскости.

6. Задача 3

Определить координаты точки,
соответствующей числу z = 3-i
(выбери верный ответ)
(3;0)
(3;-1)
ДАЛЕЕ
(3;1)
• Для вычисления значения степени числа i
необходимо выполнить следующее:
• показатель степени числа i делим на 4;
• Определить значение степени числа i в
зависимости от полученного остатка
В остатке 0
1
В остатке 1
i
i102 i 4 25 2 i 2 1
i
33
i
4 8 1
i i
1
В остатке 2
-1
В остатке 3
-i

8. Задача 4

Вычислите
i27
(выбери верный ответ)
i
-i
ДАЛЕЕ
-1
• Сложение, вычитание и умножение
комплексных чисел в алгебраической
форе производится по правилам
действия с многочленами:
z1 z 2 (5 4i ) ( 2 3i ) 5 4i 2 3i 3 7i
z1 z 2 (5 4i ) ( 2 3i ) 5 4i 2 3i 7 i
z1 z2 (5 4i) ( 2 3i) 10 15i 8i 12i 2
10 7i 12 22 7i

10.

Задача 5Выполнить вычитание
z1 3 5i
z1 z 2
z2 6 i
(выбери верный ответ)
z=3–6i
z = -3 +6i
ДАЛЕЕ
z = — 3 +5i

11. Задача 6

Выполнить умножение
(1 2i) ( 5i)
(выбери верный ответ)
-10+5i
10-5 i
ДАЛЕЕ
— 10-5i

12. Для нахождения частного двух комплексных чисел необходимо числитель и знаменатель умножить на число, сопряженное знаменателю.

z1
4 5i
( 4 5i ) ( 2 11i )
z 2 2 11i ( 2 11i ) ( 2 11i )
4 ( 2) 4 11i ( 5i ) ( 2) ( 5i ) 11i
( 2) 11
2
2
8 44i 10i 55i 2 47 54i
47
54
i
4 121
125
125 125

13. Задача 7

z1
Найти частное комплексных чисел
z2
z1 1 2i
z2 2 i
(выбери верный ответ)
0,8-0,6i
-i
ДАЛЕЕ
0,8-i

14. Так как , то можно извлекать арифметический квадратный корень из отрицательного числа :

Так как 1 i
, то можно
извлекать арифметический
квадратный корень из
отрицательного числа :
36 36 ( 1) 36 1 6i
1
1
1
1
( 1)
1 i
4
4
4
2
17 17 ( 1) 17 1 17i

15.

Задача 8Вычислить
64
(выбери верный ответ)
±8i
8i
ДАЛЕЕ
-8

16. Модулем комплексного числа z=a+bi называется длина вектора, соответствующего этому числу.

Обозначение:r,|z|
Формула:
r z a b .
2
2

17. Задача 9

Вычислить модуль числа
z 4 3i
(выбери верный ответ)
7
5
ДАЛЕЕ
1

18. Аргументом комплексного числа z≠0 называется угол , который образует вектор z с положительным направлением оси абсцисс.

Аргументом комплексного числа z≠0
называется угол , который образует
вектор z с положительным
направлением оси абсцисс.
• Обозначение:
, arg(z).
a
cos ,
r
b
sin .
r

19. Задача 10

Вычислить аргумент z = -3
π
π/2
ДАЛЕЕ
0
z r(cos i sin )
• Тригонометрическая форма записи
комплексного числа
z re
i
• Показательная форма записи
комплексного числа

21. Задача 11

Определить форму записи комплексного
числа ( выбери верный ответ)
z
7
i
12
3e
тригонометрическая
показательная
алгебраическая
ДАЛЕЕ

22.

Задача 12Записать число Z = — 4
показательной форме
z 4e i
z 4e i
ДАЛЕЕ
в
z 2e i

23. Задача 13

Определить аргумент
комплексного числа
z 16(cos i sin )
12
12
12
16
ДАЛЕЕ
4
далее
далее
НЕВЕРНО!
ПОПРОБУЙ
ЕЩЁ РАЗ!

English     Русский Правила

Практическая работа № 3

Тема: Действия над комплексными числами

Цель работы: закрепить знания и умения студентов по освоению действий с комплексными числами.

Теоритическое обоснование:

1. Понятие мнимой единицы

Допустим, что существует такое число, квадрат которого равен – 1. Обозначим это число буквой i; тогда можно записать: i² = – 1.

Число i будем называть мнимой единицей (i – начальная буква французского слова imaginaire – «мнимый»), а предыдущее равенство будем считать определением мнимой единицы.

Из этого равенства находим 

Введение мнимой единицы позволяет нам теперь извлекать корни квадратные из отрицательных чисел.

Например,

2. Степени мнимой единицы

Рассмотрим степени мнимой единицы:

i; i² = – 1; i³ = i²*i = (– 1)

i = – i; i⁴ = i^3*i = – i*i = – i² = – (– 1) = 1; i⁵ = i^4*i = 1*i = i; i⁶ = i^5*i = i*i = i² = – 1; i⁷ = i^6*i = (– 1)*i = – i; i⁸ = i^7*i = – i*i = 1;

Если выписать все значения степеней числа i, то мы получим такую последовательность: i, – 1, – i, 1, i, – 1, – i, 1 и т. д. Легко видеть, что значения степеней числа i повторяются с периодом, равным 4.

Так, i = i, i² = – 1, i³ = – i, i⁴ = 1, 

i⁵ = i, i⁶ = – 1, i⁷ = – i, i⁸ = 1, i⁹ = i, i¹⁰ = – 1, i¹¹ = – i, i¹² = 1.

3. Определение комплексного числа

Мы знакомы с действительными числами и с мнимыми единицами. Рассмотрим теперь числа нового вида.

Определение 1. Числа вида a + bi, где a и b – действительные числа, i – мнимая единица, будем называть комплексными.

Число a будем назвать действительной частью комплексного числа, bi – мнимой частью комплексного числа, b – коэффициентом при мнимой части. Возможны случаи, когда действительные числа a и b могут быть равными нулю. Если a = 0, то комплексное число

bi называется чисто мнимым. Если b = 0, то комплексное число a + bi равно a и называется действительным. Если a = 0 и b = 0 одновременно, то комплексное число 0 + 0i равно нулю. Итак, мы получили, что действительные числа и чисто мнимые числа представляют собой частные случаи комплексного числа.

Запись комплексного числа в виде a + bi называется алгебраической формой комплексного числа.

Два комплексных числа a + bi и c + di условились считать равными тогда и только тогда, когда в отдельности равны их действительные части и коэффициенты при мнимой единице, т. е. a + bi = c + di, если a = c и b = d.

Пример 1. Найти x и y из равенства:

а) 3y + 5xi = 15 – 7i; б) (2x + 3y) + (x – 

y)i = 7 + 6i.

Решение. а) Согласно условию равенства комплексных чисел имеем 3y = 15, 5x = – 7. Отсюда 

б) Из условия равенства комплексных чисел следует 

Умножив второе уравнение на 3 и сложив результат с первым уравнением, имеем 5x = 25, т. е. x = 5. Подставим это значение во второе уравнение: 5 – y = 6, откуда y = – 1. Итак, получаем ответ: x = 5, y = – 1.

4. Действия над комплексными числами в алгебраической форме

Сложение, вычитание, умножение комплексных чисел в алгебраической форме производят по правилам соответствующих действий над многочленами.

Пример 2. Даны комплексные числа z₁ = 2 + 3i, z₂ = 5 – 7i. Найти:

а) z₁ + 

z₂; б) z₁ – z₂; в) z₁z₂.

Решение.

а) z₁ + z₂ = (2 + 3i) + (5 – 7i) = 2 + 3i + 5 – 7i = (2 + 5) + (3i – 7i) = 7 – 4i; б) z₁ – z₂ = (2 + 3i) – (5 – 7i) = 2 + 3i – 5 + 7i = (2 – 5) + (3i + 7i) = – 3 + 10i; в) z₁z₂ = (2 + 3i)(5 – 7i) = 10 – 17i + 15i – 21i² = 10 – 14i + 15i + 21 = (10 + 21) + (– 14i + 15i) = 31 + i  (здесь учтено, что i² = – 1).

Пример 3. Выполнить деление:

Решение.

а) Имеем

Произведем умножение для делимого и делителя в отдельности:

(2 + 3i)(5 + 7i) = 10 + 14i + 15i + 21i² = – 11 + 29i; (5 – 7i)(5 + 7i) = 25 – 49i² = 25 + 49 = 74.

Итак,

Пример 4. Решите уравнение:

 x² – 6x + 13 = 0

Решение. а) Найдем дискриминант по формуле

D = b² – 4ac.

Так как a = 1, b = – 6, c = 13, то

D = (– 6)2 – 4*1*13 = 36 – 52 = – 16;

Корни уравнения находим по формулам

Текст задания

1–7. Вычислите:

1. i⁶⁶; i¹⁴³; i²¹⁶; i¹³⁷. 2. i⁴³ + i⁴⁸ + i⁴⁴ + i⁴⁵. 3. (i³⁶ + i¹⁷)i²³. 4. (i¹³³ + i¹¹⁵ + i²⁰⁰ + i¹⁴²)(i¹⁷ + i³⁶). 5. i¹⁴⁵ + i¹⁴⁷ + i²⁶⁴ + i³⁴⁵ + i¹¹⁷. 6. (i¹³ + i¹⁴ + i¹⁵)i³². 7. (i⁶⁴ + i¹⁷ + i¹³ + i⁸²)(i⁷² – i³⁴

).

8–13. Найдите значения x и y из равенств:

8. 7x + 5i = 1 – 10iy. 9. (2x + y) – i = 5 + (y – x)i. 10. x + (3x – y)i = 2 – i. 11. (1 + 2i)x + (3 – 5i)y = 1 – 3i. 12. (2 – i)x + (1 + i)y = 5 – i. 13. (3i – 1)x + (2 – 3i)y = 2 – 3i.

14–21. Произведите сложение и вычитание комплексных чисел:

14. (3 + 5i) + (7 – 2i).  15. (6 + 2i) + (5 + 3i).  16. (– 2 + 3i) + (7 – 2i).   17. (5 – 4i) + (6 + 2i).  18. (3 – 2i) + (5 + i). 19. (4 + 2i) + (– 3 + 2i). 20. (– 5 + 2i) + (5 + 2i). 21. (– 3 – 5i) + (7 – 2i).

22–29. Произведите умножение комплексных чисел:

22. (2 + 3i)(5 – 7i).  23. (6 + 4i)(5 + 2i).  24. (3 – 2i)(7 – i).  25. (– 2 + 3i)(3 + 5i).  26. (1 –i)(1 + i). 27. (3 + 2i)(1 + i). 28. (6 + 4i)*3i. 29. (2 – 3i)(– 5i).

30–37. Выполните действия:

30. (3 + 5i)².  31. (2 – 7i)².  32. (6 + i)². 33. (1 – 5i)².  34. (3 + 2i)³.  35. (3 – 2i)³.  36. (4 + 2i)³. 37. (5 – i)³.

38–43. Выполните действия:

38. (3 + 2i)(3 – 2i).  39. (5 + i)(5 – i).  40. (1 – 3i)(1 + 3i).  41.  (7 – 6i)(7 + 6i). 42. (a + bi)(a – bi). 43. (m

 – ni)(m + ni).

44–55. Выполните деление:

56–60. Выполните действия:

61 — 64. Решите уравнения:

61. x² – 4x + 13 = 0. 62. x² + 3x + 4 = 0.  63. 2,5x² + x + 1 = 0. 64. 4x² – 20x + 26 = 0.

Применение комплексных чисел в реальной жизни

Применение комплексных чисел в реальной жизни

Джозия Ву

Начнем с основ. В раннем возрасте нас учили считать положительными числами, такими как один, два или три. Позже в начальной школе нас также познакомили с отрицательными числами: например, -19 — это отрицательное число. Я также предполагаю, что вы знакомы с квадратными корнями (если нет, вам следует пересмотреть). Студентов обычно учат, что нельзя извлекать квадратный корень из отрицательных чисел.

Но что, если бы мы могли?

Вам может быть интересно: «Как можно извлечь квадратный корень из отрицательного числа?» На самом деле, математики до 16 века тоже так думали. Так было до тех пор, пока итальянский математик Джероламо Кардано не нарушил соглашение, изобретя мнимые числа в отчаянной попытке решить кубические уравнения. На протяжении всей истории математики всегда любили нарушать собственные правила: помимо извлечения квадратного корня из отрицательного числа, Рамануджан однажды доказал, что 1 + 2 + 3 + 4… вплоть до бесконечности равно -1/12. Другой математик, Георг Кантор, доказал, что четных чисел столько же, сколько целых положительных. Поэтому то, что сделал Кардано, не было редкостью (по крайней мере, в исторических записях).

Так что же такое мнимое число? Мнимое число кратно i = √-1. Например, √-25 — мнимое число, потому что его можно переписать как √-25 = √25 × -√1 = 5i. Кроме того, можно добавить действительное число к мнимому числу, чтобы получить комплексное число. Чтобы продемонстрировать это, можно добавить 3, действительное число, к 3i, мнимому числу, чтобы получить комплексное число 3+3i.

Иллюстрация Итана Лана

Обычная визуализация комплексных чисел — это использование диаграмм Аргана. Чтобы построить это, представьте себе декартову сетку, где ось X представляет собой действительные числа, а ось Y — мнимые числа.

Важным свойством комплексных чисел является формула Эйлера: она утверждает, что каждое комплексное число можно переписать в виде re =r(cos + i sin ), где e=2,71828… — постоянная Эйлера, r это «расстояние» комплексного числа от начала координат и угол комплексного числа от положительной действительной оси (против часовой стрелки, в радианах). Слева иллюстрация к этому.

Многие математики называют формулу Эйлера самым красивым математическим результатом в истории. Его эстетическая красота заключается в том, что он подразумевает волшебную связь между действительными числами и мнимыми числами. Хотя я хотел бы продемонстрировать элегантное доказательство этой формулы, оно, к сожалению, выходит за рамки этой статьи.

Приложения

1.

Обработка сигналов

Предположим, что пианист записывает в музыкальной студии. Он приглашает вас в игру — угадать, какие ноты он играет, не глядя на рояль. Как человек, у которого нет идеального слуха (способность определить ноту на слух), как бы вы выиграли в этой игре?

Оказывается, есть способ всегда определить, какие ноты он играет, не обманывая. Во-первых, запишите его игру в программе для редактирования аудио. Программное обеспечение сохранит запись в форме волны.

Затем можно применить преобразование Фурье к сигналу формы волны, чтобы выяснить, какие частоты преобладают в записи. Это можно показать, выведя «пики» в результирующем частотном распределении после применения преобразования Фурье. Поскольку имеются очевидные пики на частотах 256 Гц и 391 Гц (соответствующие C4 и G4 соответственно), мы можем сделать вывод, что пианист должен был играть на фортепиано C и G.

Знание расположения пиков невероятно важно для аудиоредакторов и музыкальных продюсеров. Они могут не только определить источник любого фонового шума, но и использовать его частоту в качестве эталона для их устранения с помощью средств эквалайзера (EQ).

Идея преобразования Фурье довольно гениальна; он предполагает, что любую сложную волну можно разложить на несколько синусоидальных волн с различными частотами. Что делает преобразование Фурье, так это то, что оно предсказывает, какая частота, вероятно, будет эквивалентна одной из таких синусоидальных волн. Он делает это, «оборачивая» волну вокруг начала координат в комплексной плоскости и вычисляя сумму комплексных координат всех возможных точек на обернутой волне.

2. Анализ цепи переменного тока

Комплексные числа также используются при расчетах тока, напряжения или сопротивления в цепях переменного тока (AC означает переменный ток, то есть ток, величина и направление которого меняются во времени). Обычно комплексные числа (точнее, формула Эйлера) применяются для вычисления разности потенциалов между двумя источниками питания переменного тока во времени. Справа пример такого расчета.

Чтобы найти суммарную разность потенциалов, просто сложить вместе VA и VB не получится. Однако мы можем выразить оба напряжения как действительную часть (координата x на диаграмме Аргана) комплексного числа.

* Общепринято использовать j вместо i для представления мнимых чисел при анализе цепей, чтобы избежать путаницы с током (символом которого является i или I).

Затем мы можем сложить комплексные числа и разложить на множители:

Кроме того, комплексные числа также используются для выражения величины и фазы импеданса в цепи переменного тока. Импеданс очень похож на сопротивление — он замедляет электроны в цепи. Отличие состоит в том, что импеданс вызывает фазовый сдвиг электрического тока, а сопротивление — нет. Импеданс имеет место в обычных электрических компонентах, таких как катушки индуктивности и конденсаторы, поэтому крайне важно иметь комплексное числовое представление. Как правило, комплексные числа служат для представления фазы, что необходимо для анализа цепей переменного тока.

3. Квантовая механика

Квантовая механика — это область физики, изучающая движения и взаимодействия между субатомными частицами, в основном бозонами (например, фотоном) и фермионами (например, нейтроном). Он обеспечивает математическое описание их поведения с точки зрения вероятностей. Фактически, комплексные числа составляют фундаментальную основу квантовой механики. Значение уравнения Шредингера для квантовой механики аналогично значению второго закона Ньютона для классической физики; они оба обеспечивают разумное математическое предсказание положения и импульса частицы. Система комплексных чисел важна для этой области, потому что это удобный язык для выражения волновых функций без нарушения правил. Кроме того, прямое применение квантовой механики заключается в том, что она ускорила распространение химии. В 1927, Вальтер Хайтлер (не Гитлер!) и Фриц Лондон сформулировали теорию валентной связи. Одной из основных задач квантовой механики является нахождение волновой функции субатомной частицы. Проще говоря, волновая функция представляет собой сложное распределение вероятностей, указывающее возможные положения частицы в определенное время. Фундаментальная формула квантовой механики, в которой роль волновой функции значительна,

— это уравнение Шредингера: с использованием упомянутого выше уравнения Шредингера. Используя формулу, они доказали, что два атома в молекуле водорода на самом деле «делят» электроны, образуя то, что мы знаем как ковалентную связь. Сразу после этого несколько других химиков продолжили развивать свою теорию связи, например, открытие Линусом Полингом резонанса и орбитальной гибридизации. Таким образом, без развития квантовой механики ученые не смогли бы ни открыть электронную структуру атомов, ни придумать концепцию связи между атомами.

Иллюстрация Итана Лана

Библиография

Обработка сигналов (преобразование Фурье)

Star, Zach. «Математика обработки сигналов | Z-преобразование, дискретные сигналы и многое другое». www.ютуб. com, 2019 г., https://www.youtube.com/watch?v=hewTwm5P0Gg&t=1350s&ab_channel=ZachStar.

«Анализ Фурье». En.Wikipedia.Org, 2020, https://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_analysis. По состоянию на 9 ноября 2020 г.

Чан, Джастин. «Применение преобразования Фурье: обработка сигналов». www. youtube.com, 2017, https://www. youtube.com/watch?v=9uv3-m8jkVg&ab_channel=JustinChan. По состоянию на 9 ноября 2020 г.

Заключение

Хотя мы не можем физически визуализировать комплексные числа, трудно отрицать их важность для научного сообщества. Комплексные числа прекрасно демонстрируют роль математики в науке — она действует как мощный язык для описания сложных явлений и всеобъемлющий инструментарий для решения сложных задач.

Анализ цепи переменного тока

Стар, Зак. «Использование мнимых чисел в реальном мире». Www.Youtube.Com, 2018 г., https://www. youtube.com/watch?v=_ h59ilnTmW4&t=630s&ab_channel=ZachStar.

«Комплексные числа и векторы». https://Www.Electronics-Tutorials.Ws/, 2020, https://www.electronics-tutorials.ws/accircuits/complex-numbers.html.

Джонсон, Роберт. «Использование комплексных чисел в анализе цепей и обзор алгебры комплексных чисел». 2020, http://www.its.caltech.edu/~jpelab/phys1cp/AC%20Circuits%20and%20 Complex%20Impedances.pdf

Квантовая механика

ДеКросс, Мэтт и др. «Уравнение Шрёдингера | Блестящая вики по математике и науке». Блестящий. Org, 2020, https://brilliant.org/wiki/schrodinger-equation/, по состоянию на 9 ноября 2020 г.

Карам, Рикардо, изд. к. Зачем нужны комплексные числа в квантовой механике? Несколько ответов для вводного уровня. Университет Копенгагена, 2020 г.,

https://www.ind.ku.dk/english/research/didactics-of-physics/Karam_AJP_Complex_numbers_in_QM.pdf.

Трехо, Мигель. «Математика уравнения Шредингера: дуальность волна-частица и уравнение теплоты». Medium, 2020 г., https://towardsdatascience.com/themath-behind-schr%C3%B6dinger-equationthe-wave-particle-duality-and-the-heatequation-d5837bf4b13f.

Приключения с комплексными числами

Этот сборник предназначен для знакомства с комплексными числами, одной из увлекательных областей математики, которую вы можете открыть, изучая высшую математику на уровне A. 92-6х+10=0.
$$
Ой, подождите минутку… тут все немного странно. Если вы попробуете эту формулу, вы в конечном итоге получите квадратный корень из отрицательного числа, а мы все знаем, что это невозможно… Или это так? Что, если мы представим, что можем? Какие математические миры это открывает?

 

 

Оказывается, приложив немного воображения и математической храбрости, можно нарушить правила и оказаться в совершенно новом математическом ландшафте: комплексных числах . Эта коллекция дает вам возможность самостоятельно изучить эти идеи и узнать больше о влиянии и применении комплексных чисел в нашей повседневной жизни.

 

Мы надеемся, что вам понравятся ваши приключения с комплексными числами, и они дадут вам представление о захватывающей математике, которую вы сможете открыть, выбрав дополнительную математику на уровне A. Если это разожгло ваш аппетит, узнайте больше об изучении математики после GCSE.

 

Возраст от 14 до 18 лет 92-6x+c$, и мы варьируем $c$, что происходит с корнями, когда $c>9$?

Возраст от 14 до 18 лет

Уровень сложности

Открытие двери

Что получится, если сложить два комплексных числа?

Возраст от 14 до 18 лет

Уровень испытания

Прогулка

Что произойдет, если мы умножим комплексное число на действительное или мнимое число?

Попробуйте больше!

Возраст от 14 до 18 лет

Уровень испытания

В пустыню

Давайте пойдем дальше и посмотрим, что получится, если мы перемножим два комплексных числа!

Возраст от 14 до 18 лет

Уровень испытания

Сложная головоломка

Сможете ли вы использовать все, что узнали о комплексных числах, чтобы решить эту головоломку?

Возраст от 14 до 18 лет

Уровень сложности

Картографирование территории

Сможете ли вы разработать систему для понимания сложного умножения?

Возраст от 14 до 18 лет

Комплексные числа — мощность

Профессор Крис Бадд рассказывает о том, как комплексные числа играют решающую роль в электрических сетях, питающих нашу повседневную жизнь.

No related posts.