Умножение и деление в двоичной системе счисления
- Тутаркова Елена Александровна, учитель информатики
Разделы: Информатика
8 класс
Тип: урок «открытия» нового знания. | |||
Цель урока: формирование УУД при выполнении арифметических операций с двоичными числами, закрепление практических навыков счета в двоичной системе счисления, развитие информационной и коммуникативной культуры учебного взаимодействия. | |||
Задачи:
| |||
Ключевые понятия: число, двоичная система счисления, правило счета, арифметические операции. | |||
Учебник: Семакин И.Г. Информатика и информационно-коммуникационные технологии. | |||
Формы организации учебной деятельности: фронтальная, работа в парах, индивидуальная, самостоятельная работа. | |||
Оборудование: компьютер, видеопроектор. | |||
Планируемые образовательные результаты | |||
Предметные результаты: | Метапредметные: | Личностные: | |
Технологическая карта урока
| Деятельность учителя | Деятельность ученика |
Этап урока – организационный – 2 мин. | |
Приветствует учащихся. | Приветствуют учителя. |
Этап урока – домашнее задание, мотивации (самоопределения) к учебной деятельности (5 мин.) | |
Просит открыть дневник и записать домашнее задание, открыть учебник прочитать задание, задать вопросы на понимание способа выполнения. | Открывают дневники записывают домашнее задание, открывают учебник, читают задание. Обозначают проблему: имеющихся знаний для выполнения задания недостаточно. |
Этап урока — целеполагание, формулировка темы урока — 3 минуты ( мин. | |
Организует работу по формулированию темы урока, целей, по принятию всеми учащимися целей урока. | — выдвигают варианты формулировок цели, участвуют в их
обсуждении; |
Этап урока – актуализация и проверка знаний – 10 минут | |
Организует работу по выявлению уровня знаний по изученному материалу, выявлению типичных ошибок, систематизации теоритических знаний. Вопрос: какие еще действия мы выполняем при выполнении умножения и деления | Выполняют задание самостоятельно, два человека работают у «закрытой диски». Сверяют полученные результаты с результатами работ, выполненных на доске. Проводят рефлексию, делают выводы. Формулируют правила и законы умножения
Ожидаемый ответ – «да»
Выполняют умножение в столбик и деление уголком. Вспоминают основные правила. |
Этап урока — подготовка к активной познавательной деятельности (предметная мотивация) – 7 минут | |
Предлагает задания, направленные на активизацию знаний учащихся, необходимых для изучения нового материала, формирующие познавательные мотивы. Обратить внимание, что 0*1=1*0 — переместительный закон Записать свойства умножения и деления | Составляют таблицу умножения и записывают в тетрадь. 0*0=0 0*1=0 1*0=0 1*1=1 Законы умножения А*1=а А*0=0 А*10,100,1000 Законы деления А:А=1 0:а=0 |
Этап урока – первичное закрепление новых знаний – 5 минут | |
Организует ситуацию применения знаний для новой учебной задачи; | Выполняют действия устно и объясняют примененное правило. 111+1 1100111*10 10*111 100110:10 1101111*100 10*11101 сравнить 11100 1100 11100 11011 Выполняют записи в тетради, и объясняют каждый этап действий. |
Этап урока – первичная проверка понимания изученного материала | |
Предлагает задание с целью установить осознанность восприятия обучающимися нового материала. Проводит первичное обобщение. Учит выбирать рациональный способ решения. |
|
Этап урока – закрепление знаний, отработка навыка — минут. | |
Организует деятельность по применению новых знаний. Проверку выполнить делением 1 вариант 11001*101 1101*110= 2вариант 10011*101= 10101*101= | Выполняют умножение. Делают проверку делением. |
Этап урока – самопроверка по выработанному алгоритму, предметная рефлексия результатов урока. | |
Организует работу по выявлению уровня первичного усвоения нового материала, организует предметную коллективную рефлексию результатов урока. | Ученики вырабатывают критерии оценивания:
Выполняют задание и самостоятельно проверяют тетради с обязательным выставлением оценки и анализом ошибок. Что нового для себя вы открыли на этом уроке, что было полезным? Почему 100-1=11, 111*10=1110? Достигли мы поставленной цели? Проанализируйте свою работу на уроке и её результат. |
Этап урока — рефлексия учебной деятельности (итог урока) – 5 минут | |
Возвращает» к проблеме и цели урока. Совместно с учащимися анализирует результаты работы в технологии «Лестница успеха» | Проводят личностную рефлексию результатов урока. |
).
Двоичная целочисленная арифметика — Двоичная арифметика и устройсто управления ЭВМ
Устройство управления руководит прохождением и обработкой информации в системе, память хранит эту информацию для дальнейшего использования, арифметическое устройство выполняет арифметические и логические операции над ней, периферийные устройства преобразуют ее из внешней формы представления во внутреннюю и наоборот. В этом разделе мы рассмотрим двоичную и шестнадцатеричную системы счисления, которые лежат в основе внутреннего представления информации, а затем перейдем к обсуждению двоичной целочисленной арифметики, одной из арифметик, применяющихся в современных ЭВМ.
Двоичная и шестнадцатиричная системы счисления
Двоичная система счисления. Наша десятичная система счисления является позиционной в том смысле, что величина числа зависит от порядка цифр в нем. Например, число 534.686 в 10 раз больше, чем
53.4686, поскольку позиции одних и тех же цифр относительно десятичной точки различны.
На самом деле, когда мы пишем 534.686, мы имеем в виду число
Положение цифры относительно десятичной точки определяет степень числа 10, на которую эта цифра будет умножена при вычислении суммы.
Отметим фундаментальное значение числа 10 в десятичной системе. Основанием позиционной системы счисления называется число, возводимое в соответствующие степени в развернутом представлении чисел этой системы. Таким образом, основанием десятичной системы счисления является число 10.
То, что мы используем десятичную систему, до некоторой степени является случайностью. Если бы у человека было 8 пальцев, а не 10, мы, вероятно, использовали бы восьмеричную систему, что, надо отметить, облегчило бы изобретение вычислительных машин и их изучение.
Информация в большинстве современных ЭВМ хранится и обрабатывается в двоичной форме. В двоичной системе существует всего две цифры, или бита, 0 и 1. Одной из причин использования именно этой системы в программировании является то, что обычные электронные переключатели могут находиться только в одном из двух состояний — включенном или выключенном.
Кроме того, логика, которую мы используем, по своему существу является двоичной логикой: любое предложение в ней либо истинно, либо ложно. Таким образом, мы употребляем биты для обозначения 1 или 0, состояний «включено» или «выключено», истины или лжи.
В нашей повседневной жизни мы используем десятичную арифметику. В программировании более естественной является двоичная система. Значит, нам придется часто преобразовывать числа из двоичной системы в десятичную и наоборот.
Поскольку основанием двоичной системы является число 2, мы можем определить десятичное значение двоичного числа, расписывая двоичное число в виде суммы степеней двойки и вычисляя полученную сумму, используя десятичную арифметику. Например, для преобразования числа
11011.1001
в десятичную форму можно записать
В результате мы получили
Иными словами, система, в которой записано число, определяется подстрочным указанием основания этой системы в конце числа.
Теперь рассмотрим обратное преобразованием дано десятичное число. Как перевести его в двоичную форму? Предлагаемый алгоритм очень напоминает алгоритм деления в столбик и может быть хорошо проиллюстрирован на примере.
Мы хотим перевести число в его двоичный эквивалент. Выполним преобразование в две стадии, преобразуя целую и дробную части исходного числа по отдельности.
Для преобразования целого десятичного числа в двоичное будем последовательно делить исходное число и результаты деления на 2, сохраняя остатки от каждого деления; последовательность остатков будет представлять собой результат преобразования. В нашем примере
Теперь для получения результата осталось лишь записать остатки в порядке «снизу вверх». Получим
(Проверьте этот результат, проделав обратное преобразование.)
Для соответствующего преобразования десятичной дроби в двоичную мы последовательно будем умножать десятичную дробь на 2, записывая 1 каждый раз при получении числа, по модулю большего 1 (перенос в целую часть), и 0 в противном случае.
При последующих умножениях используется только дробная часть полученного числа. В нашем примере мы имеем
Очевидно, этот процесс можно продолжить до бесконечности; двоичное представление десятичного числаявляется периодической дробью. Для получения ответа необходимо выписать все переносы в порядке «сверху вниз». То есть
и в конечном итоге мы получаем
с бесконечной дробной частью.
Замечание по поводу полученного результата. Большинство десятичных дробей, например, такие, как 1, 2, 06, не могут быть представлены в виде конечных двоичных. Но ЭВМ оперируют лишь числами, представленными конечными наборами цифр. Это ведет к неизбежным ошибкам округления, возникающим при отбрасывании младших разрядов числа, необходимом для записи его в виде конечного машинного слова.
Чем больше разрядов используется для представления дробей, тем больше точность получаемого приближения. Так, используя всего 4 двоичных разряда для представления числа 2, мы имели бы
при использовании 8 битов мы получаем более точный результат
Шестнадцатеричная система счисления.
Вы могли уже заметить, что перевод в двоичную систему несколько утомителен; для представления десятичной дроби в двоичном виде требуется приблизительно в три раза больше цифр. Поэтому для краткой записи двоичной информации в программировании используется система с большим основанием. Главным требованием, предъявляемым к такой системе, является то, что перевод из этой системы в двоичную и обратно должен быть достаточно прост, т. е. эта система и двоичная должны быть в некотором смысле эквивалентны.
Шестнадцатеричная система, или система с основанием 16, обладает этим свойством и широко используется в тех случаях, когда двоичная информация легко представима в виде групп по 4 бита в каждой. Поскольку основание системы равно 16, то в ней должны существовать 16 различных цифр. У нас есть 10 цифр нашей десятичной системы счисления, их мы и используем в качестве первых 10 цифр шестнадцатеричной системы. В качестве остальных шести цифр мы используем буквыА, В, С, D, Е, F.
На рис. 2.1 изображены первые десятичные числа и их двоичное и шестнадцатеричное представление. Отметим, что каждое 4-разрядное двоичное число соответствует определенной цифре шестнадцатеричной системы. Именно это позволяет легко проводить преобразования из одной системы в другую. Для преобразования двоичного числа в шестнадцатеричное нужно разбить двоичное число на группы, по 4 бита в каждой, двигаясь вправо и влево от десятичной точки. Затем нужно добавить к крайним группам нули для дополнения их до 4 разрядов,
|
Десят. |
Двоичн. |
Шестн. |
|
0 |
0000 |
0 |
|
1 |
0001 |
1 |
|
2 |
0010 |
2 |
|
3 |
0011 |
3 |
|
4 |
0100 |
4 |
|
5 |
0101 |
5 |
|
6 |
0110 |
6 |
|
7 |
0111 |
7 |
|
8 |
1000 |
8 |
|
9 |
1001 |
9 |
|
10 |
1010 |
А |
|
11 |
1011 |
в |
|
12 |
1100 |
С. |
|
13 |
1101 |
D |
|
14 |
1110 |
Е |
|
15 |
1111 |
F |
|
16 |
10000 |
10 |
|
17 |
10001 |
11 |
|
18 |
10010 |
12 |
|
19 |
10011 |
13 |
|
20 |
10100 |
14 |
Рис.
2.1. Десятичные, двоичные и шестнадцатеричные числа.
если это потребуется. Например, для преобразования
в шестнадцатеричное, нужно записать
Теперь мы находим каждую группу из четырех цифр, рассматриваемую как двоичное целое, в таблице, изображенной на рис. 2.1, и выписываем соответствующие шестнадцатеричные цифры для каждой группы (после небольшой практики поиск в таблице станет ненужным). В нашем примере
Для проведения обратного преобразования мы просто проводим описанный выше процесс в обратной последовательности, сопоставляя теперь уже каждому шестнадцатеричному числу группу из четырех битов. Например,
Процесс преобразования из шестнадцатеричной системы в десятичную может быть осуществлен расписыванием исходного числа по степеням 16 и вычислением полученной суммы в десятичной системе. Так
Наконец, перевод десятичного целого в шестнадцатеричное может быть выполнен примерно так же, как и перевод десятичного целого в двоичное; разница заключается в том, что на каждом шаге мы делим десятичное число на 16 и записываем остатки в шестнадцатеричном виде.
Вот процесс перевода 638.0 в шестнадцатеричную форму:
И в результате получаем
Для перевода десятичной дроби в шестнадцатеричную форму обычно используется та же процедура, которую мы использовали для перевода десятичной дроби в двоичную, только теперь умножение производится на 16 и числа, получающиеся в целой части при умножении, записываются в шестнадцатеричной форме.
Умножение и деление на 16 гораздо более сложны, чем умножение и деление на 2. Поэтому для перевода десятичного числа в шестнадцатеричное гораздо удобнее сначала перевести десятичное число в двоичное и лишь затем перевести результат в шестнадцатеричную форму. Наиболее же просто можно произвести преобразования из десятичной системы в шестнадцатеричную, используя таблицы приложения 4 или справочные карты фирмы IBM.
Двоичная арифметика в дополнительных кодах
Рассмотрев преобразования десятичных чисел в двоичные и шестнадцатеричные, познакомимся теперь с арифметическими действиями в этих системах.
Поскольку над двоичными дробями и смешанными числами можно производить арифметические действия, используя арифметику с плавающей точкой (см. гл. 19), ограничимся рассмотрением арифметики целых чисел, иначе говоря арифметики с фиксированной точкой.
Сложение. Сложение в двоичной системе счисления выполняется точно так же, как и в десятичной. Мы можем использовать следующую таблицу для определения сумм всевозможных пар одноразрядный двоичных чисел:
Если справедливость результатов таблицы вызывает сомнения, переведите все числа в десятичную систему, выполните указанные сложения и вновь переведите результаты в двоичную систему (это вообще один из возможных методов реализации двоичной арифметики). Сложим два двоичных целых
и
Получим
где числа в кружочках обозначают переносы. Как и в десятичной арифметике, мы начинаем с младших разрядов и производим сложение шаг за шагом, справа налево, получая по одной цифре на каждом шаге:
Проверьте правильность проделанных вычислений переводом в десятичную систему.
При проверке и отладке программ на языке ассемблера часто требуется сложение пар шестнадцатеричных чисел. При этом используется тот же алгоритм, что и в десятичной системе, только необходимо иметь в виду, что , т. е. если имеет место перенос, то переносится число 16, а не 10. Рассмотрим простой пример и вычислим
Совершенно верным (и наиболее часто используемым опытными программистами) способом является следующий: шестнадцатеричные числа переводятся по столбцам в десятичные, выполняется сложение, и результат снова приводится к шестнадцатеричному виду с переносом единиц в старший разряд, если полученная сумма больше (десятичного) 16. Возвращаясь к нашему примеру, мы должны рассуждать так: «есть,есть, сумма равна. Далее, больше , поэтому мы должны вычесть из результата, получим 2, но теперь необходимо произвести перенос 1, компенсируя таким образом вычитание 16». Рассмотрим более сложный пример:
Опять номера в кружочках представляют собой переносы.
Для вычисления суммы необходимо последовательно выполнить следующие шаги:
Мы могли бы так же использовать методы вычисления в десятичной системе для вычитания двоичных и шестнадцатеричных чисел. Необходимо было бы только помнить, что, занимая единицу старшего разряда для вычитания, мы занимаем соответственно 2 и 16, а не 10. Тем не менее на современных вычислительных машинах, и в частности на машинах Систем 360 и 370, операция вычитания выполняется совсем по-другому. Поскольку в дальнейшем мы будем тесно связаны с машинной арифметикой, познакомимся поближе с машинными методами выполнения арифметических операций.
Из соображений экономии современные арифметические устройства не содержат отдельных схем для выполнения операций сложения и вычитания. Обе эти операции выполняются одной и той же схемой, сумматором, способной выполнять только операцию сложения чисел. Для вычитания числа bиз числа а ЭВМ производит сложение а с — b. Иными словами, ЭВМ вычисляет не а—b, а+(—b),
где минус означает не операцию вычитания, а отрицательность числа, следующего за ним.
В Системе 360 числа обычно хранятся и обрабатываются в форме полных слов. Каждое слово состоит из 32 двоичных разрядов, или битов. Таким образом, реальным содержимым ячейки, содержащей, например, число 5, будет
Отметим также, что мы можем представить содержимое ячейки в форме шестнадцатеричного числа, в нашем случае
00000005
Для представления отрицательных чисел используется так называемый дополнительный код. Покажем теперь, как определить дополнительный код для заданного числа и как выполняется сложение с его использованием. После этого будет показано, как можно применить это понятие при выполнении арифметических операций над целыми числами со знаками.
Для вычисления дополнительного кода целого числа получим сначала его логическое дополнение. Логическое дополнение (обратный код) числа получается заменой каждой 1 в машинном представлении этого числа на 0 и каждого 0 на 1. Терминология станет ясной, как только вы поймете, что логическим дополнением истины является ложь, и наоборот.
Таким образом, логическим дополнением слова 11010101110110100011100001010111
является слово
00101010001001011100011110101000
Дополнительный код целого числа получается добавлением 1 к обратному коду этого числа, т. е.
дополнительный код = обратный код + 1
Возвращаясь к нашему предыдущему примеру, мы увидим, что дополнительный код для слова, содержащего число 5, вычисляется так:
Все это может быть гораздо более удобно записано в шестнадцатеричной системе счисления. Только нужно проявить аккуратность при вычислении логических дополнений шестнадцатеричных чисел. В этой форме записи предыдущий пример мог выглядеть так:
Обычно мы пользуемся шестнадцатеричным представлением двоичной информации. Если вы сомневаетесь в правильности полученных результатов, проделайте обратное преобразование шестнадцатеричных чисел в двоичные и выполните необходимые операции в двоичной системе.
Отметим, что совершенно безразлично, в шестнадцатеричной или двоичной форме мы записываем машинную информацию; двоичная и шестнадцатеричная системы действительно эквивалентны.
Утверждается, что дополнительный код некоторого числа при выполнении арифметических операций, если, конечно, эти операции выполняются правильно, ведет себя так же, как это число, взятое с обратным знаком. Продемонстрируем это на примере вычисления разности 13—13 с использованием дополнительного кода. Имеем в виде полного машинного слова, тогда как дополнительным кодом числа 13 (проверьте) является
опять же в 32-разрядном машинном представлении.
Вычислим теперь сумму
Мы получили правильный ответ 0, но как быть с последней переносимой единицей, не умещающейся в 32-разрядное машинное слово? Ответ на этот вопрос таков:
В арифметике в дополнительных кодах единица, выносящаяся влево за разрядную сетку, не учитывается.
Отсюда мы заключаем, что дополнительный код числа при выполнении арифметических операций ведет себя как это же число, взятое с обратным знаком.
Почему это на самом деле так, легко понять, взглянув на вопрос с несколько иной точки зрения. Предположим, что мы имеем двоичное число А. Легко видеть, что дополнительный код
В двоичном видезаписывается как 1 с 32 нулями. Пытаясь теперь представитьв виде машинного слова, мы получим 32 нуля и 1, не вошедшую в разрядную сетку. Отбрасывая 1, мы получим, чтопредставляется машинным 0. Теперь для вычисленияВ — А можно формально записать
1
Математик сказал бы нам, что наша арифметика в дополнительных кодах для 32-разрядных чисел есть не что иное, как арифметика по модулю
Абсолютная величина двоичного числа. Для суммирующей схемы не существует разницы между сложением и вычитанием. Знак операции определяют сами числа, подающиеся на вход схемы. Если второй операнд на самом деле является лишь дополнительным кодом истинного, результатом сложения будет разность двух чисел. Однако во многих других случаях, и в частности при интерпретации результатов арифметических операций, необходимо различать положительные и отрицательные числа и быть в состоянии вычислить их абсолютные значения, или модули.
Для определения знака числа необходимо посмотреть на первый(0-й) бит, или, как его часто называют, знаковый разряд числа. Если 1 знаковый разряд равен 0, то число положительно, т. е. если мы добавим его к другому числу, то результат будет больше исходного числа. Абсолютной величиной такого числа является просто оно само.
Если, с другой стороны, знаковый разряд содержит 1, число может рассматриваться как отрицательное, т. е. если мы сложим его с положительным числом, то результат будет меньше последнего.
Абсолютной величиной отрицательного числа является его представление в дополнительном коде. В заключение надо сказать, что модуль числаА есть не что иное, как его абсолютная величина | А |.
ЕслиА — число, записанное в машинной форме, то
Переполнение. Мы видели, что в машине двоичные числа представлены в форме слов, содержащих 31 разряд и один знаковый разряд. Но что произойдет при сложении чисел, сумма которых не помещается в машинное слово, т.
е. модуль которой больше чем—1? В этом
случае обычно фиксируется ошибка, ситуация, возникающая при этом, называется арифметическим переполнением. Предположим, что нам нужно вычислить
причем работает рассмотренное выше правило. Суммой этих двух положительных чисел будет отрицательное число
(подсчитайте его абсолютную величину). ЭВМ производит проверку и прекращает выполнение программы, если происходит переполнение.
Умножение и деление. Каждый, кто хоть раз пытался выполнить эти операции в шестнадцатеричной системе счисления, знает, что лучшим способом получения результата является приведение операндов к двоичному и десятичному виду, выполнение необходимых действий в этих системах и обратное преобразование результатов.
Умножение и деление двоичных чисел производится так же, как умножение и деление десятичных, только сами арифметические действия производятся в двоичной системе. К примеру, для вычисления произведения на необходимодействоватьтак:
Отметим, что длина произведения равна сумме длин сомножителей.
Следовательно, при умножении двух 32-разрядных слов может получиться 64-разрядный результат. Как мы увидим в дальнейшем, в действительности при выполнении операции умножения содержимое некоторого регистра умножается на содержимое другого регистра или слова памяти. Результат занимает два регистра, содержимое которых рассматривается как 64-разрядное двоичное число.
Деление двоичных целых чисел может выполняться с помощью хорошо известного алгоритма деления в столбик. Для выполнения деления 111011101 на 11011 можно записать:
То есть частное равно, остаток — .
Частное и остаток при делении полных слов занимают по одному слову. Если делитель представляет собой полное слово, то мы имеем возможность разделить на него содержимое двух слов, рассматриваемых как единое 64-разрядное число. Как мы увидим позднее, такая возможность предусматривается командой деления.
На этом заканчивается наше формальное обсуждение двоичной целочисленной арифметики, хотя мы еще не раз встретимся с ней в примерах и упражнениях в других частях книги.
Хорошее знание двоичной арифметики значительно облегчает составление и отладку программ. Проверьте себя, освоили ли вы простейшие арифметические действия в шестнадцатеричной «системе счисления и арифметику в дополнительных кодах.
Примечания по двоичному делению
Префикс «би» в данном контексте означает «два». Он называется двоичным, поскольку имеет двузначное основание и использует исключительно числа 0 и 1. В компьютерных технологиях наиболее широко используются двоичные системы счисления. В своих языках программирования все компьютеры используют двоичную систему счисления, в которой используются только два символа: 0 и 1.
Двоичное деление работает аналогично делению в двоичную систему счисления в десятичной системе. Делимое по-прежнему делится на делитель таким же образом, с той лишь разницей, что вместо десятичного вычитания используется двоичное вычитание. Стоит отметить, что двоичное деление требует четкого понимания двоичного вычитания. Для получения дополнительной информации см.
пример ниже и раздел двоичного вычитания.
Все арифметические операции, такие как сложение, вычитание, умножение и деление, могут выполняться над двоичными числами так же, как и в десятичной системе счисления. Здесь выполняются четыре типа арифметических операций: двоичное вычитание, двоичное умножение, двоичное сложение и двоичное деление. При делении двух двоичных чисел нам нужно всего лишь следовать нескольким рекомендациям. При выполнении двоичного деления необходимо следовать четырем рекомендациям. Деление на 0 не имеет значения в двоичном делении, как и в десятичной системе (или любой другой системе счисления). Ниже приведены правила двоичного деления:
Dividend | Divisor | Result |
o | 1 | o |
1 | 1 | 1 |
Поскольку двоичные числа состоят только из двух цифр, перечисленные выше четыре правила являются возможными условиями для деления двоичных чисел.
Метод длинного деления, который является одним из наиболее эффективных и простых способов деления двоичных целых чисел, может использоваться для решения проблем с двоичным делением. В операции двоичного деления необходимо выполнить следующие шаги:
Шаг 1: Сравните делитель и делимое. Если делитель больше, установите частное равным 0, а затем уменьшите второй бит делимого. Если делитель меньше единицы, умножьте его на единицу, чтобы получить вычитаемое. Остаток получается вычитанием вычитаемого из уменьшаемого.
Шаг 2 : Затем из части делимого выведите следующий бит числа и повторите шаг 1.
Шаг 3 : Повторите шаги 1–3, пока оставшееся число не станет равным нулю или делимое не будет разделено пополам.
Пример двоичного деленияB=0110102 и C= 01012 – два двоичных числа. В этом случае мы хотим разделить B на C.
Дано, делимое 0110102 , c= 01012
Шаг 1 : Удалите ноль в позиции старшего бита как из делимого, так и из делителя, потому что это не влияет на значение числа.
В результате делимое равно 110102, а делитель 1012.
Двоичное деление — правила, приемы, шаги решения и примеры
Двоичное деление является частью двоичной системы счисления. Двоичными числами считаются те числа, в которых только две цифровые и что цифры «0» и «1». Двоичная система счисления используется в цифровых компьютерах, секторах связи и многих других. В этом уроке мы собираемся обсудить двоичное деление.
Двоичная арифметика имеет четыре типа, которые приведены ниже:
- Двоичное сложение
- Двоичное вычитание
- Двоичное умножение
- Двоичное деление
Важнейшей операцией бинарного астматика является бинарная операция. В двоичной системе есть только одно число «0», другое — «1», а основание двоичного числа — «2». В основном это широко используемые цифровые компьютерные системы и многое другое.
Двоичные деления аналогичны другим типам двоичных операций, поскольку они также используют двоичные цифры.
Двоичное деление и десятичное деление похожи. Единственное отличие состоит в том, что правила соблюдаются с использованием цифр «0» и «1». В бинарном делении используется бинарное астматическое и бинарное вычитание для получения бинарного деления.
Двоичные биты выполняют арифметические операции. Та же арифметическая операция выполняется при десятичном делении. Нам просто нужно следовать некоторому бинарному правилу. Двоичные деления имеют следующие правила:
Основные правила двоичного деления приведены ниже; это очень похоже на правила десятичного деления:
- 1 ÷ 1 = 1
- 1 ÷ 0 = бессмысленно
- 0 ÷ 1 = 0
- 0 ÷ 0 = бессмысленно
В десятичной системе счисления двоичные деления аналогичны друг другу.
есть следующий шаг:
- Разделить
- Умножить
- Вычесть
- Сбить
Сравнение с десятичным значением
(01111100) 2 = (1111100) 2 = 124 10
(0010) 2 = (10) 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 . значение равно 62, когда мы делим 124 на 2.
И двоичный эквивалент 62 равен (111110) 2
(111110) 2 = 62 10
Как выполнить двоичное деление?Решением двоичного деления является использование длинного деления. Этот метод длинного деления является наиболее эффективным и простым способом разделения двоичных битов. Для двоичного деления мы используем несколько шагов. Они приведены ниже;
- Шаг 1: Сравните делитель и делимое.
Если делитель больше, чем положить 0 как частное, затем взять второй бит делимого затем. Если делитель мал, умножьте его на 1, и результат станет вычитаемым. Результат вычитания — остаток. - Шаг 2. Возьмите следующий бит и снова выполните операцию шага 1.
- Шаг 3. Повторяйте ту же операцию еще раз, пока напоминание не станет равным нулю или меньше делителя.
Если делитель больше, чем положить 0 как частное, затем взять второй бит делимого затем. Если делитель мал, умножьте его на 1, и результат станет вычитаемым. Результат вычитания — остаток.Давайте лучше разберемся с операцией двоичного деления на следующих примерах;
Пример: два двоичных бита равны A = (011010) 2 и B = (0101) 2 выполнить операцию деления A на B , В = (0101) 2
Шаг 1: поскольку ноль является старшим битом, он не влияет на значение числа; давайте удалим нулевой бит из делимого и делителя. Таким образом, делимое становится равным (11010) 2 , а делитель становится равным (101) 2
Шаг 2: мы используем операцию деления в длину. На этом этапе мы сравниваем делитель (101) с первой цифрой делимого (11010), поскольку делитель меньше, он будет умножен на 1, а результатом будет вычитаемое.
Согласно правилам двоичного умножения:
- 1 × 1 = 1
- 1 × 0 = 0
- 0 × 1 = 0
- 0 × 0 = 0
Итак, 101 × 1 = 101, и этот результат записан ниже.
Шаг 3: вычтите вычитаемое 101 из уменьшаемого 110.
Шаг 4: выводится следующий младший значащий бит, и делитель умножается на 1. Результат умножения 101 и больше 0011, этот шаг не может быть завершенный.
Шаг 5: Мы записываем 0 как следующий бит частного, а затем после следующего бита 0 идет вниз.
Шаг 6: Снова делитель умножается на 1, и результат равен 101.
Шаг 7: Согласно двоичному вычитанию, мы вычитаем 101 из 110. Получаем 110 – 101 = 001.
Двоичное деление операция проделана и мы получаем результат.
- Частное = 101
- Остаток = 001 = 1
Двоичное деление — одна из важнейших функций двоичной арифметики. Двоичная система счисления или второе основание — это метод расчета с двумя цифрами: 0 и 1, и представляет собой число с основанием 2.