Как находить функцию обратную данной: Найти функцию обратную данной. у=(х-2)^3

Математика: Справ. материалы

Математика: Справ. материалы

Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика: Справ. материалы: Кн. для учащихся.— 2-е изд.— М.: Просвещение, 1990.— 416 с. В книге дано краткое изложение основных разделов школьных курсов алгебры и качал анализа, геометрии. Книга окажет помощь в систематизации и обобщении знаний по математике. Предыдущее издание вышло в 1988 году. Оглавление ГЛАВА I. ЧИСЛА 3. Деление с остатком. 4. Признаки делимости. 5. Разложение натурального числа на простые множители. 6. Наибольший общий делитель нескольких натуральных чисел. 7. Наименьшее общее кратное нескольких натуральных чисел. 8. Употребление букв в алгебре. Переменные. § 2. Рациональные числа 11. Приведение дробей к общему знаменателю. 12. Арифметические действия над обыкновенными дробями. 13. Десятичные дроби. 14. Арифметические действия над десятичными дробями. 15. Проценты. 16. Обращение обыкновенной дроби в бесконечную десятичную периодическую дробь. 17. Обращение бесконечной десятичной периодической дроби в обыкновенную дробь. 18. Координатная прямая. 19. Множество рациональных чисел. § 3. Действительные числа § 4. Комплексные числа ГЛАВА II. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ § 6. Целые рациональные выражения 52. Многочлены. Приведение многочленов к стандартному виду. § 7. Дробные рациональные выражения Глава III. ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ § 9. Свойства функций § 10. Виды функций 95. Обратная функция. График обратной функции. 96. Логарифмическая функция. 96. Определение тригонометрических функций. § 11. Преобразования графиков ГЛАВА IV. ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ § 12. Преобразование выражений, содержащих переменную под знаком логарифма § 13. Формулы тригонометрии и их использование для преобразования тригонометрических выражений ГЛАВА V. УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ § 14. Уравнения с одной переменной § 15. Уравнения с двумя переменными § 16. Системы уравнений Глава VI. НЕРАВЕНСТВА § 17. Решение неравенств с переменной § 18. Доказательство неравенств ГЛАВА VII. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА § 19. Числовые последовательности § 20. Предел функции § 21. Производная и ее применения § 22. Первообразная и интеграл ГЛАВА I. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ НА ПЛОСКОСТИ § 1. О строении курса геометрии § 2. Основные свойства простейших геометрических фигур § 3. Геометрические построения на плоскости § 4. Четырехугольники § 5. Многоугольники § 6. Решение треугольников 34. Теорема косинусов. Теорема синусов. § 7. Площади плоских фигур 38. Площади подобных фигур. ГЛАВА II. Прямые и плоскости в пространстве § 8. Аксиомы стереометрии и некоторые следствия из них § 9. Параллельность прямых и плоскостей § 10. Перпендикулярность прямых и плоскостей 45. Перпендикуляр и наклонная к плоскости. ГЛАВА III. ТЕЛА В ПРОСТРАНСТВЕ § 11. Многогранники § 12. Тела вращения § 13. Изображение пространственных фигур на плоскости § 14. Объемы тел § 15. Площади поверхностей тел ГЛАВА IV. ДЕКАРТОВЫ КООРДИНАТЫ § 16. Координаты на плоскости и в пространстве § 17. Уравнения фигур на плоскости § 18. Уравнения фигур в пространстве ГЛАВА V. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФИГУР § 19. Движение § 20. Подобие фигур ГЛАВА VI. ВЕКТОРЫ § 21. Введение понятия вектора § 22. Операции над векторами ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ И СООТНОШЕНИЯ I. Основные законы алгебры ГЕОМЕТРИЯ

Задачи для самостоятельного решения

Выяснить, какие из нижеследующих функций будут периодическими, и определить период.

43. , 44., 45., 46.,

47. , 48., 49..

50. Построить график периодической функции с периодом , которая на промежуткезадана формулой: а), б).

51. Доказать методом полной индукции: если T— период функции , то, где.

1.3. Обратная функция

Пусть двум любым различным элементам множества D соответствуют по закону f два различных элемента множества E. Тогда говорят, что между D и E установлено взаимно однозначное соответствие. Отображение называется обратной функцией по отношению ки обозначаетсяили. Если учесть, что традиционно функцию обозначают

y а аргумент x, то обратной функцией к будет.

Пусть даны непустые множества ии функциии, при этом функцияf двум разным значениям иизX ставит в соответствие разные значения иизY.

Функцию g будем называть обратной к функции f , если для всякого

выполняется

и для всякого выполняется

Функция g, обратная к f, обозначается . Если учесть, что традиционно функцию обозначаютy а аргумент x, то обратной функцией к будет.

Теорема 1.2. Если функция f строго монотонна в области X и имеет область значений

Y, то для нее существует однозначная обратная функция , определенная наY и с областью значений X.

Если непрерывная функция не является строго монотонной во всей своей области определения, то, если возможно, область определения разбивают на интервалы, в которых функция строго монотонна, и в каждом таком интервале справедлива теорема 1.2.

Для функций, заданных аналитически , обратную функцию можно получить, выразивx через y, затем, следуя традиции, условимся менять x и y местами.

Пример. Найти обратную функцию для функции .

 Если областью определения функции считать всю числовую ось, то на ней функция не является строго монотонной: нафункция убывает, на- возрастает, и однозначно определенной обратной функции нет. Но на интервалах монотонного изменения функцииобратная функция существует:

а) т.е. обратная функция;

б) , т.е. обратная функция.

Взаимно обратными функциями являются, например,

а);

б),;

в),;

г),;

д).

Задачи для самостоятельного решения

Найти функцию, обратную данной.

52. , 53., 54., 55.,

56. , 57., 58., 59..

Ответы к задачам главы 1:

1.. 2.. 3.. 4..

5. . 6.. 7.пустое множество. 8.. 9.. 10.. 11.. 12.. 13.. 14.,. 15.а). б). 16.. 17.. 18.. 19.. 20.. 21.. 22.а), б), в), г). д). 23..

24.. 25.. 26..

27..

28. не ограничена. 29.ограничена. 30.ограничена снизу. 31.ограничена снизу.

32.не ограничена. 33.ограничена сверху. 34. Монотонно возрастающая. 35.Монотонно возрастающая. 36.Монотонно возрастающая. 37.Монотонно убывающая. 38.Монотонно возрастает при , монотонно убывает при. 39.а),в),е),ж) – четные, д),з),и) – нечетные, б),г) – ни четные, ни нечетные. 40.. 41..

43.Периодическая, T=. 44.Не периодическая. 45.Не периодическая. 46. Периодическая, . 47. Периодическая,T – любое число. 48.Периодическая, .

49.Не периодическая.

50.

a)

б)

52.

. 53.,. 54..

55.. 56.. 57..

58.. 59..

Помощь по алгебре II

Студенты, нуждающиеся в помощи по алгебре II, получат большую пользу от нашей интерактивной программы. Мы разбираем все ключевые элементы, чтобы вы могли получить адекватную помощь по Алгебре II. Имея под рукой обязательные концепции обучения и актуальные практические вопросы, вы мгновенно получите много помощи от Algebra II. Получите помощь сегодня с нашей обширной коллекцией необходимой информации об Алгебре II.

Большинство курсов алгебры II занимают важное место в обучении молодого человека. Независимо от того, следует ли курс непосредственно за его или ее первым уроком алгебры или после изучения геометрии, этот курс основывается на этих ранее полученных навыках, готовя молодого студента к дальнейшей углубленной работе по математике. Нужны ли вам лучшие репетиторы алгебры в Майами, преподаватели алгебры в Канзас-Сити или лучшие репетиторы алгебры в Оклахома-Сити, работа с профессионалом может вывести ваше обучение на новый уровень.

Когда за Алгеброй I сразу последует Алгебра II, юный ученик, скорее всего, сосредоточится на постоянном совершенствовании работы с уравнениями и их использовании, опираясь непосредственно на навыки, полученные в Алгебре I. Это потребует сосредоточения внимания на нелинейных уравнениях с одной переменной, уделяя особое внимание в частности, квадратные уравнения, но с дальнейшим вниманием к полиномам более высокого порядка в целом. Точно так же более продвинутые навыки работы с экспонентами и радикалами и их использования значительно улучшат навыки решения уравнений, которые студенты получили в ходе предыдущих курсовых работ. В дополнение к манипулированию и решению уравнений, такие студенты, вероятно, также сосредоточатся на концепциях, необходимых для оценки различных преобразований уравнений, особенно графиков квадратичных функций, абсолютных значений и других нелинейных функций. Репетиторы Varsity Tutors предлагают такие ресурсы, как бесплатные практические тесты по алгебре II, которые помогут вам в самостоятельном обучении, или вы можете подумать о репетиторах по алгебре II.

Когда Алгебра II следует за курсом геометрии, часто можно охватить гораздо больше информации, так как учащийся будет на более продвинутом уровне, чем он или она были сразу после прохождения первого курса алгебры. Проведя дополнительный год математических исследований, он или она прибудет с усиленными общими навыками, а также с пониманием ряда новых тем, относящихся к геометрии. В таком курсе Алгебры II будут преподаваться многие из вышеупомянутых навыков — различные типы манипулирования уравнениями, преобразование графиков и так далее. Однако при подготовке к тригонометрии и предварительному исчислению будет легче рассмотреть и другие темы, такие как тригонометрические тождества и конические сечения.

Всякий раз, когда алгебра II встречается в школьной программе по математике для молодых людей, это строгий и трудный курс. Отмечая важный переход в математическом обучении учащихся, курс требует от студентов повышенного объема работы и самоотверженности. Часто при прохождении этого курса молодых студентов поражает увеличение количества времени, необходимого вне занятий для закрепления навыков, приобретаемых каждый день в школе. На всех курсах математики практика может помочь изучить представленные новые темы; однако по мере того, как темы становятся все более сложными, объем требуемой работы увеличивается. В дополнение к справочному разделу по Алгебре II и урокам по Алгебре II вы также можете воспользоваться некоторыми из наших карточек по Алгебре II.

Таким образом, чтобы добиться успеха, очень важно, чтобы ученик был полностью предан своей заданной работе. Темы, изучаемые на курсах такого рода, очень легко начинают накапливаться, оставляя студента совершенно ошеломленным за короткий промежуток времени. Бесплатная помощь по алгебре 2 от Varsity Tutors может помочь вам понять любую тему, которую вы не полностью освоили, прежде чем она начнет вызывать у вас проблемы с пониманием нового материала в вашем курсе. Наш контент по алгебре 2 разделен на конкретные темы, чтобы помочь вам точно определить область, в которой вы запутались. Нажав на одну из этих тем, вы увидите вопросы по алгебре 2, проверяющие эту концепцию, а также правильный ответ и полное объяснение. Вы можете самостоятельно работать над вопросами и проверять свои ответы или просто анализировать проблемы как правильные примеры, на которых можно смоделировать свою работу. Бесплатная справка по алгебре II от Varsity Tutors может быть особенно полезной при использовании вместе с другими нашими бесплатными ресурсами по алгебре II, включая практические тесты, диагностические тесты и карточки. Ответы на вопросы с использованием этих трех методов могут дать вам обратную связь о том, какие области алгебры II вы понимаете наименее хорошо, и придать специфичность вашему изучению.

Больше, чем любая предыдущая курсовая работа по математике — будь то алгебра I или геометрия — алгебра II потребует ежедневной преданности делу и усердной заботы, чтобы добиться успеха. Однако с таким трудолюбием можно приобрести навыки, которые будут иметь большое значение в ближайшие годы обучения в таких несопоставимых областях, как исчисление, экономика и физика. Таким образом, когда бы Алгебра II ни была включена в учебную программу сегодня, она заслуживает пристального внимания и самоотверженной работы, поскольку завтрашний успех вполне может зависеть от этого важного курса.

 

Как найти обратную функцию – mathsathome.com

Как найти обратную функцию: видеоурок

Как найти обратную функцию

Чтобы найти обратную функцию:

1. Замените «f(x)=» в уравнении на «y=».
2. Замените каждый x в уравнении на y, а y на x.
3. Решите это уравнение относительно y.
4. Замените y на f ^-1 (x).

Например, найдите обратную функцию для f(𝑥) = 5𝑥 – 2,

Шаг 1. Заменим в уравнении ‘f(x)=’ на ‘y=’

Запишем f(𝑥) = 5𝑥 – 2, поскольку y = 5𝑥 – 2.

Шаг 2. Заменим каждый x в уравнении с y и y с x

Мы поменяем 𝑥 на y и y на 𝑥 так, чтобы уравнение y = 5𝑥 – 2 стало 𝑥 = 5y – 2.

Шаг 3. Решите это уравнение для y

Мы хотим изменить уравнение, чтобы получить ‘y=’.

Начнем с уравнения 𝑥 = 5y – 2 и прибавим к обеим частям, чтобы получить 𝑥 + 2 = 5y.

Теперь разделим обе части на 5, чтобы получить .

Шаг 4. Замените y на f ^-1 (x)

Вместо , мы можем написать это как, чтобы указать, что это функция, обратная f(𝑥) = 5𝑥 – 2.

f ^-1 (𝑥) — это правильный способ записи обратной функции f(𝑥). Правильный способ сказать это «f обратное 𝑥». f ^-1 (𝑥) не означает возведения функции f(𝑥) в степень -1. Это просто обозначение, используемое для обозначения обратного.

Что такое обратные функции?

Обратная функция — это функция, которая отменяет действие исходной функции. Для любой однозначной функции f(x) существует обратная функция, записанная как f ^-1 (x). График обратной функции является отражением исходной функции в линии y = x.

Функция не является взаимно однозначной, поэтому, чтобы найти ее обратную, мы должны ограничить область определения значением 𝑥≥0, чтобы функция была взаимно однозначной. Эта часть графика показана ниже, без графика в отрицательных квадрантах осей.

Инверсия этой ограниченной функции теперь отображается как .

Обратная функция является отражением исходной функции в строке y = 𝑥.

Область определения обратной функции равна области значений исходной функции.

Диапазон обратной функции равен области определения исходной функции.

На графике выше видно, что область определения обратной функции равна области значений исходной функции. Это правило возникает потому, что функция и ее обратная функция являются отражением друг друга в линии y = 𝑥.

Свойства инверсных функций

Инверсные функции обладают следующими свойствами:

• Функция имеет обратную только в том случае, если она является взаимно однозначной функцией.
Обратная функция также должна быть однозначной функцией.
• Для функции f(x) обратная функция записывается как f ^-1 (x).
• Когда обратная функция совпадает с самой функцией, функция называется самообратной функцией.
• ф ^-1 (f(x))=x для всех x в области определения f(x).
• Обратной функцией обратной является сама исходная функция. f ^-1 (f ^-1 (х))=f(х).
• Обратная функция — это отражение исходной функции в прямой y = x.
• Обратная функция будет пересекать исходную функцию только на прямой y = x.
• Для любой точки (a, b) функции существует точка (b, a) обратной функции.
• Область определения обратной функции равна области значений исходной функции.
• Диапазон обратной функции равен области определения исходной функции.

Обратные функции Примеры и решения

В следующей таблице перечислены некоторые распространенные функции и их обратные функции.

/⁰. -1 (x) = ¹ / _x 9014 = f(0149 9014) (x)

Function f(𝑥)	Inverse Function f -1 (𝑥)	Domain of the inverse
f(x) = x + k	f -1 (x) = x – k	Любое действительное число
F (x) = KX	F -1 (x) = x / K	K гать 0
F (x) = 1
F (x) = / /0	F (x) = /	/0	F (x) = /
F (x) = /
x ≠ 0
F (x) = x 2	F -1 (x) = +x.		F -1 (x) = +x) = +x) = +x) = +x) = +x) = +x) = +x) = +x) = +x) = +x) = +x) = +x) = +x) = +x). 0
f(x) = x 3	f -1 (x) = 3 √x	Любое действительное число
f(x) = x n	f -1 (x) = x 1 / n	n ≠. Для четного n x≥0.
f(x) = e x	f -1 (x) = ln(x)	x>0.
f(x) = k x	f -1 (x) = log k (x)	k>0 и x>0
f -1 (x) = sin -1 (x)	-1 ≤ x ≤ 1
f(x) = cos(x)	f -1 (x) = cos -1 (x)	2 — 1 ≤ x ≤ 1
f(x) = tan(x)	f -1 (x) = tan -1 (x)	Любое действительное число

8 Обратное 9 a Линейная функция

Для любой линейной функции вида f(x) = mx+c обратная функция равна f ^-1 (x) = ^(x-c) / _м . Например, функция, обратная функции f(x) = 3x + 5, равна f ^-1 (x) = ^(x-5) / ₃ .

Шаги для нахождения обратной линейной функции показаны ниже.

Шаг 1. Запишем функцию в виде y =

Запишем f(𝑥) = 3x + 5 как y = 3𝑥 + 5.

Шаг 2. Заменим каждый x на y и наоборот

3 y

= 3𝑥 + 5 становится 𝑥 = 3y + 5.

Шаг 3. Переформулируйте уравнение для y

Мы вычтем 5 из обеих частей уравнения, чтобы 𝑥 = 3y + 5 стало 𝑥 – 5 = 3y.

Разделим обе части уравнения на 3, чтобы получить .

Шаг 4. Запишем уравнение в виде f ^-1 (x)

Обратную функцию запишем в виде .

Обратная функция с квадратным корнем

Чтобы найти обратную функцию, записанную с квадратным корнем, замените каждый x на y, а y на x. Измените уравнение для y, возведя в квадрат обе части уравнения. Это удалит операцию извлечения квадратного корня.

Например, найдите обратную функцию .

Шаг 1. Запишем функцию как y=

Запишем как .

Шаг 2. Замените каждый x на y и наоборот

станет .

Шаг 3. Переформулируйте уравнение для y

Возведите в квадрат обе части уравнения так, чтобы получилось .

Вычтите 3 из обеих частей уравнения, чтобы получить .

Наконец, разделите обе части уравнения на 2, чтобы получить .

Шаг 4. Запишем обратную функцию в виде f ^-1 (x)

Запишем обратную функцию в виде .

Обратная функция, записанная в виде дроби

Чтобы найти обратную функцию, записанную в виде дроби, сначала замените каждый x на y и каждый y на x. Затем переформулируйте уравнение для y. Для этого умножьте обе части уравнения на знаменатель дроби. Затем раскройте скобки, соберите у членов вместе и разложите у на множители.

Например, найдите обратную функцию .

Шаг 1. Запишем уравнение в виде y =

Запишем функцию в виде .

Шаг 2. Замените каждый x на y и наоборот

Функция принимает вид .

Шаг 3. Переформулируем уравнение для y

Сначала умножим обе части уравнения на знаменатель дроби (2y-1).

становится .

Затем мы раскрываем скобки в левой части уравнения, чтобы получить .

Затем мы собираем члены y вместе в левой части и перемещаем все остальные члены в правую часть.

Добавьте 𝑥 к обеим сторонам и вычтите y с обеих сторон, чтобы получить . Теперь у нас есть термины y в левой части.

Теперь мы факторизуем y в левой части, чтобы получить .

Наконец, мы разделим обе части уравнения на квадратную скобку в левой части уравнения, чтобы найти y.

Шаг 4. Запишем обратную функцию в виде f ^-1 (х)

Пишем как .

Мы видим, что обратная функция идентична исходной функции и, следовательно, эта функция является самообратной.

Обратная функция

¹ / _𝑥

Обратная функция F (x) = ¹ / _X , IS F ^-1 (x) = ¹ / _{x -1 (x) = ¹ / x x (x) = ¹ / — (x) = ¹ / x (x) = ¹ / x (x) = ¹ . . То есть обратная функция ¹ / х равна самой ¹ / х . Когда обратная функция совпадает с исходной функцией, функция называется самообратной. Поэтому f(x) = ¹ / x является самообратной функцией.}

Мы покажем шаги для вычисления обратного ниже.

Начните с записи функции как .

Поменяйте местами 𝑥 и y, чтобы получить .

Затем умножьте обе части уравнения на y, чтобы получить .

Затем мы разделим обе части уравнения на 𝑥, чтобы получить .

Обратная функция такая же, как исходная функция, поэтому мы называем эту функцию самообратной.

Область определения функции f(𝑥) = ¹ / _𝑥 равна 𝑥 ∈ ℝ, 𝑥 ≠ 0. Мы не можем делить на 0, поэтому это значение исключено из нашей области определения.

Диапазон функции f(𝑥) = ¹ / _𝑥 равен 𝑥 ∈ ℝ, 𝑥 ≠ 0. Не существует значения 𝑥, которое можно ввести, чтобы получить на выходе 0.

Обратное значение a Кубическая функция

Кубические функции, не являющиеся взаимно однозначными, не имеют обратной. Однако кубические уравнения, записанные в виде f(x)=(ax+b) ³ +c имеют обратное значение: f ^-1 (x)= ^(∛(x-c)-b) / _a .

Например, найдите обратную кубическую функцию f(𝑥) = 𝑥 ³ – 2.

Сначала заменим 𝑥 на y, а y на 𝑥.

y = 𝑥 ³ – 2 становится 𝑥 = y ³ – 2.

Затем мы переформулируем уравнение для y. Сначала мы добавляем 2 к обеим частям уравнения, чтобы получить 𝑥 + 2 = y ³ .

Теперь извлекаем корень из обеих частей уравнения, чтобы получить ∛(𝑥 + 2) = y.

Обратное запишем как .

Обратное значение логарифмической функции

Обратное значение логарифмической функции вида f(x)=log _k (x) равно f ^-1 (x)=k ^x . Обратную функцию любой логарифмической функции можно найти, заменив положения x и y и решив уравнение для y, переписав уравнение в индексной форме.

Например, найдите обратную функцию для .

Шаг 1. Запишем f(𝑥) как y =

Вместо , мы пишем .

Шаг 2. Замените каждый x на y и наоборот

Чтобы найти обратную эту логарифмическую функцию, мы поменяем местами переменные 𝑥 и y.

становится .

Шаг 3. Переформулируем уравнение для y

Решим уравнение для y, записав его в индексной форме.

становится .

Затем мы вычтем 2 из обеих частей уравнения, чтобы получить .

Шаг 4. Запишем обратную функцию в виде f ^-1 (х)

Пишем как .

Область определения и область значений функции f(𝑥) становятся областью значений и областью значений функции f ^-1 (𝑥) соответственно.

Областью значений функции является любое действительное число, f(𝑥) ∈ ℝ. Следовательно, областью определения обратной функции является любое действительное число, 𝑥 ∈ ℝ.