Диаграмма эльвира вена – 1) Диаграммы Эйлера-Венна

Диаграмма Венна — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Диаграмма Венна (также используется название диаграмма Эйлера — Венна) — схематичное изображение всех возможных отношений (объединение, пересечение, разность, симметрическая разность) нескольких (часто — трёх) подмножеств универсального множества. На диаграммах Венна универсальное множество U{\displaystyle U} изображается множеством точек некоторого прямоугольника, в котором располагаются в виде кругов или других простых фигур все остальные рассматриваемые множества^[1][2].

Диаграммы Венна применяются при решении задач вывода логических следствий из посылок, выразимых на языке формул классического исчисления высказываний и классического исчисления одноместных предикатов^[3], для :

• описания функционирования формальных нейронов Мак-Каллока и сетей из них^[4]
• синтеза надежных сетей из не вполне надежных элементов^[5],
• построения управляющих и самоуправляющихся систем и блочного анализа и синтеза сложных устройств^[6],
• получения логических следствий из заданной информации, минимизации формул исчислений^[7][8].

Диаграммы Венна при помощи n{\displaystyle n} фигур изображают все 2n{\displaystyle 2^{n}} комбинаций n{\displaystyle n} свойств, то есть конечную булеву алгебру^[9]. При n=3{\displaystyle n=3} диаграмма Эйлера — Венна обычно изображается в виде трёх кругов с центрами в вершинах равностороннего треугольника и одинаковым радиусом, приблизительно равным длине стороны треугольника.

Дальнейшим развитием аппарата диаграмм Венна в классическом исчислении высказываний является аппарат вероятностных диаграмм ^[10], понятие сети диаграмм, использующей диаграммы Венна как операторы^[11].

Они появились в сочинениях английского логика Джона Венна (1834—1923), подробно изложившего их в книге «Символическая логика», изданной в Лондоне в 1881 году.

Связь диаграмм Эйлера и Венна

Пример получения произвольных кругов Эйлера из диаграмм Венна с пустыми (чёрными) множествами 22 (из 256) существенно различных диаграмм Венна с 3 кругами (сверху) и соответствующие им диаграммы Эйлера (снизу)

Диаграммы Эйлера в отличие от диаграмм Эйлера — Венна изображают отношения между множествами: непересекающиеся множества изображены непересекающимися кругами, а подмножества изображены вложенными кругами.

Диаграммы Венна основаны на существенно иной идее, чем круги Эйлера^[12]. Круги Эйлера возникли на основе идей силлогистики Аристотеля. Диаграммы Венна были созданы для решения задач математической логики. Их основная идея разложения на конституенты возникла на основе алгебры логики^[12].

На рис. ниже даны диаграммы Венна и Эйлера для 3 множеств однозначных натуральных чисел:

• A={1,2,5}{\displaystyle A=\{1,\,2,\,5\}}
• B={1,6}{\displaystyle B=\{1,\,6\}}
• C={4,7}{\displaystyle C=\{4,\,7\}}

• диаграмма Эйлера

• диаграмма Венна

Иногда, если какая-то комбинация свойств соответствует пустому множеству, то эту комбинацию закрашивают. На рисунке справа даны 22 существенно различных диаграмм Венна с 3 кругами

(сверху) и соответствующие им диаграммы Эйлера (снизу). Некоторые из диаграмм Эйлера не типичны, а некоторые даже эквивалентны диаграммам Венна. Черные области указывают на то, что в них нет элементов (пустые множества).

См. также

Примечания

1. ↑ Столл, 1968, с. 25.
2. ↑ Нефедов, 1992, с. 8.
3. ↑ Кузичев, 1968, с. 106.
4. ↑ Кузичев, 1968, с. 171.
5. ↑ Кузичев, 1968, с. 134.
6. ↑ Кузичев, 1968, с. 9.
7. ↑ Кузичев, 1968, с. 97.
8. ↑ Столл, 1968, с. 26.
9. ↑ Кузичев, 1968, с. 57.
10. ↑ Кузичев, 1968, с. 124.
11. ↑ Кузичев, 1968.
12. ↑ ^{1 2} Кузичев, 1968, с. 25.

Ссылки

Литература

wikipedia.green

ДИАГРАММА ВЕННА — это… Что такое ДИАГРАММА ВЕННА?



ДИАГРАММА ВЕННА

ДИАГРАММА ВЕННА, схематическое представление отношений между математическими МНОЖЕСТВАМИ или логическими утверждениями, названное по имени английского логика Джона Венна (1834-1923). Множества изображаются в виде геометрических фигур, обычно — кругов, которые перекрываются, если различные множества имеют общие элементы.

Научно-технический энциклопедический словарь.

• ДИАГЕНЕЗ
• ДИАГРАММА ЭЙЛЕРА

Смотреть что такое «ДИАГРАММА ВЕННА» в других словарях:

• Диаграмма Венна — Диаграмма Венна, показывающая все пересечения греческого, русского и латинского алфавитов (буквы заглавные) Диаграмма Венна …   Википедия

• диаграмма Венна — Иллюстрирующая логические операции и операции булевой алгебры Boolean algebra [http://slovarionline.ru/anglo russkiy slovar neftegazovoy promyishlennosti/] Тематики нефтегазовая промышленность EN Venn diagram …   Справочник технического переводчика

• диаграмма Венна — Venn o diagrama statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. Venn diagram vok. Venn Diagramm, n rus. диаграмма Венна, f pranc. diagramme de Venn, m ryšiai: sinonimas – Veno diagrama …   Automatikos terminų žodynas

• ДИАГРАММА ЭЙЛЕРА — ДИАГРАММА ЭЙЛЕРА, простая диаграмма, используемая в логике для демонстрации силлогизмов. Классы предметов изображаются в виде кругов, и утверждения типа «Некоторое а находится в b» представляется двумя пересекающимися кругами, представляющими а и …   Научно-технический энциклопедический словарь

• Диаграмма Эйлера — Пример диаграммы Эйлера. B  живое существо, A  человек, C  неживая вещь. Круги Эйлера[1]  геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между подмножествами, для наглядного представления. Изобретены Эйлером. Используется в… …   Википедия

• ВЕННА ДИАГРАММА — графический способ изображения формул математич. логики, прежде всего формул исчисления высказываний. В. д. ппеременных классич. логики высказываний представляет собой такой набор замкнутых контуров (го меоморфных окружностям), к рый разбивает… …   Математическая энциклопедия

• Диаграммы Венна — Пример диаграммы Эйлера. B  живое существо, A  человек, C  неживая вещь. Круги Эйлера[1]  геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между подмножествами, для наглядного представления. Изобретены Эйлером. Используется в… …   Википедия

• Диаграммы Эйлера—Венна — Пример диаграммы Эйлера. B  живое существо, A  человек, C  неживая вещь. Круги Эйлера[1]  геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между подмножествами, для наглядного представления. Изобретены Эйлером. Используется в… …   Википедия

• ДИАГРАММЫ ВЕННА —     ДИАГРАММЫ ВEHHА графический способ задания и анализа логико математических теорий и их формул. Строятся путем разбиения части плоскости на ячейки (подмножества) замкнутыми контурами (кривьми Жордана). В ячейках представляется информация,… …   Философская энциклопедия

• Круги Эйлера — Пример кругов Эйлера. Буквами обозначены, например, свойства:   живое существо,   человек,   неживая вещь Круги Эйлера[1]  геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения …   Википедия

dic.academic.ru

Диаграмма Венна — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Диаграмма Венна (также используется название

диаграмма Эйлера — Венна) — схематичное изображение всех возможных отношений (объединение, пересечение, разность, симметрическая разность) нескольких (часто — трёх) подмножеств универсального множества. На диаграммах Венна универсальное множество U{\displaystyle U} изображается множеством точек некоторого прямоугольника, в котором располагаются в виде кругов или других простых фигур все остальные рассматриваемые множества^[1][2].

Диаграммы Венна применяются при решении задач вывода логических следствий из посылок, выразимых на языке формул классического исчисления высказываний и классического исчисления одноместных предикатов^[3], для :

• описания функционирования формальных и сетей из них^[4]
• синтеза надежных сетей из не вполне надежных элементов^[5],
• построения управляющих и самоуправляющихся систем и блочного анализа и синтеза сложных устройств^[6],
• получения логических следствий из заданной информации, минимизации формул исчислений
  [7]^[8].

Диаграммы Венна при помощи n{\displaystyle n} фигур изображают все 2n{\displaystyle 2^{n}} комбинаций n{\displaystyle n} свойств, то есть конечную булеву алгебру^[9]. При n=3{\displaystyle n=3} диаграмма Эйлера — Венна обычно изображается в виде трёх кругов с центрами в вершинах равностороннего треугольника и одинаковым радиусом, приблизительно равным длине стороны треугольника.

Дальнейшим развитием аппарата диаграмм Венна в классическом исчислении высказываний является аппарат ^[10], понятие сети диаграмм, использующей диаграммы Венна как операторы^[11].

Они появились в сочинениях английского логика Джона Венна (1834—1923), подробно изложившего их в книге «Символическая логика», изданной в Лондоне в 1881 году.

Связь диаграмм Эйлера и Венна[ | ]

Пример получения произвольных кругов Эйлера из диаграмм Венна с пустыми (чёрными) множествами 22 (из 256) существенно различных диаграмм Венна с 3 кругами (сверху) и соответствующие им диаграммы Эйлера (снизу)

Диаграммы Эйлера в отличие от диаграмм Эйлера — Венна изображают отношения между множествами: непересекающиеся множества изображены непересекающимися кругами, а подмножества изображены вложенными кругами.

Диаграммы Венна основаны на с

encyclopaedia.bid

Диаграммы Венна | Понятия и категории

ДИАГРАММЫ ВЕННА — графический способ задания и анализа логико-математических теорий и их формул. Строятся путем разбиения части плоскости на ячейки (подмножества) замкнутыми контурами (кривыми Жордана). В ячейках представляется информация, характеризующая рассматриваемую теорию или формулу. Цель построения диаграмм не только иллюстративная, но и операторная — алгоритмическая переработка информации. Аппарат диаграмм Венна обычно используется вместе с аналитическим.

Способ разбиения, количество ячеек, а также проблемы записи в них информации зависят от рассматриваемой теории, которая тоже может вводиться (описываться) графически — некоторыми диаграммами Венна, задаваемыми первоначально, в частности, вместе с алгоритмами их преобразований, когда одни диаграммы могут выступать как операторы, действующие на другие диаграммы. Например, в случае классической логики высказываний для формул, составленных из п различных пропозициональных переменных, часть плоскости (универсум) делится на 2″ ячеек, соответствующих конституэнтам (в конъюнктивной или в дизъюнктивной форме). Диаграммой Венна каждой формулы считается такая плоскость, в ячейках которой ставится (или не ставится) звездочка *. Так, формулу

(¬ а& ¬ b&c) V (а&¬ b&c) V (¬ a&b&¬ c)

с тремя пропозициональными переменными a, b и c определяет диаграмма, изображенная на рисунке, где звездочки в ячейках соответствуют конъюнктивным составляющим этой совершенной нормальной дизъюнктивной формулы. Если отмеченных звездочками ячеек нет, то диаграмме Венна сопоставляется, напр., тождественно ложная формула, скажем (a&¬ a).

Индуктивный способ разбиения плоскости на 2″ ячеек восходит к трудам английского логика Дж. Венна, называется способом Венна и состоит в следующем:

1. При n = 1, 2, 3 очевидным образом используются окружности. (На приведенном рисунке n = 3.)

2. Предположим, что при n = k (k ≥ 3), указано такое рас-положение к фигур, что плоскость разделена на 2k ячеек.

Тогда для расположения k+1 фигуры на этой плоскости достаточно, во-первых, выбрать незамкнутую кривую (ср без точек самопересечения, т.е. незамкнутую кривую Жордана, принадлежащую границам всех 2k ячеек и имеющую с каждой из этих границ только один общий кусок. Во-вторых, обвести φ замкнутой кривой Жордана Ψ k+1 так, чтобы кривая Ψ k+1 проходила через все 2k ячейки и пересекала границу каждой ячейки только два раза. Таким образом получится расположение n= k+1 фигур такое, что плоскость разделится на 2k+1 ячеек.

Для представления других логико-математических теорий метод венновских диаграмм расширяется. Сама теория записывается так, чтобы выделить элементы ее языка в пригодной для графического изображения форме. Напр., атомарные формулы классической логики предикатов записываются как слова вида P(Y1..Yr), где P — предикатная, а Y1,…, Yr — предметные переменные, не обязательно различные; слово Y1,…, Yr — предметный инфикс. Очевидный теоретико-множественный характер диаграмм Венна позволяет представлять и исследовать с их помощью, в частности, теоретико-множественные исчисления, напр., исчисление ZF теории множеств Цермело-Френкеля. Графические методы в логике и математике развивались издавна. Таковы, в частности, логический квадрат, круги Эйлера и оригинальные диаграммы Л. Кэрролла. Однако метод диаграмм Венна существенно отличается от известного метода кругов Эйлера, используемого в традиционной силлогистике. В основе венновских диаграмм лежит идея разложения булевской функции на конституэнты — центральная в алгебре логики, обуславливающая их оперативный характер. Свои диаграммы Венн применял прежде всего для решения задач логики классов. Его диаграммы можно эффективно использовать и для решения задач логики высказываний и предикатов, обзора следствий из посылок, решения логических уравнений, а также других вопросов, вплоть до проблемы разрешимости. Аппарат диаграмм Венна находит применение в приложениях математической логики и теории автоматов, в частности при решении задач, связанных с нейронными цепями и проблемой синтеза надежных схем из относительно мало надежных элементов.

А. С. Кузичев

Новая философская энциклопедия. В четырех томах. / Ин-т философии РАН. Научно-ред. совет: В.С. Степин, А.А. Гусейнов, Г.Ю. Семигин. М., Мысль, 2010, т. I, А — Д, с. 645.

Литература:

Venn J. Symbolic logic. L., 1881. Ed. 2, rev. L., 1894;

Кузичев А. С. Диаграммы Венна. История и применения. М., 1968;

Он же. Решение некоторых задач математической логики с помощью диаграмм Венна. — В кн.: Исследование логических систем. М., 1970.

ponjatija.ru

Диаграммы Венна — это… Что такое Диаграммы Венна?



Диаграммы Венна

Пример диаграммы Эйлера. B — живое существо, A — человек, C — неживая вещь.

Круги́ Э́йлера^[1] — геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между подмножествами, для наглядного представления. Изобретены Эйлером. Используется в математике, логике, менеджменте и других прикладных направлениях.

Важный частный случай кругов Эйлера — диаграммы Эйлера — Венна, изображающие все 2ⁿ комбинаций n свойств, то есть конечную булеву алгебру. При n = 3 диаграмма Эйлера — Венна обычно изображается в виде трёх кругов с центрами в вершинах равностороннего треугольника и одинаковым радиусом, приблизительно равным длине стороны треугольника.

При решении целого ряда задач Леонард Эйлер использовал идею изображения множеств с помощью кругов. Однако, этим методом ещё до Эйлера пользовался выдающийся немецкий философ и математик Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646—1716). Лейбниц использовал их для геометрической интерпретации логических связей между понятиями, но при этом всё же предпочитал использовать линейные схемы.^[2]

Но достаточно основательно развил этот метод сам Л. Эйлер. Методом кругов Эйлера пользовался и немецкий математик Эрнст Шрёдер (1841—1902) в книге «Алгебра логики». Особенного расцвета графические методы достигли в сочинениях английского логика Джона Венна (1843—1923), подробно изложившего их в книге «Символическая логика», изданной в Лондоне в 1881 году. Поэтому такие схемы иногда называют Диаграммы Эйлера — Венна.

Примечания

1. ↑ «Круги…» — это условный термин, вместо кругов могут быть любые многомерные фигуры, иерархически расположенные в пространстве, то есть одни фигуры поглощают либо часть других фигур, либо полностью.
2. ↑ Leibniz G. W. Opuscules et fragments inédits de Leibniz. — Paris, 1903. — p. 293—321.

См. также

Ссылки

Wikimedia Foundation. 2010.

• Диаграмма спектр — светимость
• Диаграммы Пурбе

Смотреть что такое «Диаграммы Венна» в других словарях:

• ДИАГРАММЫ ВЕННА —     ДИАГРАММЫ ВEHHА графический способ задания и анализа логико математических теорий и их формул. Строятся путем разбиения части плоскости на ячейки (подмножества) замкнутыми контурами (кривьми Жордана). В ячейках представляется информация,… …   Философская энциклопедия

• диаграммы венна — геометрическое наглядное представление отношений между классами (объемами понятий) в булевой алгебре с помощью кругов или иных фигур. Д. В. были введены в логику в конце XIX в. англ. логиком Дж. Венном. Элемент 1 булевой алгебры представляется… …   Словарь терминов логики

• Венна диаграммы — [Venn diagrams] способ графического изображения множеств. Конечное множество может быть условно представлено как совокупность точек, окруженных подходящей фигурой, например, кругом, квадратом или треугольником. Таким образом могут быть… …   Экономико-математический словарь

• Венна диаграммы — Способ графического изображения множеств. Конечное множество может быть условно представлено как совокупность точек, окруженных подходящей фигурой, например, кругом, квадратом или треугольником. Таким образом могут быть проиллюстрированы… …   Справочник технического переводчика

• ВЕННА ДИАГРАММЫ — геометрич. (точнее – топологич.) иллюстрация отношений между классами (объемами понятий) с помощью системы взаимно пересекающихся кругов (или др. контуров), введенная в конце 19 в. англ. логиком Дж. Венном (J. Venn). Лит.: Wenn J., Symbolic logic …   Философская энциклопедия

• ВЕННА ДИАГРАММА — графический способ изображения формул математич. логики, прежде всего формул исчисления высказываний. В. д. ппеременных классич. логики высказываний представляет собой такой набор замкнутых контуров (го меоморфных окружностям), к рый разбивает… …   Математическая энциклопедия

• Диаграммы Эйлера—Венна — Пример диаграммы Эйлера. B  живое существо, A  человек, C  неживая вещь. Круги Эйлера[1]  геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между подмножествами, для наглядного представления. Изобретены Эйлером. Используется в… …   Википедия

• Логические диаграммы —         графический (геометрический, точнее топологический) аппарат математической логики (См. Логика). Идея Л. д. была известна ещё в средние века, развивалась затем Г. В. Лейбницем, но впервые достаточно подробно и обоснованно была изложена Л.… …   Большая советская энциклопедия

• Диаграмма Венна — Диаграмма Венна, показывающая все пересечения греческого, русского и латинского алфавитов (буквы заглавные) Диаграмма Венна …   Википедия

• Венн, Джон — Джон Венн John Venn Джон Венн Дата рождения …   Википедия

dic.academic.ru

Диаграмма Венна — WiKi

Диаграмма Венна (также используется название диаграмма Эйлера — Венна) — схематичное изображение всех возможных отношений (объединение, пересечение, разность, симметрическая разность) нескольких (часто — трёх) подмножеств универсального множества. На диаграммах Венна универсальное множество U{\displaystyle U} изображается множеством точек некоторого прямоугольника, в котором располагаются в виде кругов или других простых фигур все остальные рассматриваемые множества^[1][2].

Диаграммы Венна применяются при решении задач вывода логических следствий из посылок, выразимых на языке формул классического исчисления высказываний и классического исчисления одноместных предикатов^[3], для :

• описания функционирования формальных нейронов Мак-Каллока и сетей из них^[4]
• синтеза надежных сетей из не вполне надежных элементов^[5],
• построения управляющих и самоуправляющихся систем и блочного анализа и синтеза сложных устройств^[6],
• получения логических следствий из заданной информации, минимизации формул исчислений^[7][8].

Диаграммы Венна при помощи n{\displaystyle n} фигур изображают все 2n{\displaystyle 2^{n}} комбинаций n{\displaystyle n} свойств, то есть конечную булеву алгебру^[9]. При n=3{\displaystyle n=3} диаграмма Эйлера — Венна обычно изображается в виде трёх кругов с центрами в вершинах равностороннего треугольника и одинаковым радиусом, приблизительно равным длине стороны треугольника.

Дальнейшим развитием аппарата диаграмм Венна в классическом исчислении высказываний является аппарат вероятностных диаграмм ^[10], понятие сети диаграмм, использующей диаграммы Венна как операторы^[11].

Они появились в сочинениях английского логика Джона Венна (1834—1923), подробно изложившего их в книге «Символическая логика», изданной в Лондоне в 1881 году.

  Пример получения произвольных кругов Эйлера из диаграмм Венна с пустыми (чёрными) множествами   22 (из 256) существенно различных диаграмм Венна с 3 кругами (сверху) и соответствующие им диаграммы Эйлера (снизу)

Диаграммы Эйлера в отличие от диаграмм Эйлера — Венна изображают отношения между множествами: непересекающиеся множества изображены непересекающимися кругами, а подмножества изображены вложенными кругами.

Диаграммы Венна основаны на существенно иной идее, чем круги Эйлера^[12]. Круги Эйлера возникли на основе идей силлогистики Аристотеля. Диаграммы Венна были созданы для решения задач математической логики. Их основная идея разложения на конституенты возникла на основе алгебры логики^[12].

На рис. ниже даны диаграммы Венна и Эйлера для 3 множеств однозначных натуральных чисел:

• A={1,2,5}{\displaystyle A=\{1,\,2,\,5\}} 
• B={1,6}{\displaystyle B=\{1,\,6\}} 
• C={4,7}{\displaystyle C=\{4,\,7\}} 

• диаграмма Эйлера

• диаграмма Венна

Иногда, если какая-то комбинация свойств соответствует пустому множеству, то эту комбинацию закрашивают. На рисунке справа даны 22 существенно различных диаграмм Венна с 3 кругами (сверху) и соответствующие им диаграммы Эйлера (снизу). Некоторые из диаграмм Эйлера не типичны, а некоторые даже эквивалентны диаграммам Венна. Черные области указывают на то, что в них нет элементов (пустые множества).

ru-wiki.org

Диаграмма Венна

Диаграмма Венна (также используется название диаграмма Эйлера — Венна) — схематичное изображение всех возможных отношений (объединение, пересечение,разность, симметрическая разность) нескольких (часто — трёх) подмножеств универсального множества. На диаграммах Венна универсальное множество U{\displaystyle U} изображается множеством точек некоторого прямоугольника, в котором располагаются в виде кругов или других простых фигур все остальные рассматриваемые множества^[1][2].

Диаграммы Венна применяются при решении задач вывода логических следствий из посылок, выразимых на языке формул классического исчисления высказываний и классического исчисления одноместных предикатов^[3], для :

• описания функционирования формальных нейронов Мак-Каллока и сетей из них^[4]
• синтеза надежных сетей из не вполне надежных элементов^[5],
• построения управляющих и самоуправляющихся систем и блочного анализа и синтеза сложных устройств^[6],
• получения логических следствий из заданной информации, минимизации формул исчислений^[7][8].

Диаграммы Венна при помощи

www.wikiplanet.click