Дифференциальные уравнения частное решение: Частное решение дифференциального уравнения

Дифференциальные уравнения 02

Решение типового варианта контрольной работы. Дифференциальные уравнения.

Задание 1. Найти общее решение дифференциальных уравнений.

А) .

Решение. Попытаемся разделить переменные интегрирования. Для этого вынесем за скобки общий множитель:, разнесем слагаемые: ; выражая из полученного уравнения убедимся в том, что и, значит, наше уравнение является дифференциальным уравнением в разделяющихся переменных. Разделим переменные. .

Проинтегрируем получившееся выражение по соответствующим переменным: .

Получим , .

Таким образом, мы убедились в том, что — общий интеграл заданного уравнения.

Ответ: .

Б).

Решение. Убедимся в том, что переменные разделить не удается. Поэтому поделим обе части уравнения на X.

— Убедимся в том, что производная в представленном уравнении зависит только от отношения , то есть и, значит, это однородное дифференциальное уравнение 1-го порядка.

Будем решать его с помощью соответствующей замены.

Введем новую переменную .

;

;

; проинтегрируем выражение

;

;

;

;

— общее решение уравнения.

Ответ: .

В).

Решение. Начинаем вновь с проверки не разделятся ли переменные интегрирования. Убеждаемся, что это не так, и, кроме того, однородным оно тоже не является. Это линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка, так как имеет структуру вида: . Будем решать его с помощью стандартной в этом случае, замены: .

;

;

;

;

;

;

;

;

;

— общее решение уравнения.

Ответ: .

Задание 2. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям .

Решение. — неоднородное линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами 2-ого порядка. Решение будем искать в виде суммы решений: общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения , которое будем искать по виду правой части.

Начнем с отыскания .

Составим характеристическое уравнение: .

Следовательно, общее решение однородного уравнения: .

будем искать в виде . — частное решение уравнения, поэтому оно превращает его в верное числовое тождество. Подставим его в уравнение и вычислим А. .

. Значит . Таким образом, общее решение неоднородного уравнения . Для вычисления частного решения определим значения констант исходя из начальных условий:

; ;

;

Ответ: .

Задание 3. Найти общее решение системы дифференциальных уравнений.

Решение. Сведем предложенную систему к одному дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами второго порядка. Для этого продифференцируем первое уравнение системы по T

:

и заменим воспользовавшись для этого вторым уравнением системы:

. Окончательно .

— однородное линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Составим характеристическое уравнение: .

Следовательно, решение: . Из первого уравнения , поэтому ;

.

Ответ: ; .

Задание 4. Записать уравнение кривой, проходящей через точку, для которой треугольник, образованный осью Оу, касательной к кривой в произвольной её точке и радиус-вектором точки касания, равнобедренный (причем основанием его служит отрезок касательной от точки касания до оси Оу).

Решение. Пусть искомое уравнение кривой. Проведем касательную MN в произвольной точке M(X;Y) кривой до пересечения с осью Оу В точке N. Согласно условию, должно выполняться равенство, но , а найдем из уравнения , полагая

X=0, то есть.

Итак, приходим к однородному уравнению .

Полагая Y=Tx (Y’=T’X+T), получим или , откуда – данное решение представляет собой семейство парабол, осью которых является ось Оу.

Определим значение константы С исходя из того, что кривая проходит через точку . Подставляя координаты заданной точки в вышенайденное общее решение, получим ; из двух значений С=0 И С=2 Нас устраивает лишь второе, так как при С=0 Парабола оказывается вырожденной. Итак, искомое решение , или .

Ответ: .

Задание 5.

А) Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Так как производная в данном случае является функцией, зависящей только от переменной X, то его решение может быть получено в результате последовательного интегрирования: .

Ответ. .

Б) Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Поскольку данное уравнение не содержит в явном виде переменной , то замена позволяет преобразовать его в уравнение первого порядка с разделяющимися переменными .

;

. Учтя, что – произвольная постоянная, то полученное решение можно упростить: .

Ответ. .

В) Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Так как решаемое уравнение не содержит явно переменной , будем получать его решение с помощью введения новой переменной , откуда , так как в этом случае мы вычисляем производную сложной функции. Заданное уравнение в результате такой замены будет иметь вид: . Решение является особым, и, делая обратную замену в этой ситуации, запишем: . Оставшееся уравнение является уравнением в разделяющихся переменных: . Интегрируя последнее равенство, получим . Выразим теперь функцию : . Делая вновь обратную замену , получим: . В данном уравнении можно разделить переменные: . Интегрируя последнее выражение, получим . Получившаяся неявная функция также является решением заданного дифференциального уравнения.

Ответ. ; .

Задание 6. Решить уравнение .

Решение. Правая часть уравнения представляет собой дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Выпишем общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка . Так как корнями соответствующего характеристического уравнения являются числа , то общее решение данного уравнения, как известно, имеет вид . Правая часть исходного уравнения не позволяет найти частное решение неоднородного уравнения методом подбора (или неопределенных коэффициентов) поэтому воспользуемся для его нахождения методом вариации произвольных постоянных. Поэтому будем искать частное решение в виде: , предполагая, что здесь и (мы воспользовались видом найденной фундаментальной системы решений однородного уравнения), а и Решения следующей системы дифференциальных уравнений:

таким образом .

Из второго уравнения выпишем . Проинтегрировав, получим (постоянную интегрирования будем полагать равной нулю). Теперь, подставляя значение в первое уравнение системы, получим дифференциальное уравнение для функции : . Вновь интегрируя, запишем: .

Таким образом, частное решение исходного уравнения имеет вид , выпишем общее решение неоднородного дифференциального уравнения

Ответ. .

< Предыдущая		Следующая >

Понятие дифференциального уравнения.

Общее и частное решения

Учреждение образования «Белорусская государственная

сельскохозяйственная академия»

Кафедра высшей математики

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

Конспект лекции для студентов бухгалтерского факультета

заочной формы получения образования (НИСПО)

Горки, 2013

Дифференциальные уравнения первого порядка

При изучении различных явлений часто не удаётся найти закон, который непосредственно связывает независимую переменную и искомую функцию, но можно установить связь между искомой функцией и её производными.

Соотношение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и её производные, называется дифференциальным уравнением:

.

(1)

Здесь x – независимая переменная, y – искомая функция, — производные искомой функции. При этом в соотношении (1) обязательно наличие хотя бы одной производной.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в уравнение.

Рассмотрим дифференциальное уравнение

. (2)

Так в это уравнение входит производная только первого порядка, то оно называется дифференциальным уравнением первого порядка.

Если уравнение (2) можно разрешить относительно производной и записать в виде

, (3)

то такое уравнение называется дифференциальным уравнением первого порядка в нормальной форме.

Во многих случаях целесообразно рассматривать уравнение вида

, (4)

которое называется дифференциальным уравнением первого порядка, записанным в дифференциальной форме.

Так как , то уравнение (3) можно записать в виде или , где можно считать и . Это означает, что уравнение (3) преобразовано в уравнение (4).

Запишем уравнение (4) в виде . Тогда , , , где можно считать , т.е. получено уравнение вида (3). Таким образом, уравнения (3) и (4) равносильны.

Решением дифференциального уравнения (2) или (3) называется любая функция , которая при подстановке её в уравнение (2) или (3) обращает его в тождество:

или .

Процесс нахождения всех решений дифференциального уравнения называется его интегрированием, а график решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой этого уравнения.

Если решение дифференциального уравнения получено в неявном виде , то оно называется интегралом данного дифференциального уравнения.

Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется семейство функций вида , зависящее от произвольной постоянной С, каждая из которых является решением данного дифференциального уравнения при любом допустимом значении произвольной постоянной С. Таким образом, дифференциальное уравнение имеет бесчисленное множество решений.

Частным решением дифференциального уравнения называется решение, получаемое из формулы общего решения при конкретном значении произвольной постоянной С, включая .

Уравнение (2) имеет бесчисленное множество решений. Чтобы из этого множества выделить одно решение, которое называется частным, нужно задать некоторые дополнительные условия.

Задача отыскания частного решения уравнения (2) при заданных условиях называется задачей Коши. Эта задача является одной из важнейших в теории дифференциальных уравнений.

Формулируется задача Коши следующим образом: среди всех решений уравнения (2) найти такое решение , в котором функция принимает заданное числовое значение , если независимая переменная x принимает заданное числовое значение , т. е.

, , (5)

где D – область определения функции .

Значение называется начальным значением функции, а – начальным значением независимой переменной. Условие (5) называется начальным условием или условием Коши.

С геометрической точки зрения задачу Коши для дифференциального уравнения (2) можно сформулировать следующим образом: из множества интегральных кривых уравнения (2) выделить ту, которая проходит через заданную точку .

Дифференциальные уравнения. Общее и частное решение дифференциальных уравнений. Уравнения с разделяющимися переменными.

 

Изучению этой темы предшествуют разделы «Дифференциальное исчисление» и «Интегральное исчисление».

 

Вспомогательные материалы:

Основные соотношения:

 

Таблица интегралов

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13. ,

Свойства интегралов:

 

 

1.1. Основные понятия теории обыкновенных дифференциальных уравнений.

 

Дифференциальные уравнения (ДУ) являются одним из самых употребительных средств математического моделирования и используются при изучении процессов, в которых участвуют такие величины как скорость и ускорение. Термин «дифференциальное уравнение» принадлежит немецкому математику Готфриду Вильгельму Лейбницу (1676 г.).

 

Определение 1. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную x, искомую функцию y = f(x) и ее производные f ‘(x), f »(x), …, f⁽ⁿ⁾(x).

ДУ в общем виде можно записать так:

 

Определение 2. Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение.

 

Пример.

 

 

Определение 3. Решением (интегралом) ДУ называется любая функция y = j(x) которая при подстановке в уравнение (1), превращает его в тождество.

 

Например, решением уравнения y = f ‘(x) является функция y = F(x) – первообразная для f(x).

Определение 4. Решение ДУ называется общим, если оно содержит столько произвольных постоянных C₁, C₂, …, C_n, каков порядок n этого уравнения y = j (x, C₁, C₂, …, C_n).

 

Задача. Проверить, будет ли указанная функция являться решением ДУ

 

Определение 5. Частным решением ДУ называется решение, полученное из общего при различных числовых значениях произвольных постоянных.

 

Обычно частное решение получают из общего не прямым заданием значений произвольным постоянным C₁, C₂, …, C_n, а исходя из n начальных условий, которым должно удовлетворять искомое частное решение y = j(x):

 

Задача нахождения частного решения, удовлетворяющего начальным условиям, называется задачей Коши.

Процесс отыскания решения ДУ называется его интегрированием, а график решения ДУ – интегральной кривой. С геометрической точки зрения общее решение ДУ представляет собой семейство кривых, а частное решение – отдельную кривую этого семейства.

 

Некоторые задачи, приводящие к составлению дифференциальных уравнений (см. учебник Н.Л. Лобоцкой. Основы высшей математики):

— закон свободных незатухающих колебаний ; m — где масса тела, s — величина смещения тела от положения равновесия, t – время, k – коэффициент упругости;

— закон охлаждения тела , где Т_c – температура окружающей среды, t –время, k – коэффициент пропорциональности, зависящий от физических свойств тела и его геометрической формы,

— закон размножения бактерий ; k – коэффициент пропорциональности, x — количество бактерий, t — время.

— закон роста клеток с течением времени , где l — длина клетки, t – время, α и β – постоянные, характеризующие процессы синтеза и распада.

1.2. ДУ первого порядка с разделяющимися переменными

 

Определение 6. Уравнение вида

 

называется ДУ с разделяющимися переменными. Оно может быть приведено к виду:

 

 

Это выражение является общим решением .

 

Примеры.

 

 

1.3. Дифференциальные уравнения второго порядка.

 

Рассмотрим ДУ вида y » = f(x,y,y’).

Общим решением ДУ второго порядка является функция y = j(x, C₁, C₂), где С₁ и С₂ не зависящие от х произвольные постоянные.

 

Часто встречаются линейные однородные ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами вида:

, где pи q– действительные числа

или . (1.2)

В уравнениях (1.2) может быть p=0 или q=0, или p=0 и q=0.

 

 

Теорема. Пусть дано ДУ и его характеристическое уравнение имеет вид r²+py+q = 0, тогда при решении этого уравнения возможны три случая:

1) если корни действительные r₁ ≠ r₂, то:

; (1.3)

2) если корень один (действительный), т.е. , то:

; (1.4)

3) если действительных корней нет, т.е. (мнимые или комплексные), то:

y= e^αx(C_1⸱cosβx+ C_2⸱sinβx) (1.5)

В уравнении буквой «i» обозначена мнимая единица, квадрат которой равен «-1», т.е. . Например: .

 

 

 

 

	|	следующая лекция ==>
Вестибулярная сенсорная система	|

---

Дата добавления: 2017-10-04; просмотров: 1163; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

---

Дифференциальные уравнения — Уравнения с частными производными

Показать мобильное уведомление Показать все примечания Скрыть все примечания

Уведомление для мобильных устройств

Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( т. е. вы, вероятно, используете мобильный телефон). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку вашего устройства (должна быть возможность прокрутки, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

В этой главе мы очень кратко рассмотрим один из наиболее распространенных методов решения простых дифференциальных уравнений в частных производных. Мы рассмотрим метод разделения переменных.

Прежде чем мы начнем эту главу, мы должны ясно дать понять, что мы не будем делать ничего, кроме поверхностного изучения не только дифференциальных уравнений в частных производных, но и метода разделения переменных. Чтобы охватить большинство основных методов решения дифференциальных уравнений в частных производных, потребуется несколько занятий. Цель этой главы — не более чем дать вам представление о предмете, и если вы хотите узнать больше, возможно, вашим следующим шагом будет посещение класса по уравнениям в частных производных.

Также обратите внимание, что в нескольких разделах мы будем интенсивно использовать некоторые результаты из предыдущей главы. Собственно, в этом и был смысл выполнения некоторых примеров, которые мы делали там. Выполнение их в некоторых случаях значительно уменьшит объем работы, требуемой в некоторых примерах, которые мы будем работать в этой главе. Когда мы действительно используем предыдущий результат, мы очень четко показываем, откуда берется результат.

Вот краткий перечень тем, затронутых в этой главе.

Уравнение теплопроводности. В этом разделе мы сделаем частичный вывод уравнения теплопроводности, которое можно решить для определения температуры одномерного стержня длиной \(L\). Кроме того, мы приводим несколько возможных граничных условий, которые можно использовать в этой ситуации. В этом разделе мы также определяем лапласиан и даем версию уравнения теплопроводности для двух- или трехмерных ситуаций.

Волновое уравнение. В этом разделе мы делаем частичный вывод волнового уравнения, которое можно использовать для нахождения одномерного смещения вибрирующей струны. Кроме того, мы также даем двухмерную и трехмерную версии волнового уравнения.

Терминология. В этом разделе мы кратко рассмотрим некоторые термины, которые будем использовать в оставшейся части этой главы. В частности, мы определим линейный оператор, линейное уравнение в частных производных и однородное уравнение в частных производных. Мы также даем краткое напоминание о принципе суперпозиции.

Разделение переменных. В этом разделе показано, как метод разделения переменных можно применить к уравнению в частных производных, чтобы свести уравнение в частных производных к двум обыкновенным дифференциальным уравнениям. Мы применяем метод к нескольким уравнениям в частных производных. Мы, однако, не идем дальше в процессе решения дифференциальных уравнений в частных производных. Это будет сделано в последующих разделах. Смысл этого раздела только в том, чтобы проиллюстрировать, как работает метод.

Решение уравнения теплопроводности. В этом разделе мы рассмотрим процесс полного разделения переменных, включая решение двух обыкновенных дифференциальных уравнений, порождаемых процессом. Мы сделаем это, решив уравнение теплопроводности с тремя различными наборами граничных условий. Включен пример решения уравнения теплопроводности на стержне длиной \(L\), но вместо этого на тонком круглом кольце.

Уравнение теплопроводности с ненулевыми температурными границами. В этом разделе мы кратко рассмотрим решение уравнения теплопроводности, в котором граничные условия фиксированы, ненулевая температура. Обратите внимание, что это отличается от предыдущего раздела, когда мы обычно требовали, чтобы граничные условия были фиксированными и нулевыми.

Уравнение Лапласа. В этом разделе мы обсудим решение уравнения Лапласа. Как мы увидим, это именно то уравнение, которое нам нужно было бы решить, если бы мы хотели найти равновесное решение (, т.е. , не зависящее от времени) для двумерного уравнения теплопроводности без источников. Мы также переведем уравнение Лапласа в полярные координаты и решим его на круге радиуса \(a\).

Вибрирующая струна. В этом разделе мы решим одномерное волновое уравнение, чтобы получить смещение вибрирующей струны.

Краткое изложение метода разделения переменных. В этом заключительном разделе мы даем краткий обзор метода разделения переменных для решения дифференциальных уравнений в частных производных.

Руководство по решению дифференциальных уравнений

Дифференциальное уравнение уравнение с функцией и одна или несколько ее производных:

Пример: уравнение с функцией y и ее производной dy dx  

В нашем мире вещи меняются, и , описывающий, как они меняются, часто заканчивается дифференциальным уравнением.

реальных примеров, где Используемые дифференциальные уравнения включают рост населения, электродинамику, тепловое поток, планетарное движение, экономические системы и многое другое!

Решение

Дифференциальное уравнение может быть очень естественным способом описания чего-либо.

Пример: Рост населения

Это короткое уравнение говорит о том, что население «N» увеличивается (в любой момент) как скорость роста, умноженная на население в этот момент:

дН дт = рН

Но это не очень полезно.

Нам нужно решить это!

Мы решим это, когда откроем функцию y (или набор функций y), который удовлетворяет уравнению, и тогда его можно успешно использовать.

Пример: продолжение

В нашем примере решается с помощью этого уравнения:

N(t) = N ₀ e ^rt

Что там написано? Давайте используем его, чтобы увидеть:

С t в месяцах, население, которое начинается с 1000 ( N ₀ ) и скорость роста 10% в месяц ( r ) мы получаем:

N (1 месяц) = 1000e ^0,1×1 = 1105

N(6 месяцев) = 1000e ^0,1×6 = 1822

и т. д.

 

Нет волшебного способа решить все дифференциальные уравнения.

Но на протяжении тысячелетий великие умы опирались на работу друг друга и открыли разные методы (возможно, длинные и сложные!) решения некоторых типов дифференциальных уравнений.

Итак, давайте возьмем посмотрите на некоторые различные типов дифференциальных уравнений и как их решить:

Разделение переменных

Разделение переменных может использоваться, когда:

• Все члены y (включая dy) могут быть перемещены в одну сторону уравнения и
• Все x членов (включая dx) на другую сторону.

Если это так, мы можем интегрировать и упростить, чтобы получить решение.

Линейный номер первого порядка

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка относятся к следующему типу:

dy dx + P(x)y = Q(x)

Где P(x) и Q(x) являются функциями x .

Они «Первого Ордена», когда есть только dy DX (не D ² Y DX ² или D ³ Y DX ³ и и т. Д. 4 00044.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.404. 4000.404.404.4. 40003 9004 40.4. Дифференциальное уравнение часто трудно решить, но иногда мы можем аппроксимировать его линейным дифференциальным уравнением к найти более простое решение.

Однородные уравнения

Однородные дифференциальные уравнения выглядят так:

dy dx = F (  y x )

Мы можем решить их, используя замену переменных:

v = y x

, которые затем можно решить с помощью разделения переменных.

Уравнение Бернулли

Уравнения Бернуля имеют следующий общий вид:

dy dx + P(x)y = Q(x)y ⁿ
где n — любое действительное число, но не 0 или 1

• Когда n = 0 уравнение может быть решено как линейное уравнение первого порядка Дифференциальное уравнение.
• При n = 1 уравнение можно решить, используя Разделение Переменные.

Для других значений n мы можем решить его, подставив u = y ¹⁻ⁿ и превратив его в линейное дифференциальное уравнение (а затем решив его).

Уравнение второго порядка

второго порядка (однородные) имеют тип:

d ² y dx + P(x) dy dx + Q(x)y = 0

90 д ² у дх ²

общее уравнение второго порядка выглядит следующим образом: много характерных случаев среди этих уравнения.

Классифицируются как однородные (Q(x)=0), неоднородные, автономные, постоянные коэффициенты, неопределенные коэффициенты и т. д.

Для неоднородных уравнений общий раствор есть сумма:

• раствор соответствующего однородного уравнение и
• частный раствор неоднородное уравнение

Неопределенные коэффициенты

Не определено Метод коэффициентов работает для неоднородного уравнения следующим образом:

d ² y dx ² + P(x) dy dx + Q(x)y = f(x)

, где f(x) равно полиномиальная, экспоненциальная, синусоидальная, косинусная или линейная комбинация этих . (Более общую версию см. ниже в разделе «Изменение параметров»)

Этот метод также включает в себя предположение !

Изменение параметров

Вариация Параметров немного сложнее, но работает с более широким набором функций, чем предыдущий Undetermined. Коэффициенты .

Точные уравнения и интегрирующие коэффициенты

Точные уравнения и коэффициенты интегрирования можно использовать для дифференциального уравнения первого порядка, подобного этому:

M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0

, который должен иметь некоторую специальную функцию I(x, y), чьи частные производные можно поставить вместо M и N следующим образом:

∂I ∂x dx + ∂I ∂y dy = 0

Наша задача — найти эту волшебную функцию I(x, y), если она существует.

Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) и уравнения в частных производных (УЧП)

Все методы до сих пор известны как Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДА).

Термин обычный используется в отличие от термина частичный для обозначения производных только по одной независимой переменной.

Дифференциальные уравнения с неизвестными функциями многих переменных и их частные производные относятся к другому типу и требуют отдельных методов для решить их.

Они называются уравнениями в частных производных (УЧП), и извините, но у нас пока нет страницы по этой теме.

 

4.2: Уравнения с частными производными — Mathematics LibreTexts

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

Идентификатор страницы

106223

• Рассел Герман
• Университет Северной Каролины, Уилмингтон

В этом разделе мы введем некоторые общие дифференциальные уравнения в частных производных и увидим, как обсуждение таких уравнений естественным образом приводит к изучению краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений. {2} u\) 9{2} и+F(х, у, z, t) и\)

Таблица 4.1. Список общих дифференциальных уравнений в частных производных.

Давайте посмотрим на уравнение теплопроводности в одном измерении. Это могло бы описать теплопроводность в тонком изолированном стержне длиной \(L\). Он также может описывать распространение загрязняющих веществ в длинном узком потоке или движение транспорта по дороге. В задачах, связанных с диффузионными процессами, это уравнение вместо этого называют уравнением диффузии.

Типичная начально-краевая задача для уравнения теплопроводности состоит в том, что изначально имеется распределение температуры \(u(x, 0)=f(x)\). Поместив стержень в ледяную баню и предполагая, что поток тепла идет только через концы стержня, можно получить граничные условия \(u(0, t)=0\) и \(u(L, t)=0\ ). Конечно, мы имеем дело с температурой по Цельсию и предполагаем, что льда достаточно, чтобы постоянно поддерживать эту температуру на каждом конце. Таким образом, задача, которую необходимо решить, имеет вид 9.0003

Одномерное уравнение теплопроводности

\[\begin{array}{lcc}
\text {PDE} & u_{t}=k u_{x x} \quad 0 \text {IC} & u(x, 0)=f(x) & 0 \text {BC} & u(0, t)=0 & t>0 \\
& u (L, t)=0 & t>0
\end{array} \label{4.3} \]

Здесь \(k\) — постоянная теплопроводности, определяемая по свойствам стержня.

Еще одна проблема, которая возникнет в дальнейшем, касается вибрирующей струны. Нить длины \(L\) растянута горизонтально с закрепленными обоими концами. Подумайте о струне скрипки или струне гитары. Затем струна защипывается, придавая струне первоначальный профиль. Пусть \(u(x, t)\) — вертикальное смещение струны в позиции \(x\) и времени \(t\). Движение струны описывается одномерным волновым уравнением. Начально-краевая задача для этой задачи имеет вид 9{2} u_{x x} & 0 \mathrm{IC} & u(x, 0)=f(x) & 0 \mathrm{BC} & u(0, t)=0 & t>0 \\
& u(L, t)=0 & t>0
\end{array} \label{4. 4} \]

In эта задача \(c\) есть скорость волны в струне. Это зависит от массы на единицу длины струны и натяжения струны.

Нам хотелось бы увидеть, как решение таких задач, связанных с уравнениями в частных производных, естественным образом приведет к изучению краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений. Мы увидим это, когда попытаемся решить задачу уравнения теплопроводности 4.3. Мы будем использовать метод, обычно используемый при изучении линейных дифференциальных уравнений в частных производных, называемый 9{\sqrt{-\lambda} x} \label{4.8} \]

Здесь нужно быть немного осторожным. Цель состоит в том, чтобы заставить наши продуктовые решения удовлетворять как граничным, так и начальным условиям. Также следует отметить, что \(\lambda\) является произвольным и может быть положительным, нулевым или отрицательным. Сначала посмотрим, как граничные условия на \(и\) приводят к условиям на \(Х\).

Первое условие: \(u(0, t)=0\). Отсюда следует, что

\[X(0) T(t)=0 \nonnumber \]

для всех \(t\). {\prime \prime}=0\). Дважды интегрируя, находим 9{2} X=0 \nonumber \]

Общее решение:

\[X(x)=c_{1} \cos \mu x+c_{2} \sin \mu x. \nonumber \]

При \(x=0\) мы получаем \(0=c_{1}\). Это оставляет \(X(x)=c_{2} \sin \mu x\). В \(x=L\) мы находим

\(0=c_{2} \sin \mu L\).

Таким образом, либо \(c_{2}=0\), либо \(\sin \mu L=0. c_{2}=0\) снова приводят к тривиальному решению. Но, бывают случаи, когда синус равен нулю. А именно,

\[\mu L==n \pi, \quad n=1,2, \ldots \nonumber \]

Обратите внимание, что \(n=0\) не включено, так как это приводит к тривиальному решению . Кроме того, отрицательные значения \(n\) избыточны, так как функция синуса является нечетной функцией. 9{k \lambda_{n} t} \sin \dfrac{n \pi x}{L}, \quad n=1,2,3, \ldots, \label{4.11} \]

, где \(b_{ n}\) — произвольная константа. Однако они не обязательно удовлетворяют начальному условию \(u(x, 0)=f(x)\). Мы получаем

\[u_{n}(x, 0)=\sin \dfrac{n \pi x}{L}, \quad n=1,2,3, \ldots \nonumber \]

Итак, если наше начальное условие находится в одной из этих форм, мы можем выбрать правильный \(n\), и все готово.