Дифференциальные уравнения что такое: Дифференциальные уравнения — все самое интересное на ПостНауке

Содержание

Теория дифференциальных уравнений: определения и понятия

С этой темы мы рекомендуем начинать изучение теории дифференциальных уравнений. В одном разделе мы собрали все основные термины и определения, которые будут применяться при рассмотрении теоретической части. Для того, чтобы облегчить усвоение материала, мы приводим многочисленные примеры.

Дифференциальное уравнение

Определение 1

Дифференциальное уравнение – это уравнение, которое содержит неизвестную функцию под знаком производной или дифференциала.

Обыкновенное дифференциальное уравнение содержит неизвестную функцию, которая является функцией одной переменной. Если же переменных несколько, то мы имеем дело с уравнением в частных производных.

Имеет значение также порядок дифференциального уравнения, за который принимают максимальный порядок производной неизвестной функции дифференциального уравнения.

Пример 1

Обыкновенные дифференциальные уравнения 1-го, 2-го и 5-го порядков:

1) y’+1=0;2) d2ydx2+y=x·sinx;3)y(5)+y(3)=a·y, α∈R

Пример 2

Уравнения в частных производных 2-го порядка:

1) ∂2u∂t2=v2·∂2u∂x2+∂2u∂y2+∂2u∂z2, u=u(x,y,z,t), v∈R;2) ∂2u∂x2-∂2u∂y2=0, u=u(x,y)

С порядками ДУ разобрались. Далее мы будем в основном рассматривать обыкновенные дифференциальные уравнения n-ого порядка вида F(x,y,y’,y»,…,y(n))=0 или Fx,y,dydx,d2ydx2,…,dnydxn=0, в которых Ф(x, y) = 0 — это заданная неявно функция. В тех случаях, когда это будет возможно, неявную функцию мы будем записывать в ее явном представлении y = f(x).

Интегрирование дифференциального уравнения

Определение 2

Интегрирование дифференциального уравнения – это процесс решения этого уравнения.

Решением дифференциального уравнения является функция Ф(x, y)=0, которая задана неявно и которая обращает данное уравнение в тождество. В некоторых случаях нам нужно будет неявно заданную функцию у выражать через аргумент х явно.

Искать решение дифференциального уравнения мы всегда будем на интервале Х, который задается заранее.

В каких случаях мы будем учитывать интервал Х ? Обычно в условии задач он не упоминается. В этих случаях мы буде искать решение уравнения F(x,y,y’,y»,. ..,y(n)) для всех х, при которых искомая функция у и исходное уравнение будут иметь смысл.

Определение 3

Интеграл дифференциального уравнения – это название решения дифференциального уравнения.

Пример 3

Функции y=∫xdx или y=x22+1 можно назвать решением дифференциального уравнения y’=x.

У одного дифференциального уравнения может быть множество решений.

Пример 4

Функция y=x33 является решением ДУ y’=x2. Если мы подставим полученную функцию в исходное выражение, то получим тождество y’=x33=13·3×2=x2.

Вторым решением данного дифференциального уравнения является y=x33+1. Подстановка полученной функции в уравнение также превращает его в тождество.

Общее решение ДУ

Определение 4

Общее решение ДУ – это все множество решений данного дифференциального уравнения.

Также общее решение часто носит название общего интеграла ДУ.

Пример 5

Общее решение дифференциального уравнения y’=x2 имеет вид y=∫x2dx или y=x33+C, где C – произвольная постоянная.

Из общего интеграла ДУ y=x33+C мы можем прийти к двум решениям, которые мы привели в прошлом примере. Для этого нам нужно подставить значения С=0 и C=1.

Частное решение ДУ

Определение 5

Частное решение ДУ – это такое решение, которое удовлетворяет условиям, заданным изначально.

Пример 6

Для ДУ y’=x2 частным решением, которое будет удовлетворять условию y(1)=1, будет y=x33+23. Действительно, y’=x33+23’=x2 и y(1)=133+23=1.

К числу основных задач из теории дифференциальных уравнений относятся:

задачи Коши;
задачи нахождения общего решения ДУ при заданном интервале Х;
краевые задачи.

Особенностью задач Коши является наличие начальных условий, которым должно удовлетворять полученное частное решение ДУ. Начальные условия задаются следующим образом:

f(x0)=f0; f'(x0)=f1;f»(x0)=f2;…;f(n-1)(x0)=fn-1

где f0; f1; f2; …; fn-1 — это некоторые числа.

Особенностью краевых задач является наличие дополнительных условий в граничных точках x0 и x1, которым должно удовлетворять решение ДУ второго порядка: f(x0)=f0, f(x1)=f1 , где f0 и f1 — заданные числа. Такие задачи также часто называют граничными задачами.

Линейное обыкновенное ДУ n-ого порядка имеет вид:

fn(x)·y(n)+fn-1(x)·y(n-1)+…+f1(x)·y’+f0(x)·y=f(x)

При этом коэффициенты f0(x); f1(x); f2(x); …; fn(x) — это непрерывные функции аргумента х на интервале интегрирования.

Уравнение fn(x)·y(n)+fn-1(x)·y(n-1)+…+f1(x)·y’+f0(x)·y=f(x) будет называться линейным однородным дифференциальным уравнением в том случае, если f(x)≡0. Если нет, то мы будем иметь дело с линейным неоднородным ДУ.

В линейных однородных ДУ коэффициенты f0(x)=f0; f1(x)=f1; f2(x)=f2; …; fn(x)=fn могут быть постоянными функциями (некоторыми числами), то мы будем говорить о ЛОДУ с постоянными коэффициентами или ЛНДУ с постоянными коэффициентами. В ЛОДУ с постоянными коэффициентами f(x)≡0, в ЛНДУ с постоянными коэффициентами

f(x) ненулевая.

Характеристическое уравнение ЛНДУ

n-ой степени с постоянными коэффициентами Определение 6

Характеристическое уравнение ЛНДУ n-ой степени с постоянными коэффициентами – это уравнение n-ой степени вида fn·kn+fn-1·kn-1+. ..+f1·k+f0=0.

Остальные определения мы будем разбирать в других темах по мере изучения теории.

16. Дифференциальные уравнения

16.1. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Определение. Дифференциальным уравнением называется равенство, содержащее независимые переменные, искомую функцию и ее производные, т. е. F(x, y, y’, y’’, , y

(ⁿ⁾)=0.

Определение. Порядок старшей производной, входящей в состав уравнения, называется порядком уравнения.

Определение. Решением дифференциального уравнения называется функция, имеющая непрерывные производные до порядка, равного порядку уравнения, и обращающая это уравнение в тождество.

Определение. Процесс нахождения решений дифференциального уравнения называется интегрированием этого уравнения.

Определение. График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

Основная задача интегрирования дифференциального уравнения состоит в нахождении всех решений этого уравнения и изучении их свойств.

Итак, обыкновенное дифференциальное уравнение п – порядка имеет вид

F (x, y, y, y, , y⁽ⁿ⁾) = 0. (13.1)

Определение. Общим решением дифференциального уравнения (13.1) называется такое его решение

у = φ (x, C₁,C₂,,C_n),

которое содержит столько независимых произвольных постоянных C₁,C₂,,C_n, каков порядок этого уравнения.

Если общее решение найдено в неявном виде

(x, у, C₁,C₂,,C_n) = 0,

то оно называется общим интегралом.

Определение. Всякое решение дифференциального уравнения, которое получается из общего решения, при определенных значениях произвольных постоянных, в него входящих, называется частным решением этого дифференциального уравнения.

Определение. Задача о нахождении решения уравнения (13.1) удовлетворяющего условиям

y (x₀) = y₀, y (x₀) = y₀, , y⁽ⁿ^-1)(x₀) = y₀ⁿ^-1, (13.2)

называется задачей Коши, условия (13.

2)  начальными условиями, а числа x₀, y₀, y₀, , y₀ⁿ^-1 начальными данными решения уравнения (13.1).

13.2. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям .

При изучении явлений природы, решении многих задач физики и техники, химии и биологии, других наук не всегда удается непосредственно установить прямую зависимость между величинами, описывающими тот или иной эволюционный процесс. Однако в большинстве случаев можно установить связь между величинами (функциями) и скоростями их изменения относительно других (независимых) переменных величин, т. е. найти уравнения, в которых известные функции входят под знаком производной. Эти уравнения называют дифференциальными.

Характерное свойство дифференциальных уравнений — иметь бесконечное множество решений. Поэтому, решив дифференциальное уравнение, описывающее развитие данного процесса, нельзя одновременно найти зависимость между величинами, характеризующими данный процесс.

Чтобы выделить из бесконечного множества зависимостей ту, которая описывает именно этот процесс, надо иметь дополнительную информацию, например знать начальное состояние процесса, т. к. без этого дополнительного условия задача недоопределена и аналогична такой: «Автомобиль движется по прямолинейному шоссе в направлении к городу А с постоянной скоростью v₀. Через какое время он придет в город А?». Обозначив путь, пройденный автомобилем за время t от начала наблюдения, через S = S (t), получим закон движения автомобиля: v₀.

Для того, чтобы найти ответ на поставленный вопрос, необходимо знать начальное положение автомобиля, т. е. на каком расстоянии от города А находится автомобиль в начальный момент времени.

Составить дифференциальное уравнение, описывающее изучаемый эволюционный процесс или зависимость между характеристиками исследуемого явления, чаще оказывается не проще, чем решить его. Универсального метода составления дифференциального уравнения не существует, поэтому можно лишь дать некоторые общие указания. Пусть у = у (х) — искомая зависимость между характеристиками х и у изучаемого процесса. При составлении дифференциального уравнения, решением которого является функция у (х), необходимо выразить, насколько изменится эта функция, когда независимая переменная х получит приращение ∆х, т. е. выразить разность у (х + ∆ х) – у(х) через величины, о которых говорится в задаче. Разделив эту разность на ∆х и перейдя к пределу при ∆х ® 0, получим дифференциальное уравнение, т. е. зависимость скорости изменения величины у в точке х. Во многих случаях указанная зависимость определяется на основании закона или экспериментального факта, установленного в той или иной области естествознания. При этом, в частности, используется геометрический смысл производной (тангенс угла наклона касательной) и ее физический смысл (скорость протекания процесса).

Рассмотрим несколько конкретных задач, приводящих к дифференциальным уравнениям.

З а д а ч а 13.1. Кривая у = f (х) проходит через точку с координатами (1; 2). Каждая касательная к этой кривой пересекает прямую у = 1 в точке с абсциссой, равной удвоенной абсциссе точки касания. Найти кривую у = f (х).

Решение. Пусть точка с координатами (х; у) – произвольная точка на искомой кривой. Тогда уравнение касательной, проведенной к этой кривой в точке (x; y), будем искать в виде

Y – y = (X – x),

где Х, Y – текущие координаты точек касательной.

Из условия, что касательная пересекает прямую y = 1 в точке с абсциссой 2х, получаем дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет искомая кривая:

1 – у = (2 х – х) или х = 1 – у.

Разделив переменные

и проинтегрировав это уравнение находим

По условию искомая кривая проходит через точку (1; 2), поэтому подставив в найденное уравнение х = 1, y = 2 найдем постоянную С:

Окончательно, уравнение искомой кривой имеет вид

З а д а ч а 13.2. Тело, имеющее в начальный момент времени температуру T (0) = T₀, поместили в среду, температура которой поддерживается неизменной и равна T₁. Как будет изменяться температура тела с течением времени?

Решение. Обозначим через T (t) температуру тела в момент времени t. Экспериментально установлено, что при определенных упрощениях скорость изменения температуры тела пропорциональна разности температур тела и окружающей среды. Это означает, что

где k – коэффициент пропорциональности, k>0.

Знак минус в правой части уравнения соответствует экспериментальным данным: если T – T₁ >0, то температура тела убывает и поэтому скорость его изменения отрицательна, если же T – T₁ <0, то температура тела возрастает, следовательно, скорость ее изменения положительна.

Итак, процесс нагревания (или охлаждения) тела в среде с неизмененной температурой моделируется полученным уравнением, все решения которого выражаются формулой .

Учитывая условие T (0) = T₀, находим искомую зависимость температуры тела от времени:

Функция T (t) возрастает, если T₀ – T₁ < 0 (тело нагревается), и убывает, если T₀ – T₁ > 0 (тело охлаждается). В обоих случаях с возрастанием t значение функции T (t) стремится к T₁.

Многие реальные процессы моделируются дифференциальными уравнениями, содержащими вторую производную неизвестной функции. О таких уравнениях говорят, что они являются дифференциальными уравнениями второго порядка.

Рассмотрим задачу, которая приводит к дифференциальному уравнению второго порядка.

З а д а ч а 13.3. Материальная точка массы m свободно падает под действием силы тяжести. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти закон движения точки.

Решение. На вертикальной оси, вдоль которой падает точка, выберем точку отсчета О и определим положительное направление точки О вниз. Положение точки определяется координатой y (t), изменяющейся со временем t. Точка падает под действием силы тяжести ; поэтому, согласно второму закону Ньютона, , где , имеем или . Интегрируя дважды последнее соотношение, находим:

, .

Полученная формула определяет закон движения материальной точки, однако, как и в предыдущих примерах, она содержит постоянные интегрирования, в данном случае – две. Зная начальное положение падающей точки О – y (0) = y₀ и ее начальную скорость v(0)= v₀, из совокупности функций выберем одну, описывающую движение точки.

Так как скорость движения точки v (t) , то при указанных начальных условиях ; поэтому искомая функция имеет вид

Таким образом, получили известную формулу пути, пройденного точкой при равномерно ускоренном движении.

В различных областях человеческой деятельности возникает большое число задач, решение которых сходно с решением рассматриваемых выше. О таких задачах говорят, что они сводятся к дифференциальным уравнениям. Характер этих задач и методику их решения можно схематически описать примерно так. Происходит некоторый процесс, например физический, химический, биологический. Нас интересует определенная функциональная характеристика этого процесса. Если имеется достаточно полная информация о течении этого процесса, то можно попытаться построить его математическую модель. Во многих случаях такой моделью служит дифференциальное уравнение, одним из решений которого является искомая функциональная характеристика процесса. Дифференциальное уравнение моделирует процесс в том смысле, что оно описывает развитие процесса, характер происходящих с материальной системой изменений, возможные варианты этих изменений в зависимости от первоначального состояния системы.

Первый этап решения задачи заканчивается составлением дифференциального уравнения для искомой функции y (t). С этого этапа задача переведена на язык математики.

Перейдем ко второму этапу. Рассмотрим математическую задачу «в чистом виде»: решить данное дифференциальное уравнение, найти все его решения или только те, для которых выполняются определенные дополнительные условия. Эта задача решается на основе теории дифференциальных уравнений. Опыт показывает, что разные по содержанию задачи приводят к одинаковым или сходным дифференциальным уравнениям. Поэтому необходимо выработать приемы решения таких классов уравнений для тех задач, которые привели или могут привести к ним. Этим и занимается раздел математики, называемый теорией дифференциальных уравнений. Если задача сводится к дифференциальному уравнению, методы решения которого известны, то ее следует считать решенной. В этом случае творческая часть решения заканчивается составлением дифференциального уравнения, второй этап представляет собой чисто техническую процедуру.

Таким образом, дифференциальные уравнения имеют исключительно важную роль при решении самых разнообразных задач.

AC Введение в дифференциальные уравнения

Мотивирующие вопросы

Что такое дифференциальное уравнение и какую информацию оно нам может дать?
Как возникают дифференциальные уравнения в окружающем нас мире?
Что мы подразумеваем под решением дифференциального уравнения?

В предыдущих главах мы видели, что производная функции говорит нам о скорости изменения функции. Основная теорема исчисления помогла нам определить общее изменение функции на интервале по скорости изменения функции. Например, скорость объекта говорит нам о скорости изменения положения этого объекта. Интегрируя скорость по интервалу времени, мы можем определить, насколько изменится положение за этот интервал времени. Если мы знаем, где находится объект в начале этого интервала, у нас достаточно информации, чтобы предсказать, где он будет в конце интервала.

В этой главе мы вводим понятие дифференциальных уравнений . Дифференциальное уравнение — это уравнение, которое дает описание производной функции, что означает, что оно сообщает нам скорость изменения функции. Используя эту информацию, мы хотели бы узнать как можно больше о самой функции. В идеале мы хотели бы иметь алгебраическое описание функции. Как мы увидим, в некоторых ситуациях это может быть слишком много, но мы все же сможем сделать точные приближения.

Предварительный просмотр 7.1.1.

Положение движущегося объекта задается функцией $s(t)\text{,}$, где $s$ измеряется в футах, а $t$ в секундах. Определяем, что скорость равна $v(t) = 4t + 1$ футов в секунду.

Насколько изменится позиция за интервал времени $[0,4]\text{?}$
Дает ли это вам достаточно информации для определения $s(4)\text{,}$ положения в момент времени $t=4\text{?}$ Если да, то что такое $s(4)) \text{?}$ Если нет, какую дополнительную информацию вам нужно знать, чтобы определить $s(4)\text{?}$ 92 + t — 4\text{?}\) Объясните откуда вы это знаете.
Существуют ли другие возможности для $s(t)\text{?}$ Если да, то какие?
Если в дополнение к знанию функции скорости $v(t) = 4t+1\text{,}$ мы знаем начальное положение $s(0)\text{,}$, сколько возможностей есть ли для $s(t)\text{?}$

Подраздел 7.1.1 Что такое дифференциальное уравнение?

Дифференциальное уравнение — это уравнение, описывающее производную или производные неизвестной нам функции. Например, уравнение

\begin{уравнение*} \frac{dy}{dx} = x\sin x \end{уравнение*}

описывает производную неизвестной нам функции $y(x)$.

Поскольку многие важные примеры дифференциальных уравнений включают величины, изменяющиеся во времени, независимой переменной в нашем обсуждении часто будет время $t\text{.}$ В предварительном задании мы рассмотрели дифференциальное уравнение

\begin{уравнение*} \frac{ds}{dt} = 4t + 1\text{.} \end{уравнение*}

Зная скорость и начальное положение движущегося объекта, мы могли найти его положение в любой момент времени.

Поскольку дифференциальные уравнения описывают производную функции, они дают нам информацию о том, как эта функция изменяется. Нашей целью будет использование этой информации для прогнозирования значения функции в будущем; таким образом, дифференциальные уравнения дают нам что-то вроде хрустального шара.

Дифференциальные уравнения часто возникают в нашем повседневном мире. Например, вы можете услышать рекламу банка:

С нами ваши деньги будут расти на 3% годовых.

Это безобидное утверждение на самом деле является дифференциальным уравнением. Давайте переведем: $A(t)$ будет суммой денег, которую вы имеете на своем счету в момент времени $t\text{.}$ Скорость, с которой ваши деньги растут, является производной $dA/dt\text {,}$ и нам говорят, что эта скорость равна $0,03 A\text{.}$ Это приводит к дифференциальному уравнению

\begin{уравнение*} \frac{dA}{dt} = 0,03 А\text{.} \end{уравнение*}

Это дифференциальное уравнение имеет несколько иной смысл, чем предыдущее уравнение $\frac{ds}{dt} = 4t+1\text{.}$ В предыдущем примере скорость изменения зависит только от независимой переменной \ (t\text{,}\) и мы можем найти $s(t)$ путем интегрирования скорости $4t+1\text{.}$ Однако в банковском примере скорость изменения зависит от зависимая переменная $A\text{,}$, поэтому нам понадобятся некоторые новые методы, чтобы найти $A(t)\text{.}$

Мероприятие 7.1.2.

Выразите следующие утверждения в виде дифференциальных уравнений. В каждом случае вам нужно будет ввести обозначения для описания важных величин в утверждении, поэтому обязательно четко укажите, что означает ваше обозначение.

Население города постоянно увеличивается на 1,25% в год.
Каждый день радиоактивный образец теряет в массе 5,6% своей массы.
У вас есть банковский счет, на который каждый год поступают 4% годовых. При этом вы постоянно снимаете деньги со счета по ставке $1000 в год. 9\круг\) комната. Температура соды непрерывно нагревается со скоростью 10% разницы между температурой соды и температурой в комнате каждую минуту.

Подраздел 7.1.2 Дифференциальные уравнения в окружающем нас мире

Дифференциальные уравнения дают естественный способ описания явлений, которые мы наблюдаем в реальном мире. Например, физические принципы часто выражаются как описание того, как изменяется величина. Хорошим примером является второй закон Ньютона, который гласит:

Произведение массы объекта на ускорение равно приложенной к нему силе.

Например, когда гравитация действует на объект вблизи земной поверхности, она оказывает силу, равную $mg\text{,}$ массе объекта, умноженной на гравитационную постоянную $g\text{. }$ Таким образом, у нас есть

\начать{выравнивать*} ma =\mathstrut\amp мг, \\text{или}\\ \frac{dv}{dt} =\mathstrut \amp g\text{,} \конец{выравнивание*}

, где $v$ — скорость объекта, а $g = 9.8$ метров в секунду в квадрате. Обратите внимание, что этот физический принцип говорит нам не о том, какова скорость объекта, а о том, как скорость объекта изменяется.

Мероприятие 7.1.3.

Ниже показаны два графика, отображающие скорость падающих объектов. Слева скорость парашютиста, а справа скорость метеорита, входящего в атмосферу Земли.

Рисунок 7.1.1. Скорость парашютиста. Рис. 7.1.2. Скорость метеорита.

Начните со скорости парашютиста и используйте данный график для измерения скорости изменения $dv/dt$, когда скорость равна $v=0,5, 1,0, 1,5, 2,0\text{,}$ и $2,5 \text{.}$ Нанесите свои значения на график ниже. Вы должны хорошо подумать об этом: вы строите производную $dv/dt$ как функцию скорости .
Теперь проделайте то же самое со скоростью метеорита: используйте данный график для измерения скорости изменения $dv/dt$, когда скорость равна $v=3. 5,4.0,4.5\text{,}$ и $5.0\text{.}$ Нанесите свои значения на график выше.
Вы должны обнаружить, что все ваши точки лежат на прямой. Напишите уравнение этой прямой, используя правильные обозначения для величин на горизонтальной и вертикальной осях.
Зависимость, которую вы только что нашли, представляет собой дифференциальное уравнение. Напишите полное предложение, объясняющее его значение.
Глядя на дифференциальное уравнение, определите значения скорости, при которых скорость увеличивается.
Глядя на дифференциальное уравнение, определите значения скорости, при которых скорость уменьшается.
По дифференциальному уравнению определите значения скорости, при которых скорость остается постоянной.

Целью этого занятия является демонстрация того, как дифференциальные уравнения моделируют процессы в реальном мире. В этом примере на скорость влияют два фактора: сила тяжести и сопротивление ветра. {-0,5t}\) решением 9{-0.5t}\text{.}\) На рисунке 7.1.3 мы видим графики этих решений для нескольких значений $C\text{,}$ с пометками.

Рисунок 7.1.3. Семейство решений дифференциального уравнения $\frac{dv}{dt} = 1,5 — 0,5v\text{.}$

Обратите внимание, что значение $C$ связано с начальным значением скорости $v(0)\text{,}$, поскольку $v(0) = 3+C\text{.}$ Другими словами, в то время как дифференциальное уравнение описывает, как скорость изменяется в зависимости от скорости самой по себе этой информации недостаточно для однозначного определения скорости: нам нужно знать еще и начальную скорость. По этой причине дифференциальные уравнения обычно имеют бесконечно много решений, по одному для каждого начального значения. Мы видели это явление раньше: зная скорость движущегося объекта $v(t)\text{,}$, мы не можем однозначно определить функцию положения объекта, если мы также не знаем его начальное положение.

Если нам дано дифференциальное уравнение и начальное значение неизвестной функции, мы говорим, что имеем задачу с начальным значением. Например,

\begin{уравнение*} \frac{dv}{dt} = 1,5-0,5v, \v(0) = 0,5 \end{уравнение*}

— проблема с начальным значением. В этой задаче мы знаем значение $v$ в определенный момент времени и знаем, как меняется $v$. Следовательно, должна существовать ровно одна функция $v$, удовлетворяющая задаче о начальных значениях.

Это демонстрирует следующее важное общее свойство задач с начальными значениями.

Задачи с начальным значением, которые «хорошо себя ведут», имеют ровно одно решение, которое существует в некотором интервале вокруг начальной точки.

Мы не будем беспокоиться о том, что означает «хорошее поведение» — это техническое условие, которому будут удовлетворять все дифференциальные уравнения, которые мы рассматриваем.

В заключение этого раздела отметим, что дифференциальные уравнения можно классифицировать на основе определенных характеристик, которыми они могут обладать. Вы можете увидеть много различных типов дифференциальных уравнений в более позднем курсе дифференциальных уравнений. Сейчас мы хотели бы ввести несколько терминов, которые используются для описания дифференциальных уравнений. 92} = -10 лет \end{уравнение*}

— уравнение второго порядка.

Дифференциальное уравнение является автономным , если независимая переменная не фигурирует в описании производной. Например,

\begin{уравнение*} \frac{dv}{dt} = 1,5-0,5v \end{уравнение*}

является автономным, поскольку описание производной $dv/dt$ не зависит от времени. Уравнение

\begin{уравнение*} \frac{dy}{dt} = 1,5t — 0,5y\text{,} \end{уравнение*}

Однако

не является автономным.

Подраздел 7.1.4 Резюме

Дифференциальное уравнение — это просто уравнение, описывающее производную(ые) неизвестной функции.
Физические принципы, а также некоторые повседневные ситуации часто описывают изменение величины, что приводит к дифференциальным уравнениям.
Решением дифференциального уравнения является функция, производная которой удовлетворяет описанию уравнения. Дифференциальные уравнения обычно имеют бесконечно много решений, параметризованных начальными значениями. 9{-Акт}\)

4.

Предположим, что $T(t)$ представляет собой температуру чашки кофе, поставленной в комнате, где $T$ выражается в градусах по Фаренгейту, а $t$ в минутах. Физический принцип, известный как закон охлаждения Ньютона, говорит нам, что

\begin{уравнение*} \frac{dT}{dt}= -\frac1{15}T+5\text{.} \end{уравнение*}

Предположим, что $T(0)=105\text{.}$ Что дает нам дифференциальное уравнение для значения $\frac{dT}{dt}\vert_{T=105}\text {?}$ Объясните полным предложением значение этих двух фактов.
Увеличивается или уменьшается $T$ при $t=0\text{?}$
Какова приблизительная температура в $t=1\text{?}$
На графике ниже постройте график зависимости $dT/dt$ от $T\text{.}$
При каких значениях $T$ $T$ увеличивается? При каких значениях $Т$ $Т$ убывает?
Как вы думаете, какая температура в комнате? Объясните свое мышление.
9{-t/15}\) — решение дифференциального уравнения с начальным значением $T(0) = 105\text{.}$ Что происходит с этим решением спустя долгое время?

5.

Предположим, что популяция определенного вида описывается функцией $P(t)\text{,}$, где $P$ выражается в миллионах. Предположим далее, что скорость изменения населения определяется дифференциальным уравнением

\begin{уравнение*} \frac{dP}{dt} = f(P) \end{уравнение*}

, где $f(P)$ — функция, показанная ниже.

При каких значениях населения $P$ население увеличивается?
При каких значениях населения $P$ население уменьшается?
Если $P(0) = 3\text{,}$, как будет меняться население во времени?
Если начальная популяция удовлетворяет $0\lt P(0)\lt 1\text{,}$, что произойдет с популяцией через очень долгое время?
Если начальная популяция удовлетворяет $1\lt P(0)\lt 3\text{,}$, что произойдет с популяцией через очень долгое время?
Если начальная популяция удовлетворяет $3\lt P(0)\text{,}$, что произойдет с популяцией через очень долгое время?
Эту модель роста населения иногда называют «ростом с порогом». Объясните, почему это имя подходит.

6.

В этой задаче мы дополнительно проверяем, что означает, что функция является решением данного дифференциального уравнения.

Рассмотрим дифференциальное уравнение 92} = -х \end{уравнение*}
, где $k$ — постоянная пружины , постоянная, которая зависит от свойств пружины в шкале. После того, как вы поместите бананы на весы, вы (умно) заметите, что высота бананов определяется выражением $h(t) = 4\sin(3t)\text{.}$ Каково значение пружины постоянный?

Пока не беспокойтесь о том, почему мы выбрали эту функцию; мы скоро изучим методы нахождения решений дифференциальных уравнений.

Дифференциальные уравнения | Brilliant Math & Science Wiki

Дифференциальные уравнения часто появляются в различных контекстах.

Предположим, что ракета с массой mmm снижается, так что она испытывает силу силы mgmgmg из-за гравитации, и предположим, что она испытывает силу сопротивления, пропорциональную ее скорости, силой bvbvbv при постоянном bbb. Затем второй закон Ньютона говорит нам, что если ускорение равно aaa, то
F=ma=mg−bv ⟹ dvdt=g−bmv,F=ma=mg-bv\ подразумевает \frac{dv}{dt}=g-\frac{b}{m} v,F=ma=mg −bv⟹dtdv=g−mbv, 9{kt},P=P0ekt,
, где P0P_0P0 — начальный размер колонии.

Многие химические реакции замедляются по мере их протекания, потому что реагенты истощаются. Например, скорость, с которой концентрация реагента ААА, обозначаемая [A][A][A], уменьшается, часто пропорциональна количеству оставшегося реагента, т. е. чем меньше реагента, тем реакция замедляется. Это дает уравнение
d[A]dt=−k[A],\frac{d[A]}{dt}=-k[A],dtd[A]=−k[A],
9{-kt},[A]=[A]0e−kt,
, где [A]0[A]_0[A]0 — начальная концентрация.

Для решения дифференциальных уравнений полезно сгруппировать их по категориям, которые можно решать с помощью схожих методов, что делается с помощью различных слов, описывающих их.

Обычное дифференциальное уравнение содержит производные только по одной переменной, тогда как уравнение в частных производных включает производные по нескольким переменным. Они часто обозначаются аббревиатурой ODE и PDE. 92f(x)=f»(x)f'(x)+x2f(x)=f»(x) имеет вторую степень, поскольку содержит f»(x)f»(x)f’ ′(x) член, в то время как дифференциальное уравнение ∂f+∂y∂f=xy имеет первую степень, поскольку содержит только первые производные.

Дифференциальное уравнение является линейным , если оно включает только линейные комбинации производных неизвестной функции (в отличие от полиномов), и нелинейным в противном случае. 92}+tx=\frac{\partial y}{\partial t}∂t2∂2x+tx=∂t∂y
Какое из следующих утверждений лучше всего описывает приведенное выше уравнение?
Помимо упомянутых выше форм, в большинстве случаев дифференциальные уравнения не могут быть решены точно. В большинстве случаев дифференциальные уравнения решаются с использованием численных приближений, таких как метод Эйлера и методы Рунге-Кутты. В этих случаях решения часто лучше всего понимаются с помощью компьютерного моделирования, заменяющего математическую проблему решения дифференциальных уравнений вычислительной задачей моделирования поведения системы, подчиняющейся уравнению.
Уравнение теплопроводности в одном измерении имеет вид ut=αuxxu_t=\alpha u_{xx}ut=αuxx, где u(x,tu(x,tu(x,t)) дает теплоту во время ttt и в положении xxx, а α \alphaα является константой Это уравнение относительно трудноразрешимое, поэтому вместо его решения мы можем попытаться аппроксимировать функцию u(x,t)u(x,t)u(x,t) на основе дифференциального уравнения. позволяет нам понять, например, как тепло течет через стержень, нагретый с одного конца, даже если мы не можем решить соответствующее дифференциальное уравнение.
К сожалению, некоторые дифференциальные уравнения вообще не могут быть решены, поэтому один из самых важных вопросов, касающихся дифференциальных уравнений, заключается в том, решения каких уравнений мы можем найти и когда эти решения уникальны. Очень важным результатом по этому поводу является теорема Пикара-Линделофа, которая говорит, что дифференциальные уравнения вида y′=F(y)y’=F(y)y′=F(y) имеют решения, которые единственны, пока выполняются определенные условия на yyy.
No related posts.