Уравнения математической физики
Уравнения математической физики
ОглавлениеПРЕДИСЛОВИЕВВЕДЕНИЕ 1. Дифференциальные уравнения с частными производными. 2. Однородные линейные дифференциальные уравнения с частными производными и свойства их решений. 3. Оператор Лапласа в полярных, цилиндрических и сферических координатах. ГЛАВА 1. УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ § 1. Уравнение колебаний струны 5. Постановка начальных и краевых условий. § 2. Колебания бесконечной и полубесконечной струны. Метод Даламбера 7. Распространение волн отклонения. 8. Распространение волн импульса. 9. Полубесконечная струна. § 3. Метод Фурье 11. Стоячие волны. 12. Примеры. § 4. Вынужденные колебания и колебания струны в среде с сопротивлением 14. Колебания струны в среде с сопротивлением. § 5. Продольные колебания стержня 16. Примеры.  § 6. Крутильные колебания вала 18. Крутильные колебания вала с диском на одном конце. § 7. Электрические колебания в длинных однородных линиях 20. Линия без потерь. 21. Линия без искажения. 22. Линии конечной длины. § 8. Уравнение колебаний мембраны 24. Уачальные и краевые условия. § 9. Колебания прямоугольной мембраны 26. Стоячие волны прямоугольной мембраны. 27. Вторая часть метода Фурье. 28. Стоячие волны с одинаковой частотой. § 10. Уравнение и функции Бесселя 30. Условие ортогональности функций Бесселя нулевого порядка. 31. Функции Бесселя первого порядка. § 11. Колебания круглой мембраны 33. Стоячие волны круглой мембраны. § 12. Уравнение линейной теплопроводности 35. Начальное и краевые условия. 36. Теплопроводность в стержне при наличии теплообмена через боковую поверхность. § 13. Теплопроводность в бесконечном стержне 38. Преобразование решения уравнения теплопроводности.  39. Фундаментальное решение уравнения теплопроводности и его физический смысл. 40. Примеры. § 14. Теплопроводность в конечном стержне 42. Распространение тепла в стержне в случаях постоянной температуры на концах или теплоизоляции концов. 43. Общий случай краевых условий. 44. Примеры. § 15. Теплопроводность в полубесконечном стержне 46. Примеры. § 16. Некоторые пространственные задачи теплопроводности 48. Начальное и краевые условия. 49. Распространение тепла в однородном цилиндре 50. Распространение тепла в однородном шаре. § 17. Задачи диффузии 52. Уравнения теплопроводности и диффузии с краевым условием, зависящим от времени. 53. Примеры. ГЛАВА III. УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА § 18. Краевые задачи для уравнения Лапласа. Метод функции Грина 55. Метод функции Грина для задачи Дирихле (трехмерный случай). 56. Метод функции Грина для задачи Дирихле (двумерный случай). 57. Задача Неймана. § 19. Решение задачи Дирихле для шара и полупространства 59.  Задача Дирихле для шара.60. Задача Дирихле для внешности шара. 61. Задача Дирихле для полупространства. § 20. Решение задачи Дирихле для круга и полуплоскости 63. Задача Дирихле для внешности круга. 64. Задача Дирихле для полуплоскости. § 21. Метод Фурье для уравнения Лапласа 66. Разделение переменных в трехмерном уравнении Лапласа в сферических координатах. Многочлены Лежандра. Заключение 69. Корректность постановки задач математической физики. ЛИТЕРАТУРА |
Обыкновенные дифференциальные уравнения: Задачи и примеры с подробными решениями. Учебное пособие (Михаил Краснов)
Буду ждать
Цена на сайте может отличаться от цены в магазинах сети. Внешний вид книги может отличаться от изображения на сайте.
Нет в наличии в магазинах сети
Цена на сайте может отличаться от цены в магазинах сети.
Внешний вид книги может отличаться от изображения на
сайте.
В предлагаемом сборнике задач особое внимание уделено тем вопросам, которые недостаточно подробно освещены в имеющихся пособиях и которые, как показывает опыт, слабо усваиваются студентами.
.Детально разобраны метод изоклин для уравнений первого и второго порядков, задачи нахождения ортогональных траекторий, линейная зависимость и независимость систем функций.
.В задачник включено большое число задач на решение линейных уравнений с постоянными и переменными коэффициентами, задачи на устойчивость по Ляпунову, на применение операционного метода к решению дифференциальных уравнений и систем. Представлены также метод последовательных приближений, особые решения дифференциальных уравнений, уравнения с малым параметром при производной.
.Приводится 172 примера с подробными решениями. В книге содержится около 1000 задач и примеров для самостоятельного решения. Почти все задачи снабжены ответами, а в ряде случаев даются указания к решению.
Описание
Характеристики
В предлагаемом сборнике задач особое внимание уделено тем вопросам, которые недостаточно подробно освещены в имеющихся пособиях и которые, как показывает опыт, слабо усваиваются студентами.
.Детально разобраны метод изоклин для уравнений первого и второго порядков, задачи нахождения ортогональных траекторий, линейная зависимость и независимость систем функций.
.В задачник включено большое число задач на решение линейных уравнений с постоянными и переменными коэффициентами, задачи на устойчивость по Ляпунову, на применение операционного метода к решению дифференциальных уравнений и систем. Представлены также метод последовательных приближений, особые решения дифференциальных уравнений, уравнения с малым параметром при производной.
.Приводится 172 примера с подробными решениями.
Ленанд
На товар пока нет отзывов
Поделитесь своим мнением раньше всех
Как получить бонусы за отзыв о товаре
1
Сделайте заказ в интернет-магазине
2
Напишите развёрнутый отзыв от 300 символов только на то, что вы купили
3
Дождитесь, пока отзыв опубликуют.
Если он окажется среди первых десяти, вы получите 30 бонусов на Карту Любимого Покупателя. Можно писать
неограниченное количество отзывов к разным покупкам – мы начислим бонусы за каждый, опубликованный в
первой десятке.
Правила начисления бонусов
Если он окажется среди первых десяти, вы получите 30 бонусов на Карту Любимого Покупателя. Можно писать неограниченное количество отзывов к разным покупкам – мы начислим бонусы за каждый, опубликованный в первой десятке.
Правила начисления бонусов
Книга «Обыкновенные дифференциальные уравнения: Задачи и примеры с подробными решениями. Учебное пособие» есть в наличии в интернет-магазине «Читай-город» по привлекательной цене.
Если вы находитесь в Москве, Санкт-Петербурге, Нижнем Новгороде, Казани, Екатеринбурге, Ростове-на-Дону или любом
другом регионе России, вы можете оформить заказ на книгу
Михаил Краснов
«Обыкновенные дифференциальные уравнения: Задачи и примеры с подробными решениями. Учебное пособие» и выбрать удобный способ его получения: самовывоз, доставка курьером или отправка
почтой.
Дифференциальные уравнения: определение и примеры
В этой статье рассматриваются дифференциальные уравнения. Сначала мы рассмотрим определение дифференциального уравнения и способы проверки решения. Затем мы рассмотрим, как решить отделимое обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка, набросаем семейства решений и смоделируем с помощью дифференциального уравнения.
Что такое дифференциальное уравнение?
Если у нас есть уравнение, включающее ряд производных, мы называем его дифференциальным уравнением. Когда производные являются функцией одной переменной, мы называем это обыкновенным дифференциальным уравнением (ОДУ). Говоря о дифференциальном уравнении, мы часто говорим о его заказ . Порядок означает наивысшую производную, присутствующую в уравнении. Например, уравнение имеет второй порядок, поскольку производная высшего порядка в уравнении имеет второй порядок.
При решении дифференциального уравнения цель состоит в том, чтобы найти функцию, удовлетворяющую уравнению. Это решение не будет уникальным, так как в случае производной можно добавить константу, чтобы изменить функцию, но при этом удовлетворить уравнению. Единственный способ найти значение этой константы — добавить граничное условие.
В обыкновенном дифференциальном уравнении первого порядка нам нужно только одно граничное условие, чтобы удовлетворить неизвестное. В общем, для обыкновенного дифференциального уравнения n-го порядка нам нужно n граничных условий. Граничное условие задает значение функции в определенной точке. Это позволяет вам вычислить значение любых неизвестных коэффициентов.
Проверка решений дифференциальных уравнений
Когда задано дифференциальное уравнение, если мы получаем потенциальное решение, мы можем проверить, является ли оно действительным или нет. Это включает в себя определение всех используемых производных, а затем их заполнение, чтобы увидеть, подходит ли потенциальное решение для удовлетворения уравнения.
Убедитесь, что это решение для . (Обратите внимание, что мы используем yι для представления , а yιι для представления ).
Используя правило произведения, найдем первую и вторую производные от y по x.
Затем
y»=ddx(y’)=ddx(3e2x+2xe2x)=6e2x+2e2x+4xe2x=8e2x+4xe2x
Теперь мы можем заполнить значения, чтобы получить
9000 Отсюда решение проверено.Решение дифференциальных уравнений
На уровне A нам нужно только знать, как решать разделимые обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка. Разделимость относится к тому факту, что две переменные (обычно x и y) могут быть разделены, а затем разделены для решения.
Разделимое дифференциальное уравнение (для переменных y и x, где y является функцией x) имеет форму . Затем мы можем изменить это, а затем интегрировать, чтобы получить. После интегрирования это наше общее решение дифференциального уравнения. Затем мы можем применить любые граничные условия, чтобы найти конкретное решение, если это необходимо.
Стоит отметить, что, строго говоря, мы не можем манипулировать таким образом, так как это не дробь, а обозначение производной. Однако в этом случае мы можем рассматривать его как дробь.
Найдите общее решение.
Это форма , значит, решение имеет форму . Это означает, что мы можем заполнить две функции, чтобы получить . Интегрируя правую часть, получаем . В левой части это стандартный интеграл, заданный как .
Это также может быть достигнуто с помощью замены
Это означает, что наше решение задается как . Обратите внимание, что здесь мы объединили обе константы в одну. Мы можем упростить это далее, чтобы дать.
Найдите решение , с.
Сначала разделим это уравнение, чтобы получить .
Левая часть интегрируется в , а правая интегрируется в .
Эти комбинации дают. Это может еще больше упростить дать.
Мы это знаем, поэтому можем заполнить это, чтобы получить.
Это дает C = 1, и наше решение таково.
Построение семейства кривых решения дифференциальных уравнений
Когда мы находим общее решение дифференциального уравнения, в общем уравнении остаются константы.
Эти константы могут быть любыми, и они все равно будут удовлетворять дифференциальному уравнению. Семейство кривых решения представляет собой набор функций с различными значениями констант.
Найдите общее решение и нарисуйте график, показывающий это с четырьмя различными частными решениями.
Ниже приведен график, показывающий, когда C = -1, 0, 1, 2
Семейство растворов, где C = 2 зеленый, C = 1 синий, C = 0 красный и C = -1 фиолетовый, Том Малой — StudySmarter Originals
Моделирование с помощью дифференциальных уравнений
Причина, по которой мы изучаем дифференциальные уравнения, заключается в возможности их использования в сценариях реальной жизни. Чтобы проиллюстрировать это, давайте рассмотрим пример.
Предположим, имеется цилиндрический резервуар для воды радиусом 5 м. Высота воды в баке в любой точке обозначается как. Вода вытекает из резервуара со скоростью, пропорциональной квадратному корню из объема резервуара. Находить .
Объем резервуара для воды в любой точке задается как, значение.
Вода вытекает со скоростью, пропорциональной квадратному корню из объема, т. е. где a — коэффициент пропорциональности.
Мы можем использовать предыдущее выражение для объема, чтобы дать.
Затем по цепочке.
Дифференциальные уравнения – Основные выводы
- Дифференциальное уравнение – это уравнение, составленное из различных производных.
- Порядок дифференциального уравнения — это наивысший порядок любой производной в уравнении.
- Отделимое обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид , с решением.
- Граничные условия позволяют нам присвоить значение константе.
- Общее решение — это решение, в котором есть неизвестная константа, а конкретное решение существует для конкретного граничного условия.
Глава 6 Дифференциальные уравнения | Исчисление и анализ
6.1 Введение
Дифференциальные уравнения возникают почти каждый раз, когда мы пытаемся моделировать реальные
явления мира с помощью математики.
Напомним, что производная
измеряет одну величину относительно
другой. Второй закон Ньютона гласит:
Скорость изменения количества движения тела равна приложенной внешняя сила.
Импульс тела является произведением массы \(m\) и скорости \(v\) (в одном измерении). Таким образом, если на тело действует сила \(F\), то можно записать закон Ньютона математически как \[ {d \over dt} (mv) = F. \] Таким образом, мы получаем уравнение с дифференцированием, и такое уравнение, которое мы называем 9tg(x)dx. \] Важно, чтобы мы знали значение \(f\) в какой-то момент, или иначе мы не можем точно сказать, что такое \(f\). Нам нужна константа интегрирования . Ниже у нас есть картинка, на которой мы видим, что все эти функции имеют одну и ту же производную, поэтому, чтобы выбрать правильную для нашей ситуации, мы должны знать точку, через которую проходит функция.
Определение 6.
1 Решение, где константы не указаны, называется общее решение .
Известное значение \(f\) равно
называется начальным условием , если наша проблема связана со временем
проблема, например, с законом Ньютона. Если известное значение является пространственным
значение, мы называем это граничным условием . Вы покрыли
уравнения типа (6.1) на уровне А, поэтому мы не будем беспокоиться об этих
здесь.
Вот веб-страница с большим количеством примеров дифференциальных уравнений Дифференциальные уравнения на Mathisfun.com
6.1.1 Культурное наследие математики
6.2 Разделимые уравнения
Следующий наиболее простой тип дифференциальных уравнений, который мы можем
решить является одной из форм
\[
{d y \over dx} = f(x) g(y), \tag{6.2}
\]
ибо тогда мы можем написать
\[
\int {dy \over g(y)} = \int f(x) dx.
\]
Нам еще понадобится граничное условие (будем считать, что \(x\) и
\(y\) здесь пространственные переменные).
Мы можем интегрировать их оба в
Принцип получения решения.
Пример 6.1
На снаряд, движущийся вверх, действует сила тяжести, равная к \(mg\), где \(m\) — его масса, а \(g\) — ускорение, вызванное сила тяжести. Кроме того, его тормозит сопротивление воздуха, равное \(mkv\), где \(v\) — его скорость, а \(k\) — некоторая положительная вещественная константа, которая зависит от геометрии снаряда. Скорость снаряд в момент времени \(t=0\) равен \(u\) (это инициал состояние ).
Второй закон Ньютона говорит
\[
{d \over dt} (mv) = -mkv-mg.
\]
Поскольку \(т\) в этом уравнении постоянно (снаряд не
изменить массу во время полета) мы можем сократить \(m\) с обеих сторон сверху на
получать
\[
{dv \over dt} = -(kv+g).
\]
Это отделимо. Преобразовывая, мы имеем уравнение
\[
\int {dv \over kv+g} = -\int dt.
\]
Интегрируя обе стороны, мы имеем
\[
{1 \над k} \log(kv+g) = -t+C,
\]
где \(С\) — постоянная интегрирования, которую мы находим с помощью
начальное состояние.
Когда \(t=0\) \(v=u\), так что
\[
{1 \over k} \log(ku+g) = C.
\]
Таким образом
\[
{1 \over k} \log(kv+g) = -t+{1 \over k} \log(ku+g).
\]
Преобразовывая приведенное выше уравнение, мы имеем
\[\begin{выравнивание*}
t & = & {1 \over k} (\log(ku+g)-\log(kv+g)) \\
& = & {1 \over k} \log \left ( {ku+g\over kv+g } \right ).
\end{эквнаррай*}\]
Таким образом
\[
\exp(kt) = \left ( {ku+g\over kv+g } \right ).
\]
Умножая обе части на \(kv+g\), мы имеем
\[
kv \exp(kt)+g\exp(kt)=ku+g.
\]
Следовательно
\[
kv \exp(kt) = ku+g(1-\exp(kt)),
\]
так что
\[
v = u\exp(-kt)+{g \over k}(\exp(-kt)-1).
\]
Вы можете найти больше примеров разделимых уравнений и их решений на Math34.net.
Пример 6.2 Найдите общее решение сепарабельного дифференциального уравнения \[ у’=у(1-у). \]
Уравнение разделимо с \(f(x)=1\) и \(g(y)=y(1-y)\).
Сейчас
\(g(y)=0\) тогда и только тогда, когда \(y=0\) или \(y=1\). Таким образом, уравнение может быть
решается путем разделения переменных на трех интервалах \(y<0\),
\(0
На любом таком интервале имеем:
\[
\int \frac{dy}{y(1-y)}=\int dx+C_1,
\]
с \(C_1 \in {\mathbb R}\). Это значит, что
\[
\int \left(\frac{1}{y}+\frac{1}{1-y}\right)dy=\int dx+C_1.
\]
Поэтому
\[
\ln |y|-\ln |1-y|=x+C_1 \; \Правая стрелка \; \ln \left|\frac{y}{1-y}\right|=x+C_1,
\]
и взяв экспоненту обеих сторон, мы имеем
\[
\left|\frac{y}{1-y}\right|=\exp(x+C_1)=\exp(C_1)\exp(x).
\]
Поскольку \(C_1\) является константой, \(\exp(C_1)>0\) также является константой. Назовем это \(C_2\). Затем,
\[
\left|\frac{y}{1-y}\right|=C_2\exp(x).
\]
Теперь \(y/(1-y)\) положительна, если \(0
Теперь \(y/(1-y)\) отрицательно, если \(y<0\) или \(y>1\). В данном случае
\[
\left|\frac{y}{1-y}\right|=-\frac{y}{1-y}=C_2\exp(x),
\]
так что
\[
y = \ frac {C_2 \ exp (x)} {C_2 \ exp (x) -1} = \ frac {\ exp (x)} {\ exp (x) -1 / C_2} \ quad C_2> 0.
\]
Теперь, если \(\exp(x)>1/C_2\), то есть \(x>-\log(C_2)\), то \(y>1\), и если \(x<\log(C_2 )\), затем \(y<0\). Следовательно, у нас будет вертикальный аимптот в \(y\) в точке \(x=-\log(C_2)\).
Замечание На картинке выше вы можете видеть, где находятся асимптоты по странной вершине на графике. Я оставил это, чтобы вы могли видеть, как решение меняется с отрицательного на значение больше 1 по мере прохождения через \(-\log(C_2)\). Ситуация, наблюдаемая в предыдущем примере, типична для сепарабельных уравнения. Вам всегда нужно рассматривать случай \(g(y)=0\) отдельно. Обратите внимание, что если \(g(y)=0\), то \(y’=0\) благодаря дифференциалу Уравнение (6.2). Таким образом, значения \(y\), для которых \(g(y)=0\), постоянны стационарные решения уравнения.
Определение 6.2 стационарное или равновесное решение дифференциального уравнения
\(y’=f(x) g(y)\) есть любое решение \(y(x)=Constant\).
стационарный
решения могут быть найдены путем решения для \(y\) уравнения \(g(y)=0\) .
Мы можем получить качественное (поведенческое) понимание решений такого рода уравнения, рисуя так называемые поля направлений.
Определение 6.3 Поле направлений в области \(S\) декартовой плоскости является отображением который сопоставляет каждой точке области линию, проходящую через эту точка. Кривая \({\bf r} = {\bf r}(t)\) на декартовой плоскости представляет собой интегральная кривая поля направлений, если ее касательные совпадают точно с линиями поля направлений вдоль кривой.
Линии поля направления можно рассматривать как касательные к гипотетические кривые. Идея касательной тесно связана с идея наклона (также известная как производная). Поэтому вместо того, чтобы думать о линиях в поле направления мы можем думать о наклоне линий. (Мы разрешаем здесь бесконечный наклон.) И наклон задается числом.
Итак, на \((x,y)\)-плоскости мы можем отождествить поле направлений с
функция \(f(x,y)\).
И идея наклона приводит нас к уравнению
\(\frac{dy}{dx} =g(x,y)\).
Следовательно, интегральные кривые для поля направлений точно соответствуют решения этого дифференциального уравнения.
Пример 6.3 Нарисуйте поле направления для уравнения \(y’=y(1-y)\).
Имеем \(g(x,y)=y(1-y)\). Мы видели уже в
Пример 6.2, где \(y=0\) и \(y=1\) соответствуют нулю
скорости изменения (наклон горизонтальный) являются стационарными решениями. Для
\(y<0\) и \(y>1\) имеем \(g(x,y)<0\) (отрицательный наклон) и для
\(0 Определение 6.4 Линейные дифференциальные уравнения первого порядка имеют вид
\[
{d y \over dx} + p(x)y(x)=q(x). Основная идея
за решением этих уравнений является преобразование уравнения в
\[
{d y \over dx} + p(x)y(x) = q(x), \tag{6.3}
\]
и попытаться превратить левую сторону в производная от
продукт . Напомним, что
\[
{d \ над dx} (I (x) y (x)) = I (x) {dy \ над dx} + y (x) {dI \ над dx}.
\]
Умножьте (6.3) на \(I(x)\) (мы используем \(I\), потому что это будет
называется интегрирующим фактором ), а затем попытайтесь заставить его выглядеть
как уравнение выше. Умножение на \(I(x)\) дает
\[
I (x) {d y \ над dx} + I (x) p (x) y (x) = I (x) q (x)
\]
Мы хотим \[
I(x) {d y \over dx} + I(x) p(x)y(x) \equiv I(x){dy \over dx}+y(x){dI \over dx}.
\]
Чтобы это было правдой, нам нужно
\[
I(x) p(x) = {dI \over dx}. Определение 6.5 Функция Таким образом, мы имеем следующую теорему: Теорема 6.1 (интегрирующий множитель) Предположим, у нас есть линейное дифференциальное уравнение
\[
{dy \над dx} + p(x) y(x) =q(x).
\]
Тогда, если \(I\) задается уравнением (6.4), мы можем переписать приведенное выше уравнение как
\[
{d \над dx} (I(x) y(x)) = I(x) q(x).
\]
Общее решение этого дифференциального уравнения имеет вид
\[
y (x) = {C \ над I (x)} + {\ int I (x) q (x) dx \ над I (x)},
\]
где \(С\) — произвольная постоянная интегрирования. Пример 6. Мы преобразуем последнее уравнение, чтобы привести его к нашей стандартной форме
\[
{d v \over dt} +kv = -g.
\]
которое является линейным дифференциальным уравнением для \(v\). Функция
\(p(x)=k\) и \(q(x)=-g\). Следовательно
\[
I(t)=\exp(\int (k) dt) = \exp(kt).
\]
Затем
\[
{d \over dt} (\exp(kt)v) = k\exp(kt)v+\exp(kt){d v \over dx}=\exp(kt)\left ( {d v \over dt}+kv \right ) = -g \exp(kt).
\]
Если мы объединим обе стороны, мы получим
\[
\exp(kt)v = -{g \over k} \exp(kt) + C,
\] где \(с\) — постоянная интегрирования. общий
решение (умножьте обе части на \(\exp(-kt)\))
\[
v=-{g \over k}+C\exp(-kt).
\]
Теперь мы используем начальное условие, что \(v=u\) при \(t=0\), чтобы дать \[
и=-{г\над к}+С,
\] другими словами
\[
C=u+{g \ над k}.
\]
Разделив обе части на \(\exp(kt)\), мы получим
\[
v=u\exp(-kt)+{g \over k}(1-\exp(-kt)),
\]
который является тем же результатом, что и раньше. Вы можете найти другие примеры линейных дифференциальных уравнений первого порядка
на math34.net. Определение 6.6 Однородные дифференциальные уравнения — это уравнения вида
\[
{d y \over dx} = f \left ( {y \over x} \right ).
\]
9С>0\). Поэтому
\[
v= \pm \sqrt {2\log Ax},
\]
где \(А\) — произвольная положительная постоянная интегрирования. Чтобы это имело смысл, мы требуем, чтобы \(2 \log A|x|>0\), так что \(|x|>1/A\). Однако
\(v=y/x\), так что
\[
y= \pm x\sqrt {2\log A|x|}, \quad |x|>1/A,
\]
является общим решением дифференциального уравнения. Мы будем выбирать ветвь решения в зависимости от того, где находится начальное условие. Например, \(y(x)>0\) для положительного \(x\), тогда мы должны выбрать положительный квадратный корень. Закон Гука для моделирования движения пружины Для пружины у нас есть Закон Гука , который гласит, что если мы растянем
пружинит на величину \(x\) от своего естественного положения покоя, то
сила сопротивления растяжению пружины равна \(-kx\), где \(k\)
есть константа, называемая жесткостью пружины. Таким образом, если у нас есть масса \(m\) на пружине, то направленная вниз сила будет
быть \(мг\) и восходящей силы из-за натяжения пружины, когда
расширенное расстояние \(l\) будет \(kl\). Если \(kl=mg\), то мы будем иметь
никакая результирующая сила не действует, и масса может быть неподвижной. Если мы расширим
подпружинить еще на небольшое расстояние \(x\) и отпустить, тогда он будет двигаться
вверх из-за избыточного натяжения пружины над грузом.
уравнение движения
\[
{d \over dt} (mv) = -k(l+x)+mg.
\]
Поскольку \(kl=mg\), мы получаем уравнение
\[
m{dv \over dt} = -kx. Мы решаем подобные уравнения, используя свойство экспоненты
функцию, которую мы обнаружили ранее, — это собственных функций оператора дифференцирования. Мы пробуем
решение типа
\[
х(т)=А \ехр(\лямбда т),
\]
для некоторого \(\лямбда\). Подставим это в наше дифференциальное уравнение и посмотрим, что
бывает. 92 = \pm i \sqrt{{k \over m}}.
\]
Следовательно, решение дифференциального уравнения есть
\[
x=A \exp \left ( i \sqrt{{k \over m}} \right )+B \exp \left ( -i \sqrt{{k \over m}} \right ),
\]
для произвольной константы \(A, B\) (определяемой начальными
условия). 6.3 Линейные уравнения первого порядка
\]
Они называются линейными , потому что \(y\) оказывается со степенью 1 на
правая сторона. На самом деле предыдущий пример тоже относится к этому типу,
но его легче решить как разделимое уравнение.
\]
Это разделимое уравнение:
\[
\int {dI \over I} = \int p(x) dx,
\]
которые мы решаем дать
\[
\log I = \int p(x) dx,
\]
так что
\[
I(x) = \exp\left ( \int p(x) dx \right ). \тег{6.4}
\]
\[
I(x) = \exp\left ( \int p(x) dx \right )
\]
называется интегрирующим фактором для дифференциального уравнения
\[
{d y \over dx} + p(x)y(x) = q(x).
\]
4 Давайте попробуем это на примере 6.2. Уравнение, которое у нас было, было
\[
{d v \over dt} = -kv-g.
\]
2,
\]
где \(у(1)=0\). 92}.
\]
Теперь мы используем граничное условие \(y(1)=0\), чтобы найти конкретный
решение, дающее \(C=-1/5\). 6.3.1 Проверьте себя
6.4 Однородные уравнения
2},
\]
и
\[
v={dx\over dt}.
\] 2} = -{k \over m} x. \тег{6.5}
\]
Это известное дифференциальное уравнение, называемое уравнением простое гармоническое движение . Это пример секунд
линейное дифференциальное уравнение порядка с постоянными коэффициентами . Вот объяснение от человека с американским акцентом. Используя уравнения
\[
\exp(i \theta) = \cos \theta + i \sin \theta,
\]
мы можем переписать это как
\[\begin{выравнивание*}
x & = & A \left [ \cos \left (\sqrt{{k \over m}} \right )+i \sin \left (\sqrt{{k \over m}} \right ) \right ] + B \left [\cos \left ( -\sqrt{{k \over m}} \right )+i \sin \left ( -\sqrt{{k \over m}} \right ) \right ]\\
& = & A \left [ \cos \left (\sqrt{{k \over m}} \right )+i \sin \left (\sqrt{{k \over m}} \right ) \right ] + B \left [\cos \left ( \sqrt{{k \over m}} \right )-i \sin \left (\sqrt{{k \over m}} \right ) \right ] \\
& = & (A+B) \cos\left (\sqrt{{k \over m}} \right ) + i(AB)\sin \left ( -\sqrt{{k \over m}} \right ) .
\end{эквнаррай*}\]
Итак, мы видим, что у нас есть два разных решения
\(\cos\left (\sqrt{{k \over m}} \right )\) и
\(\sin\left (\sqrt{{k \over m}} \right )\), а константы \(A+B\)
и \(i(A-B)\) зависят от граничных условий. 92+2\лямбда+3=0,
\] которое имеет решение \(\lambda=-1\pm i\sqrt{2}\). Итак, \(\lambda_R=-1\)
и \(\lambda_I=\sqrt{2}\).