Как определить сходится или расходится последовательность: алгебра / Как узнать, что последовательность

Предел числовой последовательности, сходящиеся и расходящиеся последовательности

Поможем решить контрольную, написать реферат, курсовую и диплом от 800р

Содержание:

• Сходящиеся и расходящиеся последовательности
• Последовательность на бесконечности

Определение

Последовательность $\left\{x_{n}\right\}$ называется сходящейся, если существует такое число $a \in R$ такое, что последовательность $\left\{x_{n}-a\right\}$ является бесконечно малой последовательностью.

Определение

Число $a$ называется пределом последовательности $\left\{x_{n}\right\}$ и обозначается $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=\lim _{n} x_{n}=a$, $x_{n} \underset{n \rightarrow \infty}{\longrightarrow} a$

Число $a$ называется пределом последовательности $\left\{x_{n}\right\}$ , если для любого $\epsilon>0$ существует номер $n_{0}=n_{0}(\epsilon)$ такой, что для любого $n>n_{0}$ выполняется неравенство $\left|x_{n}-a\right| \lt \epsilon$ :

$\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=a \Leftrightarrow \forall \epsilon>0, \exists n_{0}=n_{0}(\epsilon) : \forall n>n_{0},\left|x_{n}-a\right| \lt \epsilon$

Определение

Целой частью $[x]$ некоторого числа $x$ называется наибольшее целое число, не превосходящее $x$

Пример

Задание. Найти целую часть чисел — 2,36; 2,36; 2.

Решение. $[-2,36]=-3,[2,36]=2,[2]=2$

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 396 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Пример

Задание. Доказать равенство: $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}=0$

Доказательство. Исходя из определения, 0 будет пределом последовательности $\frac{1}{n}$ , если для любого $\epsilon>0$ найдется такой номер $n_{0}=n_{0}(\epsilon)$, что для любого $n>n_{0}$ выполняется неравенство $\left|x_{n}-0\right| \lt \epsilon$:

$\left|x_{n}-a\right|=\left|\frac{1}{n}-0\right|=\left|\frac{1}{n}\right|=\frac{|1|}{|n|}=\frac{1}{n} \lt \epsilon \Rightarrow n>\frac{1}{\epsilon}$

В качестве $n_{0}$ возьмем $n_{0}=\left[\frac{1}{\epsilon}\right]+1$

Итак, для любого $n>n_{0}$ указано соответствующее значение $n_{0}$ , а тогда равенство $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}=0$ доказано. {n+1}$ не имеет предел.

Доказательство. Пусть $a$ — предел рассматриваемой последовательности, то есть $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=a$. Рассмотрим $\epsilon=\frac{1}{10} \Rightarrow \exists n_{0}=n_{0}(\epsilon) \in N : n>n_{0} :\left|x_{n}-a\right| \lt \epsilon$

Пусть $n=2 k$ :

$\left|x_{2 k}-a\right| \lt \frac{1}{10} \Rightarrow|-1-a| \lt \frac{1}{10} \Rightarrow|1+a| \lt \frac{1}{10}$

Пусть $n=2 k+1$ :

$\left|x_{2 k+1}-a\right| \lt \frac{1}{10} \Rightarrow|1-a| \lt \frac{1}{10}$

Так как полученные выражения не равны, то данная последовательность предела не имеет.

Постоянная последовательность $\left\{x_{n}\right\}=\{c\}$ имеет предел, равный числу $c$ : $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=\lim _{n \rightarrow \infty} c=c$

Теорема

Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Теорема

(Необходимый признак сходимости последовательности).

Сходящаяся последовательность ограничена.

Последовательность на бесконечности

Последовательность $\left\{x_{n}\right\}$ имеет бесконечный предел, если для любого $\epsilon>0, \exists n_{0} \in N : n>n_{0} :$ $x_{n}>\epsilon : \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=\infty$

Последовательность $\left\{x_{n}\right\}$ называется

бесконечно малой, если $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=0$

Последовательность $\left\{x_{n}\right\}$ называется бесконечно большой, если для любого $\epsilon>0$ существует номер $n_{0}$ такое, что для любого $n>n_{0} :\left|x_{n}\right|>\epsilon$

Теорема

Пусть $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=a, \lim _{n \rightarrow \infty} y_{n}=b$ , тогда

а) $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(x_{n}+y_{n}\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}+\lim _{n \rightarrow \infty} y_{n}=a+b$ ;

б) $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(x_{n} \cdot y_{n}\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n} \cdot \lim _{n \rightarrow \infty} y_{n}=a \cdot b$ ;

в) если $b \neq 0$ , то начиная с некоторого номера заданная последовательность $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n}}{y_{n}}=\frac{a}{b}$

Читать дальше: предельный переход в неравенствах.

II. Функциональные последовательности и ряды

§1. Функциональная последовательность и функциональный ряд. Область сходимости

Пусть дана последовательность

(1)

все члены которой являются функциями, определенными на множестве . Возьмем(фиксированное число). Получим последовательностькоторая является числовой. Она может как сходиться, так и расходиться. Если последовательностьсходится (расходится), то последовательностьсходится (расходится) в точке.

Определение1. Множество всех точек области , в которых функциональная последовательностьсходится, называется областью сходимости последовательности .

Пусть последовательность (1) сходится на множестве . Тогда влюбой точке существует предел последовательности (1), то есть. Очевидно,- функция, определенная на. Она называется предельной функцией последовательности (1).

Обозначение: или.

Рассмотрим теперь ряд

, (2)

членами которого являются функции, определенные на множестве . Составим последовательность частичных сумм ряда (2), где

.

Последовательность — функциональная. Если она сходится нак предельной функции, то и ряд (2) сходится наи его сумма равна. Так как сходимость последовательностинаопределяется как сходимость в любой точкемножества, то и сходимость ряда (2) наопределяется как сходимость в любой точке. А именно, приряд (2) превращается в числовой ряд. Если он сходится, то функциональный ряд (2) сходится в точке.

Определение 2. Областью сходимости ряда (2) называется множество точек из области , в каждой из которых ряд (2) сходится.

Если ряд (2) сходится на некотором множестве Е, т.е. , то функцияS(x) называется суммой ряда (2): .

Ряд (3) называетсяn–ым остатком ряда (2). Т.к. в любой точке множества

Е ряд и любой из его остатков эквивалентны по сходимости, то если ряд (2) сходится на Е, то и любой из его остатков (3) сходится на Е. В этом случае, обозначим его сумму , тогда.

Пример 1. Найти область сходимости последовательности :=xⁿ и её предельную функцию.

Δ

Следовательно, область сходимости х(-1;1].

S(x)=Δ

Пример 2. Найти область сходимости и сумму ряда 1+x+…+x^n-1+…=.

Δ Для произвольного ряд является геометрическим, следовательно, он сходится при |x|<1, и его сумма S(x)=. Δ

Пример 3. .

Δ 1) |x|<1. Тогда ряд расходится.

2) |x|=1.. Ряд расходится.

3) |x|>1. В этом случае . Ряд является положительнымх из области |х|>1. Применим признак Даламбера

,

значит, ряд сходится.

Ответ: область сходимости .Δ

§2. Равномерная сходимость функциональных последовательностей и рядов

1. Равномерная сходимость функциональной последовательности

Пусть функциональная последовательность сходится на множествеЕ к предельной функции S(x): . По определению предела это означает, что для любого фиксированного значенияпо любому заданному>0 найдется номер N, начиная с которого выполнено неравенство |S_n(x)-S(x)|<ε. Здесь под x понимается то значение, которое зафиксировано. В этом случае последовательность является числовой. Если взять другое значение х, то получится другая последовательность, и при том же

ε номер N, начиная с которого выполняется неравенство |S_n(x)-S(x)|<ε будет, вообще говоря, другим. Т.к. х принимает бесконечное множество значений на Е, то получим бесконечное множество различных числовых последовательностей, сходящихся к пределу. Для каждой из них в отдельности существует свой номер N. Возникает вопрос: существует ли номер N, который при заданном ε был бы пригоден для всех этих последовательностей, т.е. хЕ?

Определение. Если последовательность имеет на множествеЕ предельную функцию S(x), и , существует такой, не зависящий отх номер N, что при любых неравенство |S_n(x)-S(x)|<ε выполнено одновременно для всех хЕ, то говорят, что последовательность сходится к функции

S(x) равномерно на Е.

, если выполнено

. (1)

Геометрический смысл равенства сходимости

функциональной последовательности

Перепишем неравенство (1) в виде:

.

Оно означает, что графики всех членов последовательности, начиная с некого номера, целиком расположены в полосе шириной 2 между графиками функций ина множествеЕ.

Т.к. ε – произвольное положительное число, то полоса может быть сколь угодно узкой. Поэтому члены последовательности с достаточно большими номерами сколь угодно мало отличаются от S(x) на множестве Е.

_{Пример 1. Доказать, что последовательность равномерно сходится на отрезке [0;1] к}

_S(x)=0.

Δ Выберем произвольное ε>0. Найдем номер N, начиная с которого неравенство (1) будет выполнено для любых значений .

.

Если потребовать, чтобы выполнялось , то требуемое неравенство будет выполнено. Отсюда. Возьмем. Итак, для выбранногоε , такой, чтоn>N и выполнено_. Значит, последовательность равномерно сходится на [0;1] кS(x)=0. Δ.

Калькулятор дивергенции последовательности — Google Suce

ALLBILDERSHOPPINGVIDEOSMAPSNEWSBücher

SUCOOPTION

WOLFRAM | ALPHA Widgets: «последовательности: конвергенция к/divergence»

WWW.WOLFRAMALPHA.com. бесплатный виджет «Последовательности: схождение/расхождение» для вашего веб-сайта, блога, WordPress, Blogger или iGoogle. Найти больше Транспорт …

Калькулятор сходимости последовательности + онлайн-решатель с бесплатными шагами

www.storyofmathematics. com › Математические калькуляторы

Bewertung 5,0

(6)

Калькулятор сходимости последовательности — это онлайн-калькулятор, используемый для определения того, является ли функция сходящейся или расходящейся, путем определения предела функции. ..

Калькулятор серий — Symbolab

www.symbolab.com › Step-by-Step › Calculus

Бесплатный калькулятор сходимости рядов — проверка бесконечных рядов на сходимость … тест отношений, интегральный тест, сравнительный тест, предел тест, дивергентный тест.

Калькулятор сходимости ряда · Калькулятор степенного ряда · Калькулятор ряда Тейлора

Глава 9-1 Определение сходимости или расхождения последовательности (Пример 6-7)

www.youtube.com › смотреть

08.03.2015 · Как сделать определить, сходится/расходится ли последовательность графически (используя график …
Dauer: 12:29
Прислан: 08. 03.2015

Калькулятор сходимости последовательности с шагами [Бесплатно для студентов]

kiodigital.net › sequence- сходимость-калькулятор

Калькулятор сходимости последовательности — Этот бесплатный калькулятор предоставляет бесплатную информацию о последовательности… Последовательности: схождение/расхождение …

Калькулятор предела последовательности — EasyCalculation

of-seq…

Последовательность называется сходящейся, если существует такой предел. Последовательность, которая не сходится, называется расходящейся. Предел последовательности …

Ähnliche Fragen

Как узнать, расходится ли последовательность?

Как найти сходимость последовательности?

Что делает последовательность сходящейся или расходящейся?

Как рассчитать ожидаемое расхождение последовательностей двух фрагментов ДНК… ​​

www.researchgate.net › post › How-to-calculate-exp…

Как рассчитать ожидаемое расхождение последовательностей двух фрагментов ДНК? У меня есть две последовательности ДНК (seqA и seqB), полученные соответственно из двух более длинных . ..

Расчет времени расхождения с использованием геномных последовательностей … — Sandwalk

sandwalk.blogspot.com › 2017/11 › calculate-tim…

17.11.2017 · Вы можете рассчитать время расхождения (t) между любые два вида, если вы знаете генетическое расстояние (d) между ними, измеренное в парах оснований и …

Калькулятор конвергенции последовательностей — простой в использовании калькулятор (БЕСПЛАТНО)

scoutingweb.com › калькулятор конвергенции последовательностей

Калькулятор сходимости последовательности. Этот интеллектуальный калькулятор предоставляется wolfram alpha. Последовательности: конвергенция/расхождение …

Bilder

Allo Anzeigen

Alle Anleigen

Ahnliche Sulanfragen

Калькулятор серии

Calculator

ineculater

Как проверить, сходятся ли последовательность

. интервал сходимости

Рассчитать значение ряда

Критерий соотношения для сходимости последовательностей

Критерий отношений для сходимости последовательностей

Свернуть Содержание Критерий сходимости последовательностей Пример 1 Пример 2

Теперь мы рассмотрим полезную теорему, которую можно применить, чтобы определить, сходится ли последовательность положительных действительных чисел. Прежде чем мы это сделаем, мы должны сначала доказать следующую лемму.

Лемма 1: Пусть $(a_n)$ — последовательность положительных действительных чисел, $(b_n)$ — последовательность действительных чисел, и пусть $K > 0$. Если $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$ и для некоторого $N_1 \in \mathbb{N}$ имеем, что $\forall n ≥ N_1$ $\mid b_n — L \mid ≤ K a_n $, то $\lim_{n \to \infty} b_n = L$.

• Доказательство: Пусть $(a_n)$ — последовательность положительных действительных чисел, $(b_n)$ — последовательность действительных чисел, и пусть $K > 0$. Предположим, что $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$ и что для некоторого $N_1 \in \mathbb{N}$ если $n ≥ N_1$, то $\mid b_n — L \mid < Ka_n$.

• Теперь пусть задано $\epsilon > 0$. Поскольку $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$, то при $\epsilon_0 = \frac{\epsilon}{K} > 0$ $\существует N_2 \in \mathbb{N}$ такое, что если $ n ≥ N_2$, то $\mid a_n \mid = a_n < \epsilon_0 = \frac{\epsilon}{K}$, откуда следует, что $Ka_n < \epsilon$

• Пусть теперь $N = \mathrm{max} \{ N_1, N_2 \}$. Тогда у нас есть это:

(1)

\begin{align} \mid b_n — L \mid ≤ Ka_n < \epsilon \end{align}

• Следовательно, $\lim_{n \to \infty} b_n = L$. $\blacksquare$

Теперь мы готовы рассмотреть тест отношения для сходимости положительной последовательности.

Теорема 1 (тест отношений для последовательностей): Если $(a_n)$ — последовательность положительных действительных чисел такая, что $\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1} }{a_n} = L$ и если $L < 1$, то $(a_n)$ сходится и $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$. 9n} = \lim_{n \to \infty} \frac{2}{3} < 1$. Поскольку $(a_n)$ — положительная последовательность, мы заключаем, что по тесту отношений эта последовательность сходится, а именно к $0$. Теперь мы рассмотрим доказательство этой теоремы. Доказательство: Пусть $(a_n)$ — последовательность положительных действительных чисел такая, что $\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = L$. Поскольку $(a_n)$ — последовательность положительных действительных чисел, мы имеем $0 ≤ L$. Предположим также, что $L < 1$. Пусть $r$ таково, что $L < r < 1$ (мы знаем, что такое число $r \in \mathbb{R}$ существует по теореме о плотности вещественных чисел, поскольку между $L существуют и рациональные, и иррациональные числа). $ и $1$). Так как $\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = L$, то при $\epsilon = r — L > 0$ $\существует N \in \mathbb{N}$ такое, что если $n ≥ N$, то $\biggr \rvert \frac{a_{n+1}}{a_n} — L \biggr \rvert < \epsilon = r - L$, откуда что: (2) \begin{align} — \epsilon < \frac{a_{n+1}}{a_n} - L < \epsilon \\ L - \epsilon < \frac{a_{n+1}}{a_n} < L + \epsilon \\ \frac{a_{n+1}}{a_n} < L + (r - L) = r \end{align} 9n} = \lim_{n \to \infty} \frac{b}{n+1} = \lim_{n \to \infty} \frac{ \frac{b}{n} }{ \frac{n} {n} + \frac{1}{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{ \frac{b}{n}}{1 + \frac{1}{n}}$. No related posts. Добавить комментарий Отменить ответ Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены * Комментарий * Имя * Email * Сайт