Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Специальная часть Ax + B
Пример 1. y» — y’ — 6 = 2xРешение уравнения будем искать в виде y = erx через сервис
линейные дифференциальные уравнения. Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:
r2 — r — 6 = 0
D = (-1)2 — 4 • 1 • (-6) = 25
Корни характеристического уравнения:
r1 = 3
r2 = -2
Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:
y1 = e3x
y2 = e-2x
Общее решение однородного уравнения имеет вид:
Рассмотрим правую часть:
f(x) = 2x
Поиск частного решения.
Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и правой частью вида:
R(x) = eαx(P(x)cos(βx) + Q(x)sin(βx)), где P(x), Q(x) — некоторые полиномы
y(x) = xkeαx(R(x)cos(βx) + S(x)sin(βx))
где k — кратность корня α+βi характеристического полинома соответствующего однородного уравнения, R(x), S(x) — полиномы, подлежащие определению, степень которых равна максимальной степени полиномов P(x), Q(x).
Здесь P(x) = 2x, Q(x) = 0, α = 0, β = 0.
Следовательно, число α + βi = 0 + 0i не является корнем характеристического уравнения .
Уравнение имеет частное решение вида:
y* = Ax + B
Вычисляем производные:
y’ = A
y» = 0
которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:
y» -y’ -6y = -A -6(Ax + B) = 2x
или
-6Ax-A-6B = 2x
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:
-6A = 2
-1A -6B = 0
Из первой строки выражаем А = 2/(-6) = -1/3, которое подставляем во вторую строку: 1/3 = 6B
A = -1/3;B = 1/18;
Частное решение имеет вид:
y* = -1/3x + 1/18
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:
Решение было получено и оформлено с помощью сервиса:
Дифференциальные уравнения
Пример 2.
y’’ -2y’ + y = x-1
Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.
Решение уравнения будем искать в виде y = erx. Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:
D = (-2)2 — 4 • 1 • 1 = 0
Корни характеристического уравнения:
Корень характеристического уравнения r1 = 1 кратности 2.
Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:
y1 = ex
y2 = xex
Общее решение однородного уравнения имеет вид:
Рассмотрим правую часть:
f(x) = x-1
Поиск частного решения.
Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и правой частью вида:
R(x) = eαx(P(x)cos(βx) + Q(x)sin(βx)), где P(x), Q(x) — некоторые полиномы
имеет частное решение
y(x) = xkeαx(R(x)cos(βx) + S(x)sin(βx))
где k — кратность корня α+βi характеристического полинома соответствующего однородного уравнения, R(x), S(x) — полиномы, подлежащие определению, степень которых равна максимальной степени полиномов P(x), Q(x).
Здесь P(x) = x-1, Q(x) = 0, α = 0, β = 0.
Следовательно, число α + βi = 0 + 0i не является корнем характеристического уравнения .
Уравнение имеет частное решение вида:
y* = Ax + B
Вычисляем производные:
y’ = A
y» = 0
которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:
y» -2y’ + y = -2A + (Ax + B) = x-1
или
A•x-2A+B = x-1
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:
A = 1
-2A + B = -1
Откуда: A = 1;B = 1;
Частное решение имеет вид:
y* = x + 1
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:
Пример 3. y’’ +6y’ + 9y = 9x2+12x-43
Данное дифференциальное уравнение относится к
Решение уравнения будем искать в виде y = erx.
Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:
r2 +6 r + 9 = 0
D = 62 — 4 • 1 • 9 = 0
Корни характеристического уравнения:
Корень характеристического уравнения r1 = -3 кратности 2.
Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:
y1 = e-3x
y2 = xe-3x
Общее решение однородного уравнения имеет вид:
Рассмотрим правую часть:
f(x) = 9•x2+12•x-43
Поиск частного решения.
Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и правой частью вида:
R(x) = eαx(P(x)cos(βx) + Q(x)sin(βx)), где P(x), Q(x) — некоторые полиномы
имеет частное решение
y(x) = xkeαx(R(x)cos(βx) + S(x)sin(βx))
где k — кратность корня α+βi характеристического полинома соответствующего однородного уравнения, R(x), S(x) — полиномы, подлежащие определению, степень которых равна максимальной степени полиномов P(x), Q(x).
Здесь P(x) = 9•x2+12•x-43, Q(x) = 0, α = 0, β = 0.
Следовательно, число α + βi = 0 + 0i не является корнем характеристического уравнения .
Уравнение имеет частное решение вида:
y* = Ax2 + Bx + C
Вычисляем производные:
y’ = 2•A•x+B
y» = 2•A
которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:
или
9•A•x2+12•A•x+2•A+9•B•x+6•B+9•C = 9•x2+12•x-43
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:
9A = 9
12A + 9B = 12
2A + 6B + 9C = -43
Решая ее методом Гаусса, находим:
A = 1;B = 0;C = -5;
Частное решение имеет вид:
y* = x2 -5
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:
y = C1 e-3x + C2 xe-3x + x2 -5
Перейти к онлайн решению своей задачи
см.
также:
- Сборник решений линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
- Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Специальная часть cos(x),sin(x)
- Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Специальная часть ex*(Ax + B)
- Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Специальная часть exp(x),cos(x),sin(x)
- Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Специальная часть Ax + B
5.2. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
Линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами имеет вид
, (5.4)
где – непрерывная функция.
Пусть уравнение
(5.5)
будет общим решением
однородного уравнения (5.
,
где – неизвестные функции. Эти функции определяются из системы
где – производные функций . Для уравнения второго порядка данная система имеет вид
Пример 5.5. Решить уравнение .
Решение. Характеристическое уравнение имеет корни . Поэтому общее решение однородного уравнения будет таким: . Положим и . Запишем систему для определения и :
Решая эту систему уравнений, получим:
,
откуда
где – произвольные постоянные.
Общее решение запишется так:
.
6. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами и специальной правой частью
Рассмотрим неоднородное дифференциальное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами
, (6.1)
где – непрерывная функция. Соответствующим однородным уравнением будет
. (6.2)
Пусть
(6.3)
будет характеристическим уравнением для уравнения (6.2). Общее решение y уравнения (6.1) равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения (6.2) и какого-либо частного решения y* неоднородного уравнения (6.1), то есть
.
1. Если правая часть уравнения (6.1) имеет вид: ,где – многочлен степени
1) может быть найдено
в виде,
где – некоторый многочлен степени n с неопределенными коэффициентами, а r – число, показывающее сколько раз является корнем характеристического уравнения.
Пример 6.1. Найти общее решение уравнения .
Решение. Составляем характеристическое уравнение для соответствующего однородного уравнения. Его корни . Так как число корнем характеристического уравнения не является, то . Степень многочлена в правой части равна единице. Поэтому частное решение ищем в виде
Находим и, подставляя , и y в уравнение, получим (после сокращения на )
.
Откуда находим
Искомое частное решение имеет вид
,
а общее решение уравнения будет
.
2. Если правая часть уравнения (6.1) имеет вид
, (6.4)
где и – многочлены n-й и m-й степени соответственно, тогда:
а) если числа не являются корнями характеристического уравнения (6.3), то частное решение уравнения (6.1) ищется в виде
, (6.5)
где и – многочлены степени s с неопределенными коэффициентами и ;
б) если числа являются корнями кратности r характеристического уравнения (6.3), то частное решение уравнения (6.1) ищется в виде
(6.6)
где и – многочлены степени s с неопределенными коэффициентами и .
Замечания.
1. Если в (6.4) или ,
то частное решение y* также
ищется в виде (6.
5), (6.6), где (или ).
2. Если уравнение (6.1) имеет вид , то частное решение такого уравнения можно искать в виде , где – частное решение уравнения , а – частное решение уравнения .
Пример 6.2. Найти общее решение уравнения
.
Решение. Соответствующее однородное уравнение имеет вид
,
характеристическое уравнение имеет корни . Общее решение однородного уравнения:
.
Правая часть данного уравнения есть сумма
.
Поэтому находим частные решения для каждого из трех уравнений:
.
Частное решение первого уравнения ищем в виде , так как является однократным корнем характеристического уравнения и – многочлен нулевой степени. Поскольку
,
то, подставляя эти выражения в первое уравнение, имеем
или и .
Частное решение второго уравнения будем искать в виде , так как в правой части второго уравнения не является корнем характеристического уравнения и – многочлен нулевой степени.
Определяя, как и выше, постоянную A, получим . Частное решение третьего уравнения будем искать в виде , так как в правой части третьего уравнения является однократным корнем характеристического уравнения и – многочлен первой степени. Поскольку , то, подставляя эти выражения в третье уравнение, имеем . Приравнивая коэффициенты при x и свободные члены в левой и правой частях равенства, получаем систему – , откуда находим .
Следовательно, .
Суммируя частные решения, получаем частное решение y* исходного уравнения . Тогда общее решение данного неоднородного уравнения будет следующим:
Пример 6.3. Найти частное решение уравнения ,
удовлетворяющее начальным условиям .
Решение. Характеристическое уравнение имеет корни . Поэтому общим решением соответствующего однородного уравнения будет . Для первой части данного уравнения – многочлен первой степени; – многочлен нулевой степени ; являются корнями характеристического уравнения. Поэтому частное решение данного уравнения ищем в виде или .
Находим
Подставляя в данное уравнение, имеем
Приравнивая коэффициенты при в обеих частях равенства, получаем систему
Решая эту систему, находим . Тогда
.
Общее решение будет . Находим . Так как то . Таким образом, . Подставляя значения в общее решение, получим частное решение .
Пример 6.4. Определить вид частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения, если известны корни , его характеристического уравнения и его правая часть
.
Решение. В правой части – многочлены нулевой степени, являются корнями характеристического уравнения. Поэтому частное решение будет иметь вид
,
где A и B – неопределенные коэффициенты.
7. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ.
МЕТОД ИСКЛЮЧЕНИЯ. МЕТОД ЭЙЛЕРА РЕШЕНИЯ
ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
7.1. Нормальная система n-го порядка обыкновенных
дифференциальных уравнений
Нормальная система n-го порядка обыкновенных дифференциальных уравнений имеет вид
где t – независимая переменная; – неизвестные функции от – заданные функции.
Метод исключения
неизвестных состоит в том, что данная
система приводится к одному дифференциальному
уравнению n-го порядка с одной
неизвестной функцией (или к нескольким
уравнениям, сумма порядков которых
равна n). Для этого последовательно
дифференцируют одно из уравнений системы
и исключают все неизвестные функции,
кроме одной.
Пример 7.1. Найти общее решение системы дифференциальных уравнений
и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям .
Решение. Дифференцируем первое уравнение по t: . Заменяя здесь ее значением из второго уравнения системы и подставляя , найденное из первого уравнения, получим после упрощения уравнение второго порядка .
Интегрируем это уравнение, предварительно понижая порядок:
Дифференцируя эту функцию и подставляя в выражение , получим
.
Общим решением данной системы дифференциальных уравнений будет
.
Для нахождения частного решения подставим начальные условия
. Получим ,
откуда .
Следовательно, искомым частным решением системы будет пара функций:
.
Пример 7.2. Найти общее решение системы
.
Решение. Дифференцируем первое уравнение: . Заменяем ее значением из второго уравнения и подставляем затем . Получим линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами
.
Его общее решение
(получено как сумма общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного
уравнения).
Подставляя x и в выражение для y, получим
.
Общее решение исходной системы имеет вид
Однородные уравнения с постоянными коэффициентами
Однородные уравнения с константой Коэффициенты
До сих пор мы работали только с дифференциалом первого порядка. уравнения. Следующим шагом является исследование дифференциала второго порядка.
уравнения. Общее дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид
г» = f(t,y,y’)
Общее решение такого уравнения очень грубое. Вместо этого мы сосредоточимся на частных случаях. В частности, если дифференциальное уравнение линейна, то ее можно записать в виде
P(t)y» + Q(t)y’ + R(t)y = G(t)
Если P(t) отлично от нуля, то мы можем разделить на P(t) чтобы получить
г» + p(t)y’ + q(t)y = g(t)
Мы называем линейное дифференциальное уравнение второго порядка однородным если g(t) = 0,
В этом разделе мы будем исследовать однородные линейные уравнения второго порядка. дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Их можно записать в форма
ау» + по’ + су = 0
Пример
Решить
у» + 3у’ — 4г = 0
Раствор
Стратегия заключается в поиске решения форма
г = е rt
Причина этого в том, что давным-давно некоторые гении сообразили
этот материал, и он работает.
Теперь рассчитать производные
г’ = re rt y» = r 2 e rt
Подстановка в дифференциальное уравнение дает
r 2 e rt + 3(ре рт ) — 4(е рт )
= (r 2 + 3r — 4)e rt = 0
Теперь разделите на e rt , чтобы получить
.р 2 + 3r — 4 = 0
(r — 1)(r + 4) = 0
р = 1 r = -4
Мы можем заключить, что два решения
г 1 = е т и y 2 = e -4t
Теперь пусть
Л(г) = y» + 3y’ — 4
Легко проверить, что если y 1 и y 2 являются решениями
Л(г) = 0
, затем
c 1 y 1 + с 2 у 2
тоже решение. Точнее, мы можем заключить, что
г = c 1 e t + в 2 е -4t
Представляет двумерное семейство (векторное пространство) решений.
Позже мы докажем, что это самое общее описание решения космос.
Пример
Решить
у» — у’ — 6y = 0 y(0) = 1 у'(0) = 2
По-прежнему ищем решения вида
г = е rt
Теперь вычислить производные
г’ = re rt y» = r 2 e rt
Подстановка в дифференциальное уравнение дает
r 2 e rt — (ре РТ ) — 6(Е РТ )
= (r 2 — r — 6)e rt = 0
Теперь разделите на e rt , чтобы получить
.р 2 — г — 6 = 0
(r — 3)(r + 2) = 0
Мы можем заключить, что два решения
г 1 = e 3t и у 2 = e -2t
Мы можем сделать вывод, что
г = c 1 e 3t + c 2 e -2t
Представляет двумерное семейство (векторное пространство) решений.
Теперь используйте начальные условия, чтобы найти, что
1 = c 1 + c 2
У нас есть
г’ = 3c 1 е 3т — 2с 2 е -2т
Подстановка начального условия с помощью y’ дает
2 = 3c 1 — 2c 2
Это система из двух уравнений и двух неизвестных. Мы можем использовать матрицу чтобы добраться до
c 1 = 4/5 и c 2 = 1/5
Окончательное решение
г = 4/5 e 3t + 1/5e -2t
В целом для
ау» + по’ + су = 0
мы называем
ар 2 + бр + с = 0
Характеристическое уравнение для этого дифференциального уравнения. Наш
примеры продемонстрировали, как ее решить, если у нас есть два различных действительных корня. Для сложных или повторяющихся корней нужна несколько иная стратегия. Мы
обсудим эти другие случаи позже. Для действительных различных корней мы можем
использовать квадратную формулу и получить общее решение
г = c 1 e r1t + c 2 e r2t
где
и
Назад к линейной секунде Заказать Домашняя страница дифференциальных уравнений
Назад на домашнюю страницу дифференциальных уравнений
Назад к математике Домашняя страница отдела
электронная почта Вопросы и предложения
3.1: Однородные уравнения с постоянными коэффициентами
- Последнее обновление
- Сохранить как PDF
- Идентификатор страницы
- 400
- Ларри Грин
- Общественный колледж Лейк-Тахо
До сих пор мы работали только с дифференциальными уравнениями первого порядка.