Дифференциальные уравнения высших порядков онлайн: Дифференциальные уравнения онлайн

Решение краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка

Похожие презентации:

Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений

Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод Пикара

Решение обыкновенных дифференциальных уравнений

Решение дифференциальных уравнений. (Лекция 6)

Дифференциальные уравнения высших порядков

Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений

Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Лекция 5

Численные методы решения систем уравнений

Численные методы решения дифференциальных уравнений

Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка

Решение краевых задач
для обыкновенных дифференциальных
уравнений второго порядка
Краевые задачи для ОДУ второго порядка
y (x )
y (x )
дважды непрерывно дифференцируемая функция
y p( x ) y q( x ) y f ( x ), a x b
линейное неоднородное ОДУ
y ( a ) ya , x a
2-го порядка
y ( b) y , x b
b
Принципиальным отличием краевой задачи от задачи Коши для ОДУ

является задание дополнительных (краевых или граничных) условий
более чем в одной точке независимой переменной (в задаче Коши
дополнительные условия задаются в одной точке, называемой
начальной).
Если на границах х = а и х = b заданы значения искомой функции у(а),
у(b), то такие условия называются граничными условиями первого
рода, а задача называется первой краевой задачей для ОДУ.
Краевые задачи для ОДУ второго порядка
y (a ) ya
y (b) yb
граничные условия 2 рода
Вторая краевая задача
Если на границах заданы линейные комбинации искомой
функции и ее первой производной:
y (a ) y ( a ) ya граничные условия 3 рода
y (b) y (b) yb Третья краевая задача
Чаще всего на разных границах задаются граничные условия
различных родов. Такие задачи называют краевыми задачами со
смешанными краевыми условиями.
Конечно-разностный метод
h xi ih, i 0…n
конечно-разностная сетка с шагом h
yi 1 yi 1
O (h 2 ), i 1 n 1
2h
y 2 yi yi 1
2
yi i 1
O
(
h
), i 1 n 1
2
h
yi
pi p( xi ), qi q( xi ),
f i f ( xi ), i 1 n 1
yi 1 2 yi yi 1
yi 1 yi 1
2
p
q
y
f
O
(
h
), i 1 n 1
i
i
i
i
2
h
2h
y0 y a , i 0
y n yb , i n
ai yi 1 bi yi ci yi 1 d i , i 1 n 1
1
pi
ai 2
h
2h
2
bi 2 qi
h
СЛАУ с трехдиагональной матрицей:
1
pi
ci 2
h
2h
di fi
Результирующая система линейных уравнений
Метод прогонки
b1 y1 c1 y2 d1 a1 ya
. ………………………………
ai yi 1 bi yi ci yi 1 d i , i 2 n 2
……………………………….
an 1 yn 2 bn 1 yn 1 d n 1 cn 1 yb
Прогоночные коэффициенты в прямом ходе определяются с помощью выражений
c1
A1
b1
ci
Ai
bi ai Ai 1
B1
d1
b1
Bi
d i ai Bi 1
bi ai Ai 1
An 1 0
Bn 1
i 2 n 2
d n 1 an 1Bn 2
bn 1 an 1 An 2
Обратный ход метода прогонки
yi Ai yi 1 Bi
i n 1, n 2 1
Схема со вторым порядком аппроксимации краевых
условий, содержащих производные
h3
y1 y ( x0 h ) y0 y0 h y0 O ( h 3 )
2
y0 f 0 p0 y0 q0 y0
y0
y 1 y0 h
( f 0 p0 y0 q0 y0 ) O (h 2 )
h
2
y0
2
y 1 y0
h
( f 0 q0 y0 ) O (h 2 )
2 p0h h
2 p0h
Схема со вторым порядком аппроксимации краевых
условий, содержащих производные
y ( a ) y ( a ) ya
2
y 1 y0
h
( f 0 q0 y0 ) y0 ya O (h 2 )
2 p0h h
2 p0h
b0 y0 c0 y1 d 0
b0
2
q0h
h(2 p0h ) 2 p0h
c0
2
h(2 p0h )
d 0 ya
hf 0
2 p0h
d n yb
hf n
2 pn h
y (b) y (b) yb
an yn 1 bn yn d n
an
2
h( 2 pn h )
bn
2
qn h
h(2 pn h ) 2 pn h
Система из n+1 уравнения с трехдиагональной матрицей
Можно применять метод прогонки

English     Русский Правила

Уравнение второго порядка онлайн

Решение уравнений

В дифференциальных уравнениях (ДУ) второго порядка обязательно есть вторая производная у», но отсутствуют производные высших порядков.

Различают два типа линейных дифференциальных уравнений (ДУ) 2-го порядка с постоянными коэффициентами: однородные и неоднородные.

Однородное ДУ имеет вид: у» + ру’ + qу = 0. В правой части уравнения всегда будет 0, р, q — числа.

Неоднородное ДУ имеет следующий вид: у» + ру’ + qу = f (х), где р, q — постоянные числа, в правой части уравнения — функция f (х), которая зависит только от х. Наиболее простой случай — f (х) является числом, кроме 0.

Решить дифференциальное уравнение, значит, найти все решения, удовлетворяющие этому уравнению.

Чтобы решить однородное уравнение 2-го порядка, нужно вначале составить характеристическое уравнение. Для этого заменим первую производную «лямбдой», а вместо у ничего не запишем. В результате получим обычное квадратное уравнение вида: λ² + рλ + q = 0.

Далее находим корни уравнения. Здесь возможны 3 варианта.

1 вариант. Дискриминант (D) больше 0, тогда характеристическое уравнение λ² + рλ + q = 0 имеет 2 разных действительных корня (λ₁, λ₂).

Общее решение ДУ принимает следующий вид: у = С₁е^λ₁х + С₂е^λ₂х (С₁, С₂ — произвольные числа).

При λ₁ = 0 общее решение уравнения упрощается: у = С₁ + С₂

е^λ₂х.

2 вариант. Дискриминант равен 0, тогда характеристическое уравнение имеет 2 равных действительных корня. В этом случае общее решение однородного уравнения имеет вид: у = С₁е^λ₁х + С₂хее^λ₁х. Т.к λ₁ = λ₂, в формулу можно поставить λ₂.
Если оба корня равны 0, получим общее решение уравнения: у = С₁е^0х + С₂xе^0х = С₁ + С₂x.

3 вариант. Дискриминант меньше 0, уравнение λ₂ + рλ + q = 0 имеет сопряженные комплексные корни: λ₁ = а — bi, λ₂ = а + bi.
Общее решение уравнения будет иметь такой вид: у = е^ах • (С₁соs Вх + С₂sinВх).

Чтобы решить неоднородное уравнение у» + ру’ + qу = f (х), нужно:

1. записать соответствующее однородное уравнение, обнулив правую часть неоднородного уравнения: у» + ру’ + qу = 0 и найти его общее решение.
2. способом подбора найти частное решение неоднородного уравнения.
3. составить общее решение неоднородного уравнения.

Ax² + Bx + C = 0

x2 +

x +

= 0

X1 =X2 =

Предыдущая Уравнение окружности

Следующая Нелинейные уравнения

Однородные дифференциальные уравнения высшего порядка с постоянными коэффициентами

Однородный дифференциал высшего порядка Уравнения с постоянными коэффициентами

 

Теперь мы исследуем, как решить однородный линейный дифференциал более высокого порядка.

уравнения с постоянными коэффициентами. Хорошая новость заключается в том, что мы используем тот же метод, который мы использовали для дифференциальных уравнений второго порядка. Мы продемонстрируйте это на примере.

Пример

Решить

        у»’ — 4у» + у’ + 6 лет =  0

 

Раствор

Сделаем предположение, что решение имеет вид

       y  =  e ^rt

Затем

        y’ =  re ^rt у» =  r ² e ^rt у»’  =  r ³ e ^rt

Подставляя обратно в дифференциальное уравнение, получаем

        r ³ e ^rt — 4(r ² e ^rt ) + re ^rt + 6e ^rt = 0

Разделив на е ^rt , получим характеристику уравнение

        г ³ — 4r

2 + r + 6 = 0

Мы можем факторить, чтобы найти корни уравнения. Калькулятор может эффективно сделать это, или вы можете использовать теорему о рациональном корне, чтобы получить

        (г + 1)(г — 2)(г — 3)  =  0

       р  = -1        r  = 2 или       r  =  3

Общее решение

       y  =  c ₁ e ^-t + c ₂ e ^2t + c ₃ e ^3t

 

Пример

Найдите решение

        г( ^v) — 4y»’  =  0        y(0) =  2    y'(0)  =  3    y»(0) =  1    y»'(0)  =  -1,    y ^(iv) (0) =  1

 

Раствор

Имеем характеристическое уравнение

        р ⁵ + 4r ³   =  0   

Который имеет корень порядка 3 в

        r  =  0

и сложные корни

       р  = 2i    и г = -2i

Мы используем то, что узнали о повторяющихся корнях и сложных корнях, чтобы получить общее решение. Поскольку порядок повторяющегося корня равен 3, у нас есть

        г ₁ =  1,        y ₂   = t,        y ₃   =  t ²    Для порядка 2 умножьте на t и t ²

Комплексные корни дают два других решения

        г ₃ =  cos(2t) и       д ₅ =  sin(2t)

Общее решение

        y  =  c ₁ + с ₂ т + с ₃ t ² + c ₄ cos(2t) + c ₅ грех(2т)

Теперь найдите первые четыре производные

        у’  = c ₂ + 2c ₃ t — 2c ₄ sin(2t) + 2c

5 соз(2т)

        y»  = 2c ₃ — 4c ₄ cos(2t) — 4c ₅ sin(2t)

        г»’ = 8c ₄ sin(2t) — 8c ₅ cos(2t)

        г ^(ив) = 16c ₄ cos(2t) + 16c ₅ sin(2t)

Теперь подключите начальные условия, чтобы получить

.

        2  =  с ₁ + с ₄

        3  =  с ₂ + 2с ₅

        1  = 2с ₃ — 4с ₄

        -1  = 8с ₅

        1  = 16с ₄

 

Мы можем решить это вручную или с помощью калькулятора, чтобы получить

       

        с ₁ =   31/16        c ₂ =  23/4          c ₃ =  5/8          c ₄ =  1/16       c ₅   = 1/8

Решение

        г =   31/16  +  23/4 т  +  5/8 т ² + 1/16 cos(2t) + 1/8 sin(2t)

---

Назад на домашнюю страницу приложений и уравнений высшего порядка

Назад на домашнюю страницу дифференциальных уравнений

Назад к математике Домашняя страница отдела

электронная почта Вопросы и предложения

 

Изучайте дифференциальные уравнения с помощью онлайн-курсов, занятий и уроков

Пройдите бесплатные онлайн-уроки по дифференциальным уравнениям от лучших школ и институтов на edX уже сегодня!

Что такое дифференциальные уравнения?

Дифференциальные уравнения — это уравнения, учитывающие любую функцию с ее производными. Эти уравнения часто используются для описания того, как вещи меняются с течением времени, помогая нам делать прогнозы и учитывать как начальные условия, так и эволюцию переменных. Дифференциальные уравнения используются для описания всевозможных природных явлений, но иногда их трудно решить. В чистой математике мы изучаем дифференциальные уравнения с разных точек зрения, а для более сложных уравнений мы используем возможности компьютерной обработки для аппроксимации решения. Дифференциальные уравнения включают много типов: линейные уравнения против нелинейных уравнений, обыкновенные дифференциальные уравнения против уравнений в частных производных и, наконец, однородные уравнения против неоднородных уравнений. Общие решения или исследование зависят от расшифровки типа уравнения.

Узнайте о дифференциальных уравнениях

Дифференциальные уравнения играют важную роль в нашем понимании большинства областей науки. Изучение их функций может помочь в ваших исследованиях и поможет рассказать о сложных природных явлениях. Различные типы дифференциальных уравнений могут использоваться для описания различных скоростей изменений в динамических системах. Приближение этих скоростей изменений дает вам преимущество в открытии. EdX.org предлагает курсы, разработанные в сотрудничестве с лидерами в области математики и естественных наук, которые могут познакомить вас с этими сложными уравнениями, не выходя из дома или офиса.

Курсы и сертификаты по дифференциальным уравнениям

Массачусетский технологический институт предлагает вводный курс по дифференциальным уравнениям. Вы научитесь решать уравнения первого порядка, автономные уравнения и нелинейные дифференциальные уравнения. Вы будете применять эти знания, используя такие вещи, как волновые уравнения и другие численные методы. Вы можете расширить эти знания с помощью курса 2×2 Systems Массачусетского технологического института, предназначенного для введения связанных дифференциальных уравнений. Вы поймете, как решать скорости изменения с помощью дифференциальных уравнений первого порядка и линейных дифференциальных уравнений.